（应用数学专业论文）基于小波变换的自适应图像去噪算法.pdf

摘要 这篇学位论文给出一种小波图像去噪过程中分解层数的确定方法，并给出了 两种图像去噪的新算法它由五章组成 第一章简述小波图像去噪的基本问题、研究现状和研究方向 第二章总结说明小波、多尺度分析与图像去噪之间的内在联系 第三章是本文的主要内容之一它给出一种图像去噪过程中小波分解层数的 确定方法，并用理论分析及仿真实验说明了其有效可行性 第四章是论文的另一重要内容它讨论两种基于小波变换的信噪分离特性及 零树编码思想的图像去噪新算法，并用仿真实验验证了这两种算法的有效性和可 行性 第五章总结了全文，并给出将来可研究的一些问题 关键词：多尺度分析，小波变换，图像去噪 a b s 的c t t h et h e s i sp r e s e n t san e wd e t c 髓i n a t i o ni n e 也o do ft h ed e c o m p o s i t i o no i d e ri i l d e n o i s i n gm e t b o db a s e do n 、】v a v e l e tt r a j l s f o 衄，a n dg i v e st w ok i n d so fn c w 岫a g e d e n o s i n gm 吼h o d s i tc o n s i 啦o ff i v ec h 印t e 晤 c h a p t c r ls u m m a r i z e st h eb 越i cp m b i e m ，t h er e s e a r c ha c t u a l i 哆锄dt h ef 【l t u r e r e s e a r c hd i r e c t i o n so f l ew a v e l 吐i m a g ed e n o i s i n g c h 印t e r2g i v e sas u m m a r ye x p l a i n a t i o no fw a v e l e t 砸m s f o m ，m u l t i r e s 0 1 u t i o n a n a l y s i sa i l dw a v e l e ti m a g ed e n o i s i i i g c h a p t e r3i so n eo f 也ei m p o r t a n tc o n t e n t so ft l l et h e s i s d u r i n gi m a g ed e n o s i n g m e t h o d s ，an e wd e t e 皿i n a t i o nr r l e m o do fd e c o m p o s i t i o no r d e ri sp r e s e n t e d ，a n dt h e s i m u l a t i o ne x p e r i m e m sa n dm e o r e t i ca i l a l y s i ss h o wt h a tt l i em e t h o di se 跪c t i v e c h 印t e r4i sm eo t h e ri r n p o r t a n tc o n t e n to f t h et h e s i s t 、v ok i n d so fn e wi m a g e d e n o i s i n gm e t h o d sa f ed i s c u s s e da c c o r d i n gt om ei d e a so fe m b e d d e dz e r o t r e ew a v e l e t ( e z w )e n c o d e ra n ds 印狮t e c h a r a c t e ro fs i g n a l sa n dn o i s t h es i m u l a t i o n e x p e r i m e n t si l i u m i r l a t et 蚍也em e 也o di se 行e c t i v ea n df e a s i b l e f i n a i l y ，t h ec o n c l u s i o n s 柚ds o m em t u r er e s e a r c hp r o b l e m s a r eg i v e ni nc h a p t e r5 k e y w o r d s ：m m t i r c s o l u t i o na r m i y s i s ( m r a ) ，w a v e i c t 扛a n s f o m ，i m a g ed e n o i s i n g y 9 1 1 1 3 f j 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位口博士学位口中请。本人郑重 声明：所呈交的学位论文是本人独立完成的，对所研究的课题有 新的见解口创造性的见解口。据我所知，除文中加以说明、标注 论文的要求，印珂南大学有积向癣察霹书馆、穗衡信息机构、数 据收集机构和本校码弗馆等磋拱学位论文。霹裁质文本乖电子文 本) 以供公众检素、奎阅：漆恭援撅湃询大学出于宣扬、展览学 校学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩印、扫描 和拷贝等复制手段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名：宋务砺 k ( 年6a 乏b 茬耄：请在相应的一口，内划* 一。 第一章绪论 1 1 引言 一般来说，现实中的图像都是带噪图像，所以为了后续更高层次的处理，很 有必要对i 蛩像进行去噪本章首先阐述小波图像去噪的基本问题、研究现状，概括 目前小波图像去噪的主要方法及应用，然后对小波图像去噪方法的发展和应用进 行展望，最后给出本论文的主要工作 1 2 小波图像去噪的基本问题、研究现状 图像去噪是一个古老的课题，人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特性 和频谱分布的规律，发展了各式各样的去噪方法，其中最为直观的方法是根据噪 声能量一般集中于高频，而图像频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低 通滤波方式来进行去噪的方法，例如滑动平均窗滤波器、w i e n e r 线性滤噪器等 其它的去噪方法还有基于秩2 阶滤波的方法，基于马尔可夫场模型和基于偏微方程 方法和l p 正则化方法等 近年来，小波理论得到了迅速发展，而且由于其具备良好的时频特性，因而 实际应用非常广泛在图像去噪领域中，小波理论也同样受到了许多学者的重视， 他们应用小波进行去噪，获得了非常好的效果具体来说，小波去噪方法的成功主 要得益于小波变换具有如下特点：( 1 ) 低熵性小波系数的稀疏分布，使得图像变换 后的熵降低：( 2 ) 多分辨率由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画 信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等；( 3 ) 去相关性因为小波变换可以对 信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪； ( 4 ) 选基灵活性由于小波变换可以灵活选择变换基，所以对不同应用场合，对不 同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳效果 1 小波去噪问题描述 从数学上看，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母 函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最 佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分由此可见，小波去噪方法也就是寻找从 实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复 从信号分析的角度看，小波去噪是一个信号滤波问题，而且尽管在很大程度 上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征， 所以在这一点上又优于传统的低通滤波器所以，小波去噪实际上是特征提取和低 通滤波功能的综合 在早期，人们通过对边缘进行某些处理，以缓解低通滤波产生的边缘模糊， 在这一点它们同小波去噪很相似但是小波变换能够很好地保留边缘( 这是因为小 波变换的多分辨率特性) ，小波变换后，由于对应图像特征( 边缘等) 处的系数幅值 较大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护相对于 早期的方法，小波去噪对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的， 因而更利于理论分析 2 小波去噪的发展历程 1 9 9 2 年，d o n o h o 和j o h ns t o n e 提出了小波闽值萎缩方法( w a v e s h r i n k ) ，还给 出了r = 盯2 1 n ( ) 的闽值，并从渐进意义上证明了w a v e s h r i n k 的最优性与此同 时，k r i m 等人运用r i s s a n e n 的m d l ( m i n i m u i i ld e s c r i p t i o nl e n g t h ) 准则，也得到 了相同的阈值公式此后小波阈值萎缩方法被用到各种去噪中，并取得了很大的成 功，对高斯噪声尤其如此但是d o n o h o 和j o h ns t o n e 给出的通用阈值，由于有很严 重的“过扼杀”小波系数的倾向，因此人们纷纷对阈值的选择进行研究，并提出 了多种不同的阈值确定方法后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究， 并给出了不同的阈值函数，但是当这些方法用到非高斯、有色噪声场合中，效果 却不甚理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立同分布噪声( i i d ) 的假设， 并且这些方法大多是从d o n o h o 和j o h ns t o n e 给出的方法发展而来的，从而它们最 后的去噪性能也依赖于用w a v e s h r i n k 确定闽值时，对噪声服从独立正态分布的假 设因此，人们提出了具有尺度适应性的阈值选取法，用来解决正态分布有色噪声 的小波去噪问题而另外一些学者则研究了在比白噪声更重尾的噪声情况下的小 波去噪问题，并给出了显式的阈值公式目前，基于阈值萎缩的小波去噪方法的研 究仍然非常活跃，近来仍不断有新的方法出现，而且，人们的研究方向已经转为 如何最大限度地获得信号的先验信息，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值 向量，以达到更高的去嗓效率另外，除了阈值萎缩方法外，k i v a n c ，j o h n 和x u 等人还提出了不同的去噪方法，例如利用l i p s c h i t z 指数的方法和基于最大后验概 率m a p 的比例萎缩法等这些都丰富了小波去噪的内容 3 小波去噪方法的分类 小波去噪方法，大体可以分成小波萎缩法、投影方法、相关方法三类 3 1 小波萎缩法 小波萎缩法是目前研究最为广泛的方法小波萎缩法又分成两类：第一类是闽 值萎缩由于阈值萎缩主要基于如下事实，即比较大的小波系数一般都是以实际信 号为主，而比较小的系数则很大程度是噪声，因此可通过设定合适的阈值，首先 将小于阈值的系数置零，而保留大于闽值的小波系数：然后经过闽值函数映射得 到估计系数：最后对估计系数进行逆变换，就可以实现去噪和重建而另外一类萎 缩方法则不同，它是通过判断系数被噪声污染的程度，并为这种程度引入各种度 量方法( 例如概率和隶属度等) ，进而确定萎缩的比例，所以这种萎缩方法又被称 为比例萎缩 3 2 投影方法 投影方法的原理就在于将带噪信号以一种迭代的方式，投影到逐步缩小的空 间由于最后的空间能更好地体现原信号的特点，所以投影法也能够有效地区分噪 声和信号 3 3 相关方法 相关方法主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之间往往具有很强的 相关性，而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点来进行去噪的 4 小波去噪中的小波系数模型 在小波去噪中，小波系数模型非常重要只有在成功的小波系数模型上，才可 能提出成功的小波去噪方案小波系数模型，主要分为层间模型、层内模型和混合 模型，其中层间模型主要是考虑尺度系数之间关系的模型，层内模型主要考虑层 内系数的统计分布，以及相邻系数之间的关系，而混合模型是综合考虑了层间和 层内小波系数关系的模型 4 1 层内模型 目前最经常使用的层内系数模型是广义高斯分布模型，这是对自然图像在同 一层内的小波系数分布进行统计得到的规律，l a p l a c e 分布和高斯分布是它的两个 特例h a n s e n 等人利用与自然信号对应的小波系数近似地服从l a p l a c e 分布的特 点，在小波系数是独立同分布的假设下，得到了利用带噪声信号小波系数来估计 原信号的公式，并用于去噪，收到了非常好的效果稍微复杂些的模型，则将信号 小波系数看成是独立，但非同分布的事实上，由于小波系数的去相关作用，相邻 小波系数之间并无明显的关系，但是小波系数的绝对值和平方值确是符合m a r k o v 场的分布m i h c a k 等人由此提出小波系数的层内混合模型，此模型中，原信号小波 系数被看作是一个双随机过程，其方差局部高度相关，但在给定方差时，则成为 相互独立且均值为零的高斯分布；而c h a n g 等人则打破空间位置的局限，从小波 系数值邻域来考察方差的相关性，从而得到了具有很强局部适应性的闽值萎缩法 4 2 层间模型 层间模型描述的是跨尺度小波系数之间的关系较早但相对粗糙的模型是由 s h a p i r o 提出，以这种模型为基础的零树编码方法已经在图像编码中得到了广泛应 用这种模型的主要特点是认定低尺度中较小的小波系数其子孙很有可能也较 小b a r a n i u k 等人则通过隐式马氏链的转移矩阵将这中关系量化起来在小波去噪 中，这个特征可以用来区分图像边缘和由噪声引起的伪边缘 4 3 混合模型 混合模型综合了上述两种模型它既考虑了层间系数之间的相关性，又顾及了 层内系数的关系由于小波系数层实际上对应一个尺度，所以这种模型也被称为空 间一尺度混合模型l i u 等人通过规定一个阚值t ，并将大于t 的系数称为重要的， 4 由此根据其父亲是否重要将小波系数分成瓯。和g 。两类，并假定g 。服从指数分 布，g 。则服从方差局部高度相关的高斯分布，最后得到新的混合模型其与隐式 马氏树模型相比，新模型考虑了层内系数之间的关系；而与层内模型相比，则能 更好揭示图像特征在跨尺度下的行为 另外，b a r a n i u k 等人将小波系数分成几种状态( 如小和大) ，并通过考察小波 系数状态在层内和层间的变化，提出了独立状态模型、隐马氏链模型和隐马氏树 模型( 删t ) 三种模型并统称为小波马尔可夫模型前两者实际上属于层内模型， 而后一种则属于层间模型 5 各种小波变换在小波去噪中的应用 小波闽值去噪法虽然表现了非常好的噪声和信号区分能力，但是由于缺乏平 移不变性，因此使得最后得到的去噪版本出现失真，主要体现为振铃效应和伪 g i b b s 效应为此，d o n o h o 和c o i f m a n 通过一种循环平移的方法，提出了平移不变 小波变换，很好地解决了这个问题，从而使得t i 小波去噪方法得到了很多应用 另外，使用t i 小波变换还有一个优点，就是小波系数的个数不会随着层数衰减， 从而能够保持某些去噪方法的渐进特性，例如用g c v 准则确定的闽值不会过度偏 离理想阈值 6 小波去噪同图像压缩的关系 从某种意义上说，小波去噪是一种在分析层次上的图像压缩，只不过小波去 噪更多考虑的是，在保留信号主要特征的基础上，如何滤去噪声，而图像压缩考 虑的是如何在追求更高压缩比时，减少量化噪声由于两者效率的提高，都有懒于 对信号小波系数的正确建模，因此两者有许多共同之处而如今己有许多小波去噪 方法是从小波编码方法中得到启发的，例如e q 编码，上下文模型和零树编码等 另外一些学者则通过引入信息论中的m d l 准则，将去噪、压缩两者的目标结合起 来，其中以h a n s e n 等人的研究结果尤其吸引人，该方法既大幅度地压缩了信号， 又具有很好的去噪效果 从某种意义上来说，去噪成功与否，有时要受制于信号和噪声的相似程度如 e 果信号具有同某种噪声极为相似的特征，那么小波变换将无法或很难区分信号空 间和噪声空间，而且对这种噪声的去噪效果也不会很好 1 3 小波图像去噪的研究方向 尽管小波去噪方法现在已经成为去噪和图像恢复的重要分支和主要研究方 向，但在另类噪声分布( 非高斯分布) 下的去噪研究还不够目前国际上开始将注 意力投向这一领域，其中非高斯噪声的分布模型、高斯假设下的小波去噪方法在 非高斯噪声下如何进行相应的拓展，是主要的研究方向未来这一领域的成果将大 大丰富小波去噪的内容 从层内模型到层间模型，甚至混合模型，小波系数模型的精细带来了去噪效 果的改善可以说，小波去噪的成功与否，就在于人们得到先验知识的能力和利用 这些知识进行准确建模的能力，所以未来小波去噪方法的进一步发展，还有赖于 新的更为准确的模型的提出 另外，从数学上讲，由于小波去噪方法也是一个模型定阶问题，所以模型定 阶问题的任何进展也将会推动小波去噪方法向前发展这个问题的研究方向有m d l 准则、删l m i n i m u mm e s s a g el e n g t h ) 准则以及b a y e s 方法等不过p a u l 等人指出 在一定条件下，这几种准则或方法都选取同样的模型，所以人们可以选择在难度 相对较小的准则下，对这一问题进行研究 另外，目前小波去噪方法所取得的成功不仅将大大拓宽小波去噪方法的应用 领域，而且在推动这些领域研究发展的同时，必将从这些领域的应用中反馈新的 问题，从而会进一步丰富小波去噪的内容和推动小波去噪的发展 1 4 本文的主要工作 本学位论文内容由三部分组成第一部分是第二章，阐述了小波基本理论，小 波阈值去噪以及零树编码思想之间的关系：第二部分是第三章，给出了一种小波 去噪过程中分解层数的确定方法，并用仿真实验说明了其重要性及有效性：第三 部分是第四章，给出了两种小波去噪算法，即在文献 2 的基础上，进一步讨论了 小波阈值去噪算法 6 分别简述第三章和第四章的主要内容如下： 第三章详细给出了一种小波分解层数的确定方法试验论证了小波分解层数 在去噪算法中是非常重要的，并用大量的仿真实验说明了其有效性，但在理论上 没有给出证明，所以还需要在理论上给出证明 在第四章中，结合零树编码思想及小波变换的信噪分离特性首先对图像进行 去除极大值噪声处理，在此基础上分别对剩余小波系数进行迭代阈值处理、不同 方向不同分解层的多闽值处理，给出了两种新的去噪算法，并用仿真试验表明了 这两种方法的有效可行性 第二章小波分析理论与图像处理 2 1 引言 如何消除图像中的噪声是图像处理中较老的课题长期以来，人们根据图像的 特点、噪声的统计特性和频谱分布规律，提出和发展了不同的去噪方法图像去噪 存在一个如何兼顾降低图像噪声和保留细节的难题用滤波器对非平稳信号处理 时不能有效地将信号高频和由噪声引起的高频干扰加以区分 具有“数字显微镜”之称的小波变换在时频域具有多分辨率的特性，可同时 进行时频域的局部分析和灵活地对信号局部奇异特征进行提取以及时变滤波利 用小波对含噪信号进行处理时，可有效地达到滤去噪声和保留信号高频信息，得 到对原信号的最佳恢复目前，小波图像去噪方法已成为去噪的一个主要研究方向 在过去的十多年中小波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注 本章给出了在小波去噪过程中用到的理论知识及本论文主要工作的理论基础 2 2 多尺度分析( m r a ) 与m a i l a t 算法 2 2 1 多尺度分析( m r a ) s m a l l a t 于1 9 8 7 年将计算机视觉领域的多尺度( 多分辨) 分析法引入到小波 分析中，并形成了具体的算法，即“m a l l a t 分解与重构算法”m a l l a t 分解与重构 算法在小波分析中的地位相当于快速f o 耐e r 变换( f a s tf o 砸e rt r a l l s f o m ，简称 f f t ) 在经典f o 面e r 分析中的地位m r a 是构造小波的通用方法，而且大多数的 小波都来自m r a 下面给出m r a 的定义 定义2 l 假设 _ 。是r ( r ) 中的一列闭子空间如果满足如下条件： ( 1 ) 单调性c 眨l c c k c ， ( 2 ) 稠密性u 一= r ( r ) ， ，e z 。 ( 3 ) 互斥性n f = o ， j e z 。 ( 4 ) 伸缩性厂( ) jj r ( 2 ，) ， 8 ( 5 ) 存在( z ) 使得p ( - 一月) k z 构成k 上的一个标准正交基，那么称 ( 巧 脚为r ( 冠) 的一个正交多尺度分析，多称为尺度函数，整个简记为m r a ( ) 形像地，可用如下树形结构表示( 以2 抽取为例) ： 图2 1m r a 分解过程 图2 2m r a 重构过程 2 2 2m a i i a t 算法 在m r a 的理论框架下，m a l l a t 设计了正交小波分解和重构算法一m a l l a t 算法 通过它可以实现信号多分辨分解的快速算法 设函数，( x ) r ，它在一中的投影为 ( x ) = q 。力，。( x ) ， ( 2 1 ) 这里吁- ：p ( x ) 力，。( x ) 出，力，。( z ) ：2 j 妒( 2 ，x 一七) ，_ ，七z 类似地，厂( x ) 在哆中 的投影为 w ( x ) = 岛。( x ) ， ( 2 _ 2 ) 这里只。= p ( x 渺肚( z 坶，为l 在巧+ 中的正交补，渺( - 一玎) h z 为的标 准正交基从而，( 工) 有如下分解 ，( x ) = ( 曲+ 圭w f ( 工) ， 此时称z ( x ) 为函数，( x ) 在空间一上的线性逼近为了计算各个尺度上的尺度系数 哆- 以及小波系数肛。，有如下快速小波算法( m a l l a t 算法) 口肚= ( 册一2 七) 口川。， 只。= g ( 棚一2 七) q 。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中 ( t ) 。为低通滤波器系数， g ( ) 。为高通滤波器系数相应的完全重构表达 式为 口似= 厅( 七一2 用) 口，t l ，+ g ( 七一2 用) 矽扎。 ( 2 6 ) m 2 啕m 2 综上，对连续函数的情形给出了尺度系数、小波系数的计算公式以及其线 性逼近的定义现实中，遇到更多的是离散情形在离散情形下，函数厂( x ) 被看作 在某一细尺度上的平滑系数，即尺度系数定义如下两个矩阵 日= g = 啊 一 啊一 g o g 、 g | 一1 _ i l i 一 岛虽 g f l i o g o 蜀蜀一l ( 2 7 ) ( 2 8 ) ，l 及向量i = ( ，吁。，q n ：，) 7 和万= ( ，厚，厚坤，j 7 ，则离散型的m a l l a t 算法，即公 式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 分别可改写为 q = h q + ， ( 2 - 9 ) 岛= g 只+ ， ( 2 l o ) 且矩阵和满足正交条件，即 日+ g g = ， ( 2 1 1 ) 相应逆小波变换利用矩阵形式可以表示为 瓦= 日虿+ g 万， ( 2 1 2 ) 在图像处理中，图像是一个能量有限的二维函数_ 厂( 工，y ) f ( r 2 ) 小波变换的 概念可推广到二维空间对于可分离的f ( r2 ) 多分辨率空问，尺度函数变为： 妒( x ，y ) = ( 工) 妒( j ，) ( 2 1 3 ) 此时，矢量空间眵分解成三个正交矢量子空间，。，。，它们分别对应二 维平面的三个方向：水平、垂直和4 5 。或1 3 5 。方向三个方向的二维小波函数为 y ( x ，y ) = 妒( z ) p ( y ) ， ( 2 1 4 ) 伊2 ( x ，) = y ( x ) 妒( y ) ， ( 2 1 5 ) ( x ，y ) = 妒( x ) ( y ) ， ( 2 1 6 ) 多分辨率小波变换可以把图像分解到更低分辨率水平上，这一级的子图像由 低频的轮廓信息和原信号在水平、垂直和对角线方向高频部分的细节信息组成每 一次分解均使得图像的分辨率变为原信号的l 2 对于二维离散小波变换，其分解 公式为 4 ，( 墨y ) = ( ，( x ，y ) ，2 一( 2 一。x 一一) 矿( 2 一y m ) ) ， ( 2 1 7 ) 巧1 ，( 工，y ) = ( ，( x ，_ y ) ，2 一。( 2 一x 一一) y ( 2 一。y 一用) ) ， ( 2 1 8 ) 巧2 厂( 工，y ) = ( ，( 工，y ) ，2 7 p ( 2 一工一，) 妒( 2 一。y m ) ) ， ( 2 1 9 ) d j 砷，( x ，j ，) = ( ，( x ，j ，) ，2 一。i ；f ，( 2 一。x 一九) y ( 2 一y 一所) ) ， ( 2 2 0 ) 其中h 和g 分别为一维的低通滤波器和高通滤波器，+ 为原始图像，4 ，为 低一级分辨率的低频轮廓信息，硝? ，为垂直方向的高频信息，d 5 ，厂为水平方向 的高频细节信息，碰；，为对角线方向的高频细节信息 经过二维小波变换，可以将原图像逐级分离成具有不同尺度的子图像原图像 经小波变换后生成四个分量部分：低频分量l l ，保留了原图的大部分信息；高频 分量l h 、h l 、h h 均包含了边缘、区域轮廓等细节信息此时还可以对l l 进行第 ，级小波分解，以得到2 - 分辨率下的图像表示实际图像的二级小波分解见图2 3 ， 左图为一层小波分解示意图，右图为二层小波分解示意图 址地 w 2 n。 m 。 彬埘删 ( a ) 一层小波分解示意图( b ) 二层小渡分解示意 图2 3 二级小波分解示意图 2 3 小波分析的信噪分离特性 2 3 1 图像和噪声的奇异性分析 定义2 - 2 设疗是一非负整数，h o ) ， 及玎次多项式只( 1 1 ) ，使得对任意的 ，均有 ，( + | 1 1 ) 一只( ) s4 i 广， ( 2 2 1 ) 则说，( 工) 在点而为l i p s c l l i 乜口 如果上式对所有而( 口，6 ) 均成立，且+ ( 口，6 ) ，称厂o ) 在( 口，6 ) 上是一致 l i p s c h i t z 口 显然，( x ) 在点的l i p s c l l i z 口刻画了函数在该点的正则性l i p s c l l i z 口指数 越大，函数越光滑：函数在一点连续、可微，则在该点的l i p s c l l i z 口指数为1 在 一点可导，而导数有界但不连续，l i p s c h i z 口指数仍为1 ；如果，( 工) 在点的 “p s c h i z 口 o 时，小波系数极大值将随尺度口的增大 而增大；当旺 0 时，则随口的增大而减小 信号的突变点在小波域表现为系数幅值的局部极大值点，信号在突变点处的 l i p s c h i t z 指数是f 的，而白噪声分布函数的l i p s c h i t z 指数是负的图像是关于像素 灰度值分布的二维信号，图像的边沿位于灰度变化最大之处，是图像灰度突变点 因此，图像在边沿处具有f 的l i 口s c h 娩指数。同时在上文针对信号分析的结论同 样适用于二维图像，也就是说，图像边沿对应的小波系数极大值随着尺度的增大 而增大，而白噪声对应的小波系数极大值随着尺度的增大而减小，当分解尺度增 大到某个尺度时，绝大部分白噪声对应的小波系数极大值因衰减而消失，由此可 认为，当尺度增大时，如果某些小波系数极大值点的幅值急剧减小或该点消失则 表明对应的奇异性有负的l i p s c i l i 乜指数，这些极大值点几乎受白噪声支配，应被 去除总之，在从低到高的分解尺度中，图像沿在小波域对应的系数极大值具有传 递性，而噪声突变点不具有这种传递性，因而，在大尺度下剩余的极大值主要属 于图像图2 4 给出了带有高斯白噪声信号的小波变换信噪分离特性仿真图 1 4 f a ) 信号及兵小波系数高频系数圈( b ) 加噪信号及j e 小波分解一矗频系数1 璺| 图2 4 小波变换信噪分离特性的仿真图 2 4 嵌入式小波零树编码思想 一幅图像经过小波变换后，由于相同方向上不同分辨率的变换系数仍具有很 强的相关性，因而可利用较粗尺度上的系数来预测较细尺度上的系数s h 印i m 据 此提出了二进制逐渐逼近算法嵌入式小波零树编码算法( e z w ) ，它是一种简 单但非常有效的图像编码算法基本思想是，将小波系数的编码分解为标志系数特 征的系数重要性编码和重要系数的幅度编码e z w 算法的特点是可以产生嵌入式 码流，即比特流按其重要性排序：不需要训练码本，存储点格式码书和图像源的 任何预先知识；按照要求的目标或目标失真的精度下可以随时结束编码，因而它 有很好的发展与应用前景人们基于e z w 算法又提出了一些新的算法，这些算法 的基本思想都是如何更好地利用小波变换后的系数以生成零树，以及如何有效地 ls 降低码率和如何增强图像压缩后恢复图像的视觉效果，提高图像的s n r 值，更有 效地提高重构图像的质量，同时降低码率 2 4 1 嵌入式编码 一幅图像经小波变换后分成若干个级，例如分成了k 级对于同一级图像，低 频子图像l l j 最重要，其次是h l j 与l h j ，高频h h j 不重要对于不同级来说，级 高者重要，级低者不重要所以，子图像按其重要性总体的排序为l l k ，h l k ，h l k ， h m ，h l k 1 ，l m 【1 ，h h k 1 ，h l l ，l h l ，删1 ，如图2 5 所示 2 4 2 小波系数零树编码 基本概念： ( 1 ) 一个小波系数工，对于一个给定的阈值7 ，如果h 7 则称小波系数x 是重 要的：如果h 7 1 ，则称小波系数工是不重要的 ( 2 ) 在粗尺度上的小波系数被称为母体，它是树根；在较细尺度上有类似取向，对 应于相应空间位置的小波系数被称为孩子母体与孩子的关系如图2 6 所示 ( 3 ) 如果一个小波系数关于门限r 是不重要的，而它的孩子也是不重要的，称小波 系数形成了一个零树，这个小波系数是零树根：如果一个小波系数关于阈值丁是不 重要的，但它的孩子中存在着重要系数，则称这个小波系数是孤立零点 豢 眦 ， h l l h h 2 圳唧l 。卜札2争 。品i 眦一 也h 2 需 h l l l 4 ， l h i 圈 图2 5 子带扫描顺序图 图2 6 图像三级小波分解示意图 因此，所有小波系数只是下述三种情形之一：重要系数，零树根，孤 立零为了编码的需要可以将重要系数再分为正重要系数和负重要系数这时四种 类型的符号用两个比特即可表示，如： 1 6 p o s ( 正重要系数) = 1 0 ，n e g ( 负重要系数) = 1 1 ， z t r ( 零树根) = o o ，i z ( 孤立零) = 0 1 对于一个图像的数据流，对系数进行编码时，扫描顺序按图2 5 的“z ”字型 排列，图2 7 给出了重要图的一个系数编码的流程图 输入系数 可预测 的非重 要系数， 不编码 编成正：码编成负码编成孤证零码编戚事树根峭 图2 7 重要系数编码流程图 重要系数的幅度编码采取逐次逼近量化的嵌入式编码，即系数的编码精度逐 次提高，这样可以在任何时候，比如比特率达到某种要求时结束 2 4 3 逐次逼近量化 逐次逼近量化是逐次使用门限序列瓦，巧，瓦一。以决定重要系数，其中门 限序列的选取是i = 一一2 ，而初始门限瓦选择得使对于所有系数_ 有k l 2 瓦为 了方便计算，一般取 瓦= 肘2 6 ，( 2 2 7 ) 其中e 是正数，m 是固定常数 在第。步，由于满足k l o 时，编码是p o s ，这时_ 相当于用 瓦+ 磊2 = 3 m 2 “代替编码后，原数据的剩余值为= _ 一3 m 2 “1 ，它满足关系 h 一3 m 2 。1 | s 瓦2 ( 2 2 8 ) 对于一 0 的重要系数，类似地用n e g 编码，这时_ 相当于用一3 m 2 。1 代替，同样， 编码后在原数据图上的的剩余值为0 = 一+ 3 m 2 “1 ，它也满足式( 2 2 8 ) 经过这样 的编码后，图像分解后得到的数据图( 数据矩阵) ，就等于第o 步编码恢复后的数据 图与第0 步剩余数据图之和对于用p o s 与n e g 编码后的重要系数，经过第o 步编码， 在剩图中原位置上的0 满足关系 川瓦2 = 五 ( 2 2 9 ) 所以，第l 步对剩余图编码时，虽然大多数系数是不重要的，但还是有一些是重要 系数，要用p o s 或n e g 编码为解决以上问题，在第o 步对正重要系数p o s o 及 p o s l x ， 3 m 2 “时，用p o s o 代替_ ，这时x ，相当于用瓦+ 瓦2 一瓦4 = 5 m 2 “ 代替，在x ，3 m 2 ”。时，用p o s l 代替一这时x ，相当于用瓦+ 瓦2 + 瓦4 = 7 m 2 “! 代替，编码后的剩余r 满足 川瓦2 2 = e ( 2 3 0 ) 对于负的重要系数，可类似地用n e g 0 及n e g l 进行编码，编码后的剩余一仍满足 式( 2 3 0 ) 这样，在第0 步的重要系数，经编码后，剩余数据图上的对应系数，在第 1 步编码时，对应系数一定是不重要的 所谓第k 步编码，是对第k 1 步剩余图进行上述编码，这时剩余图上的t 满足 h 重要吗? 闽值r 2 么。t 直到r 5 f 置入新序列y 重构得去噪图像 图4 1新的去噪算法流程图 本算法在去噪过程中，首先对加噪图像进行去除孤立零点的处理，并省去文 献【2 】算法中运算量最大的第四、五步的量化逼近，用新序列 ，重构，得到去噪图像 4 2 5 仿真与结果分析 采用5 1 2 5 1 2 附加高斯白噪声的l e n a 图像，对提出的算法与文献【1 】中的t a w s 算法进行了比较 首先给出仿真图，如图4 2 ( a ) 原始图像 3 0 ( b l 加噪图像 ( c ) 1 a w s 去噪算法( d ) x t a w s 去噪算法 图4 2 加噪图像经不同去噪算法去噪后的仿真图( 噪声方差3 2 ，3 层分解，闽值迭代次数b = 3 ) 从图4 2 的仿真效果可以看出，其效果明显优于文献【2 其次选用信噪比f s n r ) 作为衡量标准，对给出的算法与文献 2 中的算法进行 比较定义信噪比： 洲= ( o - o 珈叫) ) c 。， 结果列表如下： 表4 1 加噪图像土噪后的信噪比( d b ) ( 3 层分解，b 为闽值迭代次数) s n r 博法t a w s 去噪迭代次数bx t a w s 算法去噪迭代次数b b = 2b = 3嘲b = 5喊b = 2b = 3b = 4b = 5b = 6 噪声方差、迭 83 4 1 7 93 6 3 2 83 97 7 74 0 9 2 84 l1 6 93 45 2 43 7 6 2 74 16 9 04 57 0 44 70 2 6 1 63 4 3 0 03 6 8 8 23 9 4 7 73 9 ，8 0 73 8 5 7 03 43 3 23 7 6 2 74 1 3 9 94 2 1 1 83 9 9 1 6 3 23 39 3 33 6 3 6 03 62 3 53 40 1 l3 34 1 53 4 5 3 93 7 1 2 53 6 8 5 73 4 9 2 l3 34 7 2 6 4 3 32 5 53 14 3 l2 83 0 4 2 7 6 4 9 2 7 2 0 33 4 0 9 43 15 2 52 8 9 5 32 78 4 02 7 4 0 8 从表4 1 可以看出，本文算法得到较文献 2 】中算法更大的信噪比同时还可以 看出，对低噪声方差的图像，随着迭代次数b 的增加，所得去噪图像的信噪比在 增大；但b 无限制的增大，阈值就会很小这样，虽然噪声基本消除但有用信息丢 失较多；而对噪声方差较大的图像，b 增加到某一值时，信噪比明显变小所以对 于同一噪声方差的图像，只有选取适当的迭代次数才可以达到好的去噪效果 最后在保留奇异点信息方面，选取局部边缘利用信噪比和最小二乘估计两种 3 1 准则对本节算法和文献【2 】中算法进行比较结果列表如下 表4 2 加噪图像局部边缘的信噪比和最小二乘估计值( 3 层分解，b = 5 ) 衡量噪声方差8 噪声方差3 2 标准t a w s 法去噪x t a w s 法去噪t a w s 法去噪x t a w s 法去噪 信噪比( d b l3 0 3 7 6 93 52 7 0 7 2 48 2 3 62 6 0 0 7 3 最小二乘估计4 0 2 5 61 1 6 6 6 1 27 7 4 437 8 7 2 综合以上分析可知，本节算法相对于文献【2 】的算法来说，不仅减少了运算量， 而且在去噪效果和保留奇异点信息方面，都取得了较好效果 4 3 基于分解层的自适应多阈值图像去噪算法 4 3 1 引言 1 9 9 5 年，d o n o h o 首次提出了小波闽值的概念，由于此方法在b e s o v 空间上可 以得到最佳的估计值，而其他的线性估计都达不到与此相同的结果，所以引起了 国内外学者的注意小波阈值是一种非线性方法，它是在小波域内通过对小波系数 进行处理来达到去噪的目的其理论前提是，认为图像的小波系数服从广义高斯分 布，且绝对幅值较大的小波系数主要是由信号变换后得到的，而绝对幅值较小的 小波系数则主要是由噪声变换后得到这样，就可以通过设定闽值将较小的噪声系 数清除来达到去噪目的 本节在第三章所确定的分解层数的基础上，首先对图像的小波域进行极大值 去噪处理，然后在文献【5 的基础之上，提出一种新的基于分解层的自适应多闽值 图像去噪方法( y t a w s ) 这种方法是在不同方向、不同分解层进行独立阈值处理， 在运算量增加不大的情况下得到了较好的去噪效果 4 3 2 闽值的选取 阈值选取分为以下几步： ( 1 ) 噪声图像为2 ，用m a 儿a t 算法，通过小波变换将其分解到f 层，将第j 层 的不同方向上的小波系数记为形( 5 ，) ，s = l ，2 ，3 分别代表不同方向( 水平、垂直、 斜方向) ：t ，= 1 ，； ( 2 ) 对噪声方差盯2 。进行估计根据文献 5 、 7 ，对噪声信号方差盯2 。，可按 r 式进行估计 拍，) ：竺娶艘， ( 4 2 ) 嚷， ，) = 去皇， ( 4 2 ) 其中，( 1 ) 三哆， ，( 2 ) 屿 ，( 3 ) 删， ，c 是常数，一般取o 6 7 4 5 ， s = l ，2 ，3 ，= 1 ，2 ，表示小波分解的层数 ( 3 ) 对图像的小波系数方差彦k ( “) 进行估计由于服从高斯分布，所以 龟 力= 志篙吃( 曲 ( 4 s ) 由盯2 ，= 盯2 吼，+ 盯2 ，得到 咆h 圹m 瓢( ( 吃幢圹吃“- ) ) ，0 ) ( 4 4 ) ( 4 ) 这样就可以得到m u l ti t h rs h r i n k 阈值的表达式： 丁仅俨鬻 ( 4 5 )丁( 5 ，j ) = 羔_ i ( 4 5 ) o 。s 、j 、 4 3 3y t a w s 去噪算法 本节算法在4 _ 3 2 所确定分解层的基础上可归结为： ( 1 ) 对离散图像厂( f ，) 做离散小波变换，得到夕( f ，) ； ( 2 ) 对变换后的小波系数进行“z ”字型扫描，组成序列z ，使得厂( f ，- ，) = 工( i ) ； ( 3 ) 利用第三章算法确定最佳分解层，； ( 4 ) 按照本章第一节所去除极大值噪声的方法确定“孤立零点”，并将这些系 数及其子系数置为零： ( j ) 阈值处理根据( 4 5 ) 式 邢= 鬻， ( 4 6 )r ( 5 ，) = 旦；，( 4 6 ) a 。，s 。j 、 得到不同子带、不同方向上的阈值，( 1 ，j ) ，r ( 2 ，) ，r ( 3 ，) ； ( 6 ) 通过硬阈值函数对第j 层第j 方向小波系数( s ，) 进行处理 硬阈值函数为 吣，= ：i 甏 ( 4 ，) 其中x 是小波系数，r 是闽值； ( 7 ) 利用阈值处理后的小波系数矿( j ，) ，通过小波逆变换进行图像重构 4 3 4 仿真结果 本算法亦采用5 1 2 5 1 2 附加高斯白噪声的l e n a 图像，对y t a w s 算法与文献【2 】 的t a w s 算法及本章第一节的x t a w s 算法进行了比较 首先给出仿真图，如图4 3 暖曩 ( a ) 原始图像( b ) 加噪图像 国瞳 f c ) 1 洲s 去噪( d ) x 1 a w s 去噪( e ) y 1 a w s 去噪算法 图4 3 加啭图像经不同去噪算法去噪后的仿真图( 噪声方差3 2 ，3 层分解，闽值迭代次数b = 3 ) 从图4 3 的仿真效果可以看出，其效果明显优于第一节算法 其次选用最小均方误差和信噪比( s n r ) 作为衡量标准，对本节算法与x t a w s 算 法进行比较，结果列表如下： 表4 f 3 加噪图像去噪后的最小均方误差和信噪比( d ”( 3 层分解，b 为闽值迭