（固体力学专业论文）拟部分可积哈密尔顿系统的随机平均法及稳定性.pdf

摘要 个具有r ( 1 r n ) 个独立运动积分的哈密尔顿系统称为部分可积哈密尔顿 系统。拟部分可积哈密尔顿系统为具有弱线性与非线性阻尼及弱随机高斯白噪 声激励的部分可积哈密尔顿系统。本文推导了拟部分可积哈密尔顿系统的随机 平均法，应用k h a s m i n s k i i 定理导出共振和非共振情况下的平均方程，指出平均 方程的个数等于独立运动积分数与共振关系数之和，给出了求取平均方程精确 稳态解的过程。第一个例子表明平均方程的精确稳态解与原系统的精确稳态解 相符。第二个例子给出了一个具有共振或非共振4 自由度哈密尔顿系统的平均 方程的精确稳态解，并通过数值模越证实该方法的有效性，最后我们将该平均 法应用于3 自由度非线性系统的稳定性，得到了与物理直观相符的结果。 关键词：部分可积哈密尔顿系统? 随机平均法? 随机稳定性。 a b s t r a c t a nn - d e g r e e o f - f r e e d o mh a m i l t o n i a n s y s t e mw i t hr ( 1 r n ) i n d e p e n d e n ti n t e g r a l so f m o t i o ni sc a l l e dp a r t i a l l yi n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e mi nt h ep r e s e n tp a p e r ，as t o c h a s t i c a v e r a g i n gm e t h o d i s p r o p o s e d t o p r e d i c ta p p r o x i m a t e l yt h er e s p o n s eo fq u a s i p a r t i a l l y i n t e g r a b l e h m i l t o m i a ns y s t e m s ( p a r t i a l l yi n t e g r a b t eh a m i l t o n i a ns y s t e mw i t hl i g h t l yl i n e a r o rn o n l i n e a rd a m p i n g sa n ds u b j e c tt o w e a k l ye x t e r n a la n d ( o r ) p a r a m e t r i ce x c i t a t i o no f g a u s s i a nw h i t en o i s e s ) t h ea v e r a g e de q u a t i o n sa r ed e r i v e db a s e do nat h e o r e md u et o k h a s m i n s k i if o rb o t hn o n r e s o n a n ta n dr e s o n a n tc a s e s i ti ss h o w nt h a tt h en u m b e ro f a v e r a g e de q u a t i o n si se q u a l t ot h en u m b e ro fi n d e p e n d e n ti n t e g r a l so fm o t i o np l u st h e n u m b e ro fr e s o n a n tr e l a t i o n s t h ep r o c e d u r et oo b t a i nt h ee x a c ts t a t i o n a r ys o l u t i o n so f t h e a v e r a g e de q u a t i o n si s a l s op r e s e n t e d t w oe x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h e p r o p o s e d p r o c e d u r e i ti s a l s os h o w ni ne x a m p l e1t h a tt h ee x a c ts t a t i o n a r ys o l u t i o no fa v e r a g e d e q u a t i o n sc o i n c i d e s t h a to f o r i g i n a ls y s t e mi f t h el a t e re x i s t i ti sa l s os h o w n t h a tt h i sm e t h o d c a nb ea p p l i e dt ot h es t o c h a s t i cs t a b i l i t ya n a l y s i so f3d e g r e eo ff r e e d o mn o n 1 i n e a rs y s t e m w i t hp a r a m e t i ce x c i t a t i o no fg a u s s i a nw h i t en o i s e s k e yw o r d s ：p a r t i a l l y i n t e g r a b l e h a m i l t o n i a ns y s t e m ，s t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o d ， s t o c h a s t i cs t a b i l i t y 第一章前言 在自然界中，风、浪、地震等载荷普遍存在，这些载荷的显著特征是它具 有随机性，随机振动是用于研究这些随机载荷的作用下系统的响应、稳定性、 分岔、可靠性及控制等的一门学科。 随机振动这门学科自诞生以来，已有了很大的发展，特别是线性随机振动 理论已经非常完善，而非线性随机振动理论由于其本身的复杂性，虽已有了长 足进步，但离解决还有非常长的路要走。 近几年来，人们将研究的目标主要集中在多自由度强非线性随机振动系统 理论的发展和实际工程应用二个方面。在随机振动理论中，随机平均法作为一 种非常有用的方法一直受人们的重视，因为利用随机平均法可以使方程的维数 大大降低，从而使得原来非常复杂、难以解决的问题得到解决成为可能。可以 说，讫今为止在随机振动理论中已得到解决的大部分问题都与随机平均法有关， 利用随机平均法已研究过单、多自由度系统的响应、稳定性、分岔、可靠性及 控制等各个方面。 随机平均法主要有以下几类，即标准随机平均法，能量包线随机平均法、 拟哈密尔顿系统的随机平均法等，其中，标准随机平均法适用于多自由度拟线 性随机系统受宽带随机激励情形：能量包线随机平均法适用于单自由度强非线 性系统爱高斯白噪声激励的情形：而拟哈密尔顿系统随机平均法适用于多自由 度强非线性系统受高斯白噪声激励的情形。其中，标准随机平均法由s t r a t o n o v i c h 提出并由k h a s m i n s k i i 给出严格的数学基础，它的应用最广，得到的成果最多， 但它致命的弱点是仅适用于拟线性系统。能量包线随机平均法也是由k h a s m i n s k i i 提出，并由朱位秋等给出严格的数学基础，但它只适用于受高斯白噪声激励的 单自由度强非线性系统。c a i 等利用级数展开的办法，将该方法推广到受非高 斯白噪声激励的情形。拟哈密尔顿系统的随机平均法是由朱位秋等应用哈密尔 顿系统的共振及可积性等理论发展起来的适用于受高斯白噪声激励的多自由度 强非线性系统的随机平均法，利用该平均法，己研究过多自由度拟可积、拟不 可积哈密尔顿系统的响应、稳定性、分岔、可靠性及控制，证明了该法的有效 性。 然后拟可积、拟不可积哈密尔顿系统仅是多自由度哈密尔顿系统的二个 极端情形，绝大部分哈密尔顿系统介于这两者之间，因此，很有必要发展适用 于该情形的随机平均法，本文的主要工作之一就是要研究该情形特殊情况下的 随机平均法并将它用于预测系统的响应及稳定性。 随机稳定性是随机振动理论的重要组成部分，随机稳定性的概念及定义基 本上是由确定性系统稳定性的概念及定义转化过来的并有其本身的特色。随机 稳定性主要结果基本上是单、多自由度线性系统，其中最主要的是由k h a s m i n s k i i 得到的适用于常系数线性齐次方程的几乎肯定渐近稳定性的充要条件，它通过 将高维线性伊藤随机微分方程映射到单位球面上并求平均指数发散率计算最大 李亚普诺夫指数得到。k o z i np r o d r o m o n ，m i t c h e l l 等将该理论应用于二阶线性随 机系统。 对于多自由度强非线性随机系统，原则上可通过对平衡点附近的线性化研 究系统的局部稳定性。近几年来，朱位秋等定义最大李皿普诺夫指数为系统哈 密尔顿函数的指数发散率，并利用拟可积哈密尔顿系统的随机平均法，成功地 研究了多自由度强非线性随机系统的稳定性：并且指出对线性系统浚定义与 用欧几里德模定义得到了完全相同的结果。利用该定义的最大便利是可以研究 线性化为退化情形的随机稳定性及本质非线性系统的随机稳定性，且在一定条 件下，由此得到的结果是全局性的。 本文的主要内容之二就是利用本文的拟部分可积的哈密尔顿系统的随机平 均法，研究了多自由度拟部分可积哈密尔顿系统的随机稳定性，并且引用哈密 尔顿函数的指数发散率作为最大李亚普诺夫指数的定义，得到了与物理直观相 符的结果。 第二章哈密尔顿系统 2 1 部分可积哈密尔顿系统 考虑一个由下列n 对哈密尔顿方程支配的n 自由度哈密尔顿系统 毋h q ，2 _ 1 d p ， a h p = 一_ q 一 ( 21 ) i = 1 , 2 ，n 式中q ，和p 分别是广义位移和广义作用量；h = h ( q ，p ) 是一个具有连续一阶 导数的哈密尔顿函数。一个n 自由度的哈密尔顿系统如果存在n 个独立运动的 积分，则可以被称为完全可积的。h = h i ，h 2 ，h o 7 ，式中h = 只( q ，p ) 而 且h 。= h 且h 互相对合，即： 其中 h ，h 】= 0 i ，7 = 1 , 2 ， ( 2 2 ) 附一，2 百c t h , 百c 3 - j 一象鲁 ， k = 1 , 2 ，n 是ha n dh 的泊松括号。 一个n 自由度用( 2 1 ) 定义的哈密尔顿系统如果存在以下f 则变换，就可以称 为完全可积的： ，= 1 ( q ，p ) 9 = 0 ( q ，p ) i = 1 , 2 ，n 使得新的哈密尔顿系统有以下最简正则形式 ( 24 ) j ，= 一暑呻) = 。 一= 手( i ) ( 1 ) 口s ) i = 1 , 2 ，” 式中，只和，是分别是第i 个自由度的作用量，角变量和频率。h = h ( i ) 是 新的与目无关的哈密尔顿函数。方程( 2 5 ) 可以进行积分，由此得到方程( 2 1 ) 的解。可以把，看作满足方程( 2 2 ) 的运动积分的特殊形式。 在完全可积n 自由度哈密尔顿系统中，如果频率甜是可比的，即： 山= ( 26 ) 其中为整数，此时系统是共振的。方程( 2 6 ) 就认为是共振关系。如果 口= 竹一1 则系统是完全共振的，如果l 蔓口 1 ) 自由度哈密尔顿系统中如果除了哈密尔顿函数本身，不存 在其它独立的运动积分，则称为完全不可积的。完全可积和完全不可积的系统 是一般哈密尔顿系统的两个极端特殊的情况。大多数哈密尔顿系统是部分可积 的。 如果在哈密尔顿系统中存在，( 1 6 面( 1 ，h ，) = 2 a d 一1 s g = 2 d k l f s 女”f 面。s j 瓦s _ 6 坩( i , h r ) = b s r ( i , h r ) _ 2 ，1 坩_ 吖肛赤! ”詹”蚺“咖。 础小声! ( 1 警地由m 咖。 式中： o = iq ，哩，o 一j 7 由。勿。咖。 力= ( 口，q 。，pr t l ，p 。) ih ，( q ，q 。，0 ，p ，t i ，p 。) h ，) 力l = ( q ，q 。，p ，十1 ，p 。) i h ，( 0 ，q ，q 。0 ，p ，p 。) s h ，) ( 2 ，1 7 ) s ，i ，s ，s 4 = 1 , 2 ，一，r 一1 ；女，f = 1 , 2 ，一，州；“，v = r ，r + 1 ，n 与肺平均方程( 2 1 5 ) 相关的平均f p k 方程为： 謇叫一缸旷号卅圭瓦0 2 啦棚+ 麦茜盹删畦著剀 l l t 处p = p 0 ，h ，fii o , h ，o ) 初始条件： p = 占( i i o ) 巧( 日，一h ，o ) ，t = 0 ( 2 1 9 ) 或者p = p ( i ，h ，) 在初始条件： p = p ( i o ，h ，o ) ，t = o ( 2 2 0 ) 平均方程同样需满足适当的边界条件和归一化条件。 2 2 2 共振情况 假设用方程( 2 1 2 ) 表示的部分可积的哈密尔顿系统的可积部分，当s = 0 时，存在 如下口( 1 口sr 一2 ) 共振关系： 七?脚s=o(占)(220 = 1 , 2 ，一，口s = 1 , 2 ，。，r 1 引入口个角变量组合。： 。= f o ， ( 22 2 ) 矿。的肺方程能够通过i t 3 微分规则得到： 帆- d ( 小小面o h 酉o # u 讽厶厶瓮肌占必鲁厶碱( ，) ( 22 ：) ，= 1 , 2 ，h ；女，i = 1 , 2 ，用；j ，j ”= 1 , 2 ，r l ；，= 1 , 2 ，口 该部分可积哈密尔顿系统由r 1 个关于，：的方程，r 一1 一口个关于0 的方程及方程 ( 2 1 4 ) 中关于何，的一个方程，方程( 2 2 3 ) 中关于丸的口个方程，方程( 2 1 2 ) 中最n r + 1 个 关于o 的方程和最后n - r 个关于尸的方程组成。从这些方程中可以看 j ，。，和九是慢变过程而q o = 口+ 1 ，一1 ) ，9 ( 扛，月) 和尸( ，= r 十i ，n ) 址 快变过程。基于k h a s m i n s k i i 法则【1 0 】，当斗0 时，。，和咖，在时间问隔0 t t 内以概率趋进于一个( r 十口) 维扩散过程，此处t d ( 。) 。为简化起见，用同样的符 号，和九来表示这个r + a 维的扩散过程。 这个r + o t 维扩散过程的肺方程可以通过在，。，和。保持恒定的情况下，对方程 ( 2 1 4 ) 和( 2 2 3 ) 应用时间平均而得。类似地，在非共振情况下，用相空问平均代 替时i 训平均，可以得到下列肋方程。 d l s = 占a s ( i ，电日，) d t 十占乃盯止( i ，由h ，) d 吼( ，) 。 d p = 占口p ( i ，电何，) a t + 占局口辟( i ，电圩，) a b t ( f ) ( 22 4 ) d h ，= 占n ，( i ，电h ，) d t + 占，2 c r ，七( i ，巾，h ，) d b i ( t ) 此处垂= 【庐，：，一，妒。】 q = 吣虫日，) _ 。印，印。印，- 印， 旷吣屯剐： 中，印，-o p t 印。 q 叫( i o d - ，) _ 。印，印。印。印， k = k ( 1 ，由以) = 2 【。彳】i = 刈m ) = 2 a d d 卜 ：磋。 汜：；、 = ( 由，) = 2 【。j 】硝- 。) 并且彬( f ) ( f _ 1 , 2 ，3 ，4 ) 是独立的高斯白噪声，强度为2 d 系统( 2 4 2 1 ) 的哈密尔顿函数为： h = h l + h 2 + h 3 = 珊l ，i + , t 9 2 ，2 + 日3 其中： ，l = ( 量i + l2 x l2 ) 2 c o l，2 = ( i ；+ 。92 2 x 2 2 ) 2 棚2 也= 圭( j ；+ 量：) + 。) 1 非共振情况： 在本例中，脚平均方程有形式( 2 1 5 ) ，即 d l i = q ( 0 ，2 ，h ，) 加+ q i d b i ( ，) d 1 2 = a 2 ( 亿，2 ，乩) 曲+ c r 2 t d b , ( ，) d h 3 = n ，( ，i ，2 ，h 3 ) 出+ 仃d b ( t ) 此处k = l ，2 ，3 ，4 ，根据( 2 1 6 ) 可以求得平均漂移和扩散系数 式中 ( 2 4 2 2 ) ( 2 4 ，2 - 3 ) ( 2 4 2 4 ) ( 24 2 5 ) 旷一 口l o l l + 丁3 ( o i o 1 1 ，? + 0 ) 2 c z l 2 l l l 2 + ( 口1 3 - f ( z i4 蚓+ 鲁 订2 = 一 口2 0 1 2 + t 3 c o , c z , 2 ，2 2 + m l 0 t 2 t l n 2 + ( z 2 3 + a 2 4 ) 1 2 h 3 + 珊d _ ，l 3 = 一【( 口3 0 + 口4 。) + ( 口3 l + 口4 i ) 甜l ，i + ( 口3 2 + 口4 2 ) 2 ，2 ( 2 4 2 6 ) 十1 ( 3 c q 3 + 3 g 4 4 + 2 3 4 + a , u ) h 3 i s l ( 日3 ) + 。3 + 。 ”堡，；小2 ，d _ _ 、l ，2 ；”2 ( 见+ d 4 ) s i ( 乩) 山叫 s ( 乩) = ( 1 + 8 h ，b 一正巧巧) 1 2 b ( 242 7 ) 与平均脚方程相关联的f p k 方程的精确稳态解具有形式( 2 3 1 ) ，其中 五= ( “，：，h ，) 满足如下一阶线性偏微分方程： 丝厶丝：堕一2 。 l0 1 l倒l 一2 d 2 1 2 要一2 d 2 2 n 2 ( 2 4 2 _ 8 ) 2口20 3 2 2 ( d 3 + d 4 珥( 蚓最叫b + d 。) 掣砌， 如果( 2 4 2 i ) 中的阻尼系数口。和激励强度d 满足如下关系： 口1 2 d l = 口2 i d 2 竺! j 竺坚= 竺! ! ：竺! ! d ib + b 竺2 1 竺垫= 竺! ! 竺墼 ( 2 4 2 - 9 ) u 2u 十u 则( 2 4 2 i ) 的平均方程的精确稳态解为： 肌k 黝_ c ( 厅而_ 1 ) e x p - 【等”2 。1 2 + 等等凰 + 鲁n 警n 垃署裔煎h ；( 2 4 2 - 1 0 4 ( d d ) 4d l 4d ，十4 ) 。 + c ”l c 0 2 a 1 2i ，2 + 型掣叫，+ 型划，：也】) d d l1。d2 4 p ( x ，i ) = ( 2 4 2 11 ) 一( 1 4 ) 乩- h ，( x , i ) 由( 2 4 2 1 1 ) 积分可以求得边际概率密度。图1 ( a ) 和2 ( a ) 表示了系统( 2 4 2 - 1 ) 的稳态概率密度p ( h ，h 2 ) 和p ( h ：，h 3 ) 在非共振情况下的对于两组系统参数的数值结 果。图l ( b ) 和2 ( b ) 表示了相应的数值模拟的结果。可以看出使用现有的随机平均法的 结果与数值模拟的结果符合得很好。 共振情况 假设，：脚，( 2 1 ) 的最前面的两个振子处于主共振。引入角变量的差： = 0 i 一0 2 = 巧l 一占 此处岛和b 是角变量，卤和疋是最前面的两个振子的相角。在本例中，( 2 4 ，2 1j 的 平均方程形式如( 2 2 4 ) ，即： d l l = 口i 【1 ，2 ，3 ，妒) d ，+ c r l k d l j 女( ，j d 1 2 = 口2 ( ，l ，2 ，h 3 ，) 击+ 仃2 d b i ( r ) d h 3 = a 3 ( 0 1 2 , h 3 ，) 斫十盯j t d b i ( r ) d 庐= 口4 ( ，i ，2 ，h 3 ，) m + 盯4 i d 巩( ，) 其中： 铲一 a t o l i + 丁3 c o i c z l j ，? + c 0 2 a i z l t l 2 ( 1 + 吉c 。s 2 卅( 蝎。) 1l h 3 】+ 鲁 旷一 a 2 0 1 2 + 半，：2 + ( - a i o r 2 t i t 2 ( t + 扣：卅( a 2 3 + o r 2 4 坞蚓+ 导 d = 一【( 口3 0 + 口4 0 ) + ( 口) l + a 4 1 ) 由l ，l + ( a 3 2 + a 4 2 ) 2 ，2 + 吉( 孤，+ 3 蝎。咱朋，i s 胆小d ，+ d 4 n 。= 去( 口。：吐j ：，：+ a ，。) s i n 2 庐 6 枷“。= i 2 dr 。b 2 z = k = 等，： = 】3 3 = 2 ( d 3 + d 4 ) s t ( 。= k = 最+ 去 b ；，。bs 。2b 。2 0 通过使用4 2 节中的技术，假设系统参数满足同样的关系( 2 4 2 - 9 ) ，可以得到如下的 系统( 2 4 2 一1 ) 的平均方程的精确稳态解： p ( 1 k , 1 2 , 如加c ( f 郦- 1 ) c x p _ 监d ”等小等等风i + 鲁私鲁即2 垃卺焉丝h ；( 2 4 2 - 1 5 ， + 半叫：( 1 + 扣z 卅掣叫，+ 掣删 图3 ( a ) 和4 f a ) 给出了系统( 2 - 1 ) 的稳态概率密度p ( h ，h 2 ) 和p ( h 2 ，h ，) 在共振情 况下的对于两组系统参数的数值结果。图3 ( b ) 和4 ( b ) 给出了相对应的数值模拟的结 果。可以看出两组结果符合得很好。 o ( h p ( h 2 ，h 3 00 o0 罔1 ( a ) 系统( 2 1 ) 在非共振情况f 通过随机、i i 均法得到的静态j c 率崭度 h h t o l = 1o ，c o 2 = l4 1 4 ，t o j = 1 1 l ，4 = 1 7 3 2 ，口l o = 口2 0 = 髓3 0 = d 。一0 0 8 ； 口j i = d2 2 = 口”= a 4 4 = a = d j j = 0 0 4 ，a i ! = 口! i = d 3 i = d 4 i = a j ：= 口1 1 = 0 0 2 口ij = 口id = a2 j = 口n = 0 0 1 ，d i = d 2 = d j = d l = 0 0 0 5 h 2j p ( h ，h l p ( h z h ， 0o o0 图1 ( b ) 系统( 2 1 ) 在非共振情况下通过数字模拟得到的静态概率密度 p ( h ，h 2 ) 平叩( h l ，h 2 ) h ，h ) h h h ，j 甜i = 10 ，t 2 ：r 2 = 1 4 1 4 ，叮3 = 11 l ，叮4 = 1 7 3 2 ，口l o = a 2 0 = 口3 0 = 口4 0 = 一0 0 8 ； 口| 1 = 口2 2 = a3 ，= 口4 4 = 口= a ，= 0 0 4 ，口l 2 = 口2 l = a ) l = 口d 1 = 口3 2 ；口 2 = 0 0 2 口l 、：口l4 = 。23 = “2 4 = 0 0 1 ，d i = d ! = d 】= d 4 = 0 0 0 5 。 川h n p i h j ，h 图2 ( a ) 系统( 2 1 ) 在非共振情况下通过随机平均法得到的稳念概率密度 p ( h i ，h 2 ) 和p ( 2 ，h 】) 。系统参数除口i2 = 口2 。= 0 0 8 其余都与图1 相同 p ( h h 0o h f 心 oo 图2 ( b ) 系统( 2 i ) 在非共振情况下通过数字模拟得到的稳态概率密度 p ( ，：) 年叩( 2 ，3 ) 。系统参数除口2 = a 2 = o 0 8 其余与图l 都相同 p ( h h 圈3 ( a ) 系统( 2 - 1 ) 在共振情况下使用随机平均法得到的稳态概率密度 p ( h ，h ：) 年f j p ( h ：，h ”。系统参数除吼= 1 0 其余都与图1 相同 川h ，h 2 h l ，h l 2 5 2 0 1 s op f h h h ，) 图3 ( b ) 表示系统( 2 - 1 ) 在共振情况下使用数值模拟得到的稳态概率密度 p ( h ，h ：) 枷( ：，) 。系统参数除珂2 = 1 0 其余都与图l 相同 00 图4 ( a ) 系统( 2 - 1 ) 在共振情况下使用随机平均法得到的稳态概率密度 p ( h l ，h ：) 平叩( 2 ，h ，) 。系统参数除叮2 = 1 0 和口，2 = 口2 l = o 0 8 其余与图i 相同 图4 ( b ) 系统( 2 - 1 ) 在共振情况下用数值模拟得到的稳态概率密度 p ( h ，h2 ) 叩( 2 ，h ) ) 。系统参数除口2 = 1 0 和q 2 = a 2 = 0 0 8 其余与图1 相同 第三章随机稳定性 3 1 1 随机稳定性定义 稳定性是微分方程之解在半无限时间区问上的一种定性性质，它通常是用 解关于时间与初始条件在这样一些参数的收敛来定义的。随机稳定性的定义有 很多种，大多是确定性的李亚普诺夫稳定性在随机情形的推广。因此，在给出 随机稳定性的定义之前，宜先简单回顾一下确定性的李亚普诺夫稳定性的定义。 设 y = f ( y ，) ，y ( t o ) = y o ( 3 1 ) 是描述n 维矢量函数y ( t ) 的常微分方程，满足解的存在与唯一性条件，且对所 有，t 0 , f ( o ，) = 0 。当y 。= 0 时y = 0 是( 3 1 ) 的解，称为平凡解或静平衡位置。 李亚普诺夫稳定性：若对任意e o ，存在6 = 6 + ( e ，。) ，使得当l i y 。l | 0 ，使 得当| i v o l i e o ，使得当8 y o l = o ( 3 8 ) 则称平衡位置y = 0 是在概率意义上渐近稳定的，若对任意y n ( 3 8 ) 都成 立，则称y = 0 是在概率意义上大范围渐近稳定的，类似于确定性情形，对线性 随机微分方程，渐近稳定与大范围渐近稳定等价。 几乎肯定稳定性 若对任意e 0 ，存在6 = 6 ( e ，t 。) 0 ，使得当 i i v o l l ej _ 0 ( 3 9 ) - 2 i “ 则称平衡位置y = 0 是几乎肯定稳定的，或概率为l 稳定的。比较( 3 9 ) 与( 3 2 ) 知，此时，对几乎所有的样本函数静平衡位置都是稳定的。比较( 3 9 ) 与( 3 7 ) 知，几乎肯定稳定就是概率意义上稳定以概率1 成立。 几乎肯定渐近稳定性若y = 0 是几乎肯定稳定的，且存在6 = 6 ( e ，f 。) 0 ， 使得当8 y o l 8 = o 3 1 0 a ) 则称平衡位置y = 0 是几乎肯定渐近稳定的。此定义也可进一步一起表示为： l i r a 尸_ ( s 。p 。l l y ( ；y o , t o ) | | = o ) = 1 3 1 若( 3 1 0 a ) 或( 3 1 0 b ) 不依赖于y n 而成立。则y = 0 是几乎肯定大范围渐近 稳定的。 注意，概率为1 稳定性是k r s h n e r