（固体力学专业论文）注射成型短纤维增强复合材料纤维取向分布的预测.pdf

摘要 6 3 9 0 在纤维增强注射成型过程中，纤维取i 川列成型制l 铺的力学性能有很大的影 响，使制品的性质呈现各向异性，或住固化制品一p 产生残余应力而产生j ! | i 曲变 形。并月，纤维墩i 柚也是制品微观结构的主要特征。，l 捌此玎维取向的预测，刈 与纤维取向相关的力学性能进行分 ! r i _ ，从而达到预测和控制j r 品性能的要求， 对此类，“品的生产具有非常重要的意义。 沦义钊刘短纤维增强注射成型过稃，采用数值方法预测纤维增强注射成型 制品的取向分布，对 r 维增强复合材料熔体流动以及增强纤维的取f 柚进行分 析，坝测最终制什中的纤维耿同分白，不仅川以为产品设计提供重要的依掘， 还可以建立成型工艺条件i j 最终制件巾的纤维耿向之川的定量) ：系。主要 ：作 包括： ( 1 ) 理论研究一个浸没在n e w t o n 流体巾刚性的椭尉形质点( 纤维j 的动力学 特征，分析了纤维在稳念剪流和陶 0 - 市伸流中纤维的运动，解析解表明： 剪切流动使纤维沿流动方向排列，而拉伸流动趋向十使纤维沿拉仲方向排 列。 ( 2 ) 重点研究取向张量的性质，耿向张量和耿向分和函数之删的关系，耿向张量 的捕述精度，以及取向张量的f ：4 ：j 合近似理论的精度。 ( 3 ) 在汁刺成型流动引起的纤维蚁向的数值预删中，将短纤维增强的热塑性熔体 近似为浓悬浮液，采用h e l e s h a w 近似来计算型腔中的速度场，然后假设纤 维为圆柱形刚体，利用取向分布函数捕述空刈点的耿向状态，并采用 f o l g a r - f u c k e r 取向模型描述纤维的j ) ( 向行为。 ( 4 ) 采用有限元法坝测纤维增强注劓成型制品的取向分布，列纤维增强复合材 制熔体流动以及增强纤维的呶向进行分析，予_ i 测成型过程中熔体允填流动模 式、以及最终制件中的纤维取l 柚分如。 关键训纤维h ) ( 向短纤维增强注射成型取向张量闭和近似数值分析 a b a s t r a c t p r e d i c t i o no ff i b e ro r i e n t a t i o n d i s u i b u t i n gi ns h o r t f i b e r r e i n f o r c e d c o m p o s i t e si n j e c t i o nm o l d i n g 1 ) u r i n gi n j e c t i o nm o l d i n go ft h ef i b e rr e i n f o r c e dc o m p o s i t e s ，f i b e ro r i e n t a t i o n c a l l s i g n i f i c a n t l ya f f e c tt h em e c h a n i c a lp r o p e r t yo fp a r t s ，w h i c he i t h e rm a d ep a r t s d e v e l o p i n ga n i s o t r o p i cp r o p e r t yo rd e v e l o pr e s i d u a ls t r e s sd u et ow h i c hs o l i d i f i e di n t h ep a r t sc a u s ep a r t st ow a r pd e f o r m a t i o n f i b e ro r i e n t a t i o ni st h em a i n p r o p e r t i e so f t h e p a r t s m i c r o s t r u c t u r e s o a p r e d i c t i o n o ft h ef i b e r o r i e n t a t i o nc a na n a l v z e m e c h a n i c a lp r o p e r t i e sw i t hr e l a t i o nt ot i b e ro r i e n t a t i o n ，w h i c hs a t i s f yw i t ht i r en e e do f c o n t r o l i n g a n d p r e d i c t i o n p a r t s p r o p e r t i e s t h e r e f o r e ，a n a c c u r a t e p r e d i c t i o n i n p r o d u e t i n gt h ep a r t si sv e r yi m p o r t a n t a i m i n g a tt h e p r o g r e s s o fi n j e c t i o n m o l d i n g t h es h o r tf i b e rr e i n l b r c e d c o m p o s i t e s ，w ep r e d i c tt h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i n go ft h ef i n a l p a r t sb yn u m e r i c a l m e t h o d s 1 0a n a l y z ef i b e ro r i e n t a t i o na n d p r e d i c t t h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i n go ft h e f i n a lp a r t s t 、v h i c hn o to n l y p r o v i d et h ei m p o r t a n tc r i t e r i o nf o rt h ep a r t d e s i g n e d b u t a l s o b u i l d i n g aq u a n t i t a t i v er e l a t i o n b e t w e e nt h e m o l d i n g t e c h n i c sa n dt h e f i b e r o r i e n t a t i o no f t h ef i n a lp a r t s t h em a i nr e s u l ta r e a sf o l l o w ： 1 ) t os t u d y d y n a m i c s p r o p e r t i e s o fa l l e l l i p t i c a ls h a p e m a s s p o i n t ( f i b e r ) i m m e r s e di nn e w t o nf l u i d 1 、o a n a l y z e t h em o t i o no ft h ef i b e r i ns t e a d v s h e a r i n g f l o w a n d s i m p l es t r e t c h i n g f l o w t h e a n a l y t i c s o l u t i o n s h o w e d ：s h e a r i n gf l o wt e n dt oa l i g nf i b e r si nt h ed i r e c t i o no f f l o w ，s t r e t c h i n g f l o w st e n dt oa l i g nf i b e r si nt h ed i r e c t i o no f s t r e t c h i n g 2 ) t h ei m p o r t a n tp u r p o s ei st os t u d yt h ep r o p e r t i e so fo r i e n t a t i o nt e n s o r t h e r e l a t i o nb e t w e e no r i e n t a t i o nt e n s o ra n do r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o n f u n c t i o nt 1 1 e d e s c r i p t i o na c c u r a c yo fo r i e n t a t i o nt e n s o r ，a n dt h ea c c u r a c y o ft h ee l o s u r e a p p r o x i m a t i o no fo r i e n t a t i o nt e n s o r 3 ) d u r i n gn u m e r i c a lp r e d i c t i o no ff i b e ro r i e n t a t i o ni n d u c e db yi n j e c t i o nm o l d i n g f l o w ，c o n s i d e r i n gt h es h o r tf i b e rr e i n f o r c e dc o m p o s i t e sm e l ta sc o n c e n t r a t e d s u s p e n s i o n ，a d o p t i n gh e l e s h a wm o d e la p p r o x i m a t et h e v e l o c i t y f i e l di n c a v i t y w eb e l i e v et h a tt h ef i b e ri sc y l i n d r i cr i g i db o d y ，d e s c r i b i n gt h eo r i e n t a t i o n s t a t eo fs p a t i a l p o i n tb yo d f ，a n dd e m o n s t r a t i n gt h eb e h a v i o ro ft h ef i b e r o r i e n t a t i o nb ya d o p t i n gf o l g a r - t n c k e ro r i e n t a t i o nm o d e l ， 4 1af i n i t e e l e m e n t f i n i t e - d i f f e r e n c e p r o g r a m i s e m p l o y e d t o p r e d i c t t h e o r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i n go ff i b e rr e i n f o r c e d i n i e c t i o nm o l d i n gp a r t s t op r e d i c t t h ef i l l i n gp a t t e r no ft h em e l ti nt h em o l d i n g p r o g r e s sa n dt h ef i b e ro r i e n t a t i o n d i s t r i b u t i o no ft h ef i n a l p a a sb ya n a l y z i n gt h ef l o wo ft h e f i b e rr e i n t b r c e d c o m p o s i t e sm e l ta n df i b e ro r i e n t a t i o n k e y w o r d s f i b e ro r i e n t a t i o n s h o r tf i b e r c o m p o s i t e si n j e c t i o nm o l d i n g o r i e n t a t i o nt e n s o r c l o s u r ea p p r o x i m a t i o nn u m e r i c a l a n a l y s i s 郑州人学硕士学位论文 第一章绪论 1 1注射成型短纤维复合材料纤维取向预测的意义 短纤维复合材料是一种重要的工程材料，在复合材料中添加短纤维，使其具 有原材料所欠缺的优点，比如高刚性，高强度，同时可以根据需要控制添加纤维 的比例，以得到预想性能的理想材料。在诸如注射成型和压缩成型的过程中具有 成型容易，加工成本低廉的特点，而且能保持许多纤维增强复合材料的连续优势， 广泛应用于各个工业领域。 应用注射工艺成型短纤维复合材料制品时，在操作过程中，型腔内部可能会 产生复杂的流动模式，并引发纤维沿某一个方向取向。同时，熔体固化的过程中 纤维的取向也会发生变化。 纤维取向对由短纤维热塑性材料构成的注射成型制品的力学性能有很大的 影响，使制品的性质呈现各向异性【l 】，或在固化制品中产生残余应力而产生翘曲 变形。并且，纤维取向也是制品微观结构的主要特征。因此纤维取向的预测，对 与纤维取向相关的力学性能进行分析，从而达到预测和控制产品性能的要求，对 此类产品的有效生产具有非常重要的意义；这种用数值方法预测模拟纤维取向的 方法也是c a e 技术在工程领域应用的又一成功范例。由流动引发的纤维取向结 构引起成型制品显示各项异性并且影响制品的最终形状。为了得到具有理想性能 准确外型的制品，改善短纤维增强聚合物的物理机械性能，确定最优模具设计参 数以及操作条件，要求数值模拟能完整预测流动以及取向，因此，研究流动诱发 取向的机理是非常必要的。 对一个工程人员来说理解工艺、结构与性质之间的关系是非常重要的。注射 成型中频繁使用的短纤维复合材料，预测这种关系无论对生产实践的指导和流动 模型的完善分析都将会是非常有用的。 1 2研究现状 到目前为止，由于预测纤维取向分布问题的重要性，在此领域已进行了许多 研究。j e f f e r yf 3 已经推导出了浸没在基于水压的均相流场中的椭球粒子的取向 变化的方程。国际上对纤维增强聚合物中纤维取向的问题开展了广泛的研究。 注魁成型短红绽埴强复金挝抖红维监臼盆盔曲地测 j e f i e r y 首先分析解决了浸没在粘性流体中单根纤维的运动情况，其后，r a n g a n t h a r 和a d v a n i ( 1 9 9 3 1 4 1 都不同程度的发展了定量描述的加工条件和纤维取向的理论。 f o i g a r 和t u c k e r ( 5 考虑到纤维间的相互作用而在此方程中引入了扩散参数。 a d v a n i 和t u e k e r t 6 弓l 进了纤维取向张量，纤维取向分布函数的瞬时值来描述纤维 取向。在这种方法中仅有一部分量被要求表述每个空间点的取向状态。这种优势， 使取向张量尤其是2 阶取向张量被广泛的应用在流动成型过程中纤维取向的计 算。 在目前的研究中，主要在进行注射成型中三维纤维取向分布的数值模拟。2 阶纤维取向张量被用来描述纤维取向有效地近似了a d v a n i 和t u c k e r 提出的方 法。这种方法的弊端在于，4 阶张量必须被近似为2 阶取向张量来解控制方程。 为了更好的预测，推荐使用一种闭和近似7 4 。1 ，它可以准确描述任意空间，任意 平面的单轴取向分布。 继j e f f e y 研究了在牛顿流体s t o k e 流动中的椭球粒子的运动之后，许多研究 者试图预测流动诱发的纤维取向【1 1 - 1 4 。目前取向结构”1 的张量描述被认为是纤维 取向数学描述的标准方式。如果聚合物在型腔的流动是己知，则可以用解取向张 量的演化方程的方法来预测由流动诱发的取向。型腔内的流场是不容易被得到的 因为型腔内部不规则陋1 6 1 。因此数值方法已经成为预测型腔流动模式的有力e 具 1 7 - 1 9 1 。 到目前为止，众多研究者已经完成的仅仅是注射成型过程中填充阶段聚合物 熔体的分析。可是填充阶段之后，聚合物熔体的保压补偿了最终成型制品可能出 现的皱缩。在型腔内压力达到最大值之前保压是一个动力学过程并且在型腔内部 的每一点压力场变的均一。在保压阶段型腔内部发生了由于聚合物熔体的可压缩 性在注射成型过程高压作用下产生了明显的聚合物流动。 保压过程中的流动引起纤维重新取向。因此保压结束后最终制品中的纤维取 向结构与填充结束后纤维取向的结构有很大的不同【1 。k o r e a m a l z a h n 与s c h u l t z 用实验方法观察到了填充阶段与保压阶段结束后纤维取向的变化。可是这一研究 只是定性的，没有做纤维取向变化的定量比较，并且对取向变化的表述也不够充 分。 在型腔不对称或使用多腔模时，填充阶段可能会有压缩流动。一些研究者试 图分析这些情况流动引发的取向口5 2 7 】。目前还没有保压阶段流动与纤维取向的较 2 郑州大学硕士学位论文 为完善的研究结果。 1 3论文的主要工作 论文针对短纤维增强复合材料的注射成型过程，采用数值方法预测了纤维增强注 射成型制品的纤维取向分布，建立聚合物熔体充模流动和短纤维取向的数学模 型，并在此基础上，针对三维薄壁型腔，采用有限元有限差分控制体积法模拟 聚合物熔体在型腔中的充填流动。采用混合有限元有限差分法预测由流动引起 的纤维取向。 对纤维增强塑料熔体流动以及增强纤维的取向进行分析，预测成型过程中熔 体充填流动模式、压力场、温度场和速度场的动态变化，预测最终制件中的纤维 取向分布，不仅可以为产品设计、模具设计和优化工艺参数提供重要的依据，还 可以建立成型工艺条件与晟终制件中的纤维取向之间的定量关系。从而通过设计 和控制成型过程，就能获得所需性能的纤维增强制件。 主要工作包括： ( 1 ) 纤维悬浮体系的流变学，短纤维热塑性复合材料的在成型过程中会在复杂的 边界条件下经历复杂的热力历史 2 0 】，为了能够定量分析短纤维热塑性复合材 料的成型过程，研究理想化均匀材料和变形的经典流变学不能计算由于流动 引起的内部结构的变化，必须考虑变形特征和流变关系。 主要研究内容包括：单个纤维在均匀高分子基体中时间相关流场中的流动模 型，纤维在复杂流场中的演化模型。 ( 2 ) 纤维取向状态的定量描述( 2 “，重点研究取向张量的性质，取向张量和取向分 布函数之间的关系，取向张量的描述精度，以及取向张量的闭合近似理论( 由 低阶张量近似高阶张量) 的适用性和精度。讨论和确定取向的三维描述是否 必要，或者说平面描述是否足够? 二阶张量是否包括了足够的取向分布函数 信息等? ( 3 ) 用解具有合适闭和近似取向张量变换方程的方法预测由流动引发的纤维取 向。这种闭和近似能准确地描述任意空间、任意平面上单轴分布的纤维取向， 并且结果证明，他对给定流场的预测非常准确。 ( 4 ) 纤维增强注射成型过程短纤维取向状态的数值预测，在注射成型流动引起的 一 j 王牡成型短红缢埴强星盒扭越红维取回盆直曲地捌 纤维取向的数值预测中，将短纤维增强的热塑性熔体近似为浓悬浮液，采用 h e w s h a w 近似来计算模具型腔中的速度场【2 2 l ，然后假设纤维为等长、等直 径的圆柱形刚体，利用取向分布函数描述空间点的取向状态，并采用 f o l g a r - t u c k e r 取向模型描述纤维的取向行为。给出不同型腔的实际算例，其 计算结果与定性规律吻合。验证了数值方法的准确程度与稳定性。 4 郑州大学顾士学位论文 第二章短纤维在悬浮液中的动力学行为 为了理解纡维在流场内的取向情况，考虑淹没在黏性流体中的一个1 ) 9 0 体，由 于聚合物流体的黏度较高，而大多数纤维较小，我们可以考虑低r e y n o l d s 雷诺 数流体( 如蠕流) 【2 3 1 。 2 1 悬浮液中纤维动力学方程 2 1 1 空间中任一线元的变化速率的连续介质力学解 设空间任一线元撅= 而l 出i ，而为单位矢量，我们的目的是求取而的变化速率， 因为： 船f d x ，f 硝= 嘉 其中，f 为物质变形梯度张量，它描述了初始构形和现时构形中微线元之间的关 系，对线元进行求导，可以得到： 象( 国= p d x = f f d x = f d x ，= i d 面) = 嘉= 塞- 嘉= f f 其中，f 为e u l e r 速率梯度张量，由： 昙( 胡2 一d l 2 ) = 2 原d 嘏 d ：；( r + f t ) 其中，d 为欧拉( e u l e r ) 变形率张量，进一步， 丢( 胡2d l 2 ) = 鲁( 疵。2 ) 所以 设 d ( a x ，2 ) = 2 d x k d ( d r ) = 2 如丢，r 积) 一d x k ( v k ，艘k ) = 2 d x ( v k i x l ，r d x k ) = 2 d x 女v t ，d x f = 2 五- d 厩 丢( 西) = i d ( m ) = 未例+ 而 而d 硝出l 疬= r 而一而 而d 而】 注魁盛型短红维擅盟复金材挝红缍豇自盆壶曲趣i 里 w ：r r f 1 ， 2 它为旋率张量，也就是说e u l e r 速率梯度张量为e u l e r 变形率张量和旋率张量之 和。则， 未= 口而+ d 而而一陌d 而 由此，我们得到空间任一线元的变化速率，我们可以把悬浮液中的单个纤维 看作是空涮一线元，因为二者的区别仅在于：我们在考虑纤维的运动时，需要计 及纤维的形状。 2 1 2悬浮液中椭圆形纤维动力学方程 如果纤维的中心处于中心点，那么纤维不受净平移的力，纤维的中心保持不 动，而纤维的两端沿相反的方向运动，即纤维受一个净力矩( t o r q u e ) 。由于没有 外部动量作用于纤维，那么它的旋转必须满足流体作用于纤维的净动量为零。这 个简单的例子说明，纤维的取向是对流体变形的响应。如果流体没有变形，那么 纤维取向将不会变化 2 4 - 2 5 】。 一个浸没在n e w t o n 流体中的刚性椭圆形质点( 纤维) 的取向行为的解析解， 首先由j e f f e r y 得到，他求解了均匀变形流场中围绕一个任意旋转和平移质点的 流场。当对质点采用零合力和零动量条件后，他推导了质点平移速度和旋转速度 的方程，这些方程适合于扁长、球形旋转的纤维体。 图2 1 浸没在剪切流动场中的j e f f e r y 椭圆体 l e a l 和h i n c h 把j e t t b r y 的工作表示成更为紧凑的形式，质点的取向表示成 6 塑型查堂堡主兰垡堡苎 平行于轴对称的单位矢量，那么p 随时间的变化为； 堂d t 趣心r e 2 “- 1 e ，陋剐 ， 其中q 和e 分别为涡旋张量和应变速率张量，方程右边第一项为旋转，括号中的 第一项为由于拉伸引起的旋转，后面一项只是用于保证正常守恒。 2 2稳态剪切流中纤维的运动 2 2 1 稳态剪切流中纤维的运动方程 在稳态剪切流中， v ，= 秒，v ，= v ：= 0 r = q + e = l0 11 j r y l0 户o l1i 0 ，o l o o 卜k o o l o o j1 0 0 o i 将方程竺：n 卢+ i k 卢一芦p 占卢l 写成分量形式，因为， d t r + 1 、 芦p e 声) ；只f ( p j j e “k 。t 最确= 只f ( 最如只) = e k t p k p ，p i i 警吗。只+ 而r e 2 - - l r 鼻一圪毋最】 = 扣斋髀嘲2 警呜尉高一如只冽 一吉用+ 并防一耐 在极坐标体系下， 鼻= s i n o c o s # ，b = s i n o s i n 幺忍= c o s 护 盟=c。spc。s塑-sinosin丝=土户sinosindtd td t 2 妒+f ， j 7 籍陟夕s i n 2 0 c o s 2 卜哪 7 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 注魁盛型短红维堂强复盒圭士抖红维亟囱盆直曲强测一 c 留良捌百d o 一面d q k = ；nr n 8 ：2 “- 1 1 i - ，s i n 2 0 c o s 2 妒 ( 2 8 ) d 鼍e 2 = c o s 口s i n 妒警+ s i n 毋c 0 8 妒! d 生t 2 一1 2 尹s i n 口c 。s 妒+ 。2 ， d l j m j 一、 等陟户s i n 2 0s i n 2 妒 s i n 觚s c t g o r g 妒d 一讲口十警1 1 尹+ 等肛心舶s i n 2 印 ( 孵陡刖+ c 增铅扪i d o2 可r e 2 - 1 巾- s i n z o 2 r e ：2 + - 1 1 汹2 目 等= 南( 2 2 m 。柳 1 ) 塑：兰掣s i n 2 b s i n 2 0 (212)dt4 r 2 + i 、 。 培妒= r , t g ( j 生了+ 足) ( 2 i 3 ) + 卵2 万南 旺 郑州大学硕上学位论文 图2 2 在r 。= 2 5 ，= o 5 角速度随角度的变化一妒图 下面对参数k 和c 进行讨论： 对于k ，在t = o ， 辔丸= r 。t g k 足：嗍( 土t g o ) ( 2 1 5 ) 如果九= 0 ，即纤维处于x z 平面，k = 0 ； 对于c ，对于0 ，如果c t = o ，c = 0 ，则0 = 0 ，即纤维与z 轴重合，并且永 远绕z 轴旋转。如果c = o 。，则p = 要，纤维处于x y 平面，并且永远处于x y 平 面。 2 2 2稳态剪切流中纤维运动周期和轨迹 在剪切速率矿的简单稳态剪切流中，运动方程是可以积分的口8 之9 】，质点将经 历一个周期性的闭合轨迹，周期7 1 ：车( + ! ) ( 图2 2 ) ，这样的一组轨迹可以 j yr e 用一个常数c ( o c pp 注魁成型短红缍增强复盒挝魁红维里回盆益昀控捌 妒( 三，争s i n l 9 = s ( o 詈扩争 ( 4 ) 当纤维沿z 方向取向口= 0 。 ( o ，矿) s i n p = j ( 臼一0 ，妒) ( 5 ) 当纤维沿x - y 平面的中线方向取向臼= 三，妒= 署 y ( 詈，三) s i n 日= 6 ( 8 一手，p 一三) ( 6 ) 当纤维沿x z 平面的中线方向取向护= i y - ，妒= o 妒( 三，o ) s i n 0 = 艿( 口一i 2 ，妒一o ) ( 7 ) 当纤维沿y z 平面的中线方向取向口= 百7 ，妒= 詈 ( 三，争s 枷= 8 ( 0 一三扩争 3 3 纤维取向张量的演化方程 以上只是孤立的描述单个纤维取向状态，只有与工艺过程或流场结合时，才 具有实际意义2 7 1 。即，要把纤维取向的张量用变形的函数表示。联立单根纤维的 运动方程和运动方程就可得到纤维取向分布函数的变换形式 2 8 1 。再联立该变换形 式与纤维取向张量就可得到我们想要的纤维取向张量的变换形式。 单根纤维的运动方程采用j e f f e r y 提出的： 卑= 一号白。b ) + 吉五。b 一户。乓咒只) - d r 吉箬 ( 3 1 4 ) 问题属于连续介质力学的范畴，函数需满足连续条件。纤维随溶液一起运动， 可以认为是单位时间内流经控制体质量的累积量，连续条件表示见方程( 3 7 ) ， 微粒形状因子由纤维的取向系数来决定： 五：望 r ：1 它依赖于纤维的长径比。是椭圆体取向系数的等价物3 m ，当纤维的长径比变 大时，丑的值趋向于一致，大部分的数值计算都取五= 1 以避免在固体边界的数值 奇异性。d ，是用来模拟纤维在浓悬浮液中相互作用相关的旋度因子。如果设置 郑州大学硕j 二学位论文 d r = 0 ，即不考虑纤维之间的相互作用，方程( 3 1 4 ) 将对应于j e f f e y 所描述的 纤维在牛顿稀溶液中的运动方程。f o l g a r 和t u c k e r 建议用c 。，来取代d ，c 。是 一个经验系数，它必须通过比较预测与实验的结果来确定，户为应变速率张量尹。 的标量量度，k a m a l 和m u t e l 2 卅建议建议把d ，取成与取向相关的常数。这两种观 点之间存在两个重要的区别，第一点是材料未变形时的行为( y = 0 ) 。f o l g a r 和 t u c k e r 模型认为在此例中没有扩散现象，但是k a m a l 和m u t e l s 的模型中的取向 是继续进行的。第二，在均匀流场中获得稳态取向。f o l g a r 和t u c k e r 预测稳定 的取向状态是独立于，的。但k a m a l 和m u t e l 的模型预测稳定的取向状态依赖y 的值。 联立( 3 7 ) 与( 3 1 4 ) 方程得到关于妒的变换方程，也就是a 。的调和方程： 鲁饥要1 1 旷叩扩 、 寺五( ，* 口茸+ 口* ，船一2 厂盯日p 材) + 2 d ，( 岛一3 a f ) 重复下标表示求和，和是旋度张量和变形率张量。方程( 3 1 5 ) 中有两个材 料常数。巧口是单位张量。 国，= 三c 等一善，凡= 三c 鲁+ 筹， t e ， 鲁巾，警导叱誓，= 一( 1 2 口1 2 + ( 1 3 c 0 1 3 ) + 丑( 尹l l a l l + 矗2 a 1 2 + 7 ) 1 3 a 1 3 ) ( 3 1 7 ) 一兄( 尹l l 口l l + 尹2 2 口1 1 2 2 + 尹”口1 1 3 3 + 2 户1 2 a i l l 2 + 2 户1 3 a l l l 3 + 2 户2 3 a 1 1 2 3 ) + 2 d ，( 1 3 a 1 1 ) 鲁巾，警等争= 一( 2 l a 2 t + 国2 3 a 2 3 ) + 旯( 户2 i a 2 l + 户2 2 口2 2 + 户2 3 a ) ( 3 1 8 ) 一a ( 尹li a 2 2 i l + y 2 2 a 2 2 2 2 + y 3 3 a 2 2 3 3 + 2 尹1 2 a 2 2 1 2 + 2 户1 3 a 2 2 l3 - i - 2 户2 3 a 2 2 2 3 ) + 2 d ，( 1 3 a ，) 拄戤战型短红维擅强复盒丝越红维豇自盐壶曲面测 鲁巾，警鲁争= 一( 甜3 】a 3 2 + d 3 2 口3 2 ) + 五( 户3 i 口3 i 十尹3 2 a 3 2 + 户”a 3 3 ) 一丑( 尹a ”1 i + ；2 2 a 3 3 2 2 + g 3 a 3 3 3 3 + 2 户1 2 d 3 3 1 2 - i - 2 尹1 3 a 3 3 l3 + 2 矿2 3 口3 3 2 3 ) + 2 d , ( 1 3 a 3 3 ) 满足关系： 一d a n 十d a 2 _ _ k 2 + 堕：o a td t4 t 鲁巾；警q 鲁蛾争= 一言沏1 2 ( 口2 2 一q 1 ) + c o l 3 以3 2 一c 0 3 2 “1 3 ) + - 鲁( 矿l l dj 2 + 户1 2 ( 口l l + 口2 2 ) + 尹1 3 口3 2 + 夕2 2 4 】2 + 夕3 2 a 1 3 ) 一五( 户l i a l 2 i l + 尹2 2 a 1 2 2 2 + 尹3 3 日1 2 + 2 r 1 2 a 1 2 1 2 + 2 户1 3 口1 2 1 + 2 , 2 ) a 1 2 2 3 ) 一6 d ，a 1 2 等地警+ 巧鲁q = 一( 珊1 3 ( 口如一日1 1 ) + 国1 2 口2 3 一2 3 口1 2 ) + 詈( 尹i 】口1 3 + 尹】2 口2 3 + 户1 3 ( 口“+ 口3 3 ) + 夕口1 2 + 办3 口1 3 ) 一五( 尹“日1 3 l l + 户2 2 a 1 3 2 2 + 户3 3 a 1 3 弼+ 2 户1 2 a 1 3 1 2 + 2 户1 3 a 1 3 1 3 + 2 户2 3 a 1 3 2 3 ) 一6 d ，a 1 3 鲁地等+ 。鲁q 争= 一( m 2 3 ( d 3 3 一a 2 2 ) + m 2 l 口1 3 一脚1 3 口2 1 ) + 导( 户：，口1 ，+ 尹：，o 。+ a 3 ，) + 尹：。：，+ 尹。9 2 。+ 尹口：。) 一, , o ： l l a 2 3 1j + 户2 2 a 2 3 2 2 + j 3 3 a 3 3 + 2 , 1 2 口2 3 1 2 + 2 矗3 a 2 3 1 3 + 2 户2 3 a 2 3 2 3 ) 一6 d ，a 2 3 同时，我们注意到方程中出现了更高阶的偶阶张量，为了计算简便， 阶张量4 。必须利用闭和近似理论来来代替。 3 4 闭和近似理论 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 t 2 3 ) 方程中的四 郑州大学硕士学位论文 a d v a n i 与t u c k e r 纤维取向模型的张量形式对2 阶取向张量仍没有合适的微 商，因为其中包含4 阶张量口。，。如此类推，4 阶张量的微商中包含6 阶张量，低 阶张量的表达式中总包含着对应的高阶张量，唯一的方法是根据2 阶张量形成一 个合适的微商来近似4 阶张量。这种近似被称为”闭和近似”。a d v a n i 与t u c k e r 测试了各种近似。测试指出了两种可以控制纤维取向预测精度的方法： 寻找一个更准确的闭和； 寻找一种考虑到闭和错误的新的相互作用模型 应该优先考虑第一种方法，可是，近似本身的存在可能会在模拟结果中引入 错误。目前无法找到一种适合多种g 值能成功的包括全范围的剪切与拉伸流动 的闭和近似方法。因此，闭和近似是与模型相关问题中最具挑战性的一个。无 值的c ，能够使纤维取向模型的表达适合所有的取向模型分量。 闭和近似理论的类型颇多，近似必须遵循以下原则： 近似形式应该从低级形式开始创建； 满足正则化条件： a d v a n i 和t u c k e r 对各种闭和近似理论进行经测试，建议用混合闭和近似值厅。来 近似取向张量q 。： ? 1 1 蹦一砉蠊+ 氏岛“ a 2 * +( 3 2 4 ) 鼍如9 6 矿n * 6 i l + d n 6 出+ a k 6 q + a i l 6 出+ d 护a + 如q d u 对于四阶取向张量，由对称性条件可以得到，在张量的8 1 个变量中，只有 1 5 个是独立的，其下标分别为：1 1 1 1 ，t 1 1 2 ，1 1 1 3 ，1 1 2 2 ，1 1 2 3 ，1 1 3 3 ，1 2 2 2 ， 1 2 2 3 ，1 2 3 3 ，1 3 3 3 ，2 2 2 2 ，2 2 2 3 ，2 2 3 3 ，2 3 3 3 ，3 3 3 3 。并具有下列关系式： ( a i m + 盘1 1 2 2 + 1 2 1 1 3 3 ) + 0 2 2 1 1 + a 2 2 2 2 + n 2 2 3 3 ) + ( 口玎+ a 站2 2 + 口3 3 3 3 ) = n i i 卜a 2 2 + g 3 3 = l 口l i l t 十a i l 2 2 + a 1 1 3 33 0 1 1 a 1 1 2 2 + a 2 2 2 2 + 0 2 2 3 3 = a 2 2 1 1 + a 2 2 2 2 + 口2 2 3 3 = a 2 2 盘1 3 3 十a 2 2 3 3 + 1 口3 3 3 3 = 1 2 3 3 1 i + a 3 3 2 2 + 1 2 3 3 3 3 = a 3 3 口1 1 1 2 + a 1 2 2 2 + 口1 2 3 3 = a 1 2 1 1 + a 1 2 2 2 + 吼2 3 3 = 1 2 1 2 d 1 1 1 3 + a 1 2 2 3 + c 2 1 3 3 3 = a 1 3 1 1 + 1 2 1 3 2 2 + 0 1 3 3 3 = c 1 3 口1 1 2 3 + 1 2 2 2 2 3 + t 2 2 3 = 口2 3 l l + 口2 3 2 + 1 2 2 1 3 3 = a 2 3 注刳盛型短红维擅强复金挝魁红维虫自登立曲煎测 由此可以看到在q ，d 1 1 2 2 ，口1 1 3 3 口2 2 2 2 ，d 2 2 3 3 ，口3 3 3 3 这6 个分量中只有3 个独立变 量，而在口l l l 2 ，q 2 2 2 ，a ，口1 1 1 3 ) 口1 2 2 3 , a 1 3 3 3 , a ) 1 2 3 , 口2 2 2 3 ，a 2 3 3 3 这9 个分量中，只有6 个独 立变量，因此四阶张量的独立变量为9 个。 ，= ( 1 一厂) “- t + 届却一力卜万3 + 号 + 如。a ) 二：+ 焉：= ( 1 一厂) 妄+ 缸 + 恕万+ 了f + 弦：z q 一3 3 3 3 = ( - ，) + 风，邓切 一妄+ 知卜风 a t t l 2 = ( ，一，) ( ；1 1 1 2 + f a l 。- ：= ( t 一力 ；a 。： + 如。a 。 a i l l 2 = ( ，一，) a | 1 1 2 + f ； l 一- ：= ( 1 一，) ；a 。，) 十加。， a t 1 2 2 = ( - - ，) a 1 1 2 2 + f a l m = ( 1 _ ) ( - 去垮1 + 口2 ：) 卜 ，- ( 1 - ，) 嗡m = ( 1 _ ，) 伊：，) + 西m 2 ( 1 一，) “”+ f d l , 3 3 = ( 1 - f ) 一万1 + 了1 ( a 。+ ) + 向。畅 a 1 2 2 2 = ( 1 一f ) a 1 2 2 2 + 露i 2 2 2 = ( 1 a 一1 2 2 3 = ( 1 一f ) a 1 2 2 3 + f a , 2 2 3 = ( 1 ，) 接) + 【，j ，骶) 惦：屹 弘，2 ( 1 - 力a r e s + f a ；z 矿( 1 一，枯 嘲， 一a 1 3 3 3 = ( 1 _ ，) a 1 3 3 3 + f 舀l m _ ( 1 一，) 佛， 嗍炳 a 一2 2 2 3 ：( 一厂) a 2 2 2 3 + f a 2 z z s = ( 一门 ；a 。， + 如：a ：， q 一2 2 3 3 2 ( 卜硝m s + 勉，_ ( 1 一，- 击垮1 坞，) 卜纯 ，- ( 1 _ ，) + ，= ( 1 嘲伊：，) + 扣鹕。 其中，f 为取向的一个标量测度，当完全随机取向时，：0 ；当完全按一个方 向排列时，= 1 。 郑 i 大学硕十学位论文 厂= 1 2 7 d e t a ， ( 3 2 5 ) 方程( 3 1 5 ) 就是把考虑纤维相互作用和j e f f e r y 方程代入口i 控制方程时的 变化方程，但是，闭合近似是一种近似，可能会引起一些结果误差，方程( 3 2 4 ) 也可能并非是一种最好的近似方式。 为了更准确的计算，引入了修正混合闭和近似。这种闭和近似更准确的描述 了任意空间，任意平面单轴分布的纤维取向，并且能更准确的预测给定流场。为 填充研究提高了在注射成型期间结合了模拟过程的纤维取向分布的模拟模拟解 的精度。在纤维取向的程序中并入了有限元有限差分的程序。纤维取向对流场 的影响被忽略了，在假设型腔壁厚充分小的条件下。在数值实现过程中，将在解 取向张量的过程中得到速度梯度，被用平均为使周围每个节点的控制体积最小化 数值错误的值。对中心浇口圆盘薄壁型腔进行模拟。为了提高描述解的精度这个 模拟结果被充分比较。 为了简化问题，在a 。的主坐标系统考虑这一问题。丑为第i 个特征值 ”= i n f ，n ；，”；) 为第i 个特征矢量。然后在这个坐标系中的2 阶与4 阶取向张量被 分别表示为b 。和b 。，可以以表述如f ： b o = g l h o n p a q 2 a 。6 u ( 3 2 6 ) b f 甜= ， p j ，g k 几，l 口印矿 ( 3 2 7 ) 卫， 图4 4 特征值在 、如平面内有效区 不失一般性， 和如的值在图4 4 的阴影区内限制条件是 如2 如，这 三点月，r 。，u 是这个区域的极值。在这些极值处取向分布变化是可能的，但为了 2 7 注挝战型短红维埴强复金扭整红维里匝盆煎曲猛翻 包括所有的普通实例做这样的假设，耿向分布在愿任意空间分布，在r p 是如意 平面分布，u 是单轴向分布。图4 4 在 和如平面可提供的特征值区域 引入的这一主要假设作为在三个极值处的边界条件将被满足对一个准确可 用的闭和近似。这个闭和近似被定义为如下的修j f 混合闭和近似3 0 - 3 2 。 3 4 1 修正的混合闭和近似一模型l 修正的混合闭和近似模型1 通过假设定义，通过规定的2 阶取向张量。一 个近似的取向分布准确的描述了在三个极值处的修正混合闭和近似。取向分布函 数将被尽可能简单的表述是可能的。比如，卵形在r ，附近，盘形在r 。附近，笔 形的在u 附近。在每一个区域，为了含盖所有的一般情况取向分布函数在每个 坐标平面内被定义为对称的，例如，正交。从取向分布函数中计算出的4 阶取向 张量，考虑对称后具有6 个非零分量，例如。根据取向分布函数的假设，三个 极值处的可以被推导如下： e g g - l i k