（固体力学专业论文）有理单元法研究.pdfVIP

上海大学博士学位论文 摘要 根据材料的细观结构将非均质材料区域划分成多边形单元，可以方便有效地 模拟非均质材料的细观性能。传统有限元法在多边形单元上难以构造满足协调性 要求的多项式位移试函数。即使在四边形单元上，传统有限元法位移试函数的构 造也依赖于等参变换。本文组合s h e p a r d 插值的逆距离权思想和自然邻点插值考 虑节点分布的思想，采用几何的方法在多边形单元上，直接构造出有理函数形式 的插值函数。进而利用构造出的有理函数插值，建立了求解偏微分方程的新型数 值方法有理单元法。 本文以多边形单元上有理函数插值的构造和应用为主线，主要取得以下创新 成果： 一、采用几何的方法构造出多边形单元上的有理函数插值。证明了多边形单 元上有理函数插值的有关性质。给出了有理函数插值的计算代数表达式和计算流 程，利用该表达式可以方便地编写计算程序。构造的有理函数插值与s h e p a r d 型 插值相比，考虑了平面节点分布对插值的影响；与自然邻点l a p l a c e 插值相比， 不需要进行自然邻点的寻找：与w a c h s p r e s s 型插值相比，不含有待定参数，方便 程序的编写；在三角形单元和矩形单元上，多边形有理函数插值分别等价于传统 有限元的三角形面积坐标插值和四边形双线性插值；有理函数插值在多边形单元 上是直接构造，不需要进行等参变换处理。 二、对圆形区域上的瞌面利用有理函数插值进行重构。利用区域边界有限个 点的信息，采用有理函数插值重构曲面。算例表明有理函数插值得到的重构曲面， 能够很好地反映出真实曲面的特征。 三、将构造出的有理函数插值应用于凸区域温度场分布的插值近似。利用区 域边界点的温度值，采用有理函数插值得到区域内部点的温度近似值。有理函数 插值得到的温度场近似分布在区域内温度梯度是连续的，克服了传统有限元插值 由于在区域内布点造成的区域内温度梯度不连续性的缺陷。数值算例表明，有理 函数插值得到的温度场近似分布，能够很好地反映真实温度场分布的特点。 四、采用几何的方法构造出多边形单元上有理函数形式的混合函数，建立了 有理单元法研究 多边形单元上的有理超限插值格式，进而得到四边形单元上的有理c o o n s 曲面片。 给出了有理混合函数的计算表达式。与传统c o o n s 插值的线性混合函数不同，有 理c o o n s 插值的混合函数是非线性的，在曲面重构过程中这将有助于反映复杂曲 面的特征。数值算例表明，对于复杂曲面，有理c o o n s 插值重构的曲面比传统的 c o o n s 插值更准确反映出真实曲面的特征。 五、将有理c o o n s 插值应用于矩形区域上温度场分布的插值近似，改进了有 理函数插值在矩形区域温度场分布插值近似过程中，局部区域精度较差的缺陷。 数值算例表明对于凸域上温度场分布的插值近似，有理函数插值适合于圆形区 域，有理c o o n s 插值适合于矩形区域。 六、将d e l a u n a y 三角化的概念推广到d e l a u n a y 多边形化，提出d e l a u n a y 多 边形化网格自动生成技术。对于给定的节点分布，由d e l a u n a y 多边形化网格自动 生成技术，可以自动生成计算区域的多边形单元网格。d e l a u n a y 多边形化网格自 动生成技术使得复杂区域的网格划分非常灵活方便。算例表明，d e l a u n a y 多边形 化网格自动生成技术不但能生成多边形的单元网格，而且能够生成传统有限元的 三角形四边形计算网格。 七、以多边形单元上的有理函数插值作为试函数，采用加权残数法建立了求 解势问题偏微分方程的新型数值方法一有理单元法。讨论了有理单元法计算误 差的来源。给出了三种不同的数值积分方案，讨论了三种数值积分方案对计算误 差的影响，由此确定了种使计算误差最小的积分方案一中心三角形积分方案。 数值算例表明，有理单元法求解温度场分布问题具有令人满意的精度。 八、以多边形单元上的有理函数插值作为试函数，采用g a l e r k i n 法建立了求 解弹性力学问题的有理单元法。讨论了计算刚度矩阵数值积分时积分点的数量对 计算精度的影响，给出了有理单元法数值积分的优化方案。数值算例表明，有理 单元法在求解弹性力学问题时，不论是位移还是应力都有较高的精度。 九、利用有理单元法对非均质材料进行了数值模拟。通过在材料界面布置节 点，由d e l a u n a y 多边形化技术自动在圆形夹杂区域生成多边形单元。与传统有限 元法相比，同样的节点数量单元数减少，从而减少了计算的时间。 基于多边形单元有理函数插值的有理单元法，由于采用多边形单元，使得区 域网格划分更加灵活，克服了传统有限元法对多边形单元难以构造满足协调性要 l l 上海大学博士学位论文 求的多项式形式位移插值的难题。有理单元法在非均质材料的数值模拟中具有较 大的优势。 关键词：多边形单元，有理函数插值，有理单元法，有理超限插值，有理c o o n s 曲面片，温度场分布，曲面重构，弹性力学，数值模拟，d e l a u n a y 多边 形化，网格剖分，非均质材料 有理单元法研究 a b s t r a c t d i v i d i n gh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a ld o m a i ni n t op o l y g o n a le l e m e n t sm e s hb a s e do n i t sm i c r o s t r u c t u r e ，i ti sc o n v e n i e n ta n de f f i c i e n tt os i m u l a t ep r o p e r t i e so fh e t e r o g e n e o u s m a t e r i a l s a p p l i c a t i o n & t h ec o n v e n t i o n a ld i s p l a c e m e n t - b a s e df i n i t ee l e m e n tm e t h o dt o a ne l e m e n tw i t hnn o d e sr i l l i si n t od i f f i c u l t yw h e nn4b e c a u s ei t sb e c o m e s i m p o s s i b l e t oe n s u r ei n t e r e l e m e n t c o m p a t i b i l i t y o fd i s p l a c e m e n t sw i t hn - t e r m p o l y n o m i a lr e p r e s e n t a t i o n s e v e nq u a d r i l a t e r a le l e m e n t sr e q u i r et h ei n t r o d u c t i o no f i s o p a r a m e t r i ct e c h n i q u e st oe n s u r et h ei n t e r e l e m e n tc o m p a t i b i l i t y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ， c o m b i n e dt h ei d e a so fi n v e r s ed i s t a n c e w e i g h t e do fs h e p a r di n t e r p o l a t i o na n d c o n s i d e r i n gd i s t r i b u t i o no fn o d e si nn a t u r a ln e i g h b o ri n t e r p o l a t i o n ，t h er a t i o n a lf u n c t i o n i n t e r p o l a t i o n ( r f i ) i sd i r e c t l yc o n s t r u c t e da d o p t i n gg e o m e t r i cm e t h o do nap o l y g o n a l e l e m e n t f u r t h e r m o r eu s i n gr a t i o n a lf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o no np o l y g o n a le l e m e n t ，a n e wn u m e r i c a l m e t h o d ，r a t i o n a le l e m e n tm e t h o d ( r e m ) ，f o rs o l v i n gp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb a s e do nh i g h l yi r r e g u l a rn e t w o r k si si n t r o d u c e d i nt h i sp a p e rt h ef o l l o w i n gs u b j e c t sa r ei n v e s t i g a t e d a d o p t i n gg e o m e t r i cm e t h o d ，t h er a t i o n a lf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o ni sc o n s t r u c t e do n p o l y g o n a le l e m e n t s o m ep r o p e r t i e sf o rr f ia r ep r e s e n t e da n dp r o v e d t h e c o m p u t a t i o n a la l g e b r a i ce x p r e s s i o no fr f ii sg i v e n u s i n gt h i se x p r e s s i o n ，i ti s c o n v e n i e n tt op r o g r a mi t c o m p a r e dw i t hs h e p a r di n t e r p o l a t i o n ，t h ed i s t r i b u t i o no f n o d e si sc o n s i d e r e di nt h er f i o t h e r w i s et h a nn a t u r a ln e i g h b o rl a p l a c ei n t e r p o l a n t ， t h er f in e e d n tt ol o o kf o ri n t e r p o l a t i n gp o i n t s d i s t i n g u i s h e df r o mw a c h s p r e s st y p e i n t e r p o l a t i o n ，t h e r ei s n tu n d e t e r m i n e dp a r a m e t e r si nr f i ，s oi ti sc o n v e n i e n tt o p r o g r a m i nt r i a n g u l a ra n dr e c t a n g l ee l e m e n t s ，t h er f ii se q u i v a l e n tt oa r e ac o o r d i n a t e s o ft r i a n g u l a ra n db i l i n e a rp o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o ni nq u a d r i l a t e r a l ，r e s p e c t i v e l y t h e r f ii sd i r e c t l yc o n s t r u c t e do np o l y g o n a le l e m e n t i td o e s n td e p e n do ni s o p e r i m e t r i c t r a n s f o r m u s i n gr a t i o n a lf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o n ，t h es u r f a c e sd e f i n e do nr o u n dd o m a i na r e r e p r e s e n t e d t h en u m e r i c a lt e s t si n d i c a t et h a tt h es u r f a c e sr e c o n s t r u c t e db yr f iu s i n g 上海夫擘博士学位论文 i n f o r m a t i o no ff i n i t ep o i n t so nt h eb o u n d a r yc a nb ew o n d e r f u l l yr e p r e s e n t e dt h e c h a r a c t e r so fr e a ls u r f a c e s t h ea p p r o x i m a t i o nt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n so nac o n v e xd o m a i no r eo b t a i n e db y u s i n gr a t i o n a lf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o n t h ea p p r o x i m a t i o nt e m p e r a t u r ev a l u e si nt h e i n n e rd o m a i na r ec a l c u l a t e du s i n gt e m p e r a t u r ev a l u e so fb o u n d a r yp o i n t s t h e t e m p e r a t u r eg r a d i e n t i n t e r p o l a t e db y r f ii sc o n t i n u o u si nt h ei n n e rd o m a i n i t o v e r c o m e st h ed e f e c t ，w h i c ht h et e m p e r a t u r eg r a d i e n ti sn o n c o n t i n u o u si nt h ei n n e r d o m a i nu s i n gc o n v e n t i o n a lf i n i t ee l e m e n ti n t e r p o l a t i o no w i n gt os e r i n gn o d e si nt h e i n n e rd o m a i n t h en u m e r i c a lt e s t si l l u s t r a t e dt h a tt h ei n t e r p o l a t e dt e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o nc a nb cw o n d e r f u l l yr e p r e s e n t e dt h ec h a r a c t e r so fr e a lt e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n s a d o p t i n gg e o m e t r i cm e t h o d ，t h er a t i o n a lb l e n d i n gf u n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e do n p o l y g o n a le l e m e n t t h er a t i o n a l t r a n s f i n i t ei n t e r p o l a t i o no np o l y g o n a le l e m e n ti s p r e s e n t e d t h es p e c i a le a s e ，r a t i o n a lc o o n sp a t c h ，i s o b t a i n e d t h ee x p r e s s i o n so f r a t i o n a lb l e n d i n gf u n c t i o n sa r eg i v e n d i f f e r e n tf r o mt h el i n e a r i t yo fc o o n sp a t c h ，t h e b l e n d i n gf u n c t i o n so fr a t i o n a lc o o n si n t e r p o l a t i o na r en o n l i n e a r t h en o n l i n e a rc a nb e b e n e f i tt or e p r e s e n tt h ec h a r a c t e r so fc o m p l e xs u r f a c e s n u m e r i c a lt e s t si n d i c a t e dt h a t r a t i o n a lc o o n sp a t c hi sm o r ev i v i dt or e p r e s e n tt h ec h a r a c t e r sf o rc o m p l e xs u r f a c e s t h a nc o o n sp a t c h t h er a t i o n a lc o o n si n t e r p o l a t i o ni sa p p l i e dt oi n t e r p o l a t et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n s o nr e c t a n g u l a rd o m a i n s t h ed e f e c to fl o c a lp o o ra c c u r a c yo ft e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n s i n t e r p o l a t e db yr f ii si m p r o v e d n u m e r i c a lt e s t si n d i c a t et h a tr f ii ss u i t e dt or o u n d d o m a i na n dr a t i o n a lc o o n si n t e r p o l a t i o ni ss u i t e dt or e c t a n g u l a rd o m a i n sf o r i n t e r p o l a t i n gt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n s t h ec o n c e p to fd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o ni se x t e n d e dt od e l a u n a yp o l y g o n i z a t i o n t h ea u t o m a t i cg e n e r a t i n gm e s h e st e c h n i q u ef o rd e l a u n a yp o l y g o n i z a t i o ni sp r e s e n t e d f o rg i v e nn o d e sd i s t r i b u t i o n ，u s i n gd e l a u n a yp o l y g o n i z a t i o nt e c h n i q u e ，t h ep o l y g o n a l e l e m e n tm e s h e sc a nb ea u t o m a t i cg e n e r a t e di nc o m p u t a t i o n a ld o m a i n s i ti sc o n v e n i e n t a n df l e x i b l et og e n e r a t ep o l y g o n a le l e m e n tm e s h e so nc o m p l e xd o m a i n n u m e r i c a l t e s t si n d i c a t et h a td e l a u n a yp o l y g o n i z a t i o nt e c h n i q u ei sn o to n l yt og e n e r a t ep o l y g o n a l v 有理单元法研究 e l e m e n t sm e s h e sb u ta l s ot r i a n g u l a r q u a d r i l a t e r a le l e m e n t sm e s h e sf o rc o n v e n t i o n a l f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， u s i n gr a t i o n a lf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o no np o l y g o n a le l e m e n ta s t r i a la n dt e s t f u n c t i o n s ，an e wn u m e r i c a lm e t h o d ，r a t i o n a le l e m e n tm e t h o d ( r e m ) ，f o rs o l v i n g p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sp r e s e n t e da d o p t i n gw e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d t h ee r r o r s o u r c e si nr a t i o n a lc l e m e n tm e t h o da l ed i s c u s s e d t h eo p t i m i z i n gn u m e r i c a lq u a d r a t u r e s c h e m ef o rc o m p u t i n gs t i f f n e s sm a t r i c e si sg i v e n t h ep r o p e r t i e so fh e t e r o g e n e o u s m a t e r i a la r es i m u l a t e db yr a t i o n a le l e m e n tm e t h o d n u m e r i c a lt e s t si l l u s t r a t e dt h a tt h e a c c u r a c yo f r a t i o n a le l e m e n tm e t h o di ss a t i s f i e di np r a c t i c a le n g i n e e r i n g k e y w o r d s ：p o l y g o n a le l e m e n t ，r a t i o n a lf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o n ，r a t i o n a le l e m e n t m e t h o d ，r a t i o n a lt r a n s f i n i t ei m e r p o l a t i o n ，r a t i o n a lc o o n sp a t c h ， t e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n ，s u r f a c er e c o n s t r u c t i o n ，e l a s t i c i t yt h e o r y , n u m e r i c a lm e t h o d ，d e l a u n a y p o l y g o n i z a t i o n ，d o m a i ns u b d i v i s i o n ， h e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 本论文使用授权说明 日期 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： 上海走学博士学位论文 第1 章绪论 l l 研究背景 科学研究的方法可以分为三类：理论分析、科学实验和数值模拟。理论分析 通过对研究对象的分析和合理假设，建立研究对象的数学模型。进而通过数学手 段得到研究对象有关量的解析表达式或定性描述。正确理论的建立对科学和工程 技术的发展，起着指导性作用。理论分析主要存在两大困难，一是如何建立能够 反映真实情况的数学模型；二是现有的数学手段能否求解所建立的数学模型。通 过科学实验所得到的数据与理论分析的结果进行对比，能够验证理论建立的数学 模型是否合理。但是由于现实问题的复杂性，理论分析建立的大部分数学模型， 都难以得到求解问题的解析解，这极大地制约着科学的发展。随着计算机技术和 计算方法的飞速发展，原来不能求解或难以求解的问题。可以采用数值的方法求 解1 1 1 。数值模拟的方法在现代工程技术中，发挥着越来越重要的作用。数值模拟 可以部分取代实验研究，进而减少实验的次数，节约宝贵的研究经费。同时通过 数值模拟，可以缩短研究的时间，提高研究效率。 1 1 1 材料的数值模拟 随着科学技术的发展，新型材料不断涌现，正在逐步取代一些传统的结构材 料，在一些重要的工程领域，如航空航天、汽车、飞机、核能等领域，得到了越 来越广泛的应用。对新型材料力学性能的研究，正从宏观性能向细观性能，直至 材料的纳观性能的研究发展【2 j 。研究的方法从经典的等效平均法、单胞法等，向 真实材料结构的研究方向发展1 3 “。当前材料力学性能数值模拟的主要手段是有限 元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) 3 州。对于颗粒增强复合材料等非均质材料， 采用传统有限元方法进行数值模拟时，为得到材料准确的力学特性，需要对研究 的材料区域划分稠密的有限元网格，这极大地增加了计算的成本。 为降低非均质材料数值模拟的计算成本，s g h o s h 和r l ，m a l l e t t ( 1 9 9 4 ) 提出 了模拟颗粒增强复合材料的v o r o n o i 单胞有限元法( v o r o n o ic e l lf i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，v c f e m ) ”j 。基于复合材料的细观结构，v c f e m 将分析区域划分为包含 每一个颗粒的v o r o n o i 单胞多边形单元，极大地减少了节点数量。图1 1 和图 第1 章绪论 1 2 分别为采用a n s y s 软件模拟颗粒增强复合材料的有限元网格和v c f e m 多边 形单元模型嘲。 图1 1a n s y s 有限元网格图1 2v c f e m 多边形网格 j z h a n g 和n k a t s u b e ( 1 9 9 5 ) 为模拟含有弹性夹杂的非均质材料，提出了多边 形单元的杂交有限元法一一杂交多边形单元法( h y b r i dp o l y g o n a le l e m e n t ， h p e ) e 7 1 。h p e 采用与v c f e m 不同的多边形网格剖分方法，将夹杂包含在一个任 意多边形内，提高了网格划分的灵活性，在模拟含有孔洞和夹杂的焊接材料时， 尤为方便。图1 3 和图1 4 分别为焊接孔洞分布和h p e 分析模型队 图1 3 焊接孔洞分布图 1 1 2 图形色彩插值 插值法广泛应用于计算机图形学中【9 】，对于多边形区域常用的插值方法是在 上海大学博士学位论文 多边形内部由置节点，将多边形分解为三角形单元，在每个三角形单元上插值， 进而得到整个多边形区域的插值图形。在图形色彩插值中，采用三角形单元上的 插值法，需要知道多边形内部节点的值，并且色彩在三角形单元之间存在梯度， 降低了插值图形的质量。直接利用多边形的顶点数据插值，可以得到高质量的插 值图形。图1 5 为采用三角形线性插值得到的图像，图1 6 为qd a s g u p t a 和e a m a l s c hf 2 0 0 2 ) 采用w a c h s p r c s s 型插值得到的同一多边形色彩图像【i 。 图1 4 h p e 分析模型 图1 5 三角形线性插值图像 图i 6w a c h s p r e s s 型插值图像 1 1 3 有理函数插值 多边形单元的出现使得有限元网格剖分更加灵活，但是对于多边形单元难以 构造满足协调性要求的多项式形式的插值函数( i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ) 。v c f e m 和 h p e 采用应力插值的杂交元方法克服不能构造多边形单元位移插值的难题。但是 上海大学博士学位论文 多边形内部布置节点，将多边形分解为三角形单元，在每个三角形单元上插值 进而得到整个多边形区域的插值图形。在图形色彩插值中，乘用三角形单元上的 插值法，需要知道多边形内部节点的值，并且色彩在三角形单元之间存在梯度， 降低了插值图形的质量。直接利用多边形的顶点数据插值，可以得到高质量的插 值图形。图】，5 为采用三角形线性插值得到的图像，图16 为g d a s g u p t a 和e a m a l s c h ( 2 0 0 2 ) 采用w a c h s p r e s s 型插值得到的同一多边形色彩图像 1 0 1 。 图1 4 h p e 分析模型 图1 5 三角形线性插值图像 图1 6w a c h s p r e s s 型插值图像 1 1 3 有理函数插值 多边形单元的出现使得有限元网格剖分更加灵活，但是对于多边形单元难以 构造满足协调性要求的多项式形式的插值函数( i n t e r p 0 1 a o nf u n c t i o n ) 。v c f e m 和 h p e 采用应力插值的杂交元方法克服不能构造多边形单元位移插值的难题。但是 h p e 采用应力插值的杂交元方法克服不能构造多边形单元位移插值的难题。但是 第1 章绪论 对多边形上温厦和色彩等物理量的于亩僵，没有瞀代的解茯万、弦。 既然在多边形单元上难以构造多项式形式的插值函数，我们自然想到利用有 理函数构造多边形上的插值函数。有理函数也是一类比较简单的函数，并且在有 些情况下，有理函数逼近比多项式函数逼近效果更好。我们用k o p a l 的一个例子 说明这个效果【“1 。 对于函数l n ( 1 + x ) ，由t a y l o r 展开式得 l n ( 1 删= 喜( 廿1 等，州圳 ( 1 1 ) j o i 。 其有限和为 驰) 2 善( 。广1 ( 1 2 ) m 作为l n ( 1 + x ) 的近似，其误差由t a y l o r 展开式的余项确定。 另一方面，将l n ( 1 + x ) 用连分式展开，得 1 n ( 1 + x ) 2 - ( 1 - 3 ) 1 + 二_ 二二- 一 2 + 百1 2 x 34 - = ： 4 + 婴 5 + 逐次取其渐近分式，可得l n ( 1 + x ) 的有理逼近 墨。( 石) = 雨2 x ( 1 4 ) 驰) = 熹筹 ( 1 5 ) 蹦x ) = 石6 0 丽x + i 6 0 x 瓣2 + 1 l x 3 ( 1 6 ) r 。( x ) = 瓦4 丽2 0 x 丽+ 6 i 3 0 x 丽2 + i 2 6 0 丽x 3 + 丽2 5 x 4 ( 1 7 ) 比较x = 1 时，( 1 ) ，& ( 1 ) ，8 6 ( i ) ，s s ( 1 ) 和r ，。( 1 ) ，r 2 2 ( 1 ) ，r 3 3 ( 1 ) ，r 。( 1 ) 之间的差别。如表1 1 所示。函数的精确值l n 2 = 0 6 9 3 1 4 7 1 8 ，由表中数据可以看 出r 4 。( 1 ) 的精度要比墨( 1 ) 的精度高出1 0 万倍。 圭查苎兰堡主兰竺堡兰 数学上，单变量有理函数插值的研究较多，理论相对完善【l ”。对于工程中需 要的多变量有理函数插值则研究的较少。多变量有理函数插值要比单变量有理函 数插值复杂的多，这是因为多变量有理函数插值不仅与插值节点的函数值有关， 而且与插值节点的位置分布有关。对于多边形单元上的有理函数插值而言，插值 函数与多边形的边数以及多边形的形状有关。 表1 1i n ( 1 + z ) 在工= 1 处有理逼近和多项式逼近精度比较 ” 心( 1 )靠。( 1 ) l0 6 6 70 0 2 60 50 1 9 20 6 9 2 3 10 0 0 0 8 40 5 80 1 l 30 6 9 31 2 20 0 0 0 0 2 5 0 6 1 7 0 0 7 6 40 6 9 31 4 6 4 20 0 0 0 0 0 0 7 40 6 4 3 0 0 5 8 1 2 研究进展 作为本文研究的基础，下面对国内外相关工程数值方法的理论和应用方面的 研究进展做简要的回顾。 1 2 1 双变量插值法( b i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n ) 插值理论是一个古老的问题，自古巴比伦和古希腊时代，人们就开始了插值 法的研究 1 3 】。插值法在计算数学1 14 1 、计算力学 15 - t 7 1 、计算机图形学9 1 、计算机辅 助几何设计( c a g d ) 【1 8 - 9 1 、信号与图像处理【2 0 - 2 2 、气象学f 2 3 1 、地理信息系统等 领域具有广泛的应用。 双变量插值按事先给定的条件的不同，可以分为点基插值( p o i n t b a s e d i n t e r p o l a t i o n ) 和超限插值( t r a n s f i n i t ei n t e r p o l a t i o n ) 。按插值函数类的不同，有多项 式插值( p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n ) t 2 5 之6 1 和有理函数插值( r m i o n a l f u n c t i o n i n t e r p o l a t i o n ) 1 2 1 等类型。 1 2 1 1 双变量点基插值 第l 章绪论 双变量点基插值的一般提法为i n ：在平面上给定一组不同的点 ( 一，y ，) ，i = 1 ，2 ，z 和其对应的值 ，i = 1 ，2 ，1 ) ，在某个函数类中求一个函数 f ( x ，y ) ，使得f ( x ，m ) = ，i = 1 ，2 ，n 。 在多项式函数类中插值得到多项式插值；在有理函数类中插值得到有理函数 插值。双变量多项式插值依赖于插值点所构成的网格，工程应用多采用三角形或 四边形网格1 7 ，2 2 1 。多变量多项式插值的理论比较完善，文献众多。有理函数 插值由于其固有的复杂性，多变量有理函数插值相对研究的较少，理论上还有待 完善。 目前应用广泛的双变量有理函数插值法主要有：s h e p a r d 法( s h e p a r d s m e t h o d ) 2 、自然邻点插值法州a n l r a ln e i g h b o ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d ) 28 1 、w a c h s p r e s s 摊( w a e h s p r e s s i n t e r p o l a t i o n ) t 2 9 】等。 ( 1 ) s h e p a r d 插值法 s h e p a r d 法又称逆距离权插值法( i n v e r s ed i s t a n c ew e i g h t e dm e t h o d ) 由d s h e p a r d ( 1 9 6 8 ) 首先提出l ”1 ，是散乱数据( s c a n e r e dd a t a ) 插值的一种常用方法。其 基本假设是距插值点近的节点对插值的贡献大，距离远的节点贡献小插值点的 值是所有节点值的加权平均。 给定平面上一组不规则分布的点 ( z ，只) ，i = 1 ，2 ，月 和其对应的值 ，i = l ，2 ，盯) 。记一( x ，y ) 为点( x ，) ，) 和( x 。咒) 之间的欧氏距离，即 吐x _ y = x 一2 + y 一儿2 ，令囊x _ y ) = i 丽1 ，七1 为一可选择的参数， 则s h e p a r d 提出插值格式为 m 朋2 喜咖肛喜巷裔z s ， 其中，权函数 h ( x ，y ) 2 黼，。w ( x ，y ) s 1 ，喜( x ，y ) = l ( i 9 ) w j g o r d o n 等( 1 9 7 8 ) 通过在插值格式中增加节点的偏导数值，改进s h e p a r d 法存在的插值函数在节点处平坦的缺陷 3 0 1 。 r f r a n k e ( 1 9 8 2 ) 3 埽口r j r e n k a ( 1 9 8 8 ) 3 2 1 引进节点函数，改进s h e p a r d 法插 上海大学博士学位论文 值函数的连续性。 由于在实际插值过程中，没有给出节点处的偏导数值，p a l f e l d ( 1 9 8 9 ) 3 3 1 和d fw a t s o n ( 1 9 9 2 ) 3 4 1 分别对节点处偏导数值的估计问题作了研究。 ( 2 ) 自然邻点插值法 自然邻点插值( n a t u r a ln e i g h b o r si n t e r p o l a t i o n ) 是基于节点的v o r o n o i 图构造 的插值方法，由r s i b s o n ( 1 9 8 0 ) t 2 8 】提出。 对于平面节点集合s = “，而，x m ，加入新的节点工后，可以的得到集合 s wx 的v o r o n o i 图。图1 7 ( a ) 为一7 个节点的v o r o n o i 图。集合s 的v o r o n o i 单 胞与集合s u 仁 的v o r o n o i 单胞重叠的部分形成节点x 的二阶v o r o n o i 单胞( 参 考图1 7 ( b ) 中的多边形a b c d ) 。 图1 7 ( a ) 7 节点v o r o n o i 图；( b ) 关于 节点x 的二阶v o r o n o i 图 令r ( x ) 和茁，( x ) 分别为节点x 的一阶v o r o n o i 单胞i 和二阶v o r o n o i 单胞e ，的 l e b e s g u e 测度( 在一维、二维和三维中分别为长度、面积和体积) ，在二维空间， 记a ( x ) = r ( 工) ，a ，( z ) = r ，( x ) 。节点x 对应于第，个自然邻点的自然邻点坐标， 定义为v o r o n o i 单胞t ，和t 的面积之比 3 5 1 ： 舱) = 纂，以) = 一( z ) ( 1 1 0 ) 这里，从1 到”，咒为节点x 的自然邻点数量。例如在图1 7 ( b ) 中，a ，( x ) 为四边形 c d e f 的面积，一( x ) 为四边形a b c d 的面积。 利用自然邻点坐标旃( x ) ，s i b s o n 插值的插值格式为 第1 幸培论 “( x ) = 办( 咖， ( 1 1 1 ) ，= l 其中，办( x ) 也称为自然邻点形函数( n a t u r a ln e i g h b o rs h a p ef u n c t i o n ) 。 与s h e p a r d 法的全局插值不同，自然邻点s i b s o n 插值为局部插值。 s i b s o n 插值在计算过程中，需要计算插值点的二阶v o r o n o i 单胞的测度，增 加了计算的时间。为减少自然邻点插值的计算时间，vvb e