（固体力学专业论文）弹性波在压电介质摩擦接触界面上的反射与透射.pdf

摘裴 摘要 压电材料正得到越来越广泛的应用。以压电材料为核心的结构和元件在装 置中总是和其他材料组合在一起，界面是其中的重要组成部分。另外由压电材 料制成的结构和元件常用来传导表面波或承受动荷载。因此研究波与压电结构 中赛面的相互作用问题成为一项重要的课题。 本篇论文主要对弹性波透过横观各向同性压电介质摩擦接触界面的传播 特性进行了初步的分析研究。当入射波很强时，会引起摩擦接触界面的局部滑 移和分离，并导致了问题的非线性( 称边界非线性) 。该非线性将引起响应波 ( 如反射和透射波) 中的高频谐波。该问题不仅在数学上带来了许多困难，同 时在物理上也带来了许多新的现象。本文针对一维和二维弹性波情况分别进行 了详细的分析和探讨。利用f o u r i e r 分析的方法，将含有未知边界的混合边值 问题化为非线性代数方程( 一维情况) 或奇异积分方程问题的求解。利用迭代 一修正的方法，确定了界面上分离、滑移和粘着三种区域的分布范围，并讨论 了它们随外加力一电荷载的变化规律。同时计算了面力、相对滑移速度等参量 以及由于边界非线性而引起的反射和透射的高频谐波幅值。讨论了它们随力一 电荷载、入射角、摩擦系数等的交化特性。研究发现：对二维波问题由于总是 伴随有非均匀平面波的出现，所以问题的解由奇异积分方程控制，这与一维波 问题或纯弹性介质的情况有很大的区别，为问题的求解增加了难度。同时由于 力一电耦合，力学参量的非线性必然导致电学参量的非线性，如高频谐波等。 外加电场则通过改变外加机械荷载的作用效果而影响界面的状态。本文的研究 进一步丰富了压电弹性波动理论，并促进其在实际中的应用。如利用高频谐波 所携带的力学或电学信息，可望无损探测界面的接触状态及接触力等参量。 关键词：压电介质，界面，摩擦接触，波，反射，透射，非线性，高频谐波。 a b s l r a c a b s t r a c t p i e z o e l e c u i cm a t e r i a l sa r eb e i n gu s e dm o r ea n dm o r ew i d e l yi nr e c e n td e c a d e s s t r u c t u r e s sa n dc o m p o n e n t sm a d eo fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa r eo f t e nc o m b i n e dt o g e t h e r w i t ho t h e rm a t e r i a l s ，w h e r et h ei n t e r f a c e sb e t w e e nt h e mm a y p l a ya l li m p o r t a n tr o l e o n t h eo t h e rh a n dt h ep i e z o e l e c t r i cs t r u c t u r e sa n dc o m p o n e n t sa r eo f t e nu s e dt oc o n d u c t s u r f a c ew a v e so ra r es u b j e c t e dt od y n a m i cl o a d s s ot h ea n a l y s i so ft h ei n t e r a c t i o nb e t w e e n e l a s t i cw a v e sa n di n t e r f a c e si n p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s i sa k e yp r o b l e m i n d e s i g n o f p i e z o e l e c t r i c s t r u c t u r e s t h i st h e s i sp r e s e n t sp r i m a r ys t u d i e sm lp r o p a g a t i o no fe l a s t i cw a v e s t h r o u g hac o n t a c t i n t e r f a c eb e t w e e nt w o p i e z o e l e c t r i cs o l i d s w h e nt h ei n c i d e n tw a v ei ss t r o n ge n o u 曲，t h e c o n t a c ti n t e r f a c ew i us e p a r a t eo rs l i pi nl o c a li n t e t r a c ea r e a sa n dn o n 1 i n e a r i t y ( b o u n d a r y n o n 。l i n e a r i t y ) w i l lb eb r o u g h tt ot h ep r o b l e m h i g hh a r m o n i c sw i l lb eg e n e r a t e dd u et ot h i s n o n l i n e a r i t y , w h i c hb r i n g sn o to n l yd i f f i c u l t i e si nm a t h e m a t i c sb u ta l s ob r i n g ss o m en e w p h e n o m e n ai np h y s i c s o n e - a n dt w o m i m e n s i o n a lp r o b l e m sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l s b y u s i n gf o u r i e ra n a l y s i s ，t h em i x b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hu n k n o w nr e g i o n sa r ec a s t i n t oas e to fn o n l i n e a ra l g e b r a i c e q u a t i o n sf o ro n e d i m e n s i o n a lc a s e o ri n t o s i n g u l a r i n t e g r a le q u a t i o n sf o rt w o - d i m e n s i o n a lc a s e a ni t e r a t i v em e t h o di sd e v e l o p e dt od e t e r m i n e t h ee x t e n ta n dl o c a t i o no ft h e s e p a r a t i o n ，s l i pa n ds t i c kr e g i o n sw h i c hv a r yw i t ht h e e x t e r n a lm e c h a n i c a l - e l e c t r i c a ll o a d s t h ei n t e r f a c e t r a c t i o n s ，r e l a t i v es l i pv e l o c i t i e sa n dt h e a m p l i t u d e so f t h er e f l e c t e da n dr e f r a c t e dh i g hh a r m o n i c sd u et ot h eb o u n d a r yu o n ，l i n e a r i t y a r ec a l c u l a t e d t b e i fv a r i a t i o nw i t ht h ea p p l i e dm e c h a n i c a l e l e c t r i c a ll o a d s i n c i d e n t a n g l e a n df r i c t i o nc o e f f i c i e n ti sd i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o w t h a tt h et w o d i m e n s i o n a lp r o b l e mi s c o h t r o l l e db y s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sb e c a u s eo fn o n - h o m o g e n e o u sw a v e sa p p e a r i n gi n t h e p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s t h i si sq u i t ed i f f e r e n tf r o mt h eo n e d i m e n s i o n a lc a s eo rp u r e l y e l a s t i c p r o b l e m s a n d b r i n g s e x t r ad i f f i c u l t i e si n m a t h e m a t i c s d u et ot h e m e c h a n i c a l - e l e c t r i c a lc o u p l i n g , t h e n o n - l i n e a r i t yo fm e c h a n i c a lp a r a m e t e r sw i l li n d u c e st h e n o n - l i n e a r i t yo fe l e c t r i c a lp a r a m e t e r s t h ea p p l i e de l e c t r i c a lf i e l d si n f l u e n c et h ei n t e r f a c e s t a t e sb yc h a n g i n gt h em e c h a n i c a ll o a d s t h er e s e a r c ho ft h i st h e s i sm a y e n r i c ht h ew a v e t h e o r yo fp i e z o e l e c t r i c i t ya n df a c i l i t a t ei t sa p p l i c a t i o ni np r a c t i c e s f o ri n s t a n c e ，w ec o u l d n o n - d e s t r u c t i v e l ye v a l u a t et h ec o n t a c ts t a t ea n df o r c eo fa ni n t e r f a c eb yd e t e c t i n gt h e m e c h a n i c a lo re l e c t r i c a li n f o r m a t i o nc a r r i e db y h i g hh a r m o n i c s k e yw o r d s ：p i e z o e l e c t r i cm e d i u m ，i n t e r f a c e ，f r i c t i o n a l c o n t a c t ，w a v e ，r e f l e c t i o n ， t r a n s m i s s i o n ，n o n t i n e a r i t y , h i g hh a r m o n i c s 玎 独创性声明 y7 4 1 0 8 2 本人声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除了文中已经标明引用的内容外，本 论文中不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的研究成果。对 本论文研究做出重要贡献的个人或集体，均已在文中以明确的方式 表明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 2 0 0 5 年2 月 望= 童堕笙 第一章绪论 1 1 研究背景 自1 8 8 0 年居里兄弟发现压电效应以来，压电材料得到越来越多的关注。 压电效应包括f 压电效应和逆压电效应。正压电效应是指没有电场作用，只是 由于应变或应力在晶体内产生电极化的现象。居里兄弟首次发现的即是正压电 效应，他们发现在某些无对称中心的晶体的极轴方向施加机械应力时，会在正 交于极轴方向的电极面上出现大小相等、符号相反的电荷。逆压电效应则是指 当在压电晶体上加电场时，晶体不仅要产生极化，还要产生应变和应力。1 8 8 1 年l i p p m a n 从理论一k 预见到逆压电效应的存在，居里兄弟在同年证实了这一 点。 尽管压电效应在十九世纪就已被发现，但在初期只是作为晶体的物理现象 来研究，并没有在应用上引起重视，因两发展很慢。直到1 9 1 7 年l a n g e v i n 型 石英换能器的诞生使压电理论开始运用于工程实践。1 9 2 1 年c a n d y 发现石英 晶体谐振器可作为频率标准器件，并于1 9 2 2 年公开发表了石英晶体谐振器的 数据，使压电学的应用研究日趋活跃。压电材料早期应用主要在水声和电声器 件方面。2 0 世纪4 0 年代钛酸钡陶瓷的发现为压电材料物理和应用的研究开辟 了新的领域，也为压电材料作为一种新型功能材料奠定了基础。压电陶瓷的研 究和应用先后经历了钛酸钡时代、钛酸钡向p z t 时代、多元系时代三个阶段 的蓬勃发展，与此同时其他材料也发展起来，像压电聚合物、驰豫性铁电材料 等。随着现代高科技的迅猛发展，压电材料己广泛应用于智能工程、电子技术、 激光技术、红外探测技术、超生波技术、航天技术及其它工程技术方面。伴随 压电材料的发展与应用有关其宏微观理论研究亦逐步发展和完善。2 0 世纪4 0 年代提出的离子位移型铁电体模型，促进了一大类含氧八面体型压电、铁电晶 体的出现。1 9 4 9 年d e v o n s h i r e 将热力学唯象理论用于b a t i 0 3 ，使铁电宏观理 论同趋完善。2 0 世纪6 0 年代c o c h r a n 等提出了铁电性起源于晶体振动软模的 概念，用晶格动力学理论成功地解释了位移型铁电体的铁电性起源，铁电微观 理论研究取得了重要突破i m l 。 以压电材料为核心的结构或元件并不是独立地存在于装置中，它们总是与 其他材料相互组合在一起，因此界面是其中的重要组成部分。而界面往往是结 菊中的薄弱环节，界面特性的好坏对材料本身或整个结构的力学和电学行为有 一 。，_ _ _ - _ _ _ _ 一 重要的影响。另外在超声检测、微电子和通讯、武器制导等领域，压电材料制 成的结构或元件常用于传导表面波或承受动荷载，因此关于波( 由机械动载或 交变电场引起) 与压电结构中界面相互作用问题的研究成为一项重要课题。本 课题一一弹性波透过压电介质摩擦接触界面的传播就是在这一背景下对 承受动荷载的压电材料接触界面问题进行初步地研究，无论从实际应用还是在 理论研究方面都有重要意义。本课题得到了国家自然科学基金的资助 ( 1 0 3 7 2 0 0 1 1 0 0 2 5 2 1 】) 。 1 2 弹性波与接触界厦相互作用的研究现状 接触界面只能传递压力而不能传递拉力，是一种单侧界面模型( 相应地， 完好粘结界面称为双侧界面) 。当考虑摩擦时接触界面可以靠摩擦传递一定强 度的剪应力。当入射波强度较小不足以引起界面产生相对滑移和分离时，摩擦 接触界面与双侧界面的力学行为一样。当入射波足够强时，界面剪力会克服摩 擦阻力导致界面滑移。特别当界面上产生拉应力时，还会发生界面分离。考虑 界面分离或滑移时，界面边界条件会变得很复杂，特别是对界面上摩擦定律选 择的不同，问题的求解方法及难易程度也就不同，系统的响应波特征也会有很 大的差别。最简单的是线性摩擦定律。如早期s e z a w a 和k a n a i 3 1 及近来k a n a i 4 i 都曾利用线性摩擦定律研究波与摩擦界面的相互作用。卢文波【5 l 利用类似模型 研究了应力波与岩石中可滑移界面的相互作用。这种假设虽然能解释弹性波透 过摩擦界面传播的某些现象，但对一般的非线性模型是不适用的。c h e v a l i e r 等1 6 1 采用了库仑摩擦模型，但假设整个界面全部处于滑移状态，以简化数学处 理。李夕兵1 6 j 曾利用该模型分析了应力波在岩体软弱结构面上的反射与折射。 显然对一般的入射波和摩擦接触界面这种假设是不适用的。应该考虑界面上交 替出现粘着、滑移、分离三种区域的情况，这样对一般波透过摩擦接触界面传 播的问题才。是比较合理的。但由于界面上存在三种区域，且其边界未知，因而 这是一个典型的边界非线性问题，其数学求解非常困难。c o m n i n o u 和d u n d u r s 及其合作者1 8 0 5 j 较早采用该模型研究了波与接触界面的相互作用问题。他们 最早利用这种模型讨论了筒谐s h 波在摩擦接触界面上的反射和透射问题f 8 , 9 1 ， 他们将该问题的解写为完好粘结情况下的双侧解叠加上一个表征单侧性质的 修正解，其中修正解利用f o u r i e r 分析方法求解，这样就较好地解决了因边界 非线性而带来的数学难题。后来他们又利用这种方法分析和探讨了如下几个问 2 角的情况：( 2 ) 反平面s h 非简谐波1 1 2 】的反射与透射，包括小于和大于临界角 两种情况，并讨论了界面上的能量分配与耗散【1 3 1 ；( 3 ) 沿摩擦接触界面传播 的界面波f 1 4 j ：( 4 ) 初始分离的半空问弹性体之间的波动传递i l 叫等。c o m n i n o u 等采用的方法和模型是一种精确解法。几乎与此同时m i l l e r 及其合作者 1 6 “1 8 , 2 t “2 2 1 采用了一种近似的“等效线性法”对波与摩擦接触界面的相互作用问 题进行了分析，即将问题的非线性解通过线性函数来表达，并使等效线性函数 与实际非线性函数之间的均方差对所有的简谐解达到最小。m i l l e r 采用这种方 法首先分析了垂直入射的s h 波问题【1 6 1 ，后又与其合作者求解了小于临界角斜 入射的p s v 波问题【1 7 j 。这些工作主要针对界面为库仑摩擦的情况，在文【1 8 】 中分析了界面取不同的摩擦模型l 0 e b 摩擦模型f 1 9 l 、f o r t s c h 摩擦模型f 2 0 i 及考虑运动锁定效应的摩擦模型对s h 波传播的影响。后又用类似方法近 似分析了摩擦接触弹性层中l o v e 波的传播问题【2 l j 。m i l l e r 的方法与c o m n i n o u 的方法相比，虽然在能量耗散方面能给出较好的近似，但无法预测非线性边界 条件引起的波型畸变( 即高频谐波的出现) ，另外该方法也难以考虑界面出现 局部分离和波大于临界角入射的情况。 m i l l e r 与c o m n i n o u 等人的研究大多针对无限大介质和各向同性介质，近来 汪越胜等【”删将c o m n i n o u 的方法进行了推广，并获得了一些新的结果。他们 首先求解了s h 型简谐波和非简谐波在覆层和央层中的传播问题【2 3 书】。对于小 于临界角入射的情况获得一递推方程，对于大于临界角入射的情况获得一带有 h i b c a 型( 简谐波) 和c a u c h y 型( 非简谐波) 的奇异积分方程。后来又研究了简 谐及非简谐s h 、p 及s v 波的再极化问题1 2 6 - 2 8 1 ，但只考虑了小于临界角入射 的情况。研究结果表明：s h 波入射时诱导产生的p 和s v 波不会造成界面的 局部分离，特别当介质相同时甚至对界面正应力没有贡献；p 或s v 波入射时 晃面的局部分离和张开位移与诱导s h 波没有关系，与c o m n i n o u 等不考虑再 极化时的结果一致；诱导波的能量全部由该方向的外加剪力提供，且只占所提 供能量的- , b 部分，大部分能量被该方向的界面摩擦运动消耗掉。尽管如此， 诱导波对界面应力分布、相对滑移速度及滑移区的大小等仍有显著影响并直接 影响到波形的改变。最近他们又针对一般各向异性摩擦接触界面上的反射与透 射问题及其引起的弹性体摩擦运动稳定性进行了研究i 拽3 0 】。对小于临界角入 射的情况，利用f o u r i e r 分析方法将非线性c o u l o m b 摩擦接触边界波动问题化 3 为一组代数方程，给出了确定局部分离、滑移和粘着区的思路和万珐及各区域 的解，对相同介质的两半无限各向异性体给出了界面力、张开位移和相对滑移 速度的计算结果。近来冯仰德等阻3 2 】用时域边界元法分析了弹性波对单侧摩 擦约束夹杂物的散射问题。李楠等【3 3 】用s t r o h 方法和表面阻抗张量理论研究了 弹性半空间与刚体之间的界面滑移波失稳问题。最近，关于滑移界面波传播稳 定性的研究已引起人们的重视，见s i m 6 e s 等、m a r t i n i 3 5 1 、a d a m s p q 、r i c e 等【3 瑚】、z h a r i i l 3 9 】等人的工作。研究发现：两个材料不同、表面完全平直的半 空间弹性体之间的稳态滑动，即使在动静摩擦系数相等且为常数的情况下，仍 会由于滑移界面波的稳定性破失而发生自激震荡式的动态失稳，且可能造成界 面的局部粘着一滑移运动，而这种运动对接触面的磨损具有重要的影响。这一 引起失稳的原因与其它原因( 如摩擦系数非均匀性等) 有本质的不同，对机械 结构的设计至关重要。至今对这一失稳现象的产生机制和发展过程还不是十分 清楚。 1 3 压电介质中弹性波传播的研究现状 压电介质中的波动问题从六七十年代便得到广泛研究m4 ”4 。从诸多学 者发表的论文来看，特别是近十几年来，研究成果大多集中在压电介质中波导、 界面波以及表面波的研究。有关压电介质中波导方面的研究主要针对波在圆筒 压电覆盖层或多层压电覆盖层中的传播方面，例如：w a n g 等1 4 5 】研究了轴对称 圆筒压电覆盖层中的波传播问题，并在文【4 6 忡分析了横向剪切力及旋转对圆 筒压电覆盖层中波传播的影响，绘出了两种壳体模型中的波弥散曲线，同时将 数值模拟结果同挠曲理论和薄壳理论进行了对比：s h u l g a l 4 7 时论了均匀和分 段均匀压电介质构成的圆筒中波的传播问题，求解了波在压电层中传播的频散 方程，并讨论了不同层数、压电层与不同介质连接、不同压电材料及不同的连 接方式时波导的传播特性。对压电介质中的表面波和界面波问题，许多学者发 现压电耦合效应确实能带来新的现象、产生新的波形。例如b l e u s t e i n 4 s “9 】发 现了种由于力电耦合效应而产生的波型b g 波；最近汪承灏等1 5 0 1 学者对压 电晶体表面激发的赝表面波给出了其g r e e n 函数和响应波场的解析表达式，分 析了g r e e n 函数存在的条件和性质，并给出了石英和l i n b o ，赝表面波g r e e n 函数的数值计算。王子昆等i ”】学者发现，当压电常数满足一定的关系时，层 状压电结构中将会传播一种奇特的电声波，这种波传播时机械扰动和电磁扰动 4 趸相互耦合的，质点的水平偏振运动只发生在覆盖层中，而基底中质点的位移 - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，- _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 始终为零。刘华等【5 2 l 研究了压电层状结构中初应力对广义r a y l e i g h 波传播相 速度和机电耦台性能的影响。f a n g 等【5 3 】讨论了旋转压电晶体中声波的传播特 性，指出在非旋转条件下压电晶体中可以存在两种形式的面波：r a y l e i g h 波和 b g 波，但只有r a y l e j g i l 波受旋转效应的影响，而b g 波不会受旋转效应的 影响。j o s h i 等f 5 4 1 学者研究了压电材料薄板中反平面剪切l a m b 波的存在性及 传播特性，其研究结果表明如果薄板厚度与波长的比值小于0 5 时会产生反平 面剪切l a m b 波，并且相速度为一常数。l i u 等【5 5 】等讨论了初始应力对压电层 状结构中l o v e 波传播行为的影响，以弹性材料为基底的压电材料层合结构中 初始应力对l o v e 波的传播速度有比较显著的影响，初应力越强相速度越低， 电力祸台因素越强。t i n 等 5 6 时论了半无限大金属介质压电覆盖层中的波传播 问题，给出了相速度的弥散曲线。a b b u d i 等【5 7 j 研究了半无限大压电材料粘结 界面中s t o n e l e y 波的存在性问题。a l s h i t s 等1 5 8 j 分析了压电晶体无分离光滑接 触界面的声波特性。z i n c h u k 和p o d l i p e n e t s 等1 ”c , o l 讨论了规则层状压电半空间 中剪切型面波的有关特性，并指出对这种结构当电声波沿自由表面传播时振动 模态有较大的变化范围，可通过各层材料力学和电声学性能及相对厚度等参数 的选择实现对频谱的控制。r o m e o 等【6 1 】详细阐述了绝缘压电半空间中s h 型面 波的传播问题，其研究指出非弥散介质中只存在一种准声模态的表面波；而弥 散介质中，在不同频率范围内可产生两种面波，一种b g 波，另一种为准电 磁波。 尽管以往学者在压电介质界面波问题方面取得了不少研究成果，但我们注 意到，他们的研究主要针对完好粘结界面模型，而对接触界面情况的研究成果 则较少。特别是当考虑界面可发生局部分离或滑移时，有关的波传播问题在数 学上较完好粘结界面的情况要复杂得多，波在接触界面上的折射与反射特性、 接触界面波产生的条件、模态、波速、特性等与完好粘结界面相比均有很多不 同。据我们掌握的资料，该方面的研究除z h a r i i 等【6 2 懈l 关于压电半无限体与 刚性薄片接触界面上r a y l e i g h 波传播特性的初步研究外，目前尚未见其他研 究成果发表。涉及压电介质接触界面的波动问题在理论和实际中有重要的意 义，本文将针对弹性波与压电介质摩擦接触界面的作用问题波在压电介质 摩擦接触界面上的折射与反射进行初步探讨和分析，希望能对工程实践提 供有意义的参考。 1 4 本文的研究内容和方法 1 4 1 研究内容 本文对弹性波透过压电介质摩擦接触界面的传播问题进行初步的研究和 分析，主要内容有： f 1 ) 一维弹性波透过压电介质摩擦接触界面的传播。求解了弹性波在摩擦 接触界面上的反射和透射问题。讨论了弹性波引起的界面局部分离和滑移特 性、界面上的应力分布、以及由边界非线性引起的反射和透射的高频谐波特性 等。 f 2 1 二维弹性波透过压电介质摩擦接触界面的传播。研究的内容同上类 似，但假设外加压力足够大，界面没有局部分离。尽管如此，该问题较前面的 一维问题在求解方法和波的特性分析方面复杂得多。 1 4 2 研究方法 考虑到横观各向同性压电材料( 女口p z t 、b a t i 0 3 等) 在实践中应用比较广 泛，因此本文以横观各向同性压电材料为例对问题进行了推导和计算。 本文首先建立了问题的力和电边界条件。其中对于力边界条件，将整个界 面分为粘着、滑移及分离三个区域分别建立了不同的边界条件。对电边界条件， 本文采用了导通电边界条件。对一维波动问题，导通电边界条件是自动满足的： 对二维问题，由于只考虑滑移和粘着接触的情况，因此可以采用导通电边界条 件。 对上述边界条件下的非线性混合边值问题，本文将解写成完好粘结情况时 的双侧解和表征单侧性质的修正解两部分的叠加。考虑到边界非线性引起的高 频谐波，将修正解写成f o u r i e r 级数的形式。对一维波入射的情况直接将问题 导向代数方程；而对二维波入射的情况则可将问题转化为奇异积分方程的求 解。利用迭代一修正的方法求解代数方程和奇异积分方程，确定了分离、滑移 和粘着区域的大小和分布。 6 第二章压电介质的基本波动方程及摩擦接触界面的边界条件 第二章压电介质的基本波动方程及 摩擦接触界面的边界条件 2 1 引言 对压电弹性体，除了具有一般弹性体的弹性性质以外，还具有压电效应。 由于压电效应是可逆的，当压电弹性体发生形变时，在它的某些表面将会出现 束缚电荷( 即正压电效应) ；当压电体处于电场中时，压电体将产生形变( 即逆 压电效应) 。也就是说在压电弹性体中机械效应和电效应是分不开的，它们相 互耦合在一起。因此在压电弹性体的胡克定律中必须增加电学量对于力学量的 贡献。同时在电学量的关系式中必须增加力学量对电学量的贡献。这样一来势 必造成压电方程中未知量的增加，因此定解方程中除力学条件外还需要补充电 学边界条件。针对本课题要研究的问题，本章对压电介质波动基本方程及摩擦 接触界面边界条件首先作简单的描述和总结，详细请参阅文献【1 l 。 2 2 压电介质的基本波动方程 2 2 1 电位移与电场 外电场场强不大时，极化强度与外电场成线性关系 = “e i ( 2 1 ) 其中号为极化强度分量，e ，为电场分量，为电极化率张量分量。引入电位 移n 时有： q ；如e + 卑；( 气+ ) e j = 5 口j ( 2 2 ) 其中，i 为介电常数张量。 2 2 2 压电效应与逆压电效应 当应力不大时，由压电效应产生的极化强度与应力成线性关系： 层= 靠盯m ( 2 _ 3 ) 式中d 计为压电应变常数分量，口m 为应力张量分量。由皿= e o e ；+ p ，当外加 电场e ；0 时口= 号，因此有： q = d o k d n ( 2 4 ) 7 ：鲞= 兰些里! ! 堕塑至苎堡翌蔓堡垄壁塑茎丝墨耍塑垄墨墨堡 当上式写成电位移与应变的关系时有： d l ；k ( 2 5 ) 式中e k 。为压电应力常数，y j k 为应变张量分量。 逆压电效应则可用电场使压电晶体产生应力来表示如下： o i 2 乓 ( 2 6 ) 2 2 3 绝热条件下压电介质的本构方程 绝热过程熵变为零，热力学函数焓抒的全微分分量为： d h = 一匕d o d d 。d e ： ( 2 7 ) 式中 匕；一曰o h ” ( z 8 ) 见一磋k ( 2 9 ) 其中：下标s e 代表恒熵恒电场；s x 代表恒熵恒应力。式( 2 8 ) 及( 2 9 ) 中 应变l 和电位移见是自变量盯和e 的函数，将它们在平衡态附近展开并只取 线性项得： h 舞圳e 见2 却吼，+ 旨o d a 战 泣 d 口i 弛。 。 定义： 责善。蹬为恒电场和恒熵时的弹性柔顺常数张量的分量； 簧= 为恒应力和恒熵时的压电应变常数张量的分量； 鲁= d 。“为恒电场恒熵时的压电应变常数张量的分量； 薏t s 署为恒应力恒熵时的介电常数张量的分量。 由此可得到第一类压电方程： 弟二草压电升旗明綦，中= 被动万栏故摩j 舅 段触界曲明边界条件 b = 蹒以，+ 以口e ( 2 1 2 ) 见= d a l d 吼+ ：e ( 2 1 3 ) 通过类似推导，分别取电性焓h ，、弹性焓h 和内能焓u 为热力学函数时得到 第二类压电方程： = e f k e n “e ( 2 1 4 ) d m = l + e ( 2 1 5 ) 式中c 品为弹性常数张量的分量，s ：为介电常数张量的分量。第三类压电方程 为： l ；+ k 。“见 ( 2 1 6 ) 瓯- k m + 见 ( 2 1 7 ) 式中k 。和。分别为压电电压常数张量分量和介电常数张量s 的逆矩阵分 量。第四类压电方程为： 。气村s ，一舻d 或 ( 2 1 8 ) e = 一舻。h s “+ ：k d ( 2 1 9 ) 其中p 。为压电刚度常数张量的分量。第二、三及四类压电方程可以由第一类 压电方程推出，因此上述各常数张量不是独立的。针对不同的边界条件可采用 不同的方程，本文研究问题时采用的是第二类压电方程。 2 2 4 压电几何方程 引入电势函数妒，则有压电介质的几何方程如下： l = ( 1 2 x u 州+ j ) ( 2 2 0 ) 乓= 一吼 ( 2 2 1 ) 其中u ，为质点的位移分量。 2 2 5 压电介质控制方程 压电介质的运动方程为： 誓= 譬 汜z z ) 船甜。 式中p 为材料密度。设压电介质中不存在自由电荷，则电位移矢量d 的散度 9 笙三兰 堡垒坌堕塑茔查鲨垫查堡垒壁堡堇墼壁垒羔堕生壁墨型二一 为零，即： 堡：o ( 2 2 3 ) 缸二 将几何方程( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 结合本构方程( 2 1 4 ) 和 和( 2 2 3 ) 得： p 争一锄袅一去一。 铀去1 亲一o ( 2 1 5 ) 代入( 2 2 2 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 式( 2 2 4 ) 及( 2 2 5 ) 即为压电介质的动力学控制方程。 2 ，2 6 压电介质中的平面体波 设控制方程( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 具有下列形式的波动解： “。；4e x p i k f ，一甜) 】，妒= e x p i i k ( x j ，一c f ) 】 ( 2 2 6 ) 将( 2 2 6 ) 式代入方程( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 得： 掣”4 + n 一p c 2 4 ；0 ( 2 2 7 ) y f 一妒o = 0 ( 2 2 8 ) 式中掣。= q e 。f ，| ，n = f ，= ；f ，。将式( 2 2 7 ) 及( 2 2 8 ) 联立，消去 电势函数得： 户c 2 4tv ，4 ( 2 2 9 ) 式中币d i 王，d + y i y ，e ，式( 2 2 9 ) 可以写成： 【l l “一p c 2 如h ，0 ( 2 3 0 ) 此式即为压电介质中平面波的c h r i s t o f f e l 方程。要使方程有解，c h r i s t o f f e l 方 程的系数矩阵行列式应为零，即： 陬一p c 2 如i _ 0 ( 2 3 1 ) 当波速已知时由( 2 3 1 ) 可得到波的传播方向，同样若传播方向已知则可得到 波速。式( 2 3 0 ) 中可令： = c 洲d ， ( 2 3 2 ) 其中： 笙三兰垦鱼坌垦塑苎垒鎏垡查堡垄壁鉴茎墼墨耍竺望墨墨堡 ! 略，；锄+ ，胎；，) ( 2 3 3 ) 这表明，只要将c 品看成是压电介质的弹性刚度常数，则它和纯弹性介质的 c h r i s t o f f e l 方程具有完全相同的形式。只要用兹取代磊，则纯弹性各向异性 介质中弹性波的有关结论，对压电介质也同样适用。即在压电介质中，对于每 一个给定的传播方向都可能存在三个均匀的平面波，即一个准纵波，两个准横 波，这三个波的质点位移相互正交。山( 2 3 3 ) 可知，介质的压电性作用使介 质的有效弹性刚度常数增大，从而使波的相速度变大。由于( c 品一c f 。) 取决于 介质的压电常数和介电常数，因此在压电介质中声波的波速不仅与介质的弹性 特性有关，也与介质的压电特性和介电特性有关。 由式( 2 3 0 ) 还可判断其解与纯弹性介质有相同的形式，由此压电介质中 一般平面简谐体波解可设为： h 。；4 e x p i k ( x f f f c f ) 】，妒；e x p i k j ，f c t ) 】，i ，；1 3 ( 2 3 4 ) 2 3 摩擦接触界面边界条件 设入射波强度足够大，界面上会产生粘着、滑移和分离三种不同的区域， 三种区域内应分别建立边界条件，压电介质摩擦接触问题的边界条件与纯弹性 介质不同的是除力学边晃条件外还要补充电学边界条件。三种区域的边界条件 分别建立如下： “) 粘着区 设占为上下界面的位移差，k 和k 分别为界面切向滑移速度在两个垂直方 向上的分量，墨为界面法向面力分量，墨。和只：分别为界面切向面力沿k 和k 方向上的分量，f 为静摩擦系数，则力边界条件为： g = o k = = o ，+ 鹱c 正i r i ， s 。c o ( 2 3 5 ) 设a 妒为上下界面的电势差，d ：、d ：分别为上下界面的电位移，粘着区 电边界条件为导通电边界条件，因此有： 研= 研，a 9 = 0 ( 2 3 6 ) 位) 滑移区 力边界条件为： g = 0 ，e s l = k s 2 ，s ：+ 5 毛一i s i ，最 0 ，s = = 墨2 = 0 ( 2 3 9 ) 如采用可导通电边界条件则有： d ：= o - ，伊= 0 ( 2 4 0 ) 如采用绝缘电边界条件，则有： 珑= d ：= 0 t 2 4 1 ) 由于边界方程( 2 3 5 ) ( 2 4 1 ) 中含有不等式，并且粘着、滑移及分离区 的边界未知，导致问题具有很强的非线性( 称边界非线性) ，使得问题的数学 求解非常困难。另一方面，对单一频率入射的波，该非线性将导致响应波( 反 射和透射波) 出现高频谐波，从而表现出复杂的波动特性，带来物理上的新现 象。 釜三主二丝堂堂鲨堕茎堡垒坌耍壁堡垄丝墨垒竺堡堡一一 第三章一维弹性波透过压电介质摩擦接触 界面的传播 3 1 引言 对弹性波在各向同性或各向异性纯弹性介质摩擦或光滑接触界面上的反 射和透射问题，已得到很多研究，并获得许多有意义的结果【8 瑚】。对压电介质 中波在摩擦接触界面上的反射和透射问题，至今尚无人研究。由于压电介质不 仅是各向异性介质，而且存在力电耦合特性，这在数学上将增加与电有关的未 知量和方程致使问题较纯弹性介质复杂和困难。本章从最简单的一维弹性波入 手，探索压电介质中波在摩擦接触界面上的反射和透射问题。 3 2 问题的描述 如图3 1 所示两个相接触的半无限大横观各向同性压电弹性体，接触面 遵循库仑摩擦定律，动、静摩擦系数分别为 和正，远处受压力p 。、剪力r ? 和电场耳、霹作用。有一沿z 轴的平面波垂直于界面入射，当入射波强度足 够大时界面会交替出现粘着、滑移、分离三种不同状态，并且会产生高频谐波。 本章的主要目的是确定出各种状态对应的界面力、界面相对滑移速度及张开位 移，并对高频谐波的特性进行分析。图中n = 1 , 2 及n ：3 , 4 分别代表反射波和 透射波，勺、印白、p 分别为下半平面的弹性常数、压电常数、介电常数及 密度，昏蛩瓦、万分别为上半平面相应的材料常数。 显然这是一个一维问题，采用图3 1 所示的坐标系，其中z 轴为压电介质 的极辅i 对横观各向同性材料的平面应变问题有： “，= u ( z ，f ) ，。0 ，h ：；0 ，f ) ，e = e ( z ，f ) ，e y = 0 ，e = e ( z ，f ) 其中“，h ，叱为位移分量；疋，毛，墨为电场分量。引入电势函数妒，得到平面 应变一维问题的本构关系如下： ( 7 矗高c 1 3 w , z + e l 柙# o 口；c 3 3 w ，f + e 3 3 p ： a 址昌c 4 4 “z ( 3 1 ) 1 3 第三章一维弹性波透过压电弁质摩擦接触界面的传播 lll “ lll r p - n j 3 h ：4 c 吐、e 矿5 矿p 石 t n 2 0 ，h = l c je q j 1 1 1p! h = 2 雾 一一一-一+ 一- + 一f ” 图3 1 一维弹性波透过压电介质摩擦接触界面的传播 卫。e 1 5 n ，；，峨2 岛：一e 3 妒： ( 3 2 ) 其中吒，吒，为应力分量；d x ，哆为电位移分量。控制方程为： a 2 c 4 ；鼍。2 妒j 芦 ( 3 3 ) ) 2 w c 孙_ 荔+ 巳3 够站= p 矿 ( 3 4 ) 巳3 名一e 3 3 。p 。= 0 ( 3 5 ) 考察方程( 3 1 3 ) 一( 3 5 ) 控制的如下形式的平面谐波解： “，h 。妒) = 一 4 ，d ：，农 e x p 厦( 芦一c t ) 】 ( 3 6 ) 其中一为振幅， d ，d ：，d 3 为位移极化矢量，七为波数。将( 3 6 ) 式代入( 3 3 ) 一( 3 5 ) 式可以得到p 的四个正负成对出现的实根及与这四个根对应的位移 极化矢量怯，d 2 ，盔，这代表着两类传播方向相反的体波。取入射波为任一类 型的平面简谐波( 见2 1 6 节) ，其形式如下： “，w “，妒。) ；爿。 d r ，d ”，d ! 。】r e e x p i k o ( z c ) ( 3 7 ) 1 4 第三章一维弹性波透过压电介质摩擦接触界面妁传播 其中不失一般性取4 ( o 为实数。反射波及折射波的形式可记为 p ，w ，妒) = a 0 ) 御，d d pr e e x p i k o ( p z c o f ) 】) ( 3 8 ) 接触界面上的面力应满足连续性条件，设其分量为s a n ) 、t 细) ，其中 r l = 一k o c o t ，界面上的电边界条件采用可导通电边界条件，并设界面上连续