（固体力学专业论文）一种动态结构有限元计算模型局部不确定参数的识别方法.pdf

江苏大学硕士位论文 摘要 有限元计算模型作为复杂结构动态分析的基础，其建模的仿真度 受到许多不确定参数的影响。工程实际中普遍采用有限元分析方法和 试验模态分析技术进行结构动力分析。由于这两种方法各有优缺点， 近年来，有人提出，将有限元方法和试验模态分析技术有机地结合， 相互取长补短，建立相对仿真度较高的有限元计算模型。 本文在上述思想的指导下，从有限元计算模型和试验模型的相关 分析出发，研究有限元计算模型的不确定参数与相关度指标的关系， 从而达到识别有限元计算模型局部不确定参数的目的。研究具体的内 容是：以某钢结构屋架下弦节点为分析对象，首先通过对有限元计算 模型参数类型的分析，确定该研究对象的不确定参数为焊缝的弹性模 量参数、质量参数及泊松比参数。其次，在传统相关分析理论基础上， 定义了有限元计算模型的一维、二维及多维最优有限元计算模型指标 参数，提出了改进的衡量有限元计算模型与试验模型整体相关度指标。 同时对相关分析实现的技术难题- 有限元计算模型的自由度减缩及 匹配等问题做了细致深入的研究。编写了相应的有限元模型模态分析 数据和试验模态分析数据的数据处理程序、有限元计算模态减缩的自 由度匹配程序、有限元计算模型与试验模型整体相关度指标的相关计 算程序。最后，在自编的相关计算程序基础上，计算得到了钢结构节 点焊缝不确定参数与有限元计算模型和试验模型整体相关度指标的关 系。得到了相应有限元计算模型相对最优一维、二维及多维结构有限 i 江苏大学硕士位论文 元计算模型指标参数。识别了钢结构屋架下弦节点相对最优有限元计 算模型焊缝的不确定参数数值。 本文提出的利用有限元计算模型与试验模型整体相关度指进行有 限元计算模型局部不确定参数识别方法，物理意义明确，在应用中不 仅可以用于确定动态结构局部不确定参数，还可以用来判断复杂结构 试验模态和有限元计算模态对应的主模态，具有较高的工程实际应用 价值。同时，该方法是对结构有限元计算模型修正研究内容的一个重 要补充。 关键词：不确定参数，有限元计算模型，试验模型，模态分析， 相关分析，参数识别 i i 江苏大学硕士位论文 a b s t r a c t a sab a s i ce l e m e n to fc o m p l e xs t r u c t u r a ld y n a m i ca n a l y s i s ，f i n i t e e l e m e n tm o d e l ss i m u l a t i v ed e g r e ei sc o n n e c t e dw i t hm a n yu n c e r t a i n t i e s d u r i n gm o d e l i n g i ne n g i n e e r i n g ，s t r u c t u r a ld y n a m i ca n a l y s i sh a st w ob a s i c m e t h o d s - - f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s m e t h o da n dt e s tm o d e a n a l y s i s t e c h n o l o g y , e a c hh a si t so w na d v a n t a g ea n dd e f e c t ，n o w a d a y s ，s o m ep u t f o r w a r dt oc o m b i n ea b o v et w om e t h o d so r g a n i c a l l y , t a k el e n g t hm u t u a l l y a n dm e n ds h o r t ，i no r d e rt oe s t a b l i s haf i n i t ee l e m e n tm o d e lt h a th a sh i g h e s t s i m u l a t i v ed e g r e er e l a t i v e l y i ti si nt h i st e x tt h a tu n d e rt h eg u i d a n c eo fa b o v et h o u g h t ，s e to u tf r o m r e l e v a n ta n a l y s i sb e t w e e nf i n i t ee l e m e n tc o m p u t a t i o n a lm o d e la n dt e s t m o d e l ，a n a l y z er e l a t i o nb e t w e e nu n c e r t a i n t i e sa n dc o r r e l a t i o nd e g r e eo f a b o v em o d e l s ，t h e nw ec a ni d e n t i f yp a r tu n c e r t a i n t i e so ff i n i t ee l e m e n t m o d e la c c o r d i n g l y t h ea c t u a ls t u d yp r o g r e s so fw o r ko nt h el o w e rc h o r d n o d eo fas t e e lr o o ft r u s ss t r u c t u r ei sf o l l o w e db yn e x ts t e p s f i r s t l y b y s t u d y i n gt h ep a r a m e t e rt y p e so ff i n i t ee l e m e n tc o m p u t a t i o n a lm o d e l ，t h e c o n c l u s i o nt h a tu n c e r t a i n t i e si nf i n i t ee l e m e n tm o d e lo fa b o v el o w e rc h o r d n o d es t r u c t u r ei n c l u d em o d e lw e l dl i n e se l a s t i cm o d u l u sp a r a m e t e r 、m a s s p a r a m e t e ra n dp o i s s o nr a t i op a r a m e t e ri sg o t t e n s e c o n d l y , u n d e rt h eb a s i s o ft r a d i t i o n a lr e l e v a n ta n a l y s i st h e o r y , o n e - d i m e n s i o n a ii n d e xp a r a m e t e r 、 t w o d i m e n s i o n a li n d e xp a r a m e t e ra n dm u l t i d i m e n s i o n a li n d e xp a r a m e t e ro f f i n i t ee l e m e n t c o m p u t a t i o n a l m o d e la r ed e f i n e d a l s oa n i m p r o v e d c o e l a t i o nd e g r e ei n d e x ，w h i c hc a nb e t t e rr e f l e c tm o d e l sc o r r e l a t i o n ，i s b r o u g h tf o r w a r d a tt h es a m et i m e ，f o ra n o t h e rt e c h n o l o g i c a lq u e s t i o ni n r e l e v a n ta n a l y s i sp r o c e s s ，h o wt or e d u c et h ef r e e d o md e g r e eo ff m 沁 e l e m e n tm o d e l ，i sa l s oh a dap a r t i c u l a r i n - d e p t hs t u d y c o r r e s p o n d i n g p r o g r a m sf o rp r o c e s s i n gm o d e l sm o d ea n a l y z i n gr e s u l t d a t a ，r e d u c i n g i i i 江苏大学项士位论文 f r e e d o md e g r e eo ff i n i t ee l e m e n tm o d e lt om a t c h i n gr e l a t i v et e s tm o d e l ， c a l c u l a t i n gc o r r e l a t i o nd e g r e eb e t w e e nm o d e l sa r ec o m p i l e d l a s t l y , t h e r e l a t i o nb e t w e e nu n c e r t a i n t i e sa n dc o r r e l a t i o nd e g r e ei sl e a r n e db yu s i n g a b o v es e l f e d i t p r o g r a m s ，s o i n d e xp a r a m e t e r so ff i n i t ee l e m e n t c o m p u t a t i o n a lm o d e lc o u l db eg o t t e n ，t h e nt h eu n c e r t a i n t i e so f w e l dl i n ei n t h el o w e rc h o r dn o d e o ft h es t e e lr o o ft r u s ss t r u c t u r e sf i n i t ee l e m e n t c o m p u t a t i o n a lm o d e la r ei d e n t i f i e d t h em e t h o d ，w h i c hi ss e tu pi nt h i st e x tb yu s i n gt h ei m p r o v e d r e l e v a n ta n a l y s i si n d e x ，c a l ln o to n l yb eu s e dt oi d e n t i f yp a r tu n c e r t a i n t i e s o fd y n a m i c a ls t r u c t u r a lf i n i t ee l e m e n tc o m p u t a t i o n a lm o d e lb u ta l s oc a nb e u s e dt oj u d g et h em a i nm o d eo ff m i t ee l e m e n tm o d e lt h a ti so p p o s i t et o c o r r e s p o n d i n gt e s tm o d e l t h em e t h o dh a sac l e a rp h y s i c a lm e a n i n g ，a n di t i sa l l i m p o r t a n ts u p p l e m e n tt ot h er e s e a r c ho fs t r u c t u r a lf i n i t ee l e m e n t c o m p u t a t i o n a l m o d e lm o d i l y i n gt e c h n o l o g y ，a n dh a sg r e a tv a l u ei n p r a c t i c a le n g i n e e r i n g k e yw o r d s ：u n c e r t a i n t i e s ，f i n i t ee l e m e n tc o m p u t a t i o n a lm o d e l ， t e s tm o d e l ，m o d ea n a l y s i s ，r e l e v a n ta n a l y s i s ， p a r a m e t e ri d e n f i f y 学位论文版权使用授权书 y 9 3 8 0 2 8 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名 协c 年铜矗工日 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密说 奔喜铆指导教师签名：柱敏 。年b 月强日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 弘、钾 日期：沁 年占月o a 目 姿蒸盘堂塑鲎焦逢塞 第1 章：绪论 1 1 动力学建模及建模中不确定参数问题概述 几乎所有的工程结构与构件都处于一定的振动环境中，如桥梁、房屋、各种 动力机械、航行的各种船舶包括地球本身都在以各自特定的形态进行着振动。如 何改善、控制和利用结构振动特性，对国民经济的健康运行、工业技术的进一步 发展都具有重大意义。要实现对结构振动特性的改善、控制和利用，首先需要对 结构进行动力学建模，以获得结构的振动特性。动力学建模从本质上讲，是对实 际结构的一种数学描述“1 。理论上，它最好与实际结构最大相似，这样才能使得相 应的数学描述结果更为可信。对于大型复杂结构而言，实际建模过程中，存在着 诸多不确定参数。不确定参数的准确识别对于建立可靠的动力学数学模型，进行 动力学特性分析，非常重要。 1 1 i 动力学建模概述 1 计算机辅助建模( c a m ) 在有限元法基础上，计算机辅助建模c a m ( c o m p u t e ra i d e dm o d e l i n g ) 过程 己形，准化通用程序。但在建模过程及这种数学模型的应用中，仍存在不少问 题。如在计算过程中，对一些不确定的参数，往往用试算方法，重计算的费用大； 另外由于边界条件的误差；物理常数选择的误差：予结构连接条件的失真；局部 或整体的非线性；单元类型的选择和单元的划分不适当等原因，造成数学模型可 能存在较大误差。 对有限元计算模型的这些问题，人们一直在努力解决，其中对计算模型自由 度的减缩方法的研究是一个重要的途径。在这个过程中，g u y a n ”1 提出了静力减缩 方法，是模态子结构方法重要的减缩方法之一，g r a i g 旧给出过权威的评述，我国 郑兆昌“3 、王文亮”3 都对这个技术做过深入的研究。m o o r e 和n a t k e 从系统的可 控性、可观性条件提出和发展了方程减缩的平衡方法。a n d e r s o n 嘲提出了子模态矩 垄蒸盘堂塑鲎焦逾塞 阵方法。随着试验技术的发展，提出了利用试验数据对计算模型的减缩方法。” n 2 ) n 盯n 蚰 4 2 计算机辅助试验( c a t ) 试验模型的建立是在一定的数学模型指导下进行，如试验模态分析。试验模态 分析系统包括被试结构、测量系统( 传感器、放大器、数据传送、记录设备) 、数 据信息处理系统、模态拟合算法形式的软件。其结果是得到被试结构的模态参数 ( 包括振型、固有频率、模态阻尼、刚度和质量系数) 。这种类型的动力学试验称 之为计算机辅助试验c a t ( c o m p u t e ra i d e dt e s t ) 。计算机和被试结构是c a t 中的 两个关键硬件，二者用专用的在一定类型的数学模型的指导下形成的软件连接， 完成相应问题的估计。现代的c a t 技术已在工程中广泛应用，但也存在着相应的 问题。如一个复杂结构的模态分析在很大程度上取决于工程师的经验和技巧，如 激振方式的选择、拟合方法的选择、工程师对被试系统的先验知识等；试验过程 中产生的误差；液固、气固耦合条件模拟的困难；非线性问题依靠线性模型来处 理试验数据等等。 现代的c a t 技术比c a m 发展晚，在试验模态分析中，e w i n s “、n a t k e “、b r a w n “7 1 是代表人物，国内的张令弥。”、张景绘进行了频率域模态分析技术和a r m a 模型在 试验模态分析中的应用研究“”。 由于上述两种模型在单独使用中都存在着一系列问题，因此由计算模型的结果 和由试验模型产生的结果相比性可能较差或根本没有相比性，这就是计算机一试 验辅助建模发展的原因所在。 3 计算机一试验辅助建模( c t a m ) 计算机一试验辅助建模c t a m ( c o m p u t e ra n dt e s ta i d e dm o d e l i n g ) 可以简 单模式化为： c t a m = c a m + c a t ；s ius a 。 其中s i ( s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ) 是系统识别，s a ( s e n s i t i v i t ya n a l y s i s ) 是灵敏度分析，它们在c a m 和c a t 结合中起桥梁作用。c t a m 研究的内容除了c a m 和c a t 单独研究的内容除外，主要包括模型间的相关性( 可比性) ；数学模型的减 缩及其对修改的影响；数学模型的修改方法及模型精度的描述；非线性检测、建 模；系统检测及诊断模型的讨论。 2 望苎盘堂塑堂焦监塞 1 1 2 动力学建模中的不确定参数问题概述 结构动力学分析是工程应用中一个重要的分析方法，由上述内容可知，它是 包括结构建模、分析计算和行为预测的一整套方案。对大型复杂结构而言，数值 计算和试验研究是进行动力学分析最基本的两种方法。对应于数值计算方法，有 限元分析方法在工程中普遍采用。作为数值计算方法的前提，研究者首先需要建 立相应的有限元计算模型。在复杂结构有限元计算模型的建立过程中，研究者需 要在对实际模型作必要的简化和模拟，输入相应的建模参数。在输入的参数中， 某些参数较难确定，本文称之为有限元计算模型的不确定参数。由于可信的结构 有限元计算模型是进行有效结构动力分析的前提，而不确定参数影响着有限元计 算模型对实际模型的仿真度，因此识别有限元计算模型不确定参数，是结构动力 学建模，进行动力学分析的一个重要问题。 1 2 课题研究的意义和目的 1 2 1 课蹶研究的意义 结构动力学分析有限元计算模型的建立过程，可以说是一个仿真的过程。由 于计算模型建立的依据是设计图纸或实际模型，对于大型复杂结构而言，如1 1 所述，有限元计算模型的仿真过程存在诸多不确定因素。具体而言，研究者在动 力学建模过程中需要输入很多基于实际模型的各种参数。如建立几何模型所需的 点的位置、线的长度、面的面积、体的体积；进行动力学分析必需的物理参数， 如材料的力学性能、联结部位的联结刚度、研究对象材料的密度、阻尼等。这些 参数直接影响到结构动力学计算模型的仿真度。在这些参数中，某些参数较容易 确定，如结构的几何尺寸以及明确材料的密度等。另外一些参数却较难具体衡量， 如不同材料之间的联接刚度，焊接区域材料的力学性能参数等。 由于所分析的实际结构存在诸多的不确定因素，对于计算模型而言，这些不 确定因素影响着动力学分析结果，以及动力学分析结果的可信度。也就是说，在 进行动力学问题的研究时，并不能简单的只要获得某个计算模型，然后进行动力 学计算分析即可。而要具体的分析建模过程中对动力学分析结果有影响的参数， 对这些参数具体分析，对不确定参数通过一定的方法进行识别，从而获得可靠的 有限元计算模型，有着重要的工程实际意义。 姿蒸盘堂塑堂焦迨童 1 2 2 课题研究的目的 文献研究研究表明，不确定参数识别的主要方法有松弛法1 、全量补偿法”、 分解法等。这些方法在工程实际应用中存在着一定的缺陷，如物理意义不够明 确，计算结果的收敛特性不够稳定等问题。由于随着不确定参数数值的改变，在 结构有限元计算模型上进行的模态分析结果也随之改变，进而影响到有限元计算 模型与试验模型的相关关系。根据c t a m 研究的内容，可以通过研究不确定参数的 变化对相关度的影响进行结构动力学模型的修正，提高结构计算模型仿真度的目 的。为得到最为合理的结构计算模型及局部不确定参数，本研究课题期望能够在 c t a m 研究的基础上，对c a t 和c a m 结合的桥梁s a 进行改进，拟构建一个能更好的 反映c a t 和c a m 相关度关系的参数。同时利用程序给出完整的相关度指标参数计 算结果，根据相关度指标参数计算结果进行结构的动力学计算模型的修正，并获 得相对最为合理的动力学计算模型，识别结构的不确定有限元计算模型参数，为 后续的结构动力学分析提供依据。 1 3 课题研究的可行性及思路 本文研究的内容是通过对c t a m 方法中模型间的相关性( 可比性) 研究进行 结构动力学计算模型的修改。利用有限元通用软件进行计算模型的模拟分析，以 实际物理模型的试验数据为依据，考虑多种因素对模拟数学模型的影响变化情况， 对两种模型的相关关系进行对比研究，确定相对合理的动力学参数模型。本文研 究的可行性基于以下几点： l 、试验模型是在一定的数学模型指导下建立的，随着现代测试技术的完善， 测试系统精度的提高，在试验模型上得到的低阶模态参数结论被认为是可信的。 2 、将计算模型解析模态和试验模态综合的重要意义在于不仅可以得到个较 低自由度的数学模型，对于非常复杂的子结构。得到子结构的试验模态远较解析 模态容易，且有较好的精度。对复杂的子结构用试验模态分析得到模态参数，同 时进行有限元分析，得到解析模态参数，然后运用模态综合理论得到全系统的动 力学模型，求解得到整系统的模态参数。由试验模态分析识别出的模态参数( 固 有频率、模态阻尼比、模态振型等) 是一些低阶的不完全的模态参数，但它与有 姿蒸盘堂亟堂焦查耋 限元分析的结果相比一般具有准确、可靠的特点。因而采用试验模态分析的低阶 模态参数进行计算模型的动力修改，确定有限元计算模型的不确定参数是可行的。 基于以上的依据，本文的研究思路是： l 、在文献研究和理论分析基础上，提出最优有限元计算模型的不确定参数识 别的方法。 2 、以某钢结构屋架下弦节点为研究对象，在先验知识的基础上，确定结构有 限元计算模型的局部不确定参数。对不同的建模方案，在计算机上利用通用有限 元计算分析软件进行子结构有限元计算模型的模态参数估算，确定合理的有限元 计算模型。 3 、建立可靠的试验方案，根据有限元计算模型模态参数计算的初步结果，设 定试验仪器初步的试验参数，进行仪器的信号测试分析。利用单点激励多点响应 数据采集方式获得频域试验数据，在相应的模态分析软件中进行试验模态分析， 获得试验模态分析的模态参数。 4 、在传统相关分析理论的基础上，提出改进的相关分析指标进行有限元计算 模型和试验模型的相关分析，并编制与相关分析有关的数据处理及相关度指标计 算程序，进行有限元计算模态分析数据和试验模态分析数据的处理。 5 、利用上述自编的相关度指标计算程序进行有限元模型与试验模型的相关度 指标计算，得到相关度指标与不确定参数的关系，识别一维、二维及多维最优有 限元模型指标参数，并验证本文所提方法的合理性和有效性。 ：江苤盘堂堑圭鲎焦硷盎 第2 章：有限元模态分析和试验模态分析简述 为建立可靠的结构动力学分析模型， 型是计算机一试验辅助建模的两大依据， 如绪论所言，有限元计算模型和试验模 c t a m 一个重要的研究内容是进行有限元 计算模型与试验模型的相关分析。本文研究的重点是基于相关度指标的有限元计 算模型不确定参数的识别方法，对研究对象进行模态分析是研究的前提。为识别 具体有限元计算模型的不确定参数，需要掌握有限元动态分析和试验模态分析技 术的相关内容。 2 1 有限元模态分析 在工程领域，有限元法是最常用的数值模拟分析的方法，其基本思想是将连 续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，由于单元能按各种不同的连接方式 组合在一起，且单元本身可以有不同的几何形状，因此，可以模拟形状复杂的研 究对象。再利用每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域上待求的未知场函 数。单元内的近似函数通常由未知场函数在各个节点上的数值及插值函数表示。 这样，使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。”。”。在结构 动力学问题中，振动系统的特性可以用模态来描述。表征模态的特性参数是振动 系统的各阶固有频率、固有振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。建立用模 态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程便称为模态分析。 系统振动方程可表示为： 朋宕+ 以+ 麟= f ( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 中时、c 、厨分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵：x 、贾、 义分别为结构的位移、速度及加速度列阵；f 为激励力向量列阵。 方程( 2 1 1 ) 的特征值问题为： 俾+ 弦c 一国2 均咖= 0( 2 1 2 ) 式( 2 1 2 ) 中国为特征值( 固有圆频率) ；咖为特征向量( 振型) ；，：= t 。 模态分析就是求解式( 2 1 2 ) 的特征值。 若质量矩阵和刚度矩阵是实对称正定矩阵，则求得的特征值数量与矩阵的阶 6 望蕉盘堂塑堂垡逾盘 次”相等，即有q ，q ，。求解特征值问题的方法很多，如矩阵迭代法、雅可眦 法、q l 法、q r 法等等。 事实上对于一个连续体的结构，其固有频率有无限多的阶次。在有限元中， 结构被离散成细小的单元，对于大型或复杂的结构，单元的数目是数以万计的， 由这些单元形成的振动方程组规模是很庞大的，由此而得到的特征方程，其矩阵 的阶次通常很高。而研究者感兴趣的往往只是低阶的模态，即频率阶次较低的频 率值和振型。因此，在有限元中经常采用一些特殊的方法来求解结构的模态。 在a n s y s 中，模态分析为线性分析，忽略非线性因素。a n s y s 的模态分析模块 中有以下几种提取模态的方法”。“： 1 ) b l o c kl a n c z o s ：布洛克兰索斯法，采用稀疏矩阵求解方法。求解特征 值对称的大矩阵，收敛速度快。 2 ) s u p e r s p a c e ：子空间迭代法，用于求解特征值对称的大矩阵的问题。 3 ) p o w e r d y n a m i c ：动态力法，用于非常大的模型( 超过1 0 0 0 0 0 个自由度) 特别是用在求解前几阶模态以了解模型特征的问题。 4 ) r e d u c e ：凝聚( 缩减) 法，采用缩减的系统矩阵来求解，较予空间叠代法速 度快，但准确性要差一些。 此外还有非对称矩阵法和阻尼法，前者用于求解模型生成的刚度矩阵和质量 矩阵不对称的问题，如在声学及流体结构耦合分析中出现的情况。后者通常 用于解决非线性问题。 在a n s y s 中有限元计算模态分析的基本步骤是： 1 、在合理假设的基础上利用软件进行系统的动力学建模。包括几何假设，单 元选择，参数设定，构建有限元模型等。 2 、加载求解。包括选择分析类型，指定分析方法，进行结构加载，执行求解 分析等。 3 、获取模态参数。 必须指出的是，有限元建模过程中应考虑试验建模提出的要求，主要集中在 单元划分( 单元类型、结点位置、边界条件) ，考虑的因素有；主自由度与测点的 对应：合理的阻尼机构；合适的边界单元模拟试验的边界条件和支承；实特征值 和复特征值的关系转换等等。 i 江苤盘堂塑鲎焦途圭 2 2 试验模态分析 由振动理论”1 知，对于线性时不变系统，系统的任一点响应均可表示为各阶 模态响应的线性组合。对，点的响应可表示为： 西( 国) = 仍1 吼( 脚) + 仍2 9 2 ( ) + + 纯g ( ) = 伊k 玑( 国) ( 2 2 1 ) 式中体为第，个测点、第r 阶模态的振型系数。由个测点的振型系数所组成 的列向量为g o , = ( 镪，仍，) j 称为第r 阶模态向量，它反映了该阶模态的振动形 状。由各阶模态向量组成的矩阵称为模态矩阵，它是一个( n x n ) 阶矩阵，记为： m = 【仍，竹，卿】 ( 2 2 2 ) 则系统的响应列向量为： z 沏) = c q ( 2 2 3 ) 式中q = ( m ) 。q ( c o ) ：，g ( 叻，g ( 印) r ，将式( 2 2 3 ) 代入系统振动方程 得： ( 一出2 m + j o j c + 五) 垂q = ，( 国) ( 2 2 4 ) 对于比例阻尼系统c = 口m + p k ，其中口、为比例系数，由于质量矩阵m 与 刚度矩阵k 均为对称实数矩阵，故比例阻尼矩阵c 以为对称实数矩阵，在非重根 情况下( 即模态稀疏情况下) ，由于第，阶模态频率与第j 阶( ，s ) 模态频率不 相等有模态正交性条件如下： 饵t m t = z 盂岛足西= 嚣i 岛饼= 絮弦z s ， 式中巧、 i 、c ，分别称为第，阶模态刚度、模态质量、模态阻尼。令丘，m ， e 分别为系统的模态刚度矩阵，模态质量矩阵，模态阻尼矩阵，由于模态正交性 的存在，所以足，、m 、c ，均为对角阵。于是把方程( 2 2 4 ) 改写为： ( 一国2 m r + j o c , + t ) q = c ( 2 2 6 ) 对于第r 阶模态则有： ( 一国2 嗨+ j c o c , + 墨) q r = # ( 2 2 7 ) 式中e = f ) 。显然，式( 2 2 6 ) 为非耦合方程组。方程中的坐标为模态 坐标q 。结构系统的模态就是由上述这些模态参数来描述的，它们决定着结构的 动态特性。 8 鎏蒸盘生塑鲎焦迨塞 22 ，1 多自由度系统实模态分析 设系统自由度为，阻尼为比例阻尼，由式( 2 2 7 ) 可得第，阶模态坐标为： 靠3 f 磊- 丽p r 2 2 8 式中f = 疗，( ) = 乃( ) ，( j = l ，2 ，n ) 。 j = l 在结构上任意测点珀q 响应为 而( 珊) = 吼 ( 2 2 9 ) 因为本课题采用单点激励多点响应来获得数据。设激励力作用在p 点，则激 励力方向量变为f = 【o ，o ，以( 脚) ，o ，o 】t ，模态力为c = ，无( 甜) ，因此，式 ( 2 2 8 ) 可写为： 铲若鬻 将上式代入式( 2 2 9 ) 得 氘向、；芒 (训一_- 和) 2 酝g 面”券- - ：- 西 测量点f 与激励点p 之间的频响函数为： 器2 驰，= 善瓦考赢 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 上式表示，点的响应是单独由p 点的激励力引起的。也就是说，q 。( 珊) 的含义 为在p 点作用一单位正弦力，在z 点产生复响应。由此可见，频响函数与激励力的 大小无关。对式2 2 1 2 做变换可得： ( 咖喜丽焉南丽 ( 2 2 1 3 ) 式中k ，= ： 称为等效刚度。巧与测量点和激励点有关。它与模态刚度巧 口，f ，伊， ” 一一7 不同，巧只与模态有关，而与测量点和激励点无关。式( 2 2 1 3 ) 中的e ：q 姿蒸盘堂塑堂焦迨查 鼻= 2 m c r 国，。称为第r 阶模态的阻尼比。 式( 2 2 1 2 ) 还可写成： 驰，= 喜而鸯丽= 姜瓦为丽= 争：!：争 盟 鲁j 】1 0 ( 国；一出2 + j 2 鼻研缈】 鲁“l 一西) + ，2 鲁耳】 式中：4 5 1 势称为留数或模态常数，必r m r2 玄称为等效质量， q = 号手。去称为等效柔度a 可以看到等效刚度和等效质量的比值为模态频 刚吣急。 2 2 2 单点激励的频域模态参数辨识方法 由于在实验采用的是实模态分析方法，出于试验软件和方便起见，本文采用 分量分析法来辨识模态参数，所谓分量分析法就是将频响函数分成实部分量和虚 部分量进行分析a 对于个具有自由度的结构阻尼系统，在p 点激励，点测量 响应的实模态频响函数表达式如下： 阶喜去靠+ ，焘， 式中：k ：； ，为第r 阶等效刚度；鼻为第，阶模态结构阻尼比；e 为 零! 渖d r j 频率比或相对频率甄= 晏。当国趋于某阶模态的固有频率时，该模态起主导作用， 口 称为主导模态或简称主模态。在主模态附近，其他模态影响较小。若模态密度不 大，各阶模态比较远离，其余模态的频响函数值在该主模态附近很小，且曲线比 较平坦，即几乎不随频率而变化，因此其余模态的影响可用复数来表示，对第r 阶模态式( 2 2 1 5 ) 可近似表示成： 叩) = 喜去 高+ ，赢】+ ( 磁+ 倒) ( 2 z q 。( 面) 的实部与虚部可表示为如下 咖，= 喜去c 禹州 z m 咖，= 喜去c 赢州 z 式中磁、磁为剩余模态的实部和虚部。 由于剩余模态与脚无关，故在实、虚频图上相当于把横坐标平移一距离。固 有频率可从实频曲线与剩余柔度线的交点来确定。此处藏= 1 ，亦可由虚频曲线的 峰值所对应的频率来确定。 由式( 2 2 1 8 ) 知，对主模态而言( 不计剩余柔度) ，当西= 1 时， 珥( 叫) _ _ 器( 2 2 1 9 ) 分别测出结构上各点的磁( 国) 值( ，= 1 ，2 ，三) ，则可得第，阶模态的振型系 数列阵： 矾何= 1 ) ) ，= 玩何= 1 ) 叫。( 历= 1 ) 吒何= 1 ) ：一旦 r k ? 竹， 仍， ( 2 2 2 0 ) 对，阶模态，当采用单点激励时，去为常数。因此 咏何= 1 ) ) 即可代表模 1 ，矿 。 。一。 伊、 训+ ， 态振型。因为振型只是反映振动形状，与振动大小无关。故常取归一化后振型列 阵，常用的归一化方法是对激励点归一化，即取原点= 1 。 根据公式( 2 2 2 0 ) 和在实验中所取得的传递函数，这时就可以构建结构的 模态振型。 鋈蕴基堂塑圭堂焦造童 2 2 3 试验模态分析基本步骤 对于一个实际存在的测试结构，如上所述，首先可以通过测定结构测点对应 的输入和输出响应，然后将测量得到的数据转换成频响函数，即作为频率函数的 输入输出之比。理论证明，这些频响函数可以用模态参数表示，因而试验模态分 析就能从测得的频响函数来估计这些模态参数。即利用频响函数进行测试结构系 统的模态参数估计汹3 。 本课题试验模态分析的基本步骤是： l 、建立测量系统，包括悬挂试件，选择力传感器和响应传感器，对测试系统 进行校准和系统参数的设置( 包括传感信号等的正确性验证) 。 2 、测量频率响应数据。具体步骤包括利用非连接激励一一力锤激励使得结构 振动，测得结构激励与响应的时域数据，利用相干函数进行频响函数验证，利用 模态分析软件进行时域数据的频域转换，算出频响函数的平均估计。 3 、模态参数估计，即利用测得的频响函数来估计模态参数。 4 、模态模型验证。 同时，试验模态分析过程中应考虑有限元计算提出的试验条件，考虑因素有： 试验模型要满足时不变、线性、互易性和可重复性；试验模型的支承、边界条件、 附加质量和单元划分一致；测试系统有合适的量化精度、频率分辨率、窗函数、 小的频率泄漏、正确的频率响应函数估计子；测点布置与主自由度一致；激励选 择中的s i s o 或m i m o 、合适的激振波形；模态估计方法的选择考虑特征值问题求解 方法等问题。 2 3 、本章小结 1 、本章首先简述了论文中涉及的有限元结构动力分析的基本理论，对应用有 限元软件进行模态分析做了简单介绍。 2 、系统介绍了振动测试的基础理论及测试手段及测试注意点。 3 、简要介绍了论文必须的有限元计算模态分析和试验模态分析的内容和步骤。 1 2 、江菱盘堂塑堂焦逢童 第3 章：有限元计算模型不确定参数理论分析 3 1 有限元计算模型参数概述 如绪论所述，在结构有限元计算模型的建模过程中，研究者需要输入很多的 参数，这些参数中，不确定参数影响着动力学分析结果。为识别有限元计算模型 的不确定参数，本文将有限元计算模型的参数定义为以下两种类型，并对各种参 数类型对计算模型的建立可能的影响作了一定的分析。 1 几何参数 几何参数是有限元计算模型形状确立的依据，如模型在某个建立空间或平面 下的组成模型系统的点的坐标值，线的长度、面的面积、体的体积。这些参数的 确立过程是根据设计图纸尺寸或通过人们的观察和测定过程决定，测定的过程粗 略的可以由人通过一定的标尺工具进行测量，精确的可以利用测量的专门仪器来 进行。无论是精确的还是粗略的测量过程，研究对象的几何参数和计算模型的几 何参数误差都必然存在。这种误差的存在是不可避免的，但可以通过测量方法和 测量仪器的选择加以控制。几何参数的确立对于任何研究者而言，是计算模型所 有参数中相对最容易确定且是有限元计算模型中争论最少的。当然这其中可能存 在的最大争论是，往往计算模型的建立过程遵循合理简化的原则，对于一些大型 复杂的结构，研究者不可能考虑的面面俱到。在这个简化的过程中，不同的研究 者考虑问题的思路会存在一定的差异，而这种差异对研究目的的影响主要取决于 研究者的实践经验和理论水平。 2 物理参数 物理参数是结构模型的内在本质，如材料的力学性能、联结部位的联结刚度、 研究对象材料的密度、阻尼等m 1 。本文认为，物理参数是有限元计算模型参数中问 题最多的，对结构动力学分析结果影响较大。反映到有限元计算模型上，不同数值 的同一物理参数对应的有限元计算模型与试验模型的相关度值也不同。通常材料物 理参数的确立是通过查阅一定的国家规范、技术手册来确定。但在一定的规范或手 册中，这些参数有时给出的是一个区间。一般情况下，研究者选取的都是这个区间 些蒸盘鲎塑堂焦迨圭 的中间值。但这个值究竟是不是试验具体模型的实际参数值，无从考证。另外，还 有其他的一些物理参数无一定的工具书可以引用，要由研究者的经验或试验的结果 来加以判断，这就对计算模型和试验模型的相关度增加了不确定性因素。”。“。 本文研究的重点是对于一个具体的研究对象，建立种方法，来识别有限元计算模 型的不确定物理参数，同时，在该参数基础上建立的有限元计算模型能够更好的仿 真试验模型，为后续的有限元结构动力学分析提供最大可靠性依据。 在人们直在努力解决的问题中，选择并确定最合理的物理常数以及单元类型 的选择和划分是一个非常重要的问题。如果能够通过定的方法能够识别最合理 的物理参数，在此基础上建立的计算模型( 假设其它条件不变的前提下) 仿真度 相对最好，本文定义这个参数为最优有限元计算模型参数。 带着这个问题，本文从有限元模态和试验模态的相关性出发，在确定的比较前 提和方法下，用有限元计算模型与试验模型相关性指标来度量计算模型与试验模 型相关联的程度，并做出了以下的定义。 3 2 最优有限元计算模型指标参数 3 2 ，1 理论基础 由式( 2 1 2 ) 可求出振动系统的特征值和特征向量。当模型的某个参数口，有 一小变化吩时，它引起模态参数特征值和特征向量的变化，可以表示成泰勒级 数形式。即 如，+ a a 小丑如少 仍0 ，+ a a ，) = 识如，) + + o 缸，) + o g ，) 式( 3 3 1 1 ) 中：五= 砰，o 如，) 表示口，的高次幂项的总和。当口，很小时，o 扛) 是高阶小量，上两式中的第二项即为小的参数变化引起的模态参数的变化。当d ， 比较大时，上两式仍可使用，只不过多取几项，然而，要计算特征值和特征向量 的高阶导数比较困难，而且当q 足够大时，上两式不收敛。当参数口，变化比较 大时，分析它对模态参数的影响的另外一条分析途径如下： 妇 幽 帆一鸭舰一峨 由无阻尼系统特征值问题： r k a , m ) q o j = 0 ( 3 2 1 2 ) k ，m ，五仍皆为参数群口的函数，两边对a 的一个元素口，求导： ( n 五m ) 参+ l 筹一呐o & m 一 等弘- o 慨z ， 用左乘式( 3 3 1 3 ) ，注意疗m 毋= m i，( 对于归一化的妒；，鸭= 1 ) 得： 呐o x , 2 百1 仍r l ( 瓦o k 一丑剖仍 ( 3 2 - ) 公式中含有模态参数 和仍以及矩阵k 、m 对盯，的导数。 特征向量对参数g ，的导数可以由式( 3 2 1 2 ) 求导直接得到，但表达式很复 杂，分析其物理意义很难，通常将它表示成各阶特征向量的和，即 磬= 莓纯 为j 计算系数，将式( 3 2 - 1 5 ) 带入( 3 2 1 3 ) 司得 ( k - 删莩纯+ ( 筹一莩饩m 一 丝o j b 女i “ji 由正交条件，用仇7 左乘上式得： ( 足一 m ) 莩口扯仇+ 何r l ( 瓦o k 一莩纯m 一丑等l 仍= 。 由式( 3 2 】7 ) 可摊得 ；蔫( o k 掣o