（固体力学专业论文）单边裂纹载流薄板在外载荷作用下的电热止裂研究.pdf

摘要 摘要 利用电磁热效应来遏制裂纹扩展这一课题的研究，在前人的努力下已 有了很大的进展。这种方法的有效性在问题的研究过程中已经得到了证实。 在不考虑外界影响和自身组织变化的情况下，带单边裂纹的导体通入瞬问 电流，由于电流的集中效应而在裂纹的尖端产生的温度场和应力场通过理 论计算和实验观察都证明了电热止裂技术的合理性，并在这一课题的研究 上迈出了重要的一步。 在实际工程应用中，外界条件是不可忽略的。在金属材料制作的工具 工作时，受到的外载荷的形式是多种多样的。为进一步深入研究电热止裂 这一课题，就必须考虑到外载荷对金属材料的影响。本文的研究就是在对 导电金属薄板通入瞬间电流的同时，在垂直于单边裂纹方向薄板的两端加 上单向拉伸载荷，在这种条件下来研究其裂纹尖端的应力场和温度场。 本文通过复变函数的方法，研究了机械载荷作用下的载流薄板通电瞬 间裂尖附近温度场和应力场。引出了电热应力强度因子这一概念并给出了 一种求解电热应力强度因子的方法，进而得出应力强度因子与断裂准则的 关系。为证实在接近裂纹开裂临界值大小的机械载荷作用下，带有裂纹的 薄板形成焊口后还能够抵制所承受机械载荷的作用，能够提高承受机械载 荷的能力这一问题，文中研究了裂纹尖端形成焊口后，外载荷作用下的应 力场表达式。本文又针对中心裂纹薄板研究了电流密度因子与通入电流强 度及裂纹尖端附近温度场之间的关系式。在理论计算后又给出了算例。通 过有限元分析软件a n s y s5 7 分析单边裂纹的温度场和应力场。为证明理 论计算的可信度，文中给出了实验的结果分析。理论计算、数值模拟、实 验分析三方面互相验证其正确性。 关键词电磁热效应；单边裂纹：外载荷；复变函数；电热应力强度因子 电流密度因子：应力场 查些奎兰三兰堡主兰堡竺三 a b s t r a c t i th a sm a d eag r e a tp r o g r e s st h a t r e s t r a i n i n gt h ec r a c kt oe x p a n dw i t h e l e c t r o m a g n e t i c h e a te f f e c ta f t e r m a n yr e s e a r c h e r s d e v o t e dt ot h e t o p i c m o r e o v e r , t h ev a l i d i t yo ft h em e t h o dh a sb e e np r o v e d w i t h o u tc o n s i d e r i n gt h e o u t e re f f e c ta n d s e l f - i s s u e ，t h ec o n d u c t o rw i t hu n i l a t e r a l c r a c kw a s p u t i n s t a n t a n e o u sc u r r e n t a n dt h er e s u l tt h a tt h ep e a ko f c r a c k a p p e a r e dt h ec h a n g e o f t e m p e r a t u r e f i e l da n ds t r e s sf i e l dd u et ot h ec o n c e n t r a t i o ne f f e c to fc u r r e n t i t p r o v e d t h e r e a s o n a b i l i t y o fc r a c k p r o h i b i t i o nt e c h n o l o g yb y m e a n so f t h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o na n d e x p e r i m e n t a la n a l y s i s i nt h ep r a c t i c a le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ，o u t e rc o n d i t i o n sc a n tb en e g l e c t t h e r ea r ea l lk i n d so fe x t e r n a li o a df o r m sw h e nt h em e t a lm a t e r i a lt o o l sa r e u s e dt ow o r k i no r d e rt or e s e a r c hd e e p l yc r a c kp r o h i b i t i o n ，w em u s tt a k e a c c o u n ti n t ot h ei n f l u e n c eo fe x t e r n a ll o a dt om e t a lm a t e r i a l s t h ee m p h a s i so f r e s e a r c ho ft h ep a p e ri st h es t r e s sf i e l da n dt e m p e r a t u r ef i e l di nc o n d i t i o nt h a t t h et h i np l a n kw a sa d d e dt ou n i l a t e r a ld r a w o u tl o a da tt h et w oe d g e s a tt h e s a m et i m e ，t h ec o n d u c t o rm e t a lt h i n p l a n k w a sc o n n e c t e di n s t a n t a n e o u s c u r r e n t i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gt h em e t h o do f c o m p l e xf u n c t i o nw ed i s c u s st h e t e m p e r a t u r ef i e l da n d s t r e s sf i e l dn e a rc r a c k p e a kw i t ht h er o l eo fm e c h a n i c a l l o a dw h e nw e p u tu pc u r r e n tt ol i n kt h em e t a lt h i np l a n k f u r t h e rs p e a k i n g ，w e g i v et h ec o n c e p to f e l e c t r i ch e a ts t r e s si n t e n s i t yg e n ea sw e l la st h em e t h o do f f i n d i n gar e s u l tt oi t w h a t sm o r e ，w eg e tac o n c l u s i o na b o u tt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e ns t r e s si n t e n s i t yg e n ew i t hb r e a kc r i t e r i o n i no r d e rt ot e s t i f yt h a tt h i n p l a n k w i t hc r a c ka f t e rf o r m i n gw e l d i n gn o t o n l y c a nr e j e c tt h ee f f e c to f m e c h a n i c a ll o a db u tc a r li n c r e a s et h ec a p a c i t yo f e n d u r i n gi t w h e ni tw a sn e a r t h ec r a z i n gc r i t i c a lv a l u eo fc r a c k t h ep a p e rs h o wt h a ts t r e s se x p r e s s i o na n d t h er e l a t i o nf o r m u l aa m o n gc u r r e n td e n s i t y g e n ea n dc u r r e n ti n t e n s i t y a n d i l 摘要 t e m p e r a t u r ef i e l d t h ep a p e r a l s og i v e st h ea r i t h m e t i c a le x a m p l eo nt h eb a s i so f t h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o n i ta n a l y s e st h et e m p e r a t u r ef i e l da n ds t r e s sf i e l dt h r o u g h l i m i t e de l e m e n ta n a l y t i cs o f t w a r e5 7 i no r d e rt ot e s t i f yt h er e l i a b i l i t yo f c a l c u l a t i o n ，t h ep a p e rd i s c u s s e st h er e s u l ta n a l y s i so fe x p e r i m e n t t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o na n dn u m e r i c a lv a l u es i m u l a t i o na n de x p e r i m e n t a l a n a l y s i s c a n v a 】j d a t et h ec o r r e c t n e s se a c ho t h e r k e y w o r d se l e c t r o m a g n e t i c h e a t e f f e c t ；u n i l a t e r a lc r a c k ；e x t e r n a ll o a d ； c o m p l e xf u n c t i o n ；e l e c t r i c h e a ts t r e s s i n t e n s i t yg e n e ；c u r r e n t d e n s i t yg e n e ；s t r e s sf i e l d i i 茎! 童丝丝 第1 章绪论 1 1 课题的来源及主要研究内容 随着科学的进步和工业技术的发展，航空航天、交通运输、化工、机 械、材料、能源及海洋等工程领域对裂纹的研究越来越迫切。过去工程实 际中出现的裂纹往往都不被人们所注意，而结果造成的后果和经济损失却 是不可估量的。延长各种类型结构、产品的服务寿命，提高工作的安全性、 可靠性，能够主动地、有效地控制破坏问题，其中包括遏制裂纹的扩展， 这一问题的研究就显得十分重要了。因此，今天进一步深入地研究这一课 题，使其能够在实际应用当中有所突破，显示出了具有重大的工程实际应 用意义和理论价值。 电磁热效应理论的应用有着十分广阔的应用前景。2 0 世纪七、八十年 代，前苏联学者b m 巾h h k e b 等人用实验的方法研究了导电薄板内通入脉 冲电流时裂纹发展的动力过程，提出了利用电磁热效应来遏制导体中的裂 纹扩展的可能性【l 、2 】。随后，b a k y , a p b a e a ，b 3 h a p t o h 等人对这一过程 进行了理论分析【3 4 】，揭开了利用电磁热效应进行裂纹止裂研究的序幕。 本课题来源于国家自然科学基金资助项目“大型金属构件电磁热 效应裂纹止裂的研究( 5 0 2 7 5 1 2 8 ) ”，将机械载荷引入到带有单边裂纹的载 流薄板中讨论这时的电热止裂过程中产生的温度场和应力场这一问题的研 究是此课题研究内容的重要组成部分。在理论上建立在机械载荷作用下单 边裂纹载流薄板温度场和应力场的表达式在此基础上将温度产生的应力强 度因子进行表示，再与外加载荷产生的应力强度因子相叠加并利用断裂准 则。由于断裂准则可以解决常规强度设计中不能解决的带裂纹构件的断裂 问题因此这方面的研究将更加具有实际意义，这方面的研究结果可以应用 到工程实际中，通过改变机械场、温度场、电磁场的相关参数，来达到控 燕山大学工学硕士学位论文 制裂纹尖端应力应变状态，提高薄板构件的承载能力，使其达到结构优化 的目的。这是理论研究与实际应用研究紧密结合的项课题，其研究成果 对推动电磁热效应裂纹止裂理论及其应用都具有一定的意义。 本文采用复变函数的方法计算外加载荷作用下单边裂纹载流薄板的温 度场和应力场，并将其表达式简化；利用有限元分析软件a n s y s 对具有 外加载荷作用下单边裂纹载流薄板的温度场和应力场进行数值模拟，找到 了一种方法利用所求出的热源功率密度推导出温度产生的应力强度因子并 与外载荷作用产生的应力强度因子相叠加建立断裂准则。本文还对已经求 出的温度产生应力场的分布表达式进行了变量分离并与单向拉伸载荷作用 产生的应力场进行线性叠加，最后得到机械载荷与温度共同作用产生的应 力场的表达式。在对单边裂纹薄板的分析研究中本文又针对中心穿透裂纹 薄板研究了通入的电流与电流密度因子之间的关系。 在过去所研究的电磁热效应裂纹止裂问题中是不考虑外载荷作用的。 在忽略外界条件影响下将带有裂纹的薄板试件通入瞬间电流，在裂纹尖端 形成焊口，从而达到止裂目的的。在接近裂纹开裂临界值大小的机械载荷 作用下，带有裂纹的薄板形成焊口后是否还能够抵制所承受机械载荷的作 用，是否能够提高承受机械载荷的能力等问题是值得探讨的。所以针对这 个问题又对电热止裂后的裂纹尖端钝化的应力场进行了分析。 1 2 电热止裂技术的基本原理 当载流导体中通入电流时，由于裂纹尖端豹热集中效应，能够在裂纹 尖端附近的一个很小范围内熔化后形成微小的焊口。结果不但减少了、甚 至是消除了裂纹前缘处的机械应力集中，而且在裂尖处产生了相当大的温 度梯度和热压应力，抑制了裂纹主干线势能源的形成，达到止裂的目的。 在带有裂纹的导体中通入电流会伴随着焦耳熟的产生和质动力的作 用。在不考虑质动力、机械、电效应同变形及温度场耦合的情况下，有系 统的电动力学方程可以确定裂纹前缘附近的电磁场，从而解得焦耳热源分 布，再从所建立的带有热源的热传导方程中求得温度场的分布。在此基础 2 第1 章绪论 上，由热弹性准静态问题的基本方程的解便可以确定裂纹前缘的应力、应 变状态。 为了达到良好的止裂效果，通入电流的方向一般应垂直于裂纹有效长 度最长的部分。裂纹的存在导致了电流的集中和绕流，同时在非导电的裂 纹尖端附近，电能转化成热能，从而使材料温度升高。在电磁场对变形和 导热性的影响只是同焦耳热有关的假设条件下，使得电动力学方程和热弹 性方程在相应的条件下有连续解，从而可以得到在初始条件下不同状态电 磁场的具体表达式，由此确定非稳态温度场和裂纹前缘处的应力状态。 1 3 引入机械载荷的工程实际意义 利用电磁场热效应的方法进行裂纹止裂有其独特的特点和优越性。对 于导电材料中的裂纹，利用强大的电流或者超强度电磁场的作用，遏制快 速扩展的裂纹具有广泛的可能性。这种方法具有的特殊优越性就在于能够 在保持外力作用不变的情况下进行止裂，方法简单、收效迅速且具有实际 应用价值。 在断裂力学领域的一些研究中，裂纹止裂在航空航天、交通运输、化 工、机械、材料、能源及海洋等工程领域都起到了重要的作用。在实际应 用中很多用金属材料制作的工具由于长时间的使用而使金属的某些部分超 过了金属所能承受的最大的屈服极限，这样金属的这些部分将产生开裂现 象。裂纹给人类造成的灾难与损失是不可估量的。这个问题如果得以解决， 则可以延长金属制品的寿命，特别是避免突然破坏带来的灾难，所以裂纹 止裂是目前工业生产和实际应用中急需要解决的问题。研究表明人们发明 的各种止裂技术中，利用电磁热效应来遏制裂纹的扩展的方法是目前最有 效的方法之一。在工程实际应用中外部载荷的影响是使工具开裂破坏的最 直接的原因，外载荷的形式也是多种多样的。外载荷对带裂纹薄板的作用， 使得在裂尖附近产生的应力场变得很复杂的。外载荷的形式不同，其裂纹 尖端附近应力场的计算方法也不同。在过去的电热止裂的研究过程中从未 考虑到外载荷对裂纹的影响的。本文是在原有的电热止裂研究的基础上对 3 燕山大学工学硕士学位论文 薄板施加了单向拉伸外载荷的作用。这一方面的研究使电热止裂技术的应 用更贴切实际。因此，今天进一步深入地研究这一课题，使其能够在实际 应用当中有所突破，显示出了具有重大的工程实际应用意义和理论研究价 值。 本文不仅研究了单向拉伸机械载荷与通入的瞬问电流共同作用的裂纹 尖端温度场和应力场的问题，而且将应力强度因子引入到了论文当中，定 义了电热应力强度因子、热应力强度因子和电流密度因子这三个概念。利 用了断裂准则给出了机械载荷和电流共同作用下的应力强度因子与断裂准 则的关系a 通过这种关系确定的断裂准则可以判断裂纹是否会发生失稳扩 展，是否发生开裂现象。 1 4 断裂准则可以解决的问题 断裂准则可以解决常规强度设计中不能解决的带裂纹构件的断裂问 题。必须指出，在断裂准则作断裂分析时，首先要用无损探伤技术。例如 目前常用的超声波探伤、磁粉探伤和荧光探伤等技术，把缺陷的位置、形 状、尺寸搞清楚，然后把缺陷简化成分析计算的裂纹模型。如果是设计构 件，估计可能出现的最大裂纹尺寸，作为抗断裂的依据；另一方面还要准 确可靠地测出材料的断裂韧度k ，的值。 利用断裂准则还可以解决以下问题： ( 1 ) 确定带裂纹构件的临界载荷。若已知构件的几何因素、裂纹尺寸 和材料韧度值，运用断裂准则可以确定带裂纹构件的临界载荷。 ( 2 ) 确定裂纹容限尺寸。当给定载荷、材料的断裂韧度值以及裂纹 体的几何形状后，运用断裂准则可以确定裂纹的容限尺寸，即裂纹失稳扩 展时对应的裂纹尺寸。 ( 3 ) 确定带裂纹构件的安全度。 ( 4 ) 选择与评定材料。按照传统的设计思想，选择与评定材料主要依 据屈服极限盯。或强度极限吒，对于交应变应力作用则为持久极限。但按 抗断裂观点应选用k 。高的材料。一般情况下，材料的盯，越高，k 。反而越 4 第1 章绪论 低。所以选择与评定材料应该两者兼顾，全面考虑。 1 5 电热止裂技术的发展概况及研究现状 1 5 1 电热止裂技术的发展概况 近几年来，国内外一些学者致力于磁弹性、热磁弹性理论的实际应用 研究。同时，对磁弹性、热磁弹性力学效应，耦合场作用下振型【5 6 】及其 稳定性进行实验分析研究，提出了一些实际应用的建议和设想。在理论研 究方面，广泛利用计算手段进行数值模拟分析【”，并且研究已深入到电热 粘弹性的磁弹性问题中。 在理论研究电磁场与机械场、温度场耦合机理的基础上，可将电磁场 热效应应用在带有裂纹的金属模具裂纹止裂的研究之中。遏制金属模具内 部和表面裂纹的扩展，开发出金属模具裂纹止裂的工艺技术将具有普遍的 工业应用意义。该技术还可以用来遏制轧辊龟裂、铸管模等构件的裂纹止 裂，可提高构件的工作寿命、排除工作险情，必定会带来巨大的经济效益 和社会效益。这种技术在工程实际应用中的研究是很少的，但是这种技术 的研究是有重要意义的。目前，我国在这一领域的研究也是刚刚起步，投 入的力度还很不够，预计在下一世纪初，电磁热效应裂纹止裂的研究必将 成为固体力学今后发展的主要方向之一。 1 5 2 电热止裂技术的理论与实验研究现状 日前，国外大多数学者多是从理论入手，指出研究和解决裂纹体强度 问题的思想和路径。l b f r e u n d 【s 】研究了在载荷作用下，弹性固体中裂纹的 扩展：u y u c e o g l u 9 1 研究了在斜对称载荷作用下具有轴向裂纹的圆柱壳问 题；h e r b e r tk k u t t e r 1 0 1 研究了在无限大弹性板上具有放射形裂纹的受压圆 孔的应力分析；e r i n g e n a c ，的理论研究】给出了在电磁场的作用下液晶的 平衡规律及静力学、动力学的基本方程，该基本方程考虑了热、电传导及 5 燕山大学工学硕士学位论文 电磁场的耦合效应，为研究耦合场的热效应打下了理论基础； s u m i ，n a o b u m i ”】研究了带有便士形状裂纹的圆形薄板，在电磁波辐射作用 下所产生的应力波的动态响应。在整个作用时间内，磁场脉冲强度是按照 高斯指数衰减规律作用的。忽略热传导的影响，按照热弹性动力学理论， 采用有限元差分法作近似计算，通过算例给出了动态热应力分布和动力强 度因子的数值计算结果；y a g a w a ，y o s h i m u r a s 在文献【1 3 、1 4 1 中介绍了电 磁力在核压力容器裂纹动力问题研究中的应用，给出了具有单边裂纹的高 强度钢制成的试件，在瞬变电流和电磁场的作用下，变化的电流和电磁场 与裂纹相互作用的结果，在整个试件中体现了电磁力的动力效应：k o b i d z e g ，l o r dw 利用有限元法模拟计算了管道中裂纹密集处的电磁场分布， 对于做好工业气、液输送管道中裂纹腐蚀开裂的危险检测预报，提供了有 效的数值模拟方法。 在国内胡宇达等人采用积分变换的方法计算得到了带有单个裂纹的载 流薄板在脉冲电流作用下的温度场及应力场1 7 18 1 ，给出了电磁热效应裂 纹止裂同各参数之间的关系及金相组织分析结果9 】：田振国、胥红敏、张 晖辉均采用了复变函数的方法，解决了带有直线裂纹的无限大载流薄板中 在通入均衡电流时的整个域内的电流密度分布，给出了电磁场作用下的温 度场及应力场，讨论了影响止裂效果的因素【2 0 】；付宇明、许志强等人【2 l 2 2 利用数值模拟的手段得到了对空间裂纹实施电磁热效应止裂时的温度场。 国外有些学者尤其注意了导体内部裂纹在电磁场作用下前缘区的应 力、应变状态、以及应力强度因子的计算方法【2 1 “】。但是，对利用电磁热 效应来遏制裂纹的扩展，特别是在工程实际应用中的研究是很少见的。主 要是因为裂纹的止裂以及控制它们的运动问题，无论是从理论研究方面还 是从实际应用技术的观点上来说都是很复杂的。国内外一些学者的近期研 究取得了一定的进展。 s h i n d oy 给出了裂纹磁弹性问题的解析解【2 5 q7 】在实际应用方 面，s h i n d om 等人分析了核技术装备中托卡马克装置的螺线管接头处的裂 纹问题【2 8 】；r o s e n v a s s e rsn 等人把理论分析的结果用于控制核反应堆的铁 磁性马氏体不锈钢制成构件的破坏 2 9 ”】但将机械载荷加到带有裂纹的载 6 第1 章绪论 流薄版中；通过应力强度因子的引用建立断裂准则问题的文章尚未见到。 在工程实际应用中，外加的机械载荷是必然存在的，所以这种情况的研究 就更贴近实际。这样就使得这类问题的研究显得非常重要了。 文献 3 2 】介绍了由2 0 # $ n 制成的，外径为2 5 r a m 、内径为2 1 m m 的管道 在破坏瞬间裂纹止裂的研究情况。其管道的压力是由火药气体造成的，或 者是由电爆炸延时造成的。此研究实现了文献 3 3 1 提供的研究系统：即测 量同步系统在裂纹产生瞬间同时启动脉冲电磁场发生器的出口，施加在馆 子上的脉冲电磁场是通过套在管子上的螺旋管建立的。通过感应，在试件 中形成的环向压应力遏制了裂纹的扩展。 7 燕山大学工学硕士学位论文 第2 章本课题研究所用到的基础知识 2 1 引言 电磁热效应裂纹止裂的诞生与发展过程中，人们在进行其理论推导方 面做出了很多努力，也取得了一定的成绩。自从有了复变函数，它就在一 些领域发挥着其它的方法不可替代的作用，特别是在解决断裂力学问题时， 其优越性表现地更加充分。于是用复变函数法解决电磁热效应裂纹止裂问 题便被提上日程。 本章介绍了复变函数中的施瓦兹变换【3 ”，还介绍了柯西积分的部分重 要性质和计算柯西积分的初等公式对于平面边值问题的复变函数解法， 即将平面弹性边值问题化归为黎曼问题。力学方面主要推导了应力函数的 复变函数表达式，简单地介绍了此种情况下的力学基本方程，且这里给出 的力学基本方程的复变函数表示都考虑了温度场的存在，即均属热弹性问 题。本章最后给出了平面域中存在电热源时温度场的复势。 2 2 数学基础知识 2 2 1 施瓦兹变换 图2 1 ( a ) 和图2 1 ( b ) 可知，映照函数z ：g 一口) 詈使得在f 平面 实轴上经过f = a ，一个线段映照为z 平面上一个折线，其顶角为口顶点 在原点上。因此 z ：c 1 留- - a i ) 号十c ： ( 2 1 ) 8 ( a )( b )( c ) 图2 - 1 施瓦兹变换 f i g 2 1 s c h w a r zt r a n s f o r m a t i o n 把实轴上的线段映照为z 平面上过c ，点的两条线段，其始边与x 正方向夹 角为a r g c ，见图2 - 1 ( c ) 。 从( 2 1 ) 得 罢弘睾g 1 ) 詈“ ( 2 z ) 如果变换函数z = 础) 同时将f 平面实轴上的几个线段变换为z 平面 的多个线段在不同点相交形成一多角形曲线，应考虑 罢：一僧一q 声一g - - a 2 ) 睾g - - a 3 声g - - a n 声1 ( 2 3 ) 盯 其中a l a 2 a ， d 。都是实数，而其角度满足o 口 0 映照为多角形的内部区域。 2 2 2 柯西积分与其导数 参见文献【3 5 】，设厂( r ) = z o ) + i f 2 ( t ) 为在上给定的函数，并假定j ( t ) 在通常意义下可积。l 为简单光滑曲线，沿着曲线上作逆时针旋转时，曲 线l 的左侧为正，右侧为负。沿着曲线三所取的积分 几) = 荔17 f l r ( 一t ) ：d t ( 2 6 ) 称为柯西型积分，其中z 为平面上的某点。 函数f ( z ) 在全平面上( 除了上上的点以外) 全纯。若曲线包含有闭围 线，函数f ( z ) 在被曲线上所分割出的平面的每一部分的内部为全纯。且从 ( 2 6 ) 式可以看出，当z 趋向无穷远时f ( z ) 趋于零，即 f 0 ) = 0 ( 2 7 ) 对应的柯西积分的导数很容易通过对( 2 6 ) 式就z ( 此处认为z 不在 曲线工上) 直接微分右边的积分得到，即 一恸= 嘉腾 ( 2 _ 8 ) 对这个积分采用柯西积分公式得到 瓴) r = 秒( f 0 ) + 击黉 沼9 ， 2 2 3 柯西积分的边界值与初等公式 参见文献 3 7 】，如果在三上给定的函数，o ) 在曲线三的非端点“的邻域 l o l ，( f ：) 一f ( t 。】 a i , ：一r l r ， o 0 数值一称为迪里赫里常数，五一迪里赫里指数。则积分f ( z ) 从左到右皆可 连续延展于三上；即存在边界值f + “) 和f 一“) 。 此二边界值系由下面公式给出 f + 轧) = 扣) + 去阱， 蹦0 ) _ 一枷) + 去膦 ( 2 - o ) 以下引入一些很多情形非常便于计算柯西积分的简单公式1 3 7 】。 设工同上假设表示简单光滑闭围线。记号s + 表示以工为界的有限部 分，而用s 一表示位于上外部的点构成的平面的无限部分。围线工既不将它 归属s + 也不将它归属于s 一。由s + 与盐线的点构成的域，我们通常用 s + + 工表示，而由s 一与曲线三的点构成的域则用s 一十三表示。至于上的 正方向选择为使域s + 保留在左侧的方向。 设，0 ) 为在包含无穷远点的域s 一内全纯并在s 一+ 三内连续的数。 于是 熹陛：几) ， 2 痢? f z 上团迪：o ， 2 h i ? r z 当= 在s + 的内部， 当z 在s 一的内部 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 公式( 2 - 1 1 ) 是熟知的柯西公式，而公式( 2 - 1 2 ) 则为柯西定理的直接结 果，因为在此情形被积函数厂( ，) ，o z ) 被看作f 的函数时，它在s + 内全纯 并在s + + 内连续。 设，0 ) 为在包含无穷远点的域s 一内全纯并在s 一十三内连续的数。 于是 燕山大学工学硕士学位论文 2 耐f f 卜( t ) ：d t = 一，( z ) + ，。) ， 当z 在s 一的内部 互耐f f f 卜( t ) a ：t - = 厂。) ， 当z 在s 的内部 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 公式( 2 - 1 3 ) 将称为对于无限域s 一的柯西公式。若取三的正方向为使域s 一 ( 而非s + ) 保持在左侧的方向，公式( 2 一t 3 ) 与( 2 1 4 ) 的右边的符号将 相反。 为着推广前述的公式，预先作如下限制，设d 为z 一平面上的有限点， 并设此点的邻域厂0 ) 有如下形状 厂( z ) = g g ) + s o ( z ) ( 2 1 5 ) 式中磊( z ) 为在点4 的邻域全纯函数，又 刚2刍+瓦ai孑2南(2-16)a a z i z 一日jl z y 且a l ，a 2 ，a ，皆为常量。 此时，称，( z ) 在点口有f 阶极点并以g ( z ) 为主部。 仿此，若在点z = * 的邻域，既对于充分大的h 公式( 2 - 1 1 ) 成立，式 中此次的i o ( z ) 为在点z = m 全纯并在此点为零的函数，而 g ( z ) = a + a 1 z + 4 2 ( 2 1 7 ) ( a 1 , a ：，a i 皆为常量) ，则将称，g ) 在点z = 。有，阶极点并以g ( z ) 为主 部。 设函数，0 ) 在s + 全纯且在s + + 内连续，但在s + 内的q ，a ：，点可 能除外，在这些点的函数有极点，以g 1 0 ) ，g ：g l ，g 。z ) 为主部。于是 去孵= ，g ) 一g ( z ) 一g ：m g 。( z ) ，当z 在的s + 内( 2 - 1 8 ) 去孵= - g i ( z ) - g 2 ( z ) 飞( z ) ，当z 在的s 一内( 2 - 1 9 ) 设函数，( z ) 在s - 全纯且在s - + 内连续，但在s 一内的a i , a 。，点以 及z = o o 除外，在这些点的函数有极点，以g 。0 l g ：( z l ，g 。z ) 为主部，于 是 1 2 茎：童查堡墼堑塞堑旦型墼至型垫望 2 衙f f f f ( 一t ) ：d t = 一厂。) + g 。g ) + g ：o ) + 十g 。) 当z 在的s 一内( 2 - 2 。) 去衅- g 1 ( z ) 十g ：( z ) + n + g 翮，当琏盼内( 2 _ 2 1 ) 2 2 4 边界问题化归黎曼问题的解法 设简单光滑曲线三表示复变量z 平面上的有限个互不相交的开口弧与 闭围线的集合。所包含的开口弧的端点我们将称为围线的端点。这些 开口弧常用口6 ，或者几个开口弧时，用a 。b k ( 七= 1 , 2 ，) 表示，并规定从d 到 b 或从以到b k 的方向为正方向。用s 表示从全平面除掉属于的点而得到 的平面的部分。 设f ( z ) 为在s 上( 但不在上上) 给定的某函数，并满足以下条件： 函数f ( = ) 在s 上到处全纯；它从左到右均可连续延展到工上的各点，但端 点a 。，b 。除外；在端点a 。，b k 邻近，有不等式 其中c 表示端点唧， 的常数。 ( 2 2 2 ) 而为满足指定条件 这样的函数称为分区全纯于全平面上或者称为分区全纯。曲线称为 函数f 0 ) 的跳跃曲线或界线。 寻求以三为跳跃曲线，左侧与右侧边界值满足条件 f + ( ，) = g ( ，扩一( ，) + ，( ，) ( 2 2 3 ) ( 端点除外) 的分区全纯函数，其中g ( r ) 与，( r ) 为在l 上给定的函数，并 在l 上到处有g ( f ) 0 ，且满足条件日。 当g ( f ) = 1 时，按给定在li - 懒f ( t ) f + ( r ) 一f 一( f ) = ，( f ) 在三上( 2 2 4 ) 应用l i o u v i l l e 定理可以解得 1 3 燕山大学工学硕士学位论文 f ( z ) = 击孵+ c ( z 2 5 ) 其中c 为任意常数。如果希望f b ) = 0 ，则必须命c = 0 如果考虑更一般的问题。既假定所求的函数f ( ，) 到处分区全纯，但无 穷远除外，在此点函数有不高于m 阶的极点，应用推广的l i o u v i l l e 定理可 以得到 f ( z ) = 去膦+ 只( z ) ( 2 - 2 6 ) 其中p 卅( z ) 为次数不高于肌的任意多项式 兄( z ) = c 。z 8 + c 。一1 z ”一十+ c o ( 2 2 7 ) c 。，q ，c 。表示任意常数。 最后假定解f ( z ) 在给定的点毛，z ：，z ，m 分别有不高于 ，m ：，m f 阶的极点，即可看出 f o ) = 去腾十尺( z ) ( 2 2 8 ) 其中c 。，c 。为任意常数，r o ) 为有给定形式的诸极点的任一个有理函数， 即 喇= 骞 兰+ 南一爵卜蝎冲- + 印圆， 当g ( f ) = g 时，其中g l 为已知的一般复常数，即 f + o ) 一g f 一( 0 - - f ( t ) 在上上，但端点除外( 2 3 0 ) 首先求解在无穷远有任意阶极点的解，若，( f ) = 0 ，问题简化为齐次问 题 ，+ ( ，) 一g f 一0 ) - - 0 ( 2 3 1 ) 寻求下面形式的特解扎( 2 ) 1 4 )23咎( 一 ，三r，0 一 l f r 、r，勺 一 l f 。兀川 = 、，0 0 x o量常 为泸 +口 = ， 中其 兰：童奎堡塑堑塞盟旦型墼董! 坐墅堡 若函数j ，o ( z ) 为某确定的分支，在无特殊说明时取使l i m k “局( z ) j = 1 ， 即：对于充分大的h ，有 x o ( z ) = 了1 + 等+ - ( 2 3 3 ) 的那一分支，则z 。g ) 在s 7 内，即沿着l 割开的平面上全纯。 如果，从弧a 。b 。上的一点f 起始描一条包围端点吼或b 。但不与l 相交 的闭路，并注意当从弧a k b k 的左侧沿此闭路走向右侧时z a 。或z b 。的幅 角变化，则不难看出等式 x o ( o = e - 2 “y x ；o ) ( 2 3 4 ) 是成立的，因此，j ，0 0 ) 将满足边界条件( 2 3 1 ) ，若令e 2 ”= g ，可得 y 。口+ i p ：型+ 旦 ( 2 3 5 ) 2 痢2 石 其中0 表示常量g 的幅角。此幅角精确到2 七，r 形的项，其中k 为整数，但 这里只取0 s 口 2 ：r ；这样0 即完全确定。特别是，若g 为正数，则0 = 0 ； 若g 为负数，则0 = 万。 作为齐次方程的解的函数x o o ) 应满足条件 x ；( f ) = i ( f ) 在三上 ( 2 3 6 ) 眦有 g = 裂 舭上 ( 2 _ 3 7 ) 将此表达式代入边界条件( 2 - 3 1 ) 中的g ，可以得到 骥一骥：o 在上上 埘o ) x o q ) 。 “。一 因此，齐次问题的最一般的解可表为 f 0 ) = x o ( z ) p 0 ) ( 2 - 3 8 ) 其中p k ) 为任意多项式。 从公式( 2 3 3 ) 所确定的x 。( z ) 在无穷远的性态可知，如果希望得到在 无穷远为全纯的解，则必须假定多项式p z ) 的次数不超过疗。若希望 f b ) = 0 ，则尸( 2 ) 必须为次数不超过月一1 的多项式。 解( 2 2 8 ) 在趋近于端点时一般为无界。如果希望得到的解在指定的 燕山大学工学硕士学位论文 端点c 0 ，c l i 一，c ，临近有界，则必须选取以力，使它在此各点变为零，既取 j d 0 ) = ( z c ，k c ：) z q 妇( z ) ，其中q ( z ) 为多项式，此时解，( z ) 不仅 在指定点的端点临近有界，而且在此各点变为零。设 x ，z ) = 甄( z 一c ，一c ：) b c 。) ( 2 3 9 ) 可将在端点c oc l ，f ，c ，临近有界的解皆表示为 f 0 ) = x ，( z ) - q g ) ( 2 4 0 ) 的形式，其中q o ) 任意多项式，爿，o ) 与x 。g ) 相类似，是齐次方程的特解， 但在指定的端点临近有界，并在此等端点变为零。 因此可以得到端点c 0 ) c 1 ，t ，邰临近有界的通解 f 。) = 掣王i e f ( t ) d 刁t 。州 ( 2 - 4 1 ) 其中p ( z ) 为任意多项式。 由公式( 2 - 3 3 ) 和( 2 - 3 9 ) 可知对充分大的h 有 x p ( z ) = z 一”+ 占p - n - i ：”1 + ( 2 。4 2 ) 因此函数x ，( z ) 只当p 疗时方在无穷远全纯。 当所论的问题g = 一1 时，在此情形边界值具有如下的形状 f + ( f ) + f o ) = ，( f ) ( 2 4 3 ) 此时有 ，：口+ i p = 掣；要 ( 2 4 4 ) 因此，按公式( 2 3 8 ) 有 托g ) 2 1 = ng 一乃总一“2 丽丽雨鼋1 丽( 2 - 4 5 )j ；1 、婶一口l z 一仇，。婶一口n z d nj 若令x ( z ) = 坝i i 顶i 写丁 z i 习同，可得到在无穷远有极点的通 解 荆= 南l 掣磐+ 粥 协4 a ， 其中p g ) 为任意多项式。若多项式p g ) 的次数不超过玎。得到的是在无穷 1 6 第2 章本课题研究所用到的基础知识 远仍为全纯的解。 2 3 平面域中热学基础知识 生成在受在点c ，夕) 处产生的一定量值的热源影响下，平面应力场下 含有裂纹介质的热应力和热应力强度因子的基本单一结论。( 如图2 2 ) ( 1 b 舢 b ( - a , o )一( 口，o ) ： 图2 - 2 含热源的带裂纹介质 f i g 2 2t h e c r a c k e dm e d i u ma n dt h et h e r m a li n c l u s i o n 尢限六个眚裂驭阴，r 厦仕热探作用r 嗣况厦功很闻早 丁= 三。l 。g k 一口) 2 + ( y 一) 2 式中q = q 2 7 r 2 ，五是金属的导热系数。 这个温度场在介质内部产生了热应力分布 咿半 一芒嚼岫s k 刊2 舡】) 旷孕 ，一蠢嚼乩g k 刊2 啦卅，) 铲半 罄茂剖 ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 式中e 代表金属介质的弹性模量。 温度结果和热应力结果对于含有裂纹的介质是无效的。因为在裂纹表 面有多余的热流和这些解答引起的张力。为了消除这些多余的张力，必须 1 7 燕山大学工学硕士学位论文 考虑硐f 列条件祆足的笛裂织j r 质i 叫题 2 ， 仃j ，盯，f 秽寸0 在裂纹表面 小) = 牟卜g 2 】_ 蠢岛 啪，= 半 高等 。= 忑- 1c m ，( f 吩 城。习- 。1e 朋鸭。悔 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 在这种方法里，得到的应力强度因子可以被表示成闭合的形式。应力 强度因子的近似表达式可以推导出来，如下 午q e 2a , fl - 垂- f lco s再lsl +矿(a- a)s inl o,一半届 一q e 4 a tq 石。g 口2 + 卢2 + r +z 厢( 细s 幽n 别 + 孚后o + a l 0 9 2 ) + t q e a , 厚如吉岛 其中 q 一线胀系数m ( m c ) e 一弹性模量p a 月= r ，= g 2 一2 _ a 2 ) 2 + 4 口2 2 “2 b = b 14 - b 2 f s i n - 1 6 0 r , ) 睇+ 口0 o i i = 刀一s i n “0 0 r , ) 口+ 口 0 ，0 【一石一s i n 。1 )口+ a 0 ，声 0 1 8 ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) 第2 章本课题研究所用到的基础知识 只：= ，2 ) p7 屹) 。如) 口+ 口0 口+ a 0 ，口0 ( 2 - 6 0 ) 口+ a 0 ， 0 1 ：瓜i j 矿，也：瓜二j 矿 ( 2 6 1 ) 目2 = 口l 一 ( 2 6 2 ) 围绕着点r 的任何一个封闭边界的热流。经过任何一个弧长a b 热流为 一曝魂( 2 - 6 3 ) 其中s 为弧a b 所在的曲线，a 为热传导系数。 利用柯西一黎曼条件，对于函数f ( z ) 在直角坐标系下，公式( 2 - 6 3 ) 可以写成 g 。= - 2 2 i m f ( r ，z 聪 ( 2 - 6 4 ) 式中i m 】表示对 】中的函数求虚部 2 4 平面域中的力学基础知识 2 4 1 应力的复数表示 设在由直线三幻= 0 ) 限定平面域d 一上有应力分量 3 引 a2 ua 2 ua u 2 可2 可h 旷一丽 u g ，帮) 为平面中的应力函数，满足双调和方程 v