（应用数学专业论文）几类抛物方程支配的控制系统的能控性问题.pdf

摘要 本文研究了几类抛物方程支配的控制系统的能控性问题。 首先，我们讨论了两类重要的拟线性抛物方程的能控性。拟线性抛物 系统的控制理论已经有了非常丰富的成果，但是对具有超线性增长的拟线 性抛物系统的能控性研究不尽完美。特别地，据我们所知，b a r b u 在文献 【5 】中虽然获得了系统的零r c ) 控制( n 为空间维数) ，其中当n 3 时 ，( ) 【2 ，婴】；当：2 时， ，( ) 【2 ，) ；当：1 时，r ( ) 2 , 0 0 】，但他 们的技巧仅能使用于空间维数小于6 ( 这显然并不是对空间维数的自然限 制) 的超线性抛物方程的能控问题。我们继续考虑了这类问题，不但获得 了系统在空间维数大于6 时系统的轨道精确能控性，而且还将该结果推广 到具有梯度项的超线性抛物系统，同样获得了系统的轨道精确能控性。 接着，我们讨论了一类具有梯度项的拟线性抛物方程在无界区域上的 不灵敏控制的存在性问题。众所周知，这类不灵敏控制问题等价于两个线 性抛物方程构成的耦合系统在单个控制作用下的零能控问题。我们证明了 在一定条件下该类抛物方程在任何时刻是零能控的。 最后，我们讨论了一类具有快速振荡系数的线性热方程的近似能控 性，并获得了当专0 时，具有快速振荡系数的线性热方程的控制和对应 的解分别收敛于均匀化问题的控制和相应的解。 关键词：分布参数控制系统；能控性与能观性；不灵敏控制；c a r l e m a n 不等式 a bs t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s st h ec o n t r o l l a b i l i t yf o rs o m ec o n t r o l s y s t e m sg o v e r n e db yp a r a b o l i ce q u a t i o n s f i r s t l y , w es t u d y t h e c o n t r o l l a b i l i t y o ft w oc l a s s e so fi m p o r t a n t q u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s t h ea b s t r a c tt h e o r yf o rq u a s i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s h a s a l r e a d y b e e nq u i t ef r u i t f u l h o w e v e r , i nt h e s t u d yo ft h e c o n t r o l l a b i l i t yo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m sw i t hs u p e r l i n e a rn o n l i n e a r i t i e s ， w ef o u n dt h a tt h e o r i e sa r en o tp e r f e c t i np a r t i c u l a r , a sf a ra sw ek n o w , b a r b u i n 5 】o b t a i n e dn u l l ) - c o n t r o l sw i t h 叫) 2 ，等孚】i f 3 ；a n d r ( ) 【2 ，) i fn = 2 ；r ( ) 【2 ，o o 】i fn = 1 b u tt h i st e c h n i q u ec a no n l yb e a p p l i e dt ot h en u l lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es u p e r l i n e a rh e a te q u a t i o nw h e nn 2 ，那么相应的系统既不是逼近能控的，也不是零能控的。但 是，对于3 2 口2 的情形，系统的能控性仍是一个公开问题。然而，文献【5 】中的技 巧仅能使用于空间维数小于6 ( 这显然并不是对空间维数的自然限制) 时的超线性抛物 方程的能控问题。在本文中，我们继续考虑了该类问题，推广了对空间维数小于6 的 限制条件，获得了在高维情形下系统的轨道精确能控性。而且，我们还把该结果推广 到具有梯度项的超线性抛物系统，同样也获得了系统是轨道精确能控的。 自从j l l i o n s 在文献 5 6 中，提出不灵敏控制以来，许多研究人员( 看文献 【1 4 2 0 】) 都对其感兴趣。在文献 1 4 1 8 】中，作者深入讨论了在有界区域上的几类拟线 性抛物系统在单个控制作用下的不灵敏控制问题。在文献 1 9 ，2 0 1 中，作者深入讨论了 在无界区域上的一类拟线性抛物系统在单个控制作用下的不灵敏控制问题。我们发现 研究不灵敏控制问题的本质是讨论这类拟线性抛物系统在单个控制作用下的零能控 性或近似能控性，所采用的方法主要是先对扰动系统( 一列非退化系统) 建立一致能观 性不等式，然后通过取极限得到原系统的能观性不等式，进而得到系统是零能控的。 在本文中，我们继续考虑了一类拟线性抛物系统在无界区域上的不灵敏控制问题。但 本文的问题与文献 1 9 ，2 0 1 不一样，本文的q 是一无界非空子集，而他们要求q 是一有 界非空子集。显然，我们的问题不能再使用文献 1 9 ，2 0 】中的方法。我们克服了一些困 难，获得了这类拟线性抛物方程在无界区域上的不灵敏控制的存在性。 不均匀问题一直受到许多学者的关注( 看文献 7 0 ，7 1 ，7 2 ，8 1 ，9 l 】) ，它来源于许多实 际问题，例如热传导、合成物中的弹性或扭曲、多孔介质中的流动等。在本文中，因 为通常的h a h n b a n a e h 定理不能提供任何信息关于控制依赖初始数据和参数f ，于是 我 f l 弓l 进了一个新的与快速振荡系数有关的泛函。当g 专0 时，我们获得了具有快速 振荡系数的线性抛物方程的控制和相应的解分别收敛于均匀化问题的控制和相应的 解。 博十学位论文 第一章绪论 上面提到的拟线性抛物系统都是来自于自然界中广泛存在的现象，例如，热传导、 相变理论、生物化学以及生物群体动力学等。近年来，这些抛物系统的能控性引起了 许多研究人员的感兴趣( 看【1 8 】，【1 9 1 ，【2 9 ，【3 3 ，【3 7 1 ，【4 5 ，【4 7 ，【6 4 ，【6 9 ，【7 1 及其中 的参考文献) 。在上述文献的基础上，我们也做了一些工作，得到的主要结果如下： 在第三章中，我们考虑以下的抛物系统： l 片一) ，+ ( 力= 孝+ v l 口( x ，f ) q y = 0 o ，f ) ( 1 2 ) i y ( x ，o ) = y o ( x ) x q 其中q 冬r ，n 1 ，有界非空开集，边界讹c 2 ； 孝r ( 9 ) ， y 。( x ) r ( q ) ，r ( 9 ) 是个待定的控制函数。其中空间维数满足 如果2 ， 1 + n 2 ；如果= 1 ，= 2 ( 1 3 ) 函数厂：尺专r 属于c 1 的局部l i p s c h i t z - 连续的，可以表示为对任意r 0 ，存在常数 q 0 ，满足对s ，s 7 r ，有 i 掣1 2 s _ q + r l o g ( 1 + i 叫) ( 1 4 ) s s 。 系统( 1 2 ) 是许多扩散现象的一个数学模型如热传导，弹性塑料材料的性能，扩散反应 过程等。其中y = y ( x ，f ) 表示状态变量和矿= v ( x ，力表示一个控制函数具有紧支集在q 。 先考虑系统没有施加“控制”的理想轨迹y 奉 1 只一a y + 厂( 少) = f ( x ，f ) q y = 0 ( x ，) ( 1 5 ) l y ( x ，o ) = y o ( x ) x q 根据文献 2 4 】【2 5 】和( 1 4 ) ，系统( 1 5 ) 至少存在一个局部解。而且，存在时刻t ，当 0 t 0 ，系统( 1 5 ) 的解y 拳c ( o ，丁】；r ( q ) ) n r ( 万，丁；r ( q ) ) 。 我们现在先给出一些定义： 定义1 0 1 称系统( 1 2 ) 是轨道精确能控的，是指对任何给定的初始值y o 宰( z ) 系统 ( 1 5 ) 的解y 宰，任意y o l ：( f o ，任意时刻丁( r 丁幸) ，存在控制v r ( q ) ，使得系统 ( 1 ，2 ) 的解y 满足 博士学位论文第一章绪论 y ( x ，t ) = y 牵( x ，丁) ( 1 6 ) 定义1 0 2 称系统( 1 2 ) 在时刻t 是零能控的，是指对任意y o r ( q ) ，存在控制 1 ，k ( q ) 使得系统( 1 2 ) 的解y c ( 【o ，丁 ；r ( q ) ) 满足 y ( x ，丁) = 0 ( 1 7 ) 注：对于线性系统，零能控性和轨道精确能控性的定义是等价的，但对非线性系统却 不一样。 定义1 0 3 在空间l 2 ( f 2 ) 上称系统( 1 2 ) 在时刻t 0 ，存在控制v r ( q ) 使得系统( 1 2 ) 相应的解 ye c o ( 【0 ，丁】；r ( q ) ) 满足 i l 少( ，丁) 一y j ：s ( 1 8 ) 在上述假设下，我们得到 定理1 0 1 设厂满足( 1 4 ) ，孝r ( q ) ，满足( 1 3 ) ，系统( 1 2 ) 在时刻t 丁宰轨道精确能 控的。 在第四章中，我们考虑了具有梯度项的半线性抛物系统 1 只一a y + ( y ，v y ) = 善+ y l 。 ( x , t ) 9 y ：0( x ，f ) ( 1 9 ) 【y ( z ，o ) 2 y o ( x ) x eq 的能控性问题。其中f ：r xr 专r 是一个属于c 1 局部l i p s c h i t z 连续的函数， 可以表示为 f ( s ，p ) = f ( o ，o ) + g ( s ，p ) s + g ( s ，p ) p vo ，p ) r x r ( 1 1 0 ) 其中函数g 和g 属于r k 。 他们分别为 如= f 争( 缸q p ) = f 丢加妒州引姚 满足 陋热- o ，”揣一o ， m 4 博士学位论文第一章绪论 同样地，我们也得到了如下结论： 定理1 0 2 假设厂满足( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ，孝r ( q ) ，满足( 1 3 ) ，则系统( 1 9 ) 在时刻 t t 枣轨道精确能控的。 定理1 0 1 与定理1 0 2 的证明思路： 我们先证明了在a r ( q ) ，b r ( q ) v ，满足 i e x p ( 志埘d x d t o 。 ( 1 1 2 ) 的条件，系统 f 乃一z x y + 口( y ) = f + 1 ，l m( x ，r ) q y = o( x ，) ( 1 1 3 ) 【y ( x ，o ) = y o ( x ) x eq 和 i 一少+ 口( 少) + b v y = f + v l m( x ，) q y = 0 ( t ，) ( 1 1 4 ) 【y ( x ，o ) = y o ( x ) x q 存在控制v r ( 0 ，丁) ) 满足上述系统是零能控的。在证明过程中， 我们利用了其对偶系统是能观的，即 f 一绣一a q + a q = o ( x ，t ) eq q = 0 ( x ，) 【q ( x ，丁) = q r x 6q 和 i 一吼一卸+ a q v ( b q ) = 0 ( x ，f ) q q = 0 ( x ，) i q ( x ，丁) = q r x q 对任意口r ( q ) ，b r ( q ) ，q r r ( q ) 有 慨0 ： c k ( t 帆i i ) ( k i g l ，, i x , i t ) 2 和 m l ： 0 和一列开子集 m ) c r 和一列同胚 ，映m 到r 。中的单位球且满足： ( i ) 任意p + 1 ) 个特征集，有非空的交； ( i i ) ( qn q ) = x ：h o ，( mn o n ) = x ：l x i l ，毛= o ； ( i i i ) 如果吖= i f - l j ( h i 1 ) ，则n ，彤包含在触的( 1 r ) 邻域内； ( i v ) 任- - - - l i 一 o 满足在l ，上 窆以乃口0 兄1 1 2 其中p 是】，一周期函数， f ，j = l 博士学位论文 第一章绪论 p p ( r ”) 满足o o 和以，以r ( q ) ，则以在蛾取得极 小值且如果虮是系统( 1 3 0 ) 相应于初值秽= 矿的解，则儿是系统 9 博十学位论文第一章绪论 p ( 孝) 以墙) 耽 “蹦) 吨 儿= 0 ( x , t ) ， 儿( x ，o ) - - y o ( x ) x q ， 的解且满足 设v 是系统 怫一以( 丁) k ) 口 p v 一d i v ( a v v ) = 0 ( x ，) q ， ，= 0 ( x ，) ， v ( x ，o ) = ，( x ) x q 的解对任意矽o r ( q ) ，在r ( q ) 上定义泛函 啦。) = 锄t 矽| 2 出西+ 口刚b l 一v ( 丁) ) 。出 这里是下面伴随系统 lp c 7 一坊v ( 彳v ) = 0 ( x ，f ) q ， 矽= o ( x ，f ) ， i ( x ，) = 矽。( x ) x e f 2 ， l 的解 下面结果是本文的主要结果 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 定理2 3 假设满足定理2 2 的条件且序列 以 。卸cr ( q ) ， 以 。药cr ( q ) 满足 l 。i 。m 。l y , 一y 1i i r ( q ) 2o ，l 。i m 。 y , 。一y 。f ( q ) 2 o ( 1 3 6 ) 儿( x ，) 是相应于初值以时系统( 1 3 1 ) 的解，则当占一。时，在r ( 缈( o ，丁) ) 中，有 收强收敛于沙，在c ( o ，丁】；r ( q ) ) 中以强收敛于y 而且，近似能控性成立，即 0 y 1 一y ( 丁) 0 l 2 ( n ) 口 l o ( 1 3 7 ) 博+ 学位论文第一章绪论 注2 2 假设满足条件( 1 3 6 ) ，由定理2 2 ，有 l 蜘m k ( r ) ) 一( y 1 一v ( 圳即) 2 o 这罩1 ，是系统( 1 3 3 ) 的解 ( 1 3 8 ) 博十学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 在这一章，我们记x 是b a n a c h 空间，x 木是其对偶空问。 2 1 s o b ole v 空间 引进记号。口= d l 嘶砬啦见，口= 毒，口= ( q ，口：，) ，且i 口i = 喜q 定义2 1 1 设“，在q 局部可积( 即对任意的q 7c cq ，甜，v 在其上可积) ，如果 矿c o 。( q ) 有下式成立 上徊。矽出= ( 一1 ) p l 坳出 则称“的口次弱微分存在，v 称为z f 的口次弱导数或者广义导数。基于上面的定义， 引于空间q 上的s o b o l e v 空间。 设历为非负整数，1 口o o ，当m 1 时，对任意的口，1 口m ，定义 形” p ( q ) = 掰陋( q ) ，l 口s 聊，d “f ( q ) ) 在形卅p ( q ) 中定义范数 “l i 。，。q ，= 。蒹所li i 。d 甜i i p p ) p ， 眠，t q ，= m 。s i 口a 降x 圻l l z ) 口“0 当所= o 时，w 棚= ( q ) 。当p = 2 时，帕( q ) 写成日”( q ) ，相应的范数为| | 1 i 片。 用w 0 邺( q ) ( 1 p _ o o ) 为c 孑( q ) 在矿哪( q ) 范数下的闭包( c g ( q ) 表示q 上的具有支 集的无穷次可微函数空间) 。 ( q ) = 甜矿 ( q ) ，d 口甜i 讹= o ) 定义2 1 2 赋予范数i 胪，( q ) 的空间形 ( q ) ，眠 ( q ) 叫做s o b o l e v 空间。 定理2 1 1w 眠p ( q ) ( 1 p ) 为b a n a c h 空间。i | i l l h 。是h i l b e r t 空间，其内积为 1 2 博十学位论文 第二章预备知识 上的内积。 o 川s ” 定理2 1 2 当p 1 时，形埘p ( q ) 是可分的；当0 p 0 0 时，形 ( q ) 是自反的。 定理2 1 3 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 是r v 中的有界区域。l p 一 刀一印p 任意正数，当七兰： p 其中在七旦的情形，当七一旦不是整数时，m 与五分别是七一一n 的整数部分和小数部 ppp 分，即存在非负整数所使得i n k 一兰 m + 1 时有，兄= 七一三一m 而当 pp k ：旦+ 所+ 1 ( 埘0 ) 是整数时，五( 0 ，1 ) 是任意的。 p 当研究抛物型分布参数系统时，必须考虑空间与时间区域上的函数。为此引入在区域 d x ( o ，t ) 上的s o b o l e v 空间。 当0 g o o 时，定义 口( o ，t ；w 眠p ( q ) ) = 材：( o ，丁) 专矿册p ( q ) i “可i 贝 i j 且f 9 。，出 o 。，具有范数 i i 玉, l l 哪；m 嘞= ( j c r ( 二id 口秘h n ，) 盖毋) i u - l a l 3 m 类似地，可以定义函数空间r ( 0 。t ；w ”位沁与c o f o ，t ；w ( 鳓) 。 博士学位论文 第二章预备知识 2 2 非线性分析 g h t e a u x 微分概念是数学分析中方向导数概念的推广，常应用于泛函极值的讨论。 定义2 2 1 设x ，y 是b a n a c h 空间，scx 为一非空开集。e 是从s 到】，中的算子。 设x 。s ， 如果对任意的h x ，极限 l i m e ( x o + a h ) - e ( x o ) 口_ + o 口 存在，则说p 在处g h t e a u x 可微，而极限( 2 1 ) 称为e 在j c o 处沿方向h 的g h t e a u x 导数； 若对于所有的厅x ，极限( 2 1 ) 都存在，则称e 在处g h t e a u x 可微。 g ：x ：y ：r 1 ，则g h t e a u x 导数为普通的导数：_ d e ；若x ：r ”，y ：只1 ，则此时， d x 嘶t e a u ) ( 导数为方向导数，即乳( 砂办= 喜掣 定义2 2 2 设x ，】，是b a n a c h 空间，scx 为一非空开集。e 是从s 到l ，中的算子。 1 ) 设x 。s ，称e 在处f r e c h e t 可微，如果存在有界线性算子a l ( x ，y ) ，使得对所 有办x 且+ h x ，有 lime(xo+h)-e(xo)-a(xo)h1r：o 降k坶h 称为p 在x o 处f r e c h e 可微；a ( x o ) h 称为p 在x o 处沿方向h 的f r e 7c h e 导数； 2 ) 如果e 在s 的每点f r e c h e 可微，则称e 在s 上f r e 7 c h e 可微，此时a ( x ) = p 是s 到 l ( x ，n 的算子。 算子e 在x 处的f re c h e 导数e ( x ) 也是一算子，即e 7 ( x ) l ( x ，y ) ；若h x ，则 e 7 ( x ) h ey ；p 7 ( x ) 是从x 到y 的映射；而e ( x ) 是从x 到l ( x ，y ) 的映射。 定理2 2 1 若e 在x scx 点f r e 7c h e 可微，则其导数p 7 ( x ) 是唯一的，且e 在点处 连续。 定义2 2 3 函数f ：x 专r 在点称作是下半连续的，如果 f ( x o ) _ 0 ，存在ece ，使得聊( e e ) 0 ，存在疋ce ， 使得m ( e e ) s 而厂限制在疋ce 上连续的。 定理2 2 5 ( l e b e s g u e 控制收敛定理) 设ecr 可测，五，g ：e 专r 可积( k 1 ) 满足 v k l ，口p x e ，i f l - of 吏得v k l ，l i x k l l k 定理2 2 9 设x 是可分的b a n a c h 空间，则x 木的有界列必有弱母敛的子列。 定理2 2 1 0 ( e b e r l e i n s h m u l y a n ) 设x 是b a n a c h 空间，则x 是自反空间当且仅当x 中的 有界列都有弱收敛的子列。 定理2 2 1 1 ( b a n a c h - a l a o g l u ) 设x 是赋范线性空问，则x 幸中的单位闭球是弱木的。 定理2 2 1 2 ( m a z u r ) i 发x b a n a c h 空间，x ，耳x ，w 一娥坼2 x ，则存在 n i 【o ，1 】，j = l 川2 一，= l 使得 = l 1 6 博十学位论文 第二二章预备知识 l 。i + m 。 。- a ki x k + j = x 换言之，对于b a n a c h 空f a j的弱收敛序列，可以找到它的凸组合强收敛到原来的极 定理2 2 1 3 ( a s c o l i - a r z e l a ) 设q 是r ”中的有界集合，lsp o ，使得恻k ( q ) 女，v u e s ( i i ) s 等度连续，即对任意的s o ，存在j = 万( 占) o ，使得对任意的办r ”，h i 0 ，满足 t ( b ( x ，万) ) cb ( t ( x ，占) ) ， 这里b ( x ，6 ) 是中心在x s ，半径为占的球，b ( 丁( x ) ，占) = ub ( y ，s ) 易知，上半连续函数的图象是闭的；反过来，如果值域r ( t ) 是紧集和函数r 的图象是 闭的，则集值函数r 是上半连续的。 定理2 2 1 5 ( k a k u t a n i ) 设s 是b a n a c h 空间x 中的一个凸的紧子集，t ：s 专2 s 是一上半 连续函数并且对任意的x s ，丁( x ) 是x 中的非空凸子集且丁 ) cs ，v x s 则至少存 在x s 满足x t ( x ) 。记2 s 为由s 中的所有子集构成的集族。 定理2 2 1 6 ( g r o n w a l l 不等式) 设口尺，伊( ) ，矽( ) ，( ) 是区间【o ，丁】上的连续函数，( ) 非 负。 如果仍口+ f 【( s ) 伊o ) + ( s ) 】凼， o ，丁】则 t p _ a p j 。9 0 凼+ ( p j ，9 7 咖( s ) d s , t 【o ，r 】 由 。 定理2 2 1 7 ( h 0 7 l d e r 不等式) 若l p ，p = p ( p 1 ) ，则 1 7 博士学位论文 第二章预备知识 e l a , b , l - ( x l a , i p ) j ( 吖) 歹 或若1 p o o ，p p ( p - 1 ) ，ru 口( q ) ，1 ，l p ( q ) ，则甜1 ，_ ( q ) ，且 l l “v 陋州i p ， 或设g p ( o ，丁；x ) ，伊p ( o ，丁) ，l _ o o 则g 缈r ( o ，丁；x ) 和当! ：上+ 土时， s 吒置 l i g 孕 l l r 。，丁；x ，- l l g l l 叼。，r ；x ，i i 孕 1 1 p 。，r ， 特别地，缈三1 ，如果1 s o 0 0 ，g p ( 0 ，丁；x ) 则g v ( o ，丁；x ) 和当1 s s o 时， 0 9 r ( 。，7 ，：) r 卜“0 9 0 沙( 。，r ：， 定理2 2 1 8 ( 内插不等式) 若p - o ，：( ! 一! ) ( 三一! ) 有 pqg 厂 “l l 。n ，- s lu l l ，+ s 一0 “i l 定理2 2 1 9 ( y o u n g 不等式) 假设动竺+ _ b p ，p 1 特别地，以s l p a 代替a ，以 pp g 圳p 6 代替6 ，a b 占a p + 占一一p - i b 或g p ( o ，丁；x ) ，伊p ( 0 ，口) ，1s i ，i = 1 ，2 和 g ( f ) = f g ( t + a ) q o ( x ) d 2 ，则 g f ( o ，丁一口；x ) 和当! ：上+ 一1 1 ，( 土+ 三1 ) 时， s s os ls o i g i lr 。，丁一日；v ， 0 满足 u i i x - = l l 甜i i 。+ c 。l l “i i 。k 假设r 【l ，。) 和b a n a c h 空间x ，| 1 1 | r ( ，) 表示在r ( o ，? ；x ) 的范数。f ( q ) 表示在 l i i i f 的范数，i i i i 。表示在r ( q ) 的范数。 假设ucr ，b a n a c h 空间x 7 ( o ，丁；u ) = “r ( d ，t ；w 2 ，7 ( u ) ) ：坼e1 ：( o ，丁；r ( u ) ) 的范数为川l 川咐= 忱k ( 。工p ) + i ( ( 嘞。 特别地，空间彳7 ( o ，丁；q ) 的范数为卅i x ，。 空间r ( o ，t ；h 2 ( q ) ) uc ( 【o ，7 1 】；日( q ) ) 的范数表示为 i 1 l f ( 日：眦( 一) ) 。 下面的结果成立 定理2 2 2 2 假设口r ( q ) ，f r ( 9 ) 。y r ( o ，t ；h 2 ( q ) ) nc ( o ，刀；h 1 ( q ) ) 是下面系统 f 只一少+ 缈= f ( x ，f ) o y = 0 ( x ，) l y ( x ，o ) = 0 x et - 2 的解。 a ) 假设ycq ( 或( r e s p bc cq ) 是开集。f r ( o ，丁；r ( v ) ) ( 或 ( r e s p f e ( o ，丁；r ( q 否) ) ) ，则存在开集v 7c cv ( r e s p bc c c cq ) 有 y 肖7 ( 0 ，丁；u ) ( r e s p y x 7 ( 0 ，丁；q b ) ) 且存在正常数 1 9 博十学位论文 第二章预备知识 c = c ( q ，t ，n ，r ，v ，v ) ( r e s p c = c ( q ，t ，n ，b ，b ) ) 满足 l l y l l m 跏， - c o + l l 以t m 哪( 。) ) + 加：朋呐】 ( r e s p 1 y l l 肌咿渺) 0 为任意小的正数。对任意开集1 ，c c ，有 y e f ( 0 ，t ；w 3 ( 1 ，) ) ，咒r ( 0 ，t ；w 7 ( 1 ，) ) 和一个正数c = c ( q ，t ，n ，1 ，矿) 有 l l y l l 唧，w ) ) + l l y , i b 3 ，( v ) ) c 壳 哪i ，( v ) ) + p ( h 2 州( 】 其中h = h ( n ，。，0 v a 忆) = o + 1 1 0 1 1 。) n 1 ( 1 + 0 v 订。 定理2 2 2 3 假设开集ecr ( n 1 ) ，a q c 2 则下面的连续嵌入成立 ( i ) 当厂 争贿x 寸地腱里三p = 吾一熹； ( i i ) 当，：i n + l ，则x r l p ( q ) 其中v g ； ( i i i ) 当譬+ 1 ，则x z ( 酉) 口= 1 一 2 3 半群 定义2 3 i 设x 为b a n a c h 空间。一族从x 到x 的有界线性算子丁( ，) ，0 o ， 这里l ( x ) 表示定义在x 上的所有有界线性算子构成集合。 定义2 3 3 称线性算子a ：d ( a ) 专x 是耗散的，如果 r e ( a x ；x ) o ；v x d ( 彳) 这里( ，) 表示h i l b e r t 空间x 上的内积。 定理2 3 1 ( l u m e r - p h i l l i p s ) 设a 是一个线性算子且d ( 爿) 在x 上是稠密的。 如果a 是 耗散的，存在凡 0 ，满足彳的值域还是在彳上，则a 是强连续收缩半群r ( ，) 的无穷小 生成元。 定义2 3 4 称c o 半群丁( ，) 是在上可微的，如果对任意f t o ，t ( t ) x 是可微的。 定理2 3 2 如果r ( r ) 是b a n a c h 空间x 上的c o 半群，a 是无穷小生成元。 如果 j i t ( o i l 。( x ) 坛州，v t o ，则下面断言是等价的： ( i ) 存在 0 ，f t o ，满足丁( ，) 是可微的； ( i i )存在常数 a 0 , b o ，c 0 ， 对任意见，r e 2 w 满足 - 见粤；l i i t l 力i a e x p ( 一b r e 允) ) p ( 么)和l l ( 旯j 一4 ) _ 1 忆) - _ - c l t m 兄l 这里 p ( a ) 是彳的预解集。 2 l 博十学位论文 第二章预备知识 2 4o a rle m a n 不等式 在这部分，我们将给出线性抛物型系统的c a r l e m a n 不等式，它们的证明可在 【2 】， 4 7 1 q b 找到，这罩省略这些证明。首先，我们考虑下面线性系统 订肇却喜筹，) 9 p = 0( x ，f ) ， p ( x ，丁) = p 7 ( x )x q 这里r ，f r ( 9 ) ( 1 f ) 和p r r ( q ) 。 引理2 4 1 设ec 足v ( n 1 ) ，有界非空开子集，c o oc l c 国非空开子集，则存在函数 o ( x ) c 2 ( q ) 满足 i ( x ) 0 x q ， = 0 x aq ， li v i 0 万缈。， 设缈c cq ，令 口( x ，) = e x p ( c o ( x ) 面) - e 丽x p ( 2 c 一1 1 , ) ，) = _ e x p ( 两c o ( x ) ) 这里c 宰是一个合适的正常数，依赖于q 。0 3 。 定理2 4 2 设ecr ( n 1 ) 有界非空开子集。设国是q 的一个非空开子集，则存在仅 依赖于q ，缈的正常数c o ，皖满足当s s o = 吼( q ，c o ) ( t + t 2 ) s f c e x p ( 2 艘一( 丁一f ) 。1l 叫2 + s 3 飓e x p ( 2 s a ) t 。( 丁一) 与i p l 2 栅 c o ( j 3 儿e x p ( 2 s a ) t 。( 丁一，) 。3i p l 2 栅+ 几e x p ( 2 s 口) l f o2 出衍 + s 2 善珏e x p ( 2 s 口y - 2 ( 丁一f ) 2 吲2 撇) 博士学位论文第三章一类半线性抛物线方程的轨道精确能控性 第三章一类半线性抛物线方程的轨道精确能控性 3 1 主要假设与结果 设ecr ( n 1 ) ，是有界非空开子集，边界0 f 2 c 2 。q = d x ( o ，t )和 = d x ( 0 ，丁) 0 3cq 一个非空开子集。考虑下面的抛物系统： 1 只一a y 4 - f ( y ) = 善+ l ，1 m ( x ，) q y = 0( x ，f ) ( 3 1 ) 【y ( x ，0 ) = y o ( x ) x q 这里乃= 詈，f r ( q ) ，y o r ( q ) , v e r ( q ) 是一待定的控制函数，1 。是缈的特征函数。 函数厂：r 专r 是一个属于c 1 的局部l i p s c h i t z - 连续的，可以表示为对任意笮 0 ，存在 g 0 满足对，有 l 等笋b + r l o g ”i 一，| ) 2 ， 其中空间维数满足 女口果2 ，r 1 + n 2 ；安口果n = 1 ，厂= 2 ( 3 3 ) 先考虑系统没有施加“控制”的理想轨迹j ，事 1 只一少+ 厂( y ) = 孝( x ，) o y = 0( x ，t ) ( 3 4 ) 【y ( x ，o ) = y o ( x ) x q 根据文献 2 4 1 1 2 5 1 和( 3 2 ) ，系统( 3 4 ) 至少存在一个局部解。易知存在时刻r ，当 0 t 0 ，系统( 3 4 ) 的解y 母c ( o ，丁】；r ( q ) ) n r ( 正丁；r ( q ) ) 。 我们现在先给出一些定义： 定义3 1 1 称系统( 3 1 ) 是轨道精确能控的，是指对任何给定的初始值枣( x ) 系统( 3 4 ) 的解y 木，任意r ( q ) ，任意时刻丁( 丁 t 卡) ，存在控* uv r ( q ) ，使得系统( 3 1 ) 的 解y 满足 博士学位论文 第三章一类半线性抛物线方程的轨道精确能控性 y ( x ，丁) = y 牛( x ，丁) ( 3 5 ) 定义3 , 1 2 称系统( 3 1 ) 在时刻t 是零能控的，是指对任意y o r ( q ) ，存在控制 1 ，r ( q ) 使得系统( 3 1 ) 的解y c ( 【o ，t i ；l 2 ( f f 2 ) ) 满足 y ( x ，t ) = 0 ( 3 6 ) 注：对于线性系统，零能控性和轨道精确能控性的定义是等价的，但对非线性系统却 不一样。 定义3 1 3在空间r ( q ) 上称系统( 3 1 ) 在时刻t 0 ，存在控制1 ，r ( q ) 使得系统( 3 1 ) 相应的解 y c o ( 【0 ，丁】；r ( q ) ) 满足 l | y ( ，丁) 一均8 ：占 ( 3 7 ) 系统( 3 1 ) 是许多扩散现象的一个数学模型如热传导，弹性塑料材料的性能，扩 散反应过程等。 在系统( 3 1 ) 中y = y ( x ，) 表示状态变量和v = v ( x ，) 是一个控制函数 具有紧支集在国。善是一给定的热源，而控制v 表示施加在区域国一个局部热源。近年 来，非线性抛物系统能控性已经被许多研究人员所感兴趣( 看 1 ，2 ，8 ) 。然而， 在研究具有超线性的非线性抛物系统的能控性时一些技术困难就出现了。特别地， b a r b u 在文献 5 中考虑了该类问题，获得系统的