（应用数学专业论文）关于局部振动非线性plaplacian拟线性椭圆问题的正解.pdf

2 o - l a p l a c i a np r o b l e m s o nt h eb a s i so ft h ep r e - v i o u sr e s u l t sw h e np =2 o rn = 1 ，u s i n gm o r ea c c u r a t ee s t i m a t i o n ，w ep r o v e t h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n so fp - l a p l a c i a np r o b l e m su n d e rw e a k e r c o n d i t i o n s ，w h e r ep 2 k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m ；i n f i n i t e l ym a n yp o s i t i v es o l u t i o n ； l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ；v a r i a t i o n a lm e t h o d s 3 其 是 立 上l 疵r 2 v 乱v 叫出= z ，( z ，u ) 伽如 ( 1 2 ) 近些年来，p - l a p l a c e 方程的研究涉及许多领域而且p l a p l a c e 问题的多 解的存在性已经有许多相关论文对此进行了研究以下列举一些有利于理解和解 读本篇论文的部分相关文献及其结果： p i e r p a o l oo m a r i 和f a b i oz a n o l i n 合作在1 9 9 6 年得到如下结果( 参见文献 1 5 ) 一4 乙三拿z ) 9 ( u ) + 危( z ) ) z x e a f q , ， ( 1 3 ) 其中g ：r _ r 是连续函数，p ，h l o 。( q ) ，p o = e s si n f np 0 其中设 a u = d i v ( a ( i v u l 2 v 孔) ) ，函数a ：( 0 ，+ ) 一( 0 ，+ 。) 是e 1 并且满足l e r a y - l i o n s ( 文( 1 9 ) 的椭圆型增长性条件对所有的s 0 ，a ( 8 ) = 片o ( ) 埏则有 定理： 及 定理1 1 ( 1 5 】，t h e o r e m1 1 ，1 9 9 6 ) 记a ( s ) = 片夕( ) 蜓假设 一姒l 州i m i n 。f 罴冬o s _ o 。a i l s i 粤翼器= 慨 4 那么，对于任一对函数弘及h ，问题以夥在崂p ( q ) n c l ，仃( q ) 中有两列无穷多 解序列( ? a n ) n 和( ) n ，对于某个矿 0 ，满足 及 t ) n + 1 v n v l u l 缸n 冬u n + 1 z q ， i n a x u n _ 十，婵n v n _ 一o o qq 在定理1 1 的条件下，当考虑这样的函数口( s ) = s 暑一1 及a ( s 2 ) = ( ；) i s l p ，那 么我们容易得到如下推论： 推论1 1 ( 1 5 】，c o r o l l a r y1 2 ，1 9 9 6 ) 假设 l i mi n f 型：o s - - - * - l - o o 8 p 及 l i ms u p 型：+ o o s _ 士o o s p 那么，关于如下的p l a p l a c e 问题是可得到与定理! j 相同的结论 r = p ( z ) 9 ( u ) + 九( z ) ， z q ， ( 1 4 ) =0xaq 此推论中的条件正如文 1 4 】中f r a n c oo b e r s n e l 及p i e r p a o l oo m a r i 所述， 还可以进一步找其最优条件而这正是本文所要探索的问题 而后，p i e r p a o l oo m a r i 和f a b i oz a n o l i n 在2 0 0 0 年的时候，对这一问题再 次探讨当然，p l a p l a c e 问题及其条件略为不同： 在( 1 4 ) 的p l a p l a c e 问题中，如果假设h ( z ) = o ，并用a ，( 札) 代替p ( z ) 9 ( u ) ， 其中入 0 是实参数。即： ! _ p u = x f ( z ) ， z q ， ( 1 5 ) 【 u = 0 ， z a q 、 。 这里qcr ，( n 2 ) 仍是具有光滑边界的有界光滑区域，函数，： 【0 ，+ ) _ r 是连续的则有定理： 5 定理1 2 ( 1 6 ，t h e o r e m ，2 0 0 0 ) 假设 l i mi n f 型：0 s - - - , 0 + 8 p 及 l i ms u p 型：+ 。o s - - - * - k o o 8 y 那么，p l a p l a c e 问题以圳对每一个入 0 ，都有一个正解序列( u n ) n 并且满 足：m 。_ a xu 佗0 以及；1 厶i v u n i p 一入厶f ( “n ) 0 对于p - l a p l a c e 问题，这一结果与前面得到两列无穷多解所不同的是，运用 更精细的构造常微分方程初值问题的技巧，所得到的一列解是正解当然，这都 是对于p 1 的情形所展开的讨论 在2 0 0 6 年，f r a n c oo b e r s n e l 及p i e r p a o l oo m a r i 在【1 4 】中讨论了p = 2 在 维情形下的p - l a p l a c e 问题的无穷多解问题此时，条件颇显复杂： 在( 1 4 ) 的p - l a p l a c e 问题中，当假设p = 2 ，用s ( x ，u ) 代替肛( z ) 9 ( 也) + ( z ) 即： 一：三毛叻 ：三： ( 1 6 ) 并且假设： ( ) q 是酞( n 1 ) 中有界光滑区域，边界是c 1 ，一， ( 尼) ，：qxr _ r 满足对每一个8 0 r ：，( ，8 0 ) l c c ( f 2 ) 以及对于任意 的e 0 存在5 0 使得对任意的8 r 和几乎处处的z q ，当1 8 8 0 i l ，西p8 ) = f 8 1 p _ 2 8 以及，在u = 0 处可能存在奇点 定理1 4 ( i s ，t h e o r e m ，2 0 0 9 ) 向1 ，函数厂：( 0 ，1 ) ( 0 ，+ ) _ 0 ，+ ) 是l 1c a r a t h d o d o r y 函数， 向2 j 存在e ，r 0 ，g ：( 0 ，1 ) ( 0 ，+ ) _ 0 ，十。o ) 是一个连续函数，v s c ：= 啄1 ( e ) ，及n e t u ( t o ，r ) c ( 0 ，1 ) ， i ( x ，8 ) 夕( s ) ， 一l i m 。如) = + o o 口眦l i m s u pp g ( s _ _ _ _ ) ) ( 志) p ， 其中g ( s ) = f g ( ) 必， 向3 ) 存在一个连续的函数：h ： 0 ，+ o o ) 一r 使得v s c 及n e t ( 0 ，1 ) ， m s ) 驯s ) ，l i mi n fp h s p ( s _ _ _ _ _ 堕) 1 及对所有的( 2 ) 维的p l a p l a c e 方程的正解 问题这个结果的证明用到上下解及其临界点理论并且这个方法有别于用变分 法得到结果 8 第二章主要结果及相关准备 本文考虑如下拟线性椭圆问题： 0 存在6 0 使得对任意的8 r 和几乎每一个z q ，若1 8 8 0 i 6 ，那 么我们有i f ( x ，s ) 一f ( x ，s o ) i 显然，如果f ：qxr r 是连续的，那么条件( 九1 ) 自然成立 为了后面讨论问题方便，我们引入与方程( 2 1 ) 相关的变分泛函西：w 苫巾( q ) n l 。( 1 2 ) _ r ，定义为： 垂( 钆) = ；1 上i v 让i p 出一上f ( z ，乱) 出， 其中 f ( x ，s ) = f ( x ，) 蜓 ，1 8 ，0 在叙述主要结果之前，我们介绍一些对本文有用的概念与引理首先引入问 题( 2 1 ) 的上下解的概念： 定义2 1 ( 1 5 】，1 9 9 6 ) 称函数笪c 1 ( 豆) 是方程p 砂的下解，如果在a q 上都有丝 0 ， 使得 型u 面，x q ， 为证明解在边界附近的渐近性质，我们还需要如下形式的p - l a p l a c e 方程的 极值原理： 引理2 2 ( 1 ，l e m m a3 8 ，2 0 0 3 ) 设u 是如下p - l a p l a c e 方程的唯一正解 f - - a p u = i l “ = f ，x q ， 0 ，x q ， 0 ，x a q ， 这里，l ( q ) 且f 0 那么，对所有的球耳cq 都有一b 4 rcq ，其中 c = c ( r ，n ，p ) 是一个正常数，使得 成立 器co 匆，比咄 关于区域q ，引入如下的一些记号： 设q 1 是q 的一个开子集，z o q 1 记b r 是以z o 为球心半径为冗的开 球： b r = b r ( x o ) = z r ：i x x o l r ) 假设0 r 1 r 2 r 3 r 4 使得 b r lcb r 2cb r 3 q 1 qc 且r 4 10 钉圣 一让 晶( 等) 眢( 0 1 南) p ， 其中g ( s ) = 片夕( f ) 必 ( 4 ) 存在连续函数h ：【0 ，+ ) 一r ，使得： ( x ，8 ) h ( s ) v8 0 ，a e z q 且 毪蝉g 掣 ( 熹a ) p ( 各r s 。+ s y d 一口一上 这里h ( s ) = 片九( ) 定理2 1 假设条件陋l j ，陋2 ) ，( 5 3 ) 和5 4 ) 成立，则问题俾j ) 存在一列正 解序列u n ，并且 扎。l i m + d i s t u ( n z ( x ，丽) = + 。o 关于z q 几乎处处一致成立 我们给出一个实例来说明满足定理1 3 中所有条件的函数的存在性 例设 f c z ，“，= m i p a + c 。s ( b 1 n m 1 ) 卜二兰兰： 进而 而 l i r as u pp g _ ( - u ) ：1 i ms u p t _ + o 。t 俨u _ + 菇 p f ( x ， i t ) 一= u p l i r ai n fp h ( u ) ：l i mi n f p f ( x , u ) u - - * q - o o u p u - - - + - k o o u p p a ( a + 1 ) ， p c l ( a 一1 ) 由上述的结果不难得到，对于0 r 1 毒南 l i m i n f i t _ t - 0 0 p h ( u ) ( 鲁) 掣( z 1南) p ； ( 1 一p ) ； = p c i ( ) 0 我们能找到一个单 调增加的正实数序列 ) 使得c o 8 0 且 p o ( s ) 一m s p p g ( c 竹) 一m c 嚣 s 0 ， ，n = 1 ，2 ，( 3 2 ) 固定一个常数m 使得 m 研p - 1 ( 鲁) 掣( 0 1 南) p 3 ， 因为 s p 坐譬丝- s p ( 掣一m 1 ，s p s y 由( h 3 ) ， l i m s u p ( p a ( 8 ) 一m s p ) = + 。o 对每一个n ，考虑常微分方程的初值问题： 】3 f 一( 一1i v 7p 一2 ”7 ) 7 = t n - l g ( v ) ， t 怒 慨4 ) 让u ： r 1 ，u ) _ r 为常微分方程的初值问题( 3 4 ) 的右最大扩展区间的解 设： o r = s u p t ( r 1 ，u ) ：v ( t ) 8 0 ，t r 1 ，7 - ) 因为对所有的t r 1 ，盯) ，t n - 1 9 ( 秽( 亡) ) 0 因此( t n - 1 i 秽7p 一2 v ，) ， 0 ，那么函数 t n - 1 i v 7p - 2 v 7 在 r 1 ，盯) 上是递减以由口7 ( 冗1 ) = 0 ，所以u 似) 0 ，于是有v ( t ) 在 r 1 ，盯) 上也是递减。因此在【r 1 ，盯) 上，s o 口( 亡) 我们断言口( r 1 ，r 2 ) 如若不然，则有( r 1 1 和h 非负可微函数，有恒等式： ( ) 7 扣p - pl ( h v ) 7 ， 两边同乘以亡等( 一移他) ) ，得到 ( 撕n 弋- i u ! ( t ) ) ) ( g 等( ( 。) 7 = e 两n - 1 ( 一( 亡) ) ) ( t n - 1 9 ( 删) ， 于是有 旦d t ( 孚0 可n - 1 ( 一( ) = t 眢他) 舯) ) ， r 1 删p - - 1 ( 一口) ) 9 ( 钞( 观 p ( n 一1 ) = 一r 1 专亍9 ( 口( ) ) d v ( t ) 然后在【r 1 ，t 】上积分， ( 字( 州n - 1 川) ) ) p ) ，班f r i - r 1 掣吲吣) ) 州巩 利用( 3 4 ) 中的初值，可以得到 字( 等( 川) ) ) p = r 学( g ( 小g 似踟) 又由( 3 2 ) ，得到 p 了- 1 ( 舒( 川) ) ) p 扣掣州( 蘸叫矿) ， 这样，我们得到： 川) ( 当) ；( 孚) 等懈刊p ) ；1 ， 如果r l 0 ，使得在【0 ，+ ) 上有夕( s ) 一j 再由问题( 3 4 ) 可得： 仃一1 i u 7 ( 盯) l p 一2 口7 ( 盯) 一一1 i 钉7 ( ) i p 一2 钉7 ( ) = 盯( t 一1 i 钉7 ( 亡) i p 一2 钉7 ( ) ) 出 = 一t n - i g ( v ( t ) ) d t ( 3 7 ) j 丙j ( 一以 由( 3 6 ) 式和( 3 7 ) 式，当礼和充分大时，我i f 有： o n - i i v 7 ( 盯) i p 一2 7 ( 盯) 面j ( 仃一专) + i v 7 ) 1 p 一2 移7 ( ) 丙j ( 7 n - - ) + 冗，l j s 。- - a n 一 p - i s g n ( 差 三鼍) 0 ，使得有下面不等式成立 16 赫 一 妯一( 亭一等) 南怕捌， 当l 充分大时，可以保证在 飓，t = 1 4 】上叫( t ) 0 现在我们可以定义： x b r ” x 玩如。， ( 3 1 1 ) x q 毋 - a p _ u 萤一e z 篡： 嘲 这样，我们找到了符合所要求结论的问题( 3 1 ) 的下解 1 7 、乃h 蚓知 一 一 z k删叭 ，f1【 = 有们 我是于 引理3 2 对于问题p j ) ，存在一个上解序列 ) 使得在q 上，砜x ) 一 + o 。一致成立 o p m q a x u n 又由( 1 5 l e m m a2 1 ) ( 见前面引理2 1 ) 我们能找到问题( 3 1 ) 的一个序列解 乱几) 使得u n “n 碥，z q 对每一个佗，设五( z ) = ，( z ，u n ( z ) ) 那么对于x q 有五l ( q ) 以及 厶( z ) 0 且u n 满足： 呜“ 旺q ( 3 1 7 ) 【 乱n = 0 z a q 当五( z ) 0 在q 上几乎处处成立时，由( 【1 l e m m a3 8 ) ( 见前面引理2 2 ) 我们 有： 器狲j p ) 上。，绯) 武 ( 3 1 8 ) 其中令4 r = r 1 ，c ( r ，n ，p ) 是一个与r ，n ，p 有关的正常数 因此，由条件( h a ) ，五( z ) g ( u 竹( z ) ) 在球b r 。cq l 上几乎处处成立，所以我们 有： 赫狲帅) 厶胯 ( 3 1 9 ) 因为n ( z ) 一+ 时，使得9 ( u 扎( z ) ) 一+ o o 并且在球b r ，上一致成立当 n _ + o o ，于是有： 夕( u n ( ) ) 必一+ o o ，b 2 ， 因此，我们能找到一个递增的正实数序列 地) 和( 3 1 ) 的一个正解序列 u 几) ， 使得l i m = + o o 并且对任意的n ， n + m j i s t ( x ，a q ) u n ( z ) s + 1 d i s t ( x ，a q ) z q 因此由条件( 允1 ) ，对每一个n ，乱n 也都是问题( 2 1 ) 的严格正解 口 2 0 参考文献 【1 】b a b d e l l a o u i i p e r a l e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c er e s u l t sf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n si n v o v l i n gt h ep - l a p l a c i a nw i t hac r i t i c a lp o t e n t i a l a n n a l id im a t e m a t i c a 1 8 2 ，2 4 7 - 2 7 0 ( 2 0 0 3 ) 【2 】h b r e z i s x c a b r 4 ，s o m es i m p l en o n l i n e a rp d e sw i t h o u ts o l u t i o n s ，b o l l u n i o n em a t i t a l s e z b8 ( 1 9 9 0 ) 2 2 3 2 6 2 【3 】f c a m m a r o t o l ，a c h i n n i ，b d ib e l l a i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sf o rt h ed i r i c h l e t p r o b l e mi n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n n o n l i n e a ra n a l y s i s6 1 ( 2 0 0 5 ) 4 1 4 9 【4 】l a w r e n c ec e v a n s p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c n e t y , 1 9 9 8 【5 】c d ec o s t e r p h a b e t s t w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ：l o w e ra n du p p e r s o l u t i o n s a m s t e r d a m ：e l s e v i e r ；2 0 0 6 【6 】i b t i s s e md a m e r g i o l i v i e rg o u b e t b l o w - u ps o l u t i o n s t ot h en o n l i n e a r s c h r i k l i n g e re q u a t i o nw i t ho s c i l l a t i n gn o n l i n e a r i t i e s j m a t h a n a l l a p p l 3 5 2 ( 2 0 0 9 ) 3 3 6 3 4 4 【7 】g a b r i e ll 6 p e zg a r z a & a d o l f oj r u m b o s e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yf o rar e s o - n a n c ep r o b l e mf o rt h ep - l a p l a c i a no nb o u n d e dd o m a i n si nr n o n l i n e a ra n a l y s i s 7 0 ( 2 0 0 9 ) 1 1 9 3 - 1 2 0 8 【8 】l i b ow a n g w e i g a og e i n f i n i t e l ym a n yp o s i t i v es o l u t i o n so fas i n g u l a rd i r i c h l e t p r o b l e mi n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n c o m m u nn o n l i n e a rs c in u m e rs i m u l a t1 4 ( 2 0 0 9 ) 3 7 8 6 3 7 9 1 9 】l iy a n m i n g x u a nb e n j i n t w of u n c t i o n a l sf o rw h i c h 瑶m i n i m i z e r sa r ea l s o 嚼m i n i m i z e r s e l e c t r o njd i f fe q u a t i o n s2 0 0 2 ；9 ：1 - 1 8 【1 0 l u c i od a m a s c e l l i f i l o m e n ap a c e l l a ，m y t h i l yr a m a s w a m y as t r o n gm a x i m u m p r i n c i p l ef o rac l a s so fn o n - p o s i t o n es i n g u l a re l l i p t i cp r o b l e m s n o n l i n e a rd i f f e r e n - t i a le q u a t i o n sa n da p p l i c a t i o n s ，2 0 0 3 v 0 1 1 0 ( n o 2 ) 【1 1 】c i s t e af ，m o t r e a n ud ，r a d u l e s c uv w e a ks o l u t i o n so fq u a s i l i n e a rp r o b l e m sw i t h n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n n o n l i n e a ra n a l2 0 0 1 ；4 3 ：6 2 3 - 3 6 2 1 【1 2 】a l e x a n d r uk r i s t d l y , g h e o r g h em o r o s a n u ，s t e p a nt e r s i a n q u a s i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m si nr i n v o l i n go s c i l l a t o r yn o n l i n e a r i t i e s j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 3 5 ( 2 0 0 7 ) 3 6 6 - 3 7 5 【1 3 】c h a n gk u n g - c h i n g ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o r s et h e o r ya n dm u l t i p l es o l u t i o np r o b - l e m s b r i k h i i u s e rb o s t o n ，1 9 9 3 【1 4 f o b e r s n e l p o m a r i p o s i t i v es o l u t i o n so fe l l i p t i cp r o b l e m sw i t hl o c a l l yo s c i l - l a t i n gn o n l i n e a r i t i e s j m a t h a n a l a p p l 3 2 3 ( 2 0 0 6 ) 9 1 3 - 9 2 9 【1 5 】p o m a r i f z a n o l i n i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n so faq u a s i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m w i t ha l lo s c i l l a t o r yp o t e n t i a l c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 1 ( 1 9 9 6 ) 7 2 1 7 3 3 1 6 】p o m a r i & f z a n o l i n a ne l l i p t i cp r o b l e mw i t ha r b i t r a r i l ys m a l lp o s i t i v es o l u - t i o n s e l e c t r o n j d i f f e q n s ，c o n f 0 5 ，2 0 0 0 ，p p 3 0 1 3 0 8 【1 7 b r i c c e r i ，ag e n e r a lv a r i a t i o n a lp r i n c i