（光学工程专业论文）波导光栅耦合器设计及其光全息聚合制作的初步研究.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：皇墨 日期：型垒翌塑y a 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：塞亳 导师签名 论文作者签名：j 二五一导师签名 山东大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 自从光栅于1 8 世纪问世以来，经过历代科学工作者的探索和不断开拓，至今， 它己从光学领域逐渐渗透到通信、天文、材料科学等应用领域，特别是在集成光 学领域中，衍射光栅己成为一个重要的研究方向。麻省理工大学的g m h a r r i 湖 教授说 1 】：很难找到另一个象光栅这样的单一实验装置，给每一个学科领域都带 来非常重要的实验信息。无论是物理学家、天文学家、化学家、生物学家还是冶 金学家，这些所有用过它作为实验工具的人都知道它有无与伦比的准确度和精密 度。 目前衍射光栅依然被运用在光谱的应用性分析中，随着国内外计算机和通讯 技术的发展，衍射光栅有了更多的应用。其中一些重要的应用就是用在光互连计 算机、集成光学器件系统以及光通讯系统中。 1 1 1 波导光栅的发展 广义地讲，光栅就是其光学参量( 如透射率、折射率等) 或空间结构分布具有 周期性变化的衍射元件。光栅的发现可以追述到十七世纪，1 7 8 6 年一位美国科学 家d a v i d 鼬t t 朋h 叫通过一个精美的丝绸手帕，首次发现了光的衍射现象 2 】1 8 2 1 年j 伪hv 伽f r 跏n h o f ；玎用精制的金属丝光栅重复了黜t 咖h o u 的实验现象【3 】 从此以后，衍射光栅才逐渐被人们所认识。人们从理论上不断发展，器件上不断 改进，并逐步投入了很多重要的应用。衍射光栅应用最多的是作为光谱分析仪器 中的分光元件1 9 3 2 年由美国的d c ；b y c 和s e a 墙及法国的l u c 鹪和b i g u a r d 在实 验上观察到体声波在光弹性介质中感应出体相位光栅对光的动态衍射现象【4 】 1 9 0 0 年伦琴发现x 射线在晶体中的光栅布拉格衍射现象，1 9 6 7 年s 仃咄e 将光栅 应用于微波天线【5 】等等。随着科学技术的不断发展，光栅将被应用于更多的科学 领域。六十年代末，集成光学的诞生和发展为衍射光栅的研究和应用开辟了又一 个新的更广阔的领域。 早在六十年代初就有人提出了光路集成的概念，直到六十年代末，才正式提 出集成光学学科，从此掀起了集成光学研究的热潮。集成光学这一新学科的诞生 山东大学硕士学位论文 引起全世界物理学、化学和材料科学等领域科学家的极大关注。人们预计，集成 光学会象集成电子学一样，将引起信息技术发展的深刻变革。由于集成电子学的 示范效应，使得各国科学家纷纷选择最有潜力的发展方向，不断的发展和完善各 种集成光学器件。时至今日，集成光学已经历了近4 0 多年的发展历史，建立了自 己的理论体系、实验方法和工艺手段，并取得了大量辉煌的研究成果，为世人所 瞩目。集成光学己成为一门光学和薄膜电子学交叉的新学科，越来越受到人们的 重视。目前，集成光学元件已在通信、军事、电力、天文、传感等应用领域中发 挥着十分重要的作用。 集成光学元件的最大优点之一是它能将常规的具有各种功能的分立光学元件 集成到同一光学衬底表面，并具有多个分立光学元件所构成的庞大光学系统处理 光信号的同样功能。与分立光学元件相比较，集成光学元件具有体积小、结构紧 凑坚固、抗干扰能力强、稳定可靠、寿命长等优点。尤其是在军事部门的应用， 更具有常规光学系统无法比拟的优越性。 光波导( 简称波导) 是集成光学重要的基础性部件，它能将光波束缚在光波长 量级尺寸的介质中长距离无辐射损耗的传输。光波导器件与常规的分立光学元件 相比，它们之阃的根本差别在于波导中传播光波的模式是分立的。在波导上，人 们已经研制了众多不同的光波导元器件，波导光栅就是最重要的集成光学元件之 一 波导光栅是指在波导光路中，波导的包覆层、波导层或衬底等介质的光学参 量或波导的尺寸分布呈现规律性周期变化的光路系统。在光波导中，由于这种周 期性的变化规律，使得在波导中传输的光束产生偏转、色散、聚焦等非常奇妙的 光学现象。 1 1 2 波导光栅的应用 ( 1 ) 光互连 随着集成电路和计算机系统复杂性和运行速度的增加，高带宽的需求使得短 距互连成了系统发展的瓶颈，电互连存在随着传输速度的提高而引发带宽变窄、 时钟倾斜、电磁干扰、能力受限及功耗高等问题，最终限制系统的处理能力。 光互连是一种利用光作为传递信息的载体，实现计算机和通信系统内各部件之问 或各子系统之间互连的技术；具有大容量、高速率、低能耗、i 0 能力强、无电 2 山东大学硕士学位论文 磁干扰等优点【6 ，7 】。在实验和生产实践中，许多研究人员已经把波导光栅耦合器 应用在光互连系统上【8 1 2 】，取得了很好的应用效果，因为波导光栅耦合器比其 它类型的耦合器更加紧凑。 ( 2 ) 集成光学器件 衍射光栅也在集成光学器件中得到广泛应用。集成光学器件是在更加紧凑和 集成的尺度上完成与传统体光学器件相同的功能。一些基于衍射的集成光学器件 如：光扩束张器、偏光器件和用于光束整形的全息滤波器等，又如：用于计算机 和打印复印系统的光学读写头、光栅耦合表面发射激光器、光传感器和打印头等。 【1 3 - 1 9 】 ( 3 ) 光纤通讯 衍射光栅的另一个重要应用是在光纤通讯上，如：基于射光栅的光纤光栅滤 波器、波分复用及密集波分复用器等【2 0 - 2 l 】 1 2 波导光栅的制备方法发展 波导光栅的制备是波导光栅研究的重要环节，由于波导光栅周期短，增加了 制备工艺过程中的难度。在波导光栅的制备上，所选用的光学材料包括以下几大 类：玻璃材料体系、半导体材料体系、无机晶体材料体系、有机材料体系等。波 导光栅的制备都是围绕这些材料的工艺进行研究。 最初d a l 【s s 采用双光束干涉方法首次制备出光刻胶波导光栅 2 2 】。此后，人 们则采用抗蚀剂光栅掩膜，离子蚀刻或反应离子蚀刻工艺，将制备的抗蚀剂光栅 转移到波导表面【2 3 - 2 4 】。由于该方法简便实用，因此被人们大量的采用，并不断 的完善。1 9 7 0 年b 嘟l c y 等人为了减少制备光栅掩膜的全息曝光时间，增强信噪 比，提出了预曝光技术【2 5 】。1 9 7 3 年s h 锄k 等人为减小光学方法制备光栅周期的 最小极限值，提出了棱镜曝光技术，把光栅的最短周期推进到o 1 1 l 岫【2 6 】。1 9 7 4 年1 s a n g 和w b g 提出了一种在正光刻胶上制作光栅的同时曝光和显影技术，实 现了光栅的深沟和锐脊结构【2 7 】。1 9 7 7 年l ( a l z i r 等人则采用平面波同柱面波干涉 方法获得了变周期结构的波导光栅 2 8 】。1 9 8 5 年x um a i 等人为进一步简化制备 工艺，提高波导光栅的质量，提出了采用单反射镜( 罗埃镜) 方法制备等周期、变 周期和弧形波导光栅的简易新方法【2 9 】， 量的采用。在各种微结构的制备方法中， 此后，该方法在波导光栅的制备中被大 采用光刻胶光栅掩膜，离子刻蚀方法最 3 山东大学硕士学位论文 适合制备波导光栅。但是，由于光刻胶的离子刻蚀速率较快，因此，采用光刻胶 光栅掩膜并未获得良好的效果。为增加波导光栅槽的深度，提高光栅的衍射效率， 人们则针对不同的材料采用了剥离方法、反应离子蚀刻和化学蚀刻等工艺制备波 导光栅。1 9 7 8 年a 蹦e y 等人在玻璃衬底b a o 波导上，采用电子束写入制备镦折 式p m m a 光栅，再蒸镀c c o 薄膜并采用剥离方法制备波导光栅【3 0 】。1 9 7 9 年 i e h m 蝴等人采用抗蚀剂光栅掩模技术，在c f 4 c h f 3 气体中通过反应离子蚀刻 工艺，在s i 0 2 上制备了矩形光栅槽结构，光栅槽深2 7 啪，周期为1 4 u m 【3 l 】。1 9 8 3 年b o l l i n g 盯则在非晶膜k s b 上经反应离子蚀刻制备了波导光栅 3 2 】。在半导体材 料体系波导光栅的制备方面，则利用半导材料各向腐蚀速率的不同，用光刻胶光 栅作掩模，采用选择腐蚀的方法制各波导光栅。上述采用离子蚀刻、反应离子蚀 刻和化学蚀刻等工艺制备的波导光栅都属于皱折式结构。 另一种结构的波导光栅是采用感光方法制备的永久性波导光栅。这种波导光 栅是折射率式周期分布型结构，尤其是当相位光栅同波导作为一体时，光栅可以 获得更高的衍射效率。体相位波导光栅的研究由k o g e l n i l 【和s o 跚o w s l 【i 首先开始 的。近些年来，随着无机和有机光波导材料研究的飞速的发展，新型感光材料也 不断的问世，将光栅直接通过感光方法制备在波导中一直成为波导光栅研究的热 点之一。在1 9 7 8 年h i n 等人首先发现了柱形波导( 光纤) 的光敏特性【3 3 】，此后， l e m i a i r c 等人进一步研究出了增敏技术，并且逐渐发展成为紫外光写入光纤光栅 技术 3 4 】。近年来，人们提出了光纤光栅的相位掩模制备技术，该技术被大量的 应用于相位光栅制备【3 5 3 7 】。在有机材料方面，1 9 9 0 年d r i 锄e i 甜采用有机材料 p l e x 6 6 9 6 o m o t a 制备了实时的波导光栅耦合器【3 8 】，1 9 9 3 年c h 髓等人采用有 机材料p m s w 制备了波导体光栅波分器 3 9 1 波导光栅的另一种制备方法是采用电子束写入技术。该方法可以将光栅的周 期制备得很短。电子束写入方法是在电子束的照射下，某些材料的折射率发生变 化而形成的相位光栅。对电子束敏感的材料有a s 2 s 3 ，a 8 - s c - g e 和a s s e - s g e ， 孙n i 等。该方法从七十年代初就被用于波导光栅的研究。最初1 r u 衄盯和t r y 等人分别在p o d a 和g m a 啪一队( c 印l o y m 凹o fg l 则d b dm c t h r y l a t ea n l a t h y l a c r y l a t e ) 材料上，采用电子束写入技术制备出波导光栅器件【4 1 4 2 】。由于电子束 写入系统价格非常昂贵，因此该方法并不适合于波导光栅器件大批量生产。 此后研究人员采用各种不同工艺制备波导光栅耦合器，其中包括离子刻蚀光 4 山东大学硕士学位论文 栅【4 2 - 4 3 】，棱镜一光栅复合式波导光栅耦合器【4 4 】等等，并且从理论上分析【4 5 - 4 6 】 和实验上完善，不断提高波导光栅器件的耦合效率。理论计算波导光栅的耦合效 率最大可达8 8 ，实验上获得最大耦合效率达7 0 5 4 7 - 4 8 】。在变周期波导光栅 耦合器的研究方面，1 9 7 7 ，年a 1 i r 等人首先报道了变周期( c h i r p e d ) 光栅耦合 器【2 8 1 ，他们从理论上分析了变周期波导光栅的输出耦合效率，并采用离子蚀刻 制备了变周期波导光栅输出耦合器。此后，人们对变周期波导光栅【4 9 】和弧形波 导光栅 5 0 】耦合器进行了深入的研究。变周期波导光栅耦合器可以实现输出耦合， 同时起到空间线聚焦作用：而变周期弧形波导光栅耦合器可以实现输出耦合，并同 时实现空间点聚焦，称这两种光栅耦合器为聚焦型波导光栅耦合器。这两种耦合 器可以用作集成光学型的光盘读出头、打印头等( 【5 1 5 3 】。 为了适应信息产业高速发展的需要，随着材料科学的快速发展，人们在不断 的研制响应速度快、阐值光功率低的光开关、双稳及光逻辑元件。研究发现非线 性光波导是实现上述功能的理想器件。由于光波导将光波束缚在截面积为微米尺 寸的平面或条形光波导结构内作长距离传输，使光功率密度增大了几个数量级， 从而大大降低全光器件的闽值功率。早在1 9 7 6 年c h 锄曲和c a 就报道了非线性 波导光栅耦合的实验研究工作【5 8 】。1 9 8 4 年w 妯m 和s t e g 锄柚阐述了非线性波 导光栅可以实现波导全光开关双稳、全光空间扫描、可调谐滤波和脉冲压缩等 【5 9 】。以后，人们又进一步从理论和实验上分别对非线性波导光栅耦合特性进行 了更深入的研究【6 0 - 6 2 】。1 9 8 4 年s t c i 筘猢n 在实验室里建立起适用于制备非线性 周期波导器件的简易多用干涉仪【2 9 】，并在h s b 波导上大力开展非线性波导光栅 耦合特性的研究工作。至今人们已在h s b ，z n s 有机材料等非线性光波导上制备 出了光栅耦合器【5 7 6 0 】，并在波导上观测到光诱导折射率变化效应。研究表明， 非线性波导光栅耦合器是实现光开关双稳的理想器件之一 近年来，随着人们对各种有机光聚合材料的研究越来越多，在集成光学器件 领域，各种聚合物型波导和波导光栅的制备和光学性能的研究备受关注；目前， 聚合物波导光栅多为表面浮雕光栅耦合器，较先进的制备技术主要有：激光双光 子聚合技术【6 1 6 3 】和光全息聚合技术【“- 6 5 】等。 激光双光子聚合法是通过在具有光波导性质的聚合物薄膜中实现双光子聚合 反应，从而制备出聚合物型波导光栅，这为聚合物型波导光栅的制备提供了一个 方便、灵活、和自动化程度高的光栅制备技术。图l 所示是该制作方法的一种实 5 山东大学硕士学位论文 验光路 6 l - 6 3 】。但是该方法采用的是逐行层扫描方法，其制作过程较慢，对系统 和环境稳定性要求很高，结构深度也受到很大限制。 图l 激光双光予聚合法制备波导光栅的光路图 光全息聚合法是让多束相干光相交叠，在交叠区就会形成空间周期变化的干 涉图样，让聚合物材料在全息干涉图样中曝光，使光与物质相瓦作用，然后显影， 就可以形成介质折射率在空间周期变化的一维( 二维或三维) 周期有序微结构， 改变光束波矢构形以及光束问的夹角，则干涉的空间图样也随之变化，从而将产 生各种不同的对称结构。 1 3 论文内容 针对不同应用要求，对不同类型波导光栅的理论分析、设计与制备方法、及 应用研究已有很多。本文主要从理论分析、设计和实验制作等方面研究波导光栅 耦合器。首先介绍衍射光栅的基本理论，采用严格耦合波理论分析波导光栅的耦 合特性，及其与光栅结构参数的关系；然后讨论波导光栅耦合器的设计方法；最 后采用新型的光聚合材料、设计实验制作光路、实验制作波导光栅耦合器，并对 其特性进行初步的实验观测。 由于一般情况下光栅具有多个衍射级次，所以其作为耦合器使用时的耦合效 率比较低，这使其应用受到了限制。为了进一步扩展其应用，关键在于提高波导 光栅耦合器的耦合效率。第二章在介绍光栅基本参数、基本类型的基础上，基于 光栅衍射的基本理论和波矢空间图( k - s p ed i a g r a m ) 分析各衍射衍射级次的角 度。第三章采用波矢空间图和严格耦合波理论分析耦合级次及效率与光栅的高度、 6 j 一 0 慧 群 一 陬| | 一牛兰 山东大学硕士学位论文 周期等结构参数的关系，模拟光在不同结构的波导光栅中的传播，得出耦合效率 与光栅结构参数的关系，通过优化光栅结构参数提高耦合效率。第四章给出了平 板波导光栅耦合器的设计方法，基于波矢空间图和严格耦合波理论对几种给定结 构的光栅波导偶合器进行了模拟设计，得到设计结果并进行了讨论。第五章用光 全息聚合方法制备波导光栅耦合器，在玻璃波导上，用聚合物材料、采用光全息 聚合方法制作表面浮雕波导光栅耦合器；首先选择合适的聚合材料。然后根据我 们提出的方法实验测量了聚合材料的曝光一聚合特性；基于所测得的材料的曝光 一聚合特性，采用光全息聚合方法在波导玻璃光波导上制作出了表面浮雕型聚合 物波导光栅，并对其耦合特性进行了初步的实验观测。所采用的聚合材料由山东 大学晶体材料研究所研制，属于多官能团齐聚物聚合材料，选用了自由基型对 5 3 2 衄波长敏感的单光予引发剂，选用的树脂是c n 9 6 0 e 6 0 单体。在进行聚合实 验之前，测定了不同配比的材料的折射率和透射光谱；对聚合后的折射率也进行 了初步测量。 最后是结论与展望。总结本文所完成的主要工作以及所获得的主要结论，并 对波导光栅的未来发展提出几点想法，并说明了有待进一步研究的问题。 7 山东大学硕士学位论文 2 1 衍射光栅 第二章衍射光栅及其基本理论分析 衍射现象最初于1 6 6 5 年被f m n c e s c og m a l d i ( 意大利b o l o 印a 地区j 髂l l i t 学 院的一位物理学及数学教授) 在一份刊物中讨论过。在g r i m a l d i 的实验中，他允 许一小束光进入一个黑暗的房间。他观察到投射光锥中放置的一根棍棒的阴影比 通过几何学预先计算出来的更宽。他也注意到了阴影边沿的色带。g 咖l a l d i 把这 种现象命名为“衍射”。衍射是波的一种通性。如果一个波阵面遭遇一个阻碍物， 绕过物体的部分波会形成干涉，并产生衍射图样。衍射的一个非常重要的应用是， 如果阻碍物是一列重复的衍射光学元件，则能对传输的波的振幅和相位产生周期 性的改变，则这样的物体被称为一个衍射光栅。 2 1 1 衍射光栅特性 衍射光栅如此重要，是因为它们能以离散的角度透射或反射光，而且衍射 级次的角度相对于入射光的波长非常敏感，因此衍射光栅在光谱学领域中应用广 泛。衍射光栅有两个重要的特性；第一个是衍射光线的方向特性，这个特性只取 决于衍射光栅的周期和入射及透射介质的材料参数，可以通过简单的几何关系进 行解决，在本章中讨论。第二个重要特性是其在每个级次相对于总体入射能量的 比例或效率，这个特性很大程度上取决于光栅的物理形状和结构，这个比较复杂， 将在下一章讨论。 2 1 2 衍射光栅的类别 总体说来，衍射光栅可以分成两个宽泛的类别：振幅光栅和相位光栅。最简 单的振幅光栅是简单的一系列隙缝，要么被蚀刻到不透明表面，要么包含一些网 格状的细线。在这样的光栅中，通过周期性地对光波进行阻碍或衰减，从而对透 射或反射的光波的波前振幅进行调整。图2 1 是一种振幅光栅示意图。 3 山东大学硕士学位论文 础 搠瓣 第二种类别的衍射光栅是相位光栅。这类光栅仅对光波的相位进行空间调制 有两类重要的相位光栅：表面浮雕光栅和体全息光栅。 表面浮雕光栅的表面结构周期性交化。图2 2 所示是几种典型的理想化的表 面浮雕光栅类型。图2 2 ( 3 ) 所示的这种光栅叫做二元光栅，可以用光刻法制作； 但小周期二元光栅却很难制作。图2 2 ( b ) 所示是闪耀光栅，闪耀光栅能把光能 优先耦合到某一个衍射级次，这在应用中很受欢迎，因为效率非常关键，如在光 互连中；大周期闪耀光栅可以通过机械刻划或其它方法制造，但小周期的闪耀光 栅也比较难制造。图2 2 ( c ) 所示是正弦光栅正弦光栅可以通过全息干涉方法 记录制作。 _ 。 _ _ 门n f l f l f l 几。l 一4 1 以1、八、八厂 i _ j i 。一i _ j l a )b c ) 图2 2 表面浮雕光栅的示例：( a ) 二元，( b ) 闪耀，( c ) 正弦 体全息光栅的内部折射率呈周期性变化，其优点是：由于遵从布拉格衍射， 其衍射效率高，理论上可达l o o ；具有波长和角度选择特性。因此，在光耦合、 光开关、光互连及滤波等方面具有广泛应用。体全息光栅可以通过改变全息记录 方法制作出来。图2 3 是体全息光栅的示示意图。 9 山东大学硕士学位论文 2 2 衍射方程 图2 3 体全息光栅示意图 光栅的衍射就是光栅和光波进行交互作用，以改变入射光方向进入不同的衍 射级次。衍射光栅的特征参数是光栅矢量置，定义为闻= h a ，这里的a 是光栅 的周期。未衍射光波( 直透光波) 波矢、衍射光波矢及光栅矢量之间的关系为： 屯= 屯一弘 ( 2 1 ) 这里的q = o ，士l ，士2 ，是衍射级次数，凰是未衍射光波的波矢，蜀是第q 个衍射级次的波矢。此式称为f l o q u c t 条件( f l o q u c tc d i t i o n ) 。尽管在理论上有 无限个衍射级次，但这些级次中只有某些级次能实际存在。为了表示更清楚和分 析方便，以图2 4 所示的浮雕型光栅为例，取图中所示的坐标，采用几何学方法， 2 1 式还可表示为： 孕( 咖即岛垆孕蛳盼c o s 一等土( 2 2 ) 这里的开。是传输介质的折射率，而0 。是未衍射光波的透射角度，0 q 是第q 级 衍射光线的的衍射角度，九是波长。整理后2 2 式可表示为： 吩s i n 嚷2 吩s i n 见一g 吴 ( 2 3 ) 为了把( 2 3 ) 与入射光波关联起来，我们只需要使用s n c l l 定律，用搦s i i 她 替换帆s i n o l l ，就得到了常用的衍射方程。 一s i n 巴= 氇s i n 只一鸟吴 ( 2 4 ) l o 山东大学硕士学位论文 图2 4 二维浮雕光栅衍射图 2 4 式表明，在界面处，电场矢量的切线分量是连续的。从衍射方程可以看 出衍射对波长的依赖关系，如果选择的光栅周期相对于波长很小，则波长的小小 改变就会对o a 造成很大影响，这就是光栅的色散特性。光栅作为光谱仪中常用的 色散分光器件而广泛用于光谱学领域，正是利用了光栅的色散特性。 从2 4 式还可以看出，如果等式右边的值大于j ，i ，则等式不再成立，此时e q 是复数，是物理上不存在的因此物理上q 的可能取值范围是： 除咖帆，卜b 血h ) j ， 这里的符号r 是指向上四舍五入到最临近的整数，符号lj 是指向下四舍五入 到最临近的整数。总体说来，光栅周期与入射波长的比值越大，则有越多的衍射 级次存在。 在波矢空间采用波矢图可以方便直观的理解和分析光栅的衍射。波矢图是直 观表示衍射光栅对入射光波的透射和反射规律的图示模型。这个图是一系列同心 圆，其半径代表在相应介质中的波矢k 的大小。光线以波矢的大小为幅值、以代 表传播方向的角度射向同心圆中心并离开该中心。 衍射光栅通过光栅矢量k 体现其特性。根据弗洛凯( f l o q u e t ) 条件，每个衍射 级次都是增加整数倍光栅矢量到非衍射透射波的结果。在图中，弗洛凯( f i o q u 哟 条件可以用头尾相接的方法通过光栅矢量连续相加到透射的非衍射波矢来表示。 接下来把弗洛凯唧o q u 就) 条件用在入射和透射介质中来描述实际的反射和 透射方向的衍射波。这可以通过应用切向电场边界条件来实现，这种边界条件也 山东大学硕士学位论文 称为相位匹配。可以通过绘制多组穿过弗洛凯( f i o q u e t ) 波矢头部、并与代表入射 和透射介质的中心圆之间的边界成直角的直线，而图形化地表示相位匹配。反射 和透射方向的衍射波矢开始于圆心，而终止于相位匹配线与圆相交的点。 2 4 示例 可以用一个例子来演示k - s p e 图是如何创建的。设波长九= 6 3 2 8 n m 的光入 射到周期a = l i l m 的衍射光栅上，其周期性体现在x 方向。设入射光波所在空间 是自由空间，而透射光波所在空间的介质的折射率n = 1 5 。入射光的角度为l o o 。 上部是入射光波所在的空间，以其波矢的大小旧l = 2 ，r a 为半径、以入射点为圆 心绘制半圆；底部是透射光波所在的空间，以其波矢的大小旧i = 2 ，r 月a 为半径、 以入射点为圆心绘制半圆。下面首先来描绘入射光波矢量和非衍射的反射光波和 透射光波矢量。在这个步骤中，忽视衍射光栅，考察遵循s n e l l 定律的反射和透 射。入射光波矢量指向圆中心，指向的角度为通常情况的入射角度。非衍射的反 射光波矢量以与入射角相反的角度离开圆中心，其大小与入射波矢量的大小相同。 非衍射透射光波与非衍射反射光波的相位匹配。图2 5 显示了这时的k s p a c e 图、以及代表空气玻璃界面的物理图像。 ( 飞 、 r = 剐馨 lr = 州i i a 旁 g 掘l l t 。 图2 5 展示s n e 定律的k s 阳图 然后，应用弗洛凯( f l o q u c t ) 条件绘制匹配相位线。先绘制远离非衍射透射光 波矢量头部方向的光栅矢量组。增加的每个光栅矢量都对应于一个不同的衍射级 次。弗洛凯( f 1 0 q u e t ) 波的绘制是从圆中心到每个增加的光栅矢量的头部，如图2 6 中的虚线所示。相位匹配线是从每个表示弗洛凯唧o q u 哟波的叠加光栅矢量的头 部作垂直于界面的垂线。根据电磁边界条件，这些相位匹配线代表弗洛凯( f l o q u 哟 1 2 山东大学硕士学位论文 波的切线分量。图2 6 中虚线是弗洛凯( f l o q u 既) 波，竖直线是与每个弗洛凯 唧o q u 哟波的切线分量相匹配的相位匹配线。 |w 。、 j i 霜 、 、 、 、 2 心、 、 、 xr 当“ 图2 6 显示弗洛凯( f i o q u e t ) 波的k s p a 最后的步骤是把边界和f l o q u c t 波匹配起来，获得在透射和反射方向上的各 个衍射级次的波矢量。衍射光线始于圆心，终止于相位匹配线与k 一印批圆的交 叉点。这组矢量是从衍射光栅中透射和反射的各个衍射波的波矢量。图2 7 是最 后的图形，这里去掉了f l o q u c t 波矢量，但保留了相位匹配线。 厂。对 。、 7 l衫 须 。佥 7 一j 砀孓 图2 7 显示衍射级次的k s 图 在图中，可以看到有三个反射级次和五个透射级次。根据方程( 2 5 ) ，可以 计算出在反射区和透射区内有多少级次；对于透射区，得出- 2 翔立，而对于入射 区得出一l s q 1 。通过方程( 2 4 ) 可以计算出的各透射和反射的衍射级次的角度， 角度值列在表2 1 中，逆时针方向角度为正。 山东大学硕士学位论文 表2 16 3 2 8 n m 光入射l “m 周期衍射光栅的衍射级次的角度 衍射级次 - 21ol 2 反射 5 3 7 5 0 3 。1 0 o 。2 7 3 3 2 4 0 透射 7 3 6 3 7 5 。3 2 5 2 2 6 。6 6 4 7 8 。 1 7 8 2 4 4 04 6 71 6 3 。 这些计算出来的角度值和用量角器从图2 7 的k s p e 测量出的角度相同。 在后面的章节中，将探讨如何通过分析光栅的结构，来确定每个衍射级次的衍射 效率。 1 4 山东大学硕士学位论文 第三章用严格耦合波理论分析波导光栅耦合器 在前一章中，解释了光栅产生的衍射级次的数量和这些级次的角度。衍射光 栅的另一个重要特性是衍射效率，也就是在每个级次中的能量占总体入射能量的 比率。衍射级次的角度不受光栅周期结构的形状的影响；但是，其效率严重依赖 于光栅的形状。本章的内容是阐述如何计算表面浮雕光栅的衍射效率。 3 1 严格耦合波分析理论 严格耦合波分析理论提供了解决衍射问题的的量化方法，这种方法于2 0 世纪 8 0 年代被研究人员开发出来，能直接计算衍射光栅的效率，在分析中没有近似值， 能达到任何程度的准确度而且数学上易于实施，能快速得出结果【6 8 7 4 】。 3 1 1 光栅衍射中的几何关系 在开始分析之前，首先定义要研究的问题中的几何参量。所分析的表面浮雕 衍射光栅如图3 1 所示 图3 1 表面浮雕光栅中的几何关系 x 其中包覆层的相对电容率t ，半无限衬底区相对电容率毛，光栅的脊形的相对 电容率昂。这个结构被分成三个区，第一个区是包覆层，第二个区是衍射光栅区， 第三个区是衬底区。j ( 叠和j 是x 和z 方向的单位矢量) 方向与不同区域间的边 界成正切。2 的方向垂直于分解面并指向衬底区。衍射光栅的高度为d ，周期为a 。 衍射矢量k 被定义为吲= 2 兀，a ，并指向量的方向。波长为丸( 自由空间) 的平面 山东大学硕士学位论文 波以入射角为矿入射到光栅上。包覆层( 第l 区) 内入射平面波的波矢可表示为 为k ，= b 叠+ 屯，l 主，而k l = 碱7 2 妣矿，k l = 七。乏7 2 c o s 矿，且= 2 刀五 是自由空间的波矢量。设电场强度矢量e 与入射面垂直，即t e 波。 3 1 2 不同区域的电场 在包覆层，总电场是入射和所有回传波的总和。该区域的归一化总电场可以 表示如下： 巨= p ”7 + r e n ( 3 1 )_一 、o ， i = 一 这里的k l 是入射场的波矢，而r = 嬲：+ 了+ z z 。噩是归一化的第i 个反射 光波的复振幅，k l j 是第i 个反射光波的波矢。 在衬底区( 第3 区) 内总电场，可以表达为： e 3 = 正p 一戌j 咿一以( 3 2 ) f = 一 其中，正是衬底区第i 个衍射光波的归一化的复振幅，k 3 j 衬底区第i 个衍射 光波的波矢，d 是光栅的高度。k l ，j 和k 3 。i 的大小由下面要提到的相位匹配条件来 确定。 3 1 3 光栅区域介电常数的傅立叶展开 定义了第一区和第三区内的电场量后，讨论光栅区( 第二区) 内的电场。我 们把光栅区分成n 个垂直于z 轴的平面片层。每个平面片层代表一个薄的平面二 元光栅。二元光栅的严格耦合波分析被应用到n 个平面片层中的每一个，总体分 析的结果就给出了整体结构的光传播特性。如果每个片层都足够薄，则这种分析 的精度就可达到任意高的精度。图3 2 显示了第2 区内的第n 个平面片层。 x 1 6 图3 2 将表面浮雕光栅分割成n 个薄片而产生的第n 个平面光栅 由于第n 个片层的相对介电常数是周期性的，其相对介电常数可表示为 山东大学硕士学位论文 毛o ，z 一) 2 毛g + a ，磊) ，这个分布能以傅立叶系数展开，写作： 厶( x ，z 。) = 乞+ ( 一乞) 瓦一沪， ( 3 3 ) - 4 这里的z 是第n 个片层的z 坐标，h 是谐波系数，k 是光栅矢量( k = 2 冗，a ) ， 毛。是第n 个片层的归一化傅立叶系数，由下式给出： 哇 瓦一= ( 1 a ) | ，( x ，。) e x p ( 一庙磊& ) d k ， ( 3 4 ) ； 其中，函数m 磊) 是随工变化的函数，其值随着x 的变化要么等于l 、要么等 于o ，这取决于x 值所在位置的相对介电常数是岛、还是。 3 1 4 光栅内电场的耦合波表达式 现在来阐述光栅区内电场的耦合波表达式。对n 个片层中每个波导内的电场 都在周期性结构中以谐波的方式展开这些光栅内的每个空间谐波都对应于光栅 外不同的衍射级次。光栅内的部分电场可以衍射波的形式体现，这些波在传播过 程中通过光栅相互之间耦合能量。在耦合波公式中，第n 个片层内的总电场可以 表达如下： e 2 ，。= 置( z 弦一崩j ”( 3 5 ) f = 一 这里的i 是代表空间谐波系数或衍射级次的整数。s i ，。( z ) 是空间谐波电场的幅 值。矢量。抽是衍射波的波矢，根据弗洛凯( f l o q u 哟定律可以计算如下： 酬，栉= 乞。一访 ( 3 6 ) f = 磁，k 2 ，是零级次的波矢，例如：i = o ，衍射波的量为k = 七= 2 刷譬五， 这里的o 。是第n 个片层的平均相对介电常数。 3 1 5 边界条件的应用 对于相位匹配的要求。第l 和3 区内第i 个衍射波必须与第i 个空间谐波电 场的相位相匹配。对于所有i 和i l 南，x = ( 屯。一) 量= 量都必须成立。知道 了第l 和3 区内波矢的量，以及相位匹配边界条件的x 分量，z 分量可以确定： 1 7 山东大学硕士学位论文 毛。二= 、i i 二；? i j ：i j i ：i i 而毛。2 = 、i i ；三? i j j i i ：i i 丽( 3 7 ) 三个区内的总电场可以分别写为： 层，：沙i i 砒弛) + 窆尺一心i j n 弘帅一疥面丽】( 3 8 ) 小印舢，- 堪卜属忑i 而 ( 3 9 ) 层，：窆矿卜啪卜而丽而 ( 3 。o ) 3 1 6 耦合波方程式 光栅区内的电场必须满足m 强w d l 方程。第2 区内的t e 波的波动方程为； v 2 易。+ 七2 幺( x ，乞) 易。= 0 ( 3 1 1 ) 将( 3 9 ) 和( 3 3 ) 内的e 2 n 和。( x ，乙) 代到这个方程，可以获得第n 个波导 光栅的严格耦合波方程： 每盟叩( 盱和啦! 半榭州剐z ) 。( 3 1 2 ) + 酽( 乞一乞) 乞。& ( z ) + 言：，。墨，( z ) 这些耦合波方程是一个二阶耦合差微积分方程。每个衍射波( i ) 都通过光栅 ( i - h 和i + h ) 的谐波被耦合到其他衍射波。其中m 定义为： 坍= 2 a ( 巳) 1 7 2s i 珏拶，五。 ( 3 1 3 ) 当m 是一个整数时，表示满足布拉格条件，意味着一个衍射级次被反向反射 到入射光区。 3 2 严格耦合波方程的求解方法 表面浮雕光栅衍射问题分几个步骤进行求解。首先，采用状态变量方法 ( s t a t c v a r i 曲i 嚣m e t l l o d ) 对第n 个平面片层求解严格耦合波方程。其次，电磁场 弦 zs 。 i i e 山东大学硕士学位论文 边界条件( e 和的切向分量连续) 应用到包覆层和第一个平面片层之间，然后 应用到第一平面片层和第二个平面片层之间，依此类推，最后应用到第n 个平面 片层和第3 区( 衬底) 之间。最后，求解由边界条件方程矩阵得出各反射和透射 衍射级次的幅值，凡和t i 。由这些量就可以确定每个衍射级次的衍射效率。 3 2 1 第n 个平面片层的态空间( s t a l es p e ) 描述 首先，采用线性系统分析方法把( 3 1 2 ) 式所示的耦合波微分方程描述转换 成态空间描述。定义第n 个平面片层的态变量为： 墨，( ：) = 置( z ) ( 3 1 4 ) 和蹦加掣 ( 3 1 5 ) 将无限组二阶微分方程转变成两组一阶态方程： 粤掣吨( z ) 韶 ( 3 1 6 ) 塑笋一砍乞刮缸心m 2 撕啦。z ) _ ( 3 1 7 ) j 2 ( 乞一乞) 害：，墨。m ，( z ) + ，2 ( 磋。一砰s i n 2 口) 是j ，( z ) 这些第n 个平面片层的态方程的矩阵形式为： & - 2 j 岛，一功 最如 s m ； 毫_ 一h s 2 是。功 & 知 ； 九妇钆 4 “6 山 口2 ld h 口_ 轴4 轴 4 i d 3 _ 以 o o o o i 瓯妇 一 瓯轴 孔妇 气轴 ： s 2 砌 s 2 _ h s 2 - 屯j j s 2 。2 j ； ，( 3 1 8 ) 这里的j = 凼出，q ，= 曲2 ( 一乞垮，= | 2 f ( 所一d ，岛，= i 2 ( 乞一乞) 善幺，且 1 9 o o o o l o o o o 厶 o o o l o o o o o ；o o l o o ；o o 厶o o ； o o o o o 蟊o o o 削彬渺 o o o d 口 射 o o d o o；聊舻町； 山东大学硕士学位论文 以= _ ，2 ( 吃一砰s i n 2 一) 。四个子矩阵的元素的下标用p 和q 表示。s 是保留的 衍射级次的数目。值p = l 对应于所保留的绝大多数负衍射级次，而数值p = s 对 应于保留的绝大多数正级次。以上的矩阵方程可以简单地写作雪= 4 s ，这里的雪 和s 都是列向量，而a 是总系数矩阵。尽管矩阵是无限大的，但可以通过截取矩 阵而获得任意级准确度的结果。四个子矩阵中的每个都被截取为s xs 饷大小。 这个矩阵方程的解可以写作： 2 ，。( z ) = c n 。w ，巾e x p ( 厶_ z ) ( 3 1 9 ) 口i 这里的p 和矿是与( 3 1 8 ) 所示的整个矩阵下标对应的新的下标变量，= l 到2 s ，g ，= l 到2 s ，而p 和q 仅仅对应于a 的子矩阵的大小j j 。蜀。被重写作邑一 p = p + ( ，一1 冷五，。和矿。是矩阵a 的特征值和特征向量。这些量可以比较容 易的计算。数量q 。是未知的系数，可以通过边乔条件来确定。最后，第n 个平 面片层的衍射波的幅值可以表示为： 墨0 ) = 或，。( z ) ( 3 2 0 ) 这里的p 对应于第i 个衍射波。 3 2 2 边界条件的应用 现在需要通过边界条件将所有平面片层的解与入射区( 第1 区) 和透射区( 第 3 区) 联系起来。首先定义第l 区和第一个平面片层之间的边界条件，然后定义 第一个平面片层和第二个平面片层之间的边界条件，以此类推，直到第n 个平面 片层和第3 区之问的边界条件被定义为止。 对于这里的t e 波，电场只在y 方向有一个正切分量。磁场的正切分量是在x 方向，可以根据皿= ( 一，翻f ) 扭，出用m a x w c l l 方程求解。对于入射区和第一个 平面片层之间的边界，z = o ，e 的切向连续边界条件为： 2 j ，o + r l = c 日，im ，_ ，l ( 3 - 2 1 ) g 。z l h 的切向连续边界条件为： 2o ，( | 。，j ) ( r ，一万，。) = c ，1 w ，。，t 【旯。，l 一，( 盯。，三) 】 ( 3 2 2 ) g = 1 这里的4 。是k r o n e c k c rd c 妇函数，选取p 的数值使之对应于第i 个波。对于 山东大学硕士学位论文 第n 个和第n + 1 个平面片层之间的边界，z = n d n ，而e 的切向连续边界条件为： 窆c n 。w 州，。e x p 舭n 。一，( 吒三) 】行d 口z l 1 ：l ：c ，+ 。，。+ 。e x p 五，。+ 。一，( 。，。+ ，三) 】以d 3 2 3 h 的切向连续边界条件为： q ，坳巾【乃。一_ ，( q ，三) 】唧 【乃，一j ( q ，三) 】材 = q ，。僦。【五协，一，( 口o + 。2 ) 】既p 【乃，。一，( “三) 】耐) ，( 3 2 4 ) 对于第n 个平面片层和第3 区之间的边界条件，z = d ，e 的切向连续边界条 件为： 妻，b 删唧 【乃，一，( q ，三彤 ：乃 ( 3 2 5 ) h 的切向连续边界条件为： 量q 一，。【乃，一，( q 。，j ) 】c x p 【乃，一“q ，。三) ：鸭，三) 霉 ( 3 2 6 ) 每个平面片层有s 个未知的和t i ，以及2 s 个未知的q ，。因此，方程 ( 3 2 1 2 6 ) 未知量的总数为2 ( n + 1 ) s ，它和边界条件方程的数量相同如果分析 中仅保留i 中的s 个值，即保留s 个衍射级次，则计算结果中将得到s 个透射衍射 波的幅值t i 和s 个反射衍射波的幅值。 3 2 3 方程组的矩阵求解 上述方程组成的方程组可以通过把边界方程写成矩阵形式求解，图3 3 描述 了从边界条件方程获得的矩阵。 2 i 山东大学硕士学位论文 t 1n 0 图3 3 边界条件方程的矩阵方程表达 该矩阵是2 ( n + 1 ) s 2 ( n + 1 ) s ，包含系数c q ，。( q = 1 到2 s 和n = l 到n ) ， 风( s 个值) 和t j ( s 个值) 。要获得精确结果，n 应在5 0 一1 0 0 范围内取值，s 也 应在相同的范围内取值。在这种取值条件下，a 可能大到2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 。 确定了和t i 后，可以直接确定衍射效率。l 区和3 区内的衍射效率分别是： d 局，= r e ( t ，2 ) ( 毛o ) i 局r ( 3 2 7 ) 和d 岛，= r e ( 屯，2 ) ( 毛。j ) i 互r ( 3 2 8 ) 3 3 衍射效率计算举例 下面用上述方法对几种光栅进行分析计算。假定光栅有1 岬的周期并仅在x 方向是周期性的。入射介质是自由空间，透射介质的折射率为1 5 。入射光的波 长丸= 6 3 2 8 m ，入射角度为1 0 0 。第二章中用波矢量图方法分析了各衍射光波的 传播角度，现在用严格耦合波法来分析不同光栅形状的衍射效率 3 3 1 二元光栅 首先分析二元光栅，因为这种光栅最容易采用光刻方法制作。假设光栅高度 为0 5 “m ，折射率为1 6 。如图3 4 所示。这是实际中光刻二元光栅的理想情况。 ，一x-h十；v 山东大学硕士学位论文 高 度 微 米 2 j oo j11 52乞53 图3 4 光栅高度为o 5 u m 的二元光栅位置：微米 其反射和透射级次的衍射效率如表3 1 所示。从这些计算结果可以看出，几 乎一半的能量进入了1 级次。 表3 1 周期为l 肛m 的二元光栅的衍射效率 衍射级 - 2 1 o 12 次 反射 1 2 8