（光学工程专业论文）光调制器中的共面波导电极结构分析.pdf

摘要 共面波导( c p w ) 结构在微波集成电路以及光学集成电路中有着重要的应用， 尤其是近年来随着毫米波与亚毫米波技术的发展，共面波导受到了越来越多的重 视。相对于常规微带线来说，共面波导具有更多的优点，所以被广泛地应用于微 波集成电路和光波集成电路。 目前对共面波导结构的研究主要限于对称共面波导结构。实际上，由于制作 的共面波导电极很难做到对称，同时非对称共面波导与两端器件连接时有着更大 的灵活性。从理论上讲，对称共面波导可以视为非对称共面波导的特例。因此， 对非对称共面波导的研究更具有一般性。目前出现了许多共面波导的修正结构， 每一种修正结构的共面波导都有自己的c a d 模型，如果能够根据各种修正结构的 共面波导提出一种面向c a d 的统一共面波导模型，将为建立共面波导结构的c a d 软件包奠定很好的基础。 本文分析了非对称共面波导结构的特性参数，对其结构与特性参数的关系进 行了仿真，并对仿真结果的分析研究，在此基础上提出了上下屏蔽多层非对称共 面波导结构模型，得到了该模型的特性参数的解析解，在此基础上可以建立共面 波导电极结构的仿真软件包。 关键词：调制，共面波导，保角变换 a b s t r a c t c o p l a n a rw a v e g u i d e ( c p w ) w h i c hi s o r i g i n a t e df r o mm i c r o s t r i p i sa n i m p o r t a n tp l a n a rt r a n s m i s s i o n o fm i c r o w a v e w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h e m i c r o w a v ea n dm i l l i m e t e r - w a v e i n t e g r a t e dc i r c u i t ，e s p e c i a l l y m o n o l i t h i c m i c r o w a v ei n t e g r a t e dc i r c u i t ( m m i c ) a n do p t i c a li n t e g r a t e dc i r c u i t ，t h e r ei sa g r e a ti n t e r e s ti nc p wi nr e c e n ty e a r s c o m p a r e dw i t hc o n v e n t i o n a lm i c o r s t r i p ， c p wo f f e r sm o r eo b v i o u sa d v a n t a g e sa n ds oi s w i d e l yu s e di n m i c r o w a v e i n t e g r a t e dc i r c u i ta n d o p t i c a li n t e g r a t e dc i r c u i t m o s to fr e c e n tr e s e a r c h e sa r e c o n c e n t r a t i n g o n s y m m e t r i cc p w h o w e v e ri t sd i f f i c u l tt og e tt h es y m m e t r i cc p wb e c a u s eo ft h ei m p e r f e c t i o no f t h ef a b r i c a t i o n a c t u a l l y , a s y m m e t r i cc p wf a c i l i t a t et h ec o n n e c t i o no ft h e d e v i c e so nm i c r o w a v ec i r c u i tc o m p a r e dw i t hs y m m e t r i cc p wf u r t h e r m o r e ， s y m m e t r i cc p w c a nb ec o n s i d e r e da ss p e c i a lc a s e so fa s y m m e t r i cc p w s o r e s e a r c h i n gi na s y m m e t r i cc p w i so fu n i v e r s a l i t y n o wm a n yc p w sr e v i s e d s t r u c t u r e sh a v eb e e nb r o u g h tf o r w a r da n de a c ho n eh a si t so w nc a dm o d e l i t se a s yt os e tu pac p wc a ds o f t w a r ep a c kl fw eb r i n gf o r w a r dau n i f o r m c p wm o d e l a c c o r d i n gt oa l lk i n d so fc p w s t r u c t u r e s t h i sp a p e r p u t sf o r w a r dc p w s t r u c t u r e sa n d a n a l y s e s t h e i rc h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s a t t h i s f o u n d a t i o n ，t h i sp a p e rb r i n g s f o r w a r d a s y m m e t r i c u p p e r - l o w s h i e l d e dc o p l a n a rw a v e g u i d es t r u c t u r ea n df i g u r e so u ti t sr e s o l v e d r e s o l u t i o n w ec a ns e tu pau n i f o r mc p v 矿ss i m u l a t i o ns o f t w a r ep a c ka tt h i s f o u n d a t i o n k e y w o r d s ：m o d u l a t e ，c o p l a n a rw a v e g u i d e ( c p w ) ，c o n f o r m a lm a p p i n g i i 1 1 引言 第一章绪论 在现代宽带光纤通信系统中，随着传输速率的不断提高，越来越多的采用激 光外调制方式。作为外调制技术中最具潜力的高速电光调制己在光纤通信中得到 日益广泛的应用，外调制技术有高传输速率、大光功率、大消光比、没有半导体 激光器内调制产生的光频率跳变的“啁啾”现象等突出优点。 当前，电光调制器技术发展的一大热点是寻找新型光波导材料。现在适合用 于光纤通信系统的调制器材料有铌酸锂( l i n b o 。) 、砷化镓( o a a s ) 和聚合物 ( p o l y m e r ) 。砷化镓和聚合物调制器中的光波导多为带脊波导，它们与单模光纤 光连接的损耗比铌酸锂波导与单模光纤要大得多。聚合物波导调制器的长期稳定 性尚不理想。因此当前实用光纤通信系统中都选用铌酸锂调制器。另一大热点是 设计和优化实现速度匹配的新行波调制结构。2 0 世纪8 0 年代以来，行波电光调 制器己成为研究的主流，大多数以铌酸锂为衬底。这些设计的共同点在于使用一 中心驱动电极，两边为半无限长共面地电极，电极沉积在一缓冲层上，缓冲层下 为衬底。最近，人们在以铌酸锂、聚合物为衬底的光波导上集成了类似于微带式、 共面波导式的毫米波传输电路，并在较宽频带范围内实现了速度匹配。作为传输 线的行波电极制作的调制器比电极长度远小于微波波长的集总电极制作的调制 器有宽得多的调制带宽。集总电极铌酸锂调制器的调制带宽与电极长度乘积约小 于2 2 g h z c m ，而行波电极铌酸锂调制器有大于2 0 0 g h z c i i i 的调制带宽与电极 长度乘积。o c 1 9 2 s t m 一6 4 制式光纤通信系统优质光发射机中所用的1 0 g b s 铌 酸锂强度调制器的3 d b 电带宽为8 g h z 或3 d b 光带宽为1 5 g h z 。而o c 一7 6 8 s t m 一2 5 6 制式密集波分复用( d w d m ) 光纤系统光发射机中的4 0 g b s 调制器的3 d b 电带宽 应达到3 0 0 h z 。 目前使用的光外调制器主要有两种：波导型电光调制器和电场吸收型光电调 制器。波导型电光调制器调制速率高，波长的啁啾噪声理论上为零，几乎不受光 纤色散的限制，从而在国内外得到了广泛的应用。行波电光相位调制器和波导干 涉型强度调制器是波导型电光调制器的最普通的形态。行波型电光调制器限制调 制波段宽度的主要原因为光和调制信号传播速度的失配和依赖频率的调制信号 传播损耗。在铌酸锂的情况，由速度失配产生的电性波段宽度一电极长度之积为 6 5 g h z c m 。对电极长度缩短为2 5 m m 的实验而言，3 d b 调制波段宽度增加到2 2 5 g h z c m ，但另一方面，调制电压增加了，在波长1 5 6 ，m 时的成为2 6 v 。波 导干涉型强度调制器通过结构改进，在波长1 5i 彻区的光3 d b 调制波段由传统 型的96 g h z 大幅提高到4 0 g h z 和驱动电压3 6 v 。而另一类外调制器为电场吸收 型光电调制器，利用了量子束缚斯塔克效应( q c s e ) 机理，可以实现与电光调制器 相比拟甚至更高的调制速率。 在具体波导电极结构的研究方面，1 9 8 9 年，n t to p t o - e l e c t r o nic sl a b 的k a w a n o 提出为电光调制器加一屏蔽电极( s h i e l d p l a n e ) ，可较好地兼顾提高 调制带宽与降低驱动电压的需要。1 9 9 2 年，h pl a b 的d o l f i 和r a n g a n a t h 首 次提出使用窄的共面地电极可提高阻抗并降低微波折射率。本文通过研究非对称 共面波导结构的特性参数，提出了上下屏蔽多层非对称共面波导结构模型，使光 调制器的特性参数得以改善。 1 2 共面波导的研究现状 1 2 1 微波平面传输线 因为共面波导是微波平面传输线的一种，所以首先介绍微波平面传输线的 发展概括。微波平面传输线是以微带线为典型代表的。微带传输线是1 9 5 2 年 出现的，它的理论分析一开始是以h a w h e e l e 为代表提出的复变函数方法。“， 这种方法假设微带线传输准t e m 模，忽略微带线中传输波的色散效应和高次 模。随着微带线使用频率的提高，色散现象不容忽视。1 9 7 1 年，m i t t r ar 和 i t c ht 发表了用波理论分析微带线的研究成果，他们对微带线的色散特性 进行了混合模分析。波理论就是从m a x w e l l 方程出发，对传输模式不附加简 化条件的分析方法。随着微波电路的发展，微带线得到了广泛的应用，国内外 学者采用各种方法来研究微带线。有些学者采用谱域中的g a l e r k i n 方法来分 析微带线，把求解积分方程的问题转化为谱域中求解代数方程。另外，有限差 分法、直线法、边界元和奇异积分方程法等方法被用来分析包括屏蔽微带线在 内的各种微带线。近几年还出现了用小波变换方法来分析微带传输线的不连续 性。 但是在各种方法中，用来分析微带传输线最多的还是保角变换理论，采用 这种分析方法的优点是能够得到封闭解析表达式，便于建立面向c a d 的微带线 的数学模型。 微波平面传输线有多种形式，例如鳍线、槽线、悬置微带、共面波导和共 面带线等，这些传输线都是由微带线发展而来的，根据不同的用途，采用不同 的微波平面传输线。槽线、共面波导和共面带线属于共面线。所谓的共面线是 指介质基片与导电金属板在同一表面的传输线。 值得注意的是，近几年共面波导( c p w ) 受到了越来越多的重视。主要是 因为相对于常规微带线来说，共面波导用于砷化镓单片微波集成电路( g a a s 2 m m i c ) 和光学集成电路时有它的优点。对于各种两端器件，无论是有源或是无 源，都很容易实现串联或者并联连接而不必在基片上钻孔：寄生参量小；很容 易提高集成电路密度；其色散特性也好于微带线。为了提高g a a sm m i c 的机 械强度，还在c p w 介质基片的背面增加了金属接地板，这样既提高了电路的 机械强度又增大了电路的功率容量，此外还可以实现共面微带混合电路。共 面波导不仅可以应用到微波集成电路中，还可以应用到毫米波和光学集成电 路。 然而共面波导在实际微波集成电路的设计中却没有像预料的那样普及，例 如在我们国家共面波导还尚未应用到微波集成电路的设计中。其原因有以下几 方面：缺乏共面波导的测试条件和实际应用经验；相对于微带线来说，缺少成 熟的c p w 及其变型结构微波电路设计的c a d 软件：c p w 仍处在发展阶段，还有 许多变型结构的c p w 有待于研究人员在理论上去研究和总结。因此我们有必要 继续深入的研究共面波导。 122 共面波导 微波平面传输线的重要类型一共面波导( 对称结构) 是于1 9 6 9 年由 cp w e n 首先提出来的一种集成传输线，它是由介质基片上的中心导带和与中 心导带同侧的两个接地导电平面构成的，其结构如图l l 所示，其主模仍 然是准t e m 波。 图1 一l对称共面波导横截面结构示意图 如图可知，共面波导具有与有源器件、无源器件连接十分方便的优点，不 需要在介质基片上打孔。共面波导具有对称共面波导椭圆极化磁场，也可以制 成非互易铁氧横截面结构示意图体器件。由于共面波导与传统的微带线相比有 前一节所述的几方面优点，所以它受到了微波学术界的重视。w e n 采用准t e m 的近似方法研究了这种对称结构的共面波导，并设计了共面波导定向耦合器。 但是，w e n 的分析是在假定介质基片厚度为无限大的情况下进行的。1 9 7 3 年 m e d a v i s 等学者按照介质基片为有限厚度，采用保角变换理论分析了共面 波导的特性，所得到的结果更加准确。 需要指出，即使我们按对称结构来设计c p w ，但真正制作出未的共面波导 一定是非对称的，实际上非对称共面波导与两端器件连接时有更大的灵活性； 另外在某些特殊情况下也需要非对称结构的共面波导。基于这两点考虑，法国 学者vf o u a dh a n n a 于1 9 8 1 年首先提出了非对称共面波导( a c p w ) 的概念并 研究了介质基片为有限厚度和无限厚度两种a c p w ”1 。随后， tk i t a z a w a 采用 变分法研究了a c p w ；1 9 9 3 年意大利学者g g h i o n e 发表了非对称共面线和非 对称共面彼导的研究结果。 第二章电光调制器的物理基础 2 1 电光调制原理 电光调制的物理基础是电光效应，即是某些晶体在外加电场的作用下，其 折射率将发生变化，当光波通过此介质时，其传输特性就受到影响而改变，这 种现象称为电光效应。电光效应已被广泛用来实现对光波各参量( 相位、频率、 偏振态和强度等) 的控制，并作成各种光调制器件、光偏转器件和电光滤波器件 等。 光波在介质中的传播规律受到介质折射率分布情况的制约，而折射率的分布 又与其介电常数密切相关。理论和实验均证明：介质的介电常数与晶体中的电荷 分布有关，当晶体上旋加电场之后，将引起束缚电荷的重新分布，并可能导致离 子晶格的微小形变，其最终结果将引起介电常数的变化，而且这种改变随电场的 大小和方向的不同而变化( 只有在弱电场情况下，才可把它近似视为与场强无关 的物理常数) 。折射率变化与外加电场呈线性关系的称为线性电光效应或普克尔 效应；与电场的平方成比例关系的则称为二次电光效应或克尔效应。在电光效应 的多数实际应用中，由于外加电场与原子内电场之比是很小的，因此与线性效应 相比，二次效应要比一次效应弱很多，所以存在线性效应时，常忽略二次效应。 对电光效应的分析和描述有两种方法。一种是电磁理论方法，但数学推导 相当繁复：另一种是用几何图形折射率椭球体的方法，这种方法直观、方便， 故通常都采用这种方法。 在折射率主轴坐标系中，由如下方程描述： 乓+ 乓+ 乏：1 ( 2 1 ) 门：胛： 式中，x 、y 、z 为介质的主轴方向，也就是说在晶体内沿着这些方向的d 和e 是 互相平行的；，z ，、r 。，2 ，为折射率椭球体的主折射率。利用该方程可以描述光 场在晶体中的传播特性。由此可以推论，晶体加外屯场之后对光场传播规律的影 响，也可以借助于折射率椭球方程参量的改变来进行分析。 对于线性电光效应，外加电场引起的折射率变化是很微小的，通常用 f 菰由于外电场的帆折射率椭球各系数( 爿随之发蚴胜姚 其变化量可定义为： ( ，。3 1 。芬& 或 ( n ) 扩2 一芝2 j 圭= 。每e 式中，勺称为线性电光系数，1 取值1 6 ，j 取值1 3 可以用矩阵形式表示之： 1 h 2 1 ，2 2 有下列关系 ，1 3 乞3 ，3 3 ，4 3 勺3 r 6 3 e x 置 j ， e z ( 2 2 ) ( 23 ) k 取值1 3 。( 2 2 ) 式 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 式中，e 石、e v 、乞是电场沿x 、y 、z 方向的分量。具有。元素的6 3 矩 阵称为电光系数张量，每个元素的值由具体的晶体决定它是表征感应极化强弱 的量。 在外加电场时，由于折射率的变化，原来标准形式的折射率椭球必然会在形 状大小和方位上发生变化，由于坐标原点保持不变，所以该椭球无平移，只是发 包饧钯乜 1乏勺0名名 1 2 3 4 5 6 、ll、ll，、l，、ll、l ，一：。，一：。，一2。一：。一：。一乒 ，。l，。l，、，l，。、，。，、 、厶、l、f 。矿。一矛，一矿 ，l，l，ll i j = | | 珏 b 幢 ，一矛，一。一矛 ，、，ll， | i = | | 、i厶、i厶、|，几 ，一一矿一铲 龇 对 的 = 量、_ - 张 ，一乒 ，ll 盯 王个中式 l l 。一矿。一矿 ，-，l | i i 生坐标旋转的位置变化。这样在外加电场下，标准形式的折射率椭球方程( 2 - 1 ) 将变为： ( 砉 。x 2 + ( 砉) 。：，2 + ( 砉 ，。：2 + z ( 吉 ：，弘+ z ( 砉) 。，”+ z ( 去) ，：砂2 ( 2 - 6 ) 2 2 电光相位调制原理 现在适合用于光纤通信系统的调制器材料有铌酸锂( l i n b0 1 ) 、砷化镓 ( g a a s ) 和聚合物( p o l y m e r ) 。因为当前实用光纤通信系统中都选用铌酸锂调 制器，因此我们以l i n b o ：，为例说明晶体的电光相位调制原理。 常见的调制器有三种不同的电极结构。对称和非对称的两电极结构称为共 面带状传输线，适合于相位调制；对称的三电极结构称为共面波导，适于强度调 制，如m a c h - z e h n d e r 强度调制器。 l i n b o ：，晶体具有3 m 的晶体对称性，是单轴晶体，其电光张量矩阵如下： 0 0 0 0 2 一2 ( 2 7 ) 图2 1 所示的就是典型的波导相位调制器，采用钛扩散铌酸锂光波导( t i l i n b o ) 。这里，我们近似认为波导内的电场强度f e | v i g ，g 是两个电极间的 宽度，v 是外加电压。 在晶体主轴系统中，外加电场引起的折射率的线性变化，由式( 2 3 ) 和 式( 2 7 ) 得： 岘= 一等 一嘞e + _ 3 芝一吃2 e毛l e 一吃：t，2 。弓+ ，置- 毛 疋吩- bt ( 2 8 ) 式中，i l 取值不是寻常光的折射率，就是非寻常光的折射率，2 。，具体由坐标轴 在主轴系统中的取向确定。 0 0 o t 仫o o 0 图2 一l电光调制器的基本结构 由式( 2 8 ) 可知，如果我们仅考虑到矩阵中的对角元素1 1 ，2 2 ，3 3 ，那么 我们就能得到分别沿晶体主轴x ，y 和z 方向上的折射率变化。 考虑电场沿z 轴方向的情况，其余可类推。所以当e = e ，e = e = 0 时， 由式( 2 8 ) 可得： 一。= 一妄稼_ ，丘 以：一昙稼，巨 z ：一昙毽吒，丘 驴”吉幽，丘 所以， 够= 一吉瑶，也 铲一扣幔 ( 2 9 ) ( 2 一l o ) 显然，外加电场丘后，k = n y ，仍为单轴型晶体，同时保持各向异性。由 于是铌酸锂的电光张量矩阵中取值最大的元素( 屯3 = 3 0 9 x 1 0 一o c m v ) ，所 以式( 2 9 ) 所获得的沿晶体主轴z 方向上的折射率变化，z 。= 一昙n ；乇，t 在仅 有丘作用时为最大，这对提高相位变化即调制深度十分有益。 所以沿z 轴传播的光，不论其偏振方向如何，将产生相同的相位变化。所以 可用这种调制方式对非偏振的激光进行相位调制，此时通过晶体感生的相位是： 妒= a n l = 一_ 7 f f 3 3 v ( 2 - 1 1 ) 这里外加z 向电压v = 丘，l 为晶体纵向( z ) 长度。如果v = s i nc o , t ，光波 在z = o 时为：e i 。= a c o s c o t ，那么通过晶体后，在z = l 处的光输出为： e o u t ：a c o s f 一( 挈一手司，争s i n c t 汪】 l l ( 2 1 2 ) = a c o s c o t 一兰兰三一g s i n c t 】 其中：占= 嵋_ ，称为相位调制指数。 在图2 一l ( a ) 中，电极置于光波导的两侧，水平方向电场对调制产生作用； 在图2 一i ( b ) 中，电极的一片直接盖在波导的上面，因而电场的垂直分量对调 制产生作用。后一种情况必须使用二氧化硅( s i o ：) 或者三氧化二铝作为隔离层 位于电极和波导之间，以减少光波的损耗。对于图2 1 ( a ) 和( b ) 两种情况， 应当选择合适的晶体取向，以便获得最大的电光系数，。在图2 1 ( a ) 中，应 选择x 切y 方向传播的铌酸锂基片，同时光波导传播模应为t e 模，其导光电场 偏振方向与电极电场方向一致。也可选择y 切x 方向传播的铌酸锂基片，光波导 传播模仍为t e 模。在图2 一l ( b ) 结构情况下，应选择z 切y 方向传播的铌酸 锂基片和t m 偏振状态的光传输模。 图2 一l 所示的器件结构内，无论是外加电场或光波的电场都不是均匀的， 要利用式( 2 9 ) 计算n 必然面临怎样处理e 的非均匀问题。方便的办法是使波 导内的电极电场分布的总和等效于一个平板电容器内的电场，当然这个平板电容 器内的介质就是铌酸锂，电容器内的电场和光波电场都认为是均匀的。要做到上 述的等效性，必须引入一个重积分参量r ，这样有效的电光感生的折射率变化， 在一个导光模的横切面范围内可以写成： 9 幽c 吣一孚号r ( 2 一1 3 ) 式中，g 为电极间距：1 1 是引入的重叠积分参量，一般称为场一模重叠因子，它 可以由下式求出： r = 号肛旧1 2 幽 式中，e 为外加电场分布函数，可以由施瓦茨变换求得 分布函数，积分限于电光作用区域。 当电光作用长度为l 时，总的相位延迟为： l 2 兄z r ，z ( y ) l = - x n 3 r f “v l 兄 通常可以把调制条件写成如下形式： l a p l p 丌 ( 2 1 4 ) e 为归一化的光波电场 ( 2 一1 5 ) ( 2 1 6 ) 这里，p 为整数( 1 ，2 ，3 ) ，p 为何值取决于调制器的形式。所以根据上 两式，对于实现预定的调制所需要的电压长度乘积为： v l ：氍( 2 - 1 7 ) r f 由式( 2 - - 1 5 ) 可知相位延迟与l g 成正比。因此可以通过增加l g 来降低半波 电压以使器件能够实用化。这里半波电压匕定义为相位变化石时所加的电压 差。由式( 2 - - 1 5 ) 可得： 圪= 2 , g l ( n 3 r l r )( 2 1 8 ) 2 3 m a c h - - z e h n d e r 强度调制器原理 图2 2 是m a c h - - z e h n d e r 强度调制器的基本结构图，从图2 2 中可以看 出，输入光波经过一段路程后，在一个y 分支处被分为大小、相位完全相同的两 部分，每部分光波分别经过光波导的两个支路，然后在第二个y 分支会合形成一 个光波。 由于两个支路必然存在差别，所以两个支路中的光波会出现相位差。在第 一个分支点处，假定光波的表达式为： p ( f ) = e x p ( j c o o t )( 2 - 1 9 ) o 啪) 2 啪) 2 隽c x p ( j c 0 0 f ) ( 2 - 2 0 ) 砷) 2 丐i 万f o oi t e x p j ( c a 。：) h ) 】( 2 - 。) 2 e 冲 伽”半) 卜竽 p ( f ) = ( p oe x p ( j c 0 0 f ) c ( 。s 挈( 2 - b b ) 妒= 一纯。我们称致= 一纯的结构为推挽分支光波导结构。 两端平方后可得输出的光强度： = ，m 。c 。s 2 ( 竽) 把式( 2 2 2 ) 中的 ( 2 2 3 ) 式中i 。是输出光强度的幅度值，上式仅表示刚刚通过第二分支点后的情形，实 际上，通过一段路径达到真正的输出端，由于损耗，其值应小于式( 2 - b 3 ) 的i 值。 其中i m 。是输出光强度的幅度值。 因为j l , 。二a x = c 。s 2 ( 譬) ，且l 。可以看成常量，利用式( 2 - - 2 3 ) 的关系绘 成的曲线称为m a t h z e h n d e r 强度调制器的直流特性，如图2 - 3 所示。 鬟 v 静 捌 唰 s i n j 著舌： l 觇 忽主函 l i b ； 一一q 删u 一! 竺 t 一 一r 一一卜一一u 一一一 i n 电压 l 一 制电压年 l l 图2 3 电光强度调制器的直流特性 2 4 调制带宽 调制器的调制速度即调制带宽，主要由调制器的型式确定，调制器有两种基 本的型式，集总参数调制器和行波调制器。这两种型式的主要区别在于电极馈电 方式和终端负载的不同，行波调制器的电极处于分布参量状态，所以必须使终端 9 1 1 1 年d 输入电缆的阻抗等于电极的特性阻抗。对于这两种型式的调制器，相同的 参数是单位长度电极间的电容量c 0 ，c 0 之值取决于电极几何结构和铌酸锂作为 电介质在射频电磁波时的介电常数。 2 4 1 集总参数电极结构的调制带宽 这种电极的长度与电信号波长相比较是很小的，电极上的并联电阻是用来 匹配驱动信号源，通常是5 0 q 。集总参数电极的调制带宽直接e t 电极的r c 时间 常数确定，理论和实践都证明了下述关系是正确的： r ：l ( 2 2 4 ) 。 石r c 当并联电阻和电极结构确定时，调制带宽随着电极长度l 增大而线性下降， 所以，我们采用相关的参数即带宽与长度的乘积。 下面分析下电光晶体调制器在不同调制频率情况下的工作特性。前面对电 光调制器的分析，均认为调制信号频率远远低于光波频率( 也就是调制信号波长 丑。 五) ，并且五。，远大于晶体的长度三，因而在光波通过晶体三的渡越时间 ( 2 - d = n ) 内，调制信号电场在晶体各处的分布是均匀的，则光波在各部位 il 所获得的相位延迟也都相同，即光波在任一时刻不会受到不同强度或反向的调制 电场的作用。在这种情况下，装有电极的调制晶体可以等效为一个电容，即可以 看成是电路中的一个集总元件，通常称为集总调制器。集总调制器的频率特性主 要受外电路和光波通过晶体的时间的影响。 对于电光调制器来说，晶体的电光效应本身不会限制调制器的频率特性， 因为晶格的谐振频率可以达到1 0 3 g h z ，因此，调制器的调制带宽主要是受其外电 路的限制。电光调制器的等效电路如图所示。其中k 和r ，分别表示调制电压和 调制电源内阻，c 0 为调制器的等效电容，r 和r 分别为导线电阻和晶体的直流 电阻。 由图2 4 可知。作用到晶体上的实际电压为： y =： i ：( 5 ) + i c o o c ：l 匕墨 r s + r e + 弦而1 r + r + 月+ 舷七c r j r + e r 图2 4电光调制器的等效电路 r ( 2 2 5 ) 在低频调制时，一般有月 r 。+ r e ，且觑b c 也较小，因此信号电压可以有 效的加到晶体上。但是，当调制频率进一步增高时，调制晶体的阻抗变小，当 r 。 ( c o c o ) 一时，大部分调制电压就降到r 上，这时调制效率就大大降低，甚至 不能正常工作。 当调制频率极高时，在光波通过晶体的渡越时间内电场可能发生较大的 变化即晶体中不同部位的调制电压不同，特别是当调制周期( 2 7 形、) 与渡越时间 ( 乃= ”) 可以相比拟时，光波在晶体中各部位所受到的调制电场是不同的， 因此，上述的相位延迟的积累受到破坏，这时总的相位延迟应由以下积分得出： 妒( 三) = lae(t)dz(2-26) 式中，e ( f t ) 为瞬时电场，口：2 _ ，z 胛。由于光波通过晶体的时间为乃= 哆名以 几 一 及出：三衍，因此，上式可改写成 ，z 蜊驴詈l 即出( 2 - 2 7 ) 设外加电场是单频正弦信号，即e ( t ) = 4 e x p ( f f ) ，于是 妒( 三) = 詈以。e x p ( f ) a t 嘲 笺掣卜 z s ， 式中，= 竺4 乃，当( - o m t d 1 时的峰值相位延迟。因子 ，：1 - e x p ( - i c o v a )( 2 2 9 ) 蛔，d 是表征因渡越时间引起的峰值相位延迟的减小，故称为高频相位延迟缩减因 子。只有当勺 1 ，即乃 0 时，t o 时刻进入的光子已经走了一段距离z ，设光在介质波导中的 速度为v o ，则f = t o4 - a t 时刻的微波电压表示为： m 一 2 r c n ”z - 2 z c f ( t o + 纠( 2 - - 3 3 ) 展开上式得： m 一 半纠丌厂卅 娟i n i 半”瓦n o ) z - 2 r e a7 ( 2 - - 3 4 ) v 1cl 这里，n o = 二，为介质对光波的折射率。上两式的物理概念应当理解为：在t = t o v 0 时光波从光波导传播方向z = 0 处进入调制器作用区后，沿电极纵向( z 方向) 各点所遭遇的电压，也就是光波的一个固定波阵面沿电极纵向所获得的调制电压 分布。由于光波与微波的传播速度的差异，一个固定的光波的波阵面沿z 方向各 点所遇到的微波电压的大小是变化的，这个变化的周期就是光波从微波上的一点 追上相邻波长的对应点所需的路程，设为八，显然： a = 2 r g n , , f c ”瓮i v ) ( 2 3 5 ) 这里，c 是光在自由空间中的速度。周期的量纲是长度，因为它是空间变化周期， 在长度等于a 的范围内，一个光子( 或一个固定的光阵面) 经历的调制微 波电压恰好为一个正弦波周期，所以如果相位调制的长度等于a 的整数倍，那么 微波电压引起的电光效应即折射率的变化的平均值为零，那么光的相位调制也必 然为零。根据这个现象，如取调制长度为i a ，可得到相位调制的最大值，当长 度变化从会直到a 时，调制下降一直到零。 按调制长度为l ，则总的相位变化为： 出：攀咖防华 。，r 筇( 厂) 加硒毋一8 i n i2 嗍一等i 心。3 6 ) 这里矽2 鼍竽，渊一瓮蒯，由于存枷o ，f 吏得总的相移随着三 的变化，时为正，时为负，时为零。如果j = 0 ，即意味着0 = 卅，微波与光 波速度相同，自然失配问题也就消失，相移变化随着l 增大而增大，当然就能使 用长距离的调制而大大减少驱动电压。然而在实际的器件e e ，还很难找到使 “= | v 。的介质材料。由式( 2 3 5 ) 可知，当n o 虬时，即万0 时，由于速度 失配，导致总的相移减少，当l 或厂足够大时，甚至使总的相移小到很多，随着 三或增大，总的相移便趋于零。 由式，对z 的积分值减小到厂= 0 时的5 0 时的频率即一0 = ， 就是3 d b 相位调制带宽，可以近似表示成为： v 三z 二 ( 2 3 7 ) 兀= ( 心) ( 1 一n 。 n ) 一1 ( 2 - 3 8 ) 由以上的分析可见，在给定的电极长度下，调制器所达到的带宽关键取决于光波 与微波的失配程度，即取决于微波有效折射率。 第三章共面波导分析的数学基础 3 1 保角变换 3 1 1 保角变换的基本定义与定理 定理一设函数w = f ( z ) 在区域d 内解析，毛为d 内的一点，且，( z 。) 0 那么映射w = 厂( z ) 在毛具有两个性质： 1 ) 保角性。即通过晶的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得的两曲线 间的夹角在大小和方向上保持不变。 2 ) 伸缩率的不变性。即通过z 。的任何一条曲线的伸缩率均为i 厂( z o ) l 而与其形状和方向无关。 定义设函数w = f ( z ) 在气的领域内有定义，且在毛具有保角性和伸缩率 的不变性，那么称映射w = 厂( = ) 在是共形的，或称w = ，( z ) 在 是共形映射。如果映射w = 厂( z ) 在d 内的每一点都是共形的，那么 称w = f ( z ) 是区域d 内的共形映射。 定n - 如果函数w = f ( z ) 在解析，且( g o ) 0 ，那么映射w = f ( z ) 在 是共形的，而且一馏r 。( 毛) 表示这个映射在的转动角，i 厂( z 0 ) j 表示伸缩率。 如果解析函数w = 厂( z ) 在d 内处处有( 气) 0 ，那么映射 w = 厂( z ) 是d 内的共形映射。 3 1 2 保角变换的基本问题 在研究微波与毫米波传输线以及其它方面的实际间题中，常常为了计算 某些复杂截面形状的某些物理量分布，而采用保角变换的方法，将复杂的截 面形状变换为便于计算的截面形状，此方法的关键在于如何寻求中间的变换 关系。这就是保角变换中的第一类基本问题，即己知两个给定区域，寻球其 间变换的解析表达式。为了顺利寻找将一个区域变换到另一个区域的变换关 系，必须熟练地掌握初等变换及其变换方法和技巧。这就是保角变换中自勺第 二类基本问题，即已知变换及区域，寻求变换后的区域形状。 3 2 几种常用的变换 保角变换包括了平移变换、旋转变换、相似变换、幂变换，指数变换，对 数变换、分式变换和儒柯夫斯基变换等。掌握这些变换是较好地应用保角变换方 法的必要基础。这里仅对本文用的较多的几种保角变换方法作一个简单的介绍。 3 2 1 幂函数 w = z ”( n 是不小于2 的自然数) ，这个函数在z 平面上处处可导，且除 去原点外导数不为零因此，在z 平面上除去原点外，由w = z ”所构成的映射是 处处保角的 令z = y e “，w = p e ”，那么，p = ，”，妒= 彬。 由此可见，在w = z ”映射下，z 平面上的圆周lz r 映射成w 平面上的圆周 1 w l = r ”。特别是单位圆周1z 卜1 映射成单位圆周iz 1 ；射线0 = 岛睦射成射线 妒= n o o 。；正实轴0 = 0 映射成正实轴妒= 0 ；角形域0 0 吼( 9 竺) 映射成 角形域0 妒 ，z 酿。从这里可以看出，在z = 0 处的角形域的张角经过这个映射后 变成了原来的n 倍。 明显地角形域0 护 三兰令映射成沿正实轴剪开的w 平面0 妒 2 万 ( 图3 一1 ) ，它的一边臼= 0 映射成w 平面正实轴的上岸妒= 0 ，另外一边9 = 竺映 射成w 平面正实轴的下岸p = 2 7 r 在这样两个域上的点在所给的映射 ( w = z ”，或z = w ) 下是一一对应的 彳 彳t 1 1 才 w 平面 黝黝o ，劢 戮 形o ，弼 7 黝衫,i 图3 1 由幂函数w = z n 所构成的映射的特点是：把以原点为顶点的角形域映射成以 原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的n 倍。因此，如果要把角形域映射成 角形域，我们经常利用幂函数。 3 2 2 指数函数 w = 9 2 ， 设z = x + 砂，w = p e ”，那末 p = e 。，妒= y 由此可知：z 平面上的直线t = 常数被映射成m 平面上的圆周a = 常数而直线y = 常数，被映射成射线妒= 常数，当实轴y = o 平行移动到直线y = a ( o a 2 e r ) 时，带形域0 i m ( z ) a 被映射成角形域0 a r g 口。特别是，带形域 0 i m ( z ) 2 石映射成沿正实轴剪开的w 平面：0 a r g w 2 刀( 图3 2 ) ，它 们之间的点是一一对应的由于( g 。) = e 。0 ，所以映射w = e 2 是处处保角的 由指数函数w = p 2 所构成的映射的特点是：把水平的带形域 0 i m ( z ) 日( a 2 e r ) 映射成为角形域0 0 ：或( 4 ) 下半平面：i m z o ) 将一个通过点z = a 与z = 一a 的圆周c 的外部一一对应 zz 地、保角地映射成除去个连接点w = a 与w = 一a 的圆弧6 的平面( 图6 2 1 ) 特 别地，当c 为圆周| z l = o 时，万将退化为线段一a r e ( w ) a 。 在本文的应用中，常常将儒柯夫斯基变换与其它变换结合起来，构成新的变 换函数。例如忙s i n h ( z ) ，t = c o s h2 ( z ) 等变换就是将指数变换e 2 、儒柯夫斯基变 12 换w = 圭( z + ! ) ( a o ) 及平方变换持z 2 组合起来构成的。 zz 3 3 许瓦兹一克力斯托夫( s c h w a r z - - o h r is t o f f e i ) 变换 应用上节讨论的复变函数保角变换法求解电磁场的二维问题是一个有效的 方法，但是上述保角变换法没有一定的规律可寻。在应用上述保角变换时，需要 根据经验来决定采取河种保角变换。然而，在对一些比较复杂的截面形状进行保 角变换时，寻找合适的变换函数往往是比较困难的。 因此我们需要寻求种变换可以将任意多边形边界变换成无限长直线或圆 变换式。应该指出，对于任何形状的多角形，都可按一定原则写出这种微分方程， 但是积分的难易程度各不相同。有的很简单，容易求解，有的甚至无法求出其结 果。 任何多角形都有一个由直线段组成的边界。必须注意，很多这类问题在它们 所处平面的有限区域内并不封闭，而要在无限远处才闭合。在以后的讨论中，不 论多角形两个相邻边的交点是在有限远处还是在无限远处，我们都看成是多角形 的顶点，而把顶点处的角都视为顶角。 当平行平面场的边界是由有限段折线构成的n 边多边形时，许瓦兹提供了一 个公式( 微分方程) ，由此而得的解析函数，可将位于w 复平面中一个己知边界 形状的n 边多角形所围成的场域，变换成另一复平面二的上半平面，如图2 3 所示。这样就把一个形状比较不规则的场域，变换成形状比较简单的场域来求解。 定理许瓦兹一克力斯托天变换 设 ( 1 ) 1 7 为w 平面上以w k ( 1 k n ) 为顶点的有界n 角形，在顶点心的内角为 a i z r ( 0 o 单叶保形变换到n 角形n ( 3 ) z 平面实轴上点x k ：x l 而 吆 吒，对应w 平面上n 角形盯的 顶点( 1 k ，2 ) ，且点按逆时针方向排列。 则： ( 1 ) 若k o o ( 1 k ，2 ) ，有： w = 厂( z ) = c ( z 一一1 z - - x a：一-(z-xiax1)x2) 一- d z + c ( 3 1 ) w = 厂( z ) 2 c 上p 一 吒 _ 1 + c ( 3 1 ( 2 ) 若x n = ( 1 k 甩) ，有 w = 厂( z ) ：cf z - - x i ) 嘶( z 一盱- z - x n _ 1 ) a x 2 ) z x n a - i - ! d z t “( 3 - 2 ) w 2 厂( z ) 2 c 上 ( z 一 吒一 。+ c ( 3 2 ) 其中c 、c 为常数。式( 3 - 1 ) 、( 3 2 ) 都称为许瓦兹一克力斯托夫公式， 简称s - c 公式。 若多角形n 的顶点慨，夹角a k x ( o a k 2 ) 都己经给定。许瓦兹一克力斯 托夫公式可知，必须