（固体力学专业论文）定轴转动与基础激励联合作用下柔性梁的非线性动力行为研究.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文采用k a n e 方程方法，并结合假设模态，在保留了广义惯性力和广义作用力 中的非线性项的情况下，建立了大范围平面运动柔性梁的纵向及横向非线性动力学控 制方程。在此基础上，本文选择定轴转动与基础激励联合作用下的柔性梁为研究对象， 结合该对象的具体特点，引入合理的假设和简化，导出了其横向振动的非线性动力学 方程。 之后，采用多尺度法并结合笛卡尔坐标变换等一整套行之有效的半解析半数值的 处理方法，较为系统、全面地研究了梁可能发生的非线性动力学现象，结合梁的不同 边界约束条件，具体地分析了梁共振时的幅频特性曲线随着转速、激励幅值、系统阻 尼等相关参数的改变而变化的规律。俱体包括：梁在不发生内共振前提下的外激励次 共振、外激励主共振、参数激励主共振及其稳定性，梁在发生3 ：1 内共振情况下的参 数激励主共振、外激励主共振及其稳定性，以及梁在发生2 ：1 内共振情况下的参数激 励和外激励主共振及其稳定性等等。l ，见一 通过上述分析与研究，深入地揭示了该类梁模型在参数激励与内、外激励或单独 或联合作用下的一系列非线性动力学行为的内在本质，观察到了一些新的现象，发现 了一些新的规律。体文的研究结果并可为相关的实验提供理论上的参考。) z 一 关键词：柔性琴非线性动力卷多尺度尚镬薹趸匮西夏耍e 乏亟墅蒌薹垂i i 西 振丙箕碾雨孤 、- 。r 一 一一。 定轴转动与基础激励联合作用下柔性梁的非线性动力行为研究 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，as e to fn o n l i n e a rd y n a m i cg o v e r n i n ge q u a t i o n si se s t a b l i s h e db y u s i n g k a n e sm e t h o df o rt h ef l e x i b l es l e n d e rb e a m su n d e r g o i n gal a r g ep l a n a rm o t i o n ，w i t ht h e n o n l i n e a r i t i e so fb o t hg e o m e t r i c a la n di n e r t i a lt y p e st a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n b a s e do n t h e s e e q u a t i o n s ，t h e f l e x i b l eb e a m su n d e rb o t hr o t a t i o na n dp a r a m e t r i ce x c i t a t i o n sa r e m a i n l yc o n c e r n e dw i t h ，a n dt h en o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n so f t h e i rl a t e r a lv i b r a t i o n sa r e d e r i v e d m a n yo ft h ep o s s i b l en o n l i n e a rd y n a m i cb e h a v i o r so ft h eb e a m sa r es y s t e m a t i c a l l y i n v e s t i g a t e d ，a n d t h em e t h o do f m u l t i p l e s c a l e sc o m b i n e dw i t ht h ec a r t e s i a n t r a n s f o r m a t i o ni su s e dt os o l v e d i r e c t l y t h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e c u r v e so fv a r i o u s l y s u p p o r t e d b e a m sa r eg i v e n a c c o r d i n g t ot h e d i f f e r e n tp a r a m e t e r ss u c ha sr o t a t i n gs p e e d ，e x c i t i n ga m p l i t u d e ，a n dd a m p i n gc o e f f i c i e n t s t h en o n l i n e a rd y n a m i c p h e n o m e n o n s t u d i e di nt h i st h e s i si n c l u d et h es e c o n d a r yr e s o n a n c e a n dt h e i rs t a b i l i t i e su n d e rt h ee x t e v f l a le x c i t a t i o n sw i t h o u ti n t e r n a lr e s o n a n c e , t h ep r i m a r y r e s o n a n c ea n dt h e i rs t a b i l i t i e su n d e rt h ee ) ( t e m a le x c i t a t i o n sw i t h o u ti n t e m a lr e s o n a n c e ，t h e p r i n c i p a lp a r a m e t r i c r e s o n a n c ea n dt h e i rs t a b i l i t i e su n d e rt h e p a r a m e t r i ce x c i t a t i o n sw i t h o u t i n t e r n a lr e s o n a n c e ，t h ep r i n c i p a lp a r a m e t r i cr e s o n a n c ew i t h3 ：1i n t e r n a lr e s o n a n c ea n dt h e i r s t a b i l i t i e s ，t h ep r i m a r yr e s o n a n c ew i t h3 ：li n t e r n a lr e s o n a n c ea n dt h e i rs t a b i l i t i e s t h e p r i n c i p a lp a r a m e t r i cr e s o n a n c ec o m b i n e dw i t ht h ep r i m a r yr e s o n a n c ea n d2 ：1 i m e m a l r e s o n a n c ea n dt h e i rs t a b i l i t i e s t h i st h e s i se n a b l e so n et og a i na ni n s i g h ti n t ot h ei n l a e r e n tn o n l i n e a r d y n a m i c so f t h e f l e x i b l eb e a m su n d e rb o t hr o t a t i o na n d p a r a m e t r i ce x c i t a t i o n , a n d t h e n u m e r o u s l y c o m p l i c a t e dn o n l i n e a rd y n a m i cb e h a v i o r so ft h eb e a m s i ta l s oo f f e r st h e o r e t i cr e f e r e n c e s f o rr e l e v a n te x p e r i m e n t s k e yw o r d s ：f l e x i b l e b e a m ，n o n l i n e a r p r i n c i p a lp a r a m e t r i c r e s o n a n c e ，p r i m a r y r e s o n a n c e ，s t a b i l i t y d y n a m i c s ，t h e m e t h o do fm u l t i p l e s c a l e s ， r e s o n a n c e ，s e c o n d a r yr e s o n a n c e ，i n t e r n a l 南京航空航天大学硕士学位论文 绪论 本文研究的目的及意义 随着现代科学技术的飞速发展，在工程实践中，尤其是在航空航天、机械、车辆、 机器人等工程领域，机械系统的结构日趋复杂，运行速度越来越快，运行环境却向着 越来越恶劣的方向发展，例如发射及运行中的运载火箭、导弹、人造卫星、宇宙飞船， 高速旋转的发动机叶片、直升机旋翼等等。而另一方面，随着经济的发展和生活水平 的提高，人们对各类机械产品的安全性、舒适性、精确度等性能指标的要求也越来越 高，例如飞行中的直升机，人们不仅要求其安全可靠，还希望其运行稳定、乘坐舒适、 振动小、噪声低；又如，在机器人领域，随着高效、精密机器人运作的需要，人们对 机械臂的轻型、高速以及高精度重复等方面的要求也箍之提高。因此，为了改进机械 产品、运载工具的设计，提高各项性能指标，避免灾难性事故的发生，对其运动过程 中所呈现出的动力行为的研究及控制就具有非常重要的意义。这就给产品的设计者们 提出了更高的要求，也吸引了越来越多的学者投身于该领域的研究。 在上述工程领域中，同时受大范围的空间运动与基础激励联合作用的弹性结构随 处可见，其动力行为显得十分复杂。对于此类强过载与振动联合环境下弹性结构的动 力行为及其稳定性的研究，是个很大的课题。如何对其进行正确的建模以及后续合 理的实验设计与验证，成了许多学者的一个努力方向，尤其是对后者的研究。完全将 实验对象置身于真实的大范围运动来进行相关的研究显然不切合实际，而弹性结构的 定轴转动与基础激励的联合作用则可望获得上述真实对象近似环境的模拟。到目前为 止，对于弹性结构，特别是梁受轴向基础激励的非线性动力学的研究，己具有相当深 度，取得了丰富的成果，对于定轴转动粱的动力学建模及其动力行为的研究也颇具规 模。然而，对于两者复合运动的弹性结构非线性动力学问题的研究，即使是粱类结构 的研究，也很少涉及。 本文的研究内容为上述大项目中的一个部分，研究对象即为定轴转动与基础激励 联合作用下的柔性梁。首先建立平面运动柔性梁的非线性动力学的一般方程，并针对 定轴转动与基础激励联合作用下的柔性梁，着重研究了其在匀转速、顺臂安装情况下 的多种可能发生的非线性动力学现象。本文研究的目的，在于通过对该类模型的般 非线性动力学方程的建立，以及对所选择情况的系统分析与研究，初步探寻出其内在 复杂的非线性动力行为及规律，为空间大范围运动弹性结构的实验设计与环境模拟， 提供一个较合理的建模方法和理论参考，为相关领域中复杂振动环境下的弹性结构动 力学的进一步深入研究，提供一个理论与方法上的前期准备。 定轴转动与基础激励联合作用下柔性粱的非线性动力行为研究 柔性梁非线性动力学研究进展 在大范围运动柔性梁的动力学研究领域中，涉及到梁的转动的研究多集中于诸如 “动力刚化”等非线性现象。k a n e 、r y a n 及b a n e r j e e 1 1 采用k a n e 方程并结合假设模 态，较早系统地建立起了由于大范围运动引起的非惯性场中悬臂梁的动力学方程，他 们在方程的建立过程中引入了一些线性化的处理手段，所举例子仅局限于大范围的转 动。但其建模方法原理简单，并且从理论上解释了“动力刚化”等一些非线性现象。 一些学者以此为基础，在该领域中进行了更深入的研究。i o o 、r y a n 和s c o t t r 2 1 对上文 的建模方法中的个别变量进行了更规范化的选择，使得建模结果更趋简单。该类研究 中代表性的文献还有 3 8 】等等。 对于受外激励或基础激励柔性梁的非线性动力行为的研究则成果颇丰。以 e v e n s e n 、e v e n 1 w a n o w s k i l 9 】以及n a y f e h 、m o o k 1 0 i 的研究为例，他们在建立受基础简 谐激励悬臂梁的动力学方程时均考虑了梁的惯性非线性项，而对梁的弯曲曲率作了线 性化处理。c r e s p od as i l v a 与g l y n n t “。2 在研究不可伸缩梁的弯曲弯曲扭转振动时， 采用h a m i l t o n 原理导出了梁振动的非线性偏微分方程，并进行了动态响应分析，其 研究结果表明，通常被忽略的由非线性弯曲曲率引起的非线性项与非线性惯性项同阶 次，并会对系统响应产生显著的影响。在此基础上，c r e s p od as i l v a ! ”1 4 1 对梁弯曲 弯曲扭转纵向伸缩振动问题进行了进一步的研究，并与z a r m k y 一起研究了弯曲一 弯曲扭转梁的主共振问题及组合共振问题。n a y f e h 和p a l t l 7 l 在文献【1 1 】所得方程 的基础上，研究了轴向不可伸缩悬臂梁受基础简谐激励时其非线性非平面内的参激响 应问题，研究发现梁的第阶模态的参数激励主共振幅频响应曲线呈现硬特性，而第 二阶及以上模态呈现软特性。与此同时，z a v o d n e y 与n a y f e h ”l 对一带集中质量细长 梁受轴向基础简谐激励时的参激共振理论进行了研究并配以相关实验结果加以验证， 其中非线性偏微分运动方程的建立直接采用n e w t o n 第二运动定律，并将所得方程与 文献【1 1 】的方程进行了比较，结果显示了很好的一致性。近期，a n d e r s o n 、n a y f e h 与 b a l a c h a n d r a n i l 叫对于受轴向激励悬臂梁的动力响应进行了实验测定，以文献【1 1 】所得 公式为理论依据，并对阻尼项进行了适当的修改，研究结果表明实验结果与理论预测 间取得了较好的一致性，因而从一个方面验证了文献i n 所导出公式的正确性，另一 方面也验证了文 1 7 所得结论与实验的一致性。h y u n 及y 0 0 【2 0 】在文献【2 】的基础上， 对受轴向参激激励悬臂梁线性化的动力方程采用多尺度法二次近似展开，对方程解的 稳定性作了更细致的研究。e s m a i l z a d e h 等瞄1 2 2 1 着重对端部带集中质量悬臂梁在基础 简谐激励下的周期运动及参激响应问题进行了阐述。此外，k a r 和d w i v e d y 【2 3 1 对文献 1 8 】所研究对象作了进一步的研究，通过调整集中质量的大小及位置，使梁的第一阶 与第二阶固有频率之比接近l ：3 ，从而系统地研究了该类模型在参数激励主共振与内 共振联合作用下的非线性动力行为；c h i n 和n a y f c h 2 4 、2 5 】通过调整固支一铰支梁的轴 南京航空航天大学硕士学位论文 向静态载荷，使其第一阶与第二阶固有频率比接近1 ：3 ，做了与文献 2 3 】相近的研究 工作。 大范围运动柔性梁的动力学建模方法很多，上述文献在建模过程中对惯性非线性 项或者几何非线性项过早地进行了忽略或线性化的处理，导致难于探寻更复杂的非线 性动力行为，继而限制了对其内在客观规律的更深入的研究。最近，冯志华、胡海岩 口6 】采用k a n e 方程，并结合假设模态，在既保留了广义惯性力中的非线性项，又保留 了广义作用力中的非线性项的基础上，导出了大范围直线运动柔性梁的非线性动力学 运动方程，为此类问题的研究开辟了一种新的建模方法。在此基础上，他们对于梁的 第一阶与第二阶固有频率比接近l ：3 时所出现的动力行为进行了分析，着重研究了该 类模型在第一阶模态参数激励主共振与一、二阶模态间内共振联合作用下一些复杂的 非线性动力行为。他们还进一步研究了窄带随机参数激励梁的稳定性与随机分叉问题 【2 7 1 以及含内共振梁的参激振动稳定性【2 8 1 等。此外，他们还建立了含耦合的几何非线 性及惯性非线性项轴向基础激励悬臂梁动力学方程，利用多尺度法研究了系统的参数 激励主共振问题，并对上述建模方法的正确性进行了验证 2 9 i 。然而，上述研究仅限于 粱的大范围直线运动，对大范围转动问题并未涉及。 本文的主要内容及结构安排 本文建立了柔性梁作大范围平面运动时的纵向及横向振动的非线性动力学方程。 建模采用k a n e 方程方法，并结合假设模态，建模过程中既保留了梁的运动产生的惯 性非线性项，又保留了梁的变形产生的几何非线性项，从而为研究该类粱模型内在复 杂的非线性动力行为铺平了道路。 在此基础上，本文以绕定轴转动与沿梁轴向基础激励联合作用下的柔性梁为研究 对象，在忽略了梁的纵向振动对横向振动耦合影响的前提下，得出了该研究对象合理 简化后的横向振动的非线性动力学方程，并且使得对于梁的横向振动方程的进一步分 析切实可行。 具体研究时，重点选择了匀转速、顺臂安装和基础简谐激励情况下的柔性梁，结 合梁的不同边界约束条件，采用多尺度法，分析了梁可能产生的非线性动力学的特有 现象。本文着重研究了梁共振时的幅频特性随着转速、激励幅值、系统阻尼等相关参 数的改变而变化的规律，揭示了该类梁模型在参数激励与内、外激励或单独或联合作 用下的一系列非线性动力学行为的内在本质和规律。 本文的具体内容安排如下： 第一章采用k a n e 方程，结合假设模态，在既保留了广义惯性力中的非线性项， 又保留了广义作用力中的非线性项的基础上，建立了大范围平面运动柔性梁的纵向和 横向非线性动力学一般控制方程( 组) 。方程( 组) 显示出了非常复杂的非线性耦合 定轴转动与基础激励联合作用下柔性梁的非线性动力行为研究 关系。方程中既有参数激励项，又有外激励项，既有二次非线性项，又存在着三次非 线性项。在三次非线性项中，既有惯性项，又有几何项。方程的建立为同类问题的相 关研究提供了一个较为完整的动力学模型。 第二章在上述模型的基础上，引入合理假设，在忽略了梁的纵向振动对横向振动 耦合影响的前提下，导出了绕定轴转动与沿梁轴向基础激励联合作用下柔性梁横向振 动的非线性动力学方程，并对方程进行了解耦和无量纲化处理，为进一步的分析研究 作好了准备。 第三章针对方程中含有外激励项的特点，重点研究了梁在不发生内共振前提下的 外激励次共振及其稳定性，具体分析时对方程采用多尺法一次近似展开，并以悬臂梁 的第一阶模态为例，根据不同的次共振情况，用解析和数值等方法，分别给出了梁发 生次共振的幅频响应曲线，详细讨论了幅频特性受各相关参数变化的影响，并且对各 次共振发生的难易程度进行了比较。 第四章采用多尺度法，结合笛卡尔坐标变换，研究了梁在不发生内共振前提下的 外激励主共振和参数激励主共振及其稳定性问题，仍以悬臂梁的第一阶模态为例，分 析了梁共振时的幅频特性及其随各相关参数的变化而变化的情况，并指出了幅频特性 发生变化的内在规律。 第五章同样利用多尺度法并结合笛卡尔坐标变换，以固支一铰支梁为例，对在一 定的旋转半径和旋转速度条件下，梁的前两阶模态间发生3 ：l 内共振时，又分别发生 第一阶模态的参数激励主共振和第一阶模态的外激励主共振时梁响应的定常解及其 稳定性进行了分析研究，通过数值分析，揭示了研究对象所蕴涵的一系列内在的非线 性动力学现象。 第六章仍然采用多尺度法并结合笛卡尔坐标变换，以两端固支梁为例，对在一定 的旋转半径和旋转速度条件下，梁的前两阶模态闻发生2 ：l 内共振时，又同时发生第 一阶模态的参数激励主共振和第二阶模态的外激励主共振时梁响应的定常解及其稳 定性进行了分析研究，采用数值分析方法，研究了发生这一特殊现象时梁的前两阶幅 频特性。 第七章对全文进行了总结，简要地阐述了本文的主要贡献，并对文中存在的一些 问题及今后的研究方向作了概括性的说明。 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章平面运动柔性梁的非线性动力学建模 在航空、航天、军事等领域，弹性结构由于同时受大范围的空间运动与基础激励 的联合作用，其动力行为显得十分复杂，如何对其进行正确的建模及后续合理的实验 设计与验证，则成为许多学者的一个努力方向。完全将实验对象置身于真实的大范围 运动来进行相关的研究显然不切合实际，而弹性结构的定轴转动与基础激励的联合作 用则可望获得上述真实对象近似环境的模拟。 梁是以弯曲为主要变形的杆件，它是工程中广泛采用的一种基本构件。在一定条 件下，诸如弹性连杆( 机构) 、转动机械、机械手、飞机机翼、直升机旋翼、发动机 叶片乃至柔性的人造卫星等结构均可以简化为梁模型来进行研究。如果梁各截面的中 心主轴在同一平面内，外载荷也作用于该平面内，则梁的主要变形是弯曲变形，粱在 该平面内的横向振动称作弯曲振动。 最近，冯志华、胡海岩【2 6 】采用k a n e 方程，并结合假设模态，在既保留了广义惯 性力中的非线性项，又保留了广义作用力中的非线性项的基础上，导出了大范围直线 运动柔性粱的非线性动力学运动方程，为此类问题的研究开辟了一种新的建模方法。 然而，上述研究仅限于梁的大范围直线运动，对大范围转动未能涉及。 本章基于上述建模方法，在保留非线性几何及非线性惯性项的基础上，首先建立 了柔性梁作大范围平面运动，包括平动与转动时的纵向及横向振动的的非线性动力学 一般方程，以期为空间大范围运动弹性结构的实验设计与环境模拟，提供个较合理 的建模方法，并且为后续的研究提供一个较完整的动力学模型。 1 1 柔性梁的平面变形 a 图1 1 柔性梁平面变形示意图 定轴转动与基础激励联合作用下柔性梁的非线性动力行为研究 本节讨论柔性梁的平面变形，梁的中轴线变形前后均处于l 司一平面内，各截面弯 曲方向的中性主轴与该平面垂直。在描述梁的变形之前，先引入如下假设：梁为柔性 细长梁，其跨度与横截面尺寸之比足够大，梁材料是线弹性的，弯曲变形为中小变形， 轴向变形相对于横向弯曲变形非常微小。变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持 为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。梁模型为均匀材料等截面的b e r n o u l l i e u l e r 直梁，即忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响。 以悬臂梁为例，图1 1 为上述直梁变形前后的构形图，梁b 左端固支于刚性基础 a 上，梁的原长为，。取梁中轴线左端为原点o ，坐标系单位矢量i 与梁变形前中轴线 共线并指向右端。假定在任意时刻f ，梁变形前中轴线上距离o 点任意长度x 处的c o 点变形后移至c 点。h l ( x ，f ) 、1 2 ( x ，f ) 分别为该点的位移9 m a ( x ，r ) 在i 、了方向上的 投影长度，s ( x ，f ) 为该点沿梁变形后中轴线的位移量。根据变形几何关系，有 = r 肛刳2 + ( 刳2 彬 ， 其中为梁变形前轴线上距离o 点长度的哑元。 对式“1 ) 进行t a y l o r 姗数展开 根据前面假设，可对嚣、嚣和嚣绷| j 保 留至嘉、嘉和( 刳2 项，略去高阶小量，则式( 1 1 ) 可变为 铲s 三r 阱彬 ( 1 z ) 根据材料力学，对于本文所假定的柔性细长梁，梁上c 点所在截面的轴向力p 和弯矩m 仍可近似由下式给出： i v = 尉罢( 13 ) 擎m 湖 。， 式中占、，及彳分别为材料弹性模量、梁的截面惯性矩及截面积，并且 善= z + l( 1 5 ) 由于 嘉= 鼢封 n e ， 谐融l缸j ”+ 。 南京航空航天大学硕士学位论文 丝：堕f l + 丑丫 鸳缸l缸 将式( 16 ) 、( 17 ) 分别代入式( 13 ) 和( 14 ) ，并进行t a y l o r 级数展开 近似有 p ：e a 鱼 缸 ( 17 ) 略去高阶小量后， ( 18 ) m = 日等卜塞+ r 1 - 夏- j 卜窘警 ， 在线弹性范围内，梁的变形能u 的表达式为 u = r i o 乌2 f _ a + j ：丝2 e i 出 ( 1 1 。) 山 、 7 将式( 18 ) 、( 19 ) 代a ( i 1 0 ) ，可得 u = 吉j ：刨2 出+ 三j ：日 等 ，一z 塞+ 7 1 他t - g 12 - 窘等 2 出 1 2 柔性梁的平面运动 n 图1 2 柔性梁平面运动示意图 仍以悬臂梁为例。如图1 2 所示，梁b 随刚性基础爿在n e w t o n 参考系x n y 中作 大范围平面运动，包括平动与转动，i o j 成为固定于剐性基础a 之上的动参考系。假 定梁在运动平面内变形。设在任意时刻t ，梁变形前的中轴线与而的夹角为口( f ) ， 梁的转动角速度为q ( f ) 。c 点在n e w t o n 参考系中相对于原点的位移可用矢量表示 为 定轴转动与基础激励联合作用下柔性梁的非线性动力行为研究 因此 n c = f d + d c = f + 膏+ 磊 将上式各矢量向动参考系的单位矢量i 、歹方向投影，则有 f = p c o s a ) i 一( ，s i n a ) j ， 膏= x 于 厅= “f + u = j n 1 2 ) ( 11 3 ) n 1 4 ) ( 11 5 ) n c = ( r c 0 5 口+ x + “1 ) i + ( 甜2 一r f i n a ) 了( 1 1 6 ) 将式( 11 6 ) 对时间t 求导即得c 点绝对速度的表达式 露= 掣a t = l 塑d 型t 专卜c o s 蝎) 生d t lal 、“ +i堕一d(rsina)_1+02-rsina)a扩at d td t ( 11 7 ) l 、7 由于 一d d ：牙(118)t 7 、1， 堕：一访 (1，19)dt 、， 因此有 露= n ( r s i n a - u ：) + t d ( r c o s c t ) + 割i + 卜c o s 口+ 鲁一丁d ( r s m a ) 7 p ( 1 2 。) 同理可得c 点绝对加速度的表达式 一 d 2 c 2 i r = l d 。z ，2 ( r s i n a - u 2 ) 埘舾s 蝎) + 丁d 2 ( f c o s g ) + 可9 2 u 1 珈鲁 于 塑塞：堕窒堕丕奎兰堡主兰竺堡墨 -_-_，_。_-_-_ 十s i n a - u 。，+ 等c ，c o s 蚂，+ 等一 华+ 铡 歹 ( 12 1 ) 1 3 r a y l e i g h - r i t z 法 根据r a y l e i g h - r i t z 法，将连续变量s 、4 2 用空间位置函数及相应的广义坐标近似 表示为 s = 喜九( 玩o ) ( 1 2 2 ) 甜：g ，0 ：n 哝g 垃( f ) ( 12 3 ) 式中以0 ) 、哦0 ) 分别为上述直梁纵向微振动时的第k 阶固有振型及横向第k 阶弯 曲振动固有振型，吼( f ) 、q 。o ) 分别为对应的广义坐标，n * o n 为相应的模态截断数。 将( 1 2 2 ) 、( 1 2 3 ) 代入式( 1 2 ) ，得 盱喜地一丢矧r 等等够p n 2 4 ) 甜= 丸吼一寺ir 三暑三暑够p ，q ， ( 1 - t = l二l - 1 户l o 尸o p 等= 善n 九警一萋姜旺芳等彬) q ，百d q j z s ， 争= 喜丸争一萎芸( r 等等彬 警警 一善鼬等等够弘争 n z s ， 而变量甜：相应的速度及加速度为 鲁= 如k 盟(1z，)=l d t 西 “ 。 等= 善嚷争 ：s ， 将式( 12 4 ) ( 1 2 8 代入式( 1 2 0 ) 和( 1 2 1 ) ，则c 点的绝对速度和绝对加速度的表达式分 别为 睡卜s i 一力薹嚷吼+ 一d ( r c o s a ) + 薹丸百d q k 一善薹等等彬弘警l i 定轴转动与基础激励联合作用下柔性梁的非线性动力行为研究 一 d n f 2 1 i r 眦 罢善善等等妒”善哦警一瓮笋p 力2 lr c o s c z + x + 艺k = l 船三烈j = lr 芳等 力2 l丸吼一寺ij = 。三翥二弓孑 l。l = l。y ”， + 砉丸d 出2 q _ _ ：l 一薹善( e 等等彬 警警一善芸等等妒声争 + 丁d 2 ( r c o s a ) 啦薹瓯警 i + h s i n 口一薹n 他心- - ( r c o s a + x + 扣2 。一糕等等妒川 + 薹吼争+ z d 掣+ 薹n 办警一善姜晴等等砷，纠j l 歹 ( 13 0 ) 此外，由式( 1 2 2 ) 和( 12 3 ) 可得 塞= 砉警吼，窘= 喜警吼 n ， 誓= 善警可f 8 2 u 2 = 智d d 斑2 a ：t 幺 ( 1 ，：， u = 丢喜喜( j ：鲥警警出 ，+ 丢否n 熟n 日等2 譬 出i q , q ， 姜姜却日d 引2 a lf z 等警+ 等剥出k i d a l = 出 q l q ， n ，s ， 1 4k a n e 方程 对于梁的纵向振动和横向振动分别取广义速率为鲁( i = 1 2 ，m ) 和警 ( k = 1 , 2 ，n ) ，则由式( 1 2 9 ) 可得偏速度分别为 1 0 吼丸 。 仃+ 订 +口c o 力 。l 、 瓯哝 料 垫出堕舻堕舻 日 旺 。dh 闩 南京航空航天大学硕士学位论文 尝v , 击c ：纯i ，七= 1 ，2 ，棚 ( 13 4 ) 雨2 纯h 拈1 疋棚 13 4 焘2 离e 等等印”蛎五， 。s s ， k a n e 方程意味着系统在广义坐标下的广义惯性力巧与广义作用力以应平衡。其 实质即为广义坐标下的d 。a l e m b e r t 原理，即 e + e = 0( 13 6 ) 式中 巧一许c 甏产 s ， 其中圪表示望塾或墼，p 为梁的线密度； 讲a t e 一畿 ( 1 ，8 ) 此处s k 表示吼或姨，u 为梁的变形能。 将式( 13 0 ) 及( 1 3 4 ) 代入式( 13 7 ) ，即可得梁纵向振动广义坐标q k 下的广义惯性力 为 只：一l d 2 ( r 出c ：o s a ) + 警r s i n a - 0 2 r c o s a 陋触出) + 力2 础础) + 警萎( 胁以出) ”z 口善( 胁九出) 警一喜( j ：础戎威) 争 + 剁眯等等印卜q d z q _ ，- + 善薯l c 拈等等砂出i d 击a , a 出q j 一 埘杰i = i ( j ：砌脚甲i 2 善渺等等妒 丸十， 七= 1 , 2 ，胛( 1 3 9 ) 同理，将式( 1 3 0 ) 及( 1 3 5 ) 代入式( 1 3 7 ) ，得梁横向振动广义坐标级下的广义惯性 力为 咒- 每掣+ 警础2 m s 口徘如等等妒冲 定轴转动与基础激励联合作用下柔性梁的非线性动力行为研究 卅舢p 等等彬 斗， 等剩肛z d q j ：d q j kd f l ) d x q 岛 枷利胁f u r o 堡a s t 堕a p 础) k j l 盟a tg + 喜舢砘 r 等等印 出i 争g 一萎n 蔷n 荟njh r 等等印 等等却出b 争幺 一姜姜善i 如等等叫等芳砂 i d 斑q , d 盔q j 蜴 一力2 喜芸i 蹦( r 等等彬卜卜q ， + 2 ( _ 2 2 智n 智n 智nm l t r o 堕a 8 堕a # 枷j u o 堕a 8 堕a # 础k ) j 比幺 一2 力掣+ 所s h 口+ 警，c o s 口k p 吼习 一詈( j ：p 哦地) + 力2 姜p 嚷嚷出) q 。一z 力泓j o 。腭一j 百d q i 薯姜lh r 等等妒卜出b 百d q j 一警；| ；口砌吼出) 吼 + 三警矧眯等等彬h 嘶熟触出) 簪， 豇= l 一2 ，( 1 4 0 ) 结合式( 1 3 3 ) 及式( 13 8 ) ，可分别求得对应的广义作用力。对于广义坐标吼， 七= 1 2 ，胛，广义作用力为 耻一甜尉警警出 g f 2 + 善舢凹警( z 等警+ 等耕岛， k = 1 , 2 ，n ( 14 1 ) 同理，对于广义坐标q 女，k = l 2 ，n ，广义作用力为 南京航空航查丕! 竺三! 兰竖兰一一一 耻瓢口等等斗。 十剥f ：科4 警等挚+ 警降等+ 警警擀翻 一兰l = l 划j = lh = l l j ：田警警悟等+ 堕d r 2 警蚪峨 膏= 1 2 ，n ( 1 4 2 ) 最终，根据式( 1 3 6 ) ，可得响应的微分方程组。即，对于广义坐标吼，将式( 1 3 9 ) 及( 14 1 ) 代入式( 1 3 6 ) ，有 喜 彬矶出 ，) d 出z q ：t - + 喜 ( 尉警警出 一力2 ( f 础以出) ， 一警善( 胁九斑弘，锄姜( 胁丸出) 等 一姜孙出等等毋，出佟等也等) + 善乳口2 m u 广。堕a # 堕d 箩邪j 纠 一陋等f 2 等警+ 等卜怦， 。：口z ( j ：础叫p c 。s 口) + “磁训 一百d o i j 0 础却( ，s i n 口) 一“触甸学露- 1 ：，n ( 1 。) 同样，对于广义坐标瓯，将式( 1 4 0 ) 及( 1 ，4 2 ) 代入式( 1 3 6 ) ，有 冀( 胁氟昀争 + 珈如小学一警晒口m e 等等妒p 埘f 眯等等邵) 臆m 日等等寸力2 ( 胁吼砷 + 等善甜f p 哆( r 等芳砂 一舢如等等妒卜出 q f q ， 星塑壁垫兰茎型塑壁鐾笪堡望! 墨竺墨旦量堡竺翌卫竺翌竺墨一 一姜喜 f j ：p 哆等等彬h 一【j ：p 等等矽卜出 挚， + 善；| ；副j ：口警警( 警等+ 等钟i 一l c 以等等彬 等等够 出忪胁 + 善n 蔷n 舢np ( r 等等够 等等卵p 争 盟堕d tq j + 喜善 口2 卜彪等等妒 却一。 f 日警等等威 一陋拿( 等等+ 等警卜 一喜舢以等等妒卜l 挚q ， + 2 力善1 j 0 。册一i d q i + 警喜口础吼出) 吼 = 一2 口p 吼出户竖二：笋堕+ 力2 p 吼出) ( ，s m 口) + 百d o l l j o 鹏出) ( ，c 。s 口) + 鹏础) ， 七= l ，2 ，( 1 4 4 ) 式( 14 3 ) 和( 14 4 ) 即为平面运动柔性梁纵向及横向振动的非线性动力学控制方程 ( 组) 。由于在建模过程中保留了广义惯性力及广义作用力中的非线性项，方程呈现 出强耦合、强非线性的特点，不仅存在着纵向振动与横向振动之间的耦合，各模态之 间也存在着强烈的耦合关系。若不对方程进行合理的简化，后续的分析t 作将难以进 行。对于横向振动微分方程( 组) ，不仅含有参数激励项、三次几何及惯性非线性项， 1 5 小结 平面运动柔性梁纵、横向振动的建模方法很多，本章采用了k a n e 方程，并结合 假设模态的方法，在此类问题的诸多建模方法中不失为原理简单、结果可靠的一种， 文献 2 9 】已对此方法的正确性进行了验汪。由于在建模过程中保留了广义惯性力及广 义作用力中的非线性项，使得对于梁的非线性动力行为的观察与研究成为可能。 从方程可以看出，即使是柔性梁的平面运动，其非线性动力学控制方程( 组) 也 1 4 南京航空航天大学硕士学位论文 十分复杂，纵横向振动间、各模态间存在着非常复杂的非线性耦合关系，方程中既有 参数激励项，又有外激励项，既有二次非线性项，又存在着三次非线性项，在三次非 线性项中，既有惯性项，又有几何项。这给后续的研究带来了极大的困难，必须寻求 合理、有效的近似研究方法。 定轴转动与基础激励联合作用下柔性梁的非线性动力行为研究 第二章定轴转动与基础激励联合作用下 柔性梁横向振动的非线性动力学方程 梁的平面运动是平动与转动的复合，上一章建立了平面运动柔性梁纵、横向振动 的一般非线性动力学方程。在工程实际中，梁类结构的大范围平面运动，不可能是毫 无规律的平动与转动，总有其特殊的运动规律，例如绕一定轴转动、沿梁的轴向平动 等等。 在航空、航天、军事等领域，宇宙飞船、运载火箭、导弹等基本上不存在定轴转 动的实际意义，而飞行器的盘旋运动，直升机桨叶，发动机螺旋桨等等的旋转运动， 则属于定轴转动。在机构动力学及机器人( 机械手) 动力学研究中，定轴转动梁是最 常见的模型之一，这是因为在实际情况下，即在机构及机器人领域，运动着的零部件 许多属杆类零部件，且运动以转动为主，此外，定轴转动模型便于实验的观察、研究 与控制，因此，转动梁的动力学问题引起了许多学者的关注。在这些研究中，由于关 注的焦点是如何对“动力刚化”问题进行客观、正确的描述，因此，在建模过程中， 众多的非线性项被略去，从而无法探求梁振动中的更为复杂的动力行为。 对于梁的轴向平动，比较常见的有沿梁轴向的基础激励运动，如导弹、航天器的 发射等。在这类基础激励梁的非线性动力学研究方面，也己具有了相当的广度和深度。 然而，目前对于梁的绕定轴转动与受到沿梁轴线方向的基础激励的复合运动的非线性 动力学问题，却少有研究。 本章首先在上一章的基础上，导出了绕定轴转动与沿梁轴向基础激励联合作用下 柔性梁纵向与横向振动的非线性动力学方程，重点对梁横向振动方程进行了合理的简 化处理，为后文的进一步分析扫除了障碍。 2 1 纵向与横向振动方程 图21 为一绕定轴转动与沿梁轴线方向的基础激励联合作用柔性梁示意图。首先， 梁在n e w t o n 坐标系x n y 的平面内绕定轴转动，转动半径为r ( 梁的左端点o 到旋转 中心n 的距离) ，梁轴线与转动半径矢量方向的夹角为o ，与此同时，有一沿梁轴线 ( 平衡位置) 方向的基础激励作用于梁的左端点。上，使得柔性梁基础彳作固定的 直线( 往复) 运动，其运动规律为u o ( t ) 。运动坐标系叫固连于柔性梁刚性基础之上 ( 如图) 。对应于上一章中的，与口，可得相应的表达式为 r c o s t z = r c o s 0 + ”。 rs i n 口= r s i n 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 n 图2i 定轴转动与基础激励联合作用下的柔性梁 将上述关系式代入式( 1 4 3 ) 及( 1 4 4 ) ，则梁的动力学方程为 砉( f ：融丸出) 擎+ 喜 ( j ：脚警警出 一力2 旺础丸凼) 一鲁善( 胁似) q ；一善( 加触、丝d r 一善都如 d 中。d 中， d pd 8矽警等坦剥 + 姜淋力2 i 和等等够h p 等 z 等警+ 等纠b = 力2 ( j ：砒施) ( r c o s o + u o ) + ( f ：删。娩 一鲁c c 础出弘s i n 口) 一l ( j 0 j 脓一j 、万d 2 u o ， k = 1 , 2 ，胛( 23 ) ! v op 鹕出) 争 + 部 c o s 0 + u o ，一万d 2 z d o 一等识咖小如等等砂 埘 川等等够) 卟( j ：田警等寸口2 ( 胁瓯讣 7 定轴转动与基础激励联台作用下柔性梁的非线性动力行为研究 + 警姜涨r 鹏等努矽h 一1 7 p 等等印卜出弘q ， 善芸 j ：户癣旺等等纠出 - j ：尸晴等等小出 挚， + 善矧陋警警 等等+ 警警卜i 一丢力2 j ：d r 等等印) 晴等等彬) 出胁 嘻善孙p 等等纠等等彬 却( q j 万d 2 q s 包+ 警鲁q 0 + 剁力2 ”r f = d 掣g l s d 叩q kd i l ，l 斗a p 警等等刁 一 j ：e ，窘降等怠a k 2 胁胖d x q ， 一善n 貅nl ，等等够卜i 争g + 2 喀( j ：砌呶出) - a - + 警喜( r 以嚷出) 吼 = 一m j ：p 嚷出) 鲁( j ：p 奴书s i n 口) 十警m 皱出) 嘶s m 小c s op 嚷叫 ， 2 2 简化后的横向振动方程 由于梁的弯曲振动频率通常低于它作为杆的纵向振动或作为轴的扭转振动的频 率，容易被激发起。所以，梁的弯曲振动在工程上具有重要意义。 本文讨论的重点是梁的横向中小变形。i ! i 况下的弯曲振动。假定梁的轴向变形相对 横向变形非常微小，以致于可忽略不计，则梁横向弯曲振动方程f 2 4 ) n - 丁简化为 冀( 胁晚甸等i + 北2 职c o s l 9 + u o ) 一万d 2 1 l o 百d x 2 啪私如等等够h 南京航空航天大学硕士学位论文 _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _