2004年全国初中数学联赛试题及答案(修正版).doc

2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一选择题1已知abc0，且abc0, 则代数式 的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 2已知p,q均为质数，且满足5p23q59，则以p3,1pq,2pq4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3 一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 4过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5已知b24ac是一元二次方程ax2bxc0(a0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）(A) ab (B) ab (C) ab (D) ab6如图，在23矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二填空题1计算 .NABCDP2如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则 .3实数a,b满足a3b33ab1，则ab . 4设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m .第二试一、 已知方程x26x4n232n0的根都是整数，求整数n的值。二、已知如图，梯形ABCD中，ADBC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EPl于P，FQl于QlGBCHFAEPQMD求证：EPFQ三、 已知点A(0,3)，B(2,1)，C(2,1) P(t,t2)为抛物线yx2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。参 考 答 案一、1. A 原式()()()3 2. B因为5p23q为奇数，故p、q必为一奇一偶，而p、q均为质数，故p、q中有一个为2.若q2，则p，不合题意，舍去若p2，则q13，此时p35，1pq12，2pq413因为52122132，所以，以5、12、13为边长的三角形为直角三角形ABCD3. B如图，设ABC中，ABACa，BCb，D是AB上的一点，有ADb，因为ab，故A是ABC的最小角，记A，则以b、b、a为三边的三角形的最小角也为，从而此三角形与ADC全等.所以DCb，ACD，又ABCCBD，于是 ，即 令x，得方程x2x10. 解得x4. C设满足条件的直线l：ykxb，因为P (1,3)在直线l上，所以3kb，故bk3，因此l为：ykxk3. l与两坐标轴的交点分别为A ( ,0)，B (0, k3)，故l与两坐标轴围成的三角形面积为SAOB k35 ，即 (k3)210k当k0时，方程即k24k90，此时方程无实数解；当k0时，方程即k216k90，此时方程有两个实数解k8，因此，过点P（1,3）且与坐标轴围成面积为5的三角形的直线有2条5. B因为方程有实数解，所以，b24ac0，由题意，有或令u， 得方程2au2ub0或2au2ub0因为u，是其解，所以方程判别式非负，即18ab0 ，故ab6. D以格点为顶点的线段长度可取8个数值：1，2，2，3，.以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下4种情况：（1，1，）；（，2）；（2，2，2）；（，），下面按斜边长分类进行记数：（1）当斜边长为时，斜边一定是小正方形的对角线，这样的线段有12条，每条这样的线段对应着2个等腰直角三角形，共有21224个（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有10条，其中有6条在23矩形的四周上，每条这样的线段对应着1个等腰直角三角形；另外有4条在23矩形的内部，每条这样的线段对应着2个等腰直角三角形，共有62414个（3）当斜边长为2时，斜边一定是边长为2的正方形的对角线，这样的线段有4条，每条这样的线段对应着2个等腰直角三角形，共有248个（4）当斜边长为时，这样的线段有4条，每条这样的线段对应着1个等腰直角三角形，共有4个因此，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为24148450二、1. 21原式(1)()(2)()1212. 1或2设abx，由a3b33ab1易得x33abx3ab10，分解因式得：(x1) (x2x13ab) 0，所以x10或者x2x13ab0若(x2x13ab) 0，即a2b2abab10，配方得：(ab) 2(a1) 2(b1) 20，所以ab-1，此时xab-2；因此x1或-23. 17 最小的3个合数为4,6,8,46818，故17不能表示为三个互不相等的合数之和，当m18时，若m2k18，则m462(k5)；若m2k118，m492(k7)；因此，任意大于18的整数均可表示为三个互不相同的整数之和 故m17PMNABCDEF4. 如图，连接BP并延长交AD于E，连接CP并延长交AB于M，交DA的延长线于F，显然BECF，因为MA 2MPMC，MB 2MPMC，所以MAMB.又ABEBCM，则RtEABRtMBC ，故AEMB，由RtMAFRtCDF，知AFa.因为EFPBCP，所以RtFPERtCPB，FPACPN从而，有 .于是NCAF，BN 所以第二试一、解得x3. 因为方程的根都是整数，所以4n232n9是平方数，设4n232n9m2 （m0）则有(2n8m) (2n8m) 55，因为55155511(-1)(-55)(-5)(-11)分别解得n10，n0，n-18，n-8. 所以整数n的值为 -18，-8，0，10二、如图，N是AD中点，过N作NQDF交QF于Q，作NPAE交EP于P，作NSDC交BC于S，作NRAB交BC于R， 在RtPPN和RtLNR中，易知PPNLNR，又由RNABAEPN，知RtPPN RtLNR，从而PPNL，同理可证PPQQ，显然EP AN，FQ ND，又ANND，所以 EP FQ，从而EPEPPPFQQQFQ三、设AB所在直线是一次函数yaxb的图像，将A(0,3)，B(2,1)代入解得a2,b3,所以AB所在直线是一次函数y2x3的图像.该直线与抛物线yx2相交，交点横坐标解得x-1，x3同理