（控制理论与控制工程专业论文）复杂动态加权网络的同步与控制研究.pdf

复杂动态加权网络的同步与控制研究 摘要 2 0 世纪末以来，对复杂网络的研究开始更多地关注节点数量众多、连接结 构复杂的实际网络的拓扑结构及其动力学行为。同步是其中一种重要的动力学行 为。和以前的研究不同之处在于，基于复杂网络理论的同步研究更为关注网络的 拓扑结构对网络同步化能力的影响；比如是否可以利用网络的局部或者全局的拓 扑结构性质来提高网络的同步化能力，如何设计具有给定同步化能力的网络；以 及节点的非线性动力学对网络同步化能力的影响等。 网络的拓扑结构和节点的动力学的相互作用对网络同步化性能的影响是近 期复杂网络领域的一个重要课题。论文在综述复杂动态网络同步研究现状的基础 上，基于各种复杂动态加权网络模型，研究了这些网络的同步化行为，分析了不 同拓扑性质对网络同步化性能的影响；提出了一种对复杂动态网络控制的方法。 本论文的主要内容及创新点有以下几方面： 1 在保持网络度分布不变的情况下，利用随机重连边机制调整网络的聚类 系数，研究了网络的聚类系数对加权耦合和无权耦合的w s 小世界网 络、b a 无标度网络和l c 局域世界网络的同步化能力的影响，发现随 着网络聚类系数的增加，这些网络的同步化能力减弱。 2 在b a r r a t ，b a r t h e l e m y 和v e s p i g n a n i ( b b v ) 提出的加权无标度网络模 型的基础上，分析了该加权网络在对称耦合和非对称耦合时节点度分布 的异质性对网络同步化能力的影响，发现随着节点度分布的异质性的增 加，类型i 对称耦合的加权网络、类型i 和类型i i 非对称耦合的加权 网络的同步化能力增强；类型i i 对称耦合的加权网络的同步化能力减 弱。 3 提出了一个均质小世界网络模型，其中每个节点的邻居的个数均相等。 摘要 边重连概率定义为发生重连的边占网络中所有边的比例。发现随着均质 小世界网络的边重连概率的增加，网络的聚类系数和平均路径长度降 低；而网络的同步化能力却增强。对于相同的边重连概率，随着网络规 模的增加，均质小世界网络的同步化能力减弱。 4 通过把混合优先连接机制引入到b b v 加权无标度网络模型中，提出了 一个混合优先加权网络模型。分析了该网络的拓扑性质和同步化能力； 发现在网络的增长过程中，随着确定性优先连接比例的增加，网络的聚 类系数增加，而网络的平均路径长度和同配系数降低；类型i 和类型 i i 的混合优先加权网络的同步化能力都是先减弱后增强。 5 在复杂网络同步的动态控制方面，研究了如何控制一个复杂动态网络到 一个异质平衡点。我们把网络中的节点分成几组，控制目标是使得同 个组中的节点达到同一个单个节点的平衡点，不同组中的节点达到不同 的平衡点。首先利用一个开环常数控制使得期望状态为整个网络的平衡 状态。接着，利用牵制反馈控制的方法使得这个异质平衡点渐近稳定。 理论分析和数值仿真表明了算法的有效性。 关键词：同步，控制，加权网络，聚类系数，稳定性 i i s y n c h r o n i z 蛆i o na n dc o n t r o lo fw e i g h t e d c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s a b s t r a c t s i n c et h ee n do ft h e2 0 t hc e n t u r y , t h er e s e a r c ho fc o m p l e xn e t w o r k sh a sb e g u nt o f o c u so nt h en e t w o r kt o p o l o g i e sa n dd y n a m i c a lb e h a v i o r so fl a r g e s c a l er e a ln e t w o r k s w i t hc o m p l e xc o n n e c t i o n s t r u c t u r e s s y n c h r o n i z a t i o ni s o n eo ft h e s ei m p o r t a n t d y n a m i c a lb e h a v i o r s c o m p a r e d w i t hf o r m e rr e s e a r c h e s ，t h er e s e a r c ho f s y n c h r o n i z a t i o nb a s e do nc o m p l e xn e t w o r kt h e o r yp a y sm o r ea t t e n t i o nt ot h ee f f e c to f n e t w o r kt o p o l o g i e so ns y n c h r o n i z a b i l i t yo fn e t w o r k f o re x a m p l e ，w h e t h e ri ti s p o s s i b l e t ou s el o c a lo r g l o b a l n e t w o r kt o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s t o i m p r o v e s y n c h r o n i z a b i l i t yo fn e t w o r ko rn o t ；h o wt od e s i g nn e t w o r k sw i t hp r e s c r i b e d s y n c h r o n i z a b i l i t y ；a n d t h ee f f e c to fn o d e s n o n l i n e a r d y n a m i c a lb e h a v i o r so n s y n c h r o n i z a b i l i t yo fn e t w o r k r e c e n t l y , t h ee f f e c to ft h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nn e t w o r kt o p o l o g i e sa n dn o d e s d y n a m i c so ns y n c h r o n i z a b i l i t yo fn e t w o r ki sa ni m p o r t a n tr e s e a r c ht a s ki nc o m p l e x n e t w o r kf i e l d b a s e do nas u r v e yo ft h es t a t e o f - a r ti nr e s e a r c ho fs y n c h r o n i z a t i o no n c o m p l e xn e t w o r k sa n dd i f f e r e n td y n a m i c a ln e t w o r km o d e l s ，t h et h e s i sm a i n l y i n v e s t i g a t e ss y n c h r o n i z a t i o no nw e i g h t e dc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s ，a n a l y z e st h e e f f e c to fd i f f e r e n tn e t w o r kt o p o l o g i e so ns y n c h r o n i z a b i l i t yo fn e t w o r k t h et h e s i sa l s o p r o p o s e sa na p p r o a c ht oc o n t r o l l i n gc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s t h em a i nc o n t e n t s a n dc o n t r i b u t i o n so ft h i st h e s i sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： w i t h o u tc h a n g i n go fd e g r e ed i s t r i b u t i o no fan e t w o r k ，b a s e do nam e c h a n i s m o fr a n d o mr e w i r i n gt oa d j u s tc l u s t e r i n gc o e f f i c i e n to ft h en e t w o r k ，w e i n v e s t i g a t et h ee f f e c to fc l u s t e r i n gc o e f f i c i e n to nt h es y n c h r o n i z a b i l i t yo fw s s m a l l w o r l dn e t w o r k b as c a l e f r e en e t w o r ka n dl cl o c a l - w o r l dn e t w o r k w i t hb o t h w e i g h t e d a n d u n w e i g h t e dc o u p l i n g ，a n d f i n dt h a tt h e i i i a b s t r a c t s y n c h r o n i z a b i l i t yo ft h e s en e t w o r k si sw e a k e n e dw i t ht h ei n c r e a s eo ft h e s e n e t w o r k s c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t s b a s e do naw e i g h t e ds c a l e - f r e en e t w o r km o d e lp r o p o s e d b y b a r r a t ， b a r t h e l e m y a n dv e s p i g n a n i ( b b v ) ，w e a n a l y z e t h ee f f e c to ft h e h e t e r o g e n e o u so fd e g r e ed i s t r i b u t i o no ns y n c h r o n z a b i l i t yo ft h i sw e i g h t e d n e t w o r kw i t hb o t hs y m m e t r i c a la n da s y m m e t r i c a lc o u p l i n g ；a n df i n dt h a ta s t h eh e t e r o g e n e o u so fd e g r e ed i s t r i b u t i o ni n c r e a s e s ，s y n c h r o n i z a b i l i t yo ft y p e is y m m e t r i c a l l yc o u p l e d ，t y p eia n dt y p ei i a s y m m e t r i c a l l yc o u p l e d w e i g h t e dn e t w o r k s i se n h a n c e d ，w h i l e s y n c h r o n i z a b i l i t y o ft y p ei i s y m m e t r i c a l l yc o u p l e dw e i g h t e dn e t w o r k si sw e a k e n e d a h o m o g e n e o u ss m a l l w o r l dn e t w o r ki sp r o p o s e d ，w h e r ee a c hn o d eh a st h e s a m ed e g r e e w ei n t r o d u c et h ee d g er e w i r i n gp r o b a b i l i t yw h i c hi sd e f i n e da s t h er a t i oo ft h er e w i r e de d g e st ot h ee d g e so ft h ew h o l en e t w o r k i ti sf o u n d n l a ta st h ee d g er e w i r i n gp r o b a b i l i t yi n c r e a s e s t h en e t w o r k sc l u s t e r i n g c o e f f i c i e n ta n da v e r a g ep a t hl e n g t h a r e d e c r e a s e d ；h o w e v e r , t h e s y n c h r o n i z a b i l i t yo fn e t w o r ki se n h a n c e d f o rt h es a m ev a l u eo fe d g e r e w i r i n gp r o b a b i l i t y , t h es y n e h r o n i z a b i l i t yo fh o m o g e n e o u ss m a l l w o r l d n e t w o r ki sw e a k e n e dw i t ht h ei n c r e a s eo fn e t w o r ks i z e b yi n t r o d u c i n gah y b r i dp r e f e r e n t i a la t t a c h m e n tm e c h a n i s mt o ab b v w e i g h t e ds c a l e - f r e en e t w o r km o d e l ，ah y b r i dp r e f e r e n t i a lw e i g h t e dn e t w o r k m o d e li s p r o p o s e d t o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s a n ds y n c h r o n i z a b i l i t yo ft h e n e t w o r k 耵ea n a l y z e d i ti sf o u n dt h a ta st h ed e t e r m i n a t ep r e f e r e n t i a l a t t a c h m e n tr a t i oi n c r e a s e sd u r i n gt h en e t w o r kg e n e r a t i o n ，t h ec l u s t e r i n g c o e f f i c i e n ti n c r e a s e s ，t h ea v e r a g ep a t hl e n g t ha n dt h ea s s o r t a t i v ec o e f f i c i e n t d e c r e a s e ；t h es y n c h r o n i z a b i l i t yo fb o t ht y p eia n dt y p ei ih y b r i dp r e f e r e n t i a l w e i g h t e dn e t w o r ki sf i r s tw e a k e n e da n dt h e ne n h a n c e d a st ot h ec o n t r o lo fc o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r k s ，w ei n v e s t i g a t et h ep r o b l e m o fh o wt oc o n t r o lac o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r kt oah e t e r o g e n e o u s e q u i l i b r i u mp o i n t w es p l i ta l ln o d e si nan e t w o r ki n t os e v e r a lg r o u p sa n ds e t t h ec o n t r o lo b j e c tb e i n gt om a k es u r et h a tn o d e si nt h es a m eg r o u pa c h i e v e t h es a m ee q u i l i b r i u mp o i n t , w h i l en o d e si nd i f f e r e n tg r o u p sa c h i e v ed i f f e r e n t e q u i l i b r i u mp o i n t s a no p e n - l o o pc o n s t a n tc o n t r o li sf i r s tp r o p o s e ds ot h a tt h e d e s i r e ds t a t ei sa ne q u i l i b r i u mp o i n to ft h ec o n t r o l l e dn e t w o r k t h e n ，a f e e d b a c kp i n n i n gc o n t r o la p p r o a c hi sa p p l i e dt om a k et h eh e t e r o g e n e o u s f v e q u i l i b r i u mp o i n ta s y m p t o t i c a l l ys t a b l e t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o nv e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m k e yw o r d s ：s y n c h r o n i z a t i o n ，c o n t r o l ，w e i g h t e dn e t w o r k s ，c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ， s t a b i l i t y v 上海交通大学 学位论文原创l 生声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 学位敝作者答名：乡私劫 日期：砌多年弓月j 7 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， ? 不保密战 ( 请在以上方框内打“) 学位敝作者签名：乡移私 日期砌年弓月7 日 指导教师签名： 日期： 即) 矽 日 上海交通大学博士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 网络在社会生活中无处不在，包括因特网、万维网、大型电力网络、全球 交通网络、新陈代谢网络、科研合作网络和社会关系网络等等。这些网络在给 我们提供便利的同时也带来了新的危机，比如计算机病毒、s a r s 等传染疾病 的传播等等。因此，如何更好地利用这些网络为人类服务，是人们迫切需要解 决的问题。随着计算机的数据采集、处理和计算能力的飞速发展，人们开始对 大规模的实际网络的拓扑特性和动态行为进行分析和研究【1 ，2 】。 当网络中的单个节点的动力学行为是非线性的，并且网络的连接结构比较 复杂时，整个网络就有可能呈现出比较复杂的动力学行为。从上世纪6 0 年代 到上世纪末，规则网络和随机网络上的同步现象及其控制方法是人们重点研究 的问题之- 3 5 】。这些研究结果表明，当网络中节点之间的耦合强度足够大时， 整个网络会产生同步化行为。但是，一些实际网络在节点之问的耦合强度很低时 也会发生同步。从本世纪初开始，随着实际网络的小世界效应【6 】和无标度特性【7 ， 8 】的发现，人们开始研究具有这些复杂拓扑结构的动态网络的同步化问题。 已有的网络模型大部分是无权的，即当网络中的两个节点有连接时，这两个 节点之间的耦合强度为1 ，否则为0 。然而，现实生活中很多的实际网络是加权 的，即网络节点之间的耦合强度为实数 9 1 5 3 。例如，在生态系统中，处在同一 食物链中的扑食者和被扑食者之间的关系是不均匀的 1 6 】。在交通网络中，航空 网络中的各个航线上的人数是不相等的 1 7 】。新陈代谢网络中的新陈代谢反应是 加权的和不对称的【1 8 】。同样的，神经和大脑皮层网络的节点之间的权值是不均 匀的 1 9 。这些加权网络中节点之间的耦合强度和节点动力学的相互作用对网络 同步能力的影响逐渐成为当前研究的重点课题之一。 下面对已有的复杂网络的同步化能力和复杂网络的牵制控制进行综述。 第1 页 第一章绪论 1 2 复杂动态网络的同步化能力 同步是指两个或者多个动态系统，通过系统之间的相互耦合，使得在不同的 初始条件下各自演化的动态系统的状态逐渐接近，最后达到相同的状态。同步现 象在自然界中十分常见。早在1 6 6 5 年，科学家惠更斯就观察到挂在病房墙上的 两只摆钟会出现钟摆的摆动趋于同步的现象，并指出两只摆钟是通过悬挂其上的 横梁相互作用而达到同步的 2 0 】。在现实生活中，随处可见同步现象，如夏日雨 后的夜晚，池塘里的青蛙齐鸣 2 1 】；停在同一棵树上的萤火虫同时闪光又同时不 闪光；当精彩的演出结束后，观众的掌声起初是杂乱无章的，但经过几秒之后， 大家会用共同的节奏鼓掌 2 2 ，2 3 】；心肌细胞和大脑神经网络的同步 2 4 ，2 5 ；纳 米耦合节点之间也会发生同步行为等等 2 6 ，2 7 。下面重点介绍无权网络和加权 网络的同步化能力。 1 2 1 网络的同步判据 p e c o r a 和c a r r o l l 于1 9 9 8 年研究了一类连续时间时不变耗散耦合动态网络同 步的稳定性问题，提出了主稳定性函数判据 2 8 ，2 9 。考虑一个由个相同的 节点构成的连续时间耗散耦合的动态网络，其中第i 个节点的状态方程为： ， 毫= 厂( 葺) + c 日( _ ) 篁l 这里，x t = ( 巧n ，孙，霹”) r r ”为节点i 的状态变量；常数c 0 为节点之间的 耦合强度；日( ) ：r ”哼r ”为各个节点的状态变量之间的内部耦合函数，也称为 各节点的输出函数，这里假设每个节点的输出函数是完全相同的；耦合矩阵 彳= ( ) r 肌表示网络的拓扑结构：如果节点f 和节点之间有连边，则 0 ； 否则，a , = o ；并且满足耗散耦合条件，a o = o 。 如果当t 一时有 为( f ) = x 2 ( t ) = = x n ( t ) = s ( f ) ( 卜2 ) 就称动态网络( 1 - 1 ) 渐近达到完全同步。同步状态s ( t ) r ”必为单个孤立节点的 解，即满足j ( f ) = 厂( j ( f ) ) 。这里s ( f ) 可以是孤立节点的平衡点、周期轨道、甚至 第2 页 上海交通大学博士学位论文 是混沌轨遭。 对状态方程( 卜1 ) 在同步状态工o ) 处线性化，令毒为第f 个节点状态的变分， 可以得到如下的变分方程： 毒= 巧( j ) 毒+ 嘞伽( j ) 乞 ( 1 3 ) = l 这里d f ( s ) 和d h ( s ) 分别是f ( s ) 和日( j ) 关于j 的j a c o b i a n 矩阵，再令 孝= 【眚，厶】，则上式可以写为 善= 口厂( s ) 孝+ c d h ( s ) 孝a r ( 1 4 ) 记a r = 尸胛- 1 为矩阵a 的j o r d a n 分解，这里不妨假设人为对角阵，即 a = d i a g & ，丸 ，其中丑( 七= l ，n ) 是矩阵4 的特征根且a = 0 。再令 r l = 【刁l ，r 1 】= 善尸，则有 0 = d f ( s ) r l + c d h ( s ) r l a ( 1 5 ) 从等式( 1 - 5 ) 可以看出k = 0 对应着同步流形上的微扰，k 0 对应着偏移同步 流形所引起的扰动。因此，上式等价于 唬= d f ( s ) + c 2 k d h ( s ) r l i ， k = 2 ，n ( 卜6 ) 判断同步流形稳定的一个常用判据是要求方程( 卜2 ) 的横截l y a p u n o v 指数全为 负值 3 0 - 3 3 。 在方程( 1 - 6 ) 中，如果矩阵彳为非对称阵时，其特征值可能为复数，令 c 五= 口+ i p ，定义主稳定方程( m a s t e rs t a b i l i t ye q u a t i o n ) 如下： 手= d f ( s ) + ( 口十i f l ) d h ( s ) q ( 1 7 ) 该方程的最大l y a p u n o v 指数k 。称为动力网络( 1 - 1 ) 的主稳定函数( m a s t e r s t a b i l i t yf u n c t i o n ，m s f ) 【2 8 ，3 0 ，3 4 3 6 。 如果网络的耦合矩阵的特征根均为实数，且可以记为 0 = a 如磊厶 ( 1 8 ) 此时，主稳定方程( 1 - 7 ) 可写为 手= 【d f ( s ) + a d h ( s ) q ( 卜9 ) 对应的主稳定函数k 。是实数口的函数，其中口= c a , 。把使得主稳定函数k 为 负的实数口的取值范围s 称为动态网络( 1 - 1 ) 的同步化区域，它是由孤立节点的 第3 页 第一章绪论 动力学函数厂( ) 、同步状态j 和内部耦合函数日( ) 确定的。 如果耦合强度与耦合矩阵的每个负的特征值之积都属于同步化区域，即 c 五s ，后- 2 ，n ( 卜1 0 ) 那么同步状态是渐近稳定的。根据同步化区域s 的不同情形，k o c a r e v 等人把网 络分为以下三种类型( 见图1 - 1 ) 3 7 ： ( 1 ) 类型i 网络： 对应的同步化区域为s = ( ，) ( 图卜l 中点划线) ，为有限非正实数。 对于此类网络，如果节点之间的耦合强度和耦合矩阵的特征值满足 c 五 五 ( 卜1 2 ) 那么，类型i 网络的同步流形( 卜3 ) 是渐近稳定的。因此，类型工网络的同步化 能力可以用对应的耦合矩阵彳的第二大特征值五来刻画。五的值越小，类型i 网络的同步化能力越强。将公式( 1 - 1 1 ) 或( 1 - 1 2 ) 记为同步判据i 。 ( 2 ) 类型i i 网络： 对应的同步化区域为是= ( a 2 ，a 3 ) ( 图卜1 中点线) ，和口：为有限非正实数 且 。对于此类网络，当耦合强度和耦合矩阵的特征值满足 c c 五a n a 2 ( 1 - 1 3 ) 也就是说，当节点之间的耦合强度在一定范围内，即 ( 钙五) c 0 ，则耦合的方向为从节点指向节点f ；反之亦然。在图 1 - 3 描述了这样的分解。 在很多场合都可以产生梯度场，比如，化学系统中的温度、科技系统中的信 息集中和神经系统中的处理速率等等【6 3 ，6 4 。在实际网络中，对网络中任意一 个节点很难得到网络的全局信息。于是他们认为节点i 的梯度值由它的度值和它 的邻居度的信息决定，即为 啊= 矽矽 其中是控制参数。对任意连通的节点对有 进行归一化后得到 a g f l 一羁一= 矽矽红一矽舻， ，e q，t 0 第9 页 第一章绪论 崛i l = g j i g 口= 砰 k ? 一k 吃婶 结合邻居矩阵4 的定义，可以将耦合矩阵g 的定义写为 n q 。，= 一以矽4 矽( f ) ( 1 2 2 ) j = i 其中，如果节点f 和节点之间有连边，则4 = 1 ，否则4 ，= 0 。另外，g ，= 1 。 耦合矩阵g 可以写为g = q 正d ，其中d = a i a g k , ，k s ，k ) 为对角阵，对角线 元素为各个节点的度， q = a i a g v y 厶矽，l i e ，k 矽) 为一对角阵。由于 d e t ( q l d p 一2 1 ) = d e t ( q 抛d 卢7 2 l d 卢7 2 q 1 彪一朋) _ _ + 呐刺硐髑撇删獭嘲恻瑚燃删w e i r dg r a d i e n tn e t w o r k 图1 - 3 描述了一个一般加权非对称的网络是怎样可以被看作一个 对称加权网络和一个有向加权网络的叠加( 见文献 6 2 ) f i g 1 - 3s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o no f h o wag e n e r a lw e i g h t e da n da s y m m e t r i c a ln e t w o r km a yb c r e g a r d e da sas u p e r p o s i t i o no f as y m m e t r i c a la n dad i r e c t e d ( o rg r a d i e n t ) n e t w o r k ，b o t h w e i g h t e d ( s e er e f e r e n c e 6 2 ) 因此，非对称矩阵g 的特征值和对称矩阵q “2 d 肌三d 肌q 2 的特征值相同，均为 非负实数，且可以排列为0 = a 0 时，梯度网络中的耦合方向是从度 大的节点指向度小的节点。这就意味着度大的节点比度小的节点具有更高的重要 性，这一点与现实网络的属性相同。图1 4 ( b ) ，网络模型分别为无权对称的网 络和耦合机制为式( 1 - 2 4 ) 定义的网络，研究了网络度分布的异质性对类型i i 网络的同步化能力的影响。从图中不难发现，对于无权对称的无标度网络，随着 度分布的幂律指数的增加，耦合矩阵的特征值之比r 不断降低。因此，这种网络 的同步化能力是不断增强的。相反，对于不对称的梯度网络，特征值之比是不断 上升的。这就意味着，随着网络均质的增强，类型i i 梯度网络的同步化能力在 不断下降。 第1 1 页 第一章绪论 1 2 3 2 利用耦合方向性和边的信息调整网络的同步化能力 在m o t t e r 等人上述工作的基础上，人们通过利用网络的不同的结构特性调 节网络中节点间的耦合方式，研究了这些特性对网络同步化能力的影响。h w a n g 等人提出了一种利用网络中节点具有年龄的特点来提高网络的同步能力的方法 6 5 。他们认为节点加入网络的时间越早，节点的“年龄”就越大：并且年龄不 同的节点之间耦合强度是不对称的。耦合方式的定义为： g , j = 一o , 口e 抵8 口 j 入t 1 _ ，= i ， ( 卜2 3 ) 0o t h e r w i s e 当f j ( i j r 示节点f 比节点年轻，a ，是第，个节点邻居的集合，参数 一1 口 0 ，且各节点间耦合强度满足 ， c u a l ，+ 劬嘞= o j = l ，j # i 不失一般性，重新编号被选择牵制的节点为前，个节点，并定义如下的两个 矩阵： 第1 6 页 上海交通大学博士学位论文 d = d i a g d , ，也，弓，0 ，0 ) r 肌 d = d i a g c l l 4 ，c 2 2 d 2 ，c ，码，o ，0 ) r 利用k r o n e c k e r 卷积写成向量形式如下： 戈= 删一 ( g + d ) 。明戈+ ( p 叫碧= 如 心) _ ( g + d ) 。明x + p 叫贾( 1 2 9 ) 其中对称非退化矩阵g = ( 岛) r 肌的元素定义为g f = 一c ，因此矩阵g 是半 正定的，矩阵g + d 是正定的，并且它最小的特征值k ( g + d ) 0 。 定义1 1 一个函数f ( x ，f ) 是l i p s c h i t z 连续的且l i p s c h i t z 常数为巧如果 i f ( x ，t ) - f ( y ，0 1 1 - 0 满足对于任意的( o ) 一_ ( o ) 忙万， ，j = l ，存在占 0 ，t 0 和k 0 使得对于所有的t t 和f ，j = l ， ( f ) 一t ( ，) 忙叫均成立，则我们说网络( 1 2 7 ) 达到局部同步a 定义1 3 1 9 1 如果存在一个万 0 满足对于任意的五，存在占 0 ，t 0 和k o 使得对于所有的， r 和f ，j - - - 1 ，n ，峙( f ) 一_ ( f ) 忙缸一“均成立，则我 们说网络( 1 2 7 ) 达到全局同步。 定理卜2 1 9 0 ：假设( x ) 是l i p s c h i t z 连续的且l i p s c h i t z 常数为髟 0 ，矩 阵r 对称且正定。如果 k 。( g + d ) 口薯z 。( 片) ( 1 3 0 ) 其中矗；。( 日) 和九；。( g 十d ) 分别是矩阵日和g + d 的最小特征值，那么复杂动态 网络( 1 - 2 7 ) 的平衡点j 是全局渐近稳定的。 可以根据单个混沌节点节点j ，= f ( x ，) 的最大l y a p u n o v 指数来得到局部稳定 性条件。 定理i - 3 9 0 ：假设混沌网络中的各个节点毫= f ( x ，) ，i = 1 , 2 ，的最大 l y a p u n o v 指数。 0 。如果c “= c ，d f = c d ，h = l ，且有 c k k ( - a + d i a g d ，d ，0 ，o ) ) ( 卜3 1 ) 那么混沌网络( 1 - 2 7 ) 的平衡点牙是局部渐近稳定的。 刘忠信等人将牵制控制策略推广到网络的耦合矩阵不能对角化的网络和具 有时间延迟的加权网络中 9 2