（固体力学专业论文）微梁型谐振器中的挤压薄膜阻尼及热效应研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 【近年来，微小尺度的谐振器由于具有许多重要的工程应用而备受人们的关注。在 谐振器中，振动梁与固定基础之间的间隙内通常存在着气体，由于尺度非常微小，这 种可压缩性挤压薄膜对微结构的动力性能( 共振频率和阻尼特性等) 具有非常重要的 影响。因此准确地分析挤压薄膜对微结构的共振频率、品质因子等动力特性的影响规 律，对于科学设计高质量的微结构和正确使用谐振器而言显得尤为重要。本文选择微 梁型谐振器中的可压缩空气薄膜的阻尼和热效应为研究对象，摒弃已有的气固耦联振 动中的等温假设，第一次建立了含温度变化影响的气固耦联振动系统的基本方程，并 对这些方程进行了近似求解。结果显示：热效应对微梁的动态特征具有较大影响0 文章首先建立了热弹性梁振动与挤压薄膜之间祸联振动模型。第2 章首先假设薄 膜气体具有连续性的基础，得到了挤压气体薄膜的连续性模型，然后求得关于挤压薄 膜阻尼的r e y n o l d s 方程。为了研究热效应，文章也同时建立了关于薄膜气体内热量传 递的能量方程。假设微梁符合欧拉一伯努利假设，且两端固定，上下表面分别受到气 体薄膜压力载荷与电外载的作用，挤压薄膜气体对微梁的压力将与梁的振动耦合在 起，因此这是一个气固耦联振动问题。因此，本问题必须综合求解r e y n o l d s 方程和能 量方程，并在交界面上与梁的振动方程耦合起来才能最终得到解答。至于关于梁振动 的分析，可由连续性热弹性梁理论和热能方程，采用模态分析法和摄动法，求得挤压 薄膜阻尼对热弹性梁振动特性的影响，包括共振频率、品质因子等。份析结果显示挤 压薄膜对微梁型谐振器振动的影响可以用挤压薄膜惯性数和挤压薄膜阻尼数两个无 量纲参数来描述，它们类似于质量弹簧阻尼系统中的等效质量和等效阻尼。此外，当 给定电外载荷大小时，还可以求得挤压薄膜与梁交界面的温度。步 热弹性阻尼是微小尺度谐振器的一种基本能量耗散方式。本文最后部分在z e n e r 的线性粘弹性体标准模型和r l i f s h i t z 的有关矩形截面梁的小挠度振动的热弹性阻尼 理论的基础上，研究了在挤压薄膜热效应影响下，微梁振动的热弹性沮尼情况。f 结果 显示，由于受到挤压薄膜气体与梁振动之间的耦合作用，梁所受热弹性阻尼明显地增 加。j 关键词：谐振器，挤压薄膜阻尼? 模态分析j 摄动法j 热弹性阻尼 华中科技大学硕士学位论文 ；= = 宣出皇= ；= = 昌= = = 兰= = 高= = 皇昌皇高= = 鲁= = = 昌= = = = = = a b s t r a c t s m a l l - s c a l em e c h a n i c a lr e s o n a t o r sh a v eb e e nr e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nr e c e n t l y b e c a u s eo ft h e i rm a n yi m p o r t a n te n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s t h e r ee x i s tg a s e si n e v i t a b l y b e t w e e nt h ev i b r a t i o nb e a ma n df i x e ds u b s t r a t ei nr e s o n a t o r s b e c a u s eo ft h e i rs m a l ls c a l e s t h ec o m p r e s s i b l es q u e e z ef i l mh a s v e r yi m p o r t a n te f f e c to nt h ed y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i c so f m i c r o s t r u c t u r e ( r e s o n a n c ef r e q u e n c ya n dd a m p i n gc h a r a c t e r i s t i c ) a c c u r a t ea n a l y s i so f s q u e e z ef i l m e f f e c t so nt h ed y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i c so ft h e m i c r o s t m c t u r e s , s u c ha s r e s o n a n t f r e q u e n c y a n d q u a l i t y f a c t o r , i s t h em o s t i m p o r t a n t f o r d e s i g n i n g t h e m i c r o s t r u c t u r es c i e n t i f i c a l l ya n du s i n gt h er e s o n a t o r sc o r r e c t l y t 1 l i st h e s i sf o c u s e so nt h e c o m p r e s s i b l es q u e e z eg a s f i l m d a m p i n g a n dt h e r m a le f f e c t so n b e a m - s h a p e dm i c r o r e s o n a t o r g i v i n gu pt h ei s o t h e r m a la s s u m p t i o ni nt h eg a s - s o l i dc o u p l e dv i b r a t i o n ，w h i c h w a sp r e s e n t e di ne a r l i e rw o r k s ，t h eb a s i cg o v e r n i n ge q u a t i o n so ft h e g a s - s o l i dc o u p l e d v i b r a t i o na r ee s t a b l i s h e dt h ef i r s tt i m e ，w h i c hc o n s i d e rt h ee f f e c to ft h et e m p e r a t u r e v a r i a t i o n ，a n dt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nt ot h e s ee q u a t i o n sa r ea l s og i v e n t h er e s u l t ss h o w t h a tt h et h e r m a le f f e c to ft h es q u e e z ef i l mc a na f f e c tt h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h e m i c r o s t r u c t u r e g r e a t l y i nt h i s s t u d y , t h ec o u p l e dv i b r a t i o nm o d e lb e t w e e nt h et h e r m o e l a s t i cb e a ma n d s q u e e z ef i l mi sd e v e l o p e df i r s t l y u n d e rt h ea s s u m p t i o no fc o n t i n u a ls q u e e z eg a sf i l m m o d e l ，t h es q u e e z ef i l md a m p i n gg o v e r n i n ge q u a t i o n ，t h e g e n e r a lf o r mo fr e y n o l d s e q u a t i o n ，i sd e v e l o p e di n t h es e c o n dc h a p t e r t o s t u d yt h et h e r m a le f f e c t ，t h ee n e r g y e q u a t i o na b o u tt h eh e a tc o n d u c t i o ni nt h es q u e e z ef i l mi se s t a b l i s h e d t h em i c r o b e a m w h i c hi ss u i t a b l ef o rt h ee u l e r - b e m o u l l ia s s u m p t i o na n di sf i x e da tb o t he n d s i sl o a d e do n b o t hs u r f a c e sb yt h ea i rp r e s s u r ea n de x t e m a le l e c t r o s t a t i cl o a d n l ea i rp r e s s u r ec a u s e db y t h es q u e e z eg a sf i l mw i l lb ec o u p l e d 、i t l lb e a m sv i b r a t i o n s oi ti sap r o b l e ma b o u tt h e g a s s o l i dc o u p l e dv i b r a t i o n t os o l v et h i sp r o b l e m ，r e y n o l d se q u a t i o na n de n e r g ye q u a t i o n m u s tb ei n t e g r a t e d ，a n dt h e n c o u p l ew i t h t h ev i b r a t i o ne q u a t i o no f t h eb e a mo nt h ei n t e r f a c e a s 协a st h ea n a l y s i so ft h ev i b r a t i o no ft h eb e a mi sc o n c e r n e d ，b yu s i n gt h ec o n t i n u u m t h e r m o e l a s t i cb e a mt h e o r ya n dh e a t e q u a t i o n a n d a p p l y i n g t h em o d a l a n a l y s i s a n d p e r t u r b a t i o nm e t h o d s ，t h es q u e e z ef i l md a m p i n ge f f e c t so n t h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f t h et h e r m o e l a s t i cb e a m ，t h er e s o n a n c ef r e q u e n c ya n dq u a l i t yf a c t o r , c a nb eg o a e n t h e r e s u l t ss h o wt h ee f f e c to f s q u e e z ef i l m o nv i b r a t i o no fb e a mr e s o n a t o rc a nb e p r e s e n t e db y i i 华中科技大学硕士学位论文 = = ；= 2 = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = ；= = = = = = = = = = ；= = = = = = ；= = = = ；= = = 一 t w od i m e n s i o n l e s sp a r a m e t e r s ，t h es q u e e z ef i l mi n e r t i an u m b e ra n ds q u e e z ef i l md a m p i n g n a m b e lw h i c h i ss i m i l a rw i t ht h ee q u i v a l e n tm a s sa n de q u i v a l e n td a m p i n gc o e f f i c i e n ti n s p r i n g m a s s - d a m p e rs y s t e m i n a d d i t i o n ，w h e ng i v e n e x a c te l e c t r o s t a t i c l o a d ，t h e t e m p e r a t u r eo ft h ei n t e r f a c eb e t w e e nt h es q u e e z eg a sf i l ma n dm i c r o b e a mc a na l s ob e g i v e n t h e r m o e l a s t i cd a m p i n gi saf u n d a m e n t a l d i s s i p a t i o n m e c h a n i s mf o rs m a l l - s c a l e m e c h a n i c a lr e s o n a t o r s o nt h eb a s i so fz e n e r ss t a n d a r dm o d e lo ft h el i n e a ra n e l a s t i cs o l i d a n dr l i f s h i t z st h e o r yo ft h e r m o e l a s t i cd a m p i n go fs m a l lf l e x u r a lv i b r a t i o n si nr e c t a n g l e c r o s ss e c t i o nb e a m s ，t h et h e r m o e l a s t i cd a m p i n go ft h ev i b r a t i o n si nm i c r o - b e a mc a u s e db y t h et h e r m a le f f e c t so f s q u e e z eg a sf i l ma r es t u d i e d t h er e s u l t ss h o w t h a tt h et h e r m o e l a s t i c d a m p i n gw i l l b ei n c r e a s e do b v i o u s l yb e c a u s eo ft h e r m a lc o u p l e de f f e c t sb e t w e e nt h e s q u e e z eg a s f i l ma n dv i b r a t i o no f t h em i c r o - b e a m k e yw o r d s ：r e s o n a t o r , s q u e e z ef i l md a m p i n g ，m o d a la n a l y s i s ，p e r t u r b a t i o nm e t h o d ， t h e r m o e l a s t i cd a m p i n g 1 1 1 华中科技大学硕士学位论文 1 1 课题背景 1 绪论 随着微纳米科学与技术( m i c r o n a n os c i e n c ea n dt e c l l n o l o g y ) 的发展，以形状 尺寸微小、操作尺度极小为特征的微机械已成为人们从微观角度认识和改造客观世界 的一种高新技术。微机械在国防、医疗、仪器检测、材料等领域，尤其是活动空间狭 小、操作精度要求高、功能需要高度集成的航空航天等领域，具有广泛的应用前景。 微机械不仅涉及电子、机械、光学、动力学、流体力学、热力学、材料学、物理学、 化学和生物学等广泛的学科领域，而且涉及材料、设计、制造、控制、能源直到检测、 集成、封装等一系列技术环节。微机械技术的发展以上述科学为基础，反过来也将带 动相关学科和技术的发展。此外，微机械技术成为研究纳米技术的重要手段。因此， 微机械被列为2 1 世纪初1 0 大关键技术之首，并受到各工业发达国家的高度重视。如： 欧洲的尤里卡计划明确提出将微机械作为一个重要的研究内容，并在法、德两国组织 实施；美国国会也把微机械的研究作为本世纪重点发展的学科之一：日本通产省已于 1 9 9 1 年启动一项为期1 0 年的微机械研究计划。在我国，微机械与微细加工技术的研 究也得到了许多部门的重视，国防科工委已提出将微型惯性测量组合m i l v f u ( m i c r o i n e r t i am e a s u r e m e n tu n i t ) 等作为微机械的发展重点；国家科委、国家自然科学基金 委员会也都将微机械与微加工技术列为重点发展方向之一。 微机械( 也称微型机电系统) 在美国常称为微型电子机械系统m e m s ( m i c r o e l e c t r om e c h a n i c a ls y s t e m ) 。在日本被称为微机器( m i c r o m a c h i n e ) ：而在欧洲则被称 作微系统( m i c r o s y s t e m ) 。按外形尺寸特征，微机械可分为l 1 0 r a m 的微小型机械， 1um l m m 的微机械，1 n m 11 - t1 1 1 的纳米机械微机械具有以下基本特点：( 1 ) 体积 小，精度高，重量轻；( 2 ) 性能稳定，可靠性高；( 3 ) 能耗低，灵敏性和工作效率高； ( 4 ) 多功能和智能化；( 5 ) 适于大批量生产，制造成本低廉。 微结构是微机械的重要组成部分，而在几乎所有微电子机械或纳米器件的设计及 华中科技大学硕士学位论文 应用中，传热和流动都是非常突出的问题，因为此时任何一个物理过程中的物质和能 量运输均发生在一个受限制的微小几何结构中，这其间必然会涉及到能量的流动和转 换，而任何不可逆输运过程中能量的耗散必定有一部分是以热的形式体现的；而且， 在某些特殊微纳米器件的应用中，微热信号正成为其中独特丽有效的用以控制器件 运行的重要手段；正是由于能量传输和交换的普遍性，加之微尺度科学与工程技术的 兴起，小器件中的热物理问题逐步得到广泛重视。全面了解系统及其组成单元在特定 空间和时间尺度内的热行为，已经成为提高器件性能关键环节之一，对于发展高能流 密度微电子、光电器件与系统及加工某些新材料具有重要的意义。 所有微尺度科学中的一个共同特点是物质和能量的输运均发生在一个有限的微 小结构内，而物质的输运和相互作用必然涉及到能量的流动或转换。根据热力学第二 定律可知，任何不可逆过程中能量的耗散必然有一部分以热的形式体现。 在电子器件的运行和加工过程中，由于高热引起的局部温升往往会带来严重后 果，例如导致器件的电特性、器件热一机械性质发生改变，还有引起结构封装的严重 问题。另外，为防止腐蚀，通常要在基体上高温扩散硼。由于硼原子小于硅原子，会 引起表面材料的收缩，形成残余应力。如果所扩散的硼相对集中于局部区域，将会造 成应力分布不均。在硅基体上形成氧化膜需要达到1 0 0 0 摄氏度的高温。当基体与膜 都降到室温时，由于氧化膜的热膨胀系数相对较低，二者相互制约并将产生不同的收 缩量，使膜承受残余压应力，基体受残余拉应力。应力值大小可大2 0 0 m p a ，这势必 会导致脱膜后产生挠曲。 因此，对于所有微电子机械系统的设计及应用来说，全面了解系统在特定尺度内 的微机电性质及材料的热物性、热行为等已经成为迫在眉睫的任务。 1 2 国内外发展概况 在微结构的出现之前，就已经有了对气体薄膜润滑方面的研究工作，并且在轴承润 滑和悬浮系统中有重要应用。l a n g l o i s 3 1 讨论了等温条件下的挤压薄膜理论，但是大 部分的工作都只讨论两平面的平行运动的情况，而很少考虑当表面做法向运动时的挤 压薄膜效应。在意识到挤压薄膜对轴承的稳定性有很大影响后，人们开始对其展开细 2 华中科技大学硕士学位论文 致的理论和实验研究。在早期的研究中就已发现当含有挤压气体薄膜微结构的共振频 率的压力相关性增加时，阻尼作用的相对重要性将减小。当粘性阻尼器的频率足够高 时，它更多地表现出弹簧特性而阻尼作用不明显。这一点可用于电容式麦克风结构中， 封闭气体的刚度特性可用于提高结构的共振频率。很清楚可看出阻尼和可压缩性效应 的相对重要性与频率有关，在所有相关研究中都必须考虑到这一点。a n d r e w s 【4 j 等人 采用实验的方法测定了中间被气体薄膜隔开的两振动板组成的微结构的弹性和阻尼 系数，它们均是气体压力和频率的函数，除了高频和低频区，实验结果与理论值吻合 的很好。 随着集成电路技术的快速发展，制造出实际的微机械系统结构( m e m s ) 成为可能， 比如微加速计、压力传感器、陀螺仪、开关、扭转镜和微谐振器。图1 1 为一微型加 速度计的封装结构简图。m e m s 器件经常有效地使用两平行板电极作为电容感应器和 静电制动装置，并且许多该类器件都是在空气介质中进行工作，这其中有些是出于成 本考虑，有些则是为了获得运动的某种特殊阻尼效果。图1 2 为受挤压薄膜阻尼影响 的平行刚性板结构简图。因为板的长度与空隙厚度比值很大，所以板在法向方向发生 极微小的位移都势必导致一部分空气流出( 或流入) 。然而空气薄膜的粘性将限制其 在间隙内的流动，从而使得支撑板的气体压力增大。总体的气体压力将影响运动板的 动力特性，我们称之为挤压薄膜阻尼效应。可压缩性挤压薄膜在微结构的动力学分析 方面具有很重要的意义。例如在加速器，共振压力传感器，微传感器，静电制动器， 扭矩镜和反射相位光栅等微元器件都要用到挤压薄膜理论，准确分析挤压薄膜对微结 构的共振频率、质量因子等动力特性参数的影响对于微结构的设计和性能评价都是非 常重要的。 当微结构振动的挠度很小时，气体薄膜的厚度很小而微结构的振动频率很高，周 围气体会对结构产生很大的影响，并且随着结构尺寸的减小，影响作用也将逐渐增大。 在微结构的出现之前，就已经有了对气体薄膜润滑方面的研究工作，早在1 9 5 4 年 t i p e i t 5 】就提出了挤压薄膜理论，他在提出滑动轴承理论时，推导出挤压润滑薄膜的一 般方程。e l r o d 6 l 则推导了由具有固定粘度的不可压缩流体润滑的轴颈轴承中的稳态压 力控制方程。对于小挠度振动器件，b l e c h 7 】和g r i f f i n 8 l 对挤压薄膜阻尼的控制方程一 华中科技大学硕士学位论文 雷诺方程线性化为简单形式，结果显示空气薄膜在低频时以阻尼效应为主，而高频时 则主要表现为类弹簧特性。 图1 1 微型加速计封装结构简图 图1 2 受挤压薄膜阻尼影响的平行钢板结构简图 上层板以速度v 作法向运动时产生气体压力p y j y a n g 9 1 则以受轻微扰动作用下的两端固定梁为例，综合考虑可压缩等温挤压 4 华中科技大学硕士学位论文 薄膜阻尼力的参数、模态的弹性常数和质量，把结构的模态分析法与线性雷诺方程的 数值解法结合起来构造出弹性m e m s 器件变形模态精确的二阶动力方程。所得仿真 结果与实验结果吻合较好。 近年来生物力学取得了很大发展，在有关含有滑液的关节结构和润滑方面的研究 中，弹性单相软骨模型和牛顿单相模型被用来模拟滑液流体。h 1 a v a c e 1 1 1 于1 9 9 9 和 2 0 0 0 年连续发表论文重点讨论了当人处于站立状态，滑液通过关节表面传输时人体踝 关节的挤压薄膜润滑模型。关节软骨是一种分层介质，它由表面、中面、底面三个结 构区域组成。它的模型可简化为由理想间隙流体和弹性、可渗透、各向同性、均匀的 不可压缩性基体组成。这种简单的均匀关节软骨模型模拟了早期关节炎的情形，那时 一般关节软骨的表面区域比已经磨损或破坏时具有更高的刚度。计算结果表明在通常 的走路状态下，润滑流体薄膜将很快被耗尽并且变成滑液胶体薄膜，而这层薄膜在后 续的滑行运动中将作为边界润滑剂。 在m e m s 或n e m s 结构领域，一般采用子封装技术，结构的尺寸属于微米甚至纳 米级，空气受到挤压不容易排出，所形成挤压气体薄膜内热量也不易扩散，且结构与 薄膜之间为耦合作用。由于耦合作用的非线性，理论分析和数值计算都非常困难，故 目前所获得的成果还不多。 研究表明( r l i f s l l i t z l l 2 】) 热弹性阻尼被认为是m e m s 谐振器中的一种重要的能 量损耗方式，热弹性阻尼是小到纳米级的结构的重要耗散源。近年来在设计出高品质 数的微米和纳米级机电系统( m e m s 和n e m s ) 的指引下，需要衡量热弹性阻尼作为 小尺度机械谐振器的基本耗散机制的重要性。同时由于对高品质因子谐振器的大量需 求，使其拓展到许多其它的应用中，例如加速器、热量传感器、化学传感器、射频过 滤器等。而在大部分这些应用中，在保持高品质因子的同时也要求减小读出误差、更 低的能量需求、增加稳定性和敏感度。为了提高结构设计的精度，设计出高性能的结 构，需要我们对其温度效应进行细致的研究，因而考虑挤压薄膜内温度场对结构性能 的影响就显得尤为必要。 华中科技大学硕士学位论文 1 3 本文研究工作 本文以两端固定的微梁型谐振器结构为研究对象，分析了当微梁在简谐外载荷下 发生振动时，挤压气体薄膜与微梁的振动之间发生热弹性耦合作用。详细讨论了当微 梁振动时，挤压气体薄膜阻尼和热弹性阻尼作用对微梁振动时的共振频率、品质因子 等动力特性的影响。具体包括 l 、建立挤压气体薄膜研究模型，并由此导出其控制方程，包括普遍形式的 r e y n o l d s 方程、能量方程等。 2 、假设微梁为线性热弹性体，求出微梁在热载荷、空气载荷、静电载荷下梁轴 向和法向控制方程。 3 、具体分析了两端固定梁在简谐激励外载下，受挤压薄膜影响时的微梁振动特 性变化情况，包括当气体薄膜厚度、微梁的几何尺寸等参数变化时，结构性 能的变化。 4 、随着结构几何尺寸的逐步减小，热弹性阻尼作为m e m s 谐振器的一种重要的 能量耗散方式越来越引起人们的重视。文中最后讨论了挤压气体薄膜温度场 对微梁产生的热弹性阻尼作用对微梁性能的影响。 华中科技大学硕士学位论文 2 挤压气体薄膜控制方程 在机械系统的发展过程中，合理估计阻尼特性已经成为机械设计过程中的一个重 要部分，因为它决定了整个系统的动力性能，而这一点在微系统设计中显得尤为重要。 因为向微系统提供能量相比于宏观系统而言要困难得多，因而应把由于阻尼作用而消 耗的能量减至最小。许多微传感器、制动器等微元器件都使用共振来增加结构的敏感 度和运动幅度，如激光激励型谐振传感器等。 可压缩挤压薄膜对于微结构的动力性能有很重要的作用，比如加速计【1 3 l 、【1 4 】、共 振压力传感器【1 5 】、微谐振器卅、扭转镜f 1 7 】、镜像光栅1 1 8 】等。准确的分析研究挤压薄 膜对微结构的共振频率、品质因子等动力性能的影响对于微结构的设计具有很重要的 意义。 2 1 流体模型的建立 在绪论中已经提到，在很多微元器件中，由于制造工艺和制造成本的缘故，存在 一定的空气往往是不可避免的。当微结构发生小挠度振动时，其内部的气体会对结构 产生很大的影响，并且随着结构尺寸的减小，这种影响作用也将逐渐增大。因此准确 研究气体薄膜对结构性能的影响非常必要。比如在光学开关中的应用中，设定时间对 其光学性能起到非常关键的作用，近年来有关二维倾斜镜【1 9 】的研究得以广泛开展。一 般而言，倾斜镜都是在周围空气压力下进行操作，当两间隔很小的空间表面相对转动 时，可动镜将受到空气阻尼力的扭转作用。因此，在扭转镜中的空气阻尼效应对于决 定设定时间具有关键作用，准确的预测空气薄膜阻尼对倾斜镜动力响应的影响是非常 重要的。h a o 1 9 】等人提出了一个计算微型二维倾斜镜空气阻尼效应的分析模型。为了 求得空气薄膜阻尼效应，首先对非线性雷诺方程进行线性化，在基于边界条件假设， 采用格林函数法得到线性系统的解析解，同时讨论了空气阻尼效应的特性与倾斜镜主 要设计参数间的关系。 华中科技大学硕士学位论文 从以上我们可以了解到，对于每一个有关的空气薄膜实际应用，都涉及到薄膜 区域的求解，特别是在不但要考虑薄膜内气体流动特性对结构影响，而且还要考虑薄 膜内温度效应对结构特性的影响时，我们需要对研究对象进行重新建模。 在处理微器件中的流体力学问题时，必须面对的一个问题是采用何种模型、何 种边界条件以及如何得到问题的解。显然，在小器件的表面效应将占据主导地位，如 一个特征长度为l m 的器件所具有的比表面积约为l m ，而对尺寸在1l lm 的微电子 机械系统，其比表面积甚至高达1 0 6m 。小器件中表面积呈百万倍的增加会显著地影 响沿表面积的质量和动量输运，微器件中的微小长度也使得连续近似不再成立。于是， 滑移流、热蠕流、稀薄性、粘性耗散、可压缩性、变物性、分子间作用力及其他非传 统效应将不得不考虑在内。 流场建模的基本途径有两类：类是将流体考虑为分子的集合；另一类则将流 体当作连续不可分的物质。前者又可划分为确定性方法及随机性方法，而后者可在每 一空间和时间点处定义速度、密度和压力，从而建立一系列偏微分守恒方程，如e u l e r 方程、n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 方程。包含在n s 方程中的连续模型忽略了气体和液体 的分子性质，而将流体当作可用密度、速度、压力、温度及其他宏观变量描述的连续 介质。由于连续模型的处理在数学上相对容易，因此只要有可能，应优先选择连续模 型。不过需要判断n s 方程及其类似方程是否合理可用。 对于气体而言，气体分子的平均自由程上+ 为分子碰撞之间的平均距离，对于模 拟为硬球的理想气体，其自由程与温度丁和压强p 的关系为 1r + p 。袁扫2 荔 q 1 。1 ) 其中n 为数密度( 单位体积内的分子数) ，d 为分子直径，b 为b o l t z m a r m 常数，p 为压强，7 为温度。 当气体的平均分子自由程三+ 远小于特征流动尺寸时有效，平均自由程与特征长 度的比率即为人们所熟知的k n u d s e n 数， 幽：竺 三 ( 2 1 2 ) 华中科技大学硕士学位论文 通常当k n 0 1 时，可以认为传统连续性模型近似成立。本文考虑的气体处于常 温下( 7 1 = 3 0 0 k ) 和压强( p = 1 0 1 x 1 0 5 n m 2 ) 下的空气，由式( 2 1 2 ) 计算出此时的平 均自由程l + = o 0 6 5l a1 t i ，对于特征尺寸为1l am 的微器件，k n - - 0 0 6 5 ，处于滑移流动 区域，可以采用具有滑移边界条件的n s 方程求解。 2 2 普遍形式的r e y n o l d s 方程 各种各样的润滑问题都涉及到狭窄间隙中粘性流体的流动，描述这种物理现象的 基本方程是r e y n o l d s 方程。实际上，r e y n o l d s 方程是流体力学中n a v i e r - s t o k e s 方程 的一种特殊形式，它是由o r e y n o l d s 于1 8 8 6 年建立的。r e y n o l d s 方程在弹流润滑理 论的建立和发展中起到了的巨大作用。 在w e l a n g l o i s 吲有关等温挤压薄膜理论的推导中，r e y n o l d s 假设润滑油的粘度 和密度沿薄膜厚度方向不变化。但是，由于考虑热效应的气体薄膜润滑问题，薄膜生 成的热量主要是沿膜厚方向传递给与之相邻的固体，因此温度沿厚度方向的变化是不 可忽略的因素。 由2 1 节分析可知在对挤压气体薄膜进行流场建模时，我们可以忽略气体的分子性 质，而假设气体为连续不可分的物质，即包含密度、速度、压力、温度及其他宏观变量 描述的连续介质。 n a v i e r - s t o k e s 方程是所有研究粘性流体力学问题的基础，其数学表达式为 p 鲁= 以+ 孥， b z ， p 为流体密度，f 为物质导数或者s t o k e s 导数，式中给出了一定量的流体单元对时 间的导数，即 昙：昙+ v p 当， ( 2 瓦2 瓦+ 瓦 2 以为体力分量， 口，= 1 ，2 ，3 av 。为质点瞬态速度分量，仃朋为二阶应力张量，且 盯，c r 2 2 ，巳，为正应力，盯。2 = 仃：。，盯：3 = 吒2c r 3 。= 仃1 3 为剪应力。应力与速度的关系 华中科技大学硕士学位论文 类似于弹性力学中应力与应变之间的关系，从( 2 2 1 ) 式可以求得 盯印= 卜+ 鼍 + 芦 薏+ 薏 ， c z 圳 其中p 为热力学压强，屯为二阶单位张量( k r o n e c k e r d e l t a 算符) ，卢及旯分别 为一阶或二阶粘性性系数。应该注意的是，一般粘性流体的粘性系数和五会随着温 度而改变。为了使问题得以简化，我们作如下假设： ( 1 ) 与气体薄膜相邻的固体表面曲率半径远大于薄膜厚度； ( 2 ) 薄膜与固体在边界上无相对滑动： ( 3 ) 与粘性剪力相比，油膜受到的惯性力和其他体积力可以忽略不计； ( 4 ) 气体薄膜为牛顿流体，遵守牛顿粘性定律； ( 5 ) 由于气体薄膜厚度很小，可以认为压力沿膜厚方向保持不变，第三个方向的 量相对而言是个小量。又由假设( 3 ) 可知体积力和加速度的影响可以忽略，把( 2 2 3 ) 代 入( 2 2 1 1 中，并进行量纲分析得【7 1 、【2 3 1 4 4 1 并( 薯 ， h 2 亿：固 望：0 从( 2 2 4 ) 式可以看出热力学压强p 与z 无关，自然可以导出罢，i = 1 ，2 也与z 无关。因 而从( 4 ) 中第一式可得 荽：土粤：+ k ( x l , x 2 , t t ) ， ( 2 2 一5 一)j = 一：+ 一c ， 1 ， 1 0 2 ；u 。x 。弘 式中f f l 是与z 无关的两个待定函数。( 2 2 5 ) 式两边对z 积分得 v ，= 考e 吲孙f ) j ：去出 + c i 2 “心， ：甸 c t 2 也为两个待定函数，z o ( 一，x ：，f ) 为气体薄膜底部界面，假定上部边界为z l ( x 。，x ：，) ， 薄膜厚度为h ( x l ，x 2 ，) ，则 华中科技大学硕士学位论文 h ( x 1 ，x 2 ，f ) = z l ( x l ，石2 ，) 一：o ( 工l ，x 2 ，f ) ， 于是，v ，在两边界f 勾和z l 处满足条件 v ，k = k ( 而，x z ，吐v ，乙= l ：( _ ，z ：，f ) ( 2 2 7 ) 式中( 而，z ：，r ) 和k 2 ( z 。，工2 ，) 分别为质点沿着薄膜上下表面的运动速度，把式( 2 2 6 ) 代a ( 2 2 8 ) 的c i l 和c 也分别如下 引入 坳，：) ：r 盟e t o “ 则把( 2 2 9 ) 和( 2 2 1 0 ) 代入( 2 2 6 ) 中可得下式 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 驴。i ( 1z ) - 刈i ( 1 , 矗z i ) ，邶力降焉邶力塌 z 假设气体处于标准状态下的理想气体，适用于理想气体状态方程，则有 p = p r r ，( 2 2 1 2 ) 式中r 为气体常数，r 为绝对温度，单位为k 。且有p 。= p o r t o ，p 。、z 。、t o 分别 表示周围气体的压力、密度和温度。 在连续模型中，所有因变量的导数均假设有理存在。气体的密度、速度等局部性 质为一定尺度下的流体的平均值。则对每一空间和时间质量方程为 ( ，) + 暑( ，) + 警= 。，= ，： ( 2 2 1 3 ) 望钒 竺咿盟咿 华中科技大学硕士学位论文 把( 2 2 1 1 ) 和( 2 2 1 2 ) 代八( 2 2 1 3 ) ，开从z o 剑z 1 对z 积分j 得一股彤式明罱话万栏， 表示如下 旦o x j 旧o p f , k i m 一粼邶斗 州肾e 器帅_ 。争k 阳纠= o - 当t 、u 均为常数，且薄膜具有固定边界( 一。= _ ：= 0 ) 时，式( 2 2 1 4 ) 退化到 通常所熟悉的等温条件下的非线性r e y n o l d s 方程 新3 凄 = 1 2 掣俐，z 亿z 嘲 2 3 能量方程 在一般润滑问题中，控制体积的能量输入或输出的方式主要有两种：一为热传导， 另一种为内能的对流。热的辐射可不计。本文讨论的为气体润滑问题，设在流体场中 取一个微单元体出方出作为控制体积，流体通过它时，其速度、温度、压力、密度和 粘度都在连续地变化。能量方程表示对于任意流体的体积单元都符合能量守恒定律 署+ 杀( 匕) 一毒( e p ) + 杀卜嚣j _ 磊0 、e 纠- o ， c z 3 ， 其中a ，= 1 ，2 ，3 ，为了方便我们在上述方程中用毛来代替z ，方程中各符号代表示的 意义如下：第一项o o o t 表示由薄膜的外部热源提供的热产生率，如电加热等，这 一项在考虑润滑作用时可以忽略：第二项为由粘应力引起的热产生率：第三项中e 为 系统单位质量的总热焓，且可进一步表示为 e t = 吉p a v a + e + p ( 2 姻 式中j 1 为单位质量的动能，e 为内能，p 为势能，该项中的负号表示由于对流而 2 华中科技大学硕士学位论文 导致的热量耗散；第四项为热传导导致的热量损失，足为热传导系数。如果k 在整个 流体中为常数，则该项可写成鼢2 t l g x ，缸，或胛2 t 。这表明了热量的传递方向总是 由温度高的地方流向温度低的地方。( 2 3 1 ) 式中最后一项是能量对时间的变化。由于 毒c 巨抄昙c 巨加e 陪+ 盟a x p ) + p ( 鲁嘶善 ， c z 3 。， 因此把连续性方程( 2 2 1 3 ) 代入上式中得 毒c 慨，+ 扣加p 鲁 此时假设k 为常数，则方程( 2 3 1 ) 可化为 署+ 寿帆叫一p 普+ 足丽a 2 t - o 亿，匀 联立式( 2 2 1 ) 、( 2 2 3 ) 、( 2 3 2 ) ，则式( 2 3 5 ) 可化为 p 降p 旦学 = 署+ k 丽0 2 t 地 亿。固 式中中为流体的粘性耗散率 叫z 倒倒+ 盼睁势睁别 + 旯 鲁+ 象+ 等 2 c z _ ， 考虑到结构模型中以下几个因素：( a ) y 方向的长度为无穷大，因而沿着该方向的变 化量可以忽略；( b ) 整个系统处于绝热状态，即有o q l o t = o ( c ) d e = o d t , 其中盯为固 定压力下的比热，把上述关系代入式( 2 3 6 ) 中得 华中科技大学硕士学位论文 p 仃( 詈署詈 一刃( 害寿 = k ( 寄+ 警 + 啦 = z ( 鲁 2 + ( 等 2 + ( 等+ 鼍 2 + 兄 等+ 罄 2 ， 2 3 8 式中口为固定压力下气体的热膨胀系数，定义如下 1 ，a ，、1 们d l d j 。2 万 对参数进行无量纲化，令 v ，= ( c o l + 矿) e ，置= x ，l ，i = 1 , 2 ，v 3 = 珊_ 3 ，z = x 3 i h o 万= p p o ，歹= p i p o ，i = 耐，= 疋瓦， 然后把式( 2 ，3 1 0 ) l 各变量关系代入到( 2 3 8 ) 中得 国万吐筹+ ( ，+ 三一善+ 巧鲁卜印。兀吐雾+ ( - + 苦毒 _ 印 t 研oa z + 虿r o 别a z l m 脚，) 2 耐( 剐+ z p 文+ 等) 鲁鲁+ l c o 矗+ v 两瓦+ 业l 里a x , j 2 ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 对应于梁在法线方向的挤压运动和轴线方向的运动，我们分别引入如下两个修正 雷诺数 则式( 2 3 1 1 ) 化为 r 3 = c o p 4 i , 0 2 | t i ，r t = y p a h ； l “，( 2 3 1 2 ) 4 华中科技大学硕士学位论文 皿仁等+ e 善+ 巧鲁一风p 。盯l 口瞎+ 嘻 ) + r ，忙善p p o o g 市印) ：瓦1 2t 歹k r ov 盯( h o ) j 2 簧+ 喾 + 等( 钳 ( 国+ 等) 2 ( 磊) 2 + c 0 2 ( 鲁) 2 + z ( 锊( m + 循陋等) 鲁十( 铲卦 ( 2 3 1 3 ) 式( 2 3 1 2 ) 中的两个修正雷诺数通常都远小于1 ，并且式( 2 3 1 3 ) 中左边的各项都处 于相同量级，因此可以认为其右边近似等于零。挤压气体薄膜的厚度i l o 要远小于结构 长度方向的尺寸，即( ，) 2 i ，因此我们可以得下式 鱼 怛l a z