（固体力学专业论文）弹性力学的边界积分方程—边界无单元法.pdf

摘要( a b s t r a c t ) 摘要 本文首先针对目前移动最4 , - - 乘法存在的问题，提出了改进的移动最小二乘 法。然后从弹性力学的边界积分方程出发，利用改进的移动最小二乘法，提出并 系统深入地研究了弹性力学边界积分方程无网格方法的直接列式法边界无 单元法，主要内容包括： 1 针对移动最小二乘法存在的病态性、精度和效率问题，提出了改进的移动最 小二乘法： 2 在改进的移动最小二乘法的基础上，提出了弹性力学的边界无单元法，并编 制了计算程序。该法简单易行，且具有高精度、高效率、降维性和无网格特 性。与以前的边界积分方程的无网格方法比较，边界无单元法是边界积分方 程无网格方法的直接列式法： 3 鉴于移动最小二乘法中权函数及其参数的选择对解的精度有较大影响，但又 无具体的章法可循，本文对高斯权函数和三次样条权函数及其各自参数的选 取做了比较分析，并给出参数的最佳选择范围。 4 传统的边界元法中奇异积分的处理方法诸如退化单元法和刚体位移法不再 适合于边界无单元法解决由基本解造成的奇异积分问题，本文对此进行了分 析，并实现了几种可行的处理方案。 5 对多个算例进行了计算，并进行了多方面的比较和分析。 关键词 弹性力学，边界积分方程，无网格方法，最4 , - 乘法，移动最小二乘法，权函数 影响域，边界无单元法， 摘要( a b s t r a c t ) a b s t r a c t t oi m p r o v ei l l - c o n d i t i o n ，a c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo fm o v i n gl e a s t - s q u a r ea p p r o x i m a t i o n ，t h e i m p r o v e dm o v i n gl e a s t - s q u a r ea p p r o x i m a t i o n i s p r e s e n t e d i nt h i s p a p e r o nt h e b a s i so f b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n m e t h o da n di m p r o v e dm o v i n gl e a s t 。s q u a r e a p p r o x i m a t i o n ，t h e b o u n d a 吖e l e m e n t - f r e em e t h o d ，w h i c hi s t h ed i r e c tm e t h o do fm e s h l e s sm e t h o do fb o u n d a r y i n t e g r a le q u a t i o n ，i si n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e n t h em a i nw o r k sa r ea sf o l l o w s ： 1 t o i m p r o v ei l l - c o n d i t i o n ，a c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo fm o v i n gl e a s t - s q u a r ea p p r o x i m a t i o n ，t h e i m p r o v e dm o v i n gl e a s t - s q u a r ea p p r o x i m a t i o ni sp r e s e n t e d 2 o nt h eb a s i so fi m p r o v e dm o v i n gl e a s t - s q u a r ea p p r o x i m a t i o n ，t h eb o u n d a r ye l e m e n t - f r e e m e t h o di s p r e s e n t e d t h e m e t h o di s s i m p l e h i g h - a c c u r a c y , h i g h - e f f i c i e n c y a n di sa m e s h l e s sm e t h o d c o m p a r i n gw i t ht h ep r e v i o u sm e s h l e s sm e t h o d so fb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n ，b o u n d a r ye l e m e n t - f r e e m e t h o di sad i r e c tm e t h o d 3 b e c a u s et h ew e i g h tf u n c t i o na n di t sp a r a m e t e r sa r ei m p o r t a n tt ot h es o l u t i o n a n dh a v en 0 r u l et o0 b e 弘g a u s sw e i g h tf u n c t i o na n dc u b i cw e i g h tf u n c t i o na n dt h e i rp a r a m e t e r sa r e w e l l c o m p a r e dw i t h e a c ho t h e r a f t e rd i s c u s s i n gt h e p a r a m e t e r s ，t h e b e s tv a l u e sa r e s u g g e s t e d 4 o nt h es i n g u l a ri n t e g r a t i o n t h et r a d i t i o n a lm e t h o d si nb e mc a n tb eu s e di nb o u n d a r y e l e m e n t - f r e em e t h o d s e v e r a lm e t h o d sa r ed e e p l ya n a l y z e di nt h e o r ya n di m p l e m e n t e d 5 t h r e e e x a m p l e s a r eg i v e n ，a n da r ec o m p a r e da n da n a l y z e df r o ms e v e r a la s p e c t s k e yw o r d s e l a s t i c i t y b o u n d a r yi n t e g r a le q u a s o n m e s h l e s sm e t h o d ，l e a s t - s q u a r em e t h o d ，m o v i n gl e a s t s q u a r ea p p r o x i m a t i o n w e i g h tf u n c l i o n ，i n f l u e n c ed o m a i n ，b o u n d a r y e l e m e n t - f r e em e t h o d 第一章绪论 第一章绪论 1 1 无网格方法研究现状 弹性力学问题可归结为在给定的边界条件下，求解一组偏微分方程组。在理 论上，这种边值问题有唯一确定的解，但一般难以求得解析解。除弹性力学平面 问题的复变函数解法属于正演解法外，其余弹性力学问题都只能用逆解法或半逆 解法。逆解法和半逆解法的成功率都很低，不能满足工程的需要。 以前，在得不到解析解的时候，人们或者采用差分法，按差分格式离散以获 得数值解；或者按问题的特点，选取试函数，采用里兹法或伽辽金等近似方法来 获得近似解。这些近似法总有这样或那样的缺点而不能令人满意。 5 0 年代初问世的有限元把差分法的离散改造成更为灵活的有限元离散，把里 兹法的试函数近似换成插值函数近似，以弹性力学变分原理作为推导的依据，并 充分利用电子计算机的计算能力，从而开拓了现代数值方法的广阔领域。 有限元法简单直观，计算效率好，一般数值精度也较高。但是，有限元法需 在整个求解域上进行离散，对于形状复杂的三维体，有限元的网格剖分，仍然不 是一件轻松的事情。 边界积分方程一边界元法是继有限元法之后的一种别具特色的新的数值方 法，它是将描述弹性力学问题的偏微分方程边值问题化为边界积分方程并吸收有 限元法的离散化技术而发展起来的。 虽然有限元、边界积分方程一边界元等传统的方法是求解边值问题的强有力 的数值方法，但它们也面临着许多诸如大变形的冲压成型、裂纹扩展以及流体动 力学中的激波等非常棘手的问题。对于这些问题，传统的计算方法如有限元法、 边界元法等都难以应付的主要原因是网格的存在妨碍了处理与原始网格线不一 致的不连续性和大变形问题。这些基于网格的方法，在处理不连续性和大变形问 题时，常用的是网格重构。然而，这样不仅计算费用昂贵，而且会使计算精度严 重受损。目前正在发展的无网格方法由于采用基于点的近似，可以彻底或部分地 消除网格，因此在处理不连续和大变形问题时可以完全抛开网格重构。 无网格方法产生于2 0 多年以前。最早的无网格方法是1 9 7 7 年l u c y 提出的 光滑粒子法( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n a m i cm e t h o d ，即s p h ) ，并被用于研究 无边界的天体问题。后来，s w e g l e 【2 l 、d y k a l 3 1 等人提出了s p h 方法不稳定的起因 第一章绪论 及稳定化方案：j o n h s o n 和b e i s s e l 【4 j 等人提出了一些改善应变计算的方法，l i u 【5 】 等人也提出了对核函数的修正方案。 另外一条构造无网格方法的途径是采用移动最小二乘法( m o v i n g l e a s t s q u a r ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，即m l s ) 进行近似。它是通过互不相关的节 点上的值插值得到一个函数，该函数光滑性好且导数连续1 6 7 j 。在1 9 9 2 年 n a y r o l e s 6 】等人最早将移动最小二乘法用于g a l e r k i n 方法，并称之为扩散单元法 ( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，即d e m ) ，分析了p o s s i o n 方程和弹性问题。从计算力 学的角度看，此法已具无网格特点。b e l y t s c h k o f 8 】等人在1 9 9 4 年对扩散单元法进 行了改进，提出无单元伽辽金法( e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，即e f g ) 。这些 改进包括【8 _ 1 6 】：( 1 ) 对形函数导数考虑得更全面；( 2 ) 采用高阶高斯积分进行区域积 分：( 3 ) n i 入拉氏乘子处理本质边界条件。这些改进使得d e m 求解精度更高，更 具发展前途【8 15 1 。整体来说，这类方法比s p h 方法计算费用高，但具有较好的协 调性及稳定性。 1 9 9 5 年美国t e x a s 大学的著名学者j t o d e n l 9 和他的学生d u r a t e 提出了 r i p c l o u d s 无网格数值方法，该方法利用移动最小二乘原理建立单位分解函数， 进行场量的近似表达，然后通过g a l e r k i n 变分，建立离散代数模型。基于移动最 d , - 乘法的近似方法实质上是单位分解法的一个特例。b a b u s k a 和m e l e n k 1 0 1 以 及l i u 1 1 】等人也对此类方法做了大量的工作。 1 9 9 6 年西班牙数值分析中心的e o n a t e 和i d e l s o h n 等【1 2 】提出了有限点法( t h e f i n i t ep o i n tm e t h o d ，即f p m ) ，这是一种无需背景积分网格的真正的无网格方法， 采用了m l s 构成形函数，主要用于流体空气动力学领域。 到目前为止，除了上面提到的s p h 、d e m 、e f g 、h p c l o u d s 1 3 - 1 6 】和f p m 这 些无网格方法外，还有r e p r o d u c i n g k e m e lp a r t i c l em e t h o d 1 7 】( r k p ) ，m e s h l e s s l o c a lp e t r o v - g a l e r k i n m e t h o d 1 8 - 2 1 】( m l p g ) ，l o c a lb o u n d a r y i n t e g r a le q u a t i o n 1 9 - 2 6 ( l b i e ) ，l e a s t - s q u a r e sc o l l o c a t i o nm e s h l e s sm e t h o d m “( l s c m ) ，b o u n d a r yn o d e m e t h o d 2 8 。2 l ( b n m ) 及h y b r i db o u n d a r yn o d em e t r h o d ”。3 4 】( h b n m ) 等一些无网格 方法。 1 9 9 5 年l i u 3 5 j 利用积分重构函数思想，提出重构核质点方法( r e p r o d u c i n g k e r n e lp a r t i c l em e t h o d ) 。后来又利用“小波”分析的伸缩尺度平移，多分辨率 等特点，提出了多尺度重构核质点方法( m u l t i s c a l er e p r o d u c i n gk e m e lp a r t i c l e m e t h o d ，即m r k p ) 【3 6 】和小波质点方法( w a v e l e tp a r t i c l em e t h o d ，即w p m ) 1 3 7 】 等，并实现了该方法的自适应分析。 m e s h l e s sl o c a lp e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d ( m l p g ) ，采用移动最小二乘法构造试 函数，并且采用移动最小二乘法的权函数作为加权残值法的权函数：同时此方法 只包含中心在所考虑点处的规则局部区域上及局部边界上的积分。m l p g 法中， 2 第一章绪论 权函数与试函数取自不同的函数空间，而g a l e r k i n 方法中，权函数取自试函数的 基函数，故权函数和试函数取自同一函数空间。m l p g 的基本思路是由子域上的 加权残数法推出一个局部p e t r o v - g a l e r k i n 积分方程，利用此方程，求解整体域及 其边界上的弹性力学问题就可以变成求解规则的局部域上的积分方程。从理论上 讲，只要所有子域并集覆盖了整体域，则子域的并集也将分别满足整体域及其边 界上的平衡方程和边界条件。然而，计算实例证实，即使局部子域的并集不完全 覆盖整体域，也能得到较精确的结果。m l p g 法现已应用于二维弹性静力学【l 8 】 和一维四阶薄板的静态分析。该方法的不便之处是：( 1 ) 边界条件难施加；( 2 ) 计 算费用昂贵；( 3 ) 为了积分必须采用局部背景积分网格。 移动最d , - - 乘配点法( l e a s t s q u a r e sc o l l o c a t i o nm e s h l e s sm e t h o d ) 是一种有 限点法，比起原来经典的配点法的不同是：第一，采用了移动最小二乘法；第二， 构造试函数时，不仅有配点，同时也配有一些辅助点的信息。这就使得平衡条件 不仅在配点上满足，同时在辅助点上也满足，这样大大提高了精度。 局部边界积分方程( l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ) 方法的思想是把移动最 小二乘法和局部边界积分方程进行耦合。它和通常边界元的主要不同之处在于离 散的方式和建立系统方程的方法不同。该方法在处理非线性问题时比通常的边界 元法更灵活、方便、容易。 边界点法( b o u n d a r yn o d em e t h o d ) 是采用移动最小二乘法构造试函数，并将 其与整体边界积分方程进行耦合。 杂交边界点法( h y b r i db o u n d a r yn o d em e t h o d ) 是把移动最d , - 乘法和杂交 位移变分公式相耦合。该方法对势问题采用边界上的势和通量以及域内的势做为 独立变量，对弹性问题则采用边界上的位移和面力以及域内的位移作为独立变 量。它对边界上的变量采用移动最j , - - 乘法进行近似，对域内的变量则用经典基 本解来插值。该方法不论是插值函数的构造还是能量积分都不需要网格，故是一 种完全的无网格方法。 特别地，上面提到的无网格方法只所以称为无网格，只是相对于有限元和边 界元法中的形函数的构造而言是无网格的。大部分无网格法必须在整个问题域或 边界上划分背景网格进行积分。而局部p e t r o v g a l e r k i n 无网格方法( m l p g ) 、局 部边界积分方程方法( l b i e ) 、移动最d , - 乘配点法( l s c m ) 及杂交边界点法( h b n m ) 则不需背景网格。 另外，近年来也发展了多种耦合方法，如有限元无单元伽辽金法耦合，无单 元伽辽金法边界元法耦合，无单元伽辽金法和杂交边界元耦合，无网格局部 p e t r o v g a l e r k i n 法和有限元、边界元耦合 3 7 - 4 2 j 等。 在实际操作中我们可以看出无网格法常常比传统的有限元、边界积分方程边 界元法更费机时，其主要原因是它在每一点都需计算一次形函数及其倒数，这其 第一章绪论 中都涉及矩阵求逆及多个矩阵的相乘。另外，无网格方法最大的不足是权函数对 求解精度有明显的影响，而权函数及其参数的选取又没有具体的章法可循。 目前，不少工作人员正致力于研究各种提高无网格计算效率的方法。例如： 如何选取合适的基函数进行近似【4 1 】? 如何采取更合理有效的积分方案【4 2 】? 如何 方便精确地引入边界条件? 如何利用小波优良的局部特性提高计算效率 4 3 - 4 4 1 7 如何进行多尺度的无网格分析【4 5 j ? 总之，虽然无网格方法的产生已有2 0 多年的历史，近年来已成为计算力学 研究的热点之一。由于无网格方法在场函数近似和对局部特性的描述方面具有有 限元法等方法不可比拟的优点，因此，无网格方法必将为计算力学的发展产生巨 大的影响。 1 2 边界积分方程无网格方法研究现状 边界积分方程方法就是将偏微分方程定解问题归结为一组边界积分方程来 进彳亍求解。由于边界积分方程有奇异性，解析求解极为困难，随着计算机技术的 发展，数值方法已成为求解偏微分方程定解问题的重要方法。目前己发展成熟的 边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，即b e m ) 、以及正在发展的边界点法、 局部边界积分方程方法和杂交边界点法都是求解边界积分方程的有效的数值方 法。 边界元法的基本思想是在边界积分方程方法的基础上，借助有限元的离散化 技术，将求解域的边界剖分为若干边界单元，利用数值积分并代入已知边界条件 将边界积分方程化为代数方程组，然后求解该代数方程组即可得到边界上各节点 的未知量的值，再由内点的边界积分方程求出域内各点的值。该方法具有降维、 高精度，又能良好适应无限域、半无限域和奇异场要求等许多优点【4 9 】，但也有 难以克服的缺点，如在处理非线性问题时需要在体内划分网格，在处理诸如裂纹 扩展等问题时需要进行网格重构，而实际上划分网格比组装、解算方程组还费事， 故欲寻求一种不划分网格的方法。随着无网格方法的产生，建立在边界积分方程 基础上的无网格方法如边界点法、局部边界积分方程方法和杂交边界点等无网格 方法也应运而生了。 将边界积分方程和最小二乘法结合而形成的边界积分方程的无网格方法，是 目前边界积分方程方法发展的趋势。边界积分方程的无网格方法不仅克服了原来 边赛元法对网格的依赖，两且在处理裂纹扩展等问题时不需进行网格重构，表现 出边界积分方程的无网格方法无可比拟的优越性。 局部边界积分方程方法和边界点法是目前边界积分方程的无网格方法研究 第一章绪论 的主要进展。 边界点法是把边界积分方程和最小二乘法相耦合，它具有可使所研究问题降 低一维的优势和定程度上的无网格特性。该方法在场变量插值的构造方面，不 需要网格；但对于积分的处理还是需要划分背景网格来进行的。可通过下面的图 1 1 看出b e m 和b n m 的区别。 图1 1左图为b n m 的节点和积分网格的配置；右图为b e m 的节点和单元的配置。 b n m 的优点是 ( 1 )避免了网格重构； ( 2 ) 精度高： ( 3 ) 降维性； ( 4 )处理非线性问题的灵活性。 而其缺点则是 ( 1 )本质边界条件难施加； ( 2 )形函数导致的计算时间长。 局部边界积分方程方法是在局部边界积分方程中引入移动最小二乘法而形 成的一种无网格数值方法。该方法无论是对场变量插值还是数值积分而言，都不 需要划分网格，故可以称得上是一种真正的无网格方法。它和通常边界元的主要 不同之处在于离散的方式和建立系统方程的方法。该方法在处理非线性问题时比 通常的边界元法更灵活、方便、容易。 l b i e 的优点是 ( 1 )避免了网格重构： ( 2 ) 精度高； ( 3 ) 积分方案简单； ( 4 ) 带状的刚度矩阵； ( 5 )本质边界条件对一些简单问题比较好施加： ( 6 )处理非线性问题的灵活性。 缺点则是 ( 1 )需推导新的基本解； 第一章绪论 f 2 )建立新的积分子域则需花费大量时间； f 3 1形函数导致的计算时间长； 与边界元法相比，b n m 和l b i e 有以下两个特点 第一、单元概念在其内涵与功能上的改变。在b e m 中，单元既是插值子域 又是积分子域。由于受插值函数构造的约束，b e m 中单元的形状必然要受到限 制：在b n m 中，插值子域与积分子域完全分离，二者之间似乎没有任何联系。 插值子域是临时建立的，而积分子域只要求其全体的集合是整个求解域边界的一 个不重叠部分即可，因此也就无需进行单元的划分了；在l b i e 方法中，插值子 域是l 临时建立的，不存在积分子域，它是在规则的整个局部边界上进行积分的， 故其无论是插值还是积分都不存在单元可言。 第二、函数构造方法的改变，即由“插值型”构造方法转变为“逼近型拟合 型”构造方法。在边界元法中，插值点个数与插值函数未知系数个数总保持相同， 因此构造近似函数的方法必然是插值( i n t e r p o l a t i o n ) 型的方法；而在无单元b n m 和l b i e 方法中，由于插值点个数大于或等于插值函数未知系数个数，因此需在 某种逼近拟合准则下求最佳的近似函数，因此其插值函数的构造方法是逼近拟 合( a p p r o x i m a t i o n ) 型的。而正是由于无单元方法采用了这种逼近拟合型的插 值函数构造方法，使得插值点的位置与个数不再受到限制，才使得其摆脱了单元 的束缚，形成了无单元的特点。因此b n m 和l b i e 在插值函数构造方法上的特 点决定了它们的无单元的特点。 1 3 本文工作 本文首先针对目前移动最小二乘法存在的问题，提出了改进的移动最t j 、- - 乘 法。然后从弹性力学的边界积分方程出发，利用改进的移动最小二乘法，提出并 系统深入地研究了弹性力学边界积分方程无网格方法的直接列式法边界无 单元法，主要内容包括： 1 针对移动最, b - 乘法存在的病态性、精度和效率问题，提出了改进的移动最 b - - 乘法： 2 在改进的移动最小二乘法的基础上，提出了弹性力学的边界无单元法，并编 制了计算程序。该法简单易行，且具有高精度、高效率、降维性和无网格特 性。与以前的边界积分方程的无网格方法比较，边界无单元法是边界积分方 程无网格方法的直接列式法： 3 鉴于移动最小二乘法中权函数及其参数的选择对解的精度有较大影响，但又 无具体的章法可循，本文对高斯权函数和三次样条权函数及其各自参数的选 6 第一章绪论 取做了比较分析，并给出参数的最佳选择范围。 4 传统的边界元法中奇异积分的处理方法诸如退化单元法和刚体位移法不再 适合于边界无单元法解决由基本解造成的奇异积分问题，本文对此进行了分 析，并实现了几种可行的处理方案。 5 对多个算例进行了计算，并进行了多方面的比较和分析。 第二章改进的移动最小二乘法 第二章改进的移动最小二乘法 下面以标量函数u ( x ) 为例来说明最d - 乘法、移动最小二乘法、m u k h e r j e e 改进的移动最d , - 乘法，以及本文提出的改进的移动最小二乘法。 2 1 最小二乘法 用最小二乘法解决实际问题时，先根据问题的实际背景确定基函数类，常用 的有幂函数、三角函数和指数函数等，然后根据偏差平方和最小原则求取最小二 乘解，既确定待定系数吼，k = o ，l ，m 。其具体操作过程如下： 首先，根据实际问题确定基函数类p ( x ) ( i - 1 ，2 ，m ) ，并确定出解的近似式 “( x ) = p ，( 工) 口，= p ( 工) a ( 2 1 ) 其中m 是基函数的个数，p ，( x ) 俨1 ，2 ，州) 是m 次完备单项式基函数，a i 是相应 的待定系数。 然后，定义以下泛函 止iw ( l 誓 “一( 2 2 ) l ，j、j = ( p a u ) 1w ( x ) ( p a u ) 并对其取极小值进而确定出系数口，( f _ 1 ，2 ，埘) 即可。 2 2 移动最, j 、- - 乘法 ( i ) 移动最小二乘法【8 1 在近似中，取 第二章改进的移动最小二乘法 t l h ( x ) = p f ( x ) d ，( 工) = p t ( x ) a ( x ) ( 2 3 ) i = i 其中耽黾基函数的个数，p ，( x ) ( f _ 1 , 2 ，m ) 是m 次完备单项式基函数，口，( x ) 是相 应的系数，这些系数是空间坐标的函数。通常取的单项式基有 线性基p = ( 1 ，x ) i n l dp 7 = ( 1 ，x ，y ) i n 2 d 二次基p = ( 1 ，x ，x 2 ) ，i n l dp 1 = ( 1 ，x ，y ，x 2 ，x y ，y 2 ) 加2 d 当然也可以取其它函数作为基函数，尤其是在分析具有奇异性的问题时，可以将 奇异函数作为一个基函数。 按照l a n c a s t e r 和s a l k a u s k a s 定义的局部近似，即 m “6 ( x ，习= p ，( 覃，( 工) = p 1 ( i ) a ( x ) ( 2 4 ) ，= 1 定义以下泛函 止1w ( 卜l p 以( 小“( 2 5 )i l厶o ， = ( p a u ) 1 w ( x ) ( p a u ) 其中x ，是x 插值域内的节点，共有n 个；“，是节点x ，的位移值；w ( x x ，) 是具 有紧支集特性的权函数，且 p = w ( x ) = 对v h ( x ) ，g ( x ) ，引入记号 p 1 ( x 1 ) p 2 ( x 1 ) p 。( x 1 ) p l ( x 2 ) p 2 2 ) p 。( x 2 ) ： 。： p i ( 工。) p 2 ( x 。) p 。( x 。) w ( x x 1 ) 0 - 0 w ( x x 2 ) 0 0 00 w ( x - - x 。) ( ，g ) = w ( x 一工，) ( 工，) g ( x ，) j l 对泛函l ，取极值，得 玎l ( x ) ( p ，p 1 ) + 1 7 1 2 ( x ) ( p 。，p 2 ) + + a 。( x ) ( p 。，p 。) = ( p ，“，) ( i = 1 ，2 ，m ) 9 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 第二章改进的移动最d , - - 乘法 写成矩阵形式，即为 ( p 1 ，p 1 ) ( p l ，p 2 ) ( p 2 ，p 1 ) ( p 2 ，p 2 ) ( p 。，p ，) ( 几，p 2 ) 上式称为法方程组， 其中 a ： 解之，得系数 a ( x ) = a 1 ( x ) b ( x ) u u = 甜】，“2 ，“。 7 ( a ，p 2 ) ( p 2 ，p 2 ) t t l ( 工) a 2 ( x ) ： d 。( x ) ( p 1 ，p 。) ( p 2 ，p 。) ( p 。，p ) ( p 。，p ：) ( p 。，p 。) ( p 。，甜，) = b u = p r w u 将( 2 1 1 ) 代入( 2 3 ) ，得 “( x ) = m 舡) “， 1 = 1 其中中，为形函数 ( p l ，“，) ( p 2 ，“，) ( p ，“，) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) r 2 1 2 ) = p r w p( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 中心) = 乃( x ) 0 。b l ( 2 1 6 ) j = 1 在上面的具体的一次操作中，对于固定的计算点工，其实就相当于标准的加 权最小二乘法。而在计算中，由于计算点x 在变化，即系数向量a ( x ) 是空间坐标 的函数，故上述方法称为移动最小二乘法。 ( i i ) m u k h e 巧e e 改进的移动最小二乘法【3 2 】 为了更精确的满足本质边界条件，m u k h e r j e e 通过构造一个新的泛函改进了 移动最d - - 乘法。 定义以下泛函 汀刈圳址 以，以 慨魄 魄 第二章改进的移动最d - - - 乘法 j 。= w 扛- - x i ) l p ，( x ，。( x ) 一a ，1 ( 2 1 7 ) l l i j 其中d ，为近似节点值( 或名义节点值) 。 类似于回部分的操作。得到 “( x ) = m 肛) ， ( 2 1 8 ) ，。i 由上可看出，( i ) 节中的移动最小二乘法是用随机分布的节点上未知变量的 值来表示试函数的，且其泛函的构造是通过节点上局部近似函数值和节点上未知 变量的值之差的平方带权最小来定义的；而本节中则是用随机分布的节点上未知 变量的近似值( 或名义值) 来表示试函数的，而且其构造的泛函是通过节点上局 部近似函数值和节点上未知变量的近似值( 或名义值) 之差的平方带权最小来定 义的。 2 3 移动最小二乘法存在的问题 现有的移动最小二乘法从原则上解决了移动最小二乘意义下的试函数近似 问题，但在实际的计算中，对每个确定的点，移动最小二乘法就是经典的最小 二乘法，而经典的最小二乘法法方程组往往是病态的【s 1 - s 3 ，给求解带来了困难。 现通过下面的两个定理讨论a 或b 的微小误差对解的影响。 定理1( b 扰动对解的影响) ( 1 ) a x = b 0 ，x 为精确解，a 为非奇异矩阵； ( 2 ) 且设a + 万x ) = b + j b 则有 钳洲i i | | i a i i 锗 亿切 ( 2 1 9 ) 说明当b 有一相对误差时，引起a x = b 解的变化。( 2 1 9 ) 给出了引起相 对误差的一个上界，且引起的解的相对误差可能是常数项相对误差的岭。洲a 0 倍。因此，引起的解的相对误差的大小- 与j l a “i a i i 大4 、有关。 定理2( a 扰动对解的影响) ( 1 ) 设心= b ，x 为精确解，a 为非奇异矩阵； ( 2 ) 设( a + 8 a ) ( x + 5 x ) = b ，且设 第二章改进的移动最小二乘法 i l a a i i 1 ，称a x = b 为病态方程组。 2 4 改进的移动最小二乘法 线性独立系的独立性强弱可以反映方程组条件的好坏。独立系愈强，方程条 件愈好。鉴于线性独立系中以直角系的独立性最强，故这里采用带权正交函数作 移动最小二乘法，既简单易行，又克j i l t 上一节提到的求解方程组的困难。 首先介绍一下利用带权的正交函数做移动最小二乘法的原理。 对于点集 一) 和权 ( f = 1 , 2 ，埘) ，若一组函数纯( x ) ，妒：( x ) ，妒。( x ) 满足 如下条件 ( 吼，竹) = 喜仇( 一) 竹( 一) = 。以乏- ( ( 2 2 1 )1 4 ilo # 。 j 、。， 【，= 1 , 2 ，m ) 则称妒。( x ) ，妒：( x ) ，( x ) 是关于点集 x ， 带权 1 4 ，) 的正交函数族。如果函数组 纯( 工) ，伊：( 工) ，( 工) 是多项式，则称吼( 工) ，p ：( x ) ，( x ) 是关于点集 x 。) 带 权 w ，) 的正交多项式族。 在移动最小二乘法中，如果把基函数a ( x ) ( f = 1 , 2 ，m ) 取为关于点集 誓) 第二章改进的移动最d , - - - 乘法 带权 w j ) ( f = 1 ，2 ，聊) 的正交多项式族，则由条件( 2 2 1 ) 戋n ，法方程组( 2 1 0 ) 的 系数矩阵中，非对角线元素( a ，p ，) = o ( f _ ，) ，此时法方程组简化为： ( a ，p 。) oo o 可q o ( p 2 ，p 2 ) o 8 日2 ： ： 0 ： 。 0 oo o ( p 。，p m ) j l a 。 ( p l ， ，) ( p 2 ，“，) ： ( p 。，“) ( 2 2 2 ) 只要由上式解出q ( f = l ，2 ，m ) 即可。易看出q ( x ) = 篆笔s ，代入( 2 3 ) ，有 其中形函数 ，w ( x x ) p ，( x ，) “。 “( 工) = i = 1p ，( x ) 生i ；j j j 一( 2 2 3 ) = m 肛) 甜， 中，c x ，= w c x 一工，喜里；砉：；笋2 这样在求a i ( f = 1 , 2 ，搠) 时，就避免了求矩阵的逆，同时也避免了求解病态方程 组，既提高了精度，又提高了效率。 从上可以看出，只要寻求一组由正交函数族组成的基函数就可根据( 2 2 2 ) 式 求出口，( f = 1 , 2 ，m ) 。 通常可以利用施密特正交化过程构造带权正交多项式基。 2 5 权函数及其影响域大小的选取 1 权函数 所有无网格方法的一个共同点是它们各自的权函数都具有类似于小波的局 部特性或称紧支集特性。正是权函数的这种局部特性使得一个节点处的变量值只 受它的影响( 或紧支) 域内的其它节点变量值的影响，而几乎不受影响域外的那 些节点处的变量值的影响。一般情况下，影响域取为图2 1 所示的方形或圆形。 一般地，权函数应具有以下四个特性： 第二章改进的移动最小二乘法 1 ) 非负； 2 ) 具有一定的紧支集特性； 3 ) 是距离的单调递减函数，即离计算点近的节点处的权值就大，距离远的权 值就小； 4 ) 连续可导，以保证近似函数可导。 图2 1 方形和圆形的节点权函数的影响域 在无网格方法中，各个节点的权函数的影响域的大小可以一样，也可以不一 样，目前的研究工作都取相同大小的。对于各节点权函数所取的影响域的大小不 相同还有待于进一步研究。 权函数及其参数值的选取非常重要，它直接关系到无网格方法的计算精度， 但目前权函数的选取没有理论上的具体规则，以下是四种建议性的权函数叫。 1 4 第二章改进的移动最小二乘法 1 ) 高斯函数 2 ) 指数函数 3 】三次样条函数 4 ) 四次样条函数 f - f 翱 w ( d ) = 一叫 10 w = w p ) = ds l d 1 。- ( y 一。( 2 l 一。( 2 0 d 1 d 1 ( 2 2 6 ) 三一4 d 2 + 4 d 3d 土 32 兰一4 d + 4 d2 一兰d 3三 1 w 。) = 苫6 d 2 + 8 d 3 3 d 4 ；? 其中 d ：一d t ：墨鳇立 0 是一个常数，0 是影响域大小的一个度量。 2 关于影响域的讨论 r 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 节点处权函数影响域的大小的选取非常重要，它直接关系到无网格方法的计 算精度。其大小一般要求满足以下两个条件：一是要保证所有节点的权函数的影 响域的并集能覆盖整个求解域，二是应保证系数矩阵a 可逆。为了提高精度和保 证矩阵a 不奇异，节点权函数的影响域应尽可能大些，但为了保持近似的局部特 性，节点权函数的影响域又不能太大。 3 关于节点数的讨论 如果局部插值节点的个数与基函数的个数几乎相等，甚至小于基函数的个数 第二章改进的移动最小二乘法 时，往往存在p 中某些列存在多重相关性或高度相关性。在多重相关性条件下的 近似结果会出现许多反常现象。在高度相关条件下，行列式= 陋7 w p i 几乎接近 零，这时求h = l p 7 w p i 的逆矩阵会含有严重的舍入误差，因此要求” 5 2 1 。 1 6 第三章弹性力学的边界积分方程方法 第三章弹性力学的边界积分方程方法 3 1 弹性力学基本方程 连续的、均匀的、各向同性的弹性体在体积力，面力r ，和边界位移约束作 用下保持平衡。位移“，、应变占f 和应力盯口在小变形条件下满足如下的弹性力学 基本方程式 4 6 - 4 8 】： 平衡方程 d n i 七j t = 0 i nv 0 i ) 几何方程 占f = - 2 1 7 ： j + u j i ) i n v ( 3 2 ) 物理方程 = 五岛毛+ 2 , u 8 f i nv ( 3 3 ) 在以上各式中，毛是k r o n e c k e r 占函数，v 表示弹性体区域，s 为弹性体边界， 为边界s 的外法线方向余弦，0 = 。是体积变形，五，2 是拉梅系数。在弹性 体边界s 上，通常有如下的边界条件 7 , = 玩 o r s “ ( 3 4 ) f i = 0 j = 册s ( 3 5 ) 其中，s ”和s 。分别表示边界s 上给定位移巧和面力的部分。 弹性力学问题就是要求解在给定载荷和边界条件下，求解以下的偏微分方程 鲴 第三章弹性力学的边界积分方程方法 o 。i 七f t = 0 = 2 u i 嘞+ ( “u + ”川) a 霸= j t “= 瓦 3 2 弹性力学基本解 加矿 i nv 。ns ， ( 3 6 ) o hs 。 无限大弹性体受单位集中力作用而产生的位移及应力场的解是e l ik e l v i n 求 得的。这个解称为弹性力学的基本解，也称为k e l v i n 解。 设在无限大弹性体内，点q 处受到沿一坐标方向的单位集中力彤的作用，产 生的位移场“? 和应力场盯：满足下列弹性力学方程 k 客腻搿 y ， 由此方程组解得三维弹性体内场点p 的位移为【4 3 】 村；。，g ) = 赤 ( 3 4 v ) 屯十! 兰! ：二三：；：三：_ = ：兰盐 ( 3 8 ) 式中，r 为场点p 到单位集中力作用点g ( 即源点) 之间的距离，p 为泊桑比。“： f f o g g - 个下标i 表示p 点在x ，坐标方向的位移分量，第二个下标，表示作用于源 点q 的单位集中力指向x ，坐标方向。弹性体内场点p 处法线方向余弦为珥的任 么加，= 南卜p ) | 掣一掣i + i - 2 v ) a o + 。誊掣 掣f 。9 其中，f ，= 1 , 2 ，3 ，f ：的第一个下标i 表示是x 。坐标方向的面力分量，第二个下 标，表示作用于源点9 的单位集中力指向x ，坐标方向。f 和蜉分别表示p 和q 第三章弹性力学的边界积分方程方法 咖岩【( 3 - v ) 呵吾) 气+ ( 1 州v j 扣一击卜v ”2 ( 1 + v ) 饥】鲁- ( 1 _ v ) 帆二- n 。r j ) ( 3l o ) ( f ，= 1 ，2 ) 平面应变问题 咖丽呙阶v ) ，n ( 黔q 仁一丽b 协l _ 2 v 城+ 2 r i r j h l 捌( r , - n , r j ) ( 3 1 1 ) 3 3 边界积分方程的建立 由加权残数法有 l “；( ，+ 6 ，) d v = 0 式中“? 是权函数，设盯：是对应于位移“? 的应力场，则有 o ：j = 把无限域中弹性力学的k e l v i n 解作为权函数：，即有 a ：i + 6 = 0 其中，表示q 点受到沿工，方向的单位集中力。 对式( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 进行分部积分，有 l ( “o ，d 矿一l “i d y + 肌j d y = o 对上式用散度定理，得 咿；_ d s l “i ，d v + f 6 f “；d r = 0 m - t - , o g n ，= ，。，故上式可表示为 l f i u f d