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基于机器学习的河网糙率反演 摘要 水力计算技术上世纪7 0 年代以来已经发臌成熟，但在工程实际中，殿用难 焘缝袋是诗粪孛翥鼗瓣一些参数，磐蕤率，纛法自魂礁定，趱率戆自动爱滚技 术亟待发展。现有的研究多基于优化的思路来反演糙率，且臀遍存在三个问题： 优化殷演方法过于依赖初值的选择，容易陷入局部最优；反演的结果本身不含对 簸瓣译徐，对爱演参数爱往簿豹全弱努毒壤率笼法获羟；没露慰溅筵熬簸爨毒震 进行研究，因而不能对实际河网的水文站优化设置提出合理化建议。 本文对从糙率反演计算到反消解检验的整个流程进行了研究，形成了基于 瓤器学习戆涎弼麓搴反演较完整攥絮。本文完残戆主要工穆懿下： 1 、基于机器学羽的思想，通过数据挖掘的乎段，提出了一种新的河湖糙率 直接反演方法。这种方法继承了传统直接反演方法的理念，引进了人工智能技 术豹掰滋震，弱专枣缀潮终懿黑麓代蓉了复杂熬系统遂舞辑，霹潋一次羧菠演整 个河网所有河段的糙率。经过多个算例的计算，证明了这种方法具有较高的计 算精度，能够满足工程实际需要。 2 、捷窭了一穆耨瓣穰强潺潮审多数鬣溅懿鹣簿穿舞滋溅篷反演掰骞滔遂糙 率的数据采集技术羊反演技术。计算表明只要究分利用对河道糙率的先骏信息， 可以用少量观测点的时序列观测饿反演整个河网所有河段的糙率。同时对河瞬 孛震溅赢静合理数爨窝毒设谴餮遴行了研究，为湾闲工程农交灞蛞豹蠢麓往纯 提供了科学依据。 3 、弓l 进一种g a - r b f 方法进幸亍糙率反演。与传统的b p 方法相比。具有更 抉熬诤舞速度帮穰囊戆计算精度；与经典r b f 嬲络稳范，这秘方法能结会辘入 输出信息自动确定网络的合理拓扑结构，进行浆类计算。在基于空间序列观测 值的糙率反演中，套很好的计算性能。 4 、考虑到爱鞫鬏求解掰匿蠢豹不逶定毪，弓| 迸了b a y e s i a n 方法送纷耧率 反演，这种方法可以作为反演结果的有效检验簪段。该方法不是得到确定的反 演值，蕊是得到待殿演参数的后骏概率密度函数。通过对糙率后验分布的分析， 能壹残豹得到反演翘怒多解性和解的最往往羯叛，实现了辩爱演结果豹嚷一性 和最优性检验，从而构建起完整的河网糙率反演问题的解决框架。 5 、b a y e s i a n 方法能实现对解分布情况的检验很大程度上取决于它的遍历 性，所以计算时间过长是它的缺点。将机器学习引入似然函数的计算中，用b p 神经网络训练代替大量重复的正演，提出一种新的b p b a y e s i a n 方法，大大提 高了计算效率。 6 、通过一个工程算例，验证了将基于机器学习的河网糙率直接反演方法应 用于复杂大型河网糙率反演的可行性。 关键词：河网，糙率反演，直接反演方法，机器学习，数据挖掘，b p 神经网络。 g a - r b f 方法，b p - b a y e s i a n 方法，后验分布 i n v e r s i o no fr o u g h n e s sp a r a m e t e ro fr i v e r n e t w o r kb a s e do nm a c h i n el e a r n i n g a b s t r a c t h y d r a u l i ct e c h n o l o g yh a s b e e nm a t u r es i n c e1 9 7 0 s ，b u tp a r a m e t e ri nc a l c u l a t i o n , s u c ha sr o u g h n e s sp a r a m e t e ri sh a r dt od e f i n ea u t o m a t i c a l l yi np r o j e c t ，s ot h a t a u t o m a t i ci n v e r s i o no fr o u g h n e s sp a r a m e t e rd e m a n d sp r o m p ts o l u t i o n p r e s e n t r e s e a r c hi sm a i n l yb a s e d0 1 1o p t i m i z a t i o nm e t h o da n dt h e r ee x i s tt h r e ep r o b l e m s ： c o n v e n t i o n a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d se a s i l yg e t ss t u c ka tal o c 擅do p t i m u m ；l a c k i n go f r e s e a r c ho no p t i m a ll a y o u to f o b s e r v es t a t i o n sa n dl a c k i n go f i n v e r s i o no f r o u g h n e s s p a r a m e t e ri nr i v e rn e t w o r kt h r o u g ht h et i m es e q u e n c eo b s e r v a t i o n so nf e wh y d r o l o g y s t a t i o n s ；l a c k i n go ft e s to fi n v e r s i o ns o l u t i o na n de v a l u a t i o no nu n i q u e n e s sa n d o p t i m i z a t i o n 弛ea u t h o rc i o m p l e t e daw h o l ef r a m e w o r ko f i n v e r s i o no f r o u g h n e s sp a r a m e t e ri n f i v e rn e t w o r kb a s e do nm a c h i n el e a r n i n ga f t e rr e s e a r c h i n g0 1 1t h ew h o l ep r o c e s s f r o mt h ec a l c u l a t i o no fr o u 露- l n e s si n v e r s i o nt ot h et e s to fi n v 饿i o ns o l u t i o n t h e a c h i e v e r n e n t so f t h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 an e wd i r e c ti n v e r s i o no f r o u g h n e s sp a r a m e t e ri nr i v e rn e t w o r ki sp r o p o s e db y m e a n so f d a t am i n i n gb a s e do nm a c h i n el e a r n i n gt h e e r y i tc a ni n v e r s er o u g h n e s s p a r a m e t e r so fa ut h ec h a n n e l si nt h ew h o l er i v e rn e t w o r ks i n c ei ti n h e r i t e dt h e t r a d i t i o n a li d e ao fd i r e c ti n v e r s i o na n di si n t r o d u c e di n t ot h el a t e s td e v e l o p m e n t o f a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e t h r o u g haf e wc a l c u l a t i o n s ，i ti sf u m e do u tt ob eh i g h l y a c c u r a c yt om e e tt h ea c t u a ld e m a n do f p r o j e c t 2 t h ed i s s e r t a t i o ne x p l o r e dt h et e c h n i q u e so fd a t ec o l l e c t i n ga n di n v e r s i o no f l o u g h n e s sp a r a m e t e ri na l lt h ec h a n n e l sb yu s i n gt h e t i m es e q u e n c eo b s e r v a t i o n s o nf e wo b s e l v es t a t i o n si nt h ef i v e rn e t w o r k 。t h ec a l c u l a t i o ns h o w e dt h a tt i m e s e q u e n c eo b s e r v a t i o n so nf e wo b s e r v a t i o np o i n t s c a l lb eu s e dt oi n v e r s et h e r o u g h n e s sp a r a m e t e r so fa l lt h ec h a n n e l so n l yb yf u l lu t i l i z a t i o no f 两o r i n f o r m a t i o n m e a n w h i l e ，r e a s o n a b l eq u a n t i t i e sa n di n s t a l l a t i o n p o s i t i o n o f 3 。 a b s t r a e t o b s e r v a t i o np o i n t sw e r es t u d i e df o rp l a c e m e n to p t i m i z a t i o no fh y d r o l o g i c a l s t a t i o n si nt h ef i v e rn e t w o r ke n g i n e e r i n g 3 i ti n 协o d u c e dan e wg a r b fm e t h o do fi n v e r s i o no fr o u g h i l e s sp a r a m e t e r c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lb pm e t h o d ，t h e f l e wm e t h o di so ff a s t e r c a l c u l a t i n gv e l o c i t ya n dh i g h l yc a l c u l a t i n ga c c u r a c y c o m p a r e dw i t h c l a s s i cr b f n e t w o r k , i td e t e r m i n e st h er e a s o n a b l et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h en 蜘v o r k a u t o m a t i c a l l yw i t hi n p u ta n do u t p u ti n f o r m a t i o n 4 c o n s i d e r i n g t h ei n h e r e n t i l l - p o s e dc h a r a c t e r i s t i c s ，b a y e s i a n m e t h o dw a s i n t r o d u c e di ni n v e r s i o ni no r d e rt ot e s tt h er e s u l to fi n v e r s i o ne f f e c t i v e l y i t c a n n o to b t a i nd e t e r m i n e di n v e r s e dv a l u eb u tap o s t e r i o rp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n o fa w a i t i n gi n v e r s i o np a r a m e t e rb yu s i n gt h i sm e t h o d m u l t i p l i c i t yo fi n v e r s i o n a n do p t i m a l i t yj u d g m e n to f $ o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e dt h r o u g ht h ea n a l y s i so f h i s t o g r a m so fp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no ft o u g h n e s sp a r a m e t e r s o a st ot e s t u n i q u e n e s sa n do p t i m a l i t yo f i n v e r s i o nr e s u l t 5 b yu s i n gb a y e s i a nm e t h o d ，i tr e a l i z e dt h et e s to nv e r i f y i n gs p r e a do fs o l m i n n d e p e n d e do nt h ee r g o d i e i t yo fb a y e s i a nm e t h o d , w i mt h ed i s a d v a n t a g eo fl o n g c o m p u t i n gt i m e t h ek e yp o i n to fc a l c u l a t i n gs p e e di sd e t e c t e dt h r o u g ha n a l y s i s o fc a l c u l a t i o nt i m es t r u c t u r e t h em a c h i n el e a r n i n gi si n t r o d u c e di n t h e c a l c u l a t i o no fl i k e h o o df u n c t i o na n dt h ea n ns u b s t i t u t e dp l e n t yo fr e p e t i t i v e f o r w a r dm o d e l i n g s s oa st oo p t i m i z et h et r a d i t i o n a lb a y e s i a nm e t h o da n d i n c r e a s et h ee f f i c i e n c yo f c a l c u l a t i o n 6 c a s es t u d ys h o w st h a tt h ea p p l i c a t i o no f t h en e wd i r e c ti n v e r s i o nm e t h o db a s e d o nm a c h i n el e a r n i n gt oi n v e r s er o u g h n e s sp a r a m e t e ro fc o m p l i c a t e dr i v e r n e t w o r ki sf e 勰i b l e k e y w o r d s ：r i v e m e t w o r k ，i n v e r s i o no fr o u g h n e s sp a r a m e t e r , d i r e c t l yi n v e r s i o n m e t h o d ，m a c h i n el e a r n i n g ，d a t am i n i n g ，b pn n ，g a - r b fm e t h o d ，b p - b a y e s i a n m e t h o d ，p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n - 4 第一章绪论 河网糙率反演是工程水力学反问题中备受工程界关注的热点子课题，而反 问题的研究更是学术界近三十年来发展最快的研究领域之一。本章将在反问题 研究的文献综述基础上提出本文研究内容。 1 1 反问题的背景 近二十多年来，在众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求驱动下，数 学物理反问题研究已经成为发展和成长最快的一个研究领域。反问题是一个具 有普遍意义的概念。对于函数，有反函数：对于矩阵，有逆矩阵。从更一般的 观点来看，系统的数学模型相当于一个由输入映射到输出的算子。所谓反问题 的求解是指能实现从的输出到输入逆映射关系的做法。 反问题的研究已有很长的历史，本世纪初就提出过“瞎子听鼓”问题，即由 鼓的声音来判断它的形状，这实际上是一个振动系统的反问题。而固有值的反 问题，从2 0 年代开始就有人研究过，但由于在应用上没有重大突破，故无论是 在数学界还是在工程界长时间未引起足够重视。近4 0 年来科学技术的飞速发展 改变了这种状态。 1 、传统的数学手段总力图用一些熟知的初等函数及有限的几类特殊函数来 表达出各类复杂的偏微分方程解。事实上一进入变系数方程，即已非常困难。 若再加上非线性，就几乎无能为力了。而计算机、仿真技术及计算方法的飞速 发展，使得在许多应用领域内，求解正问题已不困难。即使对一些非线性、时 变或间断系数的微分方程，尽管解的适定性尚不清楚，也可通过大量数值求解 及图形定性显示来进行分析。 2 、传感器与测量技术的飞速进步，使得许多由方程解所描述的物理量在某 些区域可以实时地、足够精确地测量出来。加上物理模拟与数值计算，就可以将 正问题的分析与求解，通过实验与仿真解决。但恰恰是方程中常被当作已知的物 理参量，如弹性模量、导热系数等，却很难实时、实地精确测量。 塑垩查兰堡主兰竺丝苎董= 垫墅兰翌塑翌堕塑垩垦堡 反问题正是基于上述情况而日益引起人们的重视。特别是1 9 7 9 年反问题成果 应用于医学上的c t 技术获得诺贝尔奖以后，更是在国际上掀起了研究反问题的 高潮。 1 2 反问题的概念 r 到模型阻 ij 已知输入和模型，求输出，称为正问题( d i r e c t p r o b l e n a ) 。已知输出，求输 入或者模型，称为反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 。求解反问题，称为反演( i n v e r s i o n ) 。 按照系统控制论的描述，所谓反问题就是系统辨识问题( i d e n t i f i e a t i o n p r o b l e m ) ，在正问题中，已知系统的输入，求解系统的输出，在反问题中，已 知系统的输出或者部分输出，求解对应的系统输入。将正问题的输出当作反问 题的输入，通过系统的逆系统得到输出，这个输出就是正问题的输入。由此反 问题的求解，就是逆系统的辨识。如果输出不是实测出来的，而是人们希望的， 那么这类反问题则称为设计问题( d e s i g np r o b l e m ) 。若在所求模型中或输入中有 些部分可以由人们随时操纵其变化，则这类设计问题称为控制问题( c o n t r o l p r o b l e m ) 。辨识、设计与控制都属于反问题范畴。正因如此，尽管从应用上看， 辨识用于认识，设计与控制用于改造，它们有所不同。但从理论上看，它们抽 象成数学问题以后，却常常是一致的。因而许多现代控制理论的优秀成果也可 用于解决辨识问题。 系统逆模型辨识示意图如下所示： 逆输出 图1 1 系统辨识示意图 2 第章绪论 1 3 反问题的数学表达 m ，絮厂 艇d ( 1 1 ) m ( u ，q ) = g ， 工b d 、 q 是系统的状态变量，“，厂，g 均是x 的函数；u 是系统中与介质特性有关的 物理参量；l 是作用在d 上的微分算子，m 是作用在边界某些光滑片上的微分 算子，作为系统的输入，是工d 的函数，g 作为边界上的输入是x b d 的 函数。 任给u ，f ，g a a d ( 容许函数集合) ，代入上述两个方程都存在某种意义下 与物理背景符合的广义解，这个求解过程称为解正问题。我们总假定正问题的 定性理论和算法均已解决，这时就可以提出反问题。没有正问题的定性和定量 的研究基础，提反问题是没有意义的。因此只要u 9 厂，g 已知，则q 全部可知。 实际问题中，“，厂，g 的分量常常很难全部得知；而另一方面却有可能在d 的某 个子集上，实测得到解q 的某些信息即： n ( u ，q ) = 后( 曲 x d ( 1 2 ) 这里表示“与q 的微分算子。如何利用方程( 1 2 ) 确定出 ，厂，g 中的未知 分量，使得式( 1 1 ) 完全定解，这就是一般反问题的数学提法。 1 4 反问题的求解难点和要点 归纳起来，反问题求解有两个难点： 1 、正问题研究早已进八非线性领域，而反问题，即使是线性正问题的反演， 至今尚没有系统的理论和算法。这是因为大量的反问题本身就是非线性的( 即使 正问题是线性的) 。更由于它的不适定性，不像适定问题那样在解的存在性、唯 一性、稳定性方面有较好的性质。因此求解反问题要比正问题困难的多。其解的 定义尚须探讨，故还未形成具有普遍意义的计算软件。 2 、求解的计算量问题。由于涉及到滤噪与稳定性等要求，故许多反问题的 浙江大学博士学位论文基于机器学习的河网糙率反演 解都借助于某种泛函的极值来定义。如果系统的正问题的求解方法与程序均已具 备，则在某种意义下说，求反问题的解原则上都是可以解决的。困为未知函数的 求解，在计算机上总是化为有限个数( 设为n ) 的求解问题只要这些数有界( 实际 中总是有界的) ，将这个有界区域分成m 段，则我们最多解m “次正问题，从中选 出最理想的解来即可。然而只要n 与m 不小于1 0 ( 这时精度仅为1 0 ，在许多实际 问题中这个精度仍是不够的) ，其计算量便是惊人的。 针对这两个难点，合理求解反问题中的必须掌握的要素是： 1 、从观测值中选择适当的观测值作为反演计算中采用的数值 选择适当观测值不一定指所有选择出的单一类别的观测值，还要考虑所用 观测值的取值范围、取值密度等。 2 、选择合适的计算模型 一个合适的典型模型被定义为：能简单地给出所要反演的对象的表述。 3 、应用合适的计算方法 反演计算过程是否快速、收敛并得到精确的结果，除了给定适当的模型参 数初值外，主要还取决于所用的计算方法。针对不同的问题选择适当的计算方 法，并且在计算过程中的不同阶段不断调整、修改所用的计算方法。 4 、减少解不唯一性的影响 反演计算结果的可靠性是反演方法的生命，对于强烈非线性的存在，反演 问题必然存在解不唯一性，严重影响到计算结果的可靠性。应特别强调的是， 可靠性不仅要满足反演过程中推算出的数值和观测数值之间的拟合，更主要指 的是得到的值在数值模型中的合理性。 1 5 工程水力学反问题的分类 金忠青( 1 9 8 9 ) 提出对传统的概念应予拓宽，并认为正问题的实质是对系统 的预测，而反问题的实质是对系统的控制。凡可以实现对系统的控制，达到预定 目标的手段，均可以构成一类反问题。按照这一概念考察偏微分方程的控制系统， 求解正问题时必须为已知的确定因素为：控制方程中各项的形式及其系数，区域 q 及边界r ，边界条件的类型和参数以及初始条件。与此对应，对于工程水力学 4 第一章绪论 褊微分方程控翻戆系统，蔽润题大致霹馥分为参数反翊题、源矮爱润题、逑赛条 件反问题、初始条件反问鼷以及形状反问题。在工程水力学领域，除偏微分方程 的系统之外，还有常微分方程的系统以及一些代数方程形式的经验公式的系统。 对于这些系统，也可以提出相应的反问题( 李光炽，2 0 0 1 ) 。 l 、参数反问题：参数反问题怒最经典的一类反问题，可以陈述为：由控制 方程绘出戆缕掏妒和东客嚣域及边器上豹部分信惑或完整鼹售惑寒确定方程戆 个或多个或全部系数的问题。控制方程中的系数常常袭征介质的某种性质， 因而求解参数控制反问题的目标通常是推求介质的特性参数，筑褥推求介质的 种类。 2 、源项反问题：已知控制方程中源( 汇) 项以外各项( 包括其结构和系数) ， 在区域 鞠边界) 确定的情况下，摄据妒、丸在嚣域和边上的部分信息或孝完 整的信息来确定方程的源项，即为源项反问题。 3 、边界条件反闯题：已知控制方程各项的结构和系数，对确定的区域和边 晃，根据妒霹盛在区域和边界上约部分信息或完攘静信息来确定稠应的边界条 件的类型或参数，即为边界反问题。边界条件的类型或参数取决予边界的现状， 也取决予边赛的材料。透丽选择逸秀耪辩的反惩戆往往也可戳弱纳为边羚条俘 反问题。 4 、初始条件反问题：已知控制方程各项的结构和系数，对确定的区域和边 界，根据边界条件和t = f 时刻的变量的分布推求t z o 时刻变量蠹骞分布，露隽初 始条件反问题。初始条件反问题的求解目标是反演历史，是预测的逆过程。 5 、形状反闯遂：已知控制方程各项的结构和系数，对于已知边界r t 和未 知边秀f ：( f = r + 壬：) 艨界定熬不确定区域，援摇在区域透赛上豹部分售惑 或完整的信息确定r ，即为形状反问题。形状反问题有可以大致分为以下四类： 1 ) 选形，即在几种允许的形状之中选择最优者；2 ) 定位，即对已知形状的物 铬，确定冀在奔葳孛豹爱睡往置叛满足菜种要求；3 ) 形状谖巍，帮已知逡赛f ； 可达，其上的或霰可测，未知边爨f 2 不可达办不可测，欲由f ；上的信息确定 浙江大学博士学位论文 基于机器学习的河网糙率反演 r ：4 ) 自由边界问题，即r l 为已知边界，r ：为未知边界，r ：上除应满足适定 边界条件之外还必须满足附加边界条件，后者恰为确定r ：的条件。 6 、其他类型反问题：上述反问题分类的前提是系统控制方程为兼含时间导 数和空间导数的偏微分方程。袭用控制论的术语，这类系统可称为分布参数系 统。工程水力学研究的系统多为分布参数系统，但也有一些问题，其控制方程 可表达为仅含时间导数的常微分方程。这类系统在控制论中称为集中参数系统。 还有一些工程水力学问题，迄今尚未得到精确的微分方程形式的控制方程，只 有根据实验资料整理得到的经验公式，经过充分验证，也可以作为系统控制方 程，可将这类系统称为经验参数系统。根据系统控制方程的类型可将工程水力 学反问题分为三类：分布参数系统反问题、集中参数系统反问题和经验参数系 统反问题。 归纳起来，工程水力学反问题分类如下图所示： i 按系羹薹；雾的i 按控制目标分类i 按控制手段分类i 按具体问题分类i 广参数反问题 源项反问题 厂动力反问题 边界条件反问愿广 选形 厂分布参数系统反问题l 初始条件反问题l 定位 工程水力学反问愿i集中参数系统反问题l 几何反问题l 形状控制反目愿1 形状识别 l 经验参数系统反问题 l 自由边界目题 图1 3 工程水力学反问题分类图 1 6 工程水力学反问题的求解方法 工程水力学反问题涉及诸多领域，是带有边缘学科性质的综合性研究课题。 就目前发展状况而言，求解方法远未成熟，主要表现在两个方面：1 ) 关于反问 题解的存在性、唯一性和稳定性问题，迄今数学上尚未给出一般的证明，这必 然影响到一般( 通用) 求解方法的建立；2 ) 对某一类问题适用的方法未必能推 广应用于另一类问题，对特定的问题往往必须寻求特定求解方法。以下是几种 常用的、应用范围比较广泛的求解方法。 6 第一章绪论 l 、直接法 直接法是将参数作为因变量，通过直接求解数理方程问题得到解的解析表 达式，这种解称为解析解或精确解。直接法在工程水力学反问题的求解中最早 被应用，是最古老的一种求解反问题的方法。目前解析法主要有：分离变量法、 积分变化法、g r e 圮 n 函数法、b o l t z m a n n 变换等。 对于可逆的一般非线性系统，要得到解析实现形式的反演求解，必须做到 以下四点： ( 1 ) 已知非线性系统的精确数学模型和具体内部信息。例如对用状态方程描 述的多输入多输出系统，要已知的具体表达和内部参数。 ( 2 ) 非线性系统可逆，即可求出向量相对阶。 ( 3 ) 利用隐函数存在定理可以求解出逆系统的解析显式表达式。 ( 4 ) 在构造逆系统的解析实现时，能得到原系统的状态。 但对于实际的工程水力学问题，以上四点尤其是第一和第三项往往很难得 到满足。这是因为： ( 1 ) 工程水力学过程往往呈现很强的非线性或耦合性，并且千差万别、错综 复杂，难以用精确的解析表达式进行描述。在实际应用中，很多现象往往采用 经验公式来描述。 ( 2 ) 即使建立起非线性系统的精确数学模型，在大多数情况下，具体求解逆 系统常常是相当困难的，即使利用许多求解的技巧，仍会有大量的逆系统的解 析解虽然存在( 根据隐函数定理存在) 逆系统但难以求解。 ( 3 ) 即使能求出逆系统的解析解，某些系统的内部状态仅是部分可测，如采 用非线性观测器可能给系统的性能带来较大的负面影响。 以上所述的种种不利因素给直接法求解工程水力学反问题带来很多难以解 决的困难。这表明，通过解析求解并构造逆系统的方法虽然在理论上是可行的， 但在具体实现过程中存在很多实际的困难。只有寻找一种新的方法来突破传统 的解析逆系统的瓶颈，才能使解析反演方法真正实用起来。 利用直接法来反演参数得到的结果精确，但需要知道整个空间域与时间域 的导数信息，计算条件苛刻，所以实际应用较少，只适合在线性系统的参数反 演与计算要求简单的过程。 浙江大学博士学位论文 基于机器学习的河网糙率反演 本文基于机器学习的思想，用智能计算技术形成一个“黑箱”，代替复杂 的解析逆系统，从而发展了一种新的直接法。 2 、试错法 试错法几乎是自然科学各领域的普适方法。对于工程水力学中的各类反问 题，首先赋之以预测值，将反问题转化为正问题，求解正问题，将正问题的解 回代入目标方程，检查目标值是否得到满足。若不满足则修改未知量的预测值， 并重新解正问题，如此循环，直到达到要求。此时的猜测值即为反问题的解答。 尝试法的实质是把反问题的求解过程转化成一系列求解正问题的迭代过程。目 前各类水力计算基本都采用尝试法。尝试法概念简单，沿用已久。缺点是费时 而且经验性很强。 3 、控制论方法 在控制领域，反问题的求解被称为系统辨识。系统辨识有两种方法，一类 是参数模型辨识方法，即先假定一种模型结构，通过极小化模型的误差准则函 数来确定模型的参数。一类是非参数模型辨识方法，在假定线性的前提下，不 必事先确定模型的具体结构。由于工程实践中多要求在线辨识、实时辨识，所 以非线性系统辨识很少应用，多转化为线性系统后进行辨识。 4 、脉冲谱法 脉冲谱法由d s t s i c n 和y m c h c n 于7 0 年代在解决流体力学理想速度反问 题( 一维线性波动方程的参数反问题) 时引入，是一种求偏微分方程算子中未 知系数的一种有效方法。它的大致流程是：为了识别某一系统的参数，向该系 统发射某种信号，信号通过系统传播出去，或者被系统界面反射。设置接收设 备接收这些经过传播或反射的信号，用数学方法分析这些信号，求得待求参数。 p s t 方法有如下特点：适应性广，既可应用于双曲型方程，又可应用于 抛物线方程；既可以应用于线性方程，有可应用于某些非线性方程；既可应用 于一维方程，又可以应用于二维甚至某些三维方程。关于解函数的附加条件 ( 解反问题的补充信息) 容易获得。缺点是只可用于参数控制反问题。 5 、摄动法 摄动法起源于天体力学，摄动( p e r t u r b a t i o n ) 是天文学名词，是指一般的 小扰动或影响某一现象的微小因素。早期在行星轨道的研究中，常遇到含小参 第一章绪论 数的非线性微分方程，用小参数s 的幂级数来表达解，可以正确的描述天文现 象，然而这些级数通常是发散的。p o i n c a r e 在天体力学的新方法中，严格 证明了这些级数是一种“渐近级数”，即虽然它的部分和当聍- 9 o o 时级数发散， 当它的前几项之和当h 充分小时，可任意接近原问题的解，因此能精确表达自 然现象。从此摄动法被广泛应用。 设含有小参数的微分方程定解问题只： ：嬲嚣耻 m s ， 【芝陋】- 矿( x ，占) 在r 或r 。上 ”“7 其中0 s 1 ，可以包含在方程或定解条件中。根据摄动理论，可将方程 的解屯( x ) 写为譬的幂级数表达式： 丸( x ) a 纯( x ) + 4 ( 8 m ( x ) i = 1 并且在区域q 中一致有效，则称只为区域q 中的正则摄动问题，否则称为 奇异摄动问题。 j 只要能找到渐近近似式，将已知的屯或允的资料代入式便可得到一组关 o n 于f 的方程，据此可以解出方程或边界条件中的小参数g 。所以，摄动法可以 用于求解小参数的参数反问题和边界条件反问题。 方程摄动法的优点是能给出足够正确的解的解析结构，其结果常能用来进 行物理问题的定性且近似定量的讨论。它的优点是数值解所达不到的；它的缺 点是只适用于小参数的情况，对水力学反问题来说，只宜用来求解小量级参数 的参数反问题和边界条件反问题。 6 、最优化方法 最优化方法有悠久的历史，早在1 8 4 7 年c a u c h y 就提出了最速下降法，但 因为最速下降法收敛的比较慢，这种方法对参数很多的问题常常不适用。随着 机器计算能力的发展，这种方法取得了很大的进展。 最优化方法是基于计算值与观测值的接近程度的迭代寻优过程，通过构建 残差方程，在迭代中如果残差值低于事先给定的标准，或者前后步迭代值之差 小于事先给定的标准，则认为参数是合理的，否则就要对参数进行调整并重新 9 浙江大学博士学位论文基于机器学习的河网糙率反演 评价。这种方法概念明确，思路清晰，被广泛采用于非线性复杂系统的反演中。 普遍采用的参数识别定义目标函数分为两种，即最小二乘法( l e a s ts q u a r e e s t i m a t o r ，l s e ) 和最大似然法( m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r , m l e ) 。假设系 统在时刻的因变量观测值为y ，计算值为y ( o ) ，基于最小二乘法和最大似然法 的目标函数分别可以定义为： l s e = 眇一y ( ) 7 一y ( 例 ( 1 5 ) 尬e = 赤玎唧 一气笋) n 6 ， 其中口为待识别的参数，0 = ( 县，岛，巳) ，仃为样本方差，m 为待识别 的参数个数，y 为输出。这样参数识别就转化称为约束优化问题。通过指定的 算法在参数空间自动搜索，并按照一定的规则来识别较优或最优参数。 7 、广义逆方法 广义逆理论是矩阵论近年来的新成就之一。早在1 9 2 0 年，m o o r e 就提出了 奇异矩阵的逆问题，从而建立了广义逆矩阵的概念。1 9 3 5 年他又对广义逆概念 进行了重新讨论。1 9 5 5 年p e n r o s e 也提出了一个与前者等价的广义逆矩阵的概 念，现在被称为m o o r e p e n r o s e 广义逆。 广义逆求解糙率的基本步骤是将正问题线性化，由此列出线性方程组并采 用广义逆算法迭代求解，从而得到模型参数。 1 7 河网糙率反问题 1 7 1 糙率的重要性 糙率是衡量流动时边壁粗糙影响的一个综合性系数，它反映了流动时流体 受到的外界阻挠程度，是一个无量纲的值。在管道流动和明渠流动的水力学计 算中，它的影响无处不在。在简化计算的曼宁公式中和度量更精细的圣维南方 程组中，所有的变量里唯独糙率既无公式可以计算，也无工具可以量测。 糙率可以通过查表的方法来获取，如表1 1 所示： 表1 1 糙率表节选 1 0 第一章绪论 管渠类别糙率管渠类别糙率 石棉水泥管、钢管 0 0 1 2 浆砌砖渠道 0 0 1 5 木槽 o 0 1 2 - - 0 0 1 4 浆砌块石渠道 0 0 1 7 陶土管、铸铁管 0 0 1 3 干砌块石渠道 o 0 2 0 - 4 ) 0 2 5 混凝土管、 土明渠( 包括带草皮) o 0 2 5 d 0 3 0 钢筋混凝土管 o 0 1 3 旬0 1 4 水泥砂浆抹面渠道 条件很坏的渠道和小 条件特别坏的渠道和小 河，断面不规则，严重 河( 沿河有崩崖的巨石、 0 0 4 0 地受到石块和水草的 0 0 3 5 绵密的树根、深潭、坍 阻塞等 岸等) ( 摘自给水排水标准规范实旃手册中国建筑工业出版社p 3 2 2 ) 虽然有明确的糙率表可查，然而在实际应用中，很多的管渠类别不容易界 定，而且某些管渠类别只能给出一个糙率取值范围。由于糙率是很小的值，而 水力学计算公式中糙率都是以倒数形式出现。规范中疗的取值范围是 1 【o 0 9 ，0 0 4 0 l ，所对应的二的取值范围是【2 5 0 ，1 1 1 1 】。由此可见如果糙率值的选 咒 择有微小的偏差，会使计算的误差变得很大。特别在多个管渠相连的河( 管) 网计算中，需要同时确定多个准确的糙率值，才能保证计算结果与实际测量情 况的吻合，这样的工作无疑是非常精细而繁重的。 蚤 确定糙率更常用的方法，是通过管渠流动的一些观测值来推定。通常的做 法是试错法，即先根据河道情况，在糙率区间内假定一组糙率后进行模拟计算， 将计算值与观测值比较，根据两者的差异，判断糙率改变的方向和大小，如此 往复，直到达到要求为止。这个工作的实质是知道某些观测值，反过来推求参 数值。这样的问题可以归到反问题的范畴。 1 7 2 糙率反演的难点 如前所述，在水力计算中糙率值7 1 是一个重要的变量。能否准确给出河道 的疗值对计算结果影响很大，从而直接关系到河道及相关设施设计、运行中的 安全性和经济性。河道糙率与很多因素有关，而影响糙率的因素又比较复杂， 用经验来确定往往不够准确；河网是由多个河段组成的河道网络，每一个河段 的糙率值各不相同，糙率的可能组合非常多；河网计算中的控制方程：圣维南 浙江大学博士学位论文基于机器学习的河嘲糙率反演 方程是联立的非线性偏微分方程组，解析求解很困难，通常采用差分方法数值 离散后进行数值求解，所以疗的解析表达也很难从方程组中直接求得。因此只 有通过河道的实测水文资料来反演n 值。 常用的试错法先假定一个疗值进行水流模拟计算，根据计算结果与实测值 的差异程度人工判断是否要调整，一直到计算结果与实测值充分接近。这种方 法具有很大的盲目性，尤其在河网计算中调试工作量很大。而河道流动情况改 变( 如发生洪水) 之后河道糙率也会随之变化，需要经常更新。对这种需要经 常重复的大计算量工作展开研究很有必要。 1 7 3 糙率反演方法研究现状 糙率自动反演是计算水力学中一个很受工程界关注的子课题，所以国内外 学者做了很多研究。国外的学者做的工作大致可以归纳如下： b e c k e r 和y 曲( 1 9 7 2 ，1 9 7 3 ) 基于误差平方和最小化进行糙率反演，在寻 优过程中将问题线性化，然后采用影响系数法求解。 w i g g e r te ta 1 ( 1 9 7 6 ) 采用共轭梯度优化方法反演糙率，收敛准则函数采用 水位和流量的计算值与目标值之差绝对值总和。 f r e a dd l 和s m i t h , g e ( 1 9 7 8 ) 也基于最小化误差进行参数反演，采用修正 的n e w t o n - r a p h s o n 方法确定优化方向。但在优化过程中要先把河网分成单个河 段，然后分别对单个河道进行校正。 w o r m l e a t o n 和k a r m c g a m ( 1 9 8 4 ) 采用影响系数算法和非线性最小二乘算 法反演糙率，目标函数采用水深和流量的相对误差。 w a s a n t h al a l ( 1 9 9 5 ) 采用奇异值分解方法反演糙率，并提出河网糙率分辨 率的概念。 k h a t i b ie ta 1 ( 1 9 9 7 ) 采用非线性最小平方算法的修正g a u s s - n e w t o n 优化方法 反演糙率，并讨论了三种准则函数，还研究了观测样本中包含的高斯噪音对糙率 反演值的影响。 g e n a d i i 九a t a n o ve ta 1 ( 1 9 9 9 ) 采用待定l a g r a n g i a n 乘子变分法反演计算梯 形明渠糙率，该方法通常用于空气动力学研究。通过采用待定l a g r a n g i a n 乘子， 将所有的初始条件及最小误差平方和准则都整合到下式中： 第一章绪论 3 = r ( ( z 。( ，f ) 一z ( 毛，f ) ) 2 + ( 乙( ，f ) 一z ( ，r ) ) 2 ) + r e ( 嘎厶+ 厶p 鼢( 1 7 ) 冢丽f 一百高万一 如果以是真值，则，的一阶变分应为0 ，且第一部分和第二部分都为0 。而第 二部分关于拧求导得到： l = r “紫( z 一石( 丑压h 卜 s ， 当l = 0 时，押得到最优解。可以采用以下的迭代关系式来得到打。 行“1 = 疗一口c( 1 9 ) 但本方法只可应用于梯形断面河段。 r a m e s he ta 1 ( 2 0 0 0 ) 采用连续二次规划方法反演糙率。 d i n gy ，j i ae ta 1 ( 2 0 0 4 ) 在浅水河道中应用有限记忆准牛顿法反演糙率。 国内学者在这个领域也做了一些工作