（固体力学专业论文）应变梯度理论的非协调元与杂交元方法以及对材料尺度效应的研究.pdf

中国乖 学技术大学博j ? 学位论文 摘要 本论文主要就应变梯度理论的有限元实施方法及材料的尺度效应现象进行了研究，主要 内容包括以下5 个部分： 1 f 1 e c k h u t c h i n s o n 麻变梯度塑性理论基于简化的偶应力理论，在该理论下，微结构转角 依赖于位移梯度在有限元实施时需要c 连续。在一般的偶应力理论下，微结构转角是 独立的物理量与位移梯度无必然联系。本文通过比较一般偶应力理论和简化的偶应力 理论的异同后，给出了从一般偶应力理论出发对应变梯度理论进行有限元实施的数值框 架，避免了普通单元要求c 1 连续性要求的凼难。 2 相对于协调单元，非协调单元具有更优越的数值模拟能力，但需要保证非协调离散体系 的能量协调性不受破坏。本文首先导出了应变梯度理论下的非协调体系的能量相窖条 件，由这个条件，得到了对非协调位移合理的约束条件，满足这个约束后，可以确保非 协调体系的能量协调性不受破坏，从而保证了单元的收敛性。为了简化分析， f l e c k h u t c h i n s o n 应变梯度塑性理论假定材料不可压缩，这给数值实施带来了困难，众 多已有的单元都需要特殊的变分原理来处理，导致可压和不可压缩计算不统一。非协调 元可以通过非协调函数自然满足不可压缩条件，不需要任何特殊处理。本文构造的非协 调梯度单元通用于可压羽i 不可压缩材料的分析。 3 相对于位移型单元由于杂交元的应力由应力参数直接求出，不需要通过应变求出其 精度一般较位移元高。此外，在裂尖场等具有奇异性问题的分析中，由于普通位移型单 元很难严格满足裂纹表面自由边界条件，难以得到精确的裂尖场分布，基于 t t e l l i n g e r r e i s s n e r 二类变量变分原理的杂交元虽然可以满足这个条件但在计算弹塑 性问题时会遇到困难，需要绕道粘塑性方法。三类变量的h u - w a s h i z u 变分原理是势能 型的，由此构造的杂交元可以兼二者之长，既能满足裂纹表面力自由边界条件又可直 接适用于弹塑性分析。因此，我们将三类变量的h u w a s h i z u 变分原理推广到应变梯度 理论。为了优化单元性能，我们对位移引入了非协调函数，通过对能量相容条件的分析， 得到了一个杂交元的优化条件，由此构造了对应力函数优化后的梯度杂交元该单元同 样通用于对可压和不可压缩材料的分析。对该单元进一步处理后，可严格满足边界上的 零应力条件，使之适_ j 于奇异性问题的分析。 4 采j ：| j 本文构造的非协调元和杂交单元，对典型应变梯度问题做了分析。在薄梁问题中 中国科学技术大学博十学位论文 我们发现。记入梯度效应后，当梁的厚度接近于材料的特征k 度时，梁的抗弯刚度显著 增加其最大正应力远小于经典弹塑性理论预测，当梁的厚度大于l o 倍的材料特征常 数时，其梯度效应可以忽略不计，这与薄梁弯曲实验结果是一致的。计算结果表明，薄 粱在平面应力状态下要比平面应变状态下梯度效应更为明显抗弯刚度提高的幅度更 大。在小孔应力集中问题中，当小孔半径接近于材料特征长度时，由于梯度效应小孔 的应力集中因子有较大幅度下降，但其尺度效应仅在小孔附近很小的范围内存在，远离 小孔时，其解趋于经典解答。 对于裂尖场问题，计算结果表明，在裂尖渐进场内，等效应力的角分布与角度无关， 呈水平直线状分布：对于i i 型裂尖场，其最大剪应力可提高2 5 倍，对于i 型裂纹。 只能提高1 7 倍，这是由于i i 型裂尖场是有旋场，而i 型裂尖场是无旋的。在裂尖渐 近场内偶应力没有奇异性，其值非常小，与c a c h y 应力相比不占优。同时我们发现 在小范围屈服假定下，i i 型裂尖场可以过渡到经典的h r r 场，而i 獭问题则不能 计算结果显示，在弹塑性情况下，材料的尺度效应要比线弹性情况更为强烈。对于 i i 型裂纹，在相同的材料参数和相同的载荷情况下，对于线弹性断裂，尺度效应作用域 约为r 3 8 ，最大剪应力岛，为经典解的1 4 倍。而在弹塑性情况下，当硬化指数n = 5 时， 尺度效应作用域约为r 1 0 0 时，梯度效应可以忽略接近于经典塑性理论解答。 计算表明在平面应力状态下，粱的梯度效应比在平面应变状态下更为强烈。 对裂尖场分析的数值结果表明，h u a n g 等。”的裂尖渐进场的适用范围约为r o 1 1 ，在裂 尖渐进场。等效应力不受角度0 的影响，对于i i 型断裂问题，其最大剪应力可提高2 5 倍左右，对i 型问题，只能提高约1 7 倍，这是由于i i 型问题是有旋场i 型问题的裂尖 是无旋的。同时发现在裂尖渐近场。偶应力没有奇异性，与c a c h y 应力相比，偶应力并不 占优。当硬化指数n = 5 ，材料特征常数卢l 时，偶应力作用较强的区域是渐进场的外围 0 1 l l o 后，数值结果即趋y - 稳定，不受反对称剪应力系数c 值影响。 0 ( 。) 图31 7 材料参数c 变化时对环向正应力t o 的影响 中国科学技术人学博i ：学位论文 n o _ 0 2 01 02 0, q o6 07 0a o9 0 oo ) 翻31 8 材料参数c 变化时对径向势应力应力，d r 的 影l 向 o1 04 0 0o ) 图3 1 9 材料参数c 变化时对环向偶应力应力鳓的影响 以上两个算例充分说明了这里所构造单元的可靠性，为接下来的弹塑性分析打下了良好 的基础。 笫3 章应变梯度理论下的非协调有限j e 方法及l # 成用研究 3 4 3 平面应变状态下全塑性粱的纯弯曲 对于平面应变状态下的薄梁弯曲问鼯，在算例3 4 1 中，我们分析了线弹性情况。接下 来我们研究硬化指数n l ，即非线弹性的情况。仍然取5 个单元，网格如图3 2 所示，泊松比 p = 0 4 9 9 9 c = 1 0 0 。 o - 也惦 - 0 1 0 - 0 1 5 - 0 2 9 号电器 - 0 3 0 0 3 s o 。4 0 o 5 oo0 td 2n 30 4050 6n 7n 8 x l 图3 2 0 材料特征常数，对挠度v 的影响 芦f i t 2 卢h b = , 1 - 1 5 f 1 0 经典塑性理论解 x l 图3 2 i 不同硬化指数下粱的挠度曲线 3 i n = l n = 3 n = 5 n = 7 n = 9 n = 1 0 n = 1 3 中国科学技术大学博j ：学位论文 图3 2 0 为在硬化指数n - - 5 的情况下材料特征长度，在h 2 一h l o 之间变化时，对粱挠 度曲线的影响。各条实线为文 1 1 6 中的解析解。散点为本文数值解，虚线为经典塑性理论 解答。尽管这里只采用了较少的5 个单元，仍然可以与解析解符合的较好。从闰中可观察到， 当i = h 2 时，a 点的挠度仅为经典塑性理论下的挠度1 2 5 ，当l = h 5 时，a 点的挠度约为经 典理论下的5 1 2 ，材料的尺度效应非常明显，当， h 1 0 后，挠度曲线与经典塑性理论趋于 一致，尺度效应可以忽略。这与s t o k e n 等”1 的高纯度n i 梁弯曲实验趋势一致，s t o k e n 估 计n i 的材料特征长度，= 5 j m ，当梁厚度h = 1 2 5 m 时，梁的塑性硬化显著增加，而当 h = 5 0 z m 时即梁厚度为1 0 倍的材料特征长度时，无明显尺度效应，与这里的数值结果趋 势相近。w a n g 等1 1 1 6 研究指出当粱的厚度接近于材料特征长度时，梯度项会提高梁的的惯 性矩，从而使梁的抗弯刚度增加，这里的数值结果也验证了这一点。 图3 2 1 为在材料特征常数f - 】弯矩肘：辈f 曼1 时，不同硬化指数下 1 l 3 1 4 3 - = o j 的梁的挠度曲线，n = l 时相当于线弹性，n = 1 3 时则接近于理想塑性。从中可以看出，在不 同的n 值下本文构造的非协调元均可获得合理的解答。 3 4 4 平面应力状态下全塑性粱纯弯曲问题中的梯度效应 在算例3 4 3 中我们考察了平面应变状态下全塑性粱的纯弯曲问题，鉴于在实际工程应 用中，很多情况下粱是处于平面应力状态，而文【1 1 6 】中仅研究了平面应变状态下粱在应变 梯度理论下的解答，我们这里采用数值方法，考察薄粱在平面应力状态下的力学行为， 有限元网格仍如图3 2 所示，泊松比y = o 4 9 9 9 ，图3 2 2 是在取梁端弯矩 m = 了n 丽z o h 2i ( 面hj “时，在不同材料常数下梁的警度曲线。图。为材料特征常 数f _ 】肌，粱端弯矩m ；望! f1 星r _ l 时，在不同硬化指数n 值下粱的挠度曲线。 1 1 4 3 i 3 e o 上j 。 从3 2 1 可以看山。在平面应力状态下。当= - h 2 时梁端部a 点的挠度仅为经典塑性 理论下的1 3 4 ，而在平面应变状态下则是1 2 5 。这说明在平面应变状态下，粱的梯度效应更 强烈。当i h 1 0 后也即梁的厚度大于1 0 倍的材料特征长度后，与经典塑性理论解答趋于 一致，梯度效应可以忽略，这一点与平面应变状态相同。 第3 章应变梯度理论下的非协调有限元方法及其应用研究 比较3 2 l 与3 2 3 ，在相同的载荷情况下由于在平面应变状态下，对z 向塑性变形有 约束。其塑性硬化大于平面应力状态，所以平面应力状态下粱的挠度大于平面应变情况。当 n 值较小时，二者相差不大，二者相差随着n 值的增大，越接近于理想塑性，二者差异越大。 对于梁端部a 点，n = l 时，二者相差仅6 ，n = 5 时，二者相差2 6 ，n = l l 时，5 8 ，而n = 1 3 时。二者相差8 3 ，当n 值越大，越接近于理想塑性，这种效应越明显。 n o o2 “ 弓 ob 0 8 1 0 o ；o o o0 1 - 0 0 2 - 0 0 3 。o o 皋- 0 - 0 0 e 0 0 7 - 0 0 8 0 0 9 _ 0 1 0 图3 2 2 材料特征常数，对挠度v 的影响 卢 垤 扣 们 卢1 0 经典塑性理论解 图3 2 3 不同硬化指数下粱的挠度曲线 n = 1 n = 3 n = 5 n = 7 n = 9 r l = 1 1 r l = 1 3 中同科学技术人学博。【：学位论文 3 4 5 应变梯度塑性理论在裂尖场分析中的应用 由于材料的破坏问题在工程中的重要性以及构件断裂行为的复杂性，吸引着众多学者持 久地关注着这一领域，取得了大量的研究成果，关于宏观断裂分析方面的系统论述可参见 匡等人的最近著作“”。鉴于宏观断裂力学的局限性，各国学者们建立了一系列宏微观结合 的断裂模型试图在宏观断裂行为和微细观断裂机制之间建立联系现代计算机强大的计算 能力为这些模型的实现提供了有力的支持。但纯粹从分子动力学米研究断裂过程尚有凼难， 因此，建立个宏微观结台的唯象模型是必要的。在绪论中我们提及。经典弹塑性理论无法 达到使裂尖原子键断裂的应力水平，而尺度效应使材料的塑性硬化增强流动应力得到提高， 应变梯度塑性理论可以反映这种尺度效应。因此，采用应变梯度理论，建立合适的断裂过程 区模型后，有望解释裂尖原子断裂现象。 接下来我们采用应变梯度塑性全量理论，分析i 。i i 型裂尖场的应力分布。 考虑平面应变状态下无限大域内的半无限大i 。i i 裂纹问题，与上一算例的全塑性假设不 同。这里设为小范围屈服问题。其等效应力与等效应变之间的关系如( 3 2 3 ) 式所示。这样， 在远离裂尖区域可施加经典的线弹性k 场做为位移边界条件如( 3 2 4 ) 式和( 3 2 5 ) 式所示。 fz = 3 g 置，当z 0 ，y = 0 ( 3 2 8 ) 0 翻3 2 5 一图3 , 3 0 为裂尖场的等效应力、c a c h y 应力勺和偶应力鳓的数值解与梯度理 论下的裂失渐进场9 5 i 和经典h r r 场4 “0 1 的比较。从中观察到，当r o 0 1 1 时，本文数值解 与h u a n g 等给出的裂尖渐进解符合的根好，这就验证了这里单元的可靠性。 图3 。2 5 为裂尖等效应力在不同半径下的角分布。可以发现。在r 0 1 l 后。等效应力分布逐渐与渐进解偏离，趋向于经典的h r r 解。在r = 1 0 1 时。接近 于h r r 场此时，梯度效应消失。在r 0 0 1 l 时，本文数值解与文 9 5 1 给出的裂尖渐进解吻 陵 中国科学技术太学博士学位论文 合的非常好在严0 i i 时，与文 9 5 】中给出的裂尖渐进解约有8 的误差。但其分布仍然与 角度目无关，因此，仍可以近似认为受裂尖渐进场控制，这样，文 9 5 q a 给出的渐进场的适 用范围约为r 0 i i ，在这个范围内，梯度效应比较明显，等效应力的分布与角度口无关整个 梯度作_ l = l j 域约为r l o l 后，偶 应力开始趋于零。 经过以上分析发现，在r o 1 l 的域内，是h u a n g 等防1 渐进解主导场。在渐进场内，等 效应力的分布与角度0 无关呈水平直线状分布；偶应力不具有奇异性，与c a c h y 应力相比 并不占优；对于所有c a c h y 应力，除剪应力0 提高约2 5 倍外，其它应力均小于h r r 场或 不受梯度效应的影响。在0 1 l 0 ，y = 0( 3 2 9 ) 图3 3 1 一图3 3 6 为等效应力、c a c h y 应力屯和偶应力以在不同半径下的角分布从 中可以观察到- 在r o i i 后。并未象x i a 文i ”l 中分析的那 样趋于经典h e r 解而是与h u a n g 等1 9 5 1 分析的结果一致。这主要是由于本文以及h u a n g 文中研究的是小范围屈服问题，在远场施加经典k 场做为边界条件。而x i a 等 9 3 1 研究的是 全塑性问题在外边界直接施加h r r 场做为边界，故可以过渡到h r r 场。 与1 1 型裂尖场相似，从图3 3 2 ，图3 3 3 中观察出，径向正应力0 与环向正应力相对 于经典的h r r 场没有提高由图3 3 4 观察到，梯度理论下的剪应力0 是经典h r r 场的约 1 5 倍，而1 1 型裂尖场达到2 5 倍，这主要是由于i 型裂尖场是无旋的i i 型裂尖场是有旋 中国科学技术大学博：l 学位论文 场，这里的理论仅记入了旋转梯度，故i i 型裂尖场的梯度效应更为明显。 在裂尖渐进场，偶应力与c a c h y 应力相比并不占优，如图3 3 5 ，图3 3 6 所示。对偶应 力，在r 1 0 1 后，由于梯度效应减弱，开始减小。我 们同时注意到，偶应力j 。从r = o i i 过渡到r = 1 o l 时，符号变得相反。偶应力的变化趋 势与“大致相近，如图3 3 0 所示。 对于l 型裂纹t 在渐进场内( r 0 1 ! ) ，除剪应力0 较经典h r r 场提高1 , 7 倍外其它c a t h y 应力均没有提高，甚至小于经典h r r 场应力水平；渐进场内的偶应力不具有奇异性，其值 i t , j , 甚至小于过渡区( o 1 l r l o 后。 南稻 第4 章基于h u w a s h i z u 变分原理的三类变量应变梯度杂交元方法 计算结果趋于稳定。对c 值不敏感，如表4 2 所示。 我们把m a c n e a l 和h a r d e r 【l 建议的细长粱实验推广到应变梯度理论，用来验证单元罚平 衡杂交元s - h w ( 口) 单元的性能。如图4 1 所示，一长l = 1 2 ，高h = 0 2 的线弹性细长悬臂梁 受端部的纯弯曲载荷m 作用，计算a 点挠度。材料特征常数辟0 1 弹性模量e = 5 0 0 ，初始 腓肋驴o ，凇l g v = 0 4 9 9 9 , 黼肚端c 毒j 一，鼢绷 性情况。一共采用3 种网格，矩形网格。平行四边形网格和梯形网格如图4 i 所示，计算 结果如表4 3 所示，从中可以看出，加罚的杂交元在3 中网格下均可获得很好的结果，未加 罚的杂交元以及非协调元在梯形网格下均有较严重的剪切自锁现象。 o s - r - 二 二二 二二工二二 二二 ) m 图4 1 ( a ) 矩形网格 图4 i ( b ) 平行四边形网格 例4 i ( c ) 梯形网格 图4 1 细长粱实验中的三种有限元嗣格示意图 矗i a 中国科学技术大学博i ? 学位论文 表4 3 在兰种嘲格下a 点挠度v ( 见幽4 i ) 4 9 2 采用这里构造的s - h w 元计算第3 章中的考题3 4 2 即含小孔的无限火平面应变弹性 平板( 孔径r = 8 ) ，受到远场双向均布拉力皿作用的问题。分析域以及有限元离散网格等计算 背景与3 4 2 完全相同。结果如图4 2 一圈4 1 0 所示，结果表明该单元的数值解与理论解 吻合的很好。 o1 02 03 04 0翱6 07 0 o 图4 2 环向正应力剪应力t s r 和环向偶应 力d o 沿孔径r = a 的角分布( p = o _ 3 ) 抽 仙 ” 俩 第4 章基于h u - w a s h i z u 变分原理的三类变量应变梯度杂交元方法 t e | 氏 o1 04 0如6 07 09 0 e 图4 3 环向正麻力剪应力t e , 和环向偶 应力，岛沿孔径r = 8 的角分布p = 0 4 9 9 9 ) a 0 2 8 2 6 z 4 2 2 g 2 0 18 1 6 1 4 1 2 1 0 1 1 篇1 17 s2 2 2 5 2 5 02 7 5a & 2 5 r 图4 4 环向正应力沿p = 9 0 。的r 分布( i - = 0 3 ) 拍 仙 佃 峙 佃 中国科学技术大学博一i ：学位论文 3o 28 26 24 2 _ 2 g 2o 18 16 1 12 1o 1 o o12 s15 01 7 52 2 2 52 27 53 32 5 r 强4 5 环向正应力沿口= 9 0 。的r 分布( v = o 4 9 9 9 ) 1 o o1 为1 1 鸭2 2 筠 2 5 02 7 5毫3 为 r 幽4 6 偶应山理论下环向偶艟力雎沿口= 9 0 “的r 分布( v = o , 3 ) 第4 章基于h u - w a s h i z u 变分原理的三类变量应变梯度杂交j a 方法 o o12 5 5 口17 52o o 2 2 525 027 5 3 0 03 2 5 r 2 ” 1 , 5 茁 1 0 0 , 5 0 0 图4 7 偶应力理论下环向偶应力胁沿口= 9 0 6 的r 分布( p = 0 4 9 9 9 ) 01 02 03 04 05 0g o7 0 a o9 0 0 圈4 8 材料参数c 变化时对环向正应力o e 的话响 ：莩 蚴 一 一 ! 拿 枷 鲁； 中国科学技术大学博士学位论文 01 02 03 04 05 08 07 0e 09 0 0 图4 9 材科参数c 变化时对径向剪应力应力。的影响 01 02 03 04 05 0r o8 09 0 0 图4 1 0 材料参数c 变化时对环向偶应力应力，白的影响 雌 引 舭 舢 “ r 怫9 孑 第4 章基于h u - w a s h i z u 变分原理的三类变量应变梯度杂交元方法 4 9 3 仍以如图3 1 所示处于平面应变状态的受纯弯曲的全塑性梁为例，来说明这里构造的杂 挛元在全塑性分析中的有效性。设塑性硬化指数为n ，等效应力和等效应变的关系服从( 2 2 0 ) 式。计算中，取弹性模量e = 5 0 0 0 - 泊松比p = 0 4 9 9 9 初始屈服应力o = 1 0 材料特征 常数l = h 2 ，c f f i l 0 0 。为充分体现出应变梯度效应，取较大的弯矩 肘= 厕n z o h 2i ( 面hj “，一共划分为姗一川所示个单元。 l7 ， o o 0 1 0 2 0 3 图4 1 1 有限元阏格划分 ) ( ，l 圈4 1 2 材料特征常数，对挠度v 的影响 卢眦 b = h # 3 卢 俗 a 卢h ，1 0 h ，2 0 经典塑性理论解 中国科学技术大学博七学位论文 0 0 0 0 _ 0 0 s - 0 0 2 0 - 0 0 2 5 ) c ，l 图4 1 3 小刚硬化指数下鬃的挠度曲线 n = 1 n = 3 n = 5 n = 7 n = 9 n = 1 0 图4 1 2 为硬化指数n = 5 时，在不同材料特征长度，下梁的挠度曲线图。各实线段分别对 应于不同材料常数下的理论解，各散点分别对应于本文数值解。从中可以发现，本文数值解 仍然与解析解符合得很好。从图中观察到，a 点的挠度随着材料常数的减小而逐渐增大，当 = h 1 0 时，梯度效应就非常弱，当l = h 2 0 时，则接近于经典塑性理论解，也就是说，如果粱 的厚度远人于材料的特征尺寸时( h l o j ) 其梯度效应可以忽略不计。可以用经典塑性理论来 解释。s t o k e n 等做实验所用的高纯度n i 梁试件的厚度为1 2 5 a m 5 0 a m 实验测的n 的特 征长度约为5 j m ，当粱高h = 5 0 a m 时，梯度效应很弱与这里的理论预测趋势相符。 图4 1 3 在材料常数i ：= - h 2 ，弯矩m ：一5 z o h 2 f1 型l1 时，不同硬化指数下的梁的挠度曲 lz 4 3 l 3 虽0 上 线。由图中可以看出，在不同n 值下，本文数值解均能与解析解符合得很好。 在初步验证了单元的有效性后接下来我们将构造能够满足裂纹表面力自由边界条件的 杂交单元，并应用于l ，l i 型裂尖场分析同时进一步验证单元的有效性。 第4 章基于h u w a s h i z u 变分原理的三类变量应变梯度杂交元方法 4 9 满足自由边界条件的杂交元以及裂尖场分析 应变梯度理论的一个重要应用就是研究材料断裂问题，用以解释裂尖原子键断裂所需要 的力的来源。鉴于裂尖存在奇异性，采_ i _ f j 普通位移型单元直接分析裂尖场时。由于位移型单 元待求量是位移很难严格满足自由边界条件从而造成裂尖场应力分布不精确。而杂交元 对应力独立插值，可以很容易地满足自由边界条件，适用于对奇性问题的分析。本文进一步 发展了满足裂尖自由边界条件的杂交单元自由边零应力条件可以严格实施，从而精确地得 到裂尖场分布。 ，、 _ 垒三 ( - i 1 )i i ； i 。 ( i ，1 )t i - 轻纹表面 圉4 1 4 裂纹表面单元示意图 如图4 1 4 所示，假设一典型的裂纹表面单元。设单元边界玎= - 1 位于裂纹表面上。裂 纹面力自由条件为： o y = 0 ，0 = l l = 0 ，以= 0 t 为剪应力的对称部分，l 为反对称剪应力即在裂纹表面上，有 2 l 结台( 4 5 1 ) 式可知，参数鼠不独立有 层= 岛+ 店口l 岛叩+ 岛吩岛掌 将( 4 7 2 ) 式代入( 4 5 1 ) t 得到裂纹表面上满足了约束0 = o 的插值函数为 。船 ( 4 7 1 ) ( 4 7 2 ) ( 4 7 3 ) 中国科学技术大学博一i ：学位论文 口=( 4 7 4 ) 这样，裂纹表面上的约束条件0 = o 就得以严格实施，为了进一步使q = 0 ，以= 0 得 以实现，引入平滑函数q ( ，7 ) = 1 + 印) 2 ，对( 4 7 4 ) 式进一步修正，最终得到裂纹表面单 元的应力试解函数为 口，= q ( 叩) q ( 叩) ( 4 7 5 ) 这样，裂纹表面t l 由边界条件( 4 7 1 ) 就得以全部严格实现，计算所得裂尖应力场分布的 数值结果将会有很大改善由后面的数值算例可以看出。 裂尖场数值分析 从第3 章中对断裂问题的分析，我们知道。i i 型断裂问题的梯度效应比i 型问题更为强烈， 接下来我们首先以线弹性i i 型断裂问题为例，验证这里构造的满足表面自由边界条件的杂交 单元的数值性能，然后应用于弹塑性问题的分析。 h u a n g 等的渐进解适用于平面应变状态下的不可压缩材料，从第三章的我们知道其 适用范围约为r o 1 l ，当我们选取裂尖附近非常小的半圆r = o 0 0 0 2 1 时，渐进解是适用的。这 样就便于验证单元性能。为便于比较，我们同时给出了协调位移s 。q 4 元的数值结果。 单元网格划分同3 4 4 节，取硬化指数n _ 1 即为线弹性情况，泊松比v = o 4 9 9 9 。由于问题 的对称性仅取上半平面进行分析。计算域取为1 0 0 0 1 ，最小网格尺寸为1 0 4 ，如图3 1 6 ，边 界条件与第3 章相同，如( 3 2 4 ) 式、( 3 2 5 ) 式所示。 图4 1 5 - 1 鲴4 2 5 为计算结果，图中所有数据都采用。( s z 。e o ，) 1 和+ 1 无量纲化如( 3 2 6 ) 式所示。幽4 1 5 是径向正应力f r 的本文s - h w 元数值解与渐进解的比较。图4 1 6 是s q 4 元 o o o蝣蝣。 印叩 o o o q 岛o 孝善以 岛 霹碍q o o q 咖珈咖o o 嘲 第4 章基于h u w h i z u 变分原理的三类变量应变梯度杂交元方法 同渐进解的比较，比较这两个图可以看出，本文构造的杂交元所得数值结果与渐进解非常吻 台，而s q 4 元的数值结果则完全失稳。本文杂交元之所以能够得到精确的结果，一方面是由 于它的应力函数通过非协调位移的优化，从而使单元的数值性能更为优越，另一方面由于该 杂交元能够精确满足裂纹表面的力自由边界条件，这在奇异性问题分析中非常重要。s q 4 元 由于不可压缩体积约束，导致完全丧失了变形能力，结果已完全失稳。图4 1 7 和图4 1 8 是环 向正应力的本文s - h w 元数值解、s - q 4 元数值解与渐进解之间的比较图4 1 9 和图4 2 0 是环向剪应力如采用三种单元所得数值结果与渐进解的比较，图4 2 1 与图4 2 2 是径向剪应力 。采用三种单元所得数值结果与渐进解的比较，扶这些图中都可以明显看出，本文构造的 s - h w 元数值解均与渐进解吻合的和好，而s 0 4 元则无法获得满意结果。 图4 1 5 径向正应力t 沿半径产o 0 0 0 2 的角分布 本文杂交元解与渐进解的比较 ” ! 曼型兰垫查查兰竖主兰竺丝壅 ， ! 鬻彳” 。 。口 口口。口a o a a o d 。口。口口。 y = 0 4 9 9 9 。 ，= 0 0 0 0 2 1 02 04 06 08 01 0 01 1 4 01 6 0 。o n m ，一m 3 也 0 ( 。) 国4 1 6 径向正虚力t r 沿半径瑚0 0 0 2 的角分布，s - q 4 元、 h c r r m a n n 混合元与渐进解的比较 o帅q ol o o1 柏1 0o ) 图4 1 7 径向正应力t r 沿半径r = 0 0 0 0 2 的角分布， 本文杂交元解与渐进解的比较 8 5 2 o4七仲任 ， f 第4 章基于h u w a s h i z u 变分原理的三类变量应变梯度杂交冗方法 口s 哪4 兀孵 o v = u q 渐进解 。a 。2 0 c 。 a q 口 。 口 。 口 口口口口口 口。口口口口 。 0 5 0 4 o3 0 , 2 t , e 0 0 _ o - 0 2 - 03 0 , 4 - 0 5 02 04 08 0t o o1 2 01 4 01 s 01 8 0 e ( 。) 图4 1 8 环向正应力t 8 沿半径r = 0 0 0 0 2 的角分布，s - q 4 元、 h c r r m a n n 混台元与渐进解的比较 02 04 06 08 0t 0 0t 2 01 4 01 6 0 t 8 0 e ( 。) 图4 1 9 环向剪应力，坩沿半径r = 0 0 0 0 2 的角分布。 本文杂交元解与渐进解的比较 中国科学技术大学博士学位论文 0 e 0 6 0 4 0 2 0 1 0 ，0 2 tn e 1 o b o 8 1o 。1 2 14 o ，咖n 2 02 。帅6 01 0 01 2 01 4 01 6 01 8 0 0 ( 。) 图4 2 0 环向剪应力f 坩沿半径r = 0 0 0 0 2 的角分布，s - q 4 元、 h e r r m a n n 混合元与渐进解的比较较 0 ( 。) 图4 2 1 径向剪威力l # r 沿半径r = o 0 0 0 2 的角分布 本文杂交元解与渐进解的比较 第4 章基于h u w a s h i z u 变分原理的三娄变量应变梯度杂交元方法 02 04 0f l o1 0 01 2 01 4 01 8 01 1 1 0 0 ( 。) 圈4 , 2 2 径向剪应力t o 沿半径r f f i 0 0 0 0 2 的角分布，s - q 4 元、 h e r r m a n n 混合元与渐进解的比较 口t 奉文s - h w 杂交元解 0部4 08 08 0t 0 01 1 4 0t ( 1 0 0 ( 。) 图4 2 3 径向正应力t z 和环向正应力t o 沿半径r f f i 3 8 1 的角分布 本文杂交元解与经典解的比较 7 5 o 5 m j d s ： ， ，0。 。 m 啦 们 “ 们 ” 中国科学技术大学博士学位论文 0如柏8 0 0 0 柏1 帅 图4 2 4 环向剪应力t r 目。径向剪应力岛，沿半径r = 3 8 1 的角分布 本文杂交元解碳粤解的比较 由第3 章的研究我们知道梯度效应作用域非常小，对于第3 章中研究的硬化指数n ；5 ， 泊松比v = 0 4 9 9 9 的情况其作用域约为1 0 l 。在这里研究的线弹性情况我们发现其作用域 更小。约为r o ，j ，= 0 。图4 2 5 一图4 3 0 为裂尖场的等效应力、c a t h y 应力0 和偶应力，的数值解在不同半径下的角分布与渐进解和经典h r r 场的比较。从中观 察到，当r o 0 1 时，本文数值解与h u a n g 等【9 5 哈出的裂尖渐进解符合的很好，这就