（固体力学专业论文）履带式车辆主传动系统失效分析及扭振仿真研究.pdf

摘要 轴系的扭转振动存在于许多动力设备的传动系统中，本文从多体系统动力学的角度 研究某型号推土机传动轴系的扭转振动问题。首先，介绍了多体系统动力学基本概念， 基本理论，对多体系统动力学理论进行了深入学习；其次，应用多体系统动力学理论对 带有扭转减振器的某型号推土机传动轴系扭转振动分析计算，解决了因扭转共振引起的 传动轴系失效问题。 某型号推土机传动轴系，自牛产以来经常发牛前联轴节或万向节十字轴失效现象。 从研究前联轴节和万向节十字轴断裂面的表面情况开始，对前联轴节和万向节十字轴的 静荷强度和疲劳强度进行验算，并应用有限元分析软件a n s y s 对轴系中关键构件进行 强度计算，最后得出推土机传动轴系失效原因为轴系扭转共振疲劳失效。为解决轴系扭 转共振疲劳失效问题，应用多体系统动力学软件a d a m s 对推土机传动轴系进行无阻尼 状态下的动力学、运动学仿真分析，计算出轴系固有频率。根据内燃机临界转速和轴系 固有频率之间的关系式，得出推土机传动轴系的临界转速。经过分析，推土机可能在临 界转速附近工作，并导致轴系发生扭转共振疲劳失效。为了验证结论的正确性与可靠性， 本文对正常工作状态下推土机发动机的转速情况进行了跟踪记录。结果显示：推土机正 常工作时，在临界转速区段附近丁作时间比较长，占整个工作时问段的5 0 以上。为了 使传动轴系临界转速区避开推土机的正常工作转速区，采取调整推土机传动轴系临界转 速的方法。应用a d a m s 的仿真平台，对不同发动机飞轮转动惯量f 的传动轴系和扭转 减振器彳i 同弹簧刚度下的传动轴系进行仿真分析，确定了比较合理的方案以调整推土机 传动轴系临界转速，即调整发动机飞轮转动惯量。通过调整飞轮的转动惯量，使飞轮转 动惯量与整个传动轴系转动惯量相匹配，使轴系的临界转速避开发动机正常工作转速区。 根据这一结论，对该型号的推土机传动系统进行了改进，经过一段时间的运行，此型号 推土机传动轴系的非正常失效比例大大降低，表明本文的理论分析以及仿真模型、仿真 分析结果的正确性。 关键词：扭转振动，共振，固有频率，仿真 a b s t r a c t t h et o r s i o n a lv i b r a t i o n so f d r i v es y s t e m se x i s ti nm o s tp o w e r e q u i p m e n t s ，i nk ss t u d y , t h e m u l t i - b o d ys y s t e md y n a m i c si su s e dt oi n v e s t i g a t et h et o r s i o n a lv i b r a t i o np r o b l e mo f t h ed r i v e s y s t e mo fw a c k l a y e rb u l l d o z e r t h eb a s i ct h e o r ya n dc o n c e p t i o no ft h em u l t i - b o d ys y s t e m d y n a m i c sa r ei n t r o d u c e df i r s t l y , a n dt h e nt h et o r s i o n a lv i b r a t i o no fd a m p e ri sc a l c u l a t e dw i t ht h e a n a l y s i sa b o v e t h ef a i l u r ep h e n o m e n o no fc o u p l i n ga n du n i v e r s a l - j o i n tt r u n n i o nh a so t t e nt a k e np l a c e s i n c et h e yw g r ep u ti np r o d u c t i o n f o rt h i sp u r p o s e ，t h ec r a c ks u r f a c eo ft h e mi ss t u d i e df i f s 衄 t h es t a t i cl o a ds t r e n g t ha n df a t i g u es t r e n g t ho fm a i nc o m p o n e n t sa l et e s t e da n da n a l y z e di nt h e a n s y ss o f t w a r e i ti sd e m o n s t r a t e dt h a tt h et o r s i o n a lr e s o n a n c ev i b m t i o nc a u s e st h ef a t i g u e f a i l u r eo ft h ed r i v es y s t e mo ft r a c k l a y e rb u l l d o z e r i no r d e rt od e a lw i t ht h i sf a i l u r ep m b l e m , t h e a d a m ss o f t w a r ei su s e df o rd y n a m i c sa n dk i n e m a t i c se m u l a t i o no fd r i v es y s t e mw i t h o u t d a m p e rt oo b t a i nt h en a t u r a lf r e q u e n c y m e a n w h i l e ，t h eb r e a k d o w nt o r q u es p e e di sc a l c u l a t e d a c c o r d i n gt ot h er e l a t i o n a le x p r e s s i o no f t h ew h i r l i n gs p e e da n dn a t u r a lf r e q u e n c y t h ea n a l y s i s a b o v ei n d i c a t e st h a tt h er e s o n a n tf a t i g u ef a i l u r eo fd r i v es y s t e mo c c u r sw h e nt h et r a c k l a y e r b u l l d o z e rw o r k sn e a rt h eb r e a k d o w nt o r q u es p e e d t h ee n g i n es p e e da tt h en o r m a ls t a t ei s r e c o r d e di no r d e rt ov a l i d a t et h ea c c u r a c ya n df e a s i b i l i t yo ft h ec o n c l u s i o n t h er e s u l t sc o n f i r m t h a tt h ew o r kt i m eo ft h eb u l l d o z e rn e a rt h ew l l i f l i n gs p e e di sm o r et h a n5 0 o fa l lt i m ea t n o r m a ls t a t e s ot h eb r e a k d o w nt o r q u es p e e di sa d j u s t e d , a n dt h ed r i v es y s t e m so fd i f f e r e n t r o t a r yi n e r t i ao ff l y w h e e la n dd i f f e r e n ts p r i n gs t i f f n e s s a r ea n a l y z e d c o n s e q u e n t l y , t h e r e a s o n a b l ep m g r a mo fa d j u s t i n gt h eb r e a k d o w nt o r q u es p e e di st h a tt h em t a r yi n e r t i ao f f l y w h e e li ss e tt om a t c ht h eo n eo ft h ew h o l e d r i v es y s t e ma n dt h eb r e a k d o w n t o r q u es p e e do f d r i v es y s t e ms h o u l db eo u to ft h en o r m a lr u n n i n gr o t a t i o n a ls p e e d b a s e do nt h ea b o v e c o n c l u s i o n , t h ed r i v es y s t e mo ft r a c k l a y e rb u l l d o z e ri si m p r o v e d , a n dt h ef a i l u r ep r o p o r t i o no f d r i v es y s t e md e c r e a s e sg r e a t l y s ot h ea c c u r a c yo ft h e o r ya n a l y s i sa n dt h ee m u l a t i n gm o d e li s d e m o n s t r a t e d k e y w o r d s ：t o r s i o n a lv i b r a t i o n ，s y m p a t h e t i cv i b r a t i o n ，n a t u r a lf f e q u c i l c y ，e m u l a t i o n h 2 1 多体系统动力学建模与求解一般过程6 2 2 多刚体系统的基本约束7 2 3 多刚体系统运动学1 0 2 4 多刚体系统动力学1 5 2 5 多体系统动力学在轴系扭转振动上的应用2 0 第三章推土机传动轴系失效分析2 2 3 1 扭转减振器概述2 2 3 2 万向传动装置概述2 3 3 3 传动轴系失效情况简介2 5 3 4 对传动轴失效位置表面描述2 6 3 5 对传动轴失效位置进行强度和疲劳验算2 8 3 6 分析结论3 3 第四章传动轴系关键构件有限元分析3 4 4 1 前联轴节有限元分析3 4 4 2 万向节轴承座有限元分析3 5 4 3 十字轴有限元分析3 7 i i i 4 4 万向节联接又有限元分析3 8 4 5 有限元分析结论3 9 第五章推土机主传动轴系仿真计算分析4 0 5 1 几点假设4 0 5 2 动力传动系统的临界转速4 0 5 3 物理模型建立4 1 5 4 仿真分析结果与临界转速计算4 7 5 5 仿真结果分析5 3 第六章推土机在线转速试验5 5 6 1 实验方案5 5 6 2 实验仪器5 5 6 3 数据处理方法5 6 6 4 实验数据分析5 6 第七章总结与展望5 9 7 1 全文总结5 9 7 2 展望6 0 致谢6 1 参考文献6 2 攻读硕士学位期间发表的论文6 5 i v 第一章绪论 1 。1 多体动力学国内外研究现状 多体系统动力学作为一力学分支学科已经经历了近5 0 年的发展历程。在现代科学技 术高速发展的冲击下，传统的以经典力学为依托的分析方法己不能应付由大量做大幅运 动部件组成的复杂工程对象的动力学问题。而飞速发展的计算机技术使得对复杂系统进 行大规模数字仿真成为可能，于是多体系统动力学与计算机技术的完美结合应运而生n 目前在拉格朗日方法和笛卡儿方法的基础上已经发展为成熟的商业计算软件，比较有影 响的产品有美国机械动力学公司( m e c h a n i c a ld y n a m i c si n c ) 的a d a m s ，比利时l m s 公 司的d a d s 以及德国航天局的s i m p a c k 等。其中美国m d i 公司的a d a m s 影响力最 大，占据了目前市场的5 0 以上删。多体系统的进一步发展是考虑了系统内部件的弹性 变形【3 j 。将研究对象由多刚体系统拓展为多柔体系统，尽管在理论建模方面并不特别困 难，但在数值计算方面，由于慢变大幅变量和快变微幅变量的耦合而导致了严重的病态 问题m 。因此，柔性多体系统动力学的发展必然与计算方法和软件工程紧密联系，逐渐 成为计算力学的一个重要组成部分，即计算多体系统动力学。目前多体系统动力学已经 形成了比较系统的研究方法。其中主要有工程中常用的以拉格朗日方程为代表的分析力 学方法、以牛顿一欧拉方程为代表的矢量学方法、图论方法、凯恩方法和变分方法等 6 1 。 对于多刚体系统，自上世纪6 0 年代以来，从各自研究对象的特征出发，航天和机械 两大工程领域分别提出了不同的建模策略，主要区别是对刚体位形的描述【l l 】。 航天领域以系统每个铰的邻近刚体为单元，以一个物体为参考物，另一个物体相对 该刚体的位形由铰的拉格朗日广义坐标来描述。这样系统的位形完全可由所有铰的拉格 朗日坐标阵q 确定。其动力学方程的形式为拉格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即 a 牙= b 这种形式首先是在解决拓扑为树的航天器f 廿j 题时推出。其优点是方程数量少，但方程呈 严重非线性，矩阵a 、b 的形式相当复杂。为使方程具有程序化和通用性，在矩阵a 和 b 中描述系统拓扑的信息。 机械系统则是以系统每一个物体为单元，建立同结在刚体上的坐标系，刚体的位形 均相对于一个公共参考基进行定义，其位形坐标统一为刚体坐标系基点的笛卡儿坐标与 坐标系的姿态坐标，一般隋况下为6 个。对于n 个刚体的系统，位形坐标阵q 中的坐标 数为6 n ，由于铰的存在，这些位形坐标不独立。系统动力学模型的一般形式可表示为： 埘+ 咖= b o ( q ，f ) = 0 式中：西为位形坐标矩阵q 的约束方程，。为约束方程的雅可比矩阵，a 为拉格郎 日乘子。这个数学模型是个数相当大的代数一微分方程组。上述不同类型的多刚体系统 动力学形成了两种完全不同的数值处理方法，在软件的实现上也各不相同。凶此，就多 刚体系统而言，存在两种相互独立的计算多体系统动力学的流派一拉格郎日方法和笛卡 儿方法。 对于多柔体系统，自上世纪8 0 年代后也日趋成熟。从计算多体系统动力学的角度看， 柔性多体系统动力学的数学模型首先应与多刚体系统动力学和结构动力学有一定兼容 性，当系统中的柔性体变形可以不计时，即退化为多刚体系统 7 1 。当部件的大范围运动 不存在时，即退化为结构动力学问题【8 , 9 1 。其次，由于结构动力学已相当成熟和完善，导 出的柔性多体动力学方程中应充分利用该领域内的成果。计算机技术的迅猛发展，使人 们在汽车动力学的研究方面产生了质的飞跃。有限元技术、模态分析技术以及随后出现 的多体动力学正是在这种情况下发展起来的。这些理论的出现和迅猛发展，为汽车动力 学提供了方便快捷的手段。从此，汽车动力学研究经历了由试验研究到理论研究，由开 环研究到闭环研究的发展历程；动力学的力学模型逐渐由线性发展到非线性多体模型； 模型的自由度也由两个发展到成百上千个自由度；模拟计算也由稳态响应特性分析发展 到瞬态响应特性和转弯制动特性的分析【1 0 l 。至8 0 年代术期，国外各主要汽车厂家和研究 机构安装使用了大量的多体系统动力学分析软件，比如a d a m s 软件，并与有限元分析、 模态分析、优化分析等一起形成了一个有机整体，在汽车开发设计中发挥着重要作用。 我国尽管对多体系统动力学研究起步较晚，但已硕果累累，如上海交大洪嘉振教授 领导研制的人体腾空运动仿真软件、d y k a 软件系统、m b d k 软件系绑】。此外，国内 召开了很多力学会议，如1 9 8 6 年，中国力学学会一般力学专业委员会在北京主持召开“多 刚体系统动力学研讨会”；1 9 9 2 年在上海召开“全国多体系统动力学一理论、计算方 法与应用学术会议”；1 9 9 6 年由中国力学学会一般力学专业委员会与中国空间学会空间 机械委员会联合在山东长岛召开“全幽多体系统动力学与控制学术会议 ；2 0 0 5 年中国 力学学会和北京工业大学在北京土办了“中国力学学会学术大会2 0 0 5 ”，我国力学学者 对多体系统动力学近几年取得的成果向大会作了汇报，在理论与计算方法研究、工程应 用和实验研究三个方面取得了更新的进展。目前除理论模型验证实验、动力学特性的实 验研究和其它领域的学术会议外，闲内还有比较有影响的教材和专著，主要有：刘延柱， 洪嘉振，杨海兴的多刚体系统动力学( 北京：高等教育出版社，1 9 8 9 ) ；袁士杰，吕哲勤的 多刚体系统动力学( 北京理工大学出版社，1 9 9 2 ) ；洪嘉振的汁算多体系统动力学( 北京： 高等教育出版社，1 9 9 9 ) 。目前我国除自行编制的一些专用软件外，一些单位还引进了国 11iillll 外的先进软件。这对我们学习和借鉴先进的技术和经验，加快研究步伐起到了良好的作 用。 国内机车车辆动力学分析领域运用多刚体系统动力学的研究起始于键图法的引入， 上世纪六十年代美国麻省理工学院( m i t ) 教授h m p a y n t e r ，首创了键图法，这个方法自 上世纪7 0 年代引入我国以来，很快引起重视，西南交通大学沈志云教授采用 i l c r o s e n b e r g 与d c k a m o p p 合著的专著系统动力学原版作为教材，为研究生开课， 他的博士生曾经运用键图建模的方法，进行了车辆系统动态模拟的研究。上海铁道大学 教授王福天，提出适用于机车车辆的多刚体系统自动导出符号式运动方程的方法，采用 c 语言编写了程序【l 。 从整个汽车c a e 的角度来说，汽车多体系统动力学可完成三项任务： ( 1 ) 对直接设 计的汽车系统进行整车性能预测；( 2 ) 对己有的系统进行性能测试评估；( 3 ) 对原有的系统 进行改进设计。其分析的范围包括：运动分析、静态分析、准静态分析、动态分析、模 态分析、强迫振动分析、优化分析等等 1 2 , 1 3 。 目前面向机车车辆系统的多体动力学软件主要有德国航空航天研究所于1 9 8 4 年推 出的多体系统模拟软件m e d y n a ：英国铁路道比研究所1 9 8 9 年推出的专门针对铁路机 车车辆系统的v a m p i r e 软件：北美铁路协会( a a r ) 下属的普耶勃罗试验中心( 1 陀) 开发 的n u c a r s 软件和目前世界上应用最广泛的机械系统仿真软件，由m e c h a n i c a ld y n a m i c s 公司的c h a n c e 、o r l a n d e a 等人于1 9 8 1 年推出的a d a m s 软件等等。 1 2 研究课题提出及意义 在大型机械的传动系统中，由于发动机气缸对传动轴有不同谐次激振力矩的作用， 使传动轴系不可避免的发生扭转振动0 4 j 5 1 。若发动机某谐次激振力矩频率与轴系某阶振 型的固有频率相同，那么发动机与传动轴组成的系统将发生扭转共振。由于扭转共振的 存在，对传动轴甚至整个机械系统将产生致命的破坏。为了防止扭转共振的产生，人们 对传动轴采取了多种处理方法，其中常用而且比较有效的方法之一就是在传动轴上加一 扭转减振器【1 6 】。这样就大大的降低了整个传动轴的扭转刚度，降低了传动轴的固有频率。 但如果加了扭转减振器的传动轴的固有频率与发动机的激振力矩频率不匹配的话，同样 也会产生扭转共振。为了避免扭转共振的产生，必须对扭转减振器、传动轴和发动机所 组成的轴系进行合理匹配，为此需要对轴系进行扭振分析。【l 7 1 9 1 本文所研究的某型号推土机自生产以来经常发生传动轴系失效现象，为此有关技术 人员一方面对传动轴失效构件进行了加强，另一方面对发动机的安装方式进行了调整， 但问题均未得到很好的解决。为了使推土机传动轴系不再发生频繁失效现象，需要对传 动轴系进行系统的分析，通过分析提出对传动轴系的改进方案，使得推土机传动轴系达 到合理匹配，以降低推土机传动轴系的失效比例，为推土机传动轴系的设计和生产提供 理论依据。 1 3 轴系扭转振动研究现状 扭转振动实际问题在动力装置中出现，简单的说是约在1 9 0 0 年即上个世纪初开始。 其后的发展过程大致可以分为三个阶段： 2 0 - 2 5 在第一个阶段中，主要从出现的问题探索解决的方法。今天我们所熟悉并且还在沿 用的h o l z c r 表格法和g e i g e r 扭转振动测振仪都是在这段时期始创的。在这段时期中，扭 转振动问题还未引起一般人的注意。在动力装置中，对它米说，往往都是“有问题再讲”。 在第二阶段巾，随着事故发生次数的增多，扭转振动实际问题的计算分析及处理己 逐渐形成一套经验上的和初步理沦上的方法。在各种类型的发动机曲轴刚度及动力传动 装置主要部件的阻尼方面，研究人员做了大量的工作，并进一步对内燃机动力装置中的 曲轴及轴系扭转振动问题做了研究。不过在此阶段中，这种计算当时还只在动力机械和 被驱动的配套构件时才考虑。 存第三阶段至今，由于内燃机等动力装置应用愈来愈广，配套式样越来越多，扭转 振动问题表现出来的机会越来越大。同时计算机技术的发展，使得大工作量的计算问题 得到简化，于是扭转振动已成为内燃机曲轴以及扭转轴系设计的主要问题之一，也成为 必须考虑的常规内容之一。由于计算及分析手段的进步，今后工作的重点将是探求转动 惯量、阻尼、刚度等原始参数的精确化。而这个问题又涉及到整个轴系物理模型的精确 化。有限元技术和虚拟仿真技术的应用，使得人们对轴系扭转振动物理模型的建立有了 更加直观和精确的概念。 目前扭转振动问题在大型旋转机械，大型内燃机轴系以及船舶轴系中都得到了充分 的认识，并且得到了很好的解决，比如石油化工行业中的扭转机械设备，大型船舶中的 柴油机动力传动轴系，大型汽轮发电机组的扭转振动，火车机车中的动力传动轴系等等。 从开始的出现问题找问题，到目前的计算设计以避免可能对轴系产生不利影响的扭转共 振；从开始的手工计算，到目前的计算机虚拟仿真计算，有限冗计算等，轴系扭转振动 理论技术已经应用到各个行业巾的旋转设备巾。 1 4 主要研究内容及研究方法 针对某型号履带式推土机传动轴系经常发生失效现象，从轴系中前联轴节以及万向 节十字轴失效位置及其失效面表面情况开始分析，对前联轴节及十字轴进行静强度、疲 劳强度验算以及对主要构件进行有限元强度计算，确定轴系失效的主要原因。再从多体 系统动力学的角度，对传动轴系进行多体系统动力学建模与仿真分析，找出轴系的自振 4 5 第二章多体系统动力学基本理论 2 1 多体系统动力学建模与求解一般过程 图2 1 多体系统动力学建模与求解一般过程 一个机械系统，从初始的几何模型到动力q t 莫- 型的建立，经过对模型的数值求解， 最到得到分析结果，其流程图见图2 1 计算多体系统动力学分析的整个流程，主要包括建模和求解两个阶段。建模分为物 理建模和数学建模。物理建模是指由几何模型建立物理模型，数学建模是指从物理模型 生成数学模型。几何模型可以由动力学分析系统几何造型模块所构造，或者从通用几何 造型软件导入。对几何模型施加运动学约束、驱动约束、力元和外力或外力矩等物理模 型要素，形成表达系统力学特性的物理模型。物理建模过程中，有时需要根据运动学约 束和初始位置条件对几何模型进行装配。由物理模型，采用笛卡儿坐标或拉格朗日坐标 建模方法，应用自动建模技术，组装系统运动方程中的运动学、动力学、静平衡或逆向 动力学分析算法，迭代求解，得到分析结果。 在建模和求解过程中，涉及剑集中类型的运算和求解。首先是物理建模过程中的几 何模型装配，图2 1 称为“初始条件计算 ，这是根据运动学约束和初始位置条件进行的， 6 是非线性方程的求解问题；再就是数学建模，是系统运动方程中的各系数矩阵自动组装 过程，涉及大型矩阵的填充和组装问题；最后是数值求解，包括多种类型的分析计算， 如运动学分析、动力学分析、静平衡分析、逆向动力学分析等。运动学分析是非线性的 位置方程和线性的速度、加速度方程的求解，动力学分析是二阶微分方程或二阶微分方 程和代数方程混合问题的求解。动力学微分代数方程的求解问题，是多体系统动力学的 核心问题【2 8 1 。 在多体系统动力学建模与求解过程中，还有一个问题必须在求解之前首先解决，它 就是初值相容问题，它直接影响到问题的可解性。初值相容是指系统中所有的位置、速 度初始条件与系统运动学约束方程相容。 在多体系统建模与求解过程中，求解器是核心，这其中涉及的所有运算和求解，如 初始条件计算、方程自动组装、各种类型的数值求解等等都由求解器支持，它提供了所 需的全部算法。 2 2 多刚体系统的基本约束 任何一个多刚体系统都是用一些铰链将一些刚体连接在起构成的。不同的铰链对 它所连接的两个邻接刚体产生不同的约束，但是所有这些不同的约束方程都是由几个基 本代数关系式作为基础构成的。这一性质对于计算机自动生成系统的约束方程具有重要 的意义。 2 2 1 基本约束方程【5 , 6 2 9 ，3 0 】 图2 2 刚体e 和哆的连体矢量q 幂l ：l a ，以及相对位置矢量办 图2 2 为两个邻接刚体e 和岛。它们的连体基分别为p “和p 力，原点q 和q 通常 分别与质心g 和q 重合。在局和哆上分别取参考点只和弓，以及连体矢量口和q ， 则矢量qa j 相互垂直的必要和允分条件是它们的点积为零q 巳= 0 ，表示为： 西们( 口j _ l a ) = a r a j = 口，爿j z r = o ( 2 一1 ) 式中： 4 和4 ，是用欧拉参数表示的连体基p 和7 对惯性参考基的变换矩阵； a ，、a j 和彳、衫是连体矢量口，、口，分别在惯性基和各自连体基中的分量列阵； 上标d l 表示两个连体矢量垂直，将这种约束称为垂直i 型约束，它限制了两个邻接 刚体的相对方位。 用矢量办连接两个刚体上的参考点只和e ，则刚体色相对e 的位置可由略确定。 由图可见： d q = ￥j p j 一t p t 式中i 和0 是连体基p d 和p 7 的原点的位置矢径。将此式在惯性基中分解成坐标矩阵形 式为： 以= ，：f + 4 一巧一4 ( 2 2 ) 只要办0 ，连体矢量口，和相对位置矢量办相互垂直的条件就是它们的点积为零 q 以= 0 ，表示为： 犯( q 上办) = 彳7 4 - ( 吩+ 4 - r , ) - a ；7 = o ( 2 - 3 ) 式中上标d 2 表示一个连体矢量和一个相对位置矢量垂直，将这种约束称为垂直i i 型 约束。 在有些情况下，两个邻接刚体上有一对点重合，图2 2 中的参考点鼻和只重合的必 要和充分条件是以= 0 ，则根据式( 2 - 2 ) 有 5 ( 只= ) = o + 彳，一，；一4 = 0 ， ( 2 4 ) 式中上标s 指明这种约束可用来描述球铰接，称为球铰接约束。球铰接约束含有三 个约束方程。 在有些隋况下，两个邻接刚体上有两个点保持恒定距离，这可以看作是存在一根两 端都p a i 闲u 体连接的连杆。在图2 2 点卑和p ，保持恒定距离c 0 的必要和充分条件是 m ”( 只，弓，c ) = 吒- c 2 = 0 ( 2 5 ) 图2 3 刚体的质心坐标系和铰链坐标系 在图2 3 所示两个邻接刚体e 和b ，分别定义了两个连体基：原点位于质心q = c ：f ， q = q 的( q ，d ) 、( q ，p 1 和原点位于参考点的( 只，e f t ) ) 、( e ，p 门) 。前者用来 确定刚体相对惯性参考基e o 的位形，称为质心坐标系；后者用来确定两个刚体的铰链连 接关系，成为铰链坐标系，并且将e 和e 成为铰链点。规定铰链坐标系的个基矢量分别 用f ，g ，h 表示，即 p o = z 蜀忽】re n = 乃毋勺】r ( 2 - 6 ) 若要求基矢量岛和乃平行，则显然，当且仅当嘭i 司时垂直于z 和g ，时，嘭才能平行 于岛。所以忽和吃平行的条件是 川c 岛i f 吃，= 耋：錾土乏； = 。 q - 乃 上标p 1 表示两个连体矢量平行，将这种约束称为平行i 型约束，它由两个垂直i 约 束构成。 研究基矢量忽平行于相对位置矢量吒的情况。显然只有当矢量吒0 同时垂直于z 和g ，时，以才能平行于忽。于是忽和吒平行的条件是 9 “ 力c 红i i 吒，= 耋羔 耋土2 ) = 。 q 一8 ， _ 1 7 $ - 示p 2 表示一个连体欠量和一个相对位置欠量平行，将这种约束称为平行i i 型约 束，它是由两个垂直i i 型约束构成。 2 3 多刚体系统运动学嘶，3 1 】 多体系统广义坐标是由位置坐标和方位坐标组成。位置坐标表示较为固定，都是由 连体坐标系几点坐标确定。方位坐标则具有多种形式，如方向余弦矩阵、欧拉角、欧拉 参数等，最常用的足欧拉角和欧拉参数。这里先给出机械系统广义坐标的方向余弦与欧 拉参数和欧拉角和几种形式及其之间的变换，据此给出系统的约束方程、速度方程和加 速度方程的形式。 2 3 1 刚体运动学的欧拉参数描述 对于三维空间机构，采用吲联在构件上的连体坐标系确定系统运动。构件的广义坐 标，由两部分组成，一是连体坐标系的原点坐标，二是确定连体坐标系相对于全局坐标 系的方位参数。如图2 4 ，连体坐标系d 勺歹乞原点d 7 坐标为，暑k ，y ，z r ，o x j z 相对于 全局坐标系o x y z 的方位可用方向余弦矩阵表示，也可以片j 欧拉参数或者欧拉角表示，这 几种具有相同的几何意义，但数值特性不同。 方向余弦矩阵定义为： h 口1 2 口l ， a = l 厂，g ，h i = i 口2 i 口2 2 l ( 2 9 ) l 口3 i 码2q 3 j 其中，、g 和h 分别为连体坐标系d 勺歹，z ，坐标轴 d 勺、d 和d ，z 7 的单位矢量。方向余弦矩阵a 为正交 矩阵，因此，a 中9 个变量受6 个独立方程的约束， 方向余弦矩阵中只存在说明3 个转动自由度的独立变 量。 图2 4 三维空间坐标变换 如果连体坐标系o x y z 7 和全局坐标系o x y z 的原点 重合，即，：0 ，则矢量；在连体举标系中的表示形式s 7 和在全局坐标系中的表示形式j 存 在如下变换关系： s = a s ( 2 l o ) 变换为一般的坐标变换形式： i o = a r ( 2 1 4 ) 如果定义于位移，和角速度彩对应的虚位移毋和虚转动勋，则式( 2 1 2 卜( 2 1 5 ) 槲e 掰= & t a r ( 2 1 9 ) 耐7 = a r 8 a ( 2 2 0 ) 角。如果坐标系弘与坐标系d 勺歹，z 7 原点重合，由欧拉定理知可设似弘绕单位轴矢量厅 转动z 角与d 勺歹2 7 重合，现可由厅和z 定义一个4 欧拉参数组： 1 v = c 。s 善2 p = 墨 兰“s ；n 誓2 - 2 2 ) p = i 蠢p7 r = kq 乞巳r( 2 2 3 ) 欧拉参数要满足欧拉参数归一化约束： p r p = 露+ 彳+ + 露= i ( 2 - 2 4 ) 故欧拉参数4 个分量中存在3 个独立分量，描述物体转动。 欧拉参数p 和方向余弦矩阵a 都是描述方位的参数，它们是等价的， 换关系，从欧拉参数到方向余弦矩阵的变换为： a = ( 2 露一1 ) + 2 ( e e 7 + 虿) 其间存在着变 ( 2 - 2 5 ) 其中，为3 3 单位矩阵，虿为p 的斜对称矩阵( 或称斜方阵) ，其表示为： 苔世蚓 6 ， f 菇= ( t r a + i ) 4 jp i = ( 口3 2 一a 2 3 ) ( 4 u i e 2 = ( q 3 一q 。) ( 4 ) 【e 3 = ( 口2 l 一2 1 2 ) ( 4 e o ) ( 2 - 2 7 ) 则由式( 2 2 8 ) 确定欧拉参数。 彳= ( 1 + 2 a i l t r a ) 4 吃2 = ( 1 + 2 a 2 2 一t r a ) 4 - 2 ( 1 _ 幻3 3 - t r a ) 心( 2 - 2 8 ) 口2 l + a 1 22 4 e i e 2 口3 i + 口3 22 4 e l e 3 口3 2 + 口2 3 。4 e 2 e 3 ， e 暑卜岛孑+ ，= 三兰三i g 兰卜岛一虿+ e a ，= 三兰 三： ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 声= 三e7 彩= 二g r ( 2 3 5 ) 、， 昂= 二e r 勋= 二g 7 勋( 2 3 9 ) 、 顺序为相对体( 3 ，1 ，3 ) ，三测顿序转过的角度坐标y 、护和矽即为欧拉角，分别称为进动角， 彳y = 二。s ysinjv习，彳f=1一som护0siny c o s 驴r 00c o s 0 sin#000 c o s 0 ， 彳y = l i ，彳f = ii ， i lis i n 护 l l 0 0 1 j lc y c 妒一s y c 8 s 矽一c v s 矽_ s y c 8 c 矽s y s 秒l = a r c c o s ( a 3 ，) = a r c s i n ( 扛虿) y = a l c c o s ( - c 2 3 s 口) = a r c s i n ( a 1 3 $ 8 ) ( 2 - 4 2 ) 矽= 龇 c c o s ( a 2 3 s p ) = a r c s i n ( a 3 i s # ) 由于反三角函数的多值性，为了使对应于刚体方位的欧拉角唯一，通常规定欧拉角 在如下范围内： 0 妒2 z r ，0 口万，0 y 2 刀 从式( 2 4 2 ) 可以看出当章动角p = n r c ( n = 0 ，l ，) 是欧拉角的奇点，此时进动角和自 传角不能确定。 用欧拉角表示的欧拉参数为： ：c o s ( 华) c o s ( 罢) 铲c o s ( 掣) s i n ( 导) 铲i n ( 幸) - s i n ( 参 3 巳：s i n ( 华) c o s 昂 i y = a r c t g ( e 3 e o ) + a r c t g ( e 2 q ) 口= a r c c o s 2 ( e 0 2 + e ；) 一l 】( 2 - 4 4 ) 【矽= a r c t g ( e 3 e o ) 一a r c t g ( e 2 e i ) 2 3 2 位置、速度和加速度分析 在一个三维多体系统中，构件f 的广义坐标矢量由其连体坐标系原点坐标和欧拉参数 组成，表示为： rr q，=l(245) l p l j 对于由柚个构件组成的系统，其广义坐标矢量组为： q = g i ，g ；，g 二】7 ( 2 - 4 6 ) 系统广义坐标维数为7 n b 。 采用欧拉参数广义坐标，每个构件的欧拉参数广义坐标必须满足( 2 2 4 ) 的归一化约 束，即： 由；= p ：p i - 1 = 0i = 1 , 2 ，n b ( 2 - 4 7 ) 系统的欧拉参数归一化约束方程的矢量形式为： 西p = i ：e t ，；，m 磊】7 = 0 ( 2 - 4 8 ) 设与运动幅等价的约束方程数为砌，则系统运动学约束方程的矢量形式为： 西k ( g ) = 【：( g ) ，：( g ) ，西幺( g ) 】r = o ( 2 - 4 9 ) 为使系统具有确定运动，对系统 h 直) j n ( 6 n b n hy 个独立的驱动约束，系统驱动约束方 程的矢量形式为： 西d ( g ，t ) = 0 ( 2 - 5 0 ) 据此，由系统的欧拉参数归一化约束方程、运动学约束方程及驱动约束方程组成的 系统约束方程，或称位置方程为： 1 4 从而得到： 刍= 研= 0( 2 5 3 ) 式( 2 5 2 ) 和式( 2 - 5 3 ) 利用了6 p = 0 这一事实。式( 2 5 3 ) 表明，与欧拉参数归一化约束有 关并以国为变量的速度方程完全得到满足，且以为变量的加速度方程也将完全得到满 足，故对于速度和加速度分析，当以角速度和角加速度为变量时，不需要考虑欧拉参数 归一化约束，只考虑运动学约束及驱动约束即可。 运动学约束方程和驱动约束方程对时间求导即得系统速度方程： 善 耋蒡 t + 耋妻 4 = 。 一- - 夕, q j 三 ： c 2 - 5 4 ， 由于运动学约束方程不涉及时间，故： 一吖= 0 兰抄k( 2 5 5 ) 对式( 2 5 4 ) 对时间求导可得到系统的加速度方程： 善n b 三； k 霉+ 兰霎 叫 = - 兰雾 一善 耋； t + 耋妻 4 ) 兰 ：三 c 2 - ；6 ， 同样，运动学约束中不涉及时间，时间仅可能出现在驱动约束中，驱动约束方程是 仅依赖于广义坐标的函数之和或仅依赖于时间的函数之和，故。，= 0 。 在计算速度方程和加速度方程中的雅可比矩阵时，并不是进行实时的数值计算，而 是基于具体的约束类型进行计算。不管是运动学约束还是驱动约束，都可分为有限的几 种类型，针对每一种类型的运动幅计算其雅可比矩阵的代数形式，如此，在速度分析和 加速度分析时只要先进行雅可比矩阵的组装，然后迭代的每一时刻代入具体的构件特性 值即可。 2 4 多刚体系统动力掣1 ，5 6 3 1 ，3 2 】 对于受约束的多体系统，其动力学方程是先根据牛顿定理，给出自由物体的变分运 动方程，再运用拉格朗日乘子定理，导出基于约束的多体系统动力学方程。这里给出了 微分一代数方程的建立，3 种类型的动力学分析等。根据：i 维系统情况的不同，给出了 角速度表示和欧拉参数表示的两种不同形式的运动方程。 2 4 1 空间自由刚体的变分运动方程 对于空间任意刚体构件f ，令其连体坐标系d l z 原点d ；固定于刚体质心，此时连 体坐标系也称为质心坐标系，设刚体质量为m ，其相对于质心坐标系d 劬，z ：的惯性张 量为z ，再设作用在刚体上的总外力e ，外力相对于质心坐标系d 匀咖名；原点的力矩刀：， 则相对于刚体质心坐标系的刚体牛顿一欧拉变分运动方程为： 毋7 慨露一e l + a 7 ，知彰+ 俐一i i i 7 】= 0( 2 - 5 7 ) 其中，毋r 3 为刚体质心的虚位移，耐r 3 为刚体的虚转动，r j r 3 为刚体质心 位移，硝r 3 为刚体的在坐标系d 鼻z 种表示的角速度。 2 4 2 空间约束机械系统的运动方程角加速度形式 考虑由柏个刚体组成的空间约束机械系统，系统的广义坐标选为： ，= 【吒7 ，彳，吃】r p = 【p j ，p ；，p 二】7 定义： ( 2 - 5 8 ) ( 2 - 5 9 ) 毋= 【觑7 ，醒，睨】r ( 2 - 6 0 ) m 兰d i a g ( m i 厶，厶，m 柚1 3 ) ( 2 - 6 1 ) f = 巧r ，巧，聪】r ( 2 - 6 2 ) 耐= 【叫7 ，弼i t ，碱】r ( 2 - 6 3 ) j 7 毫幽昭( 彳，z ，厶) ( 2 - 6 4 ) 三 硝t ，_ i t ，6 t 】r ( 2 - 6 5 ) 刀7 三 刀，刀：i t ，螺】r ( 2 - 6 6 ) 三以昭( 科，趟，瓯) ( 2 - 6 7 ) 运用上述符号将系统中每个构件的牛顿欧拉方程式( 2 5 7 ) 综合为 毋r 一f 】+ 西，7 ，+ + 自移一刀，】= 0 ( 9 _ - 6