（固体力学专业论文）异材界面应力奇异性问题及其有限元分析.pdf

摘要 本文主要利用有限元来讨论平面和空间轴对称结合材料奇异应力 场随材料常数变化规律，以及探讨了在温度载荷下的结合材料奇异应力 场随弹性常数变化的情况。同时本文应用杂交元方法确定结合材料特征 根，求得界面端附近的应力场和位移场。有限元法求得纤维拔出模型的 ，“一一 轴对称界面端的应力奇异性次数和现有的结果相符合，表明本文有限元 _ + 。一 模型是准确的。杂交元计算结果表明对于求解应力奇异性问题，构造合 适的杂交单元可以有效的提高计算效率。 a b s t r a c t t h ee f f e c t so fe l a s t i cm o d u l ea n dp o i s s o nr a t i oo nt h es i n g u l a rs t r e s s f i e l d si nd i s s i m i l a rm a t e r i a l sa r es t u d i e di nt h i sp a p e r f o rm a n yd i s s i m i l a r m a t e r i a l sa r eu s e du n d e rt e m p e r a t u r e l o a d i n g s ，t h e e f f e c t so fm a t e r i a l s c o n s t a n t so nt h es i n g u l a rs t r e s sf i e l d sa r ea l s od i s c u s s e d t h eh y b r i de l e m e n t m e t h o di s a p p l i e dt og e tb o n d e dm a t e r i a l s c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n sa n dt h e s t r e s sa n ds t r a i nf i e l d sn e a rt h et i po ft h ei n t e r f a c eo fb o n d e dm a t e r i a l s t h e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ef e mm o d e l s a p p l i e di nt h i sp a p e r a r ec o r r e c t ， a n dt h e h y b r i d e l e m e n tm e t h o di se f f e c t i v ei n a p p r o v i n g c a l c u l a t i o n e f f i c i e n c y 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 第一章绪论 1 1 弓1 言 目前，随着科学技术的不断飞速发展，人们对于工业材料的要求也越来越高， 越来越多样化。目前已有的工业材料已经不能完全满足人们的各种需要，人们希 望能研制出更多更好的新型材料，以满足工农业生产中对于材料的高强、轻质、 耐冲击、耐磨、耐腐蚀等特殊要求。在这种情况下，已经有越来越多的新型材料 结合材料和复合材料，并且广泛应用于航天航空、机械、电子、生物、化学、土 木、环境科学等各个科技领域，它们的性能直接影响着产品的质量。在这些材料 中，很大一部分是由两种或几种单一材料结合在一起组成的材料，通常将这种材 料称为结合材料或者异材。结合材料的在现代工业中有着很广的应用范围。例如， 对于承受高温的航空发动机内壁，如果使用具有良好耐高温特性的陶瓷材料，则 可以进一步提高发动机的燃气温度，从而大大提高发动机的效率。但因为陶瓷材 料本身的强度比较低，因此可以在其外壁接合某种高强度的金属材料，这样，二 者的优点就可以很好的结合起来。这就是陶瓷钢结合材料应用的一个典型实例。 另外，在电子设备如集成电路中，如半导体材料和基底材料底结合等，也存在着 大量的异材构造。 然而，同结合材料的广泛应用相比，对于结合材料的强度评价方法的研究却 进行的相对较少。这主要是由于这些材料的力学性能同传统的单一材料截然不 同。因而，要建立材料的强度评价准则，必然要采用与一般材料完全不同的理论 做为基础。所以目前工程力学的主要任务之一，就是要对这些材料的力学性能和 评价准则进行深入细致的分析研究，以期建立形式简洁、方便准确的材料力学性 能分析方法和强度评价准则。 鉴此在八十年代末开始出现一个新的固体力学分支一界面力学。界面力学是 以研究不同材料结合的材料( b o n d e dd i s s i m i l a rm a t e f i n s ，简称异材或者结合材 料) 的应力分析和强度评价方法为主要内容的。 结合材料问题有两个特殊的现象，即界面端应力奇异性以及界面裂纹尖端的 振荡应力奇异性。所谓应力奇异性问题，是指当所研究的区域趋向于某个点时应 力趋于无穷大的情况。这类问题是传统的材料力学所不曾出现过也不能处理的， 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 也是弹性应力分析中最活跃的部分之一。对于这类问题的研究，必须采用与传统 材料力学完全不同的方法。除了裂纹问题的奇异性以外，一般尚处于研究阶段。 应力奇异性通常出现在裂纹端部、两种材料的结合面( 称为界面) 处，以及 材料中的夹杂物如纤维等的端部。大量的实验数据和理论分析表明，各种材料， 尤其是结合材料，它们的破坏通常发生在出现严重的应力奇异性的位置上。所以， 应力奇异性的大小，是结合材料破坏的重要因素之一。因此，对于应力奇异性作 深入细致的研究，尽可能的避免较强的应力奇异性的出现，是提高材料强度的有 效方法。因而研究应力奇异性现象有着重要的现实意义。 1 2 研究概况 应力奇异性问题，目前研究最多的还是平面应变和平面应力问题，即二维应 力奇异性问题，这是因为二维应力奇异性问题可以应用复变函数解法，在假定了 应力函数后，可以直接求得应力表达式，问题相对简单；而对于三维应力奇异性 问题，随着维数的增加，问题的复杂性也大大增加，目前远没有探索到一种能解 决普遍问题的有效方法。特别是当我们要研究的区域中包含两种材料或多种材料 时( 称为结合材料问题) ，求解三维应力奇异性问题将更为困难。 在三维问题中，双材料圆柱形界面裂纹和轴对称界面端的轴对称变形问题在 工程中是广泛存在的，例如在纤维复合材料工程中。由于纤维复合材料具有重量 轻、强度高、刚度大等诸多的优点，近年来，使得纤维复合材料被越来越广泛地 应用。在纤维增强复合材料中，纤维与基体的界面对纤维增强复合材料的破坏具 有很大的影响。在长纤维增强复合材料中，由于制造上的原因，在纤维与基体之 间可能会产生圆柱形界面裂纹：在载荷作用下，纤维在基体内可能会断裂并拔出 后产生轴对称界面端或基体断裂后产生纤维与基体之间的无脱粘或有脱粘的纤 维拔出问题。在短纤维增强复合材料中，由于在纤维端部存在着轴对称界面角点， 因而，在界面角点附近产生应力奇异，并可能在纤维与基体之间发生界面剥离， 从而，在纤维端部形成轴对称币形或圆柱形界面裂纹。此外，在测定纤维增强复 合材料界面强度的纤维拔出( p u l l o u t ) 、压入( p u s h i n ) 、压出( p u s h o u t ) 和微粘结 ( m i c r o b o n d ) 等实验方法中，也存在着轴对称界面端、界面角点和轴对称币形或 圆柱形界面裂纹。因此，为了弄清纤维增强复合材料的破坏原因，对实验结果进 2 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 行更精确的分析，必须对纤维与基体的轴对称界面裂纹、界面端和界面角点应力 奇异性及其附近的奇异应力场进行研究。 此外，在工程中广泛存在着两个不同材料的圆杆、圆柱体或轴对称体结合以 及埋入问题，而在这些问题中由于奇异点的存在，也时常会发生破坏，需要找出 其破坏原因和评价方法。因此，对圆柱形界面裂纹和轴对称界面端在轴对称变形 下的应力奇异性及其附近的奇异应力场的研究具有理论和实际意义。到目前为 止，科学工作者主要对圆柱形界面裂纹和特殊几何的轴对称界面端进行了研究。 例如，e r d o g a n 和o z b e k i ”，o z b e k 和e r d o g a n 2 ，k a s a n o ，m a t s u m o t o n a k a h a r a 哪j ， i t o u l 6 】，z b i b ”，戴瑛，嵇醒和石川晴雄【5 】，王清，嵇醒和王远功1 8 1 等人先后研究 了圆柱形界面裂纹问题；a g a r w n l 9 , 1 0 ，t s u j i 、s h i b u y a 和k o i z u m i 【1 2 ，n o d a 和 t s u j i 1 3 n 删j t 了轴对称界面端问题，他们都得到了应力奇异性与平面应变问题相 应模型一致的结果。 对于求解一般三维应力奇异性问题，可以采用解析解法或数值解法。解析解 法虽然可以得到精确解h 】 1 5 ，但是除了一些特殊情况以外，往往很难应用解析 解法【1 6 l ，仅仅在某些特殊情况下可以将三维问题转化为二维问题来分析【1 7 】【1 8 】， 但是对于一般性三维问题，这样做往往会导致严重的偏差，而使得这种处理完全 失效。而数值解法虽然得到的是近似解，但是只要算法正确，单元划分足够细， 一般都能得到令人满意的精度。并且数值解法的应用要比解析法广得多。随着计 算机软硬件技术的飞速发展，数值解法无疑会有更为广阔的发展前景。 1 9 7 4 年b a z a n t 在 1 9 中采用的通过建立协调方程来求解三维奇异性问题的 方法。之后，b a z a n t & e s t e n s s o r o l 2 0 】【2 1 采用此方法研究了各向同性材料中不同裂 纹问题的数值解。他们得到的垂直于自由表面裂纹问题的解同b e n t h e m l 2 2 【2 3 1 采用 半解析法得到的结果是一致的。由于【2 0 】【2 1 】与【2 2 】【2 3 】应用了完全不同的方法， 因而可以认为这一方法是切实有效的。n s o m a r a t n a & t c t t i n g l 2 4 j 将 2 0 2 1 】中 的方法推广到了各向异性材料和复合材料，并且初步研究了应力奇异性指数为复 数时的情况。他们将 2 0 2 1 中的公式以更为简捷的形式表示出来，并且提高了 2 0 2 1 中几个算例结果的精度。 b e n t h e m l 2 2 1 ，b a z a n t & e s t e n s s o r 0 【2 1 ，z r b a z a n t & l m k e e r 2 引，g h a h r e m a n i 2 6 1 研究了单一均质材料角点处的应力奇异性。在这种情况下，应力奇异性指数 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) s ：1 一九是实数。b a r s o u m 2 7 】【2 8 】研究了弹性材料和刚性材料结合在一起时三维应 力奇异性。他的研究发现在这种情况下应力奇异性指数r e ( s ) o 5 ，并且把应力 场和应变场的某些特征描述出来，但是特征方程没有被明确的表示出来。 g h a h r e m a n i & c e s h i h 2 9 利用类似的方法研究了结合材料界面裂尖处的应 力分布情况。通过选择不同的材料组合参数作为变量，他们研究了应力奇异性随 材料常数的变化规律，并且基于变分原理提出了一种避免三维奇异性计算的数值 方法。 边界元方法把有限元的离散技巧引入经典的边界积分方程方法中，通过一个 满足场方程的奇异函数一基本解作为权函数，将区域积分化为边界积分，并在边 界上进行离散处理，把问题的维数降低，但由于离散仅在边界上进行，误差只产 生在边界上，区域内的物理量仍由解析公式给出，仍然保持了较高的计算精度， 所以近二十年来，边界元方法得到了广泛的应用。h k o g u c h i 3 0 3 1 】利用边界元 ( b e m ) 的方法分析了结合材料界面角点处的应力奇异性。k o g u c h i 选用的是工 业中广泛使用的金属陶瓷材料。通过界面端形状的变化来研究应力奇异性的变 化规律，并且将二维d u n d e r s 参数推广到了三维的情况。 在数值方法中，杂交元方法由于很好地改善了位移有限元过剐现象，是精度 比较高的一种数值方法。它形式简单而且比较适合裂纹尖端的应力求解。t o n g 等3 2 】使用杂交元求解裂纹尖端问题。并且他们发展了一种特殊裂纹尖端单元用 于计算各项同性直线裂纹问题b 孔。k h a l i l 等1 3 4 1 利用杂交元求解了非直角边界复 合材料的界面裂纹问题，而l i n 和m 3 5 1 使用杂交元方法求解了各向同性结合材 料界面裂纹问题。l e e 和g a o 3 6 】则发展了一种杂交元单元，这种杂交元单元可以 用来分析各向异性结合材料的界面裂纹问题。 国内对于结合材料应力奇异性的研究也取得了长足的进展。如哈尔滨工业大 学的程靳等人”1 利用构造的应力函数，根据结合材料界面端的边界条件，求得 了二维界面端的应力奇异场。他们的结果表明，结合材料界面端的应力奇异性与 两种材料的材料常数有关，也与界面端的角度有关。许金泉、金烈侯和丁皓江叫 利用复变函数法给出了任意结合角的界面端的应力奇异性及其附近的奇异应力 场。戴瑛、嵇醒和石川晴雄【4 0 l 采用逐次渐进法研究了纤维与基体之间脱粘时的 圆柱形界面裂纹的应力奇异性，得到了圆柱形界面裂纹尖端具有振荡奇异性的结 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 果。天津大学亢一澜等人【4 l 】用云纹干涉法测量了结合材料结构梁在弯曲荷载作 用下的位移场，并用云纹干涉法与有限元计算结合的局部混合法( 又称局部杂交 法) 给出了应力场，从而证实了应力具有奇异性。 总之，对于结合材料的应力奇异性分析有重要的理论价值和现实意义。晃面 力学理论作为一种全新的理论，它的发展与完善，必将对新型材料的开发与工程 应用产生巨大的促进作用，但是由于问题本身的复杂性，这一工作现在还仅仅处 于起步阶段。目前界面力学的内容基本上是在二维弹性分析的结果上展开的。本 文所做的工作，也主要是基于弹性基础上的二维和三维分析。 1 3 位移有限元方法介绍 对于求解应力奇异性问题，可以采用解析解法或数值解法。解析解法中，目 前主要使用的方法是特征值分析方法，这种方法虽然可以求得界面端的奇异应力 场的精确解，但是由于数学上的困难，特征值分析方法主要应用于平面应力奇异 性问题的求解。对于三维问题，在很少的情况下可以得到三维界面端应力奇异性 次数的特征值方程，但是该方程比较复杂，要求出该特征值方程在有效范围内无 解的显示条件，即应力奇异性消失条件，有一定的难度，只能用数值方法求解。 数值方法在近几年来随着计算机软硬件的发展，成为研究应力奇异性的有力工 具。 求解应力奇异性问题的一个首要问题是求得应力奇异性次数。求解的数值方 法主要有位移有限元，杂交元，边界元和特殊有限元方法。下面对本文所使用的 位移有限元作简单的介绍。 位移有限元方法的基本思路是将在求得奇异应力场后，通过将奇异性次数分 离，得到相应的应力奇异性指数。以单个应力奇异性为例来说明这一方法。 对于具有单个应力奇异性次数的异材界面端，在以奇异点为原点的极坐标系 ( ，0 ) 中，奇异点附件的应力场可以表示为 u q = ：( 目) ( 1 3 1 ) ， 式中 ，k 和：( o ) 分别为应力奇异性指数、与应力强度系数有关的系数和角函 数。引入无量纲因子i = r l ( l 是为了消除量纲和尺寸效应而引入的特征量) 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 后，式司以写成 旷嘉删) ( 1 3 2 ) 为了确定应力奇异性指数元，在某一给定的方向0 = o o 上，选择一个应力分量， 如仃，代入到( 1 - 3 2 ) 式可得 旷芸胛) ( 1 3 3 ) 两边取对数，可得 i o g ( 赢卜仙g ， ( 1 3 3 ) 根据( 1 3 3 ) 式可以画出双对数曲线图，曲线斜率的绝对值即为所要求解的应力 奇异件指数。 1 4 本文的主要工作 本文通过数值计算系统研究了空间轴对称结合材料奇异应力场随材料常数 变化规律。本文还特别探讨了在温度载荷下的结合材料奇异应力场随弹性常数变 化的情况，在应力奇异性的数值分析方法方面取得了一定的成果。本文的主要工 作有： 1 编制了一个杂交元程序，求解不同材料组合下的应力奇异性问题。 2 文献f 5 4 对具有任意界面角和结合角的各向同性双材料空间轴对称界面 端的一般模型的轴对称变形问题进行了理论分析，给出了该模型界面端的应力奇 异性特征方程以及界面端附近的位移场和奇异应力场，为了检验理论分析的正确 性，本文应用有限元程序对纤维拔出模型的轴对称界面端的应力奇异性次数进行 了数值求解。 3 通过大量的算例，研究结合材料弹性常数一弹性模量和泊松比对于空间 轴对称结合异材奇异应力场的影响。 4 通过数值计算研究了温度载荷下弹性常数对空间轴对称结合材料奇异应 力场的影响。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 第二章二维应力奇异性问题理论基础 2 1 引言 近些年来，结合材料和复合材料的应用已远远超出其早期作为功能材料的 范围，而逐渐被当作结构材料被广泛地应用在航天、航空、核电站、汽车、电子 等方面，因此，结合材料和复合材料的性能直接影响着产品的质量，为了对其安 全性与可靠性评价，八十年代末，形成一门新的固体力学学科的分支界面力 学【4 8 1 ，并且得到了长足的发展。然而，目前界面力学的研究主要集中在平面问 题方面。 图2 1 缺口部的应力奇异性 众所周知，当材料中存在尖锐的缺口( v - 一n o t c h ) ( 如图2 1 所示) 时，缺口 的前端一般会存在应力奇异性。这是一个典型的二维应力奇异性问题。 我们采用弹性力学中的g o u r s a t 的应力函数法。命g o u r s a t 的应力函数为： ( p ( z ) = a 。z 。，、 ，( z ) = b z “。 ( 2 1 1 ) 根据文 2 】中，有： + n m = 九n r l - 1 扒。以8 n 月_ 1 。+ 只e “v 1 + 瓦p 1 ”啪j ( 2 1 2 ) 如果缺口部表面应力自由，则有 a 。= 。，e = 0 ，0 = + c t ( 2 1 3 ) 将( 2 1 2 ) 式代入到边界条件( 2 1 3 ) ，得 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 九。a 。e 仉 九。a 。e 一( 。 式中a 。、b 。有非零解的条件为： ( 五。s i n 2 a + s i n 2 a 2 。) ( a 。s i n 2 a s i n 2 c z 2 。) = 0 ( 2 1 4 ) ( 21 5 ) 一般称( 2 1 5 ) 式为缺口问题的奇异性特征方程， 为特征根。s = 1 一五。即为应 力奇异性指数( s i n g u l a r o r d e r ) 。 要给出( 2 1 5 ) 的显式解是十分困难的，为此往往可以采用数值方法( 比如 二分法) 来求出数值解。例如，d 2 云万时的两个解为 = o 5 4 4 5 ， 2 2o9 0 5 8 。 将关于各种口值的九。解绘成如图2 2 的形式。由图可知，当q 0 7 1 5 1 n 时，缺 口部具有两重应力奇异性；当仅= 7 c ，即缺口部变成裂纹时，两个奇异性指数均 变为0 5 。对应于九，的系数4 、b ，和对应于九：的系数4 ：、b ：，可由( 2 14 ) 式 解得： i m a l = i m b l = r e a 2 = r e b 2 = 0 ( 2 1 6 ) r e b ，= 一旦二；壬苦掌紫r e 4 i m b 2 = 滞篙川： ， 因此，在缺口部产生应力奇异性的应力函数可表示为 p ( z ) = r e a l z l + i i m a 2 z 屯l( 2 1 8 ) 妒( z ) = r e b l z + l i m b 2 z 如j 进而可以求得在缺口部占支配地位的奇异应力场的表达式为： 。，= 嘉 r e a l ( 3 一九。) c 。s ( 1 一九。) e + r e b - c 。s ( 1 + 九- ) e + 鲁 i r a a 2 ( 3 一九2 ) s i n ( 1 一九2 ) 。+ h n 曰2 s i n ( 1 + 九2 ) e 盯。=( 1 + 五) c 。s ( 1 一 + r e b c 。s ( 1 + ) 曰 r 冬- - - 7 r e a i 4 ) o o 0 = = 净 吣 叫 p 呱 + q d ” “ h h “ 詹 鼠 + + n 阻 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) + 缶 i m 4 ：( 1 + ) s i n ( 1 一如) p i m b ：s i n ( 1 十五) 伊) f ，一= 缶 r e 4 ，( 1 一 ) s i n ( 1 一 ) 口+ r e b ic o s ( 1 十 ) 臼 + 妥 - i n l 爿2 ( 1 一九z ) c 。s ( 1 一九2 ) 。+ i m b 2c o s ( 1 十九2 ) e ( 2 1 9 ) 由上式可知，对应于 的项是关于x 轴对称的，而对应于九2 的项，则是关于 x 轴反对称的。因此，“称为对称奇异性( s y m m e t r i cs i n g u l a r i t y ) ，r 。称为 反对称奇异性( a n t i s y m m e t r i cs i n g u l a r i t y ) 。当万一口鲁时，两个奇异性均消失， z 故在凸点的应力不存在奇异性。当万一口小于o 2 8 4 9 z 时，会出现比对称奇异性 1 弱的反对称奇异性。当口= 刀时，反对称奇异性与对称奇异性相同，均为；的 ， 奇异性。由以上分析可知，如构件中存在凹部，若不将其钝角化，则会产生非常 严重的应力集中，成为构件断裂的起点。 1 0 固有值 0 0 2 8 4 9 f 如9 0 8 5 、l f0 5 4 4 5 n 4 2 图2 2 缺口部的特征值 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 2 2 界面模型 对于绝大多数异材往往由于分子扩散等原因，在其结合部表现出存在一 个复杂的中间层。也就是说，异材的结合部实际上不是一个面或者线，而是一个 空间的一个区域，在这个区域内物性极为复杂。在力学分析中，要完全模拟这样 的结合部，是一个十分复杂的问题。因此，把这一复杂的结合部模型简化为一个 面，这个面就是界面。在界面的两侧，材料物性般是不同。对结合部作这样的 模型化处理，当然会和实际情况有所出入，但是如果我们以界面模型来建立异材 的强度评价方法，则是在通过实验求取界面强度值时，显然复杂的结合部的影响 就被包含在内了。因此，我们可以利用对应于界面模型的界面强度概念，来考虑 结合部的影响，而在力学分析中就将其作为简单的界面。 将结合部理想化处理成界面后，根据结合形式的不同，可以分成三种类型的 界面。 一、完全结合界面 所谓完全结合界面，即界面上没有任何缺陷，位移、表面力满足连续条件。 如图2 1 3 ( a ) 所示的界面，有 ”鼢= 眨z ， 一般，仃，。盯这称为界面上的应力不连续性。但盯。盯，：并不是独立的， 在界面上，有 岛1 = t 2 ( 2 2 2 ) 将胡克定律代入( 2 2 2 ) 武，得 盯，2 = e 2 盯，l e l + ( v 2 一e 2 v t 三1 ) 盯， ( 平面应力) ( 2 2 3 ) = 鲁毒叫去一锗等卜c 平醯变， z 卅 在界面上的应变，除了( 2 2 2 ) 式的连续条件之外，般还有 占，l 8 y 2y 掣】，掣2 ( 2 2 5 ) 式( 2 2 5 ) 称为界面上的应变不连续性。对于三维问题，同样可以从界面上的连 续条件 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 玩= 舀2 ，丘= o 0 n ? = 一只= ( 7 0 n ：2 ( 2 2 - 6 ) 进行类似的讨论。 二、剥离界面 即在界面表面上有两材料相互脱开的部位，在此部位两材料没有相互约束， 一般可以认为在脱开部位表面力自由( 图2 3 ) ，即： 盯= f 纠l = 0 ，盯，2 = r 母2 = 0 ( 2 27 ) 剥离界面可以起因于异材制造过程中的缺陷，也可以由完全结合界面发生剥离破 坏得到，它一般总是与界面裂纹联系在一起。 三、滑移界面 剥离界面上虽然两材料没有结合起来，但仍然接触在一起的情况，如图 ( 2 3 ( c ) ) 所示。在这样的界面上，有 盯y = o y l = 盯y 2 o ， x y l = f 掣2s 巳 f 2 2 8 1 “l “2 ，v l = v 2 式中厂为摩擦系数，理论上剪应力处于o u g ，之间，是一个不定值，但在实际 分析时，为了简化计算，一般取剪应力为- 厂氐。这种界面也可以称为摩擦界面 当不计摩擦时，一般称为光滑接触界面。 剥离界面及滑移界面，也常通称为非完全结合界面。 ( a ) 完全结合界面( b ) 剥离界面 ( c ) 滑移界面 图2 3 ：界面模型 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 2 3 二维d u n d e r s 异材参数 图2 4由两种材料组成的结合材料 工程中应用的最多的是如图2 4 所示，由两种各向同性材料组成的结合材料。 所以目前研究的最多的也是这种结合材料。两种材料共有四个弹性常数，即杨氏 弹性模量或剪切弹性模量和泊松比。但它们对异材弹性性能的影响并不是完全独 立的。在平面问题时，d u n d e r s 4 8 发现，可用以下两个组合参数来描述异材的弹 性性能： 口= 繁酱1 篇高1 ，e = 案k 暑1 等端1 眨z - 。 1 ( 2 + ) + 2 ( _ i c l + ) 。 肛1 ( 2 + ) + l 2 ( k 】+ ) 其中 k = 3 4 v 盯= ( 3 一v ) ( 1 + v ) ( 平面应变) ( 平面应力) ( 2 2 2 ) 这里下标1 、2 对应于材料一、二。如果交换材料一、二，则仪、8 符号相反。 还必须注意，有些文献所用的定义与( 2 2 1 ) 式相差一个负号。由( 2 2 1 ) 式可 分析d u n d e r s 参数的取值范围。 显然：h 1 ，吲o 5 ( 2 2 3 ) 1 2 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 但上述值域是0 l 、d 单独取值时的情况。如果考虑两者取极限值时的关系， 即在( 2 2 1 ) 式中消去：，可得： 口：a 一旦+ 生 ( 2 2 4 ) r ，+ 1盯+ 1 即 旦一! ! 竺2 1 2 。! ! 二竺! ! 1 2 4 ( 1 一v 2 ) 4 ( 1 一v 】) 口一半( 1 + v 2 ) + 丁1 - a ( 1 + v 1 ) 在平面应变情况下，有 望：! 二竺：0 a v 】4 ( 1 一v 1 ) 。 望：一! 竺= 0 a v 24 ( 1 一v 2 ) 2 加p f “拥5 加加 ( 2 25 ) o rp l d ns 护e s s ( 2 2 6 ) 故p 关于v ，为单调增函数，关于v ：为单调减函数。所以，当考虑0 v 0 5 时 有： 月：竺一! ! 二堕：! + ! ! 二型! 堕：兰+ 三 o “ 2 4 ( 1 0 1 。4 ( 1 一o 5 1 44 厅：旦一! ! 竺2 ：! + ! ! 二竺2 ：! ：竺一土 “ 2 4 ( 1 一o 5 14 ( 1 一o ) 4 4 在平面应力的情况下，同样的方法可以得到： ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ，一8，一8 + 一 口 岱 3 8 3 8 = = k 几 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 平面应力 05 二j 万 平面应变 ，一，一飞 m t 孑 、 f ? ，- 7 一 鹾 ：一。一 一。5 图2 5d u n d e r s 参数的取值范围 因而，d u n d e r s 参数的值域如图2 4 所示。实际的异材参数，大多数在p = 0 2 0 ： 2 4 界面端二维应力奇异性 图2 6 二维界面端模型 对于理想结合的双材料的最为一般的界面端模型如图2 6 所示。则界面上 的连续条件为 “ = “，”b = ”岛，= ，7 吗= r ，b 在臼= 0 处 ( 231 ) 自由表面处有 矜 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) = 。嗍= 0 在护= 岛处 仃b = f ，如= 0在占= 0 2 处 取g o u r s a t 的应力函数为： 译i = a j z j + b j z j n i 。c i z 七d p 这里j = 1 、2 对应于材料一、二。则由平面问题的应力函数性质可得 。白+ 打崎= 妇j l 2 e ；( x - i ) 。+ e 扩n 叫。+ l ，m e 1 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) + 扫j 静p 棚。州，k 叫。1 ) e + d j x e 哪) 。p 2 h ，( “。+ f v 目) = k j 4 ，e 啦山。一亏沁叫“珀一巧e 叫“) 8 。 + k 。e 。瓶川。互k 1 轴) e q e 叫_ + 1 ) 。 i ( 2 34 ) 由边界条件( 2 31 ) 式和( 2 , 3 2 ) 式，可得： 卅，2 e ( 2 1 ) 8 + 直p 一叫一1 ) 8 + c 1 e 1 ) 日= 0 爿，血( 。一1 地+ 瓦8 1 ( 。一1 ) 0 2 + c ，e 1 ( 1 州) e 2 = 0 b ，厄1 埔+ 五p 一删一1 ) 毋+ d 1 p 7 ) 皇= 0 b 死( 1 1 ) 0 2 + 夏p 一1 ( 1 1 ) 岛+ d ，e ( 2 “) a 2 = 0 a 1 a + b 1 + c j = a 2 旯+ b 2 + c 2 b t a + 彳i + d 1 = b 2 a + 爿2 + d 2 r ( r l a l 一b l d 1 ) = r 2 a 2 一b 2 五一d 2 r ( r 1 8 1 一a l 五一c 1 ) r 2 最一a 2 五一c 2 ( 2 3 5 ) 这里，r = 钐，。k 的表达式见( 2 2 2 ) 式。从( 2 3 5 ) 式的前四式求得 q 、q 并代入到第5 、第6 式，可得 式中 爿2 = 4 e + b ，五l b 2 = a 。e + 尽只j ( 2 3 6 ) 堕塑二奎塑兰堂垡堡塞! ! ! ! 型 其中 f = = = 型( 垄! ! ! 丝( 九e 。) 一九2 m ( 0 ：) ( e 。) 4 k ( 九，0 2 ) 九型! 堡坐塑12 二型! 塑! 坐( 皇盘 4 k ( x ，0 ：) 丸丝塑22 型蚴二丝! 塾皇立型堕1 4 k ( k ，0 2 ) 只：m ( l o2)n(x01)-)。zm(o,)n(02) 4 k ( 九，9 2 ) m ( x 、= 1 一e 2 “ n ( x 、= 1 一e 一2 “ k ( 九，x ) = s i n2 ( h ) 一好s i n 2 z 将( 2 3 6 ) 式及q 、q 代入到( 2 3 5 ) 式的最后两式，得 ( 23 7 ) ( 2 3 8 ) 娘t + r e2 “7 一k ：e + 九e m ( e ：) - e 2 a o ：置 4 。 + 卜n + n p “1 一k ：五+ 九，：l 肘( e ：) 一p2 “：五溉：0 a + n “一k 。e + l f 4 m ( o ：) 一p 。“：只妇。 + t - r 盯l + f e _ 2 一茁2 f 2 n ( 0 2 ) 一e 2 d 岛，4 海= 0( 2 3 9 ) ( 2 3 9 ) 式为关于4 、瓦的齐次方程，其有非零解的条件为： 4 ( 1 - r ) 2 k ( 丑，岛) 足，岛) + ( f 2 + 1 ) 2 彭( 五，岛) 一4 0 - f ) k ( a ，只) ( 盯2 + 1 ) s i n 2 五岛 + 旷( k j + 1 ) j 2 k ( 九，0 2 ) + 4 厂( 1 一厂) ( k i + 1 ) k f f ，0 2 ) s i l l2 九。 一r ( 盯2 + 1 ) ( r 1 + 1 ) 【k ( 五，岛) + 足( 五，0 2 ) - k ( a ，0 2 只) 】= 0 ( 2 3 1 0 ) 上式中，两种材料的四个弹性常数的影响比较复杂，为了简化其形式，采用 变量替换，令 a 2k j + 1 厂( k j + 1 ) p = 1 ( 2 1 厂( k l 1 ) ( 2 3 1 1 ) y = k 2 + 1 + ，( k i + 】) j 则d u n d e r s 异材参数即为： 一 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 口= 形p = 由( 2 3 1 1 ) 式可得： k 2 + 1 = ( 口十y ) 2 r ( r l + 1 ) = ( y 一口) 2 1 一f = ( 口。) 2j 将( 2 3 1 3 ) 式代入到( 2 3 1 0 ) 式并在方程两边同除以y 1 ，则得 a p 2 + 2 b 口汐+ c c z2 2 d p 一2 e a + ，= 0 式中 a = 4 k ( 2 ，0 ) k ( 丑，0 2 ) b = 2 s i n 鼠世( 五，岛) + 2 2 2s i n 岛k ( 2 ，舅) c = 4 2 2 ( 丑2 - 1 ) s i n2 最s i n2 0 2 + k ( 五，岛+ 见 d = 2 s i n2 幺s i n2 ( - z 0 2 ) 一s i n2 以s i n2 ( 五b e = 一d + k ( 五，岛) k ( 2 ，岛) f = 足( 五，鼠一吼) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) ( 23 1 5 ) ( 2 3 1 4 ) 实际上是关于九的一个方程，称为异材的特征方程。b o g y 4 3 利用 m e l l i n 变换也求得了相同的结果，但是b o g y 所选取的材料一、二与图2 5 相反， 且e ：的角度是一个正值，故应注意特性方程中0 【、p 的符号及( 2 3 1 5 ) 中0 ，的 符号。 特别值得指出的是，材料“】，) ，“2 ”选取方法相反时，c c 、b 符号相反，这一 点往往是实际分析中容易忽路，但又是十分重要不可混淆，在利用这个相关公式 的时候尤其要注意这点。 由( 2 3 1 3 ) 式可知，界面端形状决定以后，九仅是d u n d e r s 异材参数0 【、b 的函数。又由( 2 3 4 ) 式、( 2 3 5 ) 式可知，在界面端附近占支配地位的项，是 对应于0 r e 五 1 的项。故在求解( 2 3 1 4 ) 式时，可只考虑上述范围的解。( 2 3 1 4 ) 的根可为实数，也可为复数，在上述范围内最多时可以有四个根。当九为实数时， 可以利用二分法解( 2 3 1 4 ) 式，即先将( o ，1 ) 分成 等份，计算方程左边的值， 找出根的存在区间，然后以二分法找出满足精度要求的根。当九为复数时，即 九= 川时，解法比较复杂，须对e 、1 1 两个未知数同时进行二分法求解。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 在求得了九值后，代入( 2 3 5 ) ，( 2 _ 3 6 ) 和( 2 3 8 ) 三式，可以将彳2 ，b j ，q ，d j 都用a 。来表示，而a 。则必须根据受载情况来决定。于是可以求得界面附近的一 般解，即 吒( 秒) = ( e ) i r l 。2 “。( 0 ) = f ( o ) r 3 ( 2 3 1 6 ) 当( 2 3 1 4 ) 式中不存在满足( 2 31 6 ) 式的解时，则在界面端不产生应力奇 异性。通常将不产生应力奇异性的条件，成为应力奇异性消失条件( 没有界面端 应力奇异性的材料组合，常称为g o o dp a i r ，反之，称为b a dp a i r ) 。 当0 = 一0 ，时，( 2 3 1 4 ) 式变为 彳2 + 2 b 筇+ c a 2 + f = 0( 2 31 7 ) 特别当0 。= 一0 ：= 昙时，b o g y 4 3 求得的解如图2 6 所示。图中旯= 1 一丑为应 上 力奇异性指数。可以证明，当 口( 口一2 p ) s0( 2 3 1 8 ) 时，即图2 7 中阴影部分的材料组合，应力奇异性消失。在异材设计中，选择奇 异性消失的材料组合，有助于大大提高材料的强度。 ”= 。1一：” b 。 i ( 10 ，05 ) 怒击鬃 ； 篓爹 躐毒 、持o 、”：0 0 图2 7 直角结合异材的界面端应力奇异性指数”= l 一九 当e 。= - 0 2 = 7 【时，界面端变成界面裂纹问题。( 2 3 1 7 ) 式可以进一步简化 浙、江奎堂堡主堂垡堡奎! ! ! 望! 一 为 s i n2 ( 五万) 2 + c o s2 ( 万) = 0 ( 2 3 1 9 ) 其显式解为 旯= 丢千砉鼬。= 吉千铲i 坐1 - , 8 = 圭挑 眨3 _ 2 0 ) 这里 ：土l n 业 ( 2 3 2 1 ) 2 7 【 1 + 1 3 称为双材料常数。它只与d u n d e r s 异材参数中的p 有关。由于吲0 , 5 ，所以： h 一1 1 n 3 兰0 1 7 5 ( 2 3 2 2 ) 因为是特征方程根的虚部，它实际上与振荡应力奇异性有关，故有时也称 其为振荡因子。以上讨论表明，界面裂纹可作为界面端的特殊情况处理，界面裂 纹裂尖附近的应力场，可由界面端应力奇异场的特例得到。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 第三章轴对称界面端的应力奇异性分析”4 3 1 引言 双材料圆柱形界面裂纹和轴对称界面端的轴对称变形问题在工程中是广泛存 在的，如图3 1 所示，因此，对圆柱形界面裂纹和轴对称界面端在轴对称变形下的 应力奇异性及其附近的奇异应力场的研究具有理论和实际意义。到目前为止，主 要对圆柱形界面裂纹和特殊几何的轴对称界面端进行了研究。例如，g r d o g a n 和 o z b e k “，o z b e k n 1 g r d o g a n 2 1 ，k a s a n o ，m a t s u m o t o 茅b n a k a h a r a 3 , 4 】， t o u 6 1 ，z b i b f 7 1 ， 戴瑛，嵇醒和石j i l 晴雄【5 】，王清，嵇醒和王远功8 1 等人先后研究了圆柱形界面裂 纹问题；蟾a r w a l g j o ，t s u j i 、s h i b u y a 茅j k o i z u m i 1 2 i ，n o d a 和t s u j i 1 3 】贝0 分析了轴 对称界面端问题，他们都得到了应力奇异性与平面应变问题相应模型一致的结 果。 由于纤维与基体的界面对纤维增强复合材料的破坏具有很大的影响，因此， 对纤维增强复合材料的界面性能做了许多理论与实验研究，纤维与基体的界面强 度通常采用纤维拔出、压入、压出和微粘结等实验方法测定，其中微粘结实验是 一种简便且纤维的拔出成功率较高的实验方法，但其实验结果的分散性较大。为 此，嵇醒教授的研究小组进行了大量的研究，并利用边界元法对微粘结实验的影 响因素进行了数值分析垆1 ，他们的研究报告表明，实验中每组试件的基体形状难 以保证相同，是实验结果分散性较大的主要因素，即与试件的纤维与基体的轴对 称界面端形状有关。为了弄清纤维增强复合材料的破坏原因，对上述实验结果进 行更精确的分析，必须对纤维与基体的轴对称界面端的应力奇异性及其附近的奇 异应力场进行理论研究。然而，到目前为止，还没有对具有任意结合角和界面角 的轴对称界面端( 图3 2 ) 的应力奇异性及其附近的奇异应力场的理论分析结果。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 2 ) 3 2 分析模型 本章对具有任意界面角和结合角的空间轴对称界面端的一般模型( 图3 1 ) 进行 了理论分析，给出了该模型界面端0 的应力奇异性特征方程以及界面端0 附近 的位移场和奇异应力场，并且应用有限元程序对纤维拔出模型的轴对称界面端的 应力奇异性次数进行了数值求解，数值结果与理论结果吻合，表明理论分析是正 确的。通过选择适当的界面角岛、结合角岛和岛以及材料，图3 1 所示的轴对称界 面端一般模型在复合材料中具有广泛的应用，如图3 2 所示： 陋) 纤维拔出界面端模型：岛= 0 ，q = 石，岛= 詈； 仿j 微粘结界面端模型：6 6