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复杂系统的输出反馈控制器设计 摘要 目前对鲁棒控制的研究多使用状态反馈，但在许多实际问题中，系统的状态往往是不能商接测 量的，此时难以席用状态反馈控制律实现系统控制。有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到 实施控制的成本和系统的可靠性等冈紊，同样需要运_ h j 输出反馈来实现系统控制。因此，研究控制 系统的输出反馈镇定及其控制器设计具有重要的理论意义和实际应川价值。 本论文以鲁棒控制，。控制、输山反馈控制磐相关理论为出发点，基丁l y a p u n o v 稳定性理论 和线性矩阵不等式( i j i i ) 方法，针对具有范数有界不确定参数的不确定时滞系统，研究了输出反馈 控制器和。输山反馈控制器的设计方法。 首先，对线性不确定时滞系统的输出反馈控制器进行了设计弗对控制平状态中都含时滞的系 统进行了静态输出反馈控制器和动态输山反馈控制器设计；其次。对丁受滞后影响较火的系统，考 虑带有滞后的控制输入，讨论了线性时滞系统带记忆静态输出反馈日。控制，线性时滞系统带记忆 动态输出反馈日。控制利具有时滞依赖系统的动态输山反馈。控制等f - j 题：并从线性o e , _ z r i j 时滞系 统的输出反馈控制器设计入手，对一类1 f 线性不确定中立型时滞系统，给出了一种新的基予状态观 测器和估计状态线性无记忆输出反馈控制器设计方法。保证了相应的闭环系统濒近稳定，观测器和 控制器的设计方法依赖于两个l m i 解矩阵的存在性，计算简单且避免了人为选抒参数的麻烦。运川 i l a t l a b 中的l y l il j 恩箱求解出控制器参数，l ：心s i m u l i n k 对实际系统进行了仿真实验，通过仿真 实例证明了这种控制器设计方法能够达到较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性：最后。 对不确定离散系统设计了输出反馈保性能控制器。 关键词：静棒控制；输出反馈；z - z 输出反馈；线性矩阵不等式；不确定性：时滞 o u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g nf o rc o m p l e x c o n t r o ls y s t e m a b s t r a c t a tp r e s e n t 。p e o p l eo f t e nu s es t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a wt os t u d yr o b u s tc o n t r o l ，b u ti nm a n yp r a c t i c a l p r o b l e m s ，t h es y s t e ms t a t eo f t e nc a n n o tb em e a s u r e dd i r e c t l y , i t i sd i f f i c u l tt ou s es t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a w t oc o n t r o lt h es y s t e m s o m e t i m e s , e v e ni ft h es t a t ec a nb em e a s u r e dd i r e c t l y , b u t ，c o n s i d e r i n gt h ec o s to f i m p l e m e n t i n gt h ec o n t r o la n dr e l i a b i l i t yo ft h es y s t e ma n do t h e rf a c t o r s t h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o lc a n n o t a c h i e v ea c c e p t a b l ee f f e c t i ft h eo u t p u tf e e d b a c kl a wc a na c h i e v et h ep e r f o r m a n c er e q u i r e m e n t so ft h e c l o s e d l o o ps y s t e m ，t h e ni tc a nb es e l e c t e dw i t hp r i o r i t y t h e r e f o r e ，t h eo u t p u tf e e d b a c ks t a b i l i z a t i o no f u n c e r t a i ns y s t e m sa n dc o n t r o l l e rd e s i g nh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lv a l u e t h i sp a p e rw a sb a s e do nr o b u s tc o n t r o l ，h i n fc o n t r o l ，o u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lt h e o r y i ti sb a s e do n l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) m e t h o d s f o ru n c e r t a i nt i m e r d e l a ys y s t e m s w i t hn o r mb o u n d e du n c e r t a i np a r a m e t e r s ，t h ep a p e rs t u d i e dt h eo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e ra n dh i n f o u t p u t f e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o d s f j n t t h ep a p e rd e s i g n e dt h eo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rf o rt h el i n e a ru n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s , s t u d i e dt h es y s t e mw i t ho n l ys t a t et i m e d e l a y , a n dd e s i g n e dt h es t a t i ca n dd y n a m i co u t p u tf e e d b a c k c o n t r o l l e rf o rt h es y s t e mw i t hc o n t r o lt i m e - d e l a ya n ds t a t et i m e - d e l a y s e c o n d ，a sf o rt h es y s t e mi n f l u e n c e d m u c hb yt h et i m e d e l a y , c o n s i d e r i n gt h ec o n t r o li n p u tw i t ht i m e - d e l a y , t h i sp a p e rd i s c u s s e dh i n fs t a t i c o u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lf o rl i n e a rt i m e d e l a ys y s t e mw i t hm e m o r y , h i n fd y n a m i cf e e d b a c kc o n t m lf o r l i n e a rt i m e - d e l a ys y s t e mw i t hm e m o r ya n dh i n fd y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lf o rd e p e n d e n t t i m e - d e l a yl i n e a rs y s t e m t h i r d ，b e g i n n i n gw i t ht h eo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rf o rl i n e a rn e u t r a lt i m e d e l a y s y s t e m ，t h ep a p e rs t u d i e dac l a s so fn e u t r a lt i m e d e l a ys y s t e mw i t hn o n l i n e a ru n c e r t a i n t ya n dp r o p o s e da n e wo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g nb a s e do nt h es l a t e - o b s e r v e rw h i c hg u a r a n t e e dt h a tt h ec l o s e d - l o o p s y s t e mw a so fa p p r o a c h i n gs t a b i l i z a t i o n t h ea p p r o a c ho fd e s i g n i n gt h eo b s e r v e ra n dt h ec o n t r o l l e rw a s d e p e n d e n to nt h ee x i s t e n c eo ft w os o l u t i o n so fl m i t h i sw a ss i m p l ea n di tc o u l da v o i dt h et r o u b l eo f c h o o s i n gt h ep a r a m e t e r s t h ec o n t r o l l e rp a r a m e t e r sw e r ew o r k e do u tb ym e a n so fl m it o o l b o xi n m a t l a b s i m u l a t i o no ft h ea c t u a ls y s t e mw a sc o n d u c t e do nt h eb a s i so ft h es i m u l i n kt o o l b o xi n m a t l a b ，t h er e s u l t so fw h i c hp m v e dt h a tt h en e wc o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o dc o u l da c h i e v eb e t t e rc o n t r o l e f f e c ta n dw a sm o r er o b u s ta n ds t a b l e f i n a l l y , t h ep a p e rd i s c u s s e dt h eo u t p u tf e e d b a c kg u a r a n t e e d - c o s t c o n t r o l l e rd e s i g nf o ru n c e r t a i nd i s c r e t es y s t e m s k e yw o r d s ：r o b u s tc o n t r o l ；o u t p u tf e e d b a c k ；h - n fo u t p u tf e e d b a c k ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m l ) ； u n c e r t a i n t y ；t i m e d e l a y 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人巴经发表或撰写 过的研究成果对本文的研究做出重要贾献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意 作者签名：避作者签名：殳岂继 学位论文使用授权声明 本人完全了解大庆石油学院有关保留、使用学位论文的规定。学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内客编入有 关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解鸯后 适用本规定 学位论文作者摊：刊孵 甚强：文户) - 三c ) 导师梯：砀 日期泖 弓2 - - o 创新点摘要 本文基于l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式( u i i ) 方法，对不同不确定时滞系统研究了 输出反馈控制器和以输出反馈控制器。主要的j i _ ：作和创新点如一f ： i 研究了线性时滞系统的输出反馈控制器设计方法，针对不同的时滞系统设计了输出反馈控制 器，保证自j 环系统渐近稳定，f 给出仿真实例以证明了- 设计方法的彳敲性。 2 针对控制通道中含有时滞环协的线性不确定时滞系统，设计静态输出反馈控制器，省去了状 态观测器的设计，降低了闭环系统的阶数。冈而有利于提高系统的抗干扰性和系统的可靠性通过 选取设计参数矩阵，给出了由线性矩阵不嚣式描述的输出反馈镇定律的存在条t l ：，f ：给出了相应的 设计方法。 3 针对含有1 # 线性不确定的中立弛时滞系统，给出一种新的基于状态观测器和估计状态线性无 记忆输出反馈控制器设计方法，保证闭环系统渐近稳定，运用l i a t l a b 中的u i ij t = 具箱求解控制器参 数，并瑚s i m u l i n k 对实际系统进行了仿真实验，通过仿真实例证明了控制器设计方法能够达到较 好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性。 关键词：鲁棒控制；输出反馈：日。输出反馈：线性矩阵不等式；不确定性；时滞 人庆“油学院碳f 。研究生学位论文 引言 在实际应用中，许多控制对象很难被精确描述。在其数学模型中不可避免地存在各 种形式的不确定性。_ 方面，物理系统中可能出现的现象十分复杂，现有的建模理论和 数学手段又远非完善，在控制系统建模时，往往要做许多近似，因而难以建立实际对象 的精确数学模型，不可避免地存在建模误差。另一方面，在实际系统工作过程中，还存 在着内部结构_ j 参数的未知变化以及外部干扰等因素。这些因素的总和构成了系统中的 不确定性，它们的存在必然会影响系统的性能，使控制变得复杂和困难。 鲁棒控制是针对不确定性系统的控制系统设计方法。鲁棒控制理论主要研究的问题 是不确定性系统的描述方法、鲁棒控制系统的分析和设计方法以及鲁棒控制理论的应用 领域。 上世纪8 0 年代以来，对控制系统的鲁棒性研究引起了众多学者的高度重视。鲁棒 控制理论是以使用状态空间模型的频率设计方法为主要特征，提出从根本上解决控制对 象不确定性和外界扰动不确定性问题的有效方法。 鲁棒控制的主要思想是针对系统中存在的不确定性因素，设计一个确定的控制律， 使得对于系统中所有的不确定性。闭环系统能保持稳定并具有所期望的性能。 。控制是鲁棒控制理论的组成部分之一，原始的鲁棒控制问题只是考虑系统干扰 的不确定性，后来，同时考虑了系统参数的不确定性和干扰的不确定性，发展了日。鲁 棒控制理论。 l 鲁棒控制理论的实质是为多输入多输出且具有模型驱动的系统提供了一种频域 中的鲁棒控制器设计方法。 乙鲁棒控制理论很好地解决了常规频域理论不适于m i m o 系统设计及l q g 理论不适于模型摄动情况两个难题，其计算复杂的缺点己因计算机技 术的飞速发展及标准软件开发工具箱的出现而得到克服，故近十年来已成为控制理论的 个热点研究领域。并取得了大量的实际应用成果。 解决鲁棒控制问题和三鲁棒控制问题的方法有很多，其中多数应用的是状态反馈 方法，这种方法佼用的是系统的状态来分析系统的稳定性等性能指标。 但是，在许多实际问题中，系统的状态经常不易测量，有些情况下甚至不可能测量， 从而状态反馈控制器难以在物理上实现，解决这一问题的有效途径通常是采用基于观测 器理论的间接控制器设计方法，但是当系统的状态矩阵和输入矩阵存在不确定性时，观 测器的构造将遇到很大困难。在这种情况下，则更适合于用输出反馈来设计不确定系统 的控制器，因此，不确定系统的输出反馈镇定研究及其控制器设计具有重要的理论意义 和实际应用价值。 输出反馈使用对象的输入输出模型，对线性系统来说，对象的数学模型就是传递函 引奇 数输出反馈只取对象的能测到的输出信号作为反馈信号。 输出反馈有两种途径：一种是直接利用测量输出反馈，称为静态输出反馈。一般地， 静态输出反馈简单易行，但由于测量输出只是系统局部信息的反映，因而其反馈只能是 局部信息的反馈，所以在很大程度上静态输出反馈不易实现系统的全局镇定；另一种途 径是动态输出反馈。动态输出反馈兼有观测器的思想，并采用补偿的设计方法，具有全 局反馈和可靠镇定的效果。 近年来，输出反馈控制的研究逐渐成为热点问题，但理论成果并不多，本论文旨在 系统地研究各种时滞系统的输出反馈控制问题，针对不同时滞系统设计静态和动态输出 反馈控制器，使褥当控制对象的不确定性在一定范围内时，整个闭环系统都能保持所希 望的性能，并试图找到某些情况下使用输出反馈控制器的优点，使其更具实际意义。 2 人庆廿油学院珂 l j 研究生学位论文 1 1 输出反馈概述 第一章概述 在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，故难以应用状态反馈控制 律来对系统进行控制。有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到实施控制的成本和 系统的可靠性等因素，如果可以用系统输出反馈来达到闭环系统的性能要求，则更适合 于选择输出反馈的控制方式。因此，不确定系统的输出反馈镇定研究及其控制器设计具 有重要的理论意义和实际应用价值。 输出反馈使用对象的输入输出模型，对线性系统来说，对象的数学模型就是传递函 数。输出反馈只取对象能检测至q 的输出信号作为反馈信号。很多控制系统实际上都是输 出反馈。 输出反馈有两种途径：一种是直接利用测量输出反馈，称为静态输出反馈。一般地， 静态输出反馈简单易行，但由于测量输出只是系统局部信息的反映。因而其反馈只能是 局部信息的反馈。所以在很大程度上静态输出反馈不易实现系统的全局镇定；另一融途 径是动态输出反馈。动态输出反馈兼有观测器的思想，并采用补偿的设计方法，具有全 局反馈和可靠镇定的效果。 8 0 年代已有些对一般线性系统的输出反馈鲁棒镇定的研究报导，在这些报道中， 文献【i 】中使用了降维观测器。文献 2 】和文献 3 】使用的是全维观测器。到了9 0 年代初， 基于二次镇定概念的输出反馈鲁棒镇定问题的研究报导也有出现，其中尤以p c t e r s e n a n dh o l l o t l 4 j ，j a b b a r ia n ds c h m i t e n d o r f t 5 】和x i e 6 该具代表性。而对于不确定时滞系统的输 出反馈鲁棒镇定问题郅9 0 年代中后期力+ 有报导出现。在文献【7 中给出了采用静态输出 反馈控制律处理具有耦合参数不确定性的不确定时滞系统的鲁棒镇定问题的研究结果。 文献【8 】将文献【l 】的结果推广至采用动态输出反馈控制律处理一类不确定时滞系统的鲁 棒镇定问题，但是要求系统的不确定性是秩l 型的，并且满足匹配条件。文献【9 】采用动 态输出反馈研究了一类同时存在状态和控制滞后的不确定时滞系统。得到了系统鲁棒二 次可镇定的充分条件，其不确定参数为范数有界形式。 参数不确定系统的输出反馈日。鲁棒控制问题也一直是复杂控制系统研究者的关注 对象。有学者研究了一类状态含有时变时滞但不合有不确定性的线性系统，得到了一个 时滞依赖的h 。输出反馈控制器的设计方法。j e t t n g 研究了一类状态含有时变时滞但不含 有不确定性的线性系统【，得到了一个时滞依赖的日。输出反馈控制器的设计方法。其 后j c u n g 又将原来的系统推广到状态和控制均含有常数滞后但同样不含不确定性的线性 系统j ，并得到个时滞无关的点l 输出反馈控制器的设计方法。目前对具有状态与控 制时滞的不确定时变系统的日。输出反馈控制问题还未见探讨。带有末建模动态及输入 第一章概述 输出干扰的不确定性系统，近年来己成为许多学者研究的课题，基于输出反馈的变结构 控制系统的设计也得到了重视。 1 2 鲁棒控制理论概述 上世纪6 0 年代，状态空自j 结构理论的形成，与最优控制、卡尔曼滤波以及分离性 理论一起，使现代控制理论成了一个严密完整的体系。但所有这些研究要求受控对象的 数学模型是完全已知的，而大多数实际的工程系统都运行在变化的环境中，要获得精确 的数学模型是不可能的。现代控制理论的这一局限性促进了鲁棒控制的发展。文献【1 2 】 1 3 首先提出了鲁棒控制这一概念。上世纪8 0 年代以来，对控制系统的鲁棒性研究引起 了众多学者的高度重视。鲁棒控制理论是以使用状态空间模型的频率设计方法为主要特 征，提出从根本上解决控制对象不确定性和外界扰动不确定性问题的有效方法。鲁棒性 分析和设计方法主要有只。控制方法、结构奇异值方法、基于分解的参数化方法、在 l q g 控制的基础上使用l t r ( l o o pt r a n s f e rr e c o v e r y ) 技术的l q g l t r 方法、二次稳定 化方法以及基于平衡实现原理、卡罩托诺夫( k h a r i t o n o v ) 定理和棱边定理的方法等。 1 2 1 鲁棒控制理论及发展现状 控制系统就是使控制对象按照预期目标运行的系统，大部分的控制系统是基于反馈 原理来进行设计的。反馈控制已经广泛地运用于工业控制、航空航天等各个领域。在实 际控制问题中，不确定性是普遍存在的。不确定性可能来自所描述的控常9 对象的模型化 误差，也可能来自外界扰动的多样性。因此，控制系统设计必须考虑不确定性带来的影 响。8 0 年代以来，反馈控制理论获得了惊入的发展，己经变得更加严密，更加符合实际， 由此发展起来的鲁棒控制理论为处理不确定性提供了有效的手段。 鲁棒控制理论发展的最突出标志是日。控制和方法。t 9 8 1 年詹姆斯( z a m e s ) 提出了 最优灵敏度控制方法【1 4 ，多伊尔( d o y l e ) 和斯坦因( s t e i n ) 提出了在频域内进行回路成形 ( l o o ps h a p i n 蓟的重要性【1 5 】，使得在控制系统设计中许多鲁棒稳定性和鲁棒性能的指标 可以表达为特定闭环传递函数矩阵的 乙范数，此后发展起来的产，硼控制理论是解决系统 不确定性的一种有效工具。以上这些鲁棒性分析和设计方法的不甑完善，正逐步构筑起 鲁棒控制理论的完整体系1 ”j 。 鲁棒控制的主要思想是针对系统中存在的不确定性因素，设计一个确定的控制律， 使得对于系统中所有的不确定性，闭环系统能保持稳定并具有所期望的性能。鲁棒性的 概念一般描述为：设被控系统的数学模型属于集合d ，如果系统的某些特性对于集合u 中的每一对象都保持不变，则称系统对此特性是鲁棒的。在控制系统中，鲁棒镇定和鲁 棒性能是两个重要的概念。鲁棒镇定是指设计控制器k ，不仅使标称被控对象p 稳定， 而且也能使摄动后的被控对象p + p 或者p ( i + a ) 稳定，即一个控制器k ，如果对集合 d 中的每一个对象都能够保证内稳定，那么它就是鲁棒镇定的。鲁棒性能是指集合d 中 4 人庆“油学院硕l 研究生学位论文 的所有对象都满足内稳定和某种特定的性能。 鲁棒控制理论主要研究分析和综合这两方面的问题。在分析方面要研究的是：当系 统存在各种不确定性及外加干扰时，系统性能变化的分析，包括系统的动态性能和稳定 性等。在综合方面要研究的是：采用什么控制结构、用什么设计方法保证控制系统具有 更强的鲁棒性，包括如何应对系统存在的不确定性和外加干扰的影响。它弥补了现代控 制理论需要对象精确数学模型的缺陷，使得系统的分析和综合方法更加有效、实用。鲁 棒控制自提出以来，已经取得了一系列的研究结果和方法，并在一些工程领域中获得了 成功的应用。 反馈控制系统设计的基本要求包括稳定性、渐进调节、动态特性和鲁棒性等四个方 面。 ( 1 ) 稳定性：它是控制系统设计的最基本要求并意味着控制系统从工作点附近任意初 始状态出发的轨迹在时自j 趋于无穷时收敛于工作点。 ( 2 ) 渐进调节：它意味着对于一类给定的目标输入r 和外部扰动d ，一个反馈控制系 统必须能够保证i i m e ( t ) = 0 即保证控制系统的稳态误差为0 。渐进调节的特性反映了控 制系统的稳态性能。， ( 3 ) 动态特性：它是指反馈控制系统的动态性能必须满足一组给定的设计指标。 ( 4 ) 鲁棒性：它是指当不确定性在一组给定的范围内发生变化时，必须保证反馈控制 系统的稳定性、渐进调节和动态特性不受影响。 一个反馈控制系统是鲁棒的，或者说一个反馈控制系统具有鲁棒性，就是指这个反 馈控制系统在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐进调节和动态特性保持不 变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力。鲁棒性又可以分 为鲁棒稳定性、鲁棒渐进调节和鲁棒动态特性。 ( 1 ) 鲁捧稳定性是指在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳定性。 ( 2 ) 鲁棒渐进调节是指在一组不确定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的渐进 调节功能。 ( 3 ) 鲁棒动态特性通常称为灵敏度特性，即要求动态特性不受不确定性的影响。 一个反馈控制系统的设计问题就是根据给定的控制对象模型，寻找一个控制器，以 保证反馈控制系统的稳定性，使反馈控制系统达到期望的性能，并对模型不确定性和扰 动不确定性具有鲁棒性。具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统。抓住不确定性变化 的范围界限，并在这个范围内进行最坏情况下的控制系统设计，这就是鲁棒控制系统设 计的基本思想1 1 5 1 。 1 2 2 h 。鲁棒控制理论及发展现状 手l 控制是鲁棒控制理论的组成部分之一，原始的鲁棒控制问题只是考虑系统干扰 的不确定性，后来，同时考虑了系统参数的不确定性和干扰的不确定性，发展了日。鲁 第一章概述 棒控制理论。 乒乙鲁捧控制理论的实质是为多输入多输出且具有模型驱动的系统提供了一种频域 的鲁棒控制器设计方法。风，鲁棒控制理论很好地解决了常规频域理论不适于m i m o 系 统设计及l q o 理论不适于模型摄动情况两个难题，其计算复杂的缺点已因计算机技术 的飞速发展及标准软件开发工具箱的出现而得到克服，故近十年来已成为控制理论的一 个热点研究领域，并取得了大量的实际应用成果。 控制界将只。鲁棒控制理论的发展过程分为两个阶段，分别以加拿大学者z a m e s ! m l 和美国学者d o y l e i s l 等人发表的两篇著名论文为标志。称前一阶段的理论为经典只。鲁 棒控制理论，称后一阶段的理论为状态空间，九鲁棒控制理论。从1 9 8 8 年d o y l e 等人发 表著名的d g k f 论文( 在该文中提出了简化的状态空恻日。控制器求解公式，仅需解两个 r i c c a t i 方程便可求得点乙优化控制器，其阶次等于广义对象的阶次。后d o y l e 和g l o v e r 1 1 6 1 等人进一步给出更简单的求鳃方法，提出状态反馈片。控制问题剐可通过求解一个 r i c c a t i 方程来求得，这类方法不仅设计简单，计算量小，而且所求得的控制器阶次较低， 结构特征明显) ，到z h o u 等人的专著鲁棒及最优控制1 1 9 1 ，s k o g e s t a d 和p o s t l e t l a w a i t e 的专著多变量反馈控制1 2 0 标志着见，控制理论己基本成熟。 h 。鲁捧控制理论具有如下特点： ( 1 ) 将经典频域设计理论具有一定的鲁棒性和现代控制理论状态空自j 方法适于m i m o 系统的两个优点融合在一起，系统地给出了在频域中进行回路成形的技术和手段。 ( 2 ) 得出了鲁棒控制系统的设计方法，并充分考虑了系统不确定性的影响，不仅能 保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化某些性能指标。 ( 3 ) 用状态空间方法，具有时域方法精确计算和最优化的优点。 ( 4 ) 多种控制问题均可变换为何。鲁棒控制理论的标准问题，具有一般性，并适于实 际工程应用。 6 人庆油学院顾i ：研究生学位论文 2 1 系统的不确定性 第二章基本理论 在实际应用中，许多控制对象很难被精确描述，在其数学模型中不可避免地存在各 种形式的不确定性。一方面，物理系统中可能出现的现象十分复杂，现有的建模理论和 数学手段又远非完善，在控制系统建模时，往往要做许多近似，因而难以建立实际对象 的精确数学模型，不可避免地存在建模误差。另一方面，在实际系统工作过程中，还存 在着内部结构和参数的未知变化以及外部干扰等因素。这些因素的总和构成了系统中的 不确定性，它们的存在必然会影响系统的性能，使控制变得复杂和困难【2 l j 不确定性系统的描述包括公称模型和不确定性的摄动与公称模型的关系以及摄动 的最大值这三个方面的描述。其中公称模型是指在控制系统设计中采用的控制对象模型 往往没有考虑控制对象的模型不确定性。 不确定性可分为非结构不确定性和结构不确定性这两大类。前者用于表示那些结构 不明确的不确定性，后者用于表示那些整个控制对象和不确定性之间相互关系的结构是 非常明确的不确定性。 2 1 1 非结构不确定性 采用某些典型的非结构不确定性来描述不确定性系统，不仅是控制系统设计的需 要，而且可以较容易地作出一些精确的结论。下面以加法和乘法的不确定性为对象进行 讨论。 我们把实际控制对象的传递函数只0 ) 与公称模型的传递函数p ( s ) 之差 ( j ) = 只( s ) 一p ( s )( 2 1 1 ) 描述为不确定性。一个实际控制对象的加法不确定性传递函数模型可以描述为 只( s ) = p ( s ) + ( j )( 2 1 2 ) 在乘法不确定性的描述中，我们把实际控制对象的传递函数只( s ) 与公称模型的传 递函数j p ( j ) 之相对差 a ( s ) = 【只0 ) 一尸0 ) 】p 。0 )( 2 1 3 ) 描述为不确定性。一个实际控制对象的乘法不确定性传递函数模型可以描述为 只( f ) = 【i + 0 ) 】尸( s )( 2 1 4 ) 为了确定这个非结构化的集合，我们必须限定a ( s ) 的大小，其表达式为 ( 2 i 5 ) 7 第一二章摹奉理论 则( 2 1 3 ) 式和( 2 1 4 ) 式分别变为 只( s ) = p ( s ) + ( s ) ( j ) 只( j ) = 【，+ p 矿0 ) ( s ) 】尸( s ) 其中加权函数w ( s ) 表示不确定性依赖于频率的程度。 ( 2 i 6 ) ( 2 1 7 ) 因此我们通过适当的加权函数w ( s ) 把不确定性规范化了。图2 1 1 和图2 1 2 分别 描述y ( 2 1 6 ) 式和( 2 1 7 ) 式的情况。 2 。1 。2 结构不确定性 图2 1 1 具有加法不确定性的系统 图2 i 2 具有乘法不确定性的系统 结构不确定性是指描述动态特性的方程式具有已知的形式，即模型的结构是已知 的；但方程式中具有不确定的系数，即模型参数的值是不确定的。 先考虑下面出状态空间模型描述的线性时变系统 jx ( t ) = 川俐z ( ) + 研删甜( 7 ( 2 1 8 ) iy ( t ) = c x ( t ) 、 其中x ( ，) 是状态，“( f ) 是控制输入，_ y ( f ) 是输出，( f ) 和s ( f ) 分别是个系数矩阵不确 定性的参数向量。 我们用实际的系数矩阵与系数矩阵的公称值之差表示系数矩阵的不确定性，即 a a r ( t ) 】_ 川r ( f ) 卜a ( 2 1 9 ) a b s ( t ) 】= 丑【s o ) 】一b ( 2 1 1 0 ) 其中a 和b 分别为各系数矩阵的公称值，川，( ，) 】和a b s ( t ) 】分别是有界时变的不确 定性的值。 输出反馈的鲁棒性问题一般考虑的是非结构不确定性，比如加性不确定性、乘性不 一 人庆。油学院硕f 研究生学位论文 确定性和互质因子不确定性。 2 2 线性矩阵不等式方法 在时域中研究参数不确定系统的鲁棒分析和综合问题的主要理论是l y a p u n o v 稳定 性理论，早期的一种主要方法是r i c c a t i 方程处理方法。它是通过将系统的鲁棒分析和 综合问题转化成一个r i c c a t i 型矩阵方程的可解性问题，进而应用求解r i e c a t i 方程的方 法给出系统具有给定鲁棒性能的条件和鲁棒控制器的设计方法。尽管r i c c a t i 方程处理 方法可以给出控制器的结构形式，便于进行一些理论分析，但是在实施这一方法之前， 往往需要设计者事先确定一些待定参数，这些参数的选择不仅影响到结论的好坏，而且 还会影响到问题的可解性。但在现有的r i c e a t i 方程处理方法中，还缺乏寻找这些参数 最佳值的方法，参数的这种人为确定方法给分析和综合结果带来了很大的保守性。另一 方面，r i c c a t i 型矩阵方程本身的求解也还存在一定的问题。且前存在很多求解r i e c a t i 型矩阵方程的方法，但多为迭代方法，这些方法的收敛性并不能得到保证。 二十世纪九十年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式再一 次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域中。许多控制问题可以转化成 为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优 化问题。由于有了求解凸优化问题的内点法，使得这些问题可以得到有效的解决。1 9 9 5 年，m a t l a b 推出了求解线性矩阵不等式问题的l m i 工具箱，从而使得人们能够更加 方便和有效地来处理、求解线性矩阵不等式系统，进一步推动了线性矩阵不等式方法在 系统和控制领域中的应用。 线性矩阵不等式( l m i ) 具有如下形式 f ( z ) = p o + x i f l + - + x 。f 。 0 ( 2 2 1 ) 其中：x 1x ：，x 。是m 个实数变量，称为是线性矩阵不等式( 2 2 1 ) 的决策变量， x = ( ，x ls s x 。) 7 r “是由决策变量构成的向量，称为决策向量。只= 只7 r ， i = 0 , 1 ，m 是一组给定的实对称矩阵。式( 2 2 1 ) 中的不等号指的是矩阵f ( x ) 是负定的， 即对所有非零的向量y r ”，y 7 f ( x ) v 0 或f ( 工) 的最大特征值小于零。所有满足线性 矩阵不等式( 2 2 1 ) 的石的全体构成一个凸集。 显然，多个l m i 可用一个l m i s 表示，即 互( x ) 0 ，( 对 0 ，( x ) o 等价于 i 罂x 掣| o l s 。( 工)r ( x ) l 在控制、辨识和信号处理等领域中，许多问题都可以转化成用线性矩阵不等式来描 还的优化问题。这里介绍三类标准的线性矩阵不等式问题及其求解：一是可行往问题 ( l m i p ) ；二是特征值问题( e v p ) ；三是广义特征值问题( g e v p ) 。在m a t l a b 软件的线 性矩阵不等式工具箱( l m it o o l b o x ) c 0 给出了这三类问题的求解器。控制系统中的一 些性能指标、稳定性判据可以转化为l m l 的这三类标准问题，其原因是由于一方面 l y a p u n o v 方法易得到凸的或拟凸的条件，另一方面l m i 本身能表示范围广泛的不同类 凸约束。 求解线性矩阵不等式问题的算法主要有椭球法和内点法及其它的数值解法，b e c k 在文献 2 2 c o 对这些方法做了详细的探讨。其中内点法的优点很明显。它不需要给出迭 代的初始可行解且能够求解拟凸问题。m a t l a b 软件丌发出功能强大的l m i 工具箱的 算法就是基于内点法，它提供了与上述相对应的三类标准的线性矩阵不等式问题求解函 数：f e a s p , m i n e x ，g e v p 。 对应三类标准的线性矩阵不等式问题的函数求解器简单介绍如下： ( 1 ) f e a s p 函数( 可行性问题l m i p ) 对于如下的线性矩阵不等式： 彳( 工) 0 ( 力+ ：u ( 2 2 3 ) f e a s p 函数将在上面的约束下搜索决策变量x ，使得满足上式的a 最小化，显然，如果 五。 0 则线性矩阵不等式爿( 工) b ( x ) 有解- 且对应的，即为一组可行解。 ( 2 ) m i n c x 函数( 特征值问题e v p ) 该问题是在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵f ( x ) 的最大特征值的最小化问题或 确定阀题的约束是不可行的。它的一般形式是： r a i n 2 , l g ( 工) 盯( 2 2 4 ) “1 ( 小：0 这样个问题也可以转化成以下的一个等价问题： m m 。x ( 2 2 5 ) s j f ( x 1 ， 、7 【( 工) 0 g e v p 函数在以上约束有解时给出a 的最小值。 在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用r i e c a t i 不等式方法来解决的，而 r i e c a t i 不等式的求解带有一定的保守性。r i c c a t i 不等式是二次矩阵不等式，所以将二次 矩阵不等式转化成线性矩阵不等式具有必要的意义，在此转化过程中，矩阵的s c h u r 补 引理起着决定性的作用。下面给出s c h u r 引理的具体描述。 引理2 2 11 2 3 1 ( s c h t t r 补引理) 假设对称矩阵，( 石) r “，并且f ( x ) 可以进行以下分块 ，c 功= 主：暑乏：习 c 2 2 力 其中曩。( 功是r ，维的，假定鼻，( 功非奇异，则e ( 工) 一f 2 ( x ) ，一t - ( x ) e ：( x ) 称为是e ( d 在，( x ) 中的s c h t l r 补，那么以下三个结论等价： ( 1 ) f ( 功 o ； ( 2 ) e l ( 力 0 ，r 2 2 ( 力一巧：( x ) e i 。( x ) 鼻2 ( 力 o ； ( 3 ) e ：( 力 d 使得对于任意满足 一t 忙8 ( t o ，) 的初始条件，方程( 2 3 1 ) 的解( 2 3 2 ) 满足 l x ( f ，, l r p ；k ) 一i s ，v ，z t o 1 2 , 3 5 ) 贝称平衡点t 是稳定的，如果t = 0 ，则称原点是稳定的a 定义2 3 2 如果平衡点置= 0 是稳定的且 删i mx ( ，o ) 1 1 _ 0 2 3 6 ) 则称平衡点x ，= 0 是渐近稳定的。 定义2 3 2 如果t = 0 是渐近稳定的且存在正数口 0 和a 0 使得 l x ( t ；x o ，d ) 1 1 茎o r e 3 ”，v f ，o ( 2 3 7 ) 成立，则称工，= 0 是指数稳定的。 定义2 3 4 如果从系统( 2 3 1 ) 的任一有限非零初始状态出发的轨迹x ( t ；x o ，“) 都 是有界的，且成立 i i m n t ；工0 ，t o ) 8 = 0 ( 2 3 ，s ) 人庆“油学院硕i + 研究生学位论文 则称平衡点x c = 0 是全局( 大范围) 渐近稳定的。 由定义判断系统的稳定性，需要解系统的状态变量。下面讨论的l y a p u n o v 第二方 法不需要求出状态方程的解而直接判断解的稳定性，因而又称为直接法。 下面讨论定常系统的稳定性条件，即方程( 2 3 。1 ) 可以表示为 童( ，) = ( 石( f ) ) ，f ( o ) = o ( 2 3 9 ) 定义2 3 5 如果存在标量函数y ( x ) 0 对x 可微，沿方程( 2 3 。9 ) 解轨迹的导数连续， 且满足 d r ( x ( f ) ) ：( 掣) ，( 工( f ) ) o ，v f ( 2 3 1 0 ) 其中 o vr a 矿a va v 、7 否2 i 石瓦瓦j 则称y ( z ( f ) ) 是方程( 2 3 9 ) 平衡点k = 0 的l y a p u n o v 函数。 引理2 3 1 设u cr “为原点工= 0 的一个邻域。连续的实函数v ( x ) 对于任意的 x u 为j 下定的充分必要条件为存在满足如下条件的严格单调增函数a ( r ) 和( f ) ， ( 1 ) a ( 0 ) = ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) 口 s 矿( x ) sp ( 1 l x i