（控制理论与控制工程专业论文）复杂网络理论在贵州输配电网中的应用基础研究.pdf

贵州大学硕士学位论文 摘要 复杂网络已经被普遍认为是刻画和研究自然界和人类社会中各种复杂体系 结构的一种全新而有效的工具，近年来人们见证了这一统计物理热点研究领域的 飞速发展，一些具有代表性的模型的产生，为复杂体系的结构提供了更精确的描 述。目前，复杂网络中的传播动力学和相继故障已成为了复杂网络研究中的两个 热点。随着社会经济的发展，电网在国民经济中的地位也显得越来越重要，因此 加强其运行稳定性的研究就显的尤为重要。本文正是从这点考虑，用复杂网络的 相关理论和模型分别对贵州电网中拥塞和级联停电故障进行了分析研究。 在对贵州电网的最初研究中我们发现，贵州电网表现出的是一个局域无标度 的特性，基于这一特性，我们把复杂网络中局域无标度网络的病毒传播机理引入 到了对贵州电网中的电力拥塞的分析中来，通过把电力拥塞视为“病毒”求解出 了贵州电网中的拥塞传播临界值并通过对几种主要免疫策略的对比研究，得到了 适合于局域无标度网络的免疫策略。 在复杂网络理论研究的众多领域中，电网的相继故障研究是一个重要组成部 分，而且相继故障是造成电网大面积停电的一个主要因素，在电力负荷不断增加 的情况下，本文应用一个改进的最优潮流方法模型对贵州电力传输网进行了分析 研究，这个模型再现了发电节点、负荷节点以及传输线路间的相互关系，本文通 过对贵州电网传输线路相关数据的分析，运用这个改进的最优潮流方法模型求解 出了在负荷不断增加的情况下，可能引起其电力传输线路级联停电故障的临界 点。从而对贵州电网的可靠运行提供了相关参考。 最后，本文还运用混沌理论对贵州电网稳定性做了初步的探索，为今后在这 方面的研究打下了坚实的基础。 关键字：局域无标度网络、传播临界值、 模型、级联故障临界点、混沌、 中图分类号：n 9 4 ；t p 3 9 3 i i i 免疫策略、复杂系统、最优潮流改进 李亚普诺夫指数 贵州大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o m p l e xn e t w o r kh a sb e e ng e n e r a l l yc o n s i d e r e dan e wa n de f f e c t i v et o o lt o p o r t r a ya n ds t u d yt h ec o m p l e x a r c h i t e c t u r ei nt h en a t u r a lw o r l da n dh u m a n s o c i e t y 。i n r e c e n ty e a r s ，p e o p l ew i t n e s s e dt h er a p i dd e v e l o p m e n ti nt h ef i e l do ft h i sh o ts p o t so f s t a t i s t i c a lp h y s i c sr e s e a r c h ，an u m b e ro fr e p r e s e n t a t i v em o d e l sw a s c r e a t e d ，p r o v i d i n g am o r ea c c u r a t ed e s c r i p t i o nf o rt h ec o m p l e xs y s t e ms t r u c t u r e a tp r e s e n t ，t h ec o m p l e x n e t w o r ko ft r a n s m i s s i o nd y n a m i c sa n dt h ec a s c a d i n gf a i l u r eh a sb e c o m et w oh o t s p o t s i nt h ec o m p l e xn e t w o r kr e s e a r c h 。w ! i t l it h es o c i a la n de c o n o m i cd e v e l o p m e n t ，t h e p o w e rg r i dh a sb e c o m ei n c r e a s i n g l yi m p o r t a n ti nt h en a t i o n a le c o n o m y ，t h u st o s t r e n g l 【h e ni t so p e r a t i o ns t a b i l i t yi ss i g n i f i c a n t l yi m p o r t a n t 。f r o mt h i sp o i n to f v i e w , t h i sa r t i c l ea n a l y z e dt h eg u iz h o up o w e rg r i dc o n g e s t i o na n dac a s c a d i n g p o w e ro u t a g ef a u l tw i t hr e l e v a n tt h e o r i e so fc o m p l e x n e t w o r ka n dm o d e l s i nt h ei n i t i a ls t u d y , w ef o u n dt h a tg u iz h o up o w e rg r i dp e r f o r m sl o c a ls c a l e - f r e e c h a r a c t e r i s t i c s ，b a s e do nt h i s ，w eu s e dv i r u st r a n s m i s s i o nm e c h a n i s m ，o fl o c a l s c a l e - f r e en e t w o r ki nt h ec o m p l e xn e t w o r k , t oa n a l y z eg u iz h o ue l e c t r i c i t yg r i d c o n g e s t i o n 。c o n s i d e r i n gt h ep o w e rc o n g e s t i o na sa ”v i r u s ，w eo b t a i n e dt h ec r i t i c a l d i s s e m i n a t i o nv a l u eo fg u iz h o up o w e rg r i dc o n g e s t i o n 。a f t e rc o m p a r i n gs e v e r a l m a j o ri m m u n i z a t i o ns t r a t e g i e s ，w eg o t ai m m u n i z a t i o ns t r a t e g yt h a ts u i t e dt h el o c a l s c a l e f r e en e t w o r k 。 d u r i n gt h ec o m p l e xn e t w o r kt h e o r e t i c a lr e s e a r c hf i e l d s ，p o w e rg r i dc a s c a d i n g f a i l u r ei sa l li m p o r t a n tc o m p o n e n t ，s i n c ec a s c a d i n gf a i l u r eh a sb e e no n em a j o rr e a s o n f o rl a r g ea r e ab l a c k o u t a s s u m i n gt h a tp o w e rl o a di se v e r - i n c r e a s i n g ，t h i sp a p e ru s e d a l li m p r o v e do p t i m a lt r e n dm o d e lt oa n a l y z eg u i z h o up o w e rt r a n s m i s s i o nn e t w o r k 。 1 f 1 1 i sm o d e lr e p r o d u c t e dr e l a t i o n sa m o n gp o w e rn o d e s ，l o a dn o d e sa n dt r a n s m i s s i o n l i n e s 。a f t e ra n a l y z i n gd a t ao fg u iz h o up o w e rg r i dt r a n s m i s s i o nl i n e s , w ea c q u i r e d t h ec r i t i c a l p o i n ta tw h i c hc a s c a d i n gb l a c k o u t sf a i l u r ei nt r a n s m i s s i o nl i n e sm a y h a p p e n ，t h e r e f o r er e l e v a n ti n f o r m a t i o nw a sp r o v i d e df o rt h er e l i a b l eo p e r a t i o no fg u i z h o up o w e rg r i d f i n a l l y , w ea l s od i dap r e l i m i n a r ye x p l o r a t i o no nt h es t a b i l i t yo ft h eg u iz h o u p o w e rg r i d ，u s i n gc h a o st h e o r y ，a n dl a i das o l i df o u n d a t i o nf o rf u t u r er e s e a r c hi nt h i s a t e a k e yw o r d s ：p a a i a ls c a l e f r e en e t w o r k ，s p r e a dt h r e s h o l d ，i m m u n i z a t i o n s t r a t e g y ，t h ec o m p l e xs y s t e m ，o p t i m a lp o w e rf l o wi n n o v a t e m o d e l ，t h ec a s c a d i n gf a i l u r ec r i t i c a lp o i n t ，c h a o s ，t h el y a p u n o v e x p o n e n t i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研戍果。 对本文的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权贵州大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，* - - r 以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：猫 导师签名： 论文作者签名：乏留型 导师签名：日期：2q q 堑生笸旦 贵州大学硕士掌位论文 叱1 ： 月【青 复杂网络目前正日益成为学术界的研究热点，它跨越了许多学科领域，无庸 质疑，许多在自然界中的系统都能通过复杂网络模型来加以描述；既通过节点和 连接它们的边来组成其模型结构。关于这方面的例子是很多的，如互连网是一个 网络的通路或范围，w w w 是一个网站的网络，大脑是一个神经原的网络等等。 无处不在的复杂网络在科学技术中已经普遍的导致了对于共同的和重要的 研究问题的关注，既是网络结构的简化和网络动态工作的约束，这些在传统学科 的研究中大量的被忽视了。举个例子，社会网络作为疾病传播的媒介该怎么做 呢? 如何通过一个强大的传递链条或全球财经网络对传播故障进行分级? 对于 一个特定的组织或一个构造在一个改变的或是不确定的环境下什么是最有效的 并且是耐用的结构? 这类问题我们每天都要面对且问题需要去回答和解决。 在本文中我们主要是通过研究复杂网络的传播机理和复杂网络上的相继故 障来分析贵州电网的稳定性。在很多实际网络中，一个或少数节点或边发生的故 障( 这种故障可能是随机的，也可能是蓄意攻击造成的) 会通过节点之间的耦合 关系引起其他节点发生故障，这样就会产生连锁效应，最终导致相当一部分节点 甚至整个网络的崩溃。电网作为国民经济的命脉，其稳定运行有着重要的意义， 在电力网络中，大规模的相继故障一旦发生，往往具有极强的破坏力和影响力。 例如，2 0 0 3 年8 月，由美国俄亥俄洲克利夫兰市的3 条高压输电线路相继过载 引起的北美大停电事故，使得数以万人陷入黑暗，经济损失高达数百亿美圆。同 样在我省的乌江电站由于变压器引起的一次电力事故在电力网络中的传播使其 一直波及到兰州，也造成了较大的经济损失。而且，有时在电力网络上的一些小 问题实际上是为一次大规模相继故障作积累。因此，寻找一种方法来提高电力网 络的稳定性是极其重要的也是极其有意义的。通过复杂网络原理对电力网络进行 的研究这几年在国外( 特别是北美) 已经开展，并且取的了一定的成果也建立了 一些动态模型，但是对于一个现实电网的稳定性研究还没有提出较好的解决方 法，并且一些模型的建立偏向理想化。在国内具我所查阅的资料来看运用复杂网 络原理对电力网络的稳定性进行研究基本上还是一个空白，国内对于这方面的研 究还更多的停留在对模型的探讨上，而且，运用复杂网络相关理论对一个实际电 网进行深入研究和探讨还有许多工作要做。 本论文研究的主要内容是：准备通过对复杂网络原理的深入学习和研究，运 用或借鉴复杂网络的相关理论来提高贵州输配电网运行的稳定性，尽量避免在电 力网上产生相继故障，以提高电网的运行效率，从而减少不必要的损失。而且， 文章通过对电网的相继故障的研究也从一个侧面表征了电力系统的自组织临界 贵州大学硕士学位论文 性，从而也为一些大停电事故提供了一些相关解释。为更深入的利用相继故障和 自组织临界理论来研究电网这个复杂的动态网络打下了一定的基础。 最后，本论文的开展受到贵州大学研究生创新基金项目资助，基金项目名称 为：复杂网络理论在贵州输配电网中的研究，基金号为：2 0 0 6 0 2 。 贵州大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 复杂网络的研究现状分析 网络不但是许多复杂系统的结构形态，它还可作为系统结构拓扑特。i 生的模 型。一切事物都是相互作用的表现，可以认为系统是相互作用的稳态。相互关联 的事物所组成的系统其结构可以抽象为一个网络，各类作用体可以抽象为网络的 结点，而它们之间的相互作用则抽象为节点与节点之间的连接或边 1 。生态系 统中，物种之间的相互关系可以描述为食物链网络；社会系统中，人与人的关系 也可以用一个社会关系网来描述 2 。其他如因特网中计算机之间的网络联结， 万维网中网页之间的超链接等等均可以用网络来刻画。一个具体的网络可以抽象 为一个由点集v 和边集e 组成的图g = 缈，e ) 。节点数记为n = 矿l ，边数记为 肘；吲。e 中每条边都有v 中的一对点与之相对应 3 。如果任意点对 ，_ ) 与 ( ，i ) 对应同一条边，则该网络称为无向网络，否则称为有向网络。如果给每条 边都赋予相应的权值，那么该网络就称为加权网络，否则为无权网络。当然无权 网络也可以看成是每条边的权值都为1 的等权网络。 人们把复杂网络不依赖于结点的具体位置和连线的具体形态所表现出来的 性质叫网络的拓扑性质，相应的结构叫网络的拓扑结构。实证研究表明，绝大多 数现实网络都具有小世界现象，无标度行为，集聚性等特性。为了解释现实网络 的拓扑特征，1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 提出了小世界网络模型 4 。随后， 在1 9 9 9 年，b a r a b d s i 和a l b e r t 又提出了无标度( s c a l e f r e e ) 网络模型 5 。 他们开创性的工作引发了人们对现实世界复杂网络的研究热潮，也使得复杂网络 研究逐步的渗透到了数理学科、生命学科和工程学科等众多不同的领域，因此广 对复杂网络的定量与定性的科学理解，已成为网络时代科学研究中一个极其重要 的挑战性课题，甚至被称为“网络的新科学 6 。 现在复杂网络已被广泛用于研究诸如混沌吸引子 7 及混沌系统的同步，神 经网络及生物计算，信息传播，传输系统的优化 8 ，甚至物理学中的相变与临界 现象( 如i s i n g 模型) 等许多不同的问题。可以说，复杂网络的研究，开辟了 统计力学的一个内容丰富的新分支，为人们理解复杂系统提供了一种新的思路和 技术。 一般而言，网络系统的复杂性体现在以下几个方面 9 ：第一、结构复杂性。 网络连接结构看上去错综复杂，极其混乱。网络连接结构可能是随时变化的，如： 万维网上的页面和连接每天都在不停的变化着。此外，节点之间的连接也可能具 贵州大学硕士学位论文 有不同的权重或方向。如：神经网络中的突触就有强有弱。第二、节点复杂性。 网络中的节点可能是具有分岔和混沌等复杂非线性行为的动力系统 7 ，例如： 基因网络中的每个节点都具有复杂的时间演化行为，一个网络中可能存在多种不 同类型的节点。第三、各种复杂性因素的相互作用影响。实际的复杂网络会受到 各种各样因素的影响和作用。例如：耦合神经元重复地被同时激活，那么它们之 间的连接就会加强，这被认为是记忆和学习的基础。此外，各种网络之间也存在 密切的联系，这使得对复杂网络的分析变得更加困难。例如：电力网络的故障可 能会导致i n t e r n e t 流量变慢、金融机构关闭、交通系统失去控制等系列不同 网络之间的连锁反应。目前，对于复杂网络的研究主要分为三个方面：第一，实 证研究。采用表征网络系统结构和行为的统计参量来描述现实网络，对样本数据 进行实际测量，从而揭示现实网络的统计属性。第二，演化机理的研究。构建能 够帮助理解统计属性的网络模型，解释网络的统计属性何以如此，彼此之间如何 联系，从而揭示决定网络演化的主要因素。第三，网络动力学的研究。理解网络 拓扑结构对网络上的物理过程( 比如病毒传播0 网络导航、拥塞、同步、相继故 障等) 的影响，预测网络系统的行为。 在人类的历史长河中，传染疾病一直严重的威胁着人类的健康，为什么传染 疾病能快速的在大范围内传播呢? 什么情况下传染疾病才会大面积的爆发呢? 这些问题一直困惑着人们。随着科技的发展，今天我们已经可以运用复杂网络上 的传播机理通过建立传播模型 1 0 1 1 1 2 对这一系列的问题加以解释了。复杂 网络的传播机理和网络的拓扑有着密切的关系，一个网络的拓扑结构决定了疾病 ( 或病毒) 在网络中的传播速度和传播范围 4 3 。因此，复杂网络的传播临界值 理论孕育而生，通过对临界值的求取我们就可以建立相关的防范措施 4 8 5 0 。 当然，在研究过程中我们认为有些传染模型不仅仅能够用于对传染疾病的研究， 它还可以研究复杂网络中的其他问题 5 5 。 复杂网络理论中的一个重要分支是复杂网络上的相继故障，它主要针对的是 电力网络，在电力网络中一些小的故障随着时间的推移常常会导致一场级联的大 停点事故，从而造成巨大的经济损失。对于复杂网络中的相继故障研究，通常是 通过建立复杂网络相继故障的动态模型来对其加以分析的，其主要模型有：负荷 一容量模型、二值影响模型、c a s c a d e 模型 2 8 2 9 3 0 和o p a 模型 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 。这些模型对电网中的级联故障的研究侧重点各有不同。 其中，较为经典的是o p a 模型和c a s c a d e 模型。在研究中人们发现电网存在这自 组织临界性，既相继故障的发生并不是随机的，当电网中出现故障时，它并不会 马上使电网瘫痪，而是当发生的故障超过一定的值( 相继故障临界值 3 6 3 7 3 8 4 0 ) 时，才有可能造成大规模的停电。在对复杂网络相继故障的 动态模型分析研究中我们发现，它们的建立有些偏向理想化，当我们把它运用于 贵州大学硕士掌位论文 现实电力网络中时，我们发现计算中常会出现以实际情况相背离的结果，因此， 在把这些模型用于实际电网中时，要对其进行改进 5 6 。 在2 0 世纪初人们在用牛顿力学研究复杂系统时遇到了困难，即在复杂性面 前，牛顿力学显得无能为力，从此就拉开了混沌研究的序幕。所谓混沌是指某种 对初始条件敏感的运动，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则，类似随机的 现象，是普遍存在的复杂运动形式和自然现象。它无序中又有序。混沌是j 线性 动力学系统在一定条件下所表现的一种运动形式。是系统处于非平衡过程中所呈 现的随机行为，因此非线性是产生混沌的必要条件，但并非任何非线性系统都会 产生混沌，一般认为当系统具有如下三条数值特征时就会发生混沌：( 1 ) 系统的 运动轨迹为奇怪吸引子现象。( 2 ) 系统运动的功率谱具有连续谱上叠加有尖峰的 特点。( 3 ) 系统中至少有一个李雅普诺夫指数入 0 。混沌的类型大体可分为四大 类：第一类为时间混沌，第二类为空间混沌，第三类为时空混沌，第四类为功能 混沌。混沌的特征 1 3 ：( 1 ) 系统的动力学特性对初始条件的敏感性；( 2 ) 存在不 稳定周期轨迹的稠密集；( 3 ) 正的l y a p u n o v 指数或有限k o l m o g o r o w s i n a i 熵( k s 熵) ；( 4 ) 连续能量谱：( 5 ) 非遍历性；( 6 ) 混合性( m i x i n g ) ：及其它一些极限性质。 混沌科学的研究表明，现实世界是一个有序与无序相伴、确定性和随机性统一、 简单与复杂一致的世界。 1 2 本论文所做的工作 本文主要是运用复杂网络理论来研究贵卅i 电网的稳定性，工作主要从两个方 面入手，首先，是从电网中的拥塞问题入手，在第三章中通过对贵州电网潮流图 的分析，先运用连续场理论对贵州电网的网络类型加以了论证，求解出了其度分 布函数，得出了贵州电网的网络模型。通过这个网络模型我们引入了复杂网络中 局域无标度网络的病毒传播机理中的病毒传播模型( s i s 模型) ，对贵州电网产 生拥塞后最终威胁到整个网络稳定的i 临界值进行了求解分析，并通过对复杂网络 中无标度网络的免疫策略的比较分析，选出了适合于贵州电网的免疫策略。其次， 我们从对电网威胁最大的级联停电故障入手，通过对复杂网络中的级联故障经典 模型( o p a 模型) 的分析研究并对它加以校正改进，得出了一个可以用于实际 电网研究的o p a 校正模型，在本文的第四章中我们通过对所得到的贵州电网传 输线路相关数据的分析，运用这个模型求解出了在负荷瞬间增加的情况下，可能 引起其电力传输线路级联停电故障的临界值。在文章中求出的这个临界解对于一 个实际电网而言具有着较高的理论和现实意义，这在第四章中我们将逐一进行论 述。 最后，本文通过混沌理论在贵州电网中的初步探索，指出了复杂网络更深层 的发展与研究方向，也为今后在这个方向进行更进一步的研究打下了坚实的基 础。 贵州大掌硕士掌位论文 第二章复杂网络中的基本概念和演化模型 2 1 复杂网络中的基本概念 近年来，人们在刻画复杂网络结构的统计特性上提出了很多概念和方法，其 中有三个基本的概念，它们分别是：平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 、聚 类系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 、度( d e g r e e ) 和度分布( d e g r e e d i s t r i b u t i o n ) 。 2 1 1 平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 网络中两个节点f 和之间的距离民定义为连接这两个节点的最短路径上的 边数。网络中任意两个节点之间的距离的最大值称为网络的直径，记为 d ( d i a m e t e r ) ，既：dim a x d j ，网络的平均路径长度l 定义为任意两个节点之 王，一， 间的距离的平均值，即： b 荪1 弘 。1 ) 其中为网络节点数。网络的平均路径长度也称为网络的特征路径长度 ( c h a r a c t e r i s t i cp a t hl e n g t h ) 如果不考虑节点到自身的距离，那么要在上式 的右端乘以因子( n + 1 ) ( 一1 ) 。在实际应用中，这么小的差别是完全可以忽略 不计的。 2 1 2 聚类系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 一般地，假设网络中的一个节点i 有k ；条边将它和其他节点相连，这七；个节 点就称为节点i 的邻居。显然，在这屯个节点之间最多可能有心 - 1 ) 2 条边。 而这曩个节点之间实际存在的边数e 。和总的可能的边数t 。一1 ) 2 之比就定义 为节点f 的聚类系数c ，即： c f 。矩f ( k i ( k i 一1 ) ) ( 2 2 ) 从几何特点看，上式的一个等价定义为： 一 与点i 相连的三角形的数量 - i 一 叫 与点i 相连的三元组的数量 ( 2 3 ) 贵州大学硕士掌位论文 其中，与节点i 相连的三元组是指包括节点i 的三个节点，并且至少存在从节点i 到其他两节点的两条边。整个网络的聚类系数c 就是所有节点f 的聚类系数c ；的 平均值。很明显0s cs 1 。当且仅当所有的节点均为孤立节点时c = 0 ，当且仅 当所有的节点全局耦合时，既网络中任意两个节点都直接相连时c 一1 。对于一 个含有个节点的完全随机的网络，当很大时，c o ( 2 v 。1 ) 。而许多大规模 的实际网络都具有明显的聚类效应，它们的聚类系数尽管小于1 但却比o ( n 1 ) 要 大的多。事实上，在很多类型的网络( 如社会关系网) 中，你的朋友的朋友同时 也是你的朋友的概率会随着网络规模的增加而趋向于某个非零常数，既当 呻o 。时，c d ( 1 ) ：这意味着这些实际的复杂网络并不是完全随机的，而是 在某种程度上具有类似于社会关系网络中“物以类聚，人以群分“的特性。 2 1 3 度与度分布 度( d e g r e e ) 是单独节点的属性中简单而又重要的概念。节点f 的度七；定义 为与该节点连接的其他节点的数目。有向网络中一个节点的度分为出度 ( o u r d e g r e e ) 和入度( i n d e g r e e ) 。节点的出度是指从该节点指向其他节点的 边的数目，节点的入度是指从其他节点指向该节点的数目。直观上看，一个节点 的度越大就意味着这个节点在某种意义上越“重要 。网络中所有节点f 的度尼j 的 平均值称为网络的平均度，记为： 度值为k 的节点在整个网络中所占的比例可以用一个概率分布函数p ( k ) 来 表示，称为度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 。其物理意义表示，在网络中任意取 一个点，其度值为k 的概率等于p ( k ) 。 2 2 复杂网络中的演化模型 要理解网络结构与网络行为之间的关系，并进而考虑改善网络的行为，就需 要对实际网络的结构特征有很好的了解，并在此基础上建立合适的网络结构模 型。在复杂网络中有几个经典模型，下面我们来对它们进行逐一介绍： 2 2 1e r 随机模型 e r d o s 和r 6 n y i ( e r ) 最早提出随机网络模型【1 4 】并对模型进行了深入研 究，他们是用概率统计方法研究随机图统计特性的创始人。 贵州大掌硕士学位论文 该模型的构造方法为：在模型开始阶段给定个节点，没有边，以概率p 用 边连接任意一对节点，用这样的方法产生一随机网络。 p 。o ，。 气 。一。女b 乒 ： ， ” 0 7 ： t - 。 p o 1 - ， 、 ， 。# 。五 ， 二 0 ，。 ”、 j j p 霸o 1 孽 图2 1 随机图演化示意图 上图分别为概率为o 和概率为o 1 以及概率为0 1 5 下生成的随机图，e r d 6 s 和r 6 n y i ( 1 9 5 9 ) 首先研究了在随机网络中最大和最小度的分布，b o l l o b f i s ( 1 9 8 1 ) 随后得到了所有度分布的形式，推导出度数为k 的节点数遵从平均值为a 的泊松 分布，即 p 悸) le 以k ! ( 2 4 ) 其中，对固定的k ，当趋于无穷大时，最后的近似等式是精确成立的，因此， e r 随机图也称为( p o i s s i o n 随机图) 。 尽管e r 随机图作为实际复杂网络的模型存在明显的缺陷，在2 0 世纪的后 4 0 年中，e r 随机图理论一直是研究复杂网络拓扑的基本理论，其中的一些基本 思想在目前的复杂网络理论研究中仍然很重要。 2 2 2 小世界模型 为了描述从一个局部有序系统到一个随机网络的转移过程，w a t t s 和 s t r o g a t z ( w s ) 于1 9 9 8 年提出了一个新模型，通常称为小世界网络模型【4 】。它 是从完全规则网络向完全随机网络的过度。该模型是一个具有高传递性并易于处 理的网络模型。小世界模型起源于如下想法：首先建立一个低维的网络结构，然 后增加或移动一些边，以生成较低密度的“捷径”它们将网络中相距较远的 部分连接起来。小世界模型可在任何维数和拓扑结构上建立，但目前研究较好的 是一维的情形。 贵州大学硕士学位论文 w s 模型构造算法为：第一、从规则图开始，考虑一个含有个点的最近邻 耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各k 2 节点相连， k 是偶数。第二、随机化重连；以概率p 随机地重新连接网络中的每个边，既将 边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规 定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与 自身相连。 在模型中，p = 0 对应于完全规则网络，两个节点间的平均距离 线性地 随n 增长而增长，集群系数大。p = 1 则对应于完全随机网络，两个节点间的平 均距离 对数地随n 增长而增长，且集群系数随n 减少而减少。在p 等于( 0 ， 1 ) 区间任意值时，模型显示出小世界特性， 约等于随机图的值，网络具有 高度集群性，因此，通过调节尸的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络 的过度，如下图所示： r 妁t f l a fs | n 翻h 酮斌巷r a n c - o r a p 置0 啼，2 i r 喀r e a s i n 9 强烈咖e s s 图2 2w s 小世界模型 下图显示了w s 小世界模型的聚类系数和平均路径长度随重连概率p 的变化关系 贵州大掌硕士掌位论文 图2 3w s 小世界模型的聚类系数和平均路径长度随重连 概率p 的变化关系 由上图我们可以看出小世晁网络的一大特征就是具有较短的平均路径长度 和较高的聚类系数。 小世界网络模型反映了朋友关系网络的一种特性，即大部分的人的朋友都是 和他们住在同一条街上的邻居或在同一单位工作的同事。另一方面，也有些人是 住得较远的，甚至是远在异国他乡的朋友，这种情形对应于w s 小世界模型中通 过重新连接的远程连接。 下面来看一下小世界网络模型中的一些统计性质： 1 、聚类系数 w s 小世界网络的聚类系数为： c 一鹅( 1 一p y 7 ( 2 - 5 ) 2 、平均路径长度 小世界模型中最值得关注的是平均路径长度。我们把这一变量定义为f 。目 前，我们还没有确切的方法来求取f 的值，但我们知道部分确切的结果，如规模 大小等。 当p 呻0 时，模型是一个“大世界 模型，其路径长度趋于zel 4 k 。相反， 小世界行为的特征是按对数尺度变化的，z i o g l 。当p 很大时，可以看到，模 型变得象随机图。研究者们认为，在这两个极端之间，必定存在一种从大世界到 小世界行为的过渡形式。现行最新的f 表达式为： z 一等，( l 纫) ( 2 6 ) 由上式可知，我们可以通过增大p 或来使系统从大世界模式转变为小世界模 贵州大掌硕士掌位论文 式。事实上，作为尺度函数自变量的尺度变量l 印，它完全等于模型中捷径平均 数。因此，对给定的k ，z 只取决于模型中的捷径数量的多少。 3 、度分布 小世界模型的度分布规律并不能很好地描述现实网络中的实际情况。在新模 型中，每个顶点的度至少为2 七。规则网络的边数则须加上捷径的二项分布。因 此，顶点度为7 的概率为： 胪料硪悖r 戤 像7 ， 其中苫2 k ，且在 时，度为k 的节点几乎不存在，因此，这类网络也称为均 匀网络或指数网络。近年来在复杂网络研究上的另一个重大的发现就是许多复杂 网络，包括因特网等的连接度分布函数具有幂律形式。由于这类网络的节点的连 接没有明显的特征长度，因此被称为无标度网络。 为了解释现实网络中广泛存在的无标度行为，b a r a b a s i 和a l b e r 在1 9 9 9 年提出了一个演化模型( 常称为b a 模型) 5 ，该模型包含两个必要的机制： 增长机制( g r o w t h ) 既网络通过增添新节点而连续扩张和择优机制( p r e f e r e n t i a l a t t a c h m e n t ) 既新节点择优连接到具有大量连接的节点上。 基于网络的增长和优先连接特性，b a 无标度网络模型的构造算法如下： ( 1 ) 增长：开始于较少的节点数量( m o ) ，在每个时间间隔增添一个具有m ( t o o ) 条边的新节点，连接这个新节点到m 个不同的已经存在于系统中的节点上。 ( 2 ) 择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点连接到节点i 的概率兀 取决于节点i 的度数即满足下式： 毗) - 轰 ( 2 呻) 这意味着某一结点i 的度值越大j ，新结点与它相连的机率也越大，从而越有可能 成为网络的“中心( h u b ) ”即集散节点。 下面来看一下无标度网络模型中的一些统计性质 贵州大学硕士学位论文 1 、聚类系数 b a 无标度网络的聚类系数为： c ；血二旦 1 n 掣) 一上】咝 ( 2 9 ) 4 ( m 一1 1 、m 7 m + 1 。t 这表明与e r 随机图类似，当网络规模充分大时b a 无标度网络不具有明显的聚 类特性。 2 、平均路径长度 b a 无标度网络的平均路径长度为： l ! ! 堡丝 ( 2 1 0 ) l o g l o g n 这表明该网络也具有小世界特性 3 、度分布 目前对b a 无标度网络的度分布的理论研究主要有三种方法：连续场理论、 主方程法和速率方程法，这三种方法得到的渐进结果都是相同的，其中主方程法 和速率方程法是等价的，下面介绍主方程法 1 5 得到的结果： 定义p ( k ，t ；，i ) 为在t 。时刻加入的节点f 在t 时刻的度恰好为k 的概率。在无标 度网络中，当一个新节点加入到系统中来时，节点i 的度增加1 的概率为 m l l ；一七2 t ，否则该节点的度保持不变。由此得到如下递推关系式： p f + 1 ) = 等p ( k 一1 , t i , t ) + ( 1 - 去脚以力 ( 2 - 而网络的度分布为 p ) | l i m ( c t 一 罗p ( k ，) ( 2 12 ) 它满足如下的递推方程： p ；丁砰k - 1 脏驰1 施， l 赢，册 从而求得b a 网络的度分布函数为： p 饭) 。一墅! 型竺 ( 2 1 4 ) 、7 k ( k + ”七+ 2 1 最后可近似等于： 贵州大学硕士学位论文 p ( k ) 文2 m 2 七。 ( 2 - 1 5 ) 这表明b a 无标度网络的度分布函数可由幂指数为3 的幂律函数加以近似描述。 见下图： k 图2 4b a 无标度网络模型的度分布( n = 1 0 0 0 0 ) b a 无标度网络模型首次成功地解释了现实世界中广泛存在的s c a l e - f r e e 现象，在复杂网络理论的发展中起了重要的作用。后来不少文献中所说的 s c a l e - f r e e 网络常常指的就是b a 无标度网。此模型中引入的两个演化机制对后 来的网络模型影响很大，有相当多的网络模型是在此模型的基础上发展起来的。 由于无标度网络中出现了集散节点，也使得它具有了另外的两个重要的特性， 既鲁棒性与脆弱性，它的鲁棒性表现在当网络中的边缘节点受到攻击或者被从网 络中切除时它不会对整个网络产生本质性的影响。它的脆弱性表现在当网络中的 集散节点受到攻击或者被从网络中剥离后，整个网络就将会发生本质性的变化， 严重的将使整个网络被分割成几个孤立的部分，如图所示： 由上各点我们可以得出，对于无标度网络而言它具有如下特性： l 、度分布呈幂律分布 2 、网络中具有集散节点 3 、网络具有鲁棒性和脆弱性 这些特点也是对一个现实网络是否为无标度网络的重要判断依据，在后面的 章节中我们将运用这些特性来判断贵州电网的网络类型，并确定其模型。 贵州大学硕士掌位论文 甲 o oo6 o 霈o 。 。 ob 一。 图2 5 一个无标度网络受到攻击前和受到攻击后的对比图 2 2 4 局域无标度网络模型 在上一节对无标度网络模型的介绍中我们知道，如果一个网络它具有增长 特性和优先连接特性并且它的度分布满足幂律分布的话我们就称这个网络为无 标度网络 5 1 6 1 码，在无标度网络中，优先连接指的是全局的优先连接，但 是在许多现实网络中，由于局域世界连接性的存在，每一个节点都有各自的局域 世界，因而也只占有和使用了整个网络的局部信息。因此，在这类网络中的优先 连接更多表现出的是局域的优先而不是全局的优先，所以局域无标度网络由此而 生 1 9 ，对于一个局域无标度网络来说，它的度分布同样满足幂律分布，当把每 个节点的局域世界看成整个网络时，局域无标度网络就完全可以等价于无标度网 络。因此，可以说b a 无标度网络模型是局域世界演化模型的一个特例。对于局 域无标度网络而言它同样具有无标度网络的三大特性，既度分布为幂律分布、网 络中具有集散节点和具有鲁棒性与脆弱性。局域无标度网络继承了无标度网络的 同步鲁棒性和脆弱性是由于网络的极度非均匀性造成的，因为在这样的网络中， 极少量的“大”( 这里指连接度大) 节点对于保持整个网络的同步稳定具有至关 贵州大掌硕士学位论文 重要的作用。因此，在对局域无标度网络进行相关求解分析时，我们完全可以运 用无标度网络的一些相关求解分析方法( 包括度分布的求法、复杂网络上病毒传 播机理等) 来对局域无标度网络进行求解分析，最终得到的结果是等价的。 2 3 小结 本章对复杂网络中的聚类系数、平均路径长度、度及度分布这些基本概念作 了较为详细的介绍。因为它们是复杂网络进行研究的基础。同时本节分别对复杂 网络中的随机模型、小世界模型、无标度模型以及局域无标度模型进行了讨论分 析，为下一章贵州电网的拓扑模型的确定以及病毒传播模型的选取借鉴奠定了基 础。 贵州大学硕士掌位论文 第三章复杂网络上的传播机理在贵州电网中的研究 3 1 贵州电网拓扑模型的提出 电能作为人们赖以生产生活取得社会进步的第一大能源，在今天的社会生活 中已具有不可取代的重要作用，随着我国经济快速增长工业化进程不断加快对电 能的需求逐年剧增。随之而来的对电网稳定性的要求也越来越高。 根据电网稳定运行所建立的数学模型及基本方程，通过复杂的运算分析可以 找到影响电网稳定运行的诸多因素以及提高网络安全性的一些措施，这些措施虽 然在一定程度上可以提高网络运行的稳定性，但却同时使网络变得更为复杂反而 增加了网络发生故障的机率，在确保实现相同功能的前提下，一个较为简单的系 统总是要比一个高度精密而复杂的系统发生崩溃式瓦解的可能性小得多同时在 实际工作时这样的系统也更经济而可靠。 以基尔霍夫方程和规则拓扑结构为基础的经典电力网络研究已有很长的历 史，但是运用复杂系统，特别是复杂网络理论对其进行研究，是近几年才逐步发 展起来的。通过复杂网络理论我们可以把整个电网简化为只有点和边组成的一个 简化网络。在本章中我们将从一个全新的理论方向和视角来分析电网的稳定性， 这需要对整个电网的拓扑有较为细致的了解并由此建立其拓扑模型。( 本章中对 贵州电网研究的依据来源于贵州电网公司提供的贵州电网潮流图) 3 1 1 贵州电网的网络模型 由得到的贵州电网潮流图的相关数据，我们确定了研究的对象为贵州1 1 万 伏至5 0 万伏的高压电网，这个网络由三个部分组成，它们分别是发电厂、主要 城镇的变配电站( 所) 以及连接发电厂和变配站( 所) 的高压传输线路。如果我 们把发电厂和变配电站( 所) 视为整个网络中的节点，而把连接它们的高压传输 线路视为网络中的边的话，那