（控制理论与控制工程专业论文）广义双线性系统的故障诊断与容错控制.pdf

摘要 摘要 广义双线性系统是最接近广义线性系统的一类广义非线性系统，非线 性系统的故障诊断与容错控制一直是控制领域研究的热点与难点。本文的 主要工作就是研究广义双线性系统的故障诊断与容错控制。 首先，本文回顾了双线性系统近年束理论研究的成果与发展，总结了 故障诊断与容错控制的研究对象与方法。 接下来，重点讨论了基于状态观测器的广义双线性系统故障诊断方法。 给出了p i d 状态观测器与基于未知输入状态观测器的存在条件和设计方 法。并把结论应用到系统故障诊断中去。仿真结果验证了方法的有效性。 最后，本文介绍了基于l 2 控制理论的系统鲁棒容错控制的概念。给出 了实现广义双线性系统鲁棒容错控制的状态反馈控制器与输出反馈控制器 的存在条件，保证设计的反馈控制器在正常情况下和存在执行器故障的情 况下，都能使闭环系统渐进稳定，且闭环输入输出信号满足l 2 增益性能指 标，从而实现系统的鲁棒容错控制。最后的仿真结果证明了结论的正确性。 关键词：广义双线性系统，p i d 状态观测器，未知输入状态观测器，故障 诊断，非线性系统的l 2 控制，鲁棒容错控制 a b s t r a c t a b s t r a c t s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m ，d i f f e r e n tf r o mal i n e a rs i n g u l a rs y s t e m ，i sa k i n d o fn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s f a u l td i a g n o s i sa n df a u l t - t o l e r a n tc o n t r o lf o r n o n l i n e a rs y s t e m sh a v ea l w a y sb e e nah o tr e s e a r c ht o p i cd u et ot h e i rp o t e n t i a l s i ns y s t e m sa n dc o n t r o la p p l i c a t i o n s h o w e v e r ，f o rf a u l td i a g n o s i sa n df a u l t t o l e r a n tc o n t r o lo ns i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s ，f e we f f o r t sh a v e b e e nm a d es of a r t h i sm o t i v a t e su st od e v e l o pt h er e s e a r c ho nf a u l td i a g n o s i sa n df a u l tt o l e r a n t c o n t r o li ns i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m f i r s t l y ，t h eb a c k g r o u n da n dp r o g r e s so ft h er e s e a r c ho nb i l i n e a rs y s t e m s a r er e v i e w e di nt h et h e s i s t h er e s e a r c ht o p i c sa n dm e t h o d so ff a u l td i a g n o s i s a n df a u l t t o l e r a n tc o n t r o la r es u m m a r i z e d s e c o n d l y , t h et h e s i sm a i n l yd i s c u s s e s t h ef a u l td i a g n o s i sf o rs i n g u l a r b i l i n e a rs y s t e m sb a s e do ns t a t eo b s e r v e r s t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo fp i db i l i n e a ro b s e r v e r sa n dt h ed e s i g no fs t a t eo b s e r v e r ss u b j e c t e d t ou n k n o w ni n p u t sa r et h e np r e s e n t e d m o r e o v e r ，t h et e c h n i q u e sa r ea p p l i e dt o f a u l td i a g n o s i sf o rb i l i n e a rn o r m a ls y s t e m s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e n t oi l l u s t r a t et h ed e s i g np r o c e d u r e s f i n a l l y ，t h ep a p e rp r o p o s e st h er o b u s tf a u l t t o l e r a n tc o n t r o lf o rs i n g u l a r b i l i n e a rs y s t e m sw i t hl 2c o n t r 0 1 t h es t a t ea n do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r s a r ed e s i g n e df o r s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s t h ec o n t r o l l e r s ，w h e t h e r t h e a c t u a t o r sa r en o r m a lo ra b n o r m a l ，c o u l db eu s e dt os t a b i l i z et h ec l o s e d l o o p s y s t e me x p o n e n t i a l l y ，a n ds a t i s f yt h er e q u i r e d l 2 p e r f o r m a n c ei n d e x t h a ti s ， t h ef a u l t t o l e r a n tc o n t r 0 1i sr e a l i z e d k e yw o r d s ：s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m ，p i do b s e r v e r s ，s t a t eo b s e r v e r ss u b j e c t e d t ou n k n o w ni n p u t s ，f a u l td i a g n o s i s ，l 2c o n t r o lf o rn o n l i n e a rs y s t e m ，r o b u s t f a u l t t o l e r a n tc o n t r 0 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨生盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：弋烈 签字日期： 伊 年1 月止日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤壅盘茔有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫壅盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 咄导师签名：高表书 签字日期：z 年7 月，j 日签字日期：训1 年f 月“同 第一章绪论 第一章绪论 1 1 双线性系统近年来的理论研究与发展 1 1 1 双线性系统理论研究的背景。1 一个连续非线性系统可以用下列动态方程描述： i = f ( x ，“，n ( 1 1 ) 式中，z r ”为状态向量，“月”为输入向量，厂表示非线性函数向量。因为f 的形式一般比较复杂且无法统一，多数非线性系统只能个别的处理，这给非线性 控制系统的分析和设计带来很大的困难。因此，长期以来，人们一直企图找到一 些便于研究的简化非线性系统的途径。其中一类研究是基于下列关于状态变量线 性的非线性系统： 叠= f ( u ，t ) x + f ( u ，1 ( 1 2 ) 这类系统称为状态线性系统，有人也称为变结构线性系统( v a r i a b l es t r u c t u r el i n e a r s y s t e m ) ，因为可以将其看作参数随输入( 控制) 变量变化的线性系统。此类系 统的研究始于苏联学者在5 0 年代的工作，主要用于改进控制系统的性能。另一 类较多的研究是基于下列关于输入( 控制) 变量线性的非线性系统： 量= g ( x ，t ) u + g ( x ，f 、 ( 1 3 ) 这类系统称为输入( 控制) 线性系统，有人也称为仿射系统( a f f i n es y s t e m ) 。早 期的研究是由美国学者进行的，现在仍然受到广泛的重视。 在此，人们就自然想到构造一个关于状态变量和控制变量分别都是线性的， 而总体上是非线性的系统 i = 爿( ，沙+ n , ( t ) x u ，+ b ( t ) u ( 1 4 ) ，= j 式中，4 ( ，) r “”，n ，( f ) 月( 江1 , 2 ，) ，b ( f ) r 。n ，( t ) x u ，称为双 ，# 1 线性项，还可以表示为 n ，( t ) x u ，= m ，( t ) u x ， ( 1 5 ) m l j = l 这里，m ，只( ，= 】2 一”) 。所谓双线性系统( b i l i n e a rs y s t e m ) 就是由此而 第一章绪论 得名的。这样构造的双线性系统是形式上最简单，且最接近线性系统的一类非线 性系统。所以，线性系统中已经建立起来的一些理论和方法有可能移植或扩充到 双线性系统中去。 事实上，双线性系统的提出并不仅是出于理论上的兴趣，更为重要的是出于 实践上的需要。双线性系统最早的研究可见于美国r r m o h l e r 等人6 0 年代 初在l o sa l a m o s 市开展核反应器控制方面的工作。在化工过程中，许多控制对 象经常用物料流量作为控制变量，这样依据物料的能量平衡原理可知，描述对象 的动态特性的数学模型就出现状态变量( 如温度、浓度) 与控制变量( 流量) 的 乘积项。因此，就必然出现双线性系统的问题。 应该指出，双线性系统毕竟是非线性的，不少在线性系统中行之有效的数学 表达式，在双线性系统中一般无法直接使用，如传递函数。双线性系统各种不同 表达式之间的对应( 转换) 关系亦很难找到，这给双线性系统的研究带来困难。 1 1 2 双线性系统稳定陛化反馈控制的研究 与线性系统不同，双线性系统的稳定性，除了与输入的形式和大小有关以外， 还与初始状态向量的分布有关。当初始状态不同，或输入形式和大小不同时，对 于同一个双线性系统，可能有完全不同的运动规律。因此，双线性系统稳定性的 分析一般比较困难。 既然双线性系统的稳定性是与控制输入“有关的，人们就设想能否直接通过 系统状态反馈来获得某些稳定性性质，即使双线性系统闭环稳定化。已证明，在 某些情况下，双线性系统可以通过简单的状态反馈或输出反馈，使得闭环系统在 较宽范围内( 甚至全局) 渐进稳定。 双线性系统状态反馈稳定化控制器设计方法基本上是根据l a y p u n o v 方法讨 论的，最早提出研究的是i d e r e s e l 2 】等人。他们对一般形式的双线性系统，用 l a y p u n o v 方法证明线性状态反馈控制可以使闭环系统在原点附件较宽范围内渐 进稳定( 局部稳定) ，并给出了具体的设计步骤。 另一类研究是用简单的非线性反馈。t 1 0 n e s u 3 1 ，p o g u t m a n l 4 】等一些 学者都得到了二次型( 或二次函数) 状态反馈控制律，并可保证闭环系统具有某 些良好的稳定特性。r l o n g c h a m p 在1 9 8 0 年提出的两篇论文【5 】【6 1 中，用l a y p u n o v 直接法证明用b a n g - b a n g 控制律可使闭环系统渐进稳定。另外，有人研究得到最 优非线性状态反馈稳定化控制律 7 1 。近来，m i n s h i nc h e n 和s h i a t w ut s a o | 8 1 提 出了一个新的非线性反馈控制器设计，使开环不稳定系统全局渐进稳定，并在计 算机仿真中实现其有效性。 第一章绪论 1 1 3 双线性系统状态观测器的研究 许多控制技术都要求系统全部状态变量进行反馈，然而在实际应用中，所有 状态都能测量的情况是比较少见的。因此，状态观测问题成为现代控制理论与应 用研究的一个重要方面。目前，双线性系统状态观测器的理论与应用己趋于成熟。 h a r a 和f u r u t a 9 】等人早在1 9 7 6 年就提出了双线性系统最小阶状态观测器的设计 方法，d e r e s e 】等人把线性l u e n b e r g e r 观测器理论推广到一类输入有等幅约束的 双线性系统，提出一种结果较简单的观测器。j f u r u s h o 等人f j ”研究了单输入且 有界的双线性系统的观测器问题，得到了观测器误差满足l a y p u n o v 稳定性的充 分条件。h a n l o n g y a n g 和m e h r d a ds a i j 2 1 给出了带有未知输入的最小阶状态观测 器设计，并把结论应用到系统故障检测与诊断( f d i ) 中去。c h o k r im e c h m e c h e 和s a m u e ln o w a k o w s k i l l 3j 利用l a y p u n o v 稳定化方法给出双线性动态观测误差一 致渐进稳定的充分条件和双线性状态观测器存在的充分条件。最近，y ud 和 s h i e l d sdn 等人f j 4 】 】5 j 进一步提出了种用于双线性系统f d i 的双线性故障检测 观测器方法。其核心是设计最小阶的双线性故障检测观测器，这实际上是线性未 知观测器在双线性系统中的延伸。 1 1 4 广义双线性系统的数学描述 把式( 1r 4 ) 中的双线性系统推广到更为广泛的形式可以表示为 厨= 一( 帆+ n ，( o x u ，+ b ( t ) u ，x ( t 。) = ( 1 6 a ) i f f i l 设输出方程 y ( t ) = c ( t ) x ( t ) ( 1 6 b ) 与之对应的具有更广泛形式的线性时不变双线性系统为 e 2 = a x + n ，x u ，+ b u ( 1 7 a ) j = 1 y = c x ( 1 7 b ) 式中，x r ”，“r ”，y r ，分别为状态、控制和输出向量，爿，( 1 2 ，m ) ， b ，c 是维数适当的常数矩阵，分别称为系统矩阵、双线性矩阵、输入矩阵和输 出矩阵。e r ，当r a n k e = h 时，对应的系统为正常双线性系统；当 r a n k e = r 0 任意实数。 引理2 2 1 1 3 1 假设存在正定的实对称矩阵户满足下面的助叩职d v 方程 a 7 p 4 p a ：一w 矿为任意给定的实正定矩阵，彳为h u r w i t z 矩阵。其范数等价式为 胪8 。：瓦i j w 而h , ( 注) 1 、矩阵爿r ，i ：= 。巧( 4 7 4 ) ； 2 、p ( 国= a t 五+ 4 ) 。 简化方程式( 2 6 ) ，令 h = ( e + l d c ) 一1 ( 一一三，c ) g ，= ( e 十三d c ) _ d f 则 o = h e + g ，p “ 定理2 1 如果假设( 2 2 ) ，( 2 3 ) 成立 约柬 一卢( 日) ( 1 - ( 2 7 a ) ( 2 ，7 b ) ( 2 8 ) 且矩阵何，q ( i = 1 , 2 ，m ) 满足不等式 ( 2 9 ) 则双线性动态观测误差( 2 8 ) 渐进酰强k ( 石：融g j t g ， = m a x 慨 ，痧；矽，ur ，洲，为向量与矩阵2 一范数。 证明：如果假设( 2 2 ) ，( 2 3 ) 成立，则可设计矩阵k 和三，使日稳定。若q 为 一对称正定矩阵，存在 q = 日7 q + q h = 一2 厶 0 )( 2 】o ) 选择l a y p u n o v 方程式v ：p7 q e ，v 正定， 第二章广义双线性系统p i d 观测器设计及故障诊断 则 其中q = g ，。q + q g 由引理2 1 e 7 ( - 2 l + l u ，1 9 2 + h i g , t g ，弦 ( - 2 a h l , , + 而l l e l l ：q 2 + 善m 叩，t g 加 c 幽+ 而：| | q | | ：2 + m 即t ，| | 2 ) s 著也。+ 垌阮j | q | | ：2 + 挚e 屯| | 2 o 有旷 圭i 喜g t g ，则厂c p 。 令2 盟i：o ( 取，( ) 的极小值 口i ：d 得到瓯= 0 善mu，tg,rg，”代入cz16)ii 1 1 2 得到瓯= 0 u ，代入( 2 = 】 2 c 吵砸沪历：阻q r g , i f ： 0 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) p q 】 p | | 弦 q 。 + 绕( r 8 = 矿 p ” g r g+ 2 q( 。h + h 口2一 ( r p 一 矿 第二章广义双线性系统p i d 观测器设计及故障诊断 当不等式一a ( h ) r 成立时，双线性动态观测误差( 2 8 ) 渐进稳定。 ( 证毕) 当d o 0 时，假设d 。是具有下面多项式形式的一类故障扰动 d 。= = 日。十d l l + a 2 t 2 + + 口g 一1 r 。一1 ( 2 1 9 ) 其中，口。“= 1 , 2 。，鼋一1 ) 为未知的常数向量。显然，d 。的g 阶导数为零。这时， 仍设计形如( 2 4 ) 的p d 观测器，令p = 量一z ，则系统动态观测误差为 m ( e + k c ) 垂= ( 爿一l e c ) e + 口p 甜，一n 。d 。 f = l 显然，仅设计p d 观测器已经不能满足系统的观测要求。 考虑具有下面形式的p i d 状态观测器 区= a i c + d , i c u ，+ b u + l p ( y 一强) + k ( j = 一既) + 。 ，= i ，：= l i q ( y c 譬) + 五一 z = 上，2 ( y 一既) + z z = 三，1 ( y c 譬) ( 2 _ 2 0 ) 这里，夕r “( 扛1 , 2 ，9 ) 为d 。的q - i 阶导数的估计；l p ，l d 和l l ( f - l ，2 ，g ) 分别为具有合适维数的比例，微分和积分增益矩阵。 相应的，令p ：量一z ，q = z d a 0 7 - , ) ( 扛1 , 2 ，g ) ，则有 ( e + 上。c ) 毒= ( 爿- l e c ) e + d ，e 虬+ n 。p g - j j 4 = 一l i q c e + 8 川 i ( 2 2 1 ) 0 2 = 一z lz c e + q 岛= 一l c e 变换成矩阵形式为 m ( 万+ 乙u ) e = ( a 一- l c ) g + 瓦勘 ? = 】 式中，虿：【e r 岛t e ：t 乙：k 。7 00 e 。7 re r ”- n 。， o r ，于： c 00 ( 2 2 2 ) 第二章广义双线性系统p 1 d 观测器设计及故障诊断 如果 n = d j 0 00 ： 00 oo oo o0 +，： o 0 00 点o0 0 0 0 0 0 0 j 0 0 0 0 。 ，一 a0 00 0 l ：； o0 r ：i ，7 ( 上，1 ) r( 上，2 ) ，( 上，- ) 7 r 。 i - r l 七引刊邶。 砒 万 ：，2 + 瞩c 0 n o 00 0 0 ： i 0 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 a ) ( 2 2 4 b ) 成立，则存在矩阵己和r 使( e + 己西非奇异，且( e + l o c 一，a 一一l c 一) 稳定。 把( 2 2 3 ) 代入式( 2 2 4 ) 有 ，i - e l 一后l c j 圳 m 七p 卅 v se c l cj r 4n 。 删七l c 彳p 棚。 令h 一= ( 豆+ l d f ) 一1 ( 万一2 一c 一) 虿= ( 置+ l d 西“瓦 简化双线性动态误差f 为 方= f - r e + 虿动 定理2 2 若条件( 2 2 5 ) 成立，且矩阵酉满足不等式约束 ( 2 2 5 a ) ( 2 2 5 b ) ( 2 2 5 c ) ( 2 2 6 a ) ( 2 2 6 b ) ( 2 2 7 ) 第二章广义双线性系统p i d 观测器设计及故障诊断 叫耻一旧1 1 2 i | 驴7 g 们啦 则双线性动态误差万渐进稳定，这里，g ，= ( e + l 。c ) 证明：显然，若等式( 2 2 5 ) 成立，则式( 2 2 4 ) 成立， 定。根据定理2 1 ，只要满足 ( 2 2 8 ) d ，( f = 1 , 2 ，m ) a 存在矩阵瓦和云使厅稳 刊耻佃。i i 挣刮旷 ：。， 则双线性动态观测误差虿渐进稳定。事实上，若增益矩阵l 。使e + k c 非奇异， 则己同时使i + 瓦百非奇异。而 0 善互e 0 ：= 1 善u 瓦7c 百十己虿，。c 可+ r s ) 。巧1 l ： = 融d , ( e + l d c ) ( e + l d 口4 ： = 挚r ah t g ，l j ： c z 。， ( 证毕) 定理2 2 说明，广义双线性系统( 2 1 ) ，在满足条件( 2 2 5 ) 的情况下，设 计形如式( 2 2 0 ) 的p i d 状态观测器，若增益矩阵o ，l 。和l ，( f = 1 , 2 ，m ) 使 不等式约束( 2 2 9 ) 成立，则所设计的状态观测器有效，即系统动态观测误差渐 进稳定。由于在设计过程e e ，预先考虑了系统可能出现的一类执行器故障，并对 茸讲行了估计，曲该方法可麻用到广义双线性系统的故障检测和诊断中去。 2 2 基于p id 观测器的正常双线性系统故障诊断 考虑下面带有未知扰动的正常双线性系统 r” j 善= 爿善+ 乏d 珈，删“+ ，d + 彤d 。( 2 t 3 1 ) l y = c f + n 2 d 这里，f r 为状态向量，“r ”为控制输入，d r 为未知扰动输入，d 。r “ 为一类执行器故障。 厂f 对系统进行变量替换，令x 2 i ；e ( 一2 n 十七) ，则变换后的系统为 第二章广义双线性系统p i d 观测器设计及故障诊断 m f 戤= 出+ d ，础+ b u + 帆元 、r 司 【y = c x ( 2 3 2 ) 这里，e = 台： ，彳= 乏1 ，。，= 吾： ，b = 乞 ，士。= 髻 ， c = 【c n ：】。 ( 2 3 3 ) 通过变量替换，把未知扰动向量看作系统状态进行观测，这样，正常双线性 系统就等价为广义双线性系统，上一节中p i d 观测器的设计方法就可以应用到 正常双线性系统中来。根据定理2 2 ，系统存在p i d 观测器的前提条件为式( 2 2 5 ) 成立，把( 2 3 3 ) 代入( 2 2 5 ) 有 朋”t 2 ：n o j = ”。+ 七m 廊c ，= 七，且七 0 ) ( 3 1 3 ) 则旷( g ) = e t ( h r q + 妒+ 至( g ，7 q + q g ，协，) e = e r o p ( 3 1 4 ) f = l 若约束条件( 3 1 2 f ) 成立，则动态观测误差渐进稳定。( 证毕) 定理3 2 若存在矩阵h ，三。，l ：，m ，g ，( f = 1 , 2 ，m ) ，l ，t 满足约束条件 ( 3 1 2 a ) 一( 3 1 2 e ) ，则系统动态观测误差可表示为 e = ( t a 】一k c 2 ) e + ( t d ，一k 。，c 2 ) e u ， ( 3 1 5 ) ，= 1 其中k h = l ：一码 k 。，= m ，一g ，最，i = 1 , 2 ，m ( 3 1 6 a ) ( 3 1 6 b ) 证明：在假设( 3 7 ) 成立的条件下，等式( 3 1 0 ) 成立，将其代入( 3 1 2 a ) ，( 3 1 2 b ) ， 即可得 h = t a l k c 2 ( 3 1 7 a ) g j = t d , 一k e ，c 2 ，i = 1 , 2 ，m ( 3 1 7 b ) k ，k e ，即为( 3 1 6 a ) ，( 3 1 6 b ) 中的结果。 ( 证毕) 状态观测器设计的主要目的是找到满足条件的合适的矩阵k 。，k 使得到 的系统动态观测误差渐进稳定。 定义3 2 1 4 1 ( 删，c 2 ) 为r 一可检，当且仅当 m ”七“三1 = 聆，对任意的s e c , r e c s ，r 这里，r _ ( 而：阻m 叫t 钞啦心= m 酬 ，疗屯叫7 州协 向量与矩阵2 一范数。 第三章未知输入状态观测器设计及故障诊断 a 一m 。( 疗) f ( 3 1 8 ) 这里，乙= 一旯一，百= h 7 + h ，则动态观测误差( 3 1 3 ) 渐进稳定。 r a n k 5 卜珥1 ：月 ( 3 1 9 ) 则存在矩阵k 。使得h = t a 。一k 。c ：稳定，则同定理2 1 的证明过程，当 一a t ( h ) 五。( 7 + 日) = k ( 青) r 1 为了获得满足条件k ( 疗) y ( 或x y ) 等价于z 一】，正定( 或半正定) x y ( 或z s y ) 等价于x y 负定( 或半负定) 。 考虑下面的状态齐次广义双线性系统 e 2 = a x + b i x u 。+ g o 。 户l y = c x z = 旧 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 其中，x r ”为系统状态向量，“r “为系统控制输入，缈。r 。为外部扰动输 入，y 月”为测量输出，z r q 为系统受控输出。e r 且r a n k e = r 0 ，闭环系统的l 2 增益小 于或等于，即闭环系统输入输出信号满足l i z l ，i b v 2 【o ，t j 。 首先，考虑= 0 时系统的稳定化反馈控制。变换系统如下 e 2 = a x + a ( x ) u + g c o o y = c x z = 旧 这里，b ( x ) = b j xb 2 x t 曰。工 。 假设4 11 ) ( e ，a ) 正则，即d e t ( a e a ) 不恒为零，对任意的五c ； 2 ) ( e ，a ) 无脉冲，即d e g ( d e t ( k e 爿) ) = r a n k e = r 。 根据假设4 ，1 ，存在两个可逆矩阵m 。，n 。r ，满足 ( 4 7 ) 第四章广义双线性系统的鲁棒l 2 控制 e n o = 心o o l m o a “= 略z ， s ， 这里，a 。r “7 。显然，如果存在一个特征值厶，使得d e t ( 2 。e 一爿) = 0 ，则；t o 也 是a o 的特征值，即d e l ( 2 。，一a o ) = 0 。 假设4 2 行列式d e t ( 舾一彳) = 0 具有r 个不同的特征值以，且r e ( 五) s0 ， k = 1 , 2 ，r 。 假设4 2 说明a 。也有，个不同的特征值五( k = 1 , 2 ，) 。因此，4 9 在- - 个 可逆矩阵s o r ，和一个对角阵a r “，满足 a o s o = s o a ，a + a r 茎0 ( 4 9 ) 令，：= j 。l o r s 。) 一1 一j ：一， 。一1 c 4 ，。， 根据( 4 8 ) ，( 4 1 0 ) 有 r 7 ，；= 。一7 ：f 娅s 。7 ) 一1 一一， 。一1 = = 。一7 l s 。7 1 ：l 。一l z ：。c 4 ， 相似的，有r 7 e = e 7 r 0 。 ( 4 1 2 ) 此外， p ：a 七蕾p 0 = ，v j 一7c s 。7 ) 一1 一z 一， 。詈，】：! ， + 7 ，! ! ， s 。7 ) 一1 一， ，、，o 1 = 。一 ：一鼻。一， 。一1 c 4 ， 这里，矿= ( s 。s o r ) a 。+ 爿。7 ( s 。s o r ) 。 根据式( 4 1 0 ) 有， 庐= ( s o s 0 7 ) s o ( 人+ a t ) s o r ( s o s o t ) 1 0 则r 7 a + a 7 r 0 。 ( 4 1 4 ) 综上所述，集合 s ：= p r 刖”j m 圯惫( p ) = n , e 7 p = p r e o 且p r 爿+ 爿7 p o j ( 4 1 5 ) 第四章广义双线性系统的鲁棒l 2 控制 不为空集。 假设4 3 存在一个矩阵p s ，使得输入矩阵e 满足 qr p 7 b ，q i 0 ，k = 1 , 2 ，i = 1 , 2 ，m ， q 。是对应于特征值五的d e t ( a e 一一) = 0 的特征向量，即 ( e a ) q = 0 ，k = 1 , 2 ，。 ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 引理4 1 1 2 0 1 ( l as a l l e 不变集定理) 考虑 阶非线性系统主= ，( 砷，其中，f 为 连续的函数向量，x r ”，若存在一个l a y p u n o v 函数y ( x ) 使系统满足旷( x ) 0 ， 则当f - o 。时，该系统的任一轨迹都收敛于最大不变集m = k 月”妒( z ) = o l 。 定理4 1 1 2 4 1 如果假设( 4 1 ) 一( 4 3 ) 成立，那么存在一个连续的状态反馈控 制器 “= u ( x )