（信号与信息处理专业论文）关于带混合控制因子的随机最优问题的研究.pdf

声明 本人郑重声明：本论文的所有研究工作都是在导师指 导下，由本人独立完成，论文中所引用的已知结论均已列 在参考文献中。 a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et ot h a n km ya d v i s o r p r o f e s s o rl i uk u n h u l ic o u n tm y s e l f 拍b e i n g m o s t f o r t u n a t e t o w o r k u n d e r t h e s u p e r v i s i o n o f h i m h i se n t h u s i a s m f o r m a t h e m a t i c s a n dh i sh i 曲l e v e lo fe x p e c t a t i o nh a v eg r e a t l yi n f l u e n c e dm e if o u n dh i ma l w a y s e n c o u r a g i n g ，s u p p o r t i v ea n dp a t i e n tw i t hm e a n dg i v em e m a n yh e l p f u ls u g g e s t i o n e t h r o u g h o u tt h eg t 嵴o f t h et h e s i s 1w o u l d l 龇缸t o 雠弘e 龉m y t h a n k st ot 呲h e l sw a n gw e ia n dz h a os h e n g b i a n t h e yh e l p 皿悖i nm a n y a r e b s a l s o1w o u l dl i k et o 卿f 瞄m yi n d e b t e d n e s st oa l lo fm yc o f i e a g u e sa tb e 町i n g j i a o t o n gu n i v e r s i t y ：l is u o # n g ，l i ux i a o w a n gq i n 3 n l a n ，d i n gw a u g a u g ，z h u x i a o m e n g ，h es h u s o n g ，x i ab i n g ，l i ux i a o p e n g a n dm a n j i a n g 舛f o r t h e i rd i 8 c l l 辎i o n s a n d c o o p e r a t i o n s o n8p e r s o n a ll e v e l i 鲫g r a t e f u lt om yf a m i l y , e s p e c i a l l ym yw i f e , f o rt h d r u n d e r s t a n d i n ga n ds u p p o r t sd u r i n g t h ep a s ty e a r s 摘要 随机最优控制是现代牲删邓沦的，个重要分支。近几十年柬坡f 一泛应 用于保险、余融、经济、牛物、l 。袱等领域。随机最优控制模型的研究始 _ 二十世纪六十年代，舀! 随后的儿# 中得到了很大发展，针对不同的实 际需要，相继提出了各种控制横掣+ 为解决现实问题提供了理论基础。 本论文主要讨论混合随机控制问题，在这些闯题中状态过程包括多种 控制因子( 我们把单一控制闪j ：的问题归为特殊的多因子控制问题) 。这 零考虑的受控状态过程以白朗远动( b r o w n i a nm o t i o n ) 为基础，一般出伊 藤随机微分方程( i t 5d i f t e i l ，n ti a le q u a t i o n ) 确定。本文所考虑的控制 因子主要包括正则、脉冲、奇异及停时等。在这些受控状态方程中，我们 不但描述了具体的状态过程丽& 针对不同的需要背景给出了各自的目标 结构( 目标函数) 。进步，通过构造变分方程( 又称为变分不等式f 2 8 】) 得到了相应的最优控制簟路及最优回报函数( 目标函数) 。 具体来说，全文共分七章加以讨论。 第一章在这一章中，我f f 歹f j 出了本文中经常出现的符号，介绍了涉 及多因子控制的最优控制问题的背景及发展现状，总结了本文的主要工 作。 第二章这一章主要解决了一类涉及脉冲与正则控制因子的最优控 制问题。首先给出了脉冲、j 下则及容许控制策略的定义，以此为基础构建 了最优控制问题的目标结构( 回报函数结构) 。在目标结构中，弓l 入了脉 冲控制过程中所需的固定费用这一因素。更重要的，我们得出了最大回报 函数及最优控制的具体形式，并且针对具体的参数值给出了数值计算结 果。 第三章这一章继续讨论第二二章的问题，与上一章所不同的是，在这 章中，我们所考虑的受控状态包禽了交易费用这1 因素。 l ij 二交易费用 的介入，使得求最夫心报函数及最优控制策略的具体形式复杂化。第一二 章类似，奉章得出了一系列的结论及数值计算结粜。 第四章在这。誊中我们考虑j ，一类受控状态含有i e 蜒, j 1 j 奇肄因子 的混合最优随机控制问题。与以往 作所不同的是，这幂考虑的奇异因子 是双控制图子。存一1 定条件下，我 f j 得出了其最优控制策略及相应的最大 回撮函数。 第五章这一章讨论了一类带交易费用的奇异正则因子的混合 控制问题。在这一问题的状惫过程和日标结构中，我们分别引入了交易费 用及破产时刻的补偿函数这两重要因素同样地在一定条件下，我们得出 了其最优控制策路及相应的最大回报函数。 藻六章在文献 3 9 的基础上，我们研究了一类与受控于泊松过程 ( p o is s o np r o c e s s ) 的脉冲型最优随机控制姆题。在所研究闷题的状态 过程中含有涉及泊松过程的脉冲控制因子与以往不同的是，在状念结构 串我们引入了漂移参数( d r i f tp a r a m e t e r ) ，并且在问题的目标结构中， 引入了停时控制因子。在一定条件下，我们给出了最优控制策略及相应最 大回报函数的具体形式。 第七章作为一特殊的混合醢机最优控制问题，这章讨论了一类受 控状态含有奇异控制因子的问题。僵与以往不同的是此受控状念所满足 的方程具有更一般的形式。而且，在目标函数的结构中引入了运转费用函 数( r u n n i n gc o s t sf u n c t i o n ) 。更重要的是，本章采用了一种具有普遍 效用的方法解决了最优控制策略及最大回报函数问题。 关键词： 混合控制因子；脉冲控制；正则控制：奇异控制：伊藤随机微 分方程：泊松过程：停时：布朗运动：目标函数 0a n d 盯 0 a x ec o n s t a n t s ；z r + ( r + d e f i n e da si ns e c t i o n1 ，1 ) i s t h ei n i t i a ls t a t et h a tr e p r e s e n t st h ei n i t i a la m o u n to ft h er e s e r v e ；w ( t ) i sas t a n d a r d b r o w n i a nm o t i o n ，r e p r e s e n t i n gt h eu n c e r t a i n t yi nt h es y s t e m ；a n do ( t ) f 0 1 ji st h e r e t e n t i o nl e v e la tt i m et b a s e do nt h ea b o v e k n o w l e d g e ，m a n ya u t h o r sc o n s i d e ri t so p t i m a lc o n t r o lo fd i v i d e n dp a y - o u t ( o p t i m a lr e t u r np r o b l e m ) m o s to ft h e s ew o r k sc o n s i d e rs i n g u l a rd i v 一 1 3 c h a p t e r2 i m p u l s e - r e g u l a rc o n t r o lp r o b l e m i d e n dc o n t r o lf o ri n s t a n c e ，1 3 7 t 一1 3 s 1c o n s i d e rd i f f e r e n tc a s e si nw i l i ( 1 it h ec o n t r o l l e d s t a t e sa r ea l lr e l a t e dt os i n g u l a ra n dr e g u l a l c o n t r o l s t h e ) , c o l i s t r u c tt h er e t u r n f u n q t i o n ( o b j e c t i v ef u n c t i o n ) f i o mp r e n t t ob a n k r u p t e 3 。a n d 冀i tb o l l l or e s u l t sf o r m a x i m u mo ft h e m b e s i d e s ，o t h e ra u t h o r ss t u d ) m a n 3 s i m i l a l p r l ， ) l e l l i s e ，g l i u k u n h u i ( s e e1 5 2 】 6 2 1 ) d i s c u s sap r o b l e mi l l w h i c ht h es t a t e o n l 3 i l l ( 一l u d e s as i n g u l a r c o n t r o l ，a n db o t hm a1 6 3 】a n dm c b e t h 【6 4 1c o n s i d e rs i m i l a ro n e si ( 1 1j 、b i l el e f e b v t e ( s e e 【5 0 t ) s t u d yr e g u l a ro n ei n t h ea b s e n c eo fs i u g u l a rc o n t r o l h o w e v e r ，i m p u l s e d i v i d e n dp r o c e s si se e s i e rt oi m p l e m e n ti np r a c t i c e d i f f e r e n tf r o mo t h e rw o r k sw e c o n s t r u c tam o d e lt h a tc o n s i s t so fi m p u l s e d i v i d e n dc o n t r o l ( i m p u l s ec o n t r 0 1 ) a n d r e g u l a rc o n t r o lp n ) o 瞪* s b a s e do nt h e s e w pc o n s i d e rt h ee x p e c t e dt o t a ld i s c o u n t d i v i d e n dp a y o u t ( 圮t “r wf u n c t i o no ro b j e c t i v e 扣n c t i o n ) f r o mp r e s e n tt ob a n k r u p t c y , i nt h eo b j e c t i v es t r u c t u r et h ef i x e dc o s t sf a c t o rt h a ti sa b s e n tf i o l na l lt h ef o r m e r l i t e r a t u r e si sc o n s i d e r e d s e en e x ts e c t i o n sf o rm o r ed e t a i l s o t h e rs i m i l a rp r o b l e m s o ns i n g l ei m p u l s ec o n t r o lp r o b l e mc a r lr e f e rt o1 8 】1 9 1 i 1 0 】1 11 l 【1 2 】| 6 7 7 1 】【7 5 】a n d i s 2 ) 2 2f 1 0 r m ：i l l 截i o no f t i y b r i dc o n t r o l p r o b l e mw i t h i m p e l s e - - a e g ! a rc o n t r o l l e t ( q ，只p ；五) b eac o m p l e t ep r o b a b i l i t ys p a c ew i t hf i l t r a t i o n 五) o ：w h i c hi s a s s u m e dt ob er i g h t - c o n t i n u o u s ，a n d 矗e e n t a i n sa l lt h ep - n u l ls e t si n ，w e a s s u m et h a tao n e - d i m e n s i o n a lb r o w n i a nm o t i o nw = ( ) ：t o ) w i t hr e s p e c t t o 五 i sg i v e no nt h i sp r 0 1 ) 氆b i h t ys p a c e d e f i n i t i o n2 2 1 i m p u l s ec o n t r 0 1 as t o c h a s t i ci m p u l s ec o n t r o li sap a i r 秽：= ( r ，f ) = ( n ，f 1 ) ； 2 ，6 1 ； t ，矗) ；) ：( 2 2 1 ) w h e r ei n ，0 墨n 7 2 0i st h ed i s c o u n tf a c t o r ，k 0i sa s m a l le o n s t t t l l tw h i c h p r e s e n t st h e 在x e 【1 c o s t sf o re a c hi m p u l s ec o n t r o l ( e a c h d i v i d e n d ) p r o b l e m 2 ，2 1 o u ro b j e c t i v ei st oc h o o s en 孔o p t i m a fc o n t r o l 订= ( n t ，) n s u c h 砘疵 y 扛) = k ( z ) = s u p u 扣) ( 2 2 9 ) t 玎 i nt h e t e r m i n o l o g i c a ls p i r i to fo p e r a t i o n sr g s e a r c h ，w ec a l lt h ef u n c t i o nv g i v e n b y ( 2 2 9 ) t h eo p t i m a r e t u r nf u n c t i o n ( o p t i m a lo b j e c t i v ef u n c t i o n ) 聋3 a v e r i f i c a t i o nt h e o r e m i nt h i ss e c t i o nw e s t a t eau s e f u lv e r i f i c a t i o nt h e o r e mf o lo u r o p t i m a ls t o c h a s t i cc o n t r 0 1 p r o b l e m2 2 1 b e f o r eg i v i n gt h et h e o r e m ，w e d e f i n et h em a x i m u l a au t i l i t yo p e r a t o rm b y m y ( z ) ：= 孵m l 耳a ，x 。) 矿( 。一叶) + 可一k ：z t 7 f o o o ) ，n f 0 ，l j ( 23 1 ) m y ( z ) r e p r e s e n t s t h ev a l u eo fr t h ec o n t r o ls t r a t e g yt h a tc o n s i s t si nc h o o s i n gt h e b e s t i n t e r v e n t i o n ；a n dt h eo p e r a t o r dd e f i n e db y c 4 y o ) ：= ；矿2 p ” ) + ，m 矿( 。) ，( 2 3 2 ) 1 6 2 3 av e r i f i c a t i o nt h e o r e m w h e r e 矿”( z ) ：= ；f i 掣( r ) + l ! ( 。) j f o ra l l 3 t w i ( pc o n t i n u o u sd i f f c l t 、n t i a b l ep o i n tz t h ed e f i n i t i o no fv ”i z ) i m p l i e sv ”i x ) = v ”( j ) i e c 。、7 ( z ) = 妻矿n 2 i ，。( i r ) 十，o o 。( z ) t h e o r e m2 3 1 ( i ) s a p p o s et h e r ee 墒拈a 丘竹r n mt t h a ts a t i 蛳肪f ，v a r t a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ： t 。c 1 ( r + ) n c e ( r + ) ) 。7 i dif ! ( “) 0o nr 十；( 2 3 4 ) v i x ) 2m t ( z ) o nr + ；( 2 3 ，5 ) u ( 0 ) = 0 ；( 2 36 ) 岬m a x 。j ( ( 一) ”) ( 。) 5 o - ( 2 3 _ 7 ) 如ra l l z r + a n d 口l o 1 1 , a n d ( z ) = z + b( 2 3 8 ) 如re v e r yz 1 1 ，w h e r eba n d 乱 0d 他c o n s t a n t s t h e n ，y o ra l la d m i s s i b l ec o n t r o l s za n de v e r y2 r 。 ”( z ) v 忙) ( 2 3 9 ) ( i i ) l e tn 扛) b et h em a x i m i z e r 珂( ( c 。一r 弦) ( 妨，s u p p o s et h a t ，恤a d d i t i o n 幻偿舅剀一 弘只印，t h e r ee x i t sa f u n c t i o nn ( z ) 【0 ，l j s u c ht h a tt h em a x i m a lv a l u e0o ft h el e y t h a n ds i d eo li n e q u a l i t yf 2 3 7 ) i sa t t a i n e d t e 如ra l l z d ，w h e r e ；伊2 ( n 4 ( z ) ) 2 云”( z ) 十p n ( 上) ( 。) 一r 口( z ) = o ( 23 1 0 ) ，。ra l l z r + d ( i e z 让) d = ( 0 “) 口( 王) = m y ( x ) ( 2 ，3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) d e f i n et h e f o l l o w i n g 唧如rc o n t r o la ( t ) = 矿( x 4 i t ) ) a n di m p u l s ec o n t r o l 扩= 1 7 c h a p t e r2 i m p u l s e - r e g u l a rc o n t r o lp r o b l e m ( r 。f + ) = ( l ，) ： t 2 。f z 矗。= i n f t20 ：y ( t ) r 一d ) 1 f = a r g 咋m i k a ，x ，。) l ( 上( 7 l ) 一f j + 叶一k x ( i + ) 一砷l o r ) a n d i o re v e r yi 2 f 2 1 3 ) 。r ! ， 1 4 、 t = i n f t t lx 。( ) r 一d 、，兰2( 2 3l j ) f ，+ ：= a r g ，e m a x 一( x ( t ) 一) + 7 ，一k ：x + ( 丁i 。) 一叼【o ，。c ) ，2 ( 2j 1 6 ) w h e r et h es u p e r s c r i p tn o t a t i o nx 聊p ，r s c n 如i t sr e l a t i o nt oc o n t r o l 霄= m f ，。 t h e n ”( _ ) = v ( f ) = k ( 茹) ( 23 1 7 ) a n dt h eo p t i m a ls t o c h a s t wc o n t r o l ”i = ( a 伊) r e m a r k 2 3 1 ( i ) s i n c ex r e p t e s e n t si t sr e l a t i o nt oc o n t r o lf = 扣d ) c h e n t h eo p t i m a l r e g u l a rc o n t r o ln i so m i t t e di n ( 2 3 ，1 4 ) a n d ( 2 3 z 6 ) ( i i ) t h e o r e m2 3 1 s t a t e sas e to fs u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tt i l e o p t i m a ll - e lu r n f u n c t i o ns a t i s f i e s t h u s jn e x tw o r kw ew i l ld oi st of i n daf u n c t i o nt h a tm e e t sa l lt h e c o n d i t i o n so fn e o r e n l2 3 1 + j ，噼j i x i n g ac o n t r o l s t r a t e g y7 r n ，f o ra n ya r b i t r a r y i n i t i a ls t a t e o 0 c h o o s i n g ( 0 ，u 2 ) a n dm 3 u 2 ，l e t t i n g r 8 忙) = i n f t20 ：x ( t ) 兰e ) 7 m = i n f t 0 ：x ( o m t = t x ( e ) at m ( 23 1 8 ) ，2 3 1 0 ) ( 23 2 0 ) f o rv t 0 ，( 2 3 1 8 ) 一( 2 3 2 0 ) s h o wx ( s ) 忙a z ，m v 叫f o r 3 【0 ，tat a 】 f o r en ，w e c o n s t r u c t8 s e q u e n c eo ff u n c t i o nd e n o t e db y 蟛( z ) ) a sf o l l o w s 哆c z ，= ：芝f 葛) + ! 坐学( z n + 茜) o b v i o u s l y , 哆( 。) e 俨( r + ) ，a n dl i m ”? 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