（控制理论与控制工程专业论文）扰动时变系统的控制性能评价.pdf

，11。固攫獾菲q疆舻移。 at h e s i sf o r t h e d e g r e eo fm a s t e ri n c o n t r o l t h e o r ya n dc o n t r o l e n g i n e e r i n g p e r f o r m a n c ea s s e s s m e n to fc o n t r o l s y s t e m sw i t h t i mq y i n rd i s t u r b a n c e ：1l m e - v a r y l n g l s t u ra n c e s b yg u ox i a o c o n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rw a n gx i a o g a n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u 肥2 0 0 9 i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我- - m i f r 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：却i ) 、趁 日 期：训? 牟闷i 司 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年一年半口两年口 学位论文作者签名：瓣i ) 、趁 签字日期：护r 牟7 月f 司 聊躲；斩删 导师签名： 中所含的非平稳部分，称为趋势项吐。得到平稳时序) ，然后 再对饥) 建模。对于 吐) ，可采用多元回归等方法从中估计得出。最后，再将吐与咒组 合起来得到最终模型。这种带有趋势项4 的模型是一种非平稳时序模型。 ( 2 ) 零化处理：当平稳时序“) 非零均值时，则估计出“) 的均值按式只= t 一新进 行零化处理，以得到建模用的时序以) 。下面建模所用的时序均为这种经过了零化处理 的时序。当将模型用于预测，控制等目的时，必须计入均值。 ( 3 ) 标准化处理：对于观测时序“) ，当其取值过大或者过小时，为保证计算精确 一1 2 一 东北大学硕士学位论文第2 章时间序列分析 度，减少舍入误差，避免溢出，可对 x t ) 进行标准化处理。记观测时序为如) ，当满 足以) 均值为- t x ，方差为的正态分布时，对中各数据进行如下标准化处理： 薯n ( 0 ，1 ) 垫( 2 7 )薯，1 ) 兰l o( 2 7 ) 吒 式中，段与分别为“) 的均值与方差的估计值，其算法同前。显然，经标准化 处理后得到的时序 誓0 ) 满足正态分布t n ( 0 ，1 ) 。当然，当按标准化的时序建模后， 对用于预测，控制等目的的模型，还应当按式：毫= 吒t + 段将 x t ) 还原成 ) 。 2 2a r m a 模型介绍 为了进一步分析平稳时间序列的统计特性，研究人员提出了所谓的参数化模型。时 间序列的模型类型很多，这里只讨论平稳时间序列模型，本文讲的平稳是指宽平稳，其 特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变 化。平稳时间序列的参数模型是根据时间序列的观测值 置，t = o ，1 ，) 构造一个带有参 数的数学模型，使这种参数化模型既能反应产生时序置的具体物理过程或动态系统的 规律性，又能将相互关联的时序z 转化为相互独立的白噪声序列a t ，以便进行分析和 处理。实际中常用的时间序列模型包括：a r 模型、m a 模型以及a r m a 模型。 2 2 1 自回归模型a r ( p ) 对于随机时间序列置o = 1 ，2 ，) ，假设置仅与置，五彩置一。有线性关系，而在 置小工埘z 一。己知条件下，置与五一，( = n + l ，n + 2 ，) 无关，q 是一个白噪声序列， 那么在定条件下置可用类似于线性回归模型的随机差分方程描述如下： 五2 鲲z i + 仍置一2 + + 纬墨一p + a t ( 2 8 ) 式( 2 8 ) 称为p 阶自回归模掣，记作a r ( p ) 。其中实数缈，( 1 j 尸) 称为自回归参数，a t 表示各种随机因素组成的随机干扰，也称剩余误差或残差，且满足如下条件： ( 1 ) 均值为零：e ( a t ) = 0 ； ( 2 ) 相互独立，且方差为刃； ( 3 ) 服从j 下态分布：a ，n i d ( o ，蠢) ； ( 4 ) a t 与前一时刻置一。( 七 o ) 互不相关，即满足e ( q 五一 ) = o ( k o ) 的纯随机序列。 式( 2 8 ) 还可以改写成以下形式： 一13 东北大学硕士学位论文第2 章时间序列分析 a ，= 五一仍z l 一仍墨一2 一一x 一p ( 2 9 ) 通过式( 2 1 0 ) 可以看到，a r ( p ) 模型通过把z 中的依赖项置书五彩置一。的部分消 除掉之后，使得p 阶动态性序列z 转化为独立的序列q 。因此，拟合a r ( p ) 模型的过 程就是使相关序列独立化的过程。 为了方便起见，引进延迟算子的概念，令 b x t = 五- l ，b 2 置= b ( b x t 一女) = 置一2 ( 2 1 0 ) 一般的，有召置= x t t ( 七= l ，2 ，3 ) ，称曰为一步延迟算子，为k 步延迟算子。 于是，式( 2 1 0 ) 可以写成如下形式： 妒( b ) z = a t ( 2 1 1 ) 其中：缈( b ) = 1 - 够j b - 一缈。b p ( 2 1 2 ) 或写成一阶因子的乘积形式： p 妒( 召) = 1 7 ( 1 一乃b ) ( 2 1 3 ) j = l 其中名，( 1 j p ) 是特征方程妒( z ) = z p c , o , z p 一纬的根。a r ( p ) 具有平稳解的充要 条件是特征方程( 2 1 3 ) 的根全在z 平面的单位圆内。 2 2 2 滑动平均模型m a ( q ) 如果一个系统在t 时刻的响应五，与其以前时刻t - 1 ，t 一2 ，的响应墨，五巾。五一。 无关，而与其以前时刻f 一1 ，t 一2 ，进入系统的扰动a t 巾a t 印存在着一定的相关关系， 那么这类系统则为m a 系统。由随机过程分析可知，利用白噪声a ，的特性，对于任意一 个相关的随机时序 五，t = o ，1 ，) ，总可以用一个相互独立的f 态白噪声序列a t 经线性 滤波作用而得到。也就是说，以口，为输入，由滤波器将口f 加权叠加，可以给出输出时序 置。这种输入、输出、滤波器三者之间的关系可用如下模型表示： x t = 口r - o , a h 一岛口f - 2 一= 一o j a t 一( o o = 1 ) ( 2 1 4 ) j = o 其中色( ，= o ，l ，2 ，) 是实数权重，且阿l q 时，l g i = 0 。 一1 4 东北大学硕士学位论文第2 章时间序列分析 上式还可以写成： 置= 口，一q 口r - l 一包以卜2 一q a 卜。 ( 2 1 5 ) 式( 2 1 5 ) 称为g 阶滑动平均模型，记作m a ( q ) 。显然，儿是满足m a ( q ) 模型的时序墨 总是平稳的，而不。论o j ( j = 0 ，1 ，2 ，) 的值如何。 引入后移算子b ，有 置= o ( b ) a ，( 2 1 6 ) 其中o ( b ) = l - o , b 一岛b 2 - o q b 9 。如果多项式秒( b ) 可逆，即o - i ( b ) 存在，则式( 2 1 6 ) 可 以改写成臼叫( 召) 置= 口，。 将o ( b ) 分解因式： 于是： g 秒( b ) = 兀( 1 一_ 艿) ( 2 1 7 ) = l 口，= 叭曰) 置一b j ，) 置 ( 2 1 8 ) 式中屯( 1 g ) 为常数。当h i p ) 。特别的，当歹 m a x ( p ，g ) 时，有 ( 1 一日b 一岛b 2 - 9 q b 9 ) = 0 ( 2 3 6 ) 由此可见，如果己知的估计值，则由式( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 即可求解哆( 1 - j p ) 和 o j ( 1 p ) 的估计值。为了求l 的估计值，可以利用a r 模型的可逆性，考虑彳r ( p + ) 模 型： a t = 置一衍互一。一疚五一：一一或五一， ( 2 3 7 ) 由逆函数定义，有 a t = x t 一i j x q 3 8 ) 根据式( 2 3 8 ) 可得 卜嫁爻 上述特性当q 0 时的a r m a ( p ，q ) 模型是不成立的，但根据模型的可逆性条件，保 证了当充分大时h l 可忽略不计。因此，取自回归模型阶数p 充分大时，可以用 a r ( p + ) 逼近a r m a ( p ，q ) 到一定精度。而模型a r ( p ) 的参数缈：( 1 j p ) 的估计，可以 用矩估计方法求出，从而由式( 2 3 9 ) 求出相应的6 ( j p ) 的估计值，再求出 o j ( 1 p ) ，最后将j ，o j 代入式( 2 3 5 ) ，即可得到模型参数的估计值缈( 1 p ) 。 上述过程只涉及线性方程的求解问题，具体步骤如下： $ ，j2 ，q + 乞厶研 + 一 ，q 厶“以以研幺b = = l | 仍鲠仍 东北大学硕士学位论文 第2 章时间序列分析 ( 1 ) 令p + m a x ( p ，p + g ) + g ，一般取p + = m a x ( ( p ，p + g ) + g ) ，用】，一形方程估计 a r ( p ) 模型参数缈，( 1 j p ) 代替逆函数i s ( 1 j p ) ； ( 2 ) 解线性方程组： ( 1 一e , b 一包b 2 一包b 9 ) i s = 0( 2 4 0 ) 其中：j = m a x ( p ，g ) + 1 ，p ，得o j ( 1 j p ) 的估计值秒，( 1 j p ) ； ( 3 ) 将第一、第二步中得到的，( 1 j p + ) 及o j ( 1 j p ) 代入式( 2 3 5 ) ，即得 q , j ( 1 j p ) 。 2 4a r m a 模型的适用性检验 从理论上来谢3 1 1 ，a r m a 模型成立的根本条件是a ，) 为白噪声，因此，模型适用性 最根本的检验准则是检验 a ，) 是否为白噪声。从数理统计的角度来看，是检验模型残差 是否为白噪声；从系统分析的角度来看，则是检验系统的输入是否为白噪声。常用的三 种检验方法如下： ( 1 ) 计算 a ，) 的白相关系数： 薯一。 p 础= 盟争一( 尼= 1 ，2 ，) ( 2 4 1 ) 誓2 f = + l 与 墨) 和 a t ) 的互相关系数： t 一。 p 。w ，t2=_。7=；!：；!=f(五：=：1，2，。) ( 2 4 2 ) 、q 2 毒。 y t = h + i t = h + l 。 若p 础一o ，p 础专0 ，则认为所拟合的a r m a 模型为适用模型。 ( 2 ) 过拟合检验：拟合出a r m a ( p ，q ) 模型后，在继续拟合出高一阶的a r m a ( p + i ，q + 1 ) 模型，若织+ 。专o ，巳+ 。j0 ，且它们的置信区间都包含零，则认为低一阶的a r m a ( p ，q ) 为适用模型。 ( 3 ) 检验残差平方和s 或残差方差一：在过拟合后，比较a r m a ( p ，q ) 与 一1 9 东北大学硕士学位论文第2 章时间序列分析 a r m a ( p + i ，q + 1 ) 模型的残差平方和s ( m ) ，川肘”或残差方差西( 删j ，刃( 川肿i ) ，若s 川矿1 ) 或 一( 川肿) 较s ( m ) 或刃( m ) 无显著减少，则认为低阶模型a r m a ( p ，q ) 为适用模型。 然而，上述三条检验准则存在着不同的问题，例如，检验z 时，实际上得到的不 是真值，只是估值，而估值较真值往往偏差很大。因此，时序方法中发展了一系列的准 则以检验模型的适用性，然而，迄今为止，还没有一条准则是完全成熟的，在理论上与 实际上都是没有问题的，正因为如此，目前这一问题的研究仍在发展之中。 另外，实际中采用的最为广泛，并且计算简单，便于在计算机上实现且具有良好的 有效性的准则是a i c 准则和b i c 准则。此两类准则可以避免当模型逼近真实系统的准 确性提高，提高模型阶次时而引起的误差增大等问题。 a i c 准则是由赤池弘治与1 9 7 3 年提出，意为信息准则( a ni n f o r m a t i o nc r i t e r i o n ) 。这 一准则从提取出观测时序中的最大信息量出发，适用于a r m a 模型的检验。定义准则 函数： a i c ( p ) = - 2 i n l + 2 p( 2 4 3 ) 式中，p 为模型阶次，是时序的 z ) 的似然函数。 当 置) 是平稳正态时间序列时， 三2 珥n 丽1 e x p 一击( t 前】 ( 2 4 4 ) 式中从是 置) 在t 时刻的条件数学期望估计值，把t 一从= a ，代入上式并累计相乘得到： 州壶) 詈e x p 一碡1 善n 彳】 ( 2 4 5 ) 将该式代入上式并对等号两边取自然对数，整理后得： - 2 1 n l = n l n + n l n 2 n + ( 2 4 6 ) 将此式代入到( 2 4 3 ) ，对于给定数据长度，此式中后两项为常数，并不影响对a i c ( p ) 的比较结果，故可略去，得到： a i c ( p ) = n l n 吒2 + 2 p( 2 4 7 ) 显然，在参数模型估计方法给定的条件下，a i c ( p ) 是模型阶次p 的函数，当p 增 大时，i n 一下降，但后一项2 p 增大，因此，取a i c ( p ) 值最小时候的模型阶次p 为适用 模型阶次。 一2 0 一 东北大学硕士学位论文 第2 章时间序列分析 2 5 本章小结 本章介绍了本论文采用的数据分析分析方法，即时问序列分析方法，主要介绍了平 稳时间序列模型的三种形式：a r 模型、m a 模型以及a r m a 模型，并分析了由采集到 的实际数据如何进行数据预处理，最后建立需要的时间序列模型的结构辨识以及参数估 计的方法，完整的叙述了整个参数辨识的过程，为下一步根据实际运行数据建立其时间 序列模型提供了理论依据。 一2 1 东北大学硕士学位论文第2 章时间序列分析 一2 2 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 第3 章单变量扰动时变系统的性能评价 3 1 传统的单变量控制系统的性能评价方法 3 1 1 最小方差控制的反馈控制不变项 本节简单介绍一下性能评价中应用最为广泛的最小方差基准点性能评价方法，首先 介绍一下最小方差控制的反馈控制不变项【3 2 1 。分析如下图3 1 所示的闭环控制系统，其 中d 是滞后时间，于是去掉滞后环节的对象传递函数，是干扰传递函数，a ，是零均值 白噪声，q 是控制器的传递函数。当以。= 0 时根据方框图可得如下扰动传递函数表达式： 厂 胪南q ( 3 j ) 对扰动传递函数使用d i o p h a n t i n e 方程展开如下： n = f o + f q 一1 + + 厶一l g d + 1 + 尺g j ( 3 2 ) 图3 1 单入单出反馈控制系统框图 f i g 3 1s c h e m a t i co fs i s op r o c e s su n d e rf e e d b a c kc o n t r 0 1 这里( 江l ，2 ，d 一1 ) 是固定系数，r 是剩余的有理、正则传递函数，等式( 3 1 ) 可 以改写为： 只= 而f + q - a r 十篇r - f t qg 一 一心一d b 3 ， 1 + 9 叫r q i1 + g - d 丁qi 一2 3 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 此处三= 半是一正则传递函数，又由于如= f o a t + 彳q 一+ + 厶一一巾- 1 ) ，a t 1 + 口叫t p 是白噪声，所以式( 3 3 ) 右边两项相互独立。所以， v a r ( y , ) = v a r ( f a ，+ v a r ( l a t d ) ( 3 4 ) 因此： v a r ( y , ) v a r ( f a t ) ( 3 5 ) 只有当l = 0 时，式( 3 5 ) 才可以取等。即： r 一，丁q = 0( 3 6 ) 因此，可得出最小方差控制规律： q ：_ r( 3 7 ) 由于f 与控制器的传递函数q 不相关，因此f a t 项，即最小方差控制条件下的过程 输出，是一个反馈控制不变量。于是，如果一个稳态斗阳曩3 e w m j 输出y t ，可以用一个无限项 滑动平均( m a ) 模型表示，那么，该模型的前d 项就构成了对最小方差项砌，的估计。 3 1 2 单变量系统性能评价的算法 一个稳定的闭环过程输出可以用一个无限阶滑动平均模型( m a ) 来模拟，即 y t = ( t o + f q _ 1 + f 2 q _ 2 + + 石一i q 一4 一+ f a q 一4 + ) 口， ( 3 8 ) 将上式两边分别乘以a t ，q ，a t 一州，然后等式两边取数学期望得到： ( o ) = e ( y t a , ) = f o ( 1 ) = e ( y , a t i ) = 彳吒2 ( 2 ) = e ( y t a , 一2 ) = 石 ( 3 9 ) ( d 一1 ) = e ( y , a t 一州) = 六一 因此输出的最小方差项为： 2 ，= ( 露+ z 2 + 纡+ + 丘。) 刃 = ( 警 2 + ( 警 2 + ( 警) 2 + + ( 掣) 2 砖 蚴 = ( o ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + + ( d 一1 ) 2 本文中把控制系统性能指标定义为： 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 刁( d ) ：- 吒z t v u y 显然有： 0 7 7 ( d ) 1 将式( 3 1 0 ) 带入到式( 3 11 ) ，可以得到： ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) r ( d ) = e r y 。( 0 ) 2 + ( 1 ) 2 + r y a ( 2 ) 2 + + r y 。( d - 1 ) 2 2 2 = 颤( o ) + 磊( 1 ) + 颤( 2 ) + + 鲸( d 1 ) ( 3 1 3 ) ：z z r 其中，z 是只和a t 滞后0 到( d 一1 ) 项的相关系数，即： z = 如( o ) ，( 1 ) ，( 2 ) ，p y ( d 一1 ) 】 ( 3 1 4 ) 7 ；( d ) = 鲧( o ) + 硪( 1 ) + 磊( 2 ) + + 绒( d 一1 ) = 兹7 ( 3 1 5 ) 万1 乙f - i m 儿口州 纵2 一 。1 6 ) 尽管这里a t 未知，但它可以由残差序列a ，代替，而a ，可以由对输出变量只进行时间序列 ( i = m 。a x e y ( k ) “( 七一d ) ) m a x - - y ( k ) “( 尼一d ) ( 3 1 7 ) 辨识出关于口，到过程输出只的闭环模型。这里模型采用的是自回归滑动平均模型 ( a u t o r e g r e s s i o nm o v i n ga v e r a g e ) ，并得到估计的白噪声序列。需要说明的是，如果设 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 定值不为零，则y 应该为实际的输出值减去设定值或输出值的均值。 ( 3 ) 从式蠢，= ( 露+ z 2 + 露+ + f l ) 司得到最小方差仃。2 ，。 一2 ( 4 ) 从闭环运行数据中得到控制器的实际输出方差仃：，比较得到性能指标刁= 萼。 o y 本节着重对最小方差控制准则评价单变量控制系统的步骤中的第( 2 ) 步时序分析进 行介绍，这里采用动态数据系统方法。该方法指出，线性定常系统在白噪声作用下的响 应，经过均匀采样所得到的时间序列，总可以用离散的a r m a ( p ，q ) 模型表示。据此， 令n 由小到大递增，每改变一次阶数，根据模型定阶准则判别阶数增加是否有必要。 关于n 的取值方法，建议首先从n = 2开始，逐次拟合 a r m a ( 2 ，1 ) 专a r m a ( 4 ，3 ) - - - ) a r m a ( 6 ，5 ) j 专a r m a ( 2 n ，2 n 1 ) 。另外需要强调以下 几点： ( 1 ) 这种阶次每次增加2 的方法，并不会遗漏模型阶数确实为奇数的模型。这是由 于如果系统的确是一个阶数为奇数的模型，那么，拟合的较高阶数为偶数的模型的第2 n 个自回归系数的绝对值必然相当接近零，这样就可以删去较高阶的偶数模型的小参数得 到较低阶的奇数阶模型。 ( 2 ) 阶数增加2 相当于差分方程对应的特征根增加2 ，这样可以避免强迫模型增加 一个实根而造成失误。而方程根数增量为2 时，其根既可为共扼复根，也可为两个实根。 如果实际模型只有一个实根，则拟合结果中另一个实根将接近于零。 ( 3 ) 实际物理系统的自由度随着该系统的复杂程度而增加。 ( 4 ) 阶数每次增加2 ，其计算量减少将近一倍。 现在考虑一个平稳正态零均值的时间序列a r m a ( p ，q ) 模型如下： 墨一仍置一，= 口，一够订州 ( 3 1 8 ) i = 1 j = l 其中a ，n ( 0 ，z ) 。这里a r m a ( p ，q ) 模型参数的求取采用m a t l a b 中系统辨识工具箱 的a r m a x 函数，模型定阶准则采用f 检验法。f 检验应用于a r m a o ，q ) 模型定阶，常 采用过拟合的办法，即先对观测数据建立a r m a ( p ，q ) 模型，再假定( 纬，岛) 等高阶系数 中某些值取零，用f 检验准则来判定阶数降低之后的模型与原a r m a ( p ，q ) 模型之间是否 存在显著性差异。如果差异显著，则表明阶数还可能要上升，否则，可取( p ，q ) 为理想的 阶数，据此，得到a r m a ( p ，q ) 模型定阶的f 检验准则定义如下： 设鼠：作= 岛= 0 ，记q o 为a r m a ( p ，q ) 的残差平方和，q l 为a r m a ( p 一1 ，q 一1 ) 残差 平方和，取 一2 6 东北大学硕士学位论文笫3 章单变量扰动时变系统性能评价 垡二垡 互2 奇一f ( s , n - l ) ( 3 1 9 ) n l 上式中为样本长度，s 为被检测的参数个数，为模型阶数总和，即l = p + q 。 如果f c ( 这里f 检验的显著性水平口= 0 0 5 或0 0 1 ) ，鼠不成立，模型阶数仍然有 上升的可能；否则，或成立，可取a r m a ( p 1 ，q 1 ) 为合适的模型阶数。 3 2 单变量扰动时变控制性能评价方法 3 2 1 问题描述 本节中要讨论一个优化问题【3 3 】，这个优化问题包括寻找一个控制器，这个控制 n ( q 一) 卜卜1 ，h u ig 听1 ) | - 吁 图3 2s i s o 控制系统框图 f i g 3 2s c h e m a t i co fs i s op r o c e s su n d e rf e e d b a c kc o n t r o l 器要能使最具代表部分扰动的数据输出方差达到最小，同时要满足能够调节过程中其他 短暂但是剧烈扰动的需求。举例说明，假设有一个图3 2 所示的单输入单输出系统 q 卅t ( q 。1 ) ，其中包含两个阶段扰动n l ( g 。1 ) 和n 2 ( g 一) ，d 代表时间延迟，t ( q - i ，f ) 是无 延迟过程传递函数，q ( q 一) 是时不变反馈控制器，扰动传递函数在t = 0 时刻改变。我们 假设第一部分的扰动是最具代表部分的扰动，即能够代表系统正常运行情况，第二部分 的扰动剧烈但是非常短暂。这里假设第一部分的闭环扰动是根据用户定义的要求设定， 因此，第二部分扰动下的闭环响应可以写成如下形式： 2 = 露+ 彳2 + + z 譬? g d - 1 + g d 厶( g - 1 ) q ( 3 2 0 ) f z ( q 一) 其中： f 2 ( q - 1 ) = 露+ z 但+ + f d t 2 7 q 叫扣” ( 3 2 1 ) 厶( g 叫) 是稳定的非奇异传递函数，它取决于反馈控制器。其中k ( g 。1 ) 表达式并不 完全定义，它预留几个自由参数，以便用来寻找合适的控制器，这个控制器要能优化第 一2 7 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 一部分扰动的常规性能。这早1 段设第二部分扰动期望的闭环响应是一个一阶系统，时i 日j 常量是r 。传递函数可以写成以下形式： l r ( g - 1 ) 2 寿 ( 3 2 2 ) 上式中，妙是要确定的自由参数，亭可以通过时间常量得到： f = e x p ( - t , r ) ( 3 2 3 ) 其中：z 是时间采样间隔。 通常来说，z 2 是能够达到的过程响应，这样就可以找到一个时不变控制器，在这 个控制器下闭环响应可以写成如下形式： y j z ) _ 疋( g 一，) + q - d l r ( g t ) 以，：芝坐) 一一q ( 3 2 4 ) 1 + g t ( q 。1 ) q 2 ( g 。1 ) 这样就能通过解方程( 3 2 4 ) 来求得q ：( g 一) ， q ：( g 一，) ：_ 短丛止( 3 2 5 ) t ( q 。1 ) e ( g 一) + q - d l r ( g 一) 其中恐( g 一) 是有理非奇异传递函数，可以通过解如下的d i o p h a n t i n e 方程得到： 乞( g 一1 ) = f 2 ( q 一1 ) + g 一4 垦( g 一)( 3 2 6 ) 由于t ( q - i , f ) 无延迟，所以它的反函数非奇异，最( g 一) + g r 2 ( g _ 1 ) 是严格特征函数， 控制器传递函数q ：( g 一) 理论上可实现。 通过比较，可以看出方程( 3 2 0 ) 是方程( 3 2 4 ) 的脉冲响应。 同理，能够得出在第一部分扰动传递函数在q ：( g 一) 控制器下的过程输出： y j = l ( q 。1 ) 1 + 9 卅t ( q 。1 ) q ( g 。1 ) 通过方程( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) ，又可以得到： y t l ) = 糈( w ) + q - d 厶q - i q ( 3 2 8 ) 计算的目的就是使第一部分输出数据”在时不变控制器q ：( g 。1 ) 的控制下的方差 达到最小，同时它还要能够调节第二部分的扰动。因此，这就需要通过寻找传递函数 厶( g 。1 ) 中的自由参数，来使一t 的最小方差达到最小，即： 一2 8 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 v 删) ) _ v a r ( 糌( w ) + q - a l r q - i 的 ( 3 2 9 ) = a r g 。m i n ( v a r ( y j 1 ) ) 以上问题可以通过求解l y a p u n o v 方程和无约束非线性最优化方法来得到。 当求解最小方差问题解决了，就可以用它作为一个基准点来评价性能指数 基准点方差 3 2 2 问题的解决 解决优化问题的方法就是把式( 3 9 ) 中的传递函数模型转化成如下的状态空间表达 式形式。 x y ( 七k 羔c 2 x ( 彳k j ：d + a b ( k 白) 尼 ( 3 3 。) ) =) + 、7 上式中矩阵么是稳定的。 由于”的方差是通过计算；w t 离散传递函数的4 范数得到的： g ( z ) = c ( z ，一么) - 1 b + d( 3 3 1 ) 4 范数代表一个稳定，严格非奇异系统的二阶矩阵，通过以下表达式给出： 0g ) ( z ) 1 1 ；= t r a c e ( d 7 d + b7 厶( y ) 曰)( 3 3 2 ) 上式中的l o 是可观测的格兰姆矩阵，可以通过以下方程获得： a 7 厶( 沙) 彳一厶( y ) + c7 ( ) c ( ) = 0 ( 3 3 3 ) l o ( ) 返回一个带有自由参数的函数。一旦获得厶( y ) ，自由参数y 的最优解就 可以用求解无约束非线性最优化方法在m a t l a b 环境中得到。这个优化问题使用的是直接 搜索方法即n e l d e r - m e a d 单纯形法使致范数达到最小，从而得到自由参数沙。当厶( ) 完全确定，各个扰动阶段在q ：( g 卅) 控制下的闭环响应都可以由方程( 3 2 0 ) 和( 3 2 8 ) 分别获 得。另外， 糌= 器 ( 3 3 4 ) 2 ( g 叫) 弼( g 叫) 、 也可以通过闭环运行数据得到，其中h 岔( g - 1 ) 和h 穿( g 一) 分别是图3 1 中两个阶段从口，到 儿的闭环传递函数。 因此，一旦获得了基准点控制的脉冲响应，就可以通过比较控制环过程的输出来确 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 定它们的性能。 到此为止，本文中仅仅考虑了过程只含有两个不同扰动的情况，但是实际的工业过 程中不止是含有两个阶段的扰动，所以如果系统含有更多阶段的扰动，那么就需要确定 一下上述方法的适用性。 一般来说，假设一个过程q t ( q 一) 含有个不同用的扰动n 。( g 。1 ) ，n ：( g 一) ， n ，( g - 1 ) ，n 。( g - 1 ) ，那么可以把过程的输出数据可以分成几个不同的部分 y o = 1 , 2 ，3 ，n ) 。如果第_ ，分的扰动是最具代表部分的扰动，第k 部分的扰动也同等重 要但是只短暂的影响系统的运行，那么目标就是使第部分的数据集的方差达到最小。 在方程( 3 2 9 ) 中，在q 。( g - 1 ) 控制下的最具代表部分扰动输出的闭环响应y i 可以通过 下式给出： k 器( w ) + q - a l r ( q q m ， ( 3 3 5 ) 并且从式( 3 2 0 ) 中就可以得到第k 部分的数据输出，可以表示成以下形式： y ；) _ ( e ( g 一1 ) + 七g d ) 口， ( 3 3 6 ) l 一翻 其中：e ( g - 1 ) = f o ”+ 彳似+ + 力竺g 一扣1 ( 3 3 7 ) 这样同样可以得出在控制器q 。( g 。) 控制下其他各个不同情况扰动的输出表达式： y j ，) ：会2 垒 l 口，j 歹，f k ( 3 3 8 ) l + q t ( q 。1 ) 珐( g 。1 ) 匕式也可以进一步表示为： = ( f k ( q 一1 ) + f 叼一q - d ” t ( g - 1 ) 1 + g t ( q 一) 级( g 一) 从式( 3 1 9 ) 至u ( 3 2 0 ) 中可以总结得到，在q 。( g 一) 作为控制器时各部分扰动情况下系统 的输出可以表示成： y ，o r 一_ 了n 丽i ( q - t ) ( e ( q - i ) + q - a l l r ( q - i ) ) 口，f 尼 ( 3 4 。) 因此，除了获得了过程扰动的性能基准点，也可以通过把基准点应用到式( 3 3 9 ) 的 整个过程中去来检验基准点的适用性。总的算法可以总结为以下几个步骤： ( 1 ) 根据扰动的改变把输出数据分成合适的部分，通常检验数据突变的方法在参 考文献 3 4 】中给出。 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 ( 2 ) 运用最能代表系统正常运行部分的那部分数据，建立一个时问序列模型。通过 运用过程时间延迟的知识，来产生如下的脉冲响应模型： y ；一 s o + z m q - 1 + + 刀- 七l q “一d 一+ 口f( 3 4 1 ) f k ( q 一) ( 3 ) 对每一部分数据都建立一个时间序列模型，h 臀( g 。1 ) 是图3 1 中第i 部分从扰动 端a ，到输出端y t 的传递函数模型，那么： 糌= 器 ( 3 4 2 ) m ( g 一) h ( g 一) v 7 由于上式中可能出现的零极点相互抵消问题，所以日( g - 1 ) 必须要满足最小实现来 避免随后最优问题中出现的问题。 ( 4 ) 基于以上结果和参数孝可以确定方程( 3 3 5 ) ，( 3 3 6 ) ，( 3 3 9 ) 。 ( 5 ) 这一步要求得方程( 3 3 5 ) 的解和的优化问题。此时，基准点已经确定。 ( 6 ) 通过得到的最优参数沙，就可以得到在已选定控制器情况下通过方程( 3 3 5 ) ， ( 3 3 6 ) ，( 3 3 9 ) 得到的每部分的方差。 3 3 单变量扰动时变系统仿真 3 3 1 仿真模型描述 仿真框图即是图3 2 所示的控制系统框图，仿真模型这里采用的是参考文献 3 3 1 q b 给出的如下的过程传递函数表达式： g 一订) = q - 4 击等 ( 3 4 3 ) 控制器采用大林控制器，表达式如下： q ( q - i ，= 意筹等 b 钳， 整个扰动分为三部分，第一部分扰动时间为2 0 0 0 s ，第二部分扰动的时间为l o o o s ，第 三部分扰动时间为1 5 0 0 s 。其中第一部分数据最能代表系统j 下常运行过程，第一部分扰 动为系统j 下常运行时的扰动。第二部分扰动影响系统正常运行，但是时间短暂，性能评 价中间过程中求得的控制器要能够最大限度的调节第二部分的扰动。第三部分作为检验 性能评价结果的部分。参考文献 3 4 1 q b 有关于监测数据突变的方法，这里不做详细介绍。 各部分扰动传递函数表达式如下： 一3 1 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 i ( g - 1 ) = 嵩筹_ g q 咖 ：( q - t ) = ! i 等2 。1 f 3 。1 ( 3 4 5 ) n 3 c q - ) = 篙等3 删g 删o o 3 3 2 仿真结果 根据以上模型可以分别得出三部分的最小方差项： 第一部分最小方差项为： 巧( g 一1 ) = 1 + o 2 7 9 一1 + 0 1 8 9 一2 + o 1 2 q 。 ( 3 4 6 ) 第二部分数据的最小方差项为： e ( g 一) = 1 + 0 6 q - 1 + o 6 q 2 + 0 6 q - 3 ( 3 4 7 ) 第三部分数据的最小方差项为： f 3 ( q 一1 ) = 1 + 0 4 7 9 一1 + o 4 1 9 一2 + o 3 6 9 一3 ( 3 4 8 ) 为了得到精确结果，这里直接采用每部分数据的最小方差项，而不采用参数辨识的 方法。由于第二部分扰动最为剧烈，所以通过式( 3 2 0 ) 可以把第二部分的闭环响应模型 记为： 2 = 1 + o 6 q - 1 + o 6 q 之+ o 6 q - 3 + g _ 4 l r ( q 一) q ( 3 4 9 ) 其中：l r ( g _ 1 ) 2 寿，杪为自由参数，并且：孝= e x p ( 一霉厅) 。 根据方程( 3 3 9 ) 第一部分和第三部分的数据分别可以表示为： = 击寿( 1 + o 6 9 _ + o 6 0 6 n 南n q ( 3 5 。) y t 3 ) 击鲁( 1 + o 6 9 一十o 6 9 。2 + o 6 9 - 3 + 南n q ( 3 5 1 ) 由于第一部分的数据最为平稳，因此本节中把第一部分数据作为优化目标，可以表 示为： y = 鹕矿幽( = 去岳( 1 + 0 6 9 。1 + o 6 9 _ 2 + o 6 9 q + 南n ) ( 3 5 2 ) 诵讨求解以e 方稗就可以得到表3 1 中的每部分数据。 一3 2 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 由以上仿真模型得出的三个阶段的扰动图像如下： 图3 3 影响输出的三个不同阶段扰动图像 f i g 3 - 3p l o to ft h et h r e ed i f f e r e n td i s t u r b a n c ed y n a m i c sa f f e c t i n gt h ep r o c e s s 表3 1 对于不同r 值得出的最优少叫值及各部分方差 t a b l e3 1t l l eo p t i m a l y 掣a n d v a r i a n c eo fd i f f e r e n tp a r tb a s e do nd i f f e r e n tfv a l u e 由扰动图像可以看出，第一部分扰动最为平稳，能够代表系统正常运行时的情况， 因此这里采用第一部分数据建立时间序列模型。第二部分波动最大，属于影响系统正常 运行时的情况，这样在设立基准点时，中间过程求得的控制器要能最大限度的调节这部 分扰动。第三部分数据用来检验评价结果。 对于各部分扰动，每部分的最小方差项都可以通过辨识得出，上表是根据用户定义 的不同的f 值得出的最优y 。值及其基准点： 由上表可以看出，随着r 值的增大，得出的最优基准点随之减少。并且满足：第一 部分的方差值最小，第二部分扰动最剧烈，因此方差值最大，第三部分方差值居中，符 合实际情况。 由下图可以看出在本节设计的控制器下主要部分扰动及第二部分扰动的调节时间 约8 s ，图中显示了第一部分扰动的调节时间约9 s ，第三部分的调节时间约为11 s ，这表 一3 3 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 明基准点控制达到了闭环调节的需求，即使最能代表系统j 下常运行部分即第一部分的方 差达到最小，使最剧烈扰动部分即第二部分的调节时间最短。因此，本章节提出的基准 点是一个合适的时不变控制基准点，并且所求的的控制器能够优化存在时变扰动过程的 性能。 2 ，一 f 一 口 星o 一；i e - 2 ； o24 2 o d 星0 罢 星 t a 圣 ii。 0 24 6 h 恤r 甲m 静 1 2 僖1 6铭 1 41 6馏乃 一”1 ” 。 t “j “ 024681 01 21 41 6 倡 i 删 图3 4 最优控制器下每部分的脉冲响应 f i g 3 4i m p u l s er e s p o n s eu n d e rt h eo p t i m a lc o n t r o l l e r 再根据上表中算出的方差值求出不同值的基准点： 表3 2 与最小方差基准点的对比 t a b l e3 2c o m p a r ew i t ht h em i n i m u mv a r i a n c eb e n c h m a r k 最后把此方法与最小方差基准点进行对比，上表中的最小方差基准点是通过分别求 解三个无约束最小化方程来得到。根据最小方差基准点，第一部分和第三部分的性能指 数相对较低，但是实际控制器却是整定良好的大林控制器，原因就是第一部分和第三部 一3 4 一 嚣品 86 王 东北大学硕士学位论文第3 章单变量扰动时变系统性能评价 分扰动都不是随机扰动，并且积分器没有必要，但是大林控制器却含有一个积分器。它使 第一部分和第三部分的方差值增大。因此，大林控制器只在第二部分，即含有影响随机 过程扰动时j 给出比较好的性能指数。如果仅仅观察第一部分的性能指数，我们可能得 出控制器没有整定好等错误的结论，但实际上，由本文给出的性能指数显示大林控制器 性能良好。在本文中，表中给出的性能指数略大于1 ，证明原来控制器比基准点控制器 控制效果更好。根据下面的输出结果图也可以看出控制器控制效果较好。 图3 5 系统输出结果图 f i g 3 5o u t p u to ft h ep r o c e s s 3 4 本章小结 本章首先回顾了传统的最小方差性能评价方法，针对其方法的局限性，采样了对数 据根据扰动的不同进行分类的思想，来对时变扰动系统的性能进行评价。本章重点给出 了详细的评价步骤及评价结果，并且与最小方差基准点评价方法进行了对比，结果证明 本方法比最小方差法给