（应用数学专业论文）分数阶微积分在粘弹性材料本构方程中的某些应用.pdf

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t h o m s o n 模型在正弦应力加载下的应变响应 在3 2 节，( g f e ) 网络z e n e r 模型在正弦应变加载下的应力响应为t 当口卢时， 州= a w a - z b 薹上竽( 等) ”薹( 口扣卅( m 卅”+ 2 m + 1 a 唱小埘。：邓( 一等) + 山旷i c 量上竽( 譬) ”妻( m ) 口“删( m 斟1 ) + 2 ，件l 。 噶抽硎。叫伽帕( 一譬) + a 旷1 d 塞竽( 譬) ”妻k = o ) 捌删( m 叫+ 槲l - 蜴咄嘶伽( 一等) ； ( 6 2 山东大学博士字伍记又 当口s p 时， 一洲“4 弹蝴 ，= a 妻芋c 叫。，”薹( m ) 。“妒”) ( 一h ”+ 槲1 口 e 盟，一垆一i + 2 ，i + 2 一。( 一口护一“) + 灿c 耋竽c r 薹( m ) 矿叩_ n 1 ( m _ ”+ 槲1 班：，啪刊。伽+ 2 - a ( 一舻”) 耋譬c 呐”薹( 扩删m ) + 槲 程埘刊n - 肌2 ，件2 一 ( 一”) ( 7 ) 在 1 3 3 节，讨论( g f e ) 网络p o y n t i n g - t h o m s o n 模型在正弦应力加载下的应变响应 为 0 ) 一舢- r 以薹上竽u 加砉( m ) r 伊忡魄( o 刮 聃槲1 一e o ( - ，+ ( 一( 圹) + e 。，一1 量生茅p 薹( m ) r 恤州一耐t 所h ) + 槲 端船一+ 。( 一( 圹) + a u e - 1 7 - - a 耋等u 细薹( m ) r 伊口) 呼- k ) t ( a - # ) ( m + 1 - - k ) + 端叫+ 槲哪( 一( 圹) 。 经典模型的正弦周期响应函数。作为特例给出 在第四章，研究了两个高阶的分数阶粘弹性材料本构模型f v m s 模型和f 、7 v i p 模型。它们分别由分数阶v o i 威模型( f v m ) 与分数阶m a x w e l l 模型( f m m ) 串联和 并联而组成其本构关系式分别为 p 2 。i ) e ( t ) + p 2 c l 。d 知( 功= 。d p 竹口( t ) + c l 。d ? 仃( t ) + c 2 。d 盯( t ) + 警。d # 巧( t ) + c l c 2 仃( t ) ， ( 9 ) 3 山东大学博士学位论文 昙盯( t ) + 磊1 。砑盯( t ) = 。，s ( t ) + c 2 。净( t ) + c 。研e ( t ) + 等。群s ( t ) + c 1 句s ( t ) ( 1 。) 之所以称之为高阶，分数阶是因为它们包含三个不同的分数阶参数并且方程的最大 阶数大于1 在4 3 1 节，给出了f v m s 模型的松弛模量， 当n ，y 时， 卜啪薹譬b + 毛- 轳c i 2 ( 等) h d ；”t 0 1 ：” “邓h 竹忡一b “? 邓e 躲乙一矗h 咖抽一手竹+ l ( 一c l ) + 薹譬b + 三- 伊奇( 拶 p o l ” t “一肿l 竹忡一钿) + o 邛e 一日h 。h 一l ( 一c l ) ； ( 1 1 ) 当口 ，y 时， = 艄薹等b + 三啪圳p 考( 扩 严”一b 邓h ”( 竹h 1 托邓点掣幽一肚i 竹( m + 1 ) in 舯1 ( 一c 2 ) + 薹等b + 轰- 阉2 毋( 警) h 抄一h ) - # k t 椰协9 犁幽帆押，i 相卅l ( 一e 2 t 。) ( 1 2 ) f v m s 模型的蠕变柔量为 。 ，( 。= 画1 南+ 磊1 而t # + 石1 b 肿t ( 一c t f 7 ( 1 3 ) 在4 3 2 节。m p 模型的松弛模量以如下的解析形式给出t ) 钟茄与柏+ 他最，似z ( 一c 2 竹0 4 ) 4 山东大学博士学位论文 当口1 时，f v m p 模型的蠕变柔量为 ) _ 去薹等”三响，k 坩砘2 ( 秽 p 柏卅。诱艺h ”( 。蚺。( 卅 + 罢薹等知+ 三一( m ；c o , k l , 坩锄奇( 扩 t a ( m + 1 ) 一卢七l 竹( 仇一b + 1 ) 上墨：m + 1 ) 一日h 十“1 一b ) + 1 ( 一c l ) ； ( 1 5 ) 当口 1 时，f v m p 模型的蠕变柔量为 ) - 击薹等+ k l + k $ 一( m ；k o , k b k a 坩b 毋( 秽 o l ”，2 o t 。”一b 一肚1 竹叶1 e ：之粕辟。+ 1 ( ，件1 ) + l ( 一c 2 1 a ) 。 _ q 吨b 一辟i + 1 ( f ，件1 ) + l 一叼， + 嚣耋等b + 三一( 毗 蚓p 孝( 扩 w l ：，o ? 户( ”卜b + 1 ) - j 雏t + 1 ( ”件1 e 2 2 1 一b ，一曲，+ 1 “1 、+ 】( 一c a t o ) ( 1 6 ) 作为特例，其所对应的标准的二次本构方程及其解均被包含在内经典的s t v e n a n t 模型与经典的j e f f r e y s 模型也作为特例被包含另外，b o l t z m a n n 迭加原理也被推 广 。 关键词；粘弹性；分数阶s t v e n a n t 模型；分数阶微积分；应力松弛；嫡变； 广义分数阶单元网络；正弦加载；广义m i t t a g - l e f f i e r 函数；高阶分数阶本构方程； 解析解；广义( 分数阶) b o l t z m a n n 迭加原理 5 山东大学博士学位论文 s o m ea p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u st ot h e c o n s t i t u t i v ee q u a t i o n so fv i s c o e l a s t i cm a t e r i a l s l i uj i a - g u o ( s c h o o lo fm a t h & s y s s c i ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s w h i c ha l ei n d e p e n d e n ta n dc o r r e l a t i v et o o n ea n o t h e r i nc h a p t e r1 ，i e i n t r o d u c t i o n ，t h eh i s t o r ya n da p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a l c a l c u l u sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n 1 1 ，t h ed e v e l o p m e n th i s t o r ya n dr e c e n ta p p l l c a - t i o n so ft h ef r a c t i o n a lc a l c u l u sa r ei n t r o d u c e dc o n c i s e l y , t h ed e f i n i t i o n sa n dt h em a i n p r o p e r t i e so ft h er i e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o ro d ，( 0 乳( 口) 1 ) a n dd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ro d f ( o 0 ， ( 1 2 ) 利用递推关系 r ( z - i - 1 ) = 汀( z ) ， ( 1 3 ) g a m m a 函数可解析延拓到验( z ) 0 ) 定义为n 一口一1 o , n - l 0 ，卢 0 ，( 1 1 1 ) o 研o d f l ，( t ) 一y ( o ，a o 。巧即；揣口，胁。，卢 吐 。掣= 揣一刚，p 屯 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 特别地，如果口譬n 则常数函数，( t ) 三c 的分数阶导数o w f ( t ) 不等于零实 际上，当| = 0 时( 1 1 3 ) 式变为o d f l = 葡j 它一般不为零特别值得注意的 1 、1 一“j g 是z 分数阶微分方程去，( t ) = 0 ，0sq o ，l 一1 a n ) ( 1 1 5 ) 脚 特别地，当0 a 1 时，上式简化为 c o d ；，0 ) ，p ) = 矿，0 ) 一【0 研一1 ，o ) 】。= 。( 1 1 0 ) 如果f ( o 在t 一0 附近有界，i ，( t ) i m ，则当0 a 1 时i o d 以，( t ) l = 防瞄，( r ) 打卜m z 丽( t - - m - ) - 1 一志t l - 1 0 ( t 叫这时由 ( 1 1 6 ) 式可得1 5 1 c o d ，( t ) ，p ) = 矿7 酗，( o a 1 ，( t ) 在t = o 附近可积) ( 1 1 7 ) 另外，算子o d p 由于含有t ，因此是有量纲的吲，并且【o 四】= t - 。实际上， 。洲明= 志新赫打= 器丢 篙 = 捣严，蚓。，力 ( 1 1 8 ) 在本结的最后，我们将介绍一个新概念，即用于研究分形结构和过程的局部分 数阶导数( 1 0 c a lf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ，l f d ) 【鼹侧由如下的r - l 分数阶积分形式 嚣瑞= 志r ( qj ( 2 器句- 旺柳i d 扛一口) 卜) 厶扛一) 卜a ”。”7 可以看出，逻辑上可以把口阶( 分数阶) 导数定义为n 一口阶( 分数阶) 积分的n 阶 ( 整数阶) 导数 而d a f ( x ) = 杀b d 基：i ( y ) d y q ， ( 1 z 。) 【d ( 茹一d ) pr ( n 一) 、 这里n 一1 q n ，n n l f d 的定义即可以从上式得到为避免传统定义中 某些不合物理意义的特征它引入了两个修正实际上，若要分析一个函数的局部特 1 6 山东大学博士学位论文 性，应避免以下两个方面；一是对于f c 下限a 的依赖性，二是该函数加一个常数” 的分数阶导数会产生另一个不同的分数阶导数这一事实而从该函数减去它在该点 的值则会达到此目的因此，假设q 介于0 和1 之间，则l f d 可定义为如下的极限 ( 若该极限存在且有限) ， 。4 f ( v ) = 黼，o 口 o , z e c ( 1 2 3 ) 其中，积分路径h a ( h a n k e l 路径) 是一个闭环，从一。o 开始正向环绕圆盘川si z l l a 一周( 一霄a r g ( s 霄) ，最后回到一o o 而广义m i t t a g - l e f f l e r 函数【6 ，6 2 i 则由下面 的级数展开式定义； 幻( 2 ) 2 萎高丽一“艇g ( 1 2 4 ) 长期以来，广义m - l 函数几乎总被人们所忽视。实际上，目前绝大部分关于 特殊函数和l a p l a c e 变换表的数学手册t 7 4 碉，甚至在1 9 9 1 年的数学科目分类 ( m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ) 中都没有 i - l 函数的介绍和相关内容直 山东大学博士学位论文 到2 0 0 0 年美国数学学会【a m s ) 新的预测分类中才被提及( 3 3 e 1 2 ) 近年来， 广义m - l 函数在分形动力学分数阶扩散理论，波在分形随机场【7 5 】的研究及量子 场论1 7 6 】中均得到了广泛的应用；这些领域的应用，反过来又促进了该函数的研究 例如，随着广义分数阶微积分算子的理论研究而发展起来的多指标m i t t a g - l e f l ：i e r 函数( 聊1 l t i i n d 旺m - l f u n c t i o n ) 旧 由定义( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 可得； 易( + 严) = c o s h z ，易( 一矿) = c o s z ，2 c ， e 1 d 士z l 2 ) = 矿【1 + e d ( - - z m ) - e z e r f c ( q ：z 1 1 2 ) ，名c ， 局 2 = ! 孚，e z d 加1 s i n h ( 矿z 1 2 ) ， 其中 、 础小2 击上r 2 毗曲( 小- 1 一础巩徙c 另外。本文中应用了广义m - l 函数的一个重要的l a p l a c e 变换公式i s , 7 8 】t c 一+ m e 嚣( 士扩) ，p =e m 廿1 e 嚣( 士扩) d 亡 j 0 = 舞斋， i 矿肛 ( 1 2 5 ) 其中， e 。( k ) c = 缸杉，一薹揣 z 。， ( 1 2 5 ) 式在文献【6 】中的证明非常繁琐，所以徐明瑜等给出了该公式的一个简单而又 严格的证明嗍 1 3h - f o x 函数 在文献中，h - f o x 函数又被称为f o x 函数、h _ 函数，广义m e l l i n - b a r n e s 函数或 广义m e i j e r sg - 函数为了统一和推广对称f o u r i e r 核的现有结果。f o x ( 1 9 6 1 ) 用一般的m e l l i n - b a r n e s 型积分定义了h - 函数其广泛应用于统计学，物理学和工 程学 l s o - s 2 l 的分数阶的线性微分方程的解的问题中其重要性在于，几乎所有在应 用数学和统计学中用到的特殊函数都是它的特例甚至诸如m i t t a g - l e f f i e r 函数 1 8 山东大学博士学位论文 m e i j e r sg - 函数| 诏j 、m a i t l a n d 广义超几何函数和w r i g h t 广义b e s s e l 函数等复杂 函数，都被它包含在内 h - f o x 函数定义为m e l l m - b a r n e s 型积分1 7 9 ，8 1 酬： 哪( 力= 丑万p 删 = 蹦p 旧滋蜀譬：鼢】 一丽1z 如) 灿，名0 ( 1 2 7 ) 其中，积分密度 小) = 锱( 1 2 8 ) 这里 a ( s ) = i - i r ( b j 一岛s ) ，b ( o = h r ( t 一吩+ c b 5 ) ， 产1 9严p 1( 1 2 9 ) c ( 8 ) = hr ( 1 6 j + 岛s ) ，d ( s ) = i ir ( q 一呜s ) ， j - - m + lj - - - - n + l m ，n ，p 和g 是非负整数，满足0 t l p ，1 冬m sq n = 0 时取b ( 8 ) = 1 ；口= m 时取c ( s ) = 1 ；p = n 时取d ( s ) 一1 参数吩0 = 1 ，2 ，p ) 和u = 1 ，2 ，g ) 是复数，而0 = 1 ，2 ，p ) 和岛0 = 1 ，2 ，g ) 是正数这些参数满足条件 p ) n p ) = 谚，( 1 3 0 ) 其中 删= 卜警旧，m 2 ，) ( 1 3 1 ， p ( b ) = ( s = 生二# l 歹= ，珥詹= 。，- ，z ，) ( ，3 z ) 分别是a ( s ) 和b ( 8 ) 的极点的集合积分弱道l 从8 = c i o o 到8 = e + i o o ，将极 点集p ( a ) 与p ( b ) 分开，使得p ( a ) 中的点位于二的右边，p ( b ) 中的点位于工的 左边我们还可以把( 1 3 0 ) 式写成吩陬+ l ，) 风( d j a 1 ) ，( u a = 0 ，1 ，2 ，；h 一 1 ，m ；j = 1 ，n ) 应注意到，路径积分( 1 2 7 ) 式表示的正是x ( s ) 的逆m e u i n 变换 h - f o x 函数有如下的重要性质【1 ，t 8 1 j ， 性质l ：h - f o x 函数关于数对( d l ，a 1 ) ，( a n ，口，i ) ，( a n + l ，o t , a + 1 ) ，( 唧，唧) 。 吼，n ) ，( b m ，届。) 和( b | ，i + 1 届。+ 1 ) ，( ，岛) 的置换对称 1 9 山东大学博士学位论文 性质2 ：如果数组( 吩，o j ) ( j = l ，2 ，n ) 中的一个等于数组( 6 j ，岛) a = m + l ，m + 2 ，q ) 中的一个( 或者( 6 j ，岛) u = 1 ，2 ，m ) 之一等于( 吩，) 0 = n + l ，n + 2 ，p ) 之一) ，则i i - f o x 函数可简化为低阶的i i - f o 匿函数，即p 窖和住( 或者 仇) 各减去1 这样我们有下面的化简公式t 丑；妒gi 盘；墨5 端： ：= ：i ：强_ ，h m ，) = 丑, n 。，- - p 1 - ( = l 譬名慧：_ ：，5 0 裂卅) ，( 3 3 ) 这里让l ，g m 性质3 ： 哪g 膀搿) = 肿t m ，蛳( x 呐- a j 脚, o j ) j 、 ( 1 3 4 ) 利用这个性质我们可以将一个p = 岛一哟 0 的f 暇函数 性质4 ： 这里七 0 性质5 ： 哪( z l 涮) = 七掰p i 蒯) ，缉g i 搿) = 丑嚣g l 留巍晶) ( 弱) 为讨论h - f o x 函数的解析性质和渐进展开式随札t 船 8 i ，先定义如下符号一 口， p = 岛一q ； ( ，篇lj 互l 矗 p m 口 a = 吩一吩+ 岛一岛； ( j = l2 = n + lj = lj = ，件l qp 7 一吩一d j + 字； 卢l尸i 。 2 0 ( 1 3 9 ) ( 1 4 0 ) 冉 万 。：|【 哆 ，触 = 卢 山东大学博士学位论文 a = 岛一岛一q 6 = ( 姜岛一喜，哟) 氘 一1 菇产鳓 ( 1 4 1 ) ” ( 1 。4 2 ) h - f o x 函数是：的解析函数且有意义，如果下面的存在性条件满足【篮，t 8 1 lt 情形1 若p 0 ，对所有的：0 ； 情形2 若弘= 0 ，对0 0 ，6 m r l 2 。则当m 0 0 时，在i a r g z i 0 ( p 由( 1 3 7 ) 式定义) ， 则下式成立 硝扣l 涮) 计偈妻掣 眉搿0 陋绺盘缓1 1 ) ，( r + b 届) ) ( 1 4 9 ) 其中口 m ，i 矿偈一1 i 1 。缸g ( 删) = 岛a r g ( 叩1 偈) + a r g p ) ，i a r g ( , 7 1 他) i ，r 2 最后讨论f o x 函数的一些特殊情形f 8 1 t s 2 1 当q ；l ( j = 1 ，2 ，p ) ，岛= 1 0 = 1 ，2 ，口) 时，h f o x 函数简化为m e i j e rg - 函数1 7 3 ，艏】，即 ； 露暑( z i 捃盘二盘君) = g ；g i 嚣：舞) ( 5 0 ) 如果还有m = 1 和p 口，则f o x 函数可由广义超几何函数p 日表示为 ， 。nr ( 1 + 6 1 一) 力 ，嘞( z 黔黜) 2 而告百矸而 ，蜀一，( ：麓二嚣二攒2 ；( 一1 ) 舢q z ) 。 ( 1 5 1 ) 许多所谓的特殊函数，如误差函数b e s s e l 函数w h i t t a k e r 函数j a c o b i 多项式 椭圆积分等，都是广义超几何函数的特例 一个不包含在g - 函数类中的重要的h - f o x 函数是 残1 , 。p + ，0 陈最盘蒿瑞翟删) = r 卸 ， 兀 j = 1 口 n j = l r ( 吩+ q r ) r ( b + 岛r )譬 = ，m 。( 智嬲盘料一0 ， ( 抛) 2 2 山东大学博士学位论文 ，( 。) 被称为m a i t l a n d 广义超几何函数( 1 5 2 ) 式的一个特例给出了h - f a x 函数 与广义m i t t a g l e m e r 函数b 口( z ) 之间的一个关系，即： 础( z 脚 ( 1 呐n ) ) = 取月( 一。) ( 1 5 3 ) 1 - 4 粘弹性 粘弹性是物体所具有的一种性质；粘弹性物体在变形时，会通过机械能的耗散 与存储而同时表现出粘性和弹性粘弹性几乎是分数阶微分和积分算子唯一的应用 最广的领域，在此领域已经有大量的文献i 晒鹞l 出版下面的描述将表明，将分数 阶导数用于粘弹性材料的数学建模是很自然的应该提到的是，分数阶微积分理论 发展的一个主要原因，是聚合物在各个工程领域的广泛使用 对于固体。一个众所周知的应力一应变关系( h o o k e 定律) 为 叮( t ) = e e ( t ) ； 而对于n e w t o n 流体，有 盯( t ) ： 7 掣 ( 1 5 5 ) 其中，e 和曰分别表示弹性系数和粘度，盯( t ) 和e ( t ) 分别表示应力和应变 关系式( 1 5 4 ) 和( 1 5 5 ) 并不是一般性的定律，仅仅是理想固体材料和理想流体 的数学模型；而理想固体和理想流体在现实世界中并不存在实际上，真实的物质 是这两种极限性质的组合如果根据其刚度进行分类，真实的物质则是处于理想固 体与理想流体之间的物质 线性粘弹性的整数阶模型的发展和应用可参考书籍 8 9 - 9 3 h o o k e 弹性元件 表示为弹簧，而n e w t o n 粘性元件表示为阻尼器在流变学中，使用上述元件而不 使用其方程是一个惯例 为刻画真实材料的性质，所谓的串一并联模型被提出| 9 1 】由于真实材料的性 质介于弹性和粘性之间，故用h o o k e ( 弹性) 元件和n e w t o n ( 粘性) 元件组合在一 起来表示这种性质其中，有两种组合方式：串联和并联这两种基本元件串联， 得到粘弹性的m a x w e l l 模型 掣= 面1 掣+ 掣； ( 1 5 6 ) d te 出。钉 ”7 山东大学博士学位论文 并联则得到v o i g t 模型 口c t ) = 既。) + 叩百d e c t ) ( 1 5 7 ) 用一个弹簧与v o i g t 模型串联，得到k e l v i n 模型 掣坳= 易( 百d e ( t ) 似) ； ( 1 5 8 ) 与m a x w e l l 模型并联，则得到z e n e r 模型 、，“。掣+ 酬归卿百d e ( t ) + 脑m ) ， ( 1 5 9 ) 其中，a = ( e l + 岛) 吼卢= 岛, 7 、 然而，上述模型都有明显的缺点。故人们进一步发展出更为复杂的粘弹性材料 流变模型，它们由若干k e l v i n 元件或m a x w e l l 元件与h o o k e 弹性元件组合而成这 些模型又产生出更复杂的应力一应变关系，其中出现了应力导数和应变导数的线性 组合在最一般的情况下，用此方法我们得到如下形式的模型： 毛巩丽d k a = 薹丽d k e ( 1 。0 ) 在各个特例中，最适当模型在，l = m 时得到( 该性质可以由k e l v i n 模型和z e n e r 模 型得到，对于它们，n = m = 1 ) 应注意到，对于固体。应力正比于应变的零阶导数；对于流体，应力正比于应变 的一阶导数故很自然的假设( g w s c o t tb l a i r 9 4 , 9 5 ) ，对于中间( i n t e r m e d i a t e ) 物质应力或许正比于应变的中间阶( 介于0 ，1 之间的非整数) 导数，即 盯( t ) = e o d e ( t ) ，( 0 口 1 ) ， ： ( 1 6 1 ) 或写为印，9 6 i - 盯( 幻= e r o o e ( t ) ，( o j ， 。o t f ( t ) ：= 历d n ( o d 7 一“巾) ) ，q o , n - - q o 设 毋p ( t ) 】= 下1 0 ( t ) + 6 ( t ) ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 山东大学博士学位论文 妒f ( f ) 】= j 力f l e ( t ) + e i g ( t ) ， ( 2 7 ) 则p ( ) 】= 妒【( t ) 】即为标准的整数阶s t v e n a n t 方程( 2 1 ) 分别对方程( 2 6 ) 和 ( 2 7 ) 从0 到t 进行一次p d e m a z m 积分，得t o d f l = 彳1 0 1 9 ；1 口( t ) + 矿( t ) 一( t o ，( 2 8 ) o d 1 妒= e r ；q o d ；1 s ( ) + 岛仁0 ) 一旬) ，( 2 9 ) 其中，a o 和e o 分别是o - ( t ) 和( t ) 的初值在方程( 2 8 ) 和( 2 9 ) 中，分别用t ； q o d f 4 0 ( t ) 代替r 7 1 0 耳1 盯( t ) ，用7 r o 所9 e ( t ) 代替r ；l o 9 7 1 6 ( t ) ，得： 孑；r ； q o d f 4 盯( t ) + 盯( 功一a o ，( o 口1 ) ， 妒= e l ；“o d t t e ( t ) + 局p ( 力一印) ，( o p ，这一结果也符合粘弹性材料热力学稳定性要求【l 卅 ； ； 2 5 结论 删 x l o 图2 3 ：蠕变( 口= 0 5 ，p = o 4 7 ) 本章应用r - l 分数阶微积分算子及理论。将标准的整数阶s t v e n a n t 模型推广 至其分数阶。应用h f o x 函数以及离散化求逆l a p l a c e 变换的方法给出了模型的解 析解与实验数据的拟合表明，分数阶s t v e n a n t 模型能够更有效地刻画人颅骨的 粘弹特性 将分数阶微积分算子及理论应用于粘弹性材料本构方程的研究，自上世纪8 0 年代中期至今一直不断地发展本章所得到的结果说明，应用分数阶微积分对生物 粘弹性材料本构方程的刻画也将是一种极为有效的方法和工具 第三章广义分数阶单元网络模型在正弦加载下的响应 应用离散求逆l a p l a c e 变换的方法与广义m i t t a g - l e f f i e r 函数的l a p l a c e 变换公 式，给出了广义分数阶单元( g f e ) 网络z e n e r 模型在正弦应变加载下的应力响应 与g f e 网络p o y n t i n g - t h o m s o n 模型在正弦应力加载下的应变响应 3 1 引言 作为分形几何和分数维的动力学基础。分数阶微积分在复杂系统动力学中的应 用取得了巨大的成功大量研究表明，在许多复杂系统的动力学中，如高分子、半 导体材料、生物粘弹性组织以及地震波的衰减等n 4 ，1 嚣| ，不仅存在非d e b y e 的自 相似型的松弛妒( t ) ( t 下) 邓( o o ) ；= 0 、r ， 利用公式1 7 8 l z ”e 叫炒1 础( 士a t e ) d r = 丽k ! f - 4 ，( 蚴 | n i l o ) ， 其中，础( 掣) = 摹最，口( 可) 对( 3 4 ) 式进行离散弘求逆l a 讲a c e 变换可得 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 删= 1 a 薹等( 譬) ”默mm 七) 舭删- 一a 唱廿褂一，( 一等) + a w a 耋等( 等) ”耋 _ 】c f 半仨1r 名m ! 口急 粥舳卅”聃。( 一等) +舭_耋等(譬)”壹k=01d + 舭一f 半f 竺1f 急m f 口厶 鹊。( 一等) ( n 铲协h ( m ) 舭怖_ ，+ 槲卜- ( 3 7 ) 用相同的方法，可求得协调方程( 3 2 ) 在e 0 ) ；a s i n w t 加载下的应力响应为； ) = 舢薹上芋( 叫2 ) ”薹r ai m 启) 。飞俨? t m 嘶z ，+ 槲z 一? 礞：一够。+ 2 r n + 扣。( 一a t e 一。) + 舢c 薹生竽c 叫2 p 耋( m ) 口“t 帅，聃槲卜- 甓一帅) 槲2 ( 一a t e 一 + 舢d 耋上竽c 叫2 p 篆r ni m 后) d 飞c 吣+ 拼- 一- 铝( 1 一) + 拼2 一 ( 一矿。) ，( 3 8 ) 当口= 时，( 3 1 ) 式和( 3 2 ) 式等价，故由( 3 6 ) 或( 3 7 ) 式均可求得。 砟一篇薹c 叫锄南 + 等紫薹c m 加蔷兰禹 9 ， 山东大学博士学位论文 3 2 3g f e 网络z e n e r 模型解的特例 ( i ) 当q = l ，p = 0 e 3 = 0 时，g f e 网络z e n e r 模型退化为经典的m a x w e l l 模型，由( ( 3 6 ) 和( 3 7 ) 式可得。 盯( t ) 舢啦薹c 一严( 譬) 薹( m ) 矿p “+ 事溉嘶：( 一；) = 舢，) 2 r n = o ( _ 1 ) 加蜀槲。( 一：) ( 3 埘 、， ( i i ) 当q = 1 、卢= 0 ，y = 0 时，g f e 网络z e n e r 模型退化为经典的z e n e r 模型，此时有 ) # 舢+ 神三- 1 n 槲慨槲。( 一：) + 山警至( 。m 加一2 墨，一( 一：) ( 3 m ) ( i i i ) 当口= p = 0 且岛= 0 时，g f e 网络z e n e r 模型退化为经典的两弹簧串 联的情形此时 砟) - 等薹( _ 1 ) 咿丽t 2 m + 两l ， ， = 喾氇a 咖以= 喾毪球， 坳 ( i v ) 当口= 卢= 1 且忍；0 时，g f e 网络z e n e r 模型退化为经典的两阻尼器 串联的情形此时 卜等薹c m 蔷杀= 篇薹c 叫”篙 2 著舢c o s 矾= 燕啊 ( 3 ) 7 1 十，7 2m + 7 2 、 3 3 g f e 网络p o y n t i n g - t h o n f l s o n 模型在正弦应力加载下的 应变响应 3 3 1 g f e 网络p o y n t i n g - t h o m s o n 模型及其本构方程 两个g f e 单元并联再与另一个g f e 单元串联组成如图3 2 所示的网络，即为 g f e 网络p o y n t i n g - t h o m s o n 模型在条件口 卢 a 下，其应力一应变本构方 程| 5 2 t 删为： 山东大学博士学位论文 d 置，气) 岛，吻) 图3 2 ：g f e 网络p o y n t i n g - t h o m s o n 模型( 取自文献 9 6 1 ) 盯( t ) + 鲁下p 。驿一b ( t ) + 鲁r 肛 。硝盯( 幻一局严。四s ( 力+ e o r 8 。群s ( t ) ( 3 “) 其中，4 r 二( 毋贯易留) 1 伽一t 3 ) 。e = 易h ) 1 ，e o = e n r ) 。 ( 3 1 5 ) 当a a 下的极限，由( 3 1 8 ) 式可得： ，= 舢e 。薹c 叫“等薹 ) 一- - m t 3 m - k + l 或缸眦( 一；) +