（光学工程专业论文）波前编码裂缝宽度测量系统的设计和图像恢复.pdf

摘要 对于用传统方法设计裂缝宽度测量系统，由于该系统的焦深小，通过机械调 整实现准确调焦困难，且在对应小景深内，由于光学系统存在像差和混凝土表面 凹凸过大等原因致使视场内图像无法完全清晰。同时，作为一款手持式测量系统， 有进一步简化其光学结构，降低其成本，减小加工装调的困难的要求。为了解决 上述问题，使用波前编码技术，在光学系统的光瞳上添加立方型相位板，获得彼 此差异极小的中间像，再通过图像恢复获得清晰像。分析了波前编码系统点扩散 函数的特点的基础上，设计一种计算量较小的快速的图像恢复方法。本文设计了 基于立方相位板的裂缝宽度测量系统，完成系统的加工、安装和调整。并根据立 方型相位板点扩散函数的特点，设计了一种以灰度梯度向量模方和为判据的等增 量旋转调整p s f 的维纳滤波方法，恢复模糊中间图像，最后进行系统的标定工 作。 本文的主要研究内容包括以下几个方面： l 设计了一种针对波前编码实际系统的图像恢复方法。这种方法从用 z e m a x 设计的系统中获得的点扩散函数出发，选择合适的图像质量评价标准为 判据自动旋转点扩散函数匹配实际系统。并在讨论点扩散函数矩阵大小的基础 上，采用循环边界技术来降低边界截断带来的影响。 2 设计了基于波前编码技术的裂缝测量系统。以最简单的单透镜为基础，通 过在光瞳处添加合适的立方型相位板，使整个系统对离焦不敏感，以克服通过机 械调焦困难的缺点。使用z e m a x 仿真模拟了该系统，分析了系统的点扩散函数 以及光学传递函数的性能特点。 3 选择灰度梯度向量模方和为判据调整系统的点扩散函数对波前编码裂缝 宽度测量系统的实际中间像进行了恢复。该方法恢复图像的质量与传统系统的最 佳像面略有下降，但比传统系统离焦的图像质量有很大提高。 4 完成系统的机械加工，装配和调试，最后进行了验证系统性质的实验。测 量了系统点扩散函数，验证算法中修正点扩散函数的正确性；通过实验证明了系 统的离焦不变性；选择不同目标物，验证所设计算法的普遍适用性；完成了对实 验系统的放大率标定和裂缝宽度实测工作。 关键词：波前编码裂缝测量图像恢复点扩散函数 a b s t r a c t i nm ep r e v i o u sd e s i g n e ds y s t e mb a s e do nt h et r a d i t i o n a l o p t i c a li m a g i n g t e c h n o l o g yf o rt h ec r a c kw i d t hm e a s u r e m e n t t h e r ea r es o m ed e f e c t sl i k et h ed i f f i c u l t y o fa c c u r a t e l yf o c u s i n ga n dt h ei m a g eb l u r r i n gc a u s e db yf i e l dc u r v a t u r eo rl e s sd e p t h o ff i e l d a tt h es a m et i m e ，a sah a n d h e l dm e a s u r i n gs y s t e m ，i ti se x p e c t e dt os i m p l i f y t l l eo p t i c a ls t r u c t u r ea n dt or e d u c et h ec o s ta n d 也ed i f t i c u l t i e si na s s e m b l i n g an e w s y s t e mb a s e do nw a v e f r o n tc o d i n gt e c h n o l o g yc a l le x t e n dt h ed e p t ho ff o c u sa n d e f f e c t i v e l yo v e r c o m et h e s ed e f i c i e n c i e s b yp l a c i n ga no p t i c a lp h a s em a s ki nt h ep u p i l t oe n c o d et h ew a v e f r o n to ft h eo p t i c a ls y s t e m ，w ec a ng e ta l li m m e d i a t ei m a g eo f w f c s y s t e mt h a ti si n v a r i a n tt ot h ed e f o c u sd i s t a n c e a n dt h ec l e a rs h a r pi m a g ec a l l b er e s t o r e db yd i g i t a lp r o c e s s i n g a n db y a n a l y s i so fw a v e f r o n tc o d i n gs y s t e m sp o i n t s p r e a df u n c t i o n , an e wk i n do fa l g o r i t h mw h i c hi sm u c hf a s t e ri sd e s i g n e d i nt h i s p a p e r , w ed e s i g n e dac r a c kw i d t hp l a t em e a s u r i n gs y s t e mb a s e do nt h ec u b i cp h a s e m a s k , p r o c e s s e da n da d j u s t e d w i t ht h ec h a r a c t e r so fp o i n ts p r e a df u n c t i o nw i t hc u b i c p h a s em a s k , w ed e s i g n e dt h ew i e n e rf i l t e r i n gb a s i n go nr o t a t i n gt h ep s fw i t ht h e c r i t e r i o no ft h es u l no fs q u a r eo fg r a yl e v e lg r a d i e n tv e c t o rm o d u l e ，a n dt h e nr e s t o r e t h eb l u r r e di m a g e s a tl a s t w ed e m a r c a t et h es y s t e m s s o m er e s e a r c h e si nt h i sd i s s e r t a t i o nh a v eb e e nc a r r i e do u ta st h ef o l l o w i n g ： 1 t h ei m a g er e s t o r a t i o nm e t h o df o r 也ea c t u a ls y s t e mo fw a v e f r o n tc o d i n gi s p r o p o s e d t h em e t h o da d j u s t e dt h ep o i n ts p r e a df u n c t i o ng o tf r o mz e m a xw i t ht h e c r i t e r i o no fi m a g eq u a l i t yi sp r o p o s e d a n db ya n a l y s i so fw a v e f r o n tc o d i n gs y s t e m s p o i n ts p r e a df u n c t i o n sm a t r i xs i z e u s et h eb o u n d a r yc y c l et e c h n o l o g yt or e d u c e 也e e f f e c to fb o u n d a r yt r u n c a t i o n 2 am e a s u r i n gs y s t e mb a s e do nw a v e f r o n tc o d i n gt e c h n o l o g yi sd e s i g n e d b y a d d i n gc u b i cp h a s em a s ka tt h ep u p i lo ft h es i m p l e s ts i n g l el e n s ，t h ew h o l es y s t e mi s i n s e n s i t i v et od e f o c u s w i t hz e m l 气xw es i m u l a t e dt h es y s t e m a n da n a l y z e dt h e s y s t e m sp o i n ts p r e a df u n c t i o na n do p t i c a lt r a n s f e rf i m c t i o n 3 w i t ht h ec r i t e r i o no ft h es b mo fs q u a r eo fg r a yl e v e lg r a d i e n tv e c t o rm o d u l e a d j u s tt h ep s ft or e s t o r et 1 1 ei m a g e sw h i c hc o m ef r o mt l l ea c t u a lw a v e f r o n tc o d i n g s y s t e m s t h eq u a l i t yo fr e s t o r a t i n gi m a g ei sw o r a et h a nt h a ti nt r a d i t i o n a ls y s t e m sa t 也ef o c u s b u ti ti sb e t t e rt h a nt h a ti nt r a d i t i o n a ls y s t e m sw h i c hd i s f o c u s 4 t h em e c h a n i c a ls t r u c t u r eo ft h es y s t e mw a sd e s i g n e d , p r o c e s s e da n da d j u s t e d f i r s to fa 1 1 w em e a s u r e dp o i n ts p r e a df u n c t i o nt ov e r i f yt h ea l g o r i t h mt oa m e n dt h e a c c u r a c yo fp o i n ts p r e a df u n c t i o n t h e nw ep r o v e dd e f o c u si n v a r i a n c et h r o u g ht h e e x p e r i m e n t ，a n dc h o o s ead i f f e r e n tt a r g e tt ov e r i f i rt h eu n i v e r s a la p p l i c a b i l i t yo f a l g o r i t h m f i n a l l yd e m a r c a t e dt h es y s t e m s k e yw o r d s ：w a v e f r o n tc o d i n g ，m e a s u r ef o rt h ec r a c kw i d t h ，i m a g er e s t o r a t i o n ， p o i n ts p r e a df u n c t i o n 独创性，t 旨明 本人声明所呈交昨学位论文是本人在导师指皆下进行的研究工作和取得的 r 研究成熙除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或疑他教育机构的学位或征 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何顷献均己召：论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：荔起 签字同期： 冲9 年9 月f 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 为越 签字同期：尹年9 月l 同 导师签名： 签字同期： 第一章绪论 第一章绪论 众所周知，理想光学系统对立体空间的物体成像时，只有一个与像面共轭的 物面成清晰像，其他物面在像平面上所成的像为一弥散斑。但如果弥散斑足够小， 这些弥散斑构成的像仍可以看作为清晰像。任何光能接收器，如眼睛、感光乳剂 等都是不完善的，并不要求像平面上的像点为一几何点，而是根据接收器的特性， 规定一个允许的分辨率数值，当入瞳直径为定值时，便可以确定成像空间的深度， 在此范围内的物体对一定的接收器可得到清晰的图像。在景像平面上所获得的成 清晰像的空间深度称为成像空间的景深，简称景深。能成清晰像的最远的平面称 为远景平面，能成清晰像的最近平面称为近景平面。光学系统的景深，就是保证 在像面上清晰像时，物体在物空间的前后移动的最大距离。同样，如果物体固定， 而保证在像面上成清晰像的情况下，使得像面在其共轭像平面前后移动的最大距 离，通常称为焦深。由此可见，景深和焦深其本质是统一的，只不过景深为物方 参数，而焦深是像方参数。一般的研究都考虑像方空间，所以理论推导也多用像 方参数。在本论文中所有推导也使用焦深概念，但是得到的结论同时适用于景深。 对于光学系统在共轭像面上成的清晰像，随着离焦量的增大，点物所成的弥 散斑变大，像就会由清晰变得模糊。在一般情况下，我们都希望得到尽可能大焦 深的光学系统，因为大的焦深具有以下三个优点：一、大的焦深就意味有更大的 成像空间，能获取更多的物方信息。二、大焦深可以校正各种原因造成的离焦所 引起的误差，包括球差、色差、匹兹法像面弯曲以及由安装误差和温度变化所引 起的离焦，减小了物体信息在成像过程中的损失。三、可以更好的进行三维显示， 如用显微镜来观察三维物体和对大型物体成像中产生更加真实更加适合于人眼 的三维视觉。由于大焦深系统有这么多的优点，在实际应用中有着重要的意义， 所以长期以来备受许多研究者们的关注。 1 1扩大景深的常用方法 1 1 1 缩小孔径 实际光学系统校正像差后，除了在理想像面上可获得清晰的像以外，常把理 口1， 想波面的参考点沿轴向离焦，使波像差不超过2 ( 由一2 到2 ) 时，也能得到清 244 晰的像，此时把对应的离焦量称作焦深。当已知系统的入射光瞳直径d 及系统的 焦距厂后，焦深可以用如下公式计算： a 1ff , x 2 2 8 l = 一- i r f k i 上l ( 1 1 ) 玎d 所以为了增大系统的焦深，通常采用缩小系统相对孔径的方法，但这一做法 有其不可避免的缺点： 第一章绪论 ( 1 ) 降低通过光学系统的光通量。若减小出瞳直径为原来的二，则光能量会 工 降至原来的二。 x ( 2 ) 降低系统的分辨率，会造成图像细节模糊。 1 1 2 光学切趾法 延拓景深的一种方法是在孔径光阑处加入振幅相位掩膜板，即通常所说的 光学切趾术。其基本原理是通过寻找合适的孔径切趾函数，使得由此孔径切趾函 数得到的在其像面上与离焦系数w ：。不敏感。根据实际情况，增加合适的约束条件， 可以获得合适的孔径切趾函数，如高斯函数，环形函数，明暗孔径【l 】【2 1 等。 因为通过切趾方法扩大系统的焦深同样也是以降低系统的光通量为代价， 其像方的空间分辨率也同样受到了影响。 1 1 3 数字图像处理的方式 可以通过对模糊的离焦图像进行数字图像处理来进行图像恢复、图像增 强的方法，从而扩大系统的景深。一种滤波方法是由r r a m o s - l o p e z 提出的基于 最佳线性估计和递归理论的k a l m a n 滤波3 1 。此滤波方法不考虑噪声。且假设最佳 线性估计为： 6 ( k ) = a 6 ( k 一1 ) + g ( 后) ， ( 1 2 ) 上式右边第一项表示上一次估计的权重，第二项为实际记录像的权重。经过 多次迭代，可以最后得到恢复的图像。 另一种方法认为光学成像系统是线性系统，其成像可以表示为： i = h o + n( 1 3 ) 其中i 为目标像，0 为目标，n 是噪声，他们都是m 2 维列向量，h 为m x m 矩阵，代表系统点扩散函数，图像处理的目标是从式( 1 2 ) 恢复出来的物分布 0 ，这个过程称为滤波。有m a e d a 提出最小化以下目标函数： 吐呼1 1 1 一面l | 2 + 占m l 一 ( 4 ) e idl 为数学期望值，为衰减系数，也称为调整系数。从而得到了近似的 w ie n e r 滤波【4 】口 数字图像处理的方法，由于缺少先验知识，单纯依靠估计以及多次迭代，难 免存在计算量过大和估计不准的缺点。 1 1 4 波前编码技术 波前编码技术( w a v e f r o n tc o d i n g ，简称w f c ) 是9 0 年代才发展起来的一门新 技术，同样可以提高系统的焦深。波前编码技术，是由d o w s k i 和c a t h e y 在1 9 9 5 第一章绪论 年首先提出的p 】。波前编码技术与前述技术最大的不同点在于，其将增大景深的 任务分配到光学成像以及数字图像处理两个部分，大大降低了系统实现的难度， 波前编码系统的系统框图如图1 - 1 所示，其原理是在光学系统的出瞳面加入一个 相位平滑变化的纯位相光瞳掩模板，可以看作位相掩模对波前进行编码 ( e n c o d e ) ，使得光学系统的成像对离焦不敏感，再结合适当的数据滤波处理对中 间模糊像进行解码( d e c o d e 解码) ，得到离焦的清晰像。该项技术不仅能拓展系统 的景深达到1 0 倍以上，而且在一定程度上可以抑制球差、色差、匹兹凡像面弯 曲、彗差、像散等像差【7 】【引，减小由温度引起的误差，以及安装引起的误差。 与上面几种技术相比，波前编码技术可以在不降低系统通光量和系统分辨率 的前提下，达到扩大系统景深的目的。 j 一 ，、 7 一 数字荣号 = 一璐嫁後 f 处理 - _ 1 l 一n c c 。 - t 图1 - 1 波前编码系统的框架图 1 2 课题研究的背景和意义 波前编码技术由光学系统的设计和数字图像的恢复两个部分组成。目前的研 究热点主要集中在相位掩膜板的设计6 】【7 】【8 】 波前编码系统参数的优化【9 】【1 0 】 1 1 1 以及 波前编码系统特性的分析【1 3 】【1 4 】，而对于波前编码系统图像恢复工作的研究目 前还比较少，目前报道的方法有使用减反射边界条件的微小残留的恢复方法【l 纠、 最小平方法1 1 6 】以及m r n s d 1 7 】法等。减反射边界条件的微小残留的恢复方法是将 波前编码的图像描述成广义西尔维斯特方程，在提特洛夫规则化条件下，使用微 小残留的方法恢复图像。m r n s d 法是一种非线性迭代的方法，它通过设定迭代的 步数，反复迭代最终获得恢复图像。这些方法的优点是处理结果系统的点扩散函 数的依赖性较小，但运算量比较大，处理速度相对较慢。而对于一般常使用逆滤 波、维纳滤波，对于系统的点扩散函数的准确性要求较高。并且准确测量实际系 统点扩散函数比较困难，限制了这种方法的应用。因此，设计了一种针对波前编 码实际系统的图像恢复方法。这种方法从z e m a x 中获得点扩散函数并使用图像 质量判据自动旋转匹配点扩散函数。并在讨论点扩散函数矩阵大小的基础上，采 用循环边界技术来降低边界截断带来的影响。 为了发挥波前编码技术的优越性，我们将波前编码技术应用在混凝土裂缝宽 度的测量系统中。由于混凝土的组成材料、结构体系、受力状态和外界环境等诸 第一章绪论 多因素的影响，致使混凝土结构裂缝产生的原因十分复杂【1 引。测量裂缝的宽度、 区分裂缝的性质对监测建筑结构的健康状态、避免混凝土结构损坏性缺陷，执行 国家颁布的混凝土结构设计规范( g b j l o - 8 9 ) 要求，调解购房消费者的纷争都 具有十分重要的意义。 目前大多数建筑设计、施工和监理部门所使用的裂缝宽度测量方法还比较落 后，主要有目测法、检验规比对法和读数放大镜法。为克服靠人工读取、记录数 据，使测量结果人为影响因素较大，缺乏客观性和权威性，且效率低、劳动强度 大等问题，我们曾与天津市建筑科学研究院联合立项开展测量系统的研究，设计 研制了基于传统光学成像的混凝土结构裂缝宽度自动测量系统1 9 】【2 们。它可以由 硬件设备采集得到的系列混凝士结构裂缝图像，然后对整个待检测区域的全景 图像利用数字图像处理技术进行处理，最终得到裂缝的形状、走向、宽度等信息。 对被测的裂缝进行数字化建模后用计算机技术进行进一步分析，以准确判断工程 结构构件的损伤程度。系统研制成功后必然将减轻检测工作的劳动强度，提高测 量效率、水平和精度，保证检测工作的客观性和权威性，技术进步将给建筑质量 提高和检验监督工作带来相当的益处。 作为一款手持式测量仪器，在装调和使用中发现了如下几点需要改进的问 题： 第一，由于该系统的焦深小，通过机械调整实现准确调焦困难，且在对应小 景深内，由于光学系统存在像差和混凝土表面凹凸过大等原因致使视场内图像无 法完全清晰。 第二，作为一款手持式测量系统，我们希望进一步，简化其光学结构，降低 其成本，减小加工装调的困难。 而波前编码技术可以很好的解决上述问题。该技术不但可以在不降低通光能 量和系统分辨率的前提下，扩大系统的景深，而且对系统的多种像差有一点矫正 作用。波前编码技术将成像工作分成光学和图像处理两个部分来完成，可以有效 的降低系统对光学部分的依赖，简化光学结构，降低光学设计难度。 因此，设计了一种波前编码裂缝宽度测量系统，并以此系统作为实验系统， 实验验证了波前编码图像恢复方法的正确性。 1 3 本文的主要工作 本文是针对裂缝探测系统对景深的要求，将波前编码技术应用在裂缝探测系 统中，设计了基于立方相位板的裂缝宽度测量系统，完成系统的加工、安装和调 整。并根据立方型相位板点扩散函数的特点，设计了一种以灰度梯度向量模方和 为判据的等增量旋转调整p s f 的维纳滤波方法，恢复模糊中间图像，最后进行 系统的标定工作。 本文的主要研究内容包括以下几个方面： 第一章绪论 1 设计了一种针对波前编码实际系统的图像恢复方法。这种方法从用 z e m a x 设计的系统中获得的点扩散函数出发，选择合适的图像质量评价标准为 判据自动旋转点扩散函数匹配实际系统。并在讨论点扩散函数矩阵大小的基础 上，采用循环边界技术来降低边界截断带来的影响。 2 设计了基于波前编码技术的裂缝测量系统。以最简单的单透镜为基础，通 过在光瞳处添加合适的立方型相位板，使整个系统对离焦不敏感，以克服通过机 械调焦困难的缺点。使用z e m a x 仿真模拟了该系统，分析了系统的点扩散函数 以及光学传递函数的性能特点。 3 选择灰度梯度向量模方和为判据调整系统的点扩散函数对波前编码裂缝 宽度测量系统的实际中间像进行了恢复。该方法恢复图像的质量与传统系统的最 佳像面略有下降，但比传统系统离焦的图像质量有很大提高。 4 完成系统的机械加工，装配和调试，最后进行了验证系统性质的实验。测 量了系统点扩散函数，验证算法中修正点扩散函数的正确性；通过实验证明了系 统的离焦不变性；选择不同目标物，验证所设计算法的普遍适用性；完成了对实 验系统的放大率标定和裂缝宽度实测工作。 第二章波前编码系统的理论基础 第二章波前编码系统的理论基础 波前编码成像技术是近年来出现的一种集光学成像和数字信号处理相结合 的综合成像技术。是光学技术与电子学技术紧密结合的典范，是对成像技术的一 次革新【2 1 1 【2 2 】【2 3 1 。它是一种基于线性系统理论，以模糊函数( a m b i g u i t yf u n c t i o n ) 和稳相位法( t h em e t h o do f s t a t i o n a r yp h a s e ) 为分析工具，以傅立叶光学为理论 基础，通过在传统光学系统的孔径光阑处加入一个相位掩膜板( 通常为非球面透 镜) ，对非相干波前进行编码，使得光学系统的光学传递函数( o t f ) 对离焦不 敏感，然后经过数字图像处理技术对中间像进行解码来获得最终的清晰像，从而 达到扩展传统光学系统焦深的目的的成像技术。波前编码主要用于扩大景深的波 前编码技术很好的解决了景深与成像质量互为矛盾的问题。 2 1 点扩散函数和光学传递函数 由于光通过大多数介质传播的波动方程具有线性，所以可以把光学成像过程 看作是由物光分布到像光分布的一个线性变换，在一定条件下这种变换还具有不 变性。故可将光学系统看作是线性系统，应用线性系统理论处理光学中的成像问 题。对线性系统的分析通常使用傅立叶理论，把物方信息分解成不同的空间频率 成分，由于光学成像系统存在各种像差以及孔径光阑的限制，这些空间频率分量 在系统传递过程中丢失、衰减、相移等等，从而影响成像质量 2 4 】。 对于一个光学系统，所有像差最终都体现在出瞳的位相变化上，出瞳的位相 分布决定着成像质量，对于理想的光学系统点物在出瞳的位相分布为汇聚的球面 波 2 5 1 。在物理光学中常用一个函数来表示出瞳上的位相分布情况，并称这个函 数为出瞳函数表示为： p ( x ，y ) = p ( x ，y ) e x p j k w ( x ，y ) 】 ( 2 1 ) f 0 p ( x ，y ) = 【1 墨y 在光瞳内 其他 对于非相干成像系统，物像关系满足下式： ( 2 2 ) ( 葺，只) = j i ，i g ( x o ，y o ) h z ( x , - x o ，y ，- y o ) d x o d y o ( 2 - 3 ) 式中七是实常数，是几何光学理想像的强度分布，为像的强度分布，啊 为光强脉冲响应( 或称非相干脉冲响应、点扩散函数) 它是点物产生的衍射斑的 强度分布，对于一个理想的完善光学系统在其焦平面上成完善像，即点物成点像。 一个点物的光场在像平面上产生的输出函数，称为点扩散函数( p s f ) 【2 6 1 。在数 学上可以表示为出瞳函数的傅立叶变换的模的平方，它所表征的是系统在空间域 第二章波前编码系统的理论基础 的成像特性。计算公式为： h 1 ( x , ，只) = i f p ( x ，y ) 帆r 丑( 2 - 4 ) 1 1 柚| 光学系统的空间频率传递响应特性就是光学传递函数，所表示的是系统在不 同频率上传递物方信息的能力。光学传递函数实际上是点扩散函数在频率域上的 表示，为点扩散函数的傅立叶变换【2 7 】： 眦圳2 篇笔 ( 2 5 ) 利用式( 2 4 ) ，由广义光瞳函数先求出点扩散函数，再根据式( 2 5 ) 计算 o t f 的方法称为两次变换法。这种方法可以给出o t f 的完整信息，但计算量大。 引入快速傅立叶变换技术后，该方法才实用化。通常把h ( 六，兀) 称为非相干成 像系统的光学传递函数( o t f ) 。它描述非相干成像系统在频域的效应，通常是 复函数，可以表示成： ( 六，乃) = 聊( z ，l ) e x p j # ( f ，) 】 ( 2 - 6 ) 式中，m ( l ， ) 常称为调制传递函数( m t f ) 描述系统对各频率分量对比度 的传递特性，而矽( 六，工) 则称为相位传递函数( p t f ) 描述系统对各频率分量施 加的相移【2 8 】【2 9 1 。 由傅立叶变换的自相关定理由( 2 6 ) 可以得到： 眦删= 胁+ 警肘竽嗍x 一半扩竿，蚴协7 ， 其中p ( x ，y ) 为广义出瞳函数，为了推导和说明的方便，将广义出瞳函数进行 归一化处理令甜= 六名谚l 弛，v = 六弛厶五d ，其中厶为相干光下系统的截 止频率，六= x 名巧，l = d 2 a 船i , ，得到u = 2 x d ，= 2 y d ，于是广义出瞳 函数归一化后为： p ( u ，v ) = p ( u ，v ) e x p j k w ( u ，1 ，) 】 ( 2 - 8 ) 加，= 化翌愁蔓 协9 ， 系统的光学传递函数( o t f ) 则变为： 脚，v ) = 彤+ 兰卅沙砍f 一兰旷争彬却 ( 2 - 1 0 ) 第二章波前编码系统的理论基础 式( 2 1 0 ) 略去了常量，严格意义上，出瞳应该是空间坐标的函数，但归一化后 意义不变，并且有利于理论的推导和理解的方便。 2 2 稳相法和模糊函数 2 2 1 稳相法 稳相位法 3 0 1 是光学中经常出现的某类积分的渐进逼近。这类积分可写为： j g ( z ) e x p ( j k f ( z ) ) 出 ( 2 1 1 ) 式中g ( d s , 厂g ) 与j i 无关。 满足孚：0 的点称为鞍点。在积分中这些点起着重要作用，因为在这些点处 比 厂b ) 的实部和虚部对于复平面中的位置是5 f 稳的，不是绝对极大或极小。( 解析 函数的实部和虚部在复平面内没有绝对极大或极小。) 如果厂g ) 可以写为：g ) = 甜g ，y ) + j y g ，y ) 则由柯西黎曼关系可以证明， 沿任意一条v ( x ，少) 等于常数的路线，甜g ，y ) 的变化率只能在鞍点处为零。在 ( 2 - 11 ) 式中这就意味着指数的振幅部分沿此路线为一常数，而相位部分变化极 迅速。可以确定，只有邻近鞍点或端点的那些部分路线才对积分有重要贡献。稳 相位法最早有k e l v i n 明确提出，其后w a t s o n 给出了严格的数学证明。在波前编 码的立方型位相掩膜板的推导中，稳相位法提供了近似依据。 2 2 2 模糊函数和光学传递函数的关系 模糊函数( a f ) 最早有w o o d w a r d 提出并用于雷达领域【3 1 】【3 2 】，它是频率与时 间相结合的自相关函数，表示速度和频率之间的测不准关系。p a p o u i l s 研究发现， 某些光学问题可以用模糊函数来解释，至此将模糊函数引入光学领域中。随后， b r e n n e r 在研究光学系统的焦深问题是发现，当作适当的坐标变换后，模糊函数 可以用来表示所有离焦下系统的光学传递函数。这为研究光学系统焦深问题提供 了一个非常有利的工具。 模糊函数在光学中的应用称为离焦传递函数( d t f ) 、离焦传递函数可作为 一个以离焦量为自变量表示光学系统o t f 的函数。 已知模糊函数有如下定义： 吧 4 ( “，y ) = ip ( f + u 2 ) p ( 孝一u 2 ) e x p ( j 2 r c y ) d 孝 ( 2 1 2 ) 一维下的离焦广义光瞳函数为： 第二章波前编码系统的理论基础 尸( 甜) ： p ( z f ) e x p 腩吼o u 2 悱1(2-13)、7 、0 o t h e r w i s e 其中、2 0 称为系统的离焦系数，它的大小由如下式表示： 5 三( 手一百1 一百1 ) ( 2 - 1 4 ) r 为光瞳半径，f 为焦距， 根据( 2 1 0 ) 式对应的o t f 为： h ( u ，。) = f p ( 善+ “2 ) p 一科2 ) e x p ( y 2 k w 2 。善“) d 善 ( 2 1 5 ) 由式( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 可以得到当y = 2 u g 。2 时的模糊函数就是系统的光学 传递函数，也即光学传递函数是模糊函数的特例。即： h ( u ，o ) = a ( u ，2 o u 2 ) ( 2 - 1 6 ) 所有离焦量下的o t f 的值可以用a f 中经过原点，斜率为2 g 。旯的直线来表示。 2 3 立方相位板的光学传递函数及其离焦不变性 一维光学系统模糊函数( ( 2 1 2 ) 式所示) 正是满足稳相法的那种类型的积分， 因而可以用稳相法来求解积分式。为了仍以一维光学系统为例，在不考虑系统除 了离焦以外的其它像差，假设相位掩膜板的归一化表达式为： p c x ，= t 三e ：秒( x ) 1 ；三：主： c 2 7 ， 其中p ( x ) 为未知的非线性表达式，1 2 为归一化系数。将( 2 1 7 ) 代入( 2 1 2 ) 中将得： 11 - - l u ，2 a ( u ，v ) 2 寺j e x p i f ( x + u 2 ) e x p 一i o ( x u 2 ) e x p ( i 2 ；r v x ) d x ( 2 - 1 8 ) 假定相位板的形式是非线性的高次单项式秒( x ) = 口x ，其中，0 , 1 口0 。再 次代入( 2 1 2 ) 中将得到： 1l 十，2 i a ( u , v ) = 寺j fe x p i , 9 ( z ) e x p ( i 2 n v x ) d x 川2 ( 2 1 9 ) 汐( x ) = 口 ( x + 甜2 ) 7 一 - u 2 ) 7 】 ( 2 2 0 ) 第二章波前编码系统的理论基础 利用稳相法得到： 枷吲种2 e x p 2 万蟛删别( 2 - 2 1 ) 其中置为稳相点，要使得i 彳( “，1 ，) i 与v 无关必须满足置与v 成线性关系且由稳相 点满足： 昙【2 7 r v x + 1 9 ( x ) 】：0 ( 2 2 2 ) 得到： 2 刀v + m ( x ，+ u 2 ) 7 一膨( 墨- u 2 ) 7 = 0 ( 2 2 3 ) 显然在y = 3 的时候置与，成线性关系，且五= “o ，可求得： 脚) ( 南炜州- 舢- 彳- ) e x p ( 一面7 - 2 v 2 ) 例 ( 2 - 2 4 ) 通过式( 2 2 4 ) 和o t f 与模糊函数的关系可以得出 脚焉) ( 南) i ，2 删了o g u 3 恻一f 譬) 删m 嘲- l ( 2 _ 2 5 ) 这里把式( 2 2 5 ) 称为静态解，可以看出，近似的振幅传递函数( m t f ) 和离焦 参量呒。无关，而相位近似相位传递函数( p t f ) 包含两项，第一项和离焦参数 无关，第二项却和吸。成二次方关系，且和频率成正比。这反映在点扩散函数上 就是p s f 的位置随着离焦而发生平移，同时它和口成反比，这就意味着可以通 过增大口来使得第二项的影响尽可能小。如果口足够大，则( 2 2 5 ) 变为： 脚几) ( 南) 1 2e x p ( f 争胖。 ( 2 2 6 ) 2 4 立方型相位板的点扩散函数 一个点物的光场在像平面上产生的输出函数，称为点扩散函数( p s f ) 。在数 学上可以表示为出瞳函数的傅立叶变换的模的平方，它所表征的是系统在空间域 的成像特性。同样考虑一维情况下的光学系统，并对出瞳函数进行归一化： m ，= 击e 1 瞄 协2 7 ， 加入三次相位板后波前编码系统的点扩散函数( p s f ) 为： 笫二章波前编码系统的理论基础 乃c x ，巧乏。，= l zl i 二l e x p ( j o t u 3 + j k w 2 0 u 2 - j 2 r t x u ) d u l 2 其中x 是简化的像空间坐标，对于积分： l p s f c = j e x p ( j a u 3 + j k w 2 0 u 2 - j 2 z r x u ) d u - 1 对比式( 2 1 1 ) 得到： 厂( 材) = o i u 3 + 七o u 2 - 2 ；r x u 其一阶导数为一元二次函数，所以会出现两个稳相点的情况： 厂( ”) = 3 a u 2 + 2 k w z o 甜一2 n x ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 令( 2 - 3 1 ) 式为0 ，即3 0 t u 2 + 2 七o u - 2 x x = 0 ，稳相点的存在必须首先满足： ：4 七2 2 。+ 2 4 7 r a z o 眠一些 o 础 ( 2 3 2 ) 解得两个稳相点为： - 2 k w 2 0 + 4 4 k 2 呢+ 2 4 r r c t x 一七吸o + i | 2 2 0 + 6 r t a x h = 一= 一 6 a ：3 a u ：兰生鉴! 二型竺堕三兰竺兰：)2- k w 2 0 - 4 k z w 2 ：o + 6 r t a x ( 2 - 3 3 =-。-。二。-。一=一 j 考虑到稳相点应该限制在【1 ，l 】之间，则可得到结论： 当一答2 堑2 x o 时： 2 n 2 7 1 。 p 踺( 功 当o 兰刿或x 一二 6 m r 一墨22 z 3 a - 2 k 0 1 6 x o t2 n 一般情况下( 2 3 7 ) 式中的七暖。和僦相差一个到两个数量级，所以由该式得 到的近似的点扩散函数几乎不受离焦系数。的影响。考虑无限孔径时的点扩散 函数，只需将式( 2 3 7 ) 进行一个简单的变量替换”= t - k w ：。3 a ，即可以表示 成为一个艾里函数( 嘶f u n c t i o n ) 的平方： 她舻牡蝴3 叩m + 等川出1 2协3 8 ， ：2 万：( 3 口) ；a t 2 - 2 万( 3 口) j 1 ( x + 墼) 】 由式( 2 3 8 ) 可以得到，当不考虑孔径大小限制对于不同离焦系数。，也就是 不同的离焦量下，只会引起点扩散函数产生一个大小为堡垦的空间位移，并不 会影响点扩散函数的形状。由于光学传递函数是点扩散函数的傅立叶变换，由傅 立叶变换的性质可知，这个空间位移并不会影响调制传递函数( m t f ) 值的大小， 只会给相位传递函数( p t f ) 增加一个e x p ( 一歹k 2 _ w 盐2 “) 的线性相移。这个结论和 在频率域内得到的光学传递函数的表达式( 2 - 2 5 ) 相吻合。对于有限孔径时，仍 掣蝉 一叫叫一h髫幼 型。 带万 x 坠 第一章波前编码系统的理论基础 对式( 2 - 2 8 ) 进行变量替换h = 卜k w , o 3 a ，则可得到： 慨 l 嘻州- j 2 n ( x + k 石2 w 2 0 2 m 曲 协 可以看出除了兰主! 芷的空间位移外，点扩散函数的积分范围，即孔径也平移了 k w , o ，相对于归一化后的孔径而言! 学r 卫可以忽略不计，由式( 2 3 9 ) 得到结 果同样会导致相位传递函数的一个线性相移而不影响调制传递函数。 图21 是二维下不同离焦量时传统光学系统和波前编码系统的点扩散函数， 从图中的比较可以看出传统光学系统的p s f 随着离焦量的增大，弥散斑的半径 也随之增大所以在离焦的情况下将得到十分模糊的图像，而波前编码系统的 p s f 随离焦量的改变并没有发生很大的变化，保持了很好的一致性，虽然得到的 中间像是模糊的，但是基于这种一致性，町以运用统一的方法柬对图像进行恢复。 自2 1 统兜# i 日波前犏日光学系统( = 女n w 板口= 2 0 月) p s f 轻 第二章波前编码系统的理论基础 2 5 立方型相位板的点列图分析 在几何光学的成像过程中，由一点发出的许多条光线经光学系统后，由于像 差的存在，使其与像面不再集中于一点，而是形成一个分布在一定范围的弥散图 形，称之为点列图。这些点的密集程度可以用来衡量光学系统的成像质量。光学 成像系统的点列图，由于它在一定程度上可以近似作为光学系统的点扩散函数， 往往用来作为评价光学系统成像质量的一种常见手段。因为与点扩散函数相比， 点列图的计算相对较为简单。因此本节将从几何光学的角度，采用光线追迹的方 法分析引入立方型相位板后波前编码光学成像系统的点列图的形状、强度、边界 分布，这将有助于对波前编码系统成像本质的进一步理解【3 3 1 。 2 。5 1 光线像差的导出 设p d ，丑和只是物点昂发出的一条光线分别与入射光瞳平面、出射光瞳 平面和高斯像面像平面的交点。如果置+ 是p o 的高斯像，则矢量4 = 只只称为 光线的像差，或简称光线像差。 在实际光学成像系统中，入射到光学系统中孔径平面相位板上的光线，对 于指定的视场，不一定是完全平行的光束，而是具有一定角度分布的锥形发散或 会聚光束，这样的光束结构分析起来比较困难。为简化分析，这里我们以一块理 想的其光栏在透镜前面的透镜且立方相位板在孔径平面上为例，同时物距相对于 光学系统的焦距要大很多的情况下，这样的分析还是准确的，能反映波前编码成 像系统的点列图的特性。 藉于上述假设，为了分析平行光入射情况下立方相位板引入的光线像差，如 图2 - 2 所示构建波前编码成像系统和坐标系。将一块半径为，折射率为刀的立方 相位板放置在一个焦距为厂的理想透镜前，并且将系统的光阑设在相位板靠