（固体力学专业论文）基于均匀化方法的多孔材料的本构数值研究和升阶谱有限元.pdf

摘要 摘要 本文在文献调研和前人研究的基础上，对均匀化有限元法在多孔材料的等 效弹性模量模拟中的应用和基于非协调位移模式的升阶谱有限元进行了深入的 研究。 首先，本文把基于小参数渐进展开的均匀化理论和有限元法相结合，建立 了在细观体系下求解单胞宏观等效弹性模量的单变量变分原理。f 并在此基础上 推导出基于单变量泛函的协调位移模式。针对单胞的周期性边界条件，通过等 效处理使其在单元一级得到满足，即所谓的固定边界条件。， 针对正方形孔洞结构的蜂窝材料，本文利用均匀化有限元法对其宏观等效 ， 模量进行了数值计算，并与早期方法得到的结果进行比较。f 表明均匀化有限元 方法可得到较准确的等效模量。同时还考察了胞壁固体相的力学性能参数k 对 材料宏观力学性能的影响，首次从数值计算的角度利用有限元程序证明了胞壁 、 固体相的泊松比吒对多孔材料的宏观等效杨氏模量和剪切模量影响很小。户、一 其次，本文介绍了非协调元的一般概念分片检验条件和生成非协调形函 数的一般公式，并将非协调元具体应用于弹性力学平面问题，构造阶次依次升 ， 高的非协调元f 首先采用常规的多项式作为必须附加的内位移，虽然无论是位 t 移模式在自然坐标下完备，还是在直角坐标下完备，通过般公式进行修正后， 均能通过分片检验但随着单元位移阶次的升高，对一些算例的计算结果并没 有得到预期的收敛效果这是因为一些项使得数值结果明显变坏。去掉这些项， 结果得到明显改善这表明在进行修正时，使得一些项之问接近相关，导致了 数值稳定性。但是采用勒让德正交多项式序列来重新建立二维非协调升阶谱有 限元，不仅能通过分片检验，而且还可以得到较优的结果。卜1 一 关键词：均匀化理论，多孔材料，非协调元，升阶谱元 a b s t r a c t a p p l i c a t i o no fh o m o g e n i z a t i o nf e m i np r e d i c t i n ge f f e c t i v ee l a s t i c m o d u l u so fc e l l u l a rm a t e r i a l sa n dh i e r a r c h i c a le l e m e n tu s i n gi n c o m p a t i b l e d i s p l a c e m e n tp a t t e r nh a v eb e e nf u l l yi n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r ，b a s e do n av a s ta m o u n to fr e f e r e n c e sa n dt h e r e s e a r c hw o r ko ft h ef o r m e r r e s e a r c h e r s f i r s t ，h o m o g e n i z a t i o nt h e o r yb a s e do nw i t hl i t t l ep a r a m e t e re x t e n d a n a l y s i s i sc o m b i n e dw i t hf i n i t ee l e m e n tm e t h o dt o d e v e l o ps i n g l e v a r i a t i o n a lf u n c t i o n t h e nf o r m u l a eo f i s o p a r a m e t r i ce l e m e n tf r o ms i n g l e v a r i a t i o n a lf u n c t i o na r eo b t a i n e d f o rt h ep e r i o d i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n o f u n i t c e l l ，i tc a nb ef i t t e di ne l e m e n tb y a l le q u i v a l e n tt r e a t m e n t ，w h i c h a r es o - c a l l e df i x e dd i s p l a c e m e n tc o n d i t i o n s f o rc e l l u l a rm a t e r i a l s ，h o m o g e n i z a t i o nf e mi su s e dt op r e d i c tt h e m a c r oa n dm i c r o s c o p i cp r o p e r t i e s b yc o m p a r i n gt h er e s u l t so f p r e s e n t m e t h o dw i 1t h o s eo fo t h e rm e t h o d s w ec a l ls e et h a th o m of e m c a n g i v e m o r ea c c u r a t er e s u l t so fe f f e c t i v em o d u l u s f u r t h e r , w ea n a l y z et h e i n f l u e n c e o f p o i s s r a t i oo fs o l i d p h a s e o nt h em a c r o m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o fc e l l u l a rm a t e r i a l sa n d g i v e t h es a m er e s u l t sa ss o m ee x p e r i e n t i a l f o r m u l a e 垒堕竺!一 m o r e o v e r t h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo fi n c o m p a t i b l e e l e m e n t sa n d p a t c h t e s tc o n d i t i o n s ( p t c ) a r ei n t r o d u c e di nt h i sp a p e r , a n d t h e na p p l i e d t ol i n e a re l a s t i ct w o d i m e n s i o n a l q u e s t i o n s t oc o n s t r u c th i e r a r c h i c a l e l e m e n tb a s e do ni n c o m p a t i b l ed i s p l a c e m e n tf u n c t i o n s f i r s t ，w ea d o p t r o u t i n e p o l y n o m i a l s e r i a l sa st h e n e c e s s a r i l ya d d i t o r yi n c o m p a t i b l e d i s p l a c e m e n t t h o u g ht h i sd i s p l a c e m e n tm o d ec a l lp a s st h ep a t c h t e s t c o n d i t i o n s ，i tc a r ln o tg i v ea n t i c i p a n tc o n v e r g e n tr e s u l t s b e c a u s es o m e i t e m sa r ea b o u tr e l a t i v ee a c ho t h e r , w h i c hm a k e st h er e s u l t si n a c c u r a t e i f w ed e l e t et h e s ei t e m sb yc h o i c e ，t h er e s u l t sw i l lb eg r e a t l yi m p r o v e d i n o r d e rt oe l i m i n a t et h em e n t i o n e d r e l a t i v i t y , w et r yu s i n gl e g e n d r e o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s e r i a l sst h e n e c e s s a r i l ya d d i t o r yi n c o m p a t i b l e d i s p l a c e m e n t t h en u m e r i c a lr e s u l t st e l l u st h a tt h i sd i s p l a c e m e n tm o d e n o to n l yp a s s e dt h ep a t c ht e s tc o n d i t i o n s ，h o ta l s o g a v em o r eb e t t e r c o n v e r g e n t r e s u l t s k e yw o r d s ：h o m o g e n i z a t i o nt h e o r y , c e l l u l a rm a t e r i a l ， i n c o m p a t i b l ef i n i t ee l e m e n t ，h i e r a r c h i c a l e l e m e n t 毁谢 致谢 p 五3 s 0 6 3 本文是在导师吴长春教授的指导、关心下完成的，从论文的选题 到最后的完成，吴老师都付出了大量的心血，作者在此表示深深的 敬意和由衷的感谢。吴长春老师严谨的科学态度，渊博的专业知识， 巨大的工作热情使作者受益匪浅。 本文的顺利完成也离不开力学和机械工程系的众多老师的帮助和 支持，在此一并表示衷心的感谢。他们的悉心教导和辛勤培养使作 者的理论知识和实验技能得到了全面的提高。 作者还要感谢计算力学实验室的黄颖青博士、冯淼林博士、袁振 博士、李子然、何沛祥、王凡、周辉、杨向龙等同窗的支持，他们 的热情帮助和有益讨论帮助了作者能够顺利完成本文。 最后衷心地感谢家人的养育和支持。 身如、卜i 上 ! ! 宣：墨塾翌型竺查塑塾堕堕生 第一部分多孔材料的本构数值研究 引言 口多孔材料的发展背景 在我们生活的大自然界中，普遍存在着大量的疏松孔洞材料一一多孔材料 ( c e l l u l a rm a t e r i a l s ) ，如木材、海绵、骨骼等，并且已经被人类使用了7 0 0 0 多 年。在我国的河姆渡文化遗址和埃及的金字塔中就曾经发现了古老的木制品和 陶器，而软木自罗马时代就已经被应用于瓶塞和鞋底；在现代社会，多孔材料 以其优异的力学性能和多种应用功能引起许多力学家和工程师的浓厚的兴趣和 研究，被制作成各种材料为基底的蜂窝状结构和泡沫状结构新型的工程材料。 多孔材料的主要物理特征是孔隙尺寸及其微小，孔径相对于壁厚较大，及 高孔隙率。多孔材料的这些表面物理特征产生的特殊作用，使其成为一种具有 优异的阻尼、渗透、隔音和绝热等性能的功能材料，日益被广泛应用为民用、 军事的结构材料，如德国大众汽车公司泡沫铝用于汽车的吸能装置。 多孔材料不仅具有多种优异的性能，而且制造工艺简单，通过调节一些结 构参数，可以获得繁多的力学性能因此，国内外许多研究机构把多孔材料作 为新型工程材料进行研究 多孔材料的结构可分为二维的蜂窝状结构和三维的泡沫状结构，这两种结 构具有类似的变形机制，其性能主要依赖于相对密度、泡孔壁的性能和泡孔的 几何参数。但泡沫状结构的几何形状及其性质却比蜂窝状结构复杂的多。二维 结构的蜂窝材料( 见图1 1 ) ，广泛应用于隔音、包装等领域，因而研究其力学 性能具有突出的重要性；此外，研究蜂窝材料有助于帮助我们分析具有复杂三 维结构的泡沫材料的力学性能。多孔材料是由胞壁和孔洞组成，对其进行研究， 不仅要了解其宏观性能，还应建立宏、细观的关系，主要考虑到孔洞形式、尺 寸及壁厚等因素在宏、细观尺度上对材料力学性能的影响。 弓i 言：多孔材料的本构数值研究 口多孔材料等效弹性模量的研究现状 由于多孔材料具有多孔洞的结构，因而影响其等效弹性性能的因素主要是 多孔材料内部微结构的特征，体现在孔洞的形状和孔隙率的大小等。为了研究 微观孔洞结构特征对多孑l 材料宏观性能的影响，许多科学工作者从细观的角度 出发来解决一些理论和实际问题。下面将有关研究材料等效性能的代表性细观 力学方法作一扼要的叙述。 早在1 8 8 9 年，v o j g t 川就根据晶体内的常应变假设研究了多晶体的有效模 量。设复合材料的各组成相都是各向同性材料，得到复合材料的有效体积模量 和剪切模i g ：为 k ：= g k g ：= c g j ( o 一1 ) ( o - 2 ) 式中墨，e 和c f 分别为第，相材料的体积模量、剪切模量和体积分数，为相 的数目。而根据r e u s s 假设f ”，我们有 ( 0 - 3 ) ( 0 - 4 ) 式中置：和g ；分别为r e u s s 理论中多晶体的有效体积模量和剪切模量。我们可 以发现，v o i g t 近似和r c u s s 近似分别对应于刚度系数和柔度系数的混合律。 g i b s o n 、a s h b y 等船。1 利用简化的胞壁梁模型，同时考虑胞壁的伸缩变形和 剪切变形，计算出蜂窝结构的二维等效弹性参数，称之为g i b s o n a s h b y 公式。 对于一般的六边形的蜂窝结构( 图卜2 ) ，g i b s o n - a s h b y 公式给出的等效弹性参 数乞和伊，为： rj丫j c k e q 、厶m ) - 汹 陪临“匡 = = 冉 月 茁 g 垦：了t3可(hl+sino) ( 0 _ 5 ) 一= 一一 l u 一0 ， e z 3 c o s 30 譬=乒丽(h丽l+sin0)hz)+2h1)coso ( o - e ) 巨，3 (2 ( 1 当h = ，。0 = 3 0 0 时，可得规则正六边形蜂窝结构的等效弹性参数表达式： 圈卜i 周期性的蜂窝结构几何结构圈1 2 一般结构的基础胞元 ( o - 7 ) ( 0 - 8 ) 而对于正方形蜂窝结构。我们令矗= 0 ，0 = 4 5 0 ，带入( 1 ) 式可得杨氏模量 而对于g 矗，却给出 鲁= 鲁= 2 妥le |e l 3 焦：三 e l l ( 0 - 9 ) ( 0 - l o ) g u l a t i i 5 在1 9 7 5 年指出，正方形蜂窝结构的面内弹性常数与规则正六边形 蜂窝结构有着根本的区别。这是因为对于正方形蜂窝结构，只有在胞壁承受轴 向拉伸或压缩的情况下，才存在弹性变形。并定义平行于胞壁方向的杨氏模量 ，一， ，一r z ， 卯 2 m | i = e一巨晚一最 引言：多孔材料的本构数值研究 鱼：鱼：三 e se s l ( 0 1 1 ) h a s h i n s h t r i k m a n 上下限是研究两相复合材料弹性模量最常用的方法，将 其应用与蜂窝结构的材料时，其上限简化为 妥要( o - 1 2 ) e 3 争要 ( o 一1 3 ) e 8 、。 其中卢、e 、妒分别为等效剪切模量、等效杨氏模量和相对密度。 h s k i m t 7j 等给出了正方形蜂窝结构的面内弹性常数为 鱼：鱼：兰 e s e s 3l j 由以上各式可见，前人对于正方形蜂窝结构的面内弹性常数的分析之间差 异很大，因此，有必要重新进行探讨。 口本部分的研究内容 由于多孔材料具有多孔洞的结构，因而影响其等效弹性性能的因素主要是 多孔材料内部微结构的特征，体现在孔洞的形状和孔隙率的大小等。为了研究 微观孔洞结构特征对多孔材料宏观性能的影响，本文从细观的角度出发，基于 渐进均匀化理论，来解决一些理论和实际问题。 本部分的主要研究内容是： 第一章，首先介绍了均匀化理论和基于小参数渐进展开的摄动技术，并建 立了应用于细观问题求解的势能泛函，利用变分原理推导出均匀化求解的二维 有限元格式。 第二章，针对二维结构的多孔材料一蜂窝结构，选取代表性的单胞模型， 运用第一章推导的均匀化求解的二维有限元格式，来确定材料的宏观等效性能， 并考察胞壁固体相的材料参数( 泊松比v ) 对宏观等效性能的影响。最后针对 具有多级不均匀性和细观周期性的多孔材料，我们提出了二次均匀化方法。 第一章均匀化理论及有限元格式 1 1 均匀化理论 均匀化方法由法国科学家在二十世纪七十年代提出，并应用到具有细 观周期性结构的材料数值分析中m 。近几年该方法已成为分析夹杂、多 孔材料、混凝土材料1 的等效模量及材料的细观结构拓扑优化1 2 3 常用的 方法之一。1 9 9 9 年国际杂志( c o m p u t e rm e t h o d si na p p l i e dm e c h a n i c sa n d e n g i n e e r i n g ) 就均匀化方法及其在先进多孔材料中的应用出了专集“”。均匀化 方法既能从细观尺度分析材料的等效模量和变形，又能从宏观尺度分析结构的 响应它是根据材料细观周期性特点，将宏观结构中一点的位移和应力等物理 量展开为表征细观结构尺度的小参数渐近级数，并用摄动技术建立一系列控制 方程，依据这些方程可求解出平均化的材料参数、等效位移和等效应力。 在很多实际工程和科学问题中，描述某一物理现象的方程依赖于具有 不同尺度的变量，如具有量级为l 的正常尺度和较小尺度，可将这些变量 表示成x 和x e ，这里x 可以是n 维向量x = ( x 。，x 。) 。这一类含有小参 数的数学问题可通过摄动法求其p ( ) 的渐近解1 ，大致步骤如下： 把实际问题处理为含有小参数的数学问题。 令x e = o ，求解出非摄动问题p ( 0 ) 的解u 。( x ) ，将其称为零级近似。 运用摄动法求x e 2 ( t - 2 5 ) 防， 两边同乘以甜! “并在单胞区域y 内积分，有 ( 卜2 6 ) l j ”刀，d y m o ：“删盯= o ( 1 - 2 7 ) 式中“躜= a “搿砂， 根据周期性边界条件司知( 1 - 2 7 ) 式第一项为0 ，又由弹性矩阵( 正定 性，可得 材= o 及甜j g ，y ) - - 甜j 吣g ) ( 1 - 2 8 ) 由此可见，第0 阶解“j ( ， 与细观坐标y 无关，是结构的宏观位移。 把( 卜1 4 ) 式中的毋x ，力项展开成如下形式： p ? g ，y ) = 0 扣) + p 硝0 0 ) ( 1 - 2 9 ) 舯 ，= 故筹+ 割 s 。， g坊 得 ， g 一和 入带式把 p 知) = 圭( 筹+ 刳 于是( 1 - 2 3 ) 式就转化为： ( 卜3 1 ) 私删忙等8 “ s z ， 这是一个关于彰1 b ，y ) 的线性方程，其解可写成非齐次项的线性组合： 甜? g ，y ) = z ? c y k ( “。g ) ) ( 1 - 3 3 ) 设仞 是定义在单胞y 中的一个以y 一周期性函数，而e 。0 。) 相当于 一个放大因子。 这样( i 一3 2 ) 式就成为： 参b ) 】+ 鲁= 。 s 。， 将( 1 - 3 4 ) 式代入( 1 - 2 9 ) 式可得： p ? = p 。- 柳+ 如“) j ( 1 3 5 ) 其中，e 州如“) = 时饥+ 彰融) ，是一个四阶单位张量： 掣= 帆颤+ 磊靠) ，6 ，是k r o n e c k e r d e l t a 记号 由此( 1 - 1 8 ) 成为： 其中 仃= 毋并e 埘0 。) ) ， 子( y 只= c 捌口：+ 勺。如“) 】。 将( 1 - 3 5 ) 式代入( 1 - 2 2 ) 式，得到y 一域内的平衡方程： 掰并 二- 5u 谚， ( i - 3 6 ) ( 1 - 3 7 ) ( 1 - 3 8 ) 仃( 。( x ，y ) 是仃g ) 的渐近展丌式的第二项，称为细观应力场它考虑 了细观波动变化。当趋于零时： 盯b ) 一仃。0 ，x 占) 0 ( 1 3 9 ) 如果只保留位移和应力瓞j r 式的前两项，得到q 中的位移和应力分和： 甜j g ) = 甜p g ) + 叨，k 。g ” ( 1 4 0 ) 0 ) = 秽) - c ，雌+ p ，b “帆- ) ( 1 - 4 1 ) 对于具有y 一周期性的函数o ( x ，y ) ，我们定义其在域内平均值为 ( 。) 2 丽1 f b ，y 如 ( h z ) 同样，对( 1 - 3 6 ) 式在y 域内求平均值，得 ( 盯? ) = 锚e 。( ”扣) ( 1 - 4 3 ) 其中 兰( 创) 2 南j c 帅畦+ 如“龋，r c t 州， 我们定义为多孔材料的等效弹性常数，它与细观坐标y 无关，对 应于等效均质材料的弹性常数 把( 1 - 2 4 ) 式在单胞区域y 内求平均值可得宏观均匀化的总体平衡方程 掣+ ，_ o 伽q 。( 1 - 4 5 ) 上式对宏观域甜都是成立的，并且与y 无关。注意到( 卜2 8 ) 式，有 ( m ) = p b ) ( i - 4 6 ) 这表明对单胞位移的体积平均值就是均质材科全场问题的位移。利用 ( 卜3 6 ) 式和( 卜3 8 ) 式求解局部问题，通过( 1 4 4 ) 式可以获得材料的等 效弹性常数，然后求解全场问题( 1 4 j ) ，并结合式( 1 4 1 ) ，可获得细观结 笙二童望塑些查垄墨茎立堡垄垡茎 构的应力盯：g ) 】。求解全场问题时边界条件为： ( 盯? ) 甩，= f “( o ) = 玎 1 3 均匀化有限元格式 。行r d ”l ( 1 - 4 7 ) ( 1 - 4 8 ) 将( 1 3 2 ) 式两边同乘以以y 为周期的广义虚位移勃? ，并在单胞区域内 积分，有 工骈参铂渺+ 工骈等甜= 。( 1 - 4 9 ) 分部积分后得 4 ，骈等啦+ l 勃叫s 一 菇秘1 , 百a s z 驴：。 n _ 由于和觑在单胞区域边界上满足周期性边界条件，故上式中的前两项为 零，则有 锥o 钆z “d y + i r 一筹c w d y = 。 c 堋， 我们可以发现( i - s 1 ) 式是下面势能泛函的一阶变分， 町州= 圭挚帅筹仉工筹印 c 一s z ， 由上式我们可以得到均匀化方法计算等效模量的等参元列式。 对于单胞区域y 。我们将其划分成小的单元y 。，各单元之间满足 u e = y ，匕n k = 彩和a 匕n a k = s ( a ，b 为任意两个单元) 。 对于二维结构的多孔材料单胞，我们采用四节点等参元( 见图2 - 2 ) 进行数 值模拟，则与位移相对应的节点等效位移场为： x ? 1 x 1 2 2 l x1 1x ；2 圈2 - 2 四节点等参元 等效位移场与节点值g “有如下的线性插值关系： z ：= ne q h 其中 = i n 。 n 2n ，n 。】 1 ，5 寺( 1 + 夤踟+ r l , r 1 ) ( j = l ，2 ，3 ，4 ) ( 孝，7 ) 代表等参元坐标系，( 鲁，仇) 是f 点的等参元坐标值( f - - i ，2 ，3 ，4 ) 。 对于某节点，其节点的等效位移值是： 钟删： 。g ? 2 。碍；2 。g ；28 q ：2j 殳 2 ，y 2 ) ( 1 5 4 ) ( 1 5 s ) u一1 ( j 他心2 x x 第一章均匀化方法及其有限元格式 由上面的假定，我们有： 8 州( z 尸) = e 州( n e q 盯) = b 】洲q i t - 5 6 ) 其中： 对单元而言，有 b = 对应的有限元离散方程为： 其中 旦o 0 x k q 村= p n 】= p 州( ) 陋 矿) = p 材) ( 1 - 5 7 ) ( 1 - - 5 8 ) ( 1 5 9 ) k 】= f ，f 。陋k 【c 】3 。，陋】3 。h l j l d c a l 谚盯 = 一f if l c b e ，【c k ，h l j l d c d , 7 这里c 是单元的刚度矩阵j 代表j a c o b i a n 矩阵当q “由方程( 1 5 8 ) 解出以后均匀化后的等效弹性常数即可由方程( 1 - - 4 4 ) 得到。 1 4 结论 本章简明扼要地介绍了均匀化理论，并对基于小参数展开的渐近均匀化过 程给出了详细的推导和等参元有限元列式。现小结如下： ( 1 ) 首先介绍了均匀化理论的发展背景及其应用的现状，并对其基本的思想 进行了阐述。 a一砂a一缸 。 旦砂 第一章均匀化方法及其有限元格式 ( 2 ) 其次，本章对基于小参数渐进展开的均匀化过程给出了详细的推导，并 针对均匀化方法得出的细观方程，提出了单变量的泛函和变分原理。 ( 3 ) 对于二维结构的多孑l 材料单胞，给出了均匀化方法计算等效模量的四节 点等参元列式及其离散方程。 第二章多孔材料的等效弹性模置的数值模拟 第二章多孔材料的等效弹性模量的数值模拟 2 1 多孔材料的单胞模型选取 多孔材料是由胞壁固体相和内部孔洞组成的高度疏松材料。对其进行研究， 不仅要了解其宏观的力学性能，还应建立宏观和细观之间的关系，这主要考虑 到孔洞的形式、几何特征尺寸及胞壁厚厚度等因素在宏、细观尺度上对材料的 力学性能的影响。 具有三维结构的多孔材料，如泡沫材料，其细观结构具有很大的不均匀性 和不确定性，对其直接进行数值计算和分析，存在着一系列难以解决的问题： 细观几何结构的确定、特征单胞的选取等等。 而作为二维结构多孔材料的蜂窝结构材料，被我们广泛应用于隔音、包装 等领域，其细观结构简单，具有细观周期性，特征单胞易于确定和选取；此外， 研究蜂窝材料的力学性能，还有助于我们分析具有复杂三维结构的多孔材料的 相关的力学性能。 作为算例，本文选取正方形孔洞的蜂窝材料作为研究对象，单胞模型的选 取如图2 1 所示 图2 - l正方形孔洞蜂窝材料的单胞模型 2 2 周期性边界条件的处理 根据上一章提到的周期性边界条件，对单胞进行有限元求解时，对应边界 上广义位移z 需要满足等效位移条件，按照一般的提法是“6 1 ： 对于单胞中边界上对应的两点i 和j ( 如图2 - i 所示) 有 z 。t i ) = x 。j ) q - u 为了在有限元求解过程实现上述的等效位移条件。一种有效方法就是在组 装后的总刚中引入罚函数。 设已得到的整个单胞的所有单元组装后的方程为： 式中 k q “= f “ k = y 。k ( 组装后的总刚) j o ( 2 - 2 ) ( 2 3 ) ，= ，“( 组装后的载荷) ( 2 - 4 ) i 为单元，n 为单元总数，g “为离散后单胞节点总的广义位移。 上式可以化成如下的泛函： n ( g “) = 扣v 研栉咱v 厂“ ( 2 5 ) 单胞进行有限元离散后，边界上对应两点i 、j 的周期性边界可以写成为n 7 1 ： 或 其中 9 “( i ) - q “r ，= 0 ( 2 - 6 ) r ( i ，j ) q “= 0 酬h 一：叠 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 对于泛函式( 2 - - 5 ) 引入罚函数口有： f f i ( q “, a ) = _ f 9 1 i k l j 7 吖g “h g v ，“+ 扣y r ( q “j ( 2 - 9 ) 口是一任意大数，可以取为1 0 4 ，则有如下方程： ( k + a r ) q 。= 广 ( 2 - 1 0 ) 但这样处理会大量耗费计算机的内存，降低计算效率。从第一章的( 卜5 0 ) 式，我们可以发现，上面的周期性边界条件可以进一步使其强制满足： g 玎，= 0 ( 2 - 1 1 ) ”。为单胞边界的外法线方向矢量。 对于二维规则正方形单胞，固定边界条件规定如下： 对于四个角点，x 、y 方向全部固定； = 0 ( i = 1 2 。表示沿两个坐标轴方向)( 2 - 1 2 ) 对于边界点( 非角点) ，施以法向固定，即 彰甩。= 0 ( 2 - 1 3 ) 图2 - 1 所示的正方形孔洞的蜂窝材料的特征单胞及其四分之一计算对称模 型施加的固定边界条件，分别由图2 - 2 ( a ) 和( b ) 给出 1 ( a ) 图2 - 2 ( a ) 正方形单胞的固定边界条件施加 第二章多孔材料的等效弹性模量的数值模拟 ( b ) 图2 - 2 ( b ) 四分之一对称模型的固定边界条件施加 通过上述的简化处理，我们不仅保证求解过程在单元一级满足了上述的周 期性边界条件，而且为求解方程的波前解法提供了可能。下面，我们通过实际 的算例对上述的简化处理进行数值分析以证明其可行性。 首先我们针对二维正方形孔洞的蜂窝材料，考察单胞的周期性边界条件对 数值结果精度的影响。单胞模型及其固定边界条件的施加如图2 - 1 和图2 2 所 示，胞壁固体相定为金属铝。材料常数为e = 7 0 g p a 。吒= o 3 ，计算结果比较 如表2 - 1 所示 边界条件 c n nc 2 2 2 2c 1 2 1 2 固定边界条件 0 4 0 0 4 e + 1 l0 4 0 0 4 e + 1 10 4 1 5 0 e + l o 等位移边界条件0 4 0 0 4 e + 1 10 4 0 0 4 e + 1 1o 4 1 5 0 e + l o 表2 一l 两种边界条件的影响比较 等效弹性模量的表达式为： 唯2 2 霉2 2 0 0 g 2 1 2 墨三兰兰! ! 丝塑塑竺塾塞壁堡墨塑塾堕堡垫 根据表2 - l 所示的结果比较表明，对简单单胞结构，采用固定边界条件和 等位移边界条件所得结果非常接近；另外，当网格划分较密或边界节点较多时， 采用等位移边界条件会使得计算时间明显增加，且不能充分利用结构的对称性 进行简化处理。而采用固定边界条件，不仅处理方便，还可以采用结构的对称 性、提高计算速度和增加程序通用性。为了处理的方便和一致，下面一律采用 固定边界条件。 2 3 等效弹性模量的数值模拟及其分析 选取正方形孔洞蜂窝材料的单胞作为二维多孔材料的特征单胞。单胞模型、 固定边界条件施加和对称模型见图2 1 和2 2 。 算例一考察等效模量随t l 的变化关系 取胞壁固体相的壁长恒为乒6 咖，取不同厚度t ，考察等效模量与t l 的关 系。胞壁固体相的材料为金属铝，材料常数为= 7 0 g p a ，l = o 。3 。等效模量 随t l 的变化曲线如图2 - 3 和2 4 所示。 从图2 - 3 我们可以发现，本文利用均匀化有限元方法得到的宏观杨氏模量 界于v o i g t - r e u s s 上下限之间。本文采用v o i g t r e u s s 上下限，相当于把蜂窝 材料看成由铝壁和模量为0 的孔洞构成的复合材料( 在这里，r e u s s 下限显然 为零) 根据h s k i m 公式和g u l a t i 公式计算得到的杨氏模量相差不大。而我 们得到的结果界于h s e l m 公式和6 u l a t i 公式的计算结果二者之间。尤其当i l l 的值较小时，本文计算得到的宏观杨氏模量与g u l a t i 公式的结果吻合的很好： 当t 较大( 0 1 5 ) 时，相对误差依然小于1 0 。g i b s o n - a s h b y 公式采用 简化的胞壁粱模型，用于正六边形孔洞材料可得到与实验吻合较好的结果；但 将公式变形后应用于正方形孔洞材料时。却得到比正六边形孔洞材料小的杨氏 模量，这与g u l a t i 证明的后者比前者杨氏模量大的结论相矛盾。而本文的均匀 化方法的一个显著特点是虽需要引进空间可重复的单胞和周期性假设，但不受 宏观周期性假设的限制，因此计算得到的等效模量能准确地模拟多孔材料的宏 观等效性能。 在图2 4 中，本文利用均匀化有限元方法得到的剪切模量均界于v o i g t 上限 第二章多孔材料的等效弹性模量的数值模拟 和r e u s s 下限之间( 同理，根据r e u s s 下限得到的计算结果为零) ，更加趋近于 下限，并与h s k i m 公式计算结果相当接近。而g i b s o n a s h b y 公式得到的计算 结果却远大于v o i g t 上限得到的结果。这显然是不正确的a 由此我们可以看出，本文的均匀化有限元方法可以计算得到的精确的等效 模量从而准确地模拟多孔材料的宏观等效性能。毕竟均匀化方法的一个显著特 点是：它虽然需要引进空间内可重复的单胞和周期性的假设，但是它不受宏观 周期性假设的限制。 算例二考察胞壁材料的泊松比匕对宏观等效模量的影响 依然取胞壁固体相的壁长恒为l - - 6 m ，令t l = o 3 ，胞壁固体相的材料为金 属铝，材料常数为e = 7 0 g p a ，分别取位0 1 、0 2 、0 3 和0 4 ，考察胞壁 材料的泊松比对宏观等效模量的影响结果由图2 5 和2 6 给出。 从图中我们可以发现，胞壁固体相的泊松比匕对蜂窝材料的宏观等效杨氏 模量和剪切模量影响很小，尤其六z 小于0 1 5 ( 即相对密度较小) 时，泊松比 匕的变化几乎没有导致宏观等效杨氏模量和剪切模量的变化。这与s t o r q u a t o 的蜂窝材料的杨氏模量表达式( 18 与胞壁固体相的泊松比吒无关的理论相一致。 可见，多孔材料的抗拉和抗弯性能主要是由胞壁固体相的杨氏模量决定的。 因此可认为，相对密度较小时，多孔材料的有效模量( 无论孔洞规则与否) 是 由固体相的杨氏模量决定。而与其泊松比匕无关 2 4 二次均匀化 在把物理、力学和材料科学的宏观定量化方法和材料微观结构设计相结 合的基础上，我们可以不断修改一些参数，以使得材料具有较优的力学行为， 满足各种各样的需求。这从而使材料的微观结构设计从定性走向了定量。 根据上一节的数值结果，我们可以知道，多孔材料的宏观等效模量随着 t z 增大而增大，但同时导致了孔隙率的减少，从而降低了材料的隔音、隔热 等优异的性能。这是我们不愿意看到的结果。我们可以设想，若胞壁中添加弹 性增强相来提高宏观等效模量，就可避免该负面影响。针对这种胞壁中含有增 强相的多孔材料，我们却不能直接采用均匀化有限元方法计算其宏观等效模量。 ， 第二章多孔材料的等效弹性模量的数值模拟 因为这时材料具有多级的不均匀性和细观周期性，单纯采用常规的选取单胞方 法来同时刻画孔洞和增强相，会遇到在单胞级别上更高一级的微观性带来的困 难。为此，我们提出二次均匀化方法，即进行两次不同级别的均匀化数值模拟： 以胞壁中含增强相的二次均匀化胞元( s u b b a s e c e l l ) 为计算模型( 见 图2 7 ) ，得胞壁的等效模量e ； 以乞作为材料常数，图2 - 2 所示单胞为计算模型，得材料的宏观弹性 模量e + 。分析对象为陶瓷颗粒一铝基蜂窝材料，铝材料常数丘= 7 0 g p a ，v r - o 3 ： 陶瓷占3 5 0 g p a ，v r - o 3 。假定增强相的截面为圆形或正方形且分布均匀稀疏。 从图2 - 8 可知。本文计算结果位于v o i g t 上限和r e u s s 下限之间，胞壁 的等效杨氏模量随增强相体积分数的增加而增加。图2 - 9 是蜂窝材料的宏观等 效杨氏模量与增强相体积分数的关系曲线，两者基本成线形关系；同时我们可 以发现，在不改变孔隙率的情况下，通过添加增强相可以显著提高多孔材料的 有效模量此外还考察了两种最常见的截面形状对结果的影响，在体积分数相 同时，圆形截面增强相更有助于提高材料的等效杨氏模量。 回圈 图2 - 7 二次均匀化单胞模型 广 塑三童兰垫塑整塑量塾壁壁堡苎塑墼堡堡型一 0 6 山 0 5 n 4 n 3 n 2 a 1 d o 0 2 玉彳0 3 0 4 图2 - 3 正方形孔洞蜂窝材料的宏观杨氏模量 0 0 00 0 50 1 00 1 5 0 2 0 所0 2 5 0 3 0 图2 - 4 正方形孔洞蜂窝材料的宏观剪切模量 。戈l。 兰三童墨塾塑坚塑竺塾壁竺堡量塑墼堕堡丝 一 含 毛 u n o p 3 0 x f 2 5 2 0 1 5 1 0 n 5 n 0 0 2t , f0 30 4 图2 - 5 泊松比r 对宏观杨氏模量的影响 o dn 1o 2 研 n 3o 4 图2 - 6 泊松比p 对宏观剪切模量的影响 第二章多孔材料的等效弹性模量的数值模拟 体积分数f 图2 8 含增强相胞壁的等效弹性模量 体积分数f ( 们= 0 1 ) 图9 含增强相蜂窝材料的等效弹性模量 第二章多孔材料的等效弹性摸量的数值模拟 2 5 结论 在本章中，我们将均匀化有限元列式应用于多孔材料的弹性本构数值模拟， 从细观的角度对具有细观周期性结构的多孔材料的力学性能参数进行了数值模 拟。结论如下： ( 1 ) 通过对周期性边界条件的考察和结果比较，表明固定边界条件应用于多 孔材料的弹性本构数值模拟，不仅便于程序的编制和实施，而且也可以得到令 人满意的计算结果。 ( 2 ) 考察了胞壁固体相的力学性能参数对材料宏观力学性能的影响。首次 从数值计算的角度利用有限元程序证明了胞壁固体相的泊松比对多孔材料的 宏观等效杨氏模量和剪切模量影响很小。 ( 3 ) 针对正方形孔洞结构的蜂窝材料，利用本文推导的均匀化有限元方法进 行了宏观等效模量的数值计算，并与早期的方法得到的计算结果进行了对照和 比较，结果表明均匀化有限元方法可得到较准确的等效模量。 ( 4 ) 本文提出的二次均匀化方法，对于含有增强相的多孔材料的宏观力学特 性进行了定量计算，得到了对于多孔材料优化设计具有指导意义的结果。另外， 二次均匀化方法也可以应用于其他具有多级嵌套和不均匀性的复合材料的细观 数值模拟 第二部分升阶谱有限元 引言 有限单元法发展至今天，已经成为进行工程数值分析的有力工具。特别是 在固体力学和结构分析的领域中，有限元法帮助我们成功地解决了一系列的重 大意义的问题。而且在科学技术的发展和工程实践中并将继续发挥重要的作用。 我们知道，有限元法实际上并不追求问题的正确解，而是在一个缩小的容 许空间内寻找一个精度达到要求的近似解。作为有限元法的一个数学基础，离 散逼近原理，首先把求解区域离散为一系列且按一定方式相互连接在一起的小 区域单元的组合体，这样便于解决复杂问题、处理参数的不连续性和适配复 杂的边界条件其次是在每一个单元内采用函数序列作为基底函数，并在相邻 单元的边界上设法满足连续性条件。最后将所有单元组合起来进行求解。因此， 就可以通过插值函数计算出各个单元的场函数的近似值，从而得到整个求解域 上的近似值。显然随着单元数目的增加，或者随着单元自由度的增加及插值函 数精度的提高，解的精度将不断提高和改进。如果单元是满足收敛要求的，近 似解最后将收敛于精确解 因此对于任一给定的问题，为了改善其有限元解的精度。主要有以下三种 处理方式： ( 1 ) h 收敛：不改变各单元上的基底函数配置，只是通过逐步加密有限元网 格来使结果向正确解逼近。此法概念上简单直观，程序上易于实施，在有限元 应用中最为常见“们。 ( 2 ) p 收敛：保持有限元网格的划分不变，而是逐步增加各单元的基底函数 配置个数来使结果向正确解逼近盥”“。 ( 3 ) h - p 收敛：既加密有限元网格，同时也增加基底函数配置的个数来使结 果向正确解逼近c 2 ”。 有限元分析结果的误差来自分析过程的各个环节，其中一个主要误差来源 引言：升阶谱有限元 是模型的离散化。有限元网格剖分的质量对分析结果的精度有着决定性的影响， 在早期的常规有限元分析中，分析者通常根据经验、直觉甚至猜测进行网格剖 分，然后凭直观或简单判断近似结果是否合理。如果不合理，则需重新进行网 格设计，其分析效率和可靠性都较低。 d p 收敛 根据维尔斯特拉斯( w e i e r s t r a s s ) 定理，任何一个在有限区间内连续的函 数，都可以用足够高次的多项式逼近到任意精度，我们可知，只要单元内不存 在非连续性，p 收敛性总可以等到保证。 作为实旄p 收敛的一种手段，z j e n k j e w j c z 嘲等在1 9 7 0 年提出了升阶谱有 限元的概念后来又作了进一步的阐述乜7 。 这里所谓的升阶谱有限元是有常规的位移协调元逐渐附加自由度而构成 的。这些附加自由度以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式函数作为基底函 数。并且在自由度的安排下，使低阶升阶谱元的自由度是高阶升阶谱元的自由 度的一个子集因而，其刚度、质量和几何刚度矩阵以及载荷矢量乃是同一问 题更高阶升阶谱元相应矩阵的予矩阵，以及响应矢量的子矢量。 这样，在升阶的过程中。只需要在原有矩阵方程的基础上扩充新的行和列， 即可得到新的矩阵方程。此外，还可以充分利用原有的计算结果作为出发点， 经过迭代求取扩大后矩阵方程的新结果这种优越的特性可使总计算量大为节 省。 口本部分的研究工作 虽然p 收敛方法比h 收敛优越，但是升阶谱有限元的应用却不普遍，这除 了历史性的原因外，p 收敛自身也存在一些问题。例如，为了增加自由度，需 要利用高阶的多项式作为基底函数，这容易导致数值的稳定性问题。 我们知道，非协调元具有比等参元更高的精度和效率。本部分尝试利用非 协调元的基本思想，在双线性插值函数的