（固体力学专业论文）应变可调型声子晶体机理研究.pdf

摘要摘要近年来，对弹性波和声波在弹性系数周期性排列的复合材料中传播问题的研究已经得到广泛的重视。这种周期性排列的复合材料，即所谓的声子晶体，由不连续的散射体嵌入连续的基体中组成。在声子晶体的带隙频率范围内，声和振动不允许通过。声子晶体中存在完全禁带己经由理论预测及试验观测证实，而且声子晶体带隙具有可设计性。声子晶体特性计算的主要方法有：平面波展开法、多重散射法、有限元法及时域有限差分法( f d t d ) 。f d t d 方法可以计算周期结构中的带结构、透射、反射等特性，不受固液耦合等因素的影响。本文中，详细讨论了f d t d 方法的数值模型，并基于这种方法对声子晶体的应变可调性进行研究。第一章绪论部分首先介绍了声子晶体的属性、研究意义和研究现状。第二章阐述了弹性波在声子晶体中的传播原理及弹性波波动方程。第三章简要说明了时域有限差分法原理；给出了二维声子晶体中弹性波波动方程的差分表达式；讨论了差分表达式需要满足的数值稳定性条件和数值色散条件；给出了边界条件差分表达式；讨论了激励源类型的选择及设置。第四章详细分析了声子晶体中弹性波传播特性；探讨声子晶体的频谱分析方法，且计算声子晶体的透射系数。第五章我们将提出一种基于二维声子晶体应变可调性的设计方案。通过以上工作，我们发现对声子晶体施加拉应变后，观测到应变与声子带隙位置之间存在一定的对应关系。预计这种特性可以用控制多余噪声、声聚焦等。关键词：声子晶体；应变；声子带隙；时域有限差分法a bs t r a c tr e c e n t l yt h es t u d yo fe l a s t i ca n da c o u s t i cw a v ep r o p a g a t i o ni np e r i o d i ce l a s t i cc o m p o s i t em a t e r i a l sh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n t h e s ep e r i o d i cc o m p o s i t em a t e r i a l s ，a l s ok n o w na sp h o n o n i ec r y s t a l s ，a r ec o n s t i t u t e do ft w o o rt h r e e d i m e n s i o n a la r r a y so fi n c l u s i o n se m b e d d e di ns o m ed i f f e r e n th o s tm a t e r i a l s p r o p a g a t i o no fv i b r a t i o na n ds o u n di nt h eb a n d g a pi sn o ta l l o w e d t h ee x i s t e n c eo fa b s o l u t eb a n dg a p si np h o n o n i cc r y s t a l sh a sb e e np r e d i c t e dt h e o r e t i c a l l ya n do b s e r v e de x p e r i m e n t a l l y a n dt h eb a n dg a p sa r ea l l o w e dt od e s i g n t h e r ea r ef o u rm a i nm e t h o d sa b o u tc a l c u l a t i o no fc h a r a c t e r i s t i c so fp h o n o n i cc r y s t a l s t h e ya r et h ep l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ，m u l t i p l es c a t t e r i n gm e t h o d ，t h ef l n i t ee l e m e mm e t h o da n df i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d f d t dm e t h o dc a nc a l c u l a t et h eb a n ds t r u c t u r e ，t r a n s m i s s i o n ，r e f l e c t i o na n do t h e rp r o p e r t i e s i n t h i sp a p e r , t h ef i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n m e t h o do ft h en u m e r i c a lm o d e lh a sb e e nd i s c u s s e di nd e t a i l a n db yt h i sm e t h o dt h ec h a r a c t e ro ft u n a b l es t r a i np h o n o n i cc r y s t a l sh a sb e e nd i s c u s s e d t h ep r o p e r t i e so fp h o n o n i cc r y s t a l s ，s i g n i f i c a n c ea n dd e v e l o p m e n ta r ed i s c u s s e di nc h a p t e r1 t h ep r i n c i p l eo fe l a s t i cw a v ep r o p a g a t i n gi np h o n o n i cc r y s t a l sa n dt h ee l a s t i cw a v ee q u a t i o nw i l lb ee x p o u n d e di nc h a p t e r2 i nc h a p t e r3t h ef d t dp r i n c i p l ei sb r i e f l yd e s c r i b e d ；ad i f f e r e n t i a le x p r e s s i o no fe l a s t i cw a v ee q u a t i o na b o u tt w o d i m e n s i o n a lp h o n o n i cc r y s t a l si sg i v e n ；t h en u m e r i c a ls t a b i l i t yc o n d i t i o n sa n dt h en u m e r i c a ld i s p e r s i o nc o n d i t i o n sw h i c ht h ed i f f e r e n t i a le x p r e s s i o ns h o u l db em e e ta r ed i s c u s s e d ；t h ed i f f e r e n t i a le x p r e s s i o no ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o n si sg i v e n ；t h ec h o i c ea n ds e tu pa b o u tt h ee x c i t a t i o ns o u r c e si sd i s c u s s e d i nc h a p t e r4t h ep r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fe l a s t i cw a v ei np h o n o n i cc r y s t a l si sd e t a i l e da n a l y z e d ；t h es p e c t r u ma n a l y s i sm e t h o do fp h o n o n i cc r y s t a l si sd i s c u s s e d ；t h et r a n s m i s s i o nc o e m c i e n to fp h o n o n i cc r y s t a l si sc a l c u l a t e d i nc h a p t e r5w ew i l lp r o p o s ead e s i g nw h i c hi st w o d i m e n s i o n a lt u n a b l es t r a i np h o n o n i cc r y s t a l w ef o u n dt h a ti nt h et u n a b l es t r a i np h o n o n i cc r y s t a l s ，t h e r ei st h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t r a i na n dt h el o c a t i o no fb a n dg a p t h i sp r o p e r t yc a nb ei ia b s t r a c tu s e dt oc o n t r o ln o i s ep o l l u t i o n ，a c o u s t i cl e n sa n ds oo n k e yw o r d s ：p h o n o n i cc r y s t a l ，s t r a i n ，a c o u s t i cb a n dg a p ，f d t dm e t h o di i i学位论文版权使用授权书本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学位论文作者签名j绒潞洲7 年弓其 罗日同济大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名：缉酬、年；月，夕日第1 章绪论第1 章绪论自2 0 世纪8 0 年代以来，具有一定周期结构的复合材料的能带特性的研究越来越受到人们的关注n 喝1 ，这是因为经典波( 光波、电磁波、超声波、声波、弹性波等) 在周期排列的组合材料中传播时，有可能出现带隙，带隙所对应的频率和复合材料的结构特性有关。在声学领域，能带之间出现的带隙称为声子带隙，相应的这种复合材料称为声子晶体。对电磁波而言，因为周期性组合材料的电介质常数在空间周期性变化构成所谓的光子晶体，大量的理论计算预言了光子晶体带隙的存在。声子晶体有许多特性可以与光子晶体相类比，通过适当选择材料参数，可以做到声子晶体在一定频率范围内的完全带隙，位于带隙区的弹性波通过声子晶体可以实现非吸收完全反射。但声子晶体的弹性波与光子晶体的电磁波也存在一些根本的区别。声子晶体的基本特征就是它的声子禁带( 声子带隙) ，即处于声波禁带频率范罔内的振动或声波被禁止在声子晶体中的传播。我们知道光波是一种横波，在每个组元中只有一个独立的介电常数。而在固体中传播的弹性波是由纵波和横波耦合的全矢量波，在每个组元中具有3 个独立的弹性参数即质量密度p 、纵波波速和横波波速( 在流体介质中) ；因此，对声子晶体的研究比对光子晶体的研究具有更丰富的物理内涵。本章在1 1 节我们首先介绍声子晶体及其属性；在1 2 节介绍声子晶体的研究意义；1 3 节介绍声子晶体的研究现状；1 4 节介绍本研究课题的来源和主要研究内容。1 1 声子晶体及其属性1 1 1 声波与弹性波禁带声子晶体的研究主要是声波和弹性波在周期性复合材料( 声子晶体) 中的传播问题。我们知道电子波在天然晶体和半导体超晶格中传播会产生电子波的能带结构和带隙，而且光波在光子晶体中能产生光子能带结构和带隙。如今已经有实验与理论表明，声波( 弹性波) 在声子晶体中传播时也会产生声波( 弹性波) 的能带结构和带隙，而且在完全的声波或弹性波带隙的频率范围内，声波( 弹性波) 的传播受到禁止。图1 1 所示一维、二维、三维声子晶体结构形态示意图。第1 章绪论i i 。! - ；：l m - m m ! ：；( a ) 一维( b ) 二维( c ) 三维幽l1 声子品体结构形态示意h1 12 声子晶体带隙存在的原因引起弹性波( 声波) 带隙的产生的物理机制主要有两利”：一种是在周期系统中川，拉格散射的作用，这种布拉格带隙会在巾里渊区边缘打巩而完全带隙则要求带隙在所有的方向上都有交叠，并且靠拉格带隙的僖性与系统的周期性，别称性以及散射体的结构排yr j 有很大关系，带辣频率的数量级和c a 的数量级相同，其中c 是波速，a 是品格常数。另一种产生带隙的原因是共振散射作用，它的思想核心在于引入了局域共振机制单兀，而带隙也是由此嘶产生的。局域共振机制要求用较软较轻材料包裹着较重核，包裹层比核和基伴两种剌料软。如果带隙是共振带隙，则它的带隙届性应该独立于周期性、对称性。除非共振单元的浓度特别大而使他们强烈呐相h 藕合。1 1 3 影响带隙宽度的因素据目前所了解到的声子带隙在一定的条什下才能产生，是两种及咀上物理机制综合作用的结果，在布拉格散射起主导作用时的两种介质组成的声子晶体中，影响其带隙的因素有以下几种“”：l 、两种物质的排列结构；第1 章绪论2 、两种物质的密度之比；3 、物质的纵波波速与横波波速之比；4 、散射体的填充率和散射体的拓扑结构。而且两种介质的密度比和速度比相比较，密度比更有利于带隙的出现。可以看出该类型的声子晶体带隙很难产生，因为条件比较苛刻。当局域共振起主导作用时( 这种机制可在三组元系统中构造) ，带隙主要与各介质的密度和弹性模量有关，而与物质的排列结构是没有关系的。1 2 声子晶体的研究意义声子晶体的研究既有理论意义又有实际的应用前景。理论上，研究声波或弹性波在周期性复合介质中的传播时，主要任务是研究声波或弹性波的能带结构。对某些声子晶体结构，施加应变不但会造成声子晶体排列周期的改变，还会改变材料中的声速，这时需要求解周期结构的声弹性方程。这方面的研究工作进行的并不多。实际的应用方面，它具有很大的应用价值【5 ，6 ，7 ，引。根据声波( 弹性波) 在声子晶体中的能带理论可知，当声波( 弹性波) 的频率处于禁带范围内时，声波( 弹性波 及振动将不允许通过，可以设计和制造出一种基于这种新思路和新理论的一种全新的隔音隔振材料。将普通的、常见的材料按一定的排列组合，可隔离噪声和振动，而不需要另加隔音或隔振设备。这种材料可在噪声的传播途中隔离噪声，也可在噪声源处控制噪声和振动。在声学应用方面，声子晶体用于声波导和滤波器，用宽禁带滤波器或窄通带滤波器可以禁止一定频率声波的传播，而在通带频率增强它们的传播。声子晶体可以用于声纳、深度探测系统及医学超声成像等领域，以发射和接受各种信号。其他的潜在应用有：声音( 噪声) 屏蔽、无吸收反射镜、高品质单模谐振器、调制器、声频扬声器、吸热器和偏导器等。根据实际情况的需要，设计一定结构的复合材料，给某些精密仪器提供在一定频率范围内无振动环境。声子晶体为高精密机械加工系统提供无振动环境，为高精尖设备和仪器制造关键性核心器件达到其特殊精度要求。声子晶体能禁止一定频率范围内的振动，对减少各种探测和定位器件振动的负面影响有重要意义，特别是在常规阻尼材料所不能发挥效能的范围内应用。如用于旋转设备的重型底座的减震、角接触轴承的轴承套、声学成像阵列背平面、飞机发动机底座、电子设备底盘等。第1 章绪论声子晶体的缺陷态研究表明，当存在点缺陷时声子晶体具有的局域性，根据声子晶体这一特性可以设计新型的声学元件，如声学滤波器、声学换能器等。另外，根据声子晶体中存在线缺陷时声波的局域性，可以设计出新型的声波波导管，从而将声子晶体与现代声一电转换技术结合起来，在交通干线或高速公路两侧，设置声子晶体材料做成的“噪声墙，将噪声能量收集转换成电能。这样既可以降低车辆噪声污染，有可供给公路照明及信号灯使用，使汽车噪声“变废为宝。对应变可调声子晶体的研究成果将使其应用更加广泛和更加灵活。1 3 关于声子晶体的研究1 3 1 声子晶体的研究现状弹性波和声波在层状( 一维) 介质中传播的研究已有三十多年的历史。1 9 8 8年a l a k h t a k i a 等人利用平面波展开法和传递矩阵法计算了二维弹性周期结构对p 波和s v 波的反射和透射性能，发现了带隙现象n 们。1 9 9 2 年，m m s i g a l a s和e n e c o n o m o u 在研究声波在人工周期弹性介质传播时，从理论上证实了球形材料埋入某一基体材料中形成周期性点阵结构具有带隙特性的重要结论，在金、铅球与铝或者硅基体所形成的复合材料中获得带隙引。m s k u s h w a h a 等人明确提出了声子晶体的概念，并采用平面波展开法对镍柱在铝合金基体中形成的复合材料计算获得声波带隙n 引。j 0 v s s e u r 等人通过对由散射体为碳柱体和基体为环氧树脂组成的系统的带隙计算，获得了比较宽的完全带隙。在获得完全带隙的基础上，m s k u s h w a h a 等人采用与光子晶体相类似的方法，采用串联结构获得了超宽禁带，带隙范围为2 k h z 1 1 姚。近年来的研究热点是二维和三维系统。有平面波展开法瞳7 32 3 3 3 4 1 、传递矩阵法、多重散射法、原子轨道线性组合法、超元胞法、有限元法、时域有限差分方法乜6 3 5 瑚3 等。其中平面波法比较常用，即把材料的密度和弹性常数在倒格矢空间以平面波的形式展开为二维傅立叶序列然后求解波动方程得到色散关系的特征值和特征波矢。t o s h i os u z u k i 和p a u lk l y u 就是采用这种方法求解了三维周期弹性结构的运动方程。在二维系统中，c g o f f a u x 、j s a n c h e z d e h e s a 等人用有限差分时域方法计算了带结构和散射谱n7 1 。m m s i g a l a s 等人研究了由铅柱体和环氧树脂组成的二维系统存在点缺陷时弹性波传播情况，该点缺陷通过改变某个铅柱体的直径来获得，计算表明点缺陷对弹性波具有局域作用。k a f e s a k i 等人采用时域有限差分法研究了弹性波在由4第1 章绪论铅柱体和环氧树脂组成的二维系统存在线缺陷时弹性波传播情况，通过移去声子晶体模型中的一行或一列铅棒得到线缺陷，研究结果表明弹性波只能沿线缺陷传播。在局域态的实验方面，t o r r e s 等人研究了由铝柱和水银组成的二维系统的表面态特性，指出声波在声子晶体晃面上具有声波局域现象。m k a f e s a k i 、m m s i g a l a s 、n g a r c i a 用时域有限差分法周期系统及含缺陷系统的带结构，呈现了含缺陷的彩色弹性波传播图像啪1 ，如下图所示。f r e q u e n c y ( k h z )图1 2 文献【2 6 实验传递系数与频率的关系f r e q u e n c y ( h z )图1 3 文献 2 6 q hf d t d 方法计算得到传递系数与频率的关系=co孽b_o-曙v10，()乱口船兰_馈价c稻一鼍第1 章绪论图( i2 ) 表示文献 2 6 中实验得到的传递系数与频率的关系：阁( 13 ) 丧不文献 2 6 1 中时域有限差分法( f d t d ) 计算得到的传递系数与频率的关系：恻( 14 ) 文献 26 中时域有限差分法( f d t d ) 计算得到的弹性波经过合点缺陷处的传播图像：图( 15 ) 文献 2 6 中时域有限差分法( f dr d ) 训算得到的掸性溅经过含线缺陷处的传播图像。一蚓i4 文献 2 6 1 中f d t d 方法计算弹性波经过含点缺m 处的传播剖像圈图l5 文献【2 6 】中f d t d 方法计算弹性波经过线缺陷的传播酬像第1 章绪论关于声子晶体能带结构的研究，另一个新的研究领域被刘正猷等人逐渐打开，它的思想核心在于引入了局域共振单元，带隙也由此而产生。研究发现，带隙在这种情况下很容易出现，频率范围与体积填充率有关，并且带隙宽度会随填充率增大而增大。声子晶体的研究有两个主要的方向。第一，追求禁带的可控制性，增大禁带的宽度，控制禁带的位置向低频移动，尤其是在音频范围内的禁带特性，从而为声子晶体的工程应用提供理论的指导。另一方面，研究声子晶体中的禁带产生的物理机制，分析其中声波传播的物理特性，比如表面态，缺陷态，布拉格多重散射，尾波干涉和a n d e r s o n 局域化等。目前，部分学者对声子晶体的可调性进行了研究n 3 1 j 弱铡。通过外加的电场、磁场、应变、热、通过注入另一种物质或微机械的方法，人们可以主动控制波动或振动的传播状态，从而制成可调的声子晶体。如果声带隙可调，可以预计这样的材料将具有更加广阔的用途。特别是施加应变的方法，其具有响应快及可调范围大的优点。对于光子晶体，光带隙得应变可调性也被称为力致变色效应( m e c h a n o c h r o m i cr e s p o n s e ) 。与可调光子晶体相比，可调声子晶体得研究还比较少。1 3 2 关于应变可调声子晶体的研究r ?2 0 0 1 年，c g o f f a u x 等人设想通过转动矩形截面散射体的方向改变固气二维声子晶体的带隙性能，并利用平面波展开法验证了这种方式的声带隙可调性n7 l 。a d i e z 等人通过在光纤中刻蚀声学光栅构成一维声子晶体实现光纤的声光调制瞄5 | 。f c e r v e r a 等人采用弹性材料排列在空气中构成了二维声子晶体实现了声学透镜的功能嘲1 。2 0 0 3 年吴福根等人利用平面波展开法对液体一液体二维声子晶体重新进行了计算，也验证了这种声子晶体具有声带隙可调性。y p e n n e c 设计了通过改变沉浸在水中钢管的内径或向钢管内注入不同的液体制成的滤波器，并利用有限差分法进行了验证n 刭。赵晓鹏等人提出了应电流便液设计电场可调声子晶体的设想啪1 。2 0 0 8 年，刘启能研究了一维掺杂声子晶体的缺陷模随杂质厚度和声子晶体的声阻抗的变化特征，设计出滤波通道的频率半高宽的可调范围在4 - 1 8 h z ，频率可调范围达1 7 5 0 h z 的可调谐一维声子晶体滤波器【4 0 1 。7第1 章绪论1 4 本研究课题的来源和主要研究内容1 4 1 研究课题来源：应变可调声子晶体的理论和实验研究国家自然科学基金。本项目将通过理论计算和实验方法研究声子晶体受到应变作用后对其声带隙性能的影响，以期发现新的力学现象、物理规律( 例如施加应变与声带隙位置之间的非线性关系等) ，为应变可调声子晶体的工程应用打下理论基础。1 4 2 主要研究内容研究弹性波和声波在不同的周期性结构的复合介质中的传播及其能带结构，使我们掌握不同材料组元及其结构对能带结构及带隙的影响，探索和设计声子晶体在应变情况下的新性能。8第2 章波在声子晶体中的传播理论基础第2 章波在声子晶体中传播理论基础本章首先介绍介质中弹性波传播的原理及弹性介质中弹性波波动方程，推导出二维声子晶体中弹性波的波动方程。2 1 介质中弹性波传播的原理当弹性介质受到外力时，弹性介质中并非所有点都立即产生振动，而是在作用开始时，距外力作用点较远的质点还是保持不受干扰，在作用点处产生形变，从而使该处质点振动，然后通过介质内各质点间的相互作用，这种振动便在介质内由近及远的传播丌来。类似的，当外部声波作用到声子晶体时，声子晶体的部分区域，即震源，受到微小扰动，这里的质点偏离原来的平衡位置运动起来，运动将会导致该局部质点与其周围质点问产生弹性力，这些周围质点受到弹性力的作用也会运动起来，以此类推，这种弹性作用力会依次传递下去。为了给出弹性波波动方程，按照研究对象的性质和求解的问题范围，我们提出如下假定l3 8 4 t4 6 7 4 8 5 4 1 ：( 1 ) 、连续性假设，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，因此物体内的一些物理量，例如质量密度、位移、应力、应变等等，只有满足这样的假设，这些量才可能是连续的，可以用连续函数来描述它们的变化规律。我们知道所有物体都是由分子和原子组成的，因此严格来讲都是不连续的，但是，只要所研究的对象，尺寸远大于构成物体的微粒的尺寸以及相邻微粒之间的距离，那么关于物体连续性的假设，就不会引起显著的误差。( 2 ) 、完全弹性假设，即假定物体完全满足胡克定理：应变与引起该应变的应力成比例关系，反映这种比例关系的常数，即所谓的弹性常数，并不随应力或应变的大小和符号的改变而改变。由材料力学已知：脆性材料的物体，在应力未超过强度极限时，可以作为近似的完全弹性体：塑性材料的物体，在应力木达到屈服极限时，也可以作为近似的完全弹性体。( 3 ) 、均匀性假设，即整个物体由同一材料组成。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不随位置坐标而变，可以取出该物体的任一小部分来加以分析，然后把分析的结果应用于整个物体。如果物体是由两种或两种以上的材料组成的，那么，也只要每一种材料的颗粒远远小于物体，而且在物体内均匀分布，这个物体也就可以当作是均匀分布的。( 4 ) 、各向同性假设，即物体内每一点的弹性在所有方向都相同，这样物体9第2 章波在声子晶体中的传j l ；理论基础的弹性常数才不会随方向而变。满足上述四个假定的物体称为理想弹性介质。2 2 弹性波波动方程在各向同性的固体介质中，直角坐标系下弹性波方程张量形式表达式蜘 4 6 , 4 7 , 4 8 ，5 4 】p 等氧于( 2 1 )此处p 为材料密度，u - u xu y 吃 ，为位移矢量，f 为时间变量，可= 巨专g 艿z - ，为拉普拉斯算子。应力矢量，于，可以通过下式给出：亍舷矧，汜2 )【- 乙乃艺j乙川+ 2 肋鲁+ 名鲁+ 名鲁c 2 巧= ( 2 + 2 1 t ) 茜- + 五簧+ 兄鲁汜4 ，疋川+ 2 ) 鲁+ 名等+ 允熹c 2 剐巧= = 罄+ 鲁)( 2 6 )乙乙叫妥+ 鲁)( 2 7 )= 乃刊等+ 鲁)( 2 8 )这里的a 和是拉梅常数，其中元- - a c f - 2 x t ，= p 0 。拉梅常数与1 0第2 章波在声子晶体中的传播理论基础因为声子晶体是由两种不i 司的弹性材料组成的，因此计算模型中材料的参数和各点的坐标( xyz ) 存在函数关系，那么拉梅常数也和坐标( xyz ) 存在函数关系。将式( 2 2 ) 代入式( 2 1 ) 整理得到，各组元用偏微分方程表示的弹性波位移矢量：p 争= 等+ 鲁+ 鲁 9 )户= 妥+ 鲁+ 鲁一82uz：堡+竖+里(211p1 1 )_ - = 盥+ + 当j2 2 2 户于晶体甲阳二维捍性、饭、圾动万程在二维声子晶体的研究中，计算模型在z 方向上无限长，意味着在z 方向上为不变量。因此，在方程( 2 2 ) 到方程( 2 1 1 ) 中对坐标z 的导数等于0 。由于沿z 方向上无限长，没有波会沿z 方向被反射，因此：u ：= 0( 2 1 2 )在这种情况下，直角坐标系下弹性波波动方程简化为：p 争= 等+ 等晓p 争= 鲁+ 鲁眩4 ，瓦川伽) 瓦8 u x + 允等( 2 1 5 )z 。，：+ 2 ) 堕+ 兄一8 u x( 2 1 6 ) i j u x乃。( 见+ 2 ) 茜+ 兄瓦2 【，y【，l ，：z 。：( 堕+ 堕)( 2 1 7 )巧。& 2 ( 云+ 静心_ 7 )第2 章波在声子晶体中的传播理论基础式中，u x ，“y 为位移矢量，咒，勺，乃，分别为压应力和剪切应力，p为密度，这里的旯和a 是拉梅常数，其中允= p 彳- 2 x 比，= p xc , 2 。由式( 2 1 3 ) ( 2 1 7 ) 可以看出，已知位移矢量u ，u ，可求得应力瓦，毛，乙，乙。在第三章我们引入时域有限差分法，通过给定初始的k = 0 时刻的瓦，易，和尼= 1 时刻的，“y ，我们可以得到七= i 时刻的l ，勺，弓，如此类推，我们将会得到任意时刻任意点上的状态值。1 2第3 章声子晶体研究中的时域有限著分法第3 章声子晶体研究中的时域有限差分法有限差分法是一种传统的数值计算方法，在科学计算和工程技术计算上有着广泛的应用，但过去常常是用来解决一些不含时的稳态问题或在频率域中进行计算。自1 9 6 6 年k s 1 e e 首次提出电磁场数值计算的新方法，随着计算机技术的不断发展及应用，直接基于时间域的有限差分法才得以实施。在电磁学、光子晶体等计算中，该方法得到了广泛的应用。由于电磁波和弹性波方程在数学上类比性，时域有限差分法被引入到声子晶体的研究中1 2 1 ，2 6 ，2 7 1 。目前许多方法用来计算声子晶体的带结构，如平面波展开法，时域有限差分法、多重散射法和变分法。它们在处理问题各有优缺点，例如平面波展开法在计算能带结构时，不能够处理固体流体组成的组合材料，而有限差分时域法可以处理这种组合材料的能带结构计算，而且原则上可处理任何系统任何组成物的组合材料。但是和其它方法相比，时域有限差分法的劣势是极其耗时。本章从时域有限差分的原理丌始论述，基于对偏微分波动方程的离散化处理。通过时间和空间的离散化，将偏微分方程转化为差分方程，继而采用数值计算方法求解波传播过程中的各个离散点的所有振动参数与时间的函数关系，说明有限差分时域法在声子晶体中的实际应用。3 1 时域有限差分法的原理3 1 1 有限差分原理有限差分法是用变量离散的、含有有限个未知数的差分方程近似地替代连续变量的微分方程。因此，首要任务是构造合理的差分格式，使得它的解能保持原问题的主要性质，并且有相当高的精确度。建立差分方程的基本步骤是把变量按照某种方式离散化，然后用差商近似的替代微分方程中的微商 4 9 - 5 4 】。为了表明用差商替代微商的精确程度，我们用一元函数为例来加以说明。假设厂( z ) 为x 的连续函数，若在z 轴上每隔长度k 取一个点，其中任意一点用五表示，则在札。点上的函数值厂( 札。) 可通过泰勒( t a y l o r ) 级数来表示：胞+ 1 ) 叫小而k8 f 。( x ) x = x j + 等訾b 可k 3 可5 3 f ( x ) 卜( 3 1 )由此可得：第3 章声子晶体研究中的时域有限著分法即：学=巡卜刍争卜酉k2可53f(x)5x2 1 x f f i 而+ 一七i 。而!万x 2i 。而。31艿x 3半= 掣卜m ，彤d x同理：厂( 一一。) = ( 誓) 一i k ；8 f 。( x ) ，4 酉k 2 百j 2 f r ( x ) b k 3 3 16 3 万f x ( ，x ) p 而+ 由此可得：! 苎! 二! 苎= 1 2 ：巡i 一生鱼二垄盟l + 竺盥i 七万xi 。2 而21 万x 2i 。q 31 万x 3l 。2 而即：掣= 掣x 卜m ，庀d( 3 2 )( 3 3 )( 3 4 )( 3 5 )( 3 6 )鱼号 笠盟为函数厂( z ) 在而点的向前差商，掣为函数厂( x ) 在五点的向后差商。根据式( 3 3 ) 和式( 3 6 ) 可以看出向前差商和向后差商与微商的差均为变量离散步长k 的一阶近似。即：若把式( 3 1 ) 和式( 3 4 ) 相减，则可解得：! 兰1 2 二! 苎= 1 2 ：8 f ( x ) i + 竺盟i + 竺篁二垄堕i + 2 后万xl 。8 而31万x 3卜2 再。51万x 5i 。2 而( 3 7 )丝趔2 k= 巡5 xl i ，喵+ 。( 尼2 )j z 而、1 4( 3 8 )第3 章声子晶体研究中的时域有限差分法笪墨拶为厂( x ) 在t 的中心差商。由式( 3 8 ) 可知，中心差商与微商之差为变量离散步长k 的二阶近似。显然，就差商对微商逼近的精度而言，在上面三种差商形式中，中心差商的精度最高。在时域有限差分法中正是用中心差商代替微商弹性波波动方程来建立差分方程方程的。3 1 2 声子晶体模型的空间离散网格为了建立差分方程，首先要在变量空间把连续变量离散化，通常是用一定形式的网格来划分变量空间，且只取网格节点上的未知量作为对象。这样，自变量变为离散的，又只在有限个点上计算未知量。当在每个离散点上用差商来替代微商时，就把在一定空间解微分方程的问题化为解有限个差分方程的问题。一般情况下，在时域计算二维弹性波场要在包括时间在内的三维空间进行。如果采用有限差分法，首先就要把问题的变量空间进行离散化，也就是要建立合适的网格划分体系。从弹性波波动方程出发建立差分方程的复杂性在于，不仅要在三维空间中进行，还要能同时计算弹性波场的五个分量。在三维空间中合理的离散五个未知变量成为建立具有高精度的差分格式的关键问题。在空间网格中，每个坐标轴方向上场分量间相距半个网格空间步长，因而同一种弹性波场分量之间相隔正好为一个空间步长。为了保证计算的稳定性，时间离散的步长与空间步长必须满足一定的关系，不能任意给定。后面章节，将给出确定条件。这样，在实际运用时域有限差分法时，网格的空间步长选定以后，时间步长的离散规则也就可以确定了。也就是说在选定了空间网格架构后，就可以根据差分近似的基本原则来建立所需的差分格式方程【5 0 1 。3 2 弹性波波动方程二维弹性波波动方程组概括了弹性波场的基本规律，由五个方程组成。在二维各向同性介质中，直角坐标系下弹性波波动方程简化为【2 l 】：p 堡：堡+ 竖( 3 9 )= 2 + 二l j y j6 t 。6 x6 yp 鼻：堡+ 竖( 3 1 0 )第3 章声子晶体研究中的时域有限差分法气川+ 2 厶鲁+ 五鲁( 3 巧川伽) 鲁+ 五鲁( 3 1 2 )弓= & 州等+ 等)( 3 1 3 )式中，致，“y 为位移矢量，乙，弓，& 分别为压应力和剪切应力，p为密度，这里的旯和是拉梅常数，其中名= p 彳- 2 x 比，= p c , 2 。下面导出的弹性波波动方程的近似差分表达式时，就是从这五个方程开始的3 3 弹性波波动方程的时域有限差分表示用缸，缈分别表示在x 轴、y 轴坐标方向上的网格空间步长，网格点的空间坐标简单的表示为：( 尼，脚) = ( k a x ，m a y )( 3 1 4 )其中k ，m 均为整数，分别表示x ，y 坐标方向上的网格标号或空间步长个数。时间步长将用& 来表示，用托表示时间步长的个数。一个时变参量一般既与空间坐标有关，也与时间变量有关。为了表述方便把时间变量写在其代表符号的右上角，如下所示：力( 尼，聊) = u ( k x ，m a y ，n a t )( 3 1 5 )其中u 为任意时变参量。把弹性波波动方程转化为差分方程时，采用了具有二阶精度的中心差商近似。在对上节中的式( 3 9 ) 、式( 3 1 0 ) 、式( 3 1 1 ) 、式( 3 1 2 ) 、式( 3 1 3 ) 离散化，转化为中心差分格式后为【3 6 , 4 3 , 5 9 , 6 0 】：u ( 七，所，n + 1 ) = 2 q ( 七，m ，玎) 一u ( 尼，m ，n 一1 )+ ! 惫 础+ - ，1 肌，矿础一三m 例+ 羔 巧u ，m + 丢，2 ) 一巧( ，聊一寻，玎) 】( 3 1 6 ) 一i ，m + 一，l 一，f ， 一一”l li lnjp ( k ，聊) a y 。”72 ”。2 1 6第3 章声子晶体研究中的时域有限差分法q ( 七+ j i ，m + 丢，刀+ 1 ) = 2 q ( 七+ i 1 ，聊+ i i ，2 ) 一q ( 七+ j 1 ，朋+ 丢，2 一1 )+ 礴a t 2 t x y ( 1 + l , m + 1 二川哪m + 扣+：乏i：再at2 ( z + 圭，朋+ 1 ，2 ) 一巧( ，+ 丢，删，玎) 】咒( 七+ 丢，聊，甩) ：【五( 尼+ 圭，聊) + 2 ( 尼+ 丢，朋) 】 虬( 后+ 1 ，m ，z ) 一u ( 尼，聊，纠缸+ 2 ( k + 1 ，朋) 【q ( 后+ j 1 ，聊+ 圭，妒( 七+ 圭，朋一丢，刀) a y( 3 1 8 )巧( 七+ 妻，所，刀) ：2 ( k + 委，聊) 以( 七+ 1 ，所，7 ) 一致( 七，朋，刀) 】出二+ 【五( 七+ i 1 ，聊) + 2 ( 尼+ i 1 ，优) 】 q ( 尼+ 三1 ，聊+ 丢， ) 一q ( 尼+ j 1 ，聊一三1 ，刀) a yf 气1o 、t x y ( k 肿扣=( 尼，肌+ 丢) q ( 七十互1 ，m + 三1 ，刀) 一( 七十丢，朋一三1 ，纠缸+ ( 尼，聊+ i ) t u ，( k ，聊+ 1 ，刀) 一以( 尼，m ，玎) l a y1 7( 3 2 0 )第3 章声子晶体研究中的时域有限差分法3 4 数值稳定性由弹性波波动方程按照正方形网格所导出的差分方程是一种显示差分格式，是通过按照时间步推进计算弹性波场在计算空间内的变化规律。这种差分格式存在稳定性问题，即时间变量步长垃与空间变量步长血，缈之间必须满足一定的约束条件，否则将出现数值不稳定性。这种不稳定性表现为：随着计算步数的增加，被计算的弹性波场量的数值无限制地增大。其原因不同于误差积累。因此，为了用所导出的差分方程进行稳定的计算，必须合理的选取时间步长与空间步长之间的关系【3 0 1 。我们引用电磁场中常用到的，在时域有限差分法中计算电磁场的数值稳定性条件：f ( 3 2 1 )这一条件给出了时间步长与空间步长之间必须满足的关系。或者说，当空间步长选定以后，为了使计算稳定进行，时间步长的选取所受到的限制。当我们采用正方形网格，则a x = a y = a h ，那么式( 3 2 1 ) 可以简化为：f 竺( 3 2 2 )c 4 2、。我们也可以得到多维的稳定性条件，如门维的稳定性条件为tf 华( 3 - 2 3 )c 4 n为了进一步了解不同维空间中数值稳定性条件的物理意义，我们假设n = 1 ，即一维情况下，稳定性条件简化为：f 竺( 3 2 4 )即要求时间步长不能大于弹性波传播一个空间步长所需的时间。如果计算空间中的媒质不是均匀的，那么稳定性条件对不同的媒质区域是不同的，因为c 的取值不同。由于稳定性条件为不等式，所以我们只要选对最大的c 满足条件，在其他区域中也就满足条件。因此，在二维的非均匀介质声子晶体计算空间中，我们采用下面的数值稳定性条件：第3 章声子晶体研究中的时域有限差分法f 笔( 3 2 5 )c m 舣2其中为计算空间中的弹性波的最大速度，即传播速度最大的介质中的纵波速度。3 5 数值色散条件如果弹性波所在空间的媒质特性与频率有关，则弹性波的传播速度也将是频率的函数，这种现象称为色散。存在色散现象的媒质称为色散媒质。如果时域有限差分算法是精确的，则用时域有限差分方程模拟出来的弹性波的相速度应该与频率无关，但由于时域有限差分方程只是弹性波波动方程的近似表示，所以在非色散媒质空间中也出现色散现象，这种非物理的色散现象称为数值色散现象【3 0 1 。据相关文献解释，当时间步长和空间步长都趋于无限小时，时域有限差分算法巾的数值色散关系就趋于理想色散关系。具体的理想色散关系的约束条件推导过程如下：弹性波的相速度可以如下表示：乞= 乃( 3 2 6 )根据三角函数知识可知，当竽熹时，s i n ( 了l a x ) 竽。此时数值色散关系21 2、22趋于理想数值色散关系。由于，= 等，即空间步长的约束条件为：，名xs 12( 3 2 7 )其中，力为无色散介质中波长，对于复合结构材料构成声子晶体来说，旯应为介质中的最小波长。同理，在正方形网格中，y 方向的网格也应满足这一约束条件：缈= 缸老。对于时间步长，同理可以推导得到：1 9一2一缸一2(一，z一避互2一一第3 章声子晶体研究中的时域有限著分法即：一l a t 旦21 2( 3 2 8 )于三( 3 2 9 )1 2、。77由以上可知时间步长和空间步长越小，对于色散现象的抑制作用越强，数据模拟越精确，但是将占用较大的计算机内存。3 6 边界条件由于任何计算机的存储空间都是有限的，因此在无限大的网格空间中的计算弹性波场是根本不可能的。在实际计算中总是在某处把网格空间截断，使之成为有限的区域，但在网格的截断处就会出现非物理的弹性波反射。这将带来错误的计算结果，必须引入吸收边界条件 3 0 , 4 5 】。3 6 1m u r 吸收边界条件m u r 在1 9 8 1 年给出了单行波方程的各阶近似及其差分格式，边界条件被广泛应用。其原理以简单的一维情况为例说明。 妻一：16 t h ( 蹦；= 。方程( 3 3 0 ) 的解可以表示为：随后这一吸收( 3 3 0 )h ( x ，f ) = h ( x + c t )( 3 3 1 )可以证明，当平面波垂直投射到一个平面边界上，且平面波方程满足方程( 3 3 0 ) 式时，它在边界上就不会产生反射。假设边界处为x = 0 ，将式( 3 3 1 ) 代入式( 3 3 0 ) 得：熹h ( 蹦) b i 1 瓦6 日( 彬) b = 。( 3 3 2 )取x 方向上的空间步长a x ，时间步长用f 表示，令x = 0 时，k = 0 ，则式( 3 3 2 ) 离散化为差分形式：第3 章声子晶体研究中的时域有限差分法即：h ( k + 1 ，沪h ( k = 筹陬纠+ 1 ) 一日( 州) 】( 3 3 3 )h ( k ，) = h ( k ，唢1 一竽) + 竽h ( k + l ，z )( 3 3 4 )x x由上式可知，边界上任何时间步的日值可以计算出来，而且若缸= c a t ，则：h ( k ，z + 1 ) = h ( k + 1 ，z )( 3 3 5 )通过以上分析可以知道，当满足稳定性条件的情况下，满足条件( 3 3 0 ) 式的弹性波具有这样的特性：在边界处，即k = 0 处，时间步为，+ 1 时的弹性波，正好是k = 1 处时间步为l r 时的弹性波，也就是该波的运动只是一个时间步向边界移动一个空间网格步