（控制理论与控制工程专业论文）多变量预测控制及神经网络控制若干问题研究.pdf

摘 要摘 要 预测控制是控制理论中充满活力的部分，近些年来，它与神经网络技术的结合，更使其焕发出新的青春。本文在充分吸收前人研究成果的基础上，做了以下几个方面的工作: 通过改进预测控制器的日标函数，将广义预测控制器扩展为具有比例积分结构的广义预测控制器 ( p i g p c ) ;并对算法进行了化简，降低了计算量;进一步在预测步限后面更远一段进行预测值的等式约束，推导了具有比例积分结构的有约束后移步限控制器; 仿真研究表明这两种控制器对多变量系统控制具有良 好的动态性能。 变尺度方法是求解无约束极值问题的一种有效方法，它既避免了计算二阶导数矩阵及其求逆过程，又比梯度法的收敛速度快，本文将它应用于神经网络的权值学习，提出了变尺度二阶快速神经网络辨识算法，通过与 b p算法的仿真比较.表明该算法收敛速度快。逼近精度高。 将神经网络与广义预测控制相结合，根据泰勒遥近原理，提出了基于前馈神经网络的泰勒逼近预测自 适应控制器， 仿真验证了该控制器对非线性控制的有效性。 将控制理论成果应用于生活生产实践是控制理论发展的最终目标。本文最后介绍了一个自 动化控制系统设计的实例，它充分利用最新的计算机硬、软件技术，使工业控制系统变得更加方便、实用。关键词:自 适应控制，预测控制，神经网络，非线性控制，多变量控制 p i 控制，变尺度，泰勒展开摘 要abs tractp r e d i c t i v e c o n t r o l i s a p a r t f u l l o f e n e r g y i n c o n t r o l t h e o ry. i n r e c e n t y e a r s ,wi t h t h e c o mb i n a t i o n o f n e u r a l n e t wo r ka n d p r e d i c t i v eo f t h e p r e v i o u sc o n t r o l , i t h a s b e e n i nn e w b l o o m . c o n s i d e r i n g t h e a c h i e v e me n tr e s e a r c h a s f o l l o ws :r e s e a r c h e r s , we ma d e b y m o d i f y i n g t h e c o s t f u n c t i o n o f p r e d ic t i v e c o n t r o l , w e e x t e n d t h eg e n e r a l i z e d p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r t o n e w t y p e o f g e n e r a l i z e d p r e d i c t i v e c o n t r o l l e rw i t h p r o p o r t i o n - i n t e g r a t i o n s t r u c t u r e ( p i g p c ) ; t h e n s i m p l if y t h e a l g o r i t h m , l o wt h e a m o u n t . o f c o m p u t i n g ; f u r t h e r m o r e , a d d i n g a e q u a t i o n c o n s t r a i n t o fp r e d i c t iv e v a l u e i n f a r t h e r s e c t i o n a f t e r p r e d i c t i v e h o r i z o n , a c o n s t r a i n e dr e c e d i n g h o r i z o n p r e d i c t iv e c o n t r o l l e r w i t h p r o p o r t i o n - i n t e g r a t io n s t r u c t u r e i sg iv e n . s i m u l a t i o n r e s e a r c h v e r i f i e s t h a t t h e t w o c o n t r o l l e r s h a v e b e t t e r t r a n s i e n tp e r f o r m a n c e . v a r i a b l e m e t r i c a l g o r i t h m i s a n e f f i c i e n t a l g o r i t h m f o r r e s o l v i n g n o -c o n s t r a i n t e x t r e m u m p r o b l e m . i t d o e s n t n e e d t o c o m p u t e s e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a l m a t r i x a n d i n v e r s e m a t r i x , a n d c o n v e r g e s f a s t e r t h a n g r a d i e n ta l g o r i t h m . i n t h i s p a p e r , w e a p p l y i t i n w e i g h t s t u d y i n g o f n e u r a l n e t w o r k s ( n n ) ,a n d p r e s e n t v a r i a b l e m e t r i c f a s t s e c o n d o r d e r l e a r n i n g a l g o r i t h m i n t h e n e u r a ln e t w o r k s i d e n t i f i c a t i o n . t h r o u g h c o m p a r i s o n t o b p ( b a c k p r o p a g a t i o n )a l g o r i t h m , i t i s s h o w e d t h a t t h e n e w a l g o r i t h m h a s f a s t e r c o n v e r g e n c e s p e e d a n dc o n v e r g e n c e p r e c i s i o n . c o m b i n i n g n e u r a l n e t w o r k s a n d g e n e r a l i z e d p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r , b a s e do n t a y l o r e x p a n s i o n e q u a t i o n , w e g e t t h e t a y l o r a p p r o x i m a t i n g p r e d i c t i v ea d a p t iv e c o n t r o l l e r b a s e o n f e e d f o r w o r d n e u r a l n e t w o r k s . t h e v a l i d i t y o f t h ec o n t r o l l e r o n n o n l i n e a r s y s t e m i s p r o v e d . a p p l y i n g c o n t r o l t h e o ry i n t o l i f e a n d p r o d u c t i o n is t h e f i n a l t a r g e t o f1 1摘 要d e v e l o p i n ga u t o ma t i cc o n t r o l t h e o r y . f i n a l l y , w e i n t r o d u c e a nc o n t r o l . i t u t i l i z e s t h e l a t e s t h a r d wa r e a n de x a mp l e o f i n d u s t r i a ls o f t w a r e o f c o mp u t e r ,m a k i n g i n d u s t r i a l c o n t r o l s y s t e m c o n v e n i e n t a n d e f f i c i e n t .k e y w o r d s : a d a p t i v e c o n t r o l , p r e d i c t i v e c o n t r o l , n e u r a l n e t w o r k s , n o n l in e a rc o n t r o l , m u l t i v a r i a b l e c o n t r o l , p i c o n t r o l , v a r i a b l e m e t r i c , t a y l o r e x p a n s i o nm第一章 绪论第一章 绪论 1 . t 预测控制; 1 . 1 . 1 预测控制的产生 预测控制是 7 0年代后期产生的一类新型计算机控制算法。它的问世，一方而受到了计算机技术发展的推动，另一方而也来自复杂工业实践向高层优化控制提出的挑战.t o多年来，随着它处理复杂系统控制的策略思想日益为人们所认识，以及它在工业实践中的大量成功应用，这一控制技术的生命力及诱人的应用前景己引起了控制理论界和工业控制界的广泛兴趣。 预测控制的产生，并不是理论发展的需要，而首先是工业实践向控制提出的挑战。众所周知，6 0年代初形成的现代控制理论，在航天、航空等领域都取得了辉煌的成果。利用状态空间法分析和设计系统，提高了人们对被控对象的洞察能力，提供了在更高层次上设计控制系统的手段。特别是，立足于最优性能指标的设计理论和方法己 趋成熟， 这对于在工业过程中 追求更高控制质量和经济效益的控制工程师来说， 无疑具有极大的吸引力。 然而， 人们不久发现，在完美的理论与控制实践之间还存在着巨大的鸿沟。这主要表现在以下几个方面: ( 1 )现代控制理论的基点是对象精确的数学模型，而在工业过程中所涉及的对象往往是多输入、 多输出的高维复杂系统， 其数学模型很难精确建立，即使建立了模型，从工程实用的角度来说， 往往需要简化，从而很难保证得到对象精确的模型。 ( 2 )工业对象的结构、参数和环境都具有很大的不确定性。由于这些不确定性的存在，按照理想模型得到的最优控制在实际上往往不能保持最优，有时甚至会引起控制品质的严重下降。在工业环境中，人们更关注的是控制系统在不确定性影响下保持良好性能的能力，即所谓鲁棒性，而不能只是追求理想的最优性。 ( 3 )工业控制中必须考虑到控制手段的经济性，对工业控制计算机的第一章 绪论要求不能太高。因此，控制算法必须简易以满足实时性的要求。而现代控制理论的许多算法往往过于复杂，难以用低性能的计算机实现。 这些来白实际的原因，阻碍了现代控制理论在复杂工业过程中的有效应用，也向控制理论提出了新的挑战。 为了克服理论与应用之间的不协调，7 0年代以来，除了加强对系统辨识、模型简化、自 适应控制、 鲁棒控制等的研究外， 人们开始打破传统方法的约束，试图而对工业过程的特点，寻 一 找各种对模型要求低、 控制综合质量好、在线计算方便的优化控制新算法。在此期间，数字计算机技术的飞速发展，也为新算法的产生提供了物质基础。预测控制就是在这种背景下发展起来的一类新型计算机优化控制算法。 最早提出的典型预测控制算法有 r i c h a l e t , m e h r a等提出的建立在脉冲响应基础上的模型预测启发控制 ( m p h c )和模型算法控制 ( m a c ) ，以及 c u t l e r等提出的建立在阶跃响应基础上的动态矩阵控制 ( d m c ) 。被控对象的脉冲响应或阶跃响应一般称为非参数模型。这两类响应易于从生产现场检测到，且不需要事先知道过程模型的结构和参数等先验知识，也不必通过使用复杂的系统辨识技术便可设计控制系统。这些预测控制算法汲取了现代控制理论中的优化思想，但用不断的在线有限优化，即所谓的滚动优化取代了传统的优化控制。由于在优化过程中利用测量信息不断进行反馈校正，所以这在一定程度上克服了不确定性的影响，增强了控制的鲁棒性，此外，这些控制算法的在线计算比较简单。这些特点使它们更适合于工业过程控制实际要求，因此在石油、化工等领域取得了成功的应用。 除了上述基于脉冲响应或阶跃响应的非参数模型用于预测控制算法外，还出现了另一类基于离散时间参数模型的预测控制算法。8 0年代初期，人们在自 适应控制的研究中发现，为了增加自 适应控制系统的鲁棒性，有必要在广义最小方差控制的基础上，级取预测控制中的多步预测优化策略，提高自 适应控制系统的实用性，因此出现了基于辨识被控过程参数模型且带有自 适应机制的预测控制算法，其中最具代表性的就是 c l a r k e等人提出的广义预测控制 ( g e n e r a l i z e d p r e d i c t i v e c o n t r o l , 简称g p o. 基于参数模型的预测控制算法仍然保留了 基于非参数模型的m a c 和 d m c 等预测控制算法的基本特征，不过这里的被控对象模型采用的是受控自回归积分滑动平均模型 c a r 工 琳)或受控自回归滑动平均模型 以r n 认 ) 。由于参数模型是最小化模型，需要己知模型结构，但模型参数远比非参数模型要少，减少了预测控制算法的计算量。为了 克服模型参数失配对输出预测误差的影响，在基第一童 绪论于参数模型的预测控制算法中，引进了自 适应控制的在线递推算法估计模型参数，并用估计的参数取代原模型参数，从而可进行预测控制算法的计算。由于将自 适应控制与预测控制相结合，因而由于过程参数慢时变所引起预测模型输出 误差得以及时的修正，从而改善系统的动态性能，同m a c 和d m c 预测控制算法一样.广义预测控制也在工业过程控制中获得了许多成功的应用，从而引起工业控制界广泛的兴趣 1 . 1 . 2 预测控制的基本原理 就一般的意义来说，预测控制不论其算法形式如何不同，都应建立在下述三项基本原理基础上。 ( 1 )预测模型。预测控制是一种基于模型的控制算法，这一模型称为预测模型。预测模型的功能是根据对象的历史信息和未来输入预测其未来输出。这里只强调模型的功能而不强调其结构形式。因此，状态方程、传递函数这类传统的模型都可作为预测模型。对于线性稳定对象，甚至阶跃响应、脉冲响应这类非参数模型也可直接作为预测模型使用。此外，非线性系统、分布参数系统的模型，只要具备上述功能，也可在对这类系统进行预测控制时作为预测模型使用。 预测模型具有展示系统未来动态行为的功能，这样，我们就可像在系统仿真时那样.任意地给出未来的控制策略.观察对象在不同控制策略下的输出变化，从而为比较这些控制策略的优劣提供基础。 ( 2 )滚动优化。预测控制是一种优化控制算法，它是通过某一性能指标的最优来确定未来的控制作用。 这一性能指标涉及到系统未来的行为。 例如，通常可取被控对象输出在未来的采样点上跟踪某一期望轨迹的方差为最小，但也可取更广泛的形式， 例如要求控制能量为最小而同时保持输出在某一给定范围内等等。性能指标中涉及到的系统未来的行为，是根据预测模型由未来的控制策略决定的。 然而，需要强调的是，预测控制中的优化与传统意义下的离散最优控制有很大的差别，这主要表现在预测控制中的优化是一种有限时段的滚动优化。在每一采样时刻， 优化性能指标只涉及到从该时刻起未来有限的时间，而到下一采样时刻， 这一优化时段同时向前推移。因此，预测控制不是用一个对全局相同的优化性能指标，而是在每一时刻有一个相对于该时刻的优化性能指标。不同时刻优化性能指标的相对形式是相同的。因此。在预测控制中，优化不是一第一章 绪论次离线进行，而是反复在线进行，这就是滚动优化的含义，也是预测控制区别于传统最优控制的根本点。 ( 3 ) 反馈校正。预测控制是一种闭环控制算法，在通过优化确定了一系列未来的控制作用后，为了 防止模型失配或环境干扰引起控制对理想状态的偏离， 它通常不是把这些控制作用逐一全部实施。 而只是实现本时刻的控制作用。到下一采样时刻，则首先检测对象的实际输出，并利用这一实时信息对基于模型的预测进行修正，然后再进行新的优化。 反馈校正的形式是多样的，可以在保持预测模型不变的基础上，对未来的误差作出预测并加以补偿，也可以根据在线辨识的原理直接修改预测模型。不论取何种校正形式，预测控制都把优化建立在系统实际的基础上，并力图在优化时对系统未来的动态行为作出较准确的预测。因此，预测控制中优化不仅基于模型，而且利用了反馈的信息，因而构成了闭环优化。 综上所述可以 看到。作为一种新型计算机控制算法，预测控制是有其鲜明特征的，是一种基于模型、滚动实施并结合反馈校正的优化控制算法。预测控制汲取了优化控制的思想，但利用滚动的 有限时段优化取代了一成不变的全局优化。这虽然在理想情况下不能导致全局最优，但由于实际上不可避免地存在模型误差和环境干扰，这种建立在实际反馈信息基础上的反复优化，能不断顾及不确定性的影响，并及时加以校正，反而要比只依靠模型的一次优化更能适应实际过程，有更强的鲁棒性。所以，预测控制是针对传统最优控制在工业过程中的不适用性而进行修正的一种新型优化控制算法. 1 . 1 . 3 预测控制的展望 ( 1 ) 智能预测控制。工业生产优化控制的需要，是预测控制产生的直接动因，也始终是它发展的强大动力。面对用传统的模型和优化方法难以描述与处理的大量不确定性，工业界己 提出要进一步解决不确定性的描述、不确定环境下的优化、多目 标优化、专家系统、高速计算等而向实际的问题。预测控制面临这一挑战，需要从人工智能、控制理论等多方面汲取有价值的思想，向智能化的方向发展。预测控制与智能控制的结合，不是抛弃原有的预测控制算法，而是在有不确定性、多目 标要求等复杂情况下 对现有算法的补充和发展。预测控制的智能化，在结构上表现为控制的递阶分层，在算法上表现为非常规的模型预测和优化。而预测控制的一般方 一 法原理。正为这种智能化发展提供了 可能性。由此可见，预测控制向智能化的发展，将形成多层智能预测控制的模式，第一章 绪论是预测控制的一个重要发展方向。 ( 2 ) 理论 研究。 在目 前预测控制的文献中， 理论分析大多 集中于单变量的基础算法，成功应用的报导却大多是复杂的多变量系统。这种矛盾反映了预测控制的理论研究落后 r 实际应用。而智能预测控制的发展，必将给理论分析 i作提出更多新的要求。 1 . 2 神经网络控制 1 . 2 . 1 神经网络简介 神经元网络技术是和控制论同时发展起来的，几乎是在 wi e n e r创立控制论 ( c y b e r n a t i c )的同时， 其合作者 p i t t s ， 与 mc c u l l o c h一起发表了 著名的神经元模型 ( mc c u l l o c h - p i t t s mo d e l ) ，成为人工神经元网络研究的开端。另外与上述两种学科同时诞生的是现今深入影响人类社会生产、生活各方面的电子数字计算机技术。 这三门学科在到目前为止五十年左右的发展历程中，一直是相互影响着的。 众所周知，从神经元网络技术的发展历史来看，该领域的研究者一般将其划分成三个过程。从初创期的活跃研究，以发表了各种神经元及网络模型，和h e b b 学习规则及d e l t a 修正算法等基本结果为代表，莫定了该学科的基础，至 ( 单层) 感知机模型 ( r o s e n b l a t t 的 p e r c e p t r o n )的提出，标志着这一阶段的顶峰。 而 有关学者 ( m i n s 卿 和 p a p e r t ) 对于单层感知 机模型的深入 研究并 指出 其非线性划分上的 局限性之后， 该领域的 研究进入一个低谷阶段。 而后在 i i:年代h o p f i e l d网 络在优化计算和联想记忆等方面的 成功:以 及r u r m e l h a r t 等人提出的多层感知机和 b p权值学习算法，解决了 非线性划分问题并能赋予多层前馈网络以极强的学习和表示能力，这些卓越的研究成果使神经元网络的理论和应用研究进入一个高潮，并一直延续至今。 神经元网络研究的初始动机应该是对于生物体智能的探索，运用仿生学的观点，充分结合神经生理学的研究成果， 对生物体神经系统的 机能作可行的功能化模型假设，并以此指导可能的工程化学习机器的实现。 简 单地说， 人 工神 经元网 络 ( a r t ifi c i a l n e u r a l n e t w o r k s ) 是由 一组简单的信息处理单元 ( 神经元)以一定方式连接构成的动态系统。它以天然并行的方式处理数据，具有自适应、自学习、自 组织能力，信息分布储存在网络的各第一章 绪论个单元中，具有较强的容错性和鲁棒性。这些特点无不与人脑紧密相关，因而人们希望通过对 a n n的研究来进一步认识大脑的本质。同时，利用脑科学、神经科学、生理学、心理学等学科的最新成果，来不断加强 a n n模型的功能和效率。个基本的 a n n山神经元、网络拓扑结构、学习规则二部分构成。神经元相当于一个信息传递函数。线性的和非线性的，复杂各异。网络结构包括隐含单元数目、 层数和连接方式。 单层和多层， 部分连接和全连接， 前馈 ( 静态)和反馈 ( 动态) ，变化多样。学习规则决定着网络连接权重修正和进化方 -式。无监督、激励和监督学习，h e b b调节和纠错学习，竞争式和被动式学习，确定式和随机式学习，随具体任务而不同。到目前为止，人们己经提出了几十种有影响的模型，它们从不同层次和侧面体现了人类处理信息的特点。 与传统计算机一样，存储能力和计算能力也构成了a n n的两个基本问 题。a n n从本质上将信息的存储和处理完美的结合在一起，解决了传统计算机中存储器到处理器数据传递通道的瓶颈问题。 神经网络的应用范围与它本身的能力密切相关。大规模数据处理，复杂的优化计算，杂乱的知识提取， 纷繁的市场分析与预测等领域，都是神经网络的用武之地。目前，a n n 在图象处理、信号处理、自动控制、股票预测、运输通信、决策支持系统等领域己获得成功的应用，并不断深入。在其它领域如航天与 航空、 医用诊断系统、 娱乐、 零售分析、 信用分析等领域的应用正在展开。总之，人工神经网络正逐渐渗透到各个领域，改变和影响着人们的生活方式。 1 . 2 . 2 字 电 经网络在控制中的应用 神经元网络在控制中应用的主要方面是系统辨识和参数估计、以 及各种类型控制器的构造。 神经元网络的非线性逼近能力使其在非线性系统辨识领域大有作为。而在这方面，主要应用的是所谓 “ 基函 数”网络，如径向 基网络、b p网络、正交函数网络、样条函数网络和小波网络等。 由于神经元网络在智能行为模拟能力上的优势，使得神经元网 络在控制科学中的应用丰富了控制器的设计思想。这其中产生的基于神经网络的控制器典型结构有神经网络逆模型控制、神经网络自 校正控制、神经网络模型参考自 适应控制、 神经网络内 模控制、神经网络预测控制、神经网络学习控制等. 虽然目 前神经元网络控制中仍存在很多问题， 诸如神经网络的类型、 大小、权值学习、闭环系统稳定性分析以及鲁棒性等问题， 但是神经网络毕竟为解决第一章 绪论复杂非线性系统的自 适应控制问题提供了一种解决办法。相信它的发展必将使控制理论提升到一个新高度。 1 . 3 本文的研究意图 工业过程通常是有祸合的多变量系统，因而产生于过程控制的预测控制从开始就被推广到多变量。p i d算法对多变量控制常常无能为力，因而正好要预测控制去弥补。多变量、多目 标、多约束构成了预测控制中的重要内容。 智能控制是多学科的交叉，智能控制系统具有模拟人类学习和自 适应的能力。有关智能控制的研究方向包括模糊控制、神经网络、小波分析和遗传算法等。神经网络具有很好的逼近能力和泛化能力，可以应用于复杂和非线性控制与辨识， 而且能做到并行实时和冗余容错。 而工业过程又有许多非线性的情况，这就使得神经网络在控制科学中大有可为。 本文旨 在多 变量预测控制、 神经网络辨识与控制方面做一些工作. 1 . 4 本文的结构安排本文的工作分五章阐述。第一章是绪论，主要阐述了预测控制与神经网络控制的发展过程及研究现状，并对其发展前景作了探讨。第二章建立了具有比例积分结构的广义预测控制器 ( p i g p c )和有约束后移步限控制器，给出了p i g p c的简化算法。第三章提出了一种神经网络辨识算法，并将神经网 络与预测控制相结合，提出了基于前馈神经网络的泰勒逼近预测自 适应控制器。第四 章介 绍了 一 个自 动化 控制系 统 设计的 实 例， 该系 统融 合了 预 测控制、专家系统和计算机技术等的成果，说明控制科学在工业控制中发挥的作用。最后一章总结全文，并指出需要解决的一些问题。后面列出了本文用到的部分参考文献。第二章 多 变量预测控制第二章 多变量预测控制 2飞 引言实际工业过程往往会产生如下几类系统:( i )非最小相位系统。( 2 )开环不稳定或具有劣阻尼极点的系统。( 3 )( 4少系统的时延未知或是时变的系统的阶次未知或是时变的 最小方差控制、广义最小方差控制、极点控制等都不能同时适应具有如上 特性的系统。 7 0年代， r i c h a l e t 等人首先提出t 大范围预测 ( l a r g e r a n g ep r e d i c t io n ) 的 概念， 并 给出了 控制 算法以 及在工 业生 产上 的 应用实 例。 但他所用的模型是基于滑动平均形式的， 模型的阶次需充分高。虽控制稳定， 但适应品 质不够理想。八十年代，c l a r k e 等人将大范围预测概念与广义最小方差控制相结合提出了广义预测控制器 ( g p c ) .采用多步向前预测手段以取代在l ,义最小方差控制算法中一步向前预测的手段，使得该控制器具有较强的适应能力，对上述四种特性的系统都具有较好的可控制的优良 性能。 在目 前的工业现场中，使用较多的仍是 p i d控制器及基于 p m 的自适应控制器。这不仅在于它们简单可靠，而且因为它们具有良 好的反馈控制结构，即“ 比 例十 积分十 微分”结构，因 此鲁棒性强。 针对许多工业过程是猫合的多变量系统，单回路 p i d调节器难以取得很好的效果的情况， 本章结合p i 控制与g p c的长处， 即把p i 的反馈结构与g p c的预测功能相结合。提出了多变量 p i型广义预测控制器和有约束多变量后移步限p i 型广义预测控制器，并做了 仿真研究。 2 . 2多变量p 3 型广义预测控制器 ( m p i g p c ) 2 . 2 . 1问 题的描述假设系统基于如下的离散时间模型:a ( q - ) y ( t ) = b ( q， ) ， 心一 1 )b ( q - 卜风十 g . q + . 二凡q - nb( 2 . 1 )其中 :a ( q - ) = i 十 a ,q - + . . .+ a ,. qa ， ， 尽 都 为 m x n ， 方 阵 ， i 为m阶 单 位 阵 v ( t ) 二 v , ( t )v _ ( t f为系 统 输 出 量 ， u ( t ) = 卜 1 ( t )u ， ( f ) it 为 系 统 控 制 量 ， 。 一 ， 为 后 移 算 子 。第二 _ 章 多 变量预测控制在本文中，我戒 门 基于如下的目标函数:1 二 e ll.v ( t + j ) 一 、 ( t + i ) iir + e ll o v 0 + i ) 一 w ( t + j ) ii( + 到其 中 : “ 一 !r , 0 ， r,0 k 一艺 il t,u (t + ， 一 ，)1i1, (2 .2 )。 = 沁 “ 一 0 u m q , ? 0 ， 入 t 十 1 ) 是在 假设 4u(1十 k ) 二0 ， 时 对a t + 1 ) 的 预 测 值， w ( t + ， ) = w , ( + ， ) w 2 ( + .i )下动态方程产生:k ni t( 2 . 3 )w ( t + .i ) t 为 设 定 值 的 柔 化 序 #lj ， 由 如w ( 1 ) = y ( 1 )w ( t +j ) = a w ( t +1 一 1 ) + ( 1 一 a ) y . ( 1 ) , / “1 , . . . , n( 2 . 4 )lj、!这 里 。 、 。 1 , 妙( t + 1 ) = 夕 ( t + i ) 一 y ( t ) 4 b j = a , 一 o ; / 1 , o 9 ,将 2 .2 )式写成向量形式: .1 = 11 y 一 w ii= e , 一 e . , 0 . = o 。r二o 食 + 11y 一 画乡 + ill f ll;( z . i o )其中:a w ( t + 1 )leseseses!wewe|1w ( 1 + 1 )w ( t +n)a w ( t +n)厂lesesesesesesesesesl 一- 阿r 二 d i a g ( r 川d ia g ( q ) 一 q )、一 一 一 、一- j n不，、 一 一 曰一j n个将 ( 2 . 8 ) 式与 ( 2 . 9 ) 式代入 ( 2 . 1 0 ) 式， 并 令d l / c 7 l = 0 ， 得: u = ( g r g + u 口 g十 i ) 一 ， g r ( w一 。 q) ( t ) 十 c i r 口 ( w一 o ( t ) ) ( 2 . 1 1 ) 2 . 2 . 3控制律化简为了便于实现，我们对控制律进行化简。令! 卜第二章 多 变量预测控制 扣les.1.ee.es九。0r.一1 - t士几-in则 g =s g.将 ( 2 . 1 2 )式代入 ( 2 . 1 1 ) . 1 1 = ( ( i t其中:w =s w 得:mg+1 )厅( t ) .0 巾 ( t ) = s o 中 ( 1 ) 一珍( t )( 2 . 1 2 )， g t m( w一 o ( d ( t ) )( 2 . 1 3 )刃lesesl.，.月esesesesesr 十 2 q - q- qm =万+ s t osr + 2 q r + 2 q - q( 2 . 1 4 )- q r+ q产1一leeleseeeeesl -一由 ( 2 . 1 3 )式得到u 后， 取出 14 ( f ) ， 则:u ( t ) =a u ( t ) + u ( 1 一 1 )( 2 . 1 5 )这 样 就 得 到 了 控 制 信 号 u ( t ) 二 . , ( i ) . . ( o f o; 2 . 2 . 4仿真研究为了证明上文提出的 m p i g p c的有效性，我们分别对两个不同的模型进行了仿真研究。例 1不稳定系统 口，!j其中a , =a ,y ( k 一 1 ) + b ,u ( k 一 2 )经调试，n = 8取人 喃 =5仿真结果如图a . 1 和图2 . 2 ， 。 = i 1 00 5一 。 75 .第二章 多变量预测控制图2 . 1 输出 y和 输 入7l ,图2 .2输出夕 2 和输入u 2例2 工业电 加热炉的 模型为 y ( k ) + a , y ( k 一 1 ) + a z y ( k 一 2 ) = b o u ( k 一 1 ) + b , u ( k 一 2 )其中 : y ( k ) 和y , ( k ) 表示电 加热 炉底 部和 顶部 的 温 度，u , ( k ) 和。 2 ( k ) 是 对 应的加热电流，并且干. - ，山 a .门leslllj- 0 .7 3 1 9 0 0一1 04 61- 0 . 2 5 1 8 0 0005 8 70 . 0 3 5 7 0 .0 0 5-0 . 0 0 9 6 0 . 0 3 70 . 0 5 0 800 0 010 . 0 0 6 90 .0 2 2 8 - b妇川盈划广lesesesl胜尸leseslll 一-一- 1c ab经过调试， 取 f 2 5八= 8 ，nu = 2 ， 汉 二 0) ， 口 = ， 。 0 一 l 0 l o ba 二0 . 8 2仿真结果如图2 . 3 和图2 . 4 所示。第二章 多变量预测控制8 0 .5 180-卜 二ij，一-. 盛-盛i 4 1，8 1 1 2 1 工k 8 172 1o f 1 i 0口，j . j一上 - 日 曰 匕 占 j- 一4 1 k 8 1 1 2 1图2 .3 输出 y . 和 输 入u ,图2 .4 输出 y z 和输入14 2 2 . 3简化的多变量p i 型广义预测控制器 在上一节，计算 u的公式被化简了，但是矩阵丢番图方程组是很大的计算负担。本节设法避免求解它们，从而可极大的降低计算量，在n取值较大时效果尤为显著。命 题2 . 1 : 对于 ( 2 .8 ) 式所定义的预 测， 满足 下面的恒等式 a 1 y + a 2 y 二 b 1 u + b 2 夕(2 .1 6 )其中:门lesesesteerellj厂.llt己.l - 一了厂 护趁llweles.1|习y ( t )a u ( t 一 1 )al 一 ， t a )a u ( t 一 n h )尸!.一 一一 j丫第二章 多变量预测控制-a一a味 一月厂leswelesl.!，l一一a 1 二二 一 a ,一“”“a 2a ,a ,a 一2 n- 2 ( - . 1 ) 心 2 队 刀 2门|十十，ij 西 乃方从二瓦从一2、2、，b . ,广lesll 工 2 b拭尽戈尽风尽b n _ ,b n - 2= 双 ，1夏尸1.ijee.111111.1j - 司. b其中b yn b ; b= 0 ，r n h 。证明:由 ( 2 . 1 ) 式可得 汤( t 十 ) = b a u ( t + + 1 ) ，.1 = 1 , . - - , n ( 2 . 1 7 ) 将( 2 . 1 7 ) 与( 2 . 3 ) 得 夕 ( k + / ) = y ( k + 力，.l = 1 , . . . , a f ( 2 . 1 8 ) 联立( 2 . 3 ) , ( 2 . 1 7 ) 与( 2 . 1 8 ) ，即得命题1 的结论。命题 2 . 2 : 考虑系统( 2 . 1 ) 及目 标函数( 2 . 2 ) ，如果n ? m a x ( n a 十 l , n 6 ) 成立，那么计算出来的控制序列由下式给出。u=( b 1了 l。 1 + ， )一 b 1t l 1w + a 2 )7 一 b 2 u ,( 2 . 1 9 )其中证明:l = am a 1 - ( 2 . 2 0 )由( 2 . 1 6 ) 式可得y = a 1 - 1b 1u 一 a i a 2 13 + a 1- (b 2 (7( 2 . 2 1 )将( 2 . 2 1 ) 式与( 2 . 8 ) 式比较得 g 二 1 一 、 b 1。 ， (， ! a ，一b 2 i/ 一 a 2 y 一( 2 . 2 2 )( 2 . 2 3 )将( 2 . 2 2 ) 与 ( 2 . 2 3 ) 式 代入( 2 . 1 3 ) 式即 可完成命题2 . 2 的证明。由 (2 . 1 9 ) 与 ( 2 .2 0 ) 可 知 ， 欲 求u 需 求 a l 一 ， 以 替 代 求 解 矩 阵 丢 番 图 方 程 组 ，因 为 a ， 是 对 角 线 为 i 的 下 三 角t o e p l itz 方 块 阵 ， 其 逆 矩 阵 有 特 殊 求 法 。第二章 多 变量预测控制设十jeswewewe，wees|1 x x从x.汽i =1 ，一 ，n a+1一 y,不 x,- ，1 =n a +2 ，一，n一1一一-一-一弋戈戈该运算量为(o ff - ( n a + 1 ) ) 次乘法o ( n 2 . n a ) ， 所以 计算量被降 下来了。算量很可观了。，而求解矩阵丢番图方程的运算量为因为预测控制常常取较大的 n，所以计 2 . 4 多变量 p i 型有约束后移步限预测控制器 2 . 4 . 1问题的描述本节同 样采用如下的m i mo模型: a ( q - ) y ( i ) 二 b ( q - ) u ( t 一 1 )( 2 . 2 4 )其中:a ( q - ) = 1 + a l宁 一 ， + + a 。 宁 一 即 ，b ( q - ) 二 k + b , ? 一 ， + + 凡q - n 6， ( ， ) 二 f y , ( t) y z ( 1 ) . . y ry ( t ) l r 为 系 统 输 出 量 ， u ( t ) = u ( 1 ) u , ( 1 ) . . . u n ( t ) , r为 系 统 控 制 量， 9 一 ， 为 后 移 算 子。这里 ;a b . 都为n 阶 方阵，i 为n 阶 单 位阵，在本文中，我们基于如下的目 标函数:了 二 全 i iy (t + 1 ) 一 、 + a l + 全 i i醉 (， + ， ) 一 w (t + i ) ii乙 十 登 i i o u (t + ， 一 1)iil,且满足a u ( t + k ) =q ， k n u夕 ( t + n + i ) = w ( 1 + n ) ，i =1 , . . - , m，m 。 ， q = d ia g ( c) , q z o ) ， q ; _ 。 ，w ( t + ， ) 一 卜( ， + i ) w , ( t + ， ) 二 、 。 ( + i ) r 为 设定 值的柔化序列，由如下第二 _ 章 多变量预测控制动态程产生:w ( t ) = y ( / )w ( l +/ ) =a w ( t +/ 一 1 ) + ( i 一 a ) y , ( 1 ) , ./ =i ， 一， n( 2 . 2 8 )r，1.、1这 里 。 _ a ,d il t (t) d u t (t + n u 一 ，)it( 2 . 3 2 )其 中 : y = 沙 t (t + 1) . y t (t + n )t ，( 1 二_ 1 6 -第二章 多变量预测控制.11!esesjee;wewe|eejg“任1g“0( ; ( n - ) 二( 岁 ( n - n u )同理可得 ( 2 . 3 3 )式和 2 , 3 4 )式:y=g( i + ) (d ( t )( 2 . 3 3 )其 中 ; y = 4 y 7 (t + 1) d y i (t + 2 ) . d y t (t + n )lt , o = 4 0 ,7 4 0 2 7 . a o n t t11|lesweesweesweesesee|jg( o )一( t . ( 0 )0 g 0 )gn ) 一 g ( 0 )2 ) ( t ( - n u 一( ; ( nnu - q-，.-(;(n这里: 妙( t + 1 ) 4 0 ， 二 0 ,= 入t 十 .月 一 入t + ,t 一 ! ) , .1 1 ,好( t + 1 ) 0 . 二 ! 0=al + 1 ) 一y ( t )氏 一 ! , j 1 ，t1 0 , 二 0 , 一 0 . , y=g ( 1 + o o ( t ) 0 i 0 l( 2 . 3 4 )其中:y 一 !d y t (t + 、 + ，) d y t (t + n + 2 ) d y t (t + n * m )tn + m ) 脚 稍叫一ijg( n )( f ( n + i ) ( n 一 ( )g ( n - n n + ! )g( n - n . , 2 )leseseeee|日 1白 +十 nn，夕口约束条件l o , . .( 2 . 2 7 )u ( n * m - i ) g ( n + m - 2 )( ; ( n - n . )可改写为y二w( 2 . 3 5 )或g u+ ) ( r ) =w( 2 . 3 6 )t气lesesesesesesj其中目标函数w t ( i + n )二 w t ( i + n )、 一-一一 - - - 、 尸 一 - 一 一 附个)式写成向量形式: i = 11 y 一 w iir + iiy -w ii杏 + 1之 1 11( 2 .3 7 )+ iii , ii;其中:w = 卜 r (r + ) 一 、 t (i + n )t w = ia w t (r + ) 1， (， + n)( 7 .第二章 多变量预测控制r = d ia g ( r r ) ， q二 d i a g ( ( ) 0 )一一 n个下而我们用拉格朗日乘法求解 m个( 2 . 3 6 )和( 2 . 3 7) .令1 , = j + 刀 ， ( 叮 u + 画 (g ( 1 ) 一 矛 )( 2 . 3 8 )其 中刀 二 r p ,. .y将 ( 2 .3 2 ) 式与 ( 2 . 3 3 )式代入 ( 2 . 3 8 )式，并令c 2j / a l 二 。 ，得: ( g t r g + .g t q g+ 1 ) ( i 一 g t ,6 = g t r ( w一 o (p ( r ) ) + g t c) ( w一 o ( t ) ) ( 2 .3 9 )又 ( 2 . 3 6 )式可写为 gi i故 令、 = (n l , a = (i t l p j lw一o (p ( t )( 2 . 4 0 )月.，11.j 犷go - rj +r g+ g t q g万 ( w 一 o ( r ) ) + 存 t gq( ww一 o o ( 0o 0 (t)，一得 月 . ( i . 二 b u = ( a ) 一 ， b m二 g t r g + u t q g + 门 一 ，( 2 . 4 1 )( 2 . 4 2 )( 2 . 4 3 )下llee(， )一 = 峭 l j- c j t 0令则t ( g m g 丁 ) - g mg mgtu) 认 了m g t ( g m g t ( g mg 7 ) 一 ，( 2 . 4 4 )州一