（固体力学专业论文）自然弯扭梁的动力学研究.pdf

捧要 摘要 自然弯怒粱懿动力学疆究是嚣体力学孛妻冬重鬟课题，它不仅具蠢理论意义， 丽腿还具有很强的应用背景。本文根据弹性体动力学的h a m i l t o n 原理建立了自 然驽扭梁动力分析的变分原理的泛函，其中考虑了横向剪切变形和扭转翘曲变 形的影响。由泛溢的骏值条件，可以得弱该梁动力特俄翡一缀控裁努程。在薅 这缀控利方程避行求懿封，森空阉域采爱了孛心差分浃，在融阀域则采用了精 细时程积分法。据此可以得到该梁在自由振动时的固有频率嗣相应的振型，以 及在外加激励载荷作用下的动力响应。计算中同时考虑了不禽截面翘曲对该梁 嗣宥频率静影虢。计算结栗袭疆，掰这种方法缮嚣豹数篷解藕有限元结栗吻合 缛缀好。该课题的研究将为这一类构件和结掏的设计、制作_ 羊日力学行为的分析 提供了理论基础和计算方法。 关键运：鑫然弯经粱，h a m i l t o n 霖瑗，耪缯积分法，动力学，霎毒频率 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed y n a m i ca n a l y s i so fn a t u r a l l yc u r v e da n dt w i s t e db e a m si sa ni m p o r t a n tt o p i c o fs o l i dm e c h a n i c s i tn o to n l yh a st h et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e , b u ta l s oh a sas t r o n g b a c k g r o u n d b a s e do nt h eh a m i l t o n i a np r i n c i p l eo fe l a s t i cd y n a m i c s , t h ev a r i a t i o n a l f u n c t i o n a li se s t a b l i s h e df o ra n a l y z i n gd y n a m i c so fn a t u r a l l yc u r v e da n dt w i s t e d b e a m si n c l u d i n gt h ee f f e c t so fu a n s v e r s es h e a rd e f o r m a t i o n sa n dt o r s i o n - r e l a t e d w a r p i n g a c c o r d i n gt os t a t i o n a r y c o n d i t i o n so ft h e f u n c t i o n a l ，t h ee q u a t i o n s g o v e r n i n gm o t i o no fn a t u r a l l yc u r v e da n dt w i n e db e a m sa r ed e r i v e d i nt h i st h e s i st h e e q u a t i o n sa r es o l v e dt h a ti nt h es p a t i a ld o m a i nu s e dt h ed i f f e r e n c em e t h o da n di nt h e t i m ed o m a i nu s e dp r e c i s et i m e - i n t e g r a t i o nm e t h o da n dt h en a t u r a lf r e q u e n c i e sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gm o d es h a p e su n d e rf r e ev i b r a t i o no ft h eb e a mc a nb eo b t a i n e d i m p a c t o fw i t h o u ta l l o w a n c ef o rw a r p i n go nt h en a t u r a lf r e q u e n c yo ft h eb e a mi st a k e ni n t o a c c o u n t 趣t h ec a l c u l a t i o n t h en u m e r i c a lr e s u l t so b t a i n e db yt h ep r e s e n tm e t h o da r e f o u n dt ob ei ng o o da g r e e m e n tw i t ht h ef e mr e s u l t s i tp r o v i d e sc a l c u l a t i o nm e t h o d a n dt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rt h ed e s i g n ，c o n s t r u c t i o na n dm e c h a n i c a lb e h a v i o r a n a l y s i sf o rs u c hc o m p o n e n t sa n ds t r u c t u r e s k e yw o r d s ：n a t u r a l l yc u r v e da n dt w i s t e db e a m ，h a m i l t o np r i n c i p l e , p r e c i s e i n t e g r a t i o nm e t h o d ，d y n a m i c s ，n a t u r a lf r e q u e n c y 娃 学位论文版权使用授权粥 本入完全了解同济犬学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各 项内容：按照学校要求提交学经论文的印刷本和魄子版本；学校有权保存学位论 文的印刷率和电予版，并采用影印、缩印、扫描、数字亿或其它手段保存论文； 学校有权提供目漾检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权 按霄关规定向国家有关部门或者梳构送交论文的鬟窜律和电子敝：在誉麸赢秘为 目的的前撮下，学校可以适当复制论文的部分或企部内容用于学术活动。 学嬲墨鞴舻“k“述年弓月f d 日 经指导教颊同意，本学位论文属于保密，在年鳃密后适用 本授权够。 指导教师签名： 学位论文作者签名：锄氛主b 年月 e t诚年今月腾e t 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、巴公开发表或者没有公开发淡的 作晶的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个入和集 体，均已在文中以嚼确方式标明。本学位论文原刨性声明的法律黉任 由本入承担。 签名：膨琵施 贼年专月 第l 牵； 害 第1 章引言 l 。l 背景情况 曲梁结构在航空航天、机械和土木工程中有许多重要的应用。程城市交通 和窝等级公路静设计牵往往婺求轿粱豹平薅布置溅麸予公路线登豹嚣要，| 撬线 型揆梁不仅有线黪平暇、走纷性好、美观及容易毒置等优点，更是一静能满足 特殊要求的重要桥型。建筑中常见的圆形阳台、剧院楼厅、懋楼、髓窗以及其 它阙形建筑物都有曲线梁。夜工业设计中黼梁主黉应用于高炉环形磁铁场。在 壳体结稳熬麓纯巾，魏梁结构豹痘震也裙巍重要。 曲梁出于曲率的影响，会导致梁内弯矩和扭矩的耦合，使得对曲梁的研究 相对直梁就更加复杂。曲线粱不同予直梁的是在一般裁荷作用下，箕弯曲、扭 转、翘蠲的凡何方程桶重藕合。特嗣是薄麓凿粱，除缝拯转终，还稻应俸髓惩 兹以及磅变影响，舂慰还存在“弯、剪、扭鹅会”效应。其变形多为弯搬缝会交形， 纯弯或纯扭的情况很少。曲粱的种类纷繁，有连续曲线梁、薄壁开门曲线粱、 薄璇闭口曲线梁、复合曲线粱、多切口曲线梁等；与线形有关的变曲率曲线粱、 嚣程瑟线粱、圈添与蠢线缰余簦线粱等。在受不麓载耱作焉节，辗糖不羁鹣边 界支承条传，用不同的研究方法对曲梁的游力和动力进行分拆藏变褥相当复杂。 曲梁的振动研列1 棚主要有面内振动、面外振动和旋转系统中的振动三个方 面。文献【4 5 1 对在初始应力情况下曲线粱的这三个方面进行探讨，脊些学者嗣 黟 究其孛蒺嚣令方瑟豹藕合溺题。瓣内振动理论主要体现在薄壁鏊鬃上，选有 对般曲线梁的研究。由于延伸变形、弯姻变形及扭转变形的耦合作用，薄壁 曲线梁结构的空间振动问题则非常复杂。 有关国梁的研究文献不驻较举 椒饕，餐出子力学穗往髂复杂经帮采露方法静 不题以及掇发点戆不致，爵致羁翦缺乏对趋粱复杂特性全蕊、精确的分析， 第l 章g 害 其威用仍受到较大的限制。 自然弯扭梁结构的情况则更为簸杂，它们在机械、土建和航空航天工程中 有檄多重簧静应蹋。嚣嚣关予该梁静力阂邀豹磅究，酗内矫力学工佟者蝰徽了 一臻工终( 1 4 - 1 0 l ，分别褥到了它们的控制方攫及其理论锯答，其中考虑了扭转翘 曲和剪切变形效威的影响。_ i 垃年来虞爱民导师对该问题进行了长期深入的研究， 解决了该粱在静力作用下应力位移计算的所有问题，为该梁动力学问题静研究 羹定了缀好懿基磊壅。然瑟，当该梁受动载棼终雳辩，箕控裁秀程豹捺导及求解 就会变得异常困难。这是一类工程上具有麓要意义丽理论上很少有人涉及的课 题。迄今为止，国内外尚未见到该问题的理论解答或半解析半数值的求解方法。 1 2 研究现状 曲梁因其流线造型以及良好的蹙力特性，在航空、土木、建筑领域得到了 广泛的应用。其瑷论研究已深入到各个方面：国内的力学工作者f 1 7 懵l 对曲线粱结 稼程各耱透秀支承条秘，不爨载芬终霸下豹静力分辑捧了大鼙熬工终；霉终豹 一魑学者 1 9 ，2 0 1 对该梁的静动力分析、振动响应及曲梁单元在机械土木中的应用作 了较多的研究。可以看出，曲梁的研究正处在蓬勃发展时期，有许多问题还有 待迸一步静研究探讨。 由予巍然弯蘧粱憨踅 毒关系和动力控铡方程毙较惑裟更具复杂健，且农分 析中包括了两个j 经典效应横向剪切以及和扭转有关的翘曲变形的影响， 所有这些将导致其理论求解变得异常困难。因此，这是工程领域内具有重要意 义褥理论士穰乡骞久涉及豹谍题。 自然弯扭梁力学纷为已霄熬研究工传是在静力作用下荚应力期位移的计 算，然而有关该梁动力分析的文献蓬今还很少见到，这固然怒由于求解的复杂 性，同时经典梁模式在这里也不再适用，因此必须发袋和应糟先进的理论和计 算方法来解决这些翘纛。 2 第1 章零 富 1 。3 研究目的翱意义 根据h a m i l t o n 变分原理，建立自然弯拯梁动力分析的一组控制方程，其中 考纛了横向剪秘变形和凝转怒馥交形静影糖。本文主要工作蔻羧据歙分方耩理 论期精细救分法寻找其控制方程的主| 皇鳃拆半数值鳃，褥塑j 在魏端固支边界条件 下该梁的固有频率和相应振型，以及在外加激励浅荷作用下该梁的动力响应。 以期在该研究领域内获得理论和计算方法t 的突破，同时也为该梁j 隧篱佳住质 貔磷究奠定基穑。 本课题源自航空航天、机械和土建工程的需爰，它具有一定的实际应用价 值。该课题的研究将为这一类构件和结构的设计、制作和力学行为的分析提供 理论基础和计算方法。 1 4 研究方法 在导师研究工作的基础上，按照本课题的构想与恿路开展研究。这里运用 精缓积分法与差分方法瓣本课题迸镎求簿，并运趱m a t l a b 等数学款l 孛佟耱助诗 算，雩导到了自然弯扭粱动力分析控制方程的精细数值解，最聪用有限元分析软 件对该梁进行数值模拟，以验证理论分析的正确饿。 3 第2 章鑫然弯援粱理谂 第2 章自然弯扭粱理论 2 。l 基本坐标 设自然弯扭粱横截面形心的轨迹是一根连续的空间曲线，曲线，的切线，法 线和次法线单位矢量分澍用鑫撵，舂袭示，瓣毙潘鹣潼线，舞下翡f r e n e t - s e r r e t 公 式1 2 l 】成立，即： t - 七l n ，靠一七l l + 七：b ，b 一- k 2 1 ( 2 1 ) 式中( f ) - d t l d s ，s ，墨，也分别为曲线的弧坐标、曲率和掇率a 图2 1 梁的几何关系 过横截面的形心。i 敬轰吁方向与截面的主轴霆合，如图2 1 所示，宇轴与醢 线法线拜溺豹夹角记秀0 ，逶鬻晷是s 熬遁数。如祭弱毛秘毛表示馥孝秘绣警瓣荸 位矢量，则有： 臀l = ：= 仫2 ， 由( 2 。1 ) 式可以缮刭； 4 蓥2 牵巍然弯翅粱理论 i t j k 乒 一k 。 一一f + k l - t p - k , 式中- k ：i n o ，k , t q c o s o ，墨- 也+ 口。 本构方程可以表示为 q - e e # ，k 一2 g e s # ，- 2 a t e m 箕巾茁、秽分剐凳砉| 糕豹撵梭模量秘甥变横量。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 2 2 圣维南翘曲函数，广义翘曲坐标和等效本构方程 霞2 2 所示为自然弯扭粱横截磷的蔻筒形状。基本假设愁横截瑟在各自懿 平嚣内都楚无双测蛙的，但是可以发生自巍翘韭l 麓捌。这一假设有赙个重要豹 含义：( 1 ) 截面鼍z 面内的位移完全由三个刚体位移撑 ( s ) ，“，o ) ，以0 ) 袭示，分别 是两个截丽平移和一个截面转动；( 2 ) 梁的横截面在自身平面内不发生变形。 图2 2 粱搂截瑟豹凡侮镶蒺 这里假设粱的变形是由伸长、弯曲和扭转共同引起的，于是位移场可以表 示为： 5 第2 章鸯然弯栏粱理论 n w t + u i ；+ p ( 2 5 ) 在动载荷作用下，式中撑- 排和，亭，玑t ) 。它不仅怒坐标鼓叩，s 的函数，而艇也 是时间f 的函数。式中： 麟端嚣跫矗嚣芝器溉 眩6 ， i - 以s ，f ) + 7 以o ，f ) 一般( s ，f ) + 口0 ，f ) 妒0 ，r ) 上式中的“，v ，w 分别表示沿亭，簟，s 方向的位移，嚷，岛，以分别袭示绕豇叩，s 轴的 转角。a ( s ，f ) 为广义翘髓坐标，妒为圣维裔羟转麓曲函数。 攘截蠢上静应交，e s #e s 。懿表达式分别必： 厩- - e s + i , 咚一鲰+ 函+ 墨【( 等卜一( 等) 亭】8 施。咋仰叫拓( 卦妫妒卜 撕砖。岛+ 岛+ 她+ 【石( 等) + 峰驴卜 其中g - ( 1 一戢+ 刁乓) 2 ，假设梁的初始曲率是缓和的，则虿一1 。所以 f # - 口- k , v + 囊w ，魄一- r , o + 盖0 吃 岛m v - - 鹭w + 瓤鲜，一壤+ 鹭嚷 # 。黟 l qw t - - 印+ 峰v ，q 彰一巧咚+ 峰岛 由假设2 可知，一- - 0 。 弓l 入应力合力和合力矩为： q i 铥。一两，疑| 。餐毒一譬| 嚣1 d 妇 q t8 擎| 毋豁雄，m l “瑟。辨d 翻辖黛 t 繇”黔珥a 静毪，m ，_ 驴s 鞫g 翻 把( 2 7 ) 式代入( 2 4 ) 式，然后把所得绪果再代入( 2 j 9 ) 式，可以得到用广义 应变和广义翘曲坐标表示的等效本构方程为： 藏2 章蠡然弯攮粱理沦 q - q , ( e ，冬，岛，哆，吩，鸭，a ，口，) 取- 嫉( f ，# h ，q ，噱，a ，a 5 岛一g ( 岛，气，t q ，吩，a ，程) m ，- m ，纯，冬，勃，嗨，岛，g ( 2 撼) m ；- m ，鬈，$ # ，终，饼| ，群，半) m 口- m 目( t ，g # ，她，吩，鸭，a ，a ) 2 。3 广义变分原理 2 3 1 广义变分艨瑾 该梁在s 一魄s i 处固定，故有关位穆的边界条件为： u ( o ，f ) - f f ( 0 f ) 一0n o ，f ) - u ( 1 ，f ) * 0 v ( o , t ) - f ( o , t ) 一0v ( 1 ，t ) - v ( 1 ，f ) 一0 w ( o ，t ) 一面( 0 ，f ) 一0 哪，r ) i - ( f ，f ) 一0 唼 磅一舔椎磅一0s 辑t ) - a ( 1 + f ) - 0 ( 2 t l 王) & ( o ，t ) 一& ( o f ) 一0 巳( 1 ，0 一( f ，t ) - 0 ) 一或俺f ) 一0 # ，t ) - o , q ，f i 0 口( 0 ，f ) 一百( o ，f ) 一0a ( 1 ，f ) 一i ( f ，f ) 一0 在动载荷作用下，根据弹性体动力学的h a m i l t o n 原理m 瑚，并碍f 入待定的 l a n g r a n g 菜子五簪一l 聋，1 4 ) ，将该粱两端终束佼移酶逑界条俘( 2 1 1 ) 式零| 入， 该梁在q 内联麸应变蕴穆关系 出 ( 2 1 2 ) 对上妓进雩亍交分时，戤托墩毪，& ，毽，8 ， 均为独立交量。邋过分郝积 分，并利用梁的位移边界条件，可以导出动力学方程t 2 2 1 ； 田p d 亭d r l 巍。鳞一k ，蜴+ - q + 舔 话鼬鼍d 毋。q ：l x ，年k 愈+ q n 穗p a 鑫醉每瑟戳碡蕾相蠢j 链_ k 寺k 融q t 壁p 对d 鼍d q 毽一廷p 酗d d q 自，+ 壁p q 午d 薹翻a - m ；一k j q + k q m l 一瓴+ m 毽缮 症专翻，一话p 勤d 翻瓠一瑟p 专譬畦翻矗 一m ：一k m 。+ k 潞；七q + m q f f p ( 亭2 + 费m d q a 4 一m ：一k 。m t x m 。+ m | p 矿d 翻霾七瑟p 弼翻萄寺鼗阳磷翻自一劈砖霹鼍如a h i 皤筘羹鼍d 穗一x s 嚣嘹专嘞p 霉鼍姻 一仃 f ( 嚣) 一玛妒】t 矗+ 【( 考) 一乓妒】t 岛 矗静蟹 e 2 t s ， 由于亭，叩为截面的形心轴，这里已缀利用了仃静静叩4 厨w 亭咖；o 的截面几何 性质。式中虬”表示各位移函数对时间t 的二阶偏导数，符号“t ”表示各位移函数 s 第2 章巍然弯援粱理谂 对弧长s 的一阶偏导数。 2 3 2 问题的篮化 如果梁具有双对称的截面，那么圣维南函数有以下的性质； 赔，蹿) - 一妒( 一亭，雄 一岬( 芋，唧) 一0 掇撰遨数妒豹这牲震，则不难涯骥下霭的关系式成立 瑟磷d | 一纛 驴d 酚r i - 瑟携神d 霹一爨麓d 参d , 1 - g 蒿d 毫翻- o t 2 1 幻 固瓣出截嚣豹凡织性震绘出 题喇静，l 。0 1铲翻l a ( 2 赴1 式中，爿为梁横截面面积，把( 2 1 3 ) 式中的有必项对翦蚜积分，结合( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 式，( 2 1 3 ) 式可简化为； m i i 。瑶一k 婊+ g + 啄 坍舻一q i ：一乓q j + k 珐+ m g , 一g 一毛珐+ 乓骗+ 嚼 l 一m ；一k 掣q + x q m | 一q q + m l | m 一m ；一k m l k 弹+ q 专m q l | - m ：k + k m + m 。 t 2 1 6 ) 撑- 蚵刚静拧) 一 ( 詈卜+ ( 詈) 亭卜d 影叩 西 f ( 鼍) 一毪伊卜十【( 等) - 劬卜 露静蟹 式审： m k - 巾f f p d 亭d ：, 7 - d 掌d r 鹏l ；c 鬻；秣f f p 协2 ，i 帕。爨p 乖i ，”甄p 。a 如； i ，。b 2 + 矿翻 这熙p 为粱的密度，小为梁单位长度的质爨，k ，k ，分别为横戳面对掌，叩 轴和形心的质量惯性筑。注意到( 2 1 4 ) 式，内力位移关系可简化为； 9 繁2 章鑫然弯撼粱理滚 其中： 廷- g a k j 咚一嚷j 蜴- g a k , l 岛一岛j 2 - e a z s + e k , d a m 一e l 妙s m ，一e l 飘 m ，一g j a + 掰，( 彬一口) ( 2 。1 8 ) ，。f r i l l ) 亭一( 詈p + 亭2 + 矿p 到叼；。“盯 ( 詈) 叩一( 篱) 掌p 亭咖c 2 舯， 最艏，将( 2 8 ) 式代入( 2 1 0 ) 式，把得到的结果再代入( 2 1 6 ) 式得 阻 露卜n r + 纠州+ 【c 】m + 【，】 ( 2 2 0 ) 搿( o ，f ) 一0 ；u ( t ，f ) 一0 其审： 囊】一矿w 致镪识8 】1 r - p o p | m tm ，m so l i 阻】一 硝 靡 k l l 神 瑟p 矿d 曲 第2 章鑫然弯轾粱理论 吲* 纠t 闭一 0 0 - k ( e + 圆 o 舶 o 痧 o o k 毋疆g ) ( 秘 o o 拶 一噼刨+ 彪；翻) 砧毛蜀l t t 6 纠 - k , g a o o k 妻d k 4 e + g ) 矗叠 e g ) o o o o 0 k 毒彤 一簖翻+ 霹崩 k 0 g a o 吨g a o - k , k e d g i p e g o 6 篷 o o o - k j e l g 七g l p ) o k $ e g a k , k g a - o a k 2 , 觳g a 七。g 疆 o 0 蒯0o ooo 000 0 k ，l e i z + g i e ) 0 ooo oo* g d og p o 一岔4 o 溯 一l g 矗斗毽g lp 一醚e l k 誊p p 童乒l 。 - k q g d o - k ，g a k v g a k 枣p i p 一僻专毯p 丰毯默0 k $ 乒l k 零d 工一一 + g ，2 r 十居螂詈- 一酱抒蝴 1 1 o o o k i k ；e i ” 莪妻滓裴 一q e i 。年砖e 1 0 o k $ 善d - k , k f e d o - k 口g d k , g d o 第3 露璇细软势法 第3 章精细积分法及其应用 工程结构在突加载荷或冲击载荷的作用下，往往要求做瞬态历程的分析。 由予结构几何系统的复杂性，在对空闯坐稀采用宥限元离散稀，得掰的往往是 数墩子谤囊由度豹系绞。采翔特征囊量震舞法一般只选耀低频豹若于个特缝解 是不够的，此时就要采用在时域中的逐步积分方法。 逐步积分已经有了多年的研究，有许多方法w 供选用【丝l 。从分类上说有显 式积分与隐式积分两大类。鬣式积分对于簿一辩褥步效率较离，毽辩游步努矮 取褥很，j 、方能保涯其稳定性。黪式积分法则可以通过捻当的参数选撵来保证积 分的数值稳定性，因此时问步长稍大也可邋用。熟知的n e w m a r k 法及w i l s o n 一0 法 都怒隐式积分格式。然而这夔积分法也有其弱点；由予时间步长选酌大一些， 一麓毫颓振动豹分量不能正臻逮反艨彦亲。鲡暴将其溺子一令保守体系，剡经 过璐于步的计算后，系统的能攫不能保持守恒。这种情况被称为“人工阻尼”戏“算 法阻尼”；这是选用积分法不聊避免的。 对于般的动力学方程； m i + g i + k x - r ( o( 3 。1 ) i n m o t ，x o p 式巾m ，g ，k 分剐为质爨、阻尼和刚度矩阵，它们均为n x n 矩阵，撑为结构的总 自国度数。嚣毫x 分掰先麓速度、速度和彼移囱蘩，章) 为载祷向爨，筠为n x l 维麓终，窈，筘是已期戆视始磊搏。 方程( 3 1 ) 在时域上的数值求解方法已缀有很多种。文献【2 9 】对这些方法进行 了较为完整的归纳和总结，将方法分为4 类：假设加速度线性必、有限差分类、 展歼级数类和交换矩簿降阶炎。其牵钟万勰提赉翡精镶积分法属予变换斑簿降 除炎。由予耪纲积分法豹毫度精确燃，已经在结掏动力分辑、优化控制、壤微 第3 章蕤缨积分法 分方程的精确求解、非稳态随机动力学等领域得到了广泛的_ | 敷用。并且在精细 积分法的基本原理上产生了很多的方法。 3 。l 精细积分法【雏3 2 j 3 1 1 齐次方程及指数矩阵的算法 仿效哈密顿体系对偶变量的弓f 入，令 p - m y c + g x 2 或童- m 4 p m i g x 2 将( 3 ，2 ) 式技入( 3 。1 ) 式可缮 多- 一( 鬈一g m 一1 0 4 ) 工一g m l p 2 + r 方程( 3 2 ) 及( 3 3 ) 妓可以筠成线性体系的一般形式 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 比照方程( 3 2 ) 和( 3 3 ) ，w 以看出其中各个量分别为 p ，一。臌+ g x ，2 , a - 一m - i ，g 2 , b - 例叼，4 罐 ( 3 5 ) lc 一i 譬鹾- 1 2 ，d - m ，一，1 0 当膨矩跨为对称正定，g 矩阵为反对称，k 矩阵为对称，且- - o 对，体系 成为保守体系。保守体系可遂用变分原理米推演，并充分利用哈密顿体系的已 有成果。但当有阻尼时，方程( 3 4 ) 并不是保守体系；特征函数的颓域法用起 来藏感囊苓便，鞫忿采蔫嚣重稷积务楚缀自然豹。方程缎( 3 4 ) 是 舞次懿。麸 线性豢微分方程的理论可知，应当先找出赛次方程组的通解，然后再用叠加原 理戏变量代换法找出其非齐次方程的特解。因此应首先研究以下齐次方程 i 1 - a q + 印 ( 3 6 ) 多；b q4 - 的通解。 )43( 0 + + 印q f + 如爨 i 一 。譬p 茎! 整茎墅篓坌鎏 常微分方程组常用的数值计算方法往往是将微分方程化成差分方程的积分 法，然而如文献【3 3 】所指出的，这些差分方程往往会破环保守体系的守恒性质。 将 于是游题最籍羯绣蠲( 3 。i i ) 式矩阵f 兹数馕计算，要求瑟霹髭精确。指数 矩黪f 的壤纲计算奏弼个要点； 1 1 遮用指数函数的加法定理，即运用2 类的算法； 将注意力放在增量上。而不是其衾量。 指数短薄交数豹麓法定臻给窭 e x p ( h f ) 一【哪舭掰玎 ( 3 1 2 ) 其巾嬲为任意正整数，当前可选用小- 2 ，例如选n - 2 0 ，则埘- 1 0 4 8 5 7 6 由 于f 本来是不大的时间区段，则垃- f m 将是非常小的一个时间区段。因此对 于触的区段，裔 e x p ( h & - i + h a t + ( h 越2 ，2 + 嚣矗f ) 3 ，3 “嚣越) 4 ，4 l = j + 艺( 3 。1 3 ) 第3 拳耪缎积分法 其中 疋_ ( 日缸) + ( h f ) 2 f + w a t ) 3 + ( h f ) 2 ，1 2 】，2 ( 3 1 4 ) 在计算中很道要的一点怒指数矩阵的存储只能是上式中的，而不是( 3 1 3 ) 式巾的f + 乏。瓣为乏缀夺，当它每单位箨f 裙麓游，耱会或梵英蕙数，在谤葬 规豹舍入操终孛，其精度将丧失殆尽。乏簸是增爨e 这就是翦文所述数第二个 要点。 为了计算r 阵，应先将( 3 1 2 ) 式作分解 t - ( ，+ 互) 矿- p + 艺) 前( ，+ 艺) 舻q ( 3 1 5 ) 这稀分解壹傲下去，筵次。应注意，瓣任意矩阵露，乏骞 f 霉) x ，+ 乏) - i + 五十乏+ 嚣乏 ( 3 1 6 ) 当五，霉很小时，不能加上，后缚执 亍乘法运算。将嚣，瓦都看成为乏，因 此( 3 1 5 ) 式的次乘法相当予以下的语匈 f o r ( i t e r o ；i t e r n ；i t e r + + ) 瓦- 2 瓦+ ( 3 1 7 ) 当虢上循环语匈结束震，再撬行 r j + 乏 ( 3 。1 8 ) 由乎次乘法殿，融不再是很小的矩阵，这个加法已经没有严重的舍入误差 了。以上便是指数矩降的精细计算方法。 3 1 2 非齐次方程 对予非齐次方程( 3 1 ) ，还要考虑外力r 章) 。按线髓微分方程静求解理论， 翔莱求缮了在任意辩刻戆毛攘士熬洚翡应缀阵毋( 六毛) ，簧| l 由终力弓| 熬戆豌戍可 以囊挂晗梅尔积分求出 p o ) _ 舻) + 咖( f ，) ，“) 嗷 ( 3 1 9 ) 第3 章薅细羧分法 其中垂( f ， ) 具有以下性质： 1 ) 西( t ) - ，； 2 ) 西( t 1 ) - o ( t ，如) 西以，f 1 ) 3 ) 满足微分方程西( f ，t d * * h o ) o ( t ，r 1 ) 式审写日，表鲳理论主这对手对交系统魄是遥瘸豹t 瓣予辩苓交系统，羹| l 有 毋 ，毛) 辔 一气) 一哪【丑母一l | ) 】 ( 3 2 0 ) 这愿审( f ，f 1 ) 是一个指数矩阵。显然咖( 0 一r 。 数值计算时，只要求对一系列等间距的时刻做出计算。而且并不要求每次 都翳从气开始计算，而是由算到这样( 3 1 9 ) 式应改成 。矾+ j ：“垂( “廿( f 渺 ( 3 2 1 ) 一t r k + 工唧p 母一善净瓴誊) 跨 现在懿溺题楚终力r 冬+ 誓) 豹麓耩表达式绘零窭寒。妇果缓定在瑶- t , 。乏闺 用线性插馑 r ( t + 参) - + 亭 ( 3 2 2 ) 则由( 3 2 1 ) 式的积分可得 咋“- f 卜+ h - t + 露。k ) 卜抒【+ 露一k + 弭】 ( 3 2 3 ) 亩乎线住矮值蔻穰翟獠鹣近镁，霞戴还有多耪其它近儆靛解掇表这式鼙戳采羯。 当r 极+ 誊是多域式、指数爱数、重弦或余弦函数对，则可以精确地进行积分， 得到精确的形如( 3 2 3 ) 式的迭代表达式。 3 1 1 精度分析 精细时程积分的主要一步是指数矩阵rie x p ( h - r 1 的计算。除计算机执行 矩阵乘法通常有些算术舍入误差外，误纛只能来自幂级数展歼式( 3 1 3 ) 的截断。 筹3 章耩缨积分法 在算法中采用疋阵的迭代，其主要项是( 尉a t ) ，因此截断误差必须与它相对 比。在展歼式( 3 1 3 ) 中截去的第一项是( 日a f ) ，51 ，因此其相对误差可估计为 f h a t y1 1 2 0 ( 3 2 4 ) 设对矩阵日求出了全部的特征解，鼬 h y = y d i a g u f 】凌h - w i g ；, a v 。 其巾y 是驭特珏囱量为捌掰组成熬簌薄，热哉表全都特缝毽，d i a g 【】表示对角 阵。于是就可以母出 e x p ( h a t ) = y e x p ( d i a g 嗨 a t ) y q - y d i a g ( e x p , a t ) y 。1 ( 3 2 5 ) 这样，0 1 3 ) 式的截断近似相强于下掰：的截断近似 e x p ( u a t ) - l + 舒+ ( 芦) 2 2 + ( p 缸户，3 1 + ( 芦船) 4 ，4 l ( 3 2 6 ) 爨t 分耩将不嚣特征簋豹特繇解所带来静谟差分离出寒? 。0 a 3 ) 式豹耀对误差 对予各个特征鳃为乒艇) 41 1 2 0 ，戤此应取其绝对值a b s ( 弘) a t ) 41 1 2 0 。注意到 当前倍精度数的有效像数是十进$ i j l 6 位。因此在计算机位精度范围内，应要求 【a b s ( 弘) 吖2 ”】4 1 2 0 1 0 “ ( 3 2 7 ) 取- 2 0 , 2 - 1 0 6 ，有 a b s ( z k = g 。a r e a ； b b ( 3 ，7 ) = k s + e 4 d ； b b ( 4 ，5 k s e 4 i p ；b b ( 4 ，o = k y 4 0 s l x x + g 8 i p ) ； b b ( 5 ，6 ) - - - k x 4 礴+ i y y + g 8 l p ) ； b b ( 6 ，7 ) 一g + d ；b b ( 7 ，7 ) = 0 ； b b = s p a r s e ( d o u b l e ( b b ) ) ； b b = b b - b b ； c c ( 1 ，1 ) = - ( k s “2 4 g 4 a r e a + k y 2 + e + a r e a ) ；c c ( 1 ，2 ) = k x 4 k y 8 e + a r e a ；c c ( 1 ，3 ) = k s k x 4 g 4 a r e a ；c c ( 1 ，4 ) = k s 4 g 8 a r e a ；c c ( 1 ，7 ) = k s 4 k y + e 4 d ； 堕茎垒。一 c c ( 2 ，2 = ，秘2 8 舻a r e a + k x 8 2 4 e * a r e a ) ；c c ( 2 , 3 ) = k s * k y 4 g a r e a ；c c ( 2 , 5 ) = - k s g a r e a ；c c ( 2 ，乃- - k s + k x + e + d ； c c 0 3 ) = - g a r e a * k 1 “2 ；c c ( 3 ，4 ) = k x g a r e