（固体力学专业论文）颗粒复合材料等效热导率的权残自洽方法研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 本文介绍一种新的微观力学方法一一加权残值自洽方法( 简称权残自洽 方法) ，用于研究含任意夹杂形状的颗粒增强复合材料的有效热导率 自治方法的微观力学模型是：夹杂相颗粒处于热导率恰为原复合材料等 效热导率的均匀各向同性介质中，无穷远处受均匀边界条件。自洽方法可以 很方便的求解典型颗粒如球形和椭圆形夹杂的复合材料的热传导问题，但是 对于任意形状夹杂如多边形或其它不规则形状的复合材料的热传导问题，多 数情况下很难得到其解析解。权残自洽方法可以用于描述不同形状夹杂的复 合材料的微观结构，通过对不同几何形状角点做适当的圆弧化处理，采用加 权残值数值计算方法的配点法将求解微分控制方程变为求解线性方程组，进 而得到任意形状夹杂内部的温度场，建立含不规则形状夹杂的复合材料有效 热导率的预测公式。 在求解颗粒复合材料不同形状夹杂内温度场的基础上，进而求解其夹杂 相的平均温度梯度，利用有效热导率的预测公式，对含不同形状夹杂的复合 材料进行数值计算从而得到其有效热导率。用权残自洽方法对圆形和椭圆形 央杂的温度场进行计算，验证了在均匀边界条件下，圆形和椭圆形状夹杂内 部的温度梯度场是均匀的，其等效热导率也与自洽方法的计算结果相吻合。 对含有其它形状夹杂的复合材料的计算结果表明，复合材料的有效热导率不 仅仅依赖于夹杂相的体积含量及组分性质，还与颗粒的几何形状有关。 关键词：复合材料；微观力学；热导率：自洽方法；加权残值法 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t ra c r an e wm i c r o m e c h a n i c a lm e t h o d , t h ew e i g h t e dr e s i d u a ls e l f - c o n s i s t e n t s c h e m e ( w r s c s ) i sd e v e l o p e dt os t u d yt h et h e r m a lc o n d u c t i o no ft w o - p h a s e c o m p o s i t e w i t h a r b i t r a r yg e o m e t r y o f p a r t i c u l a t e s n em i c r o m e c h a n i c am o d e lo fs e l f - c o n s i s t e n ts c h e m ei st h a ta p a r t i c l ei s e m b e d d e di nah o m o g e n e o u sa n di s o t r o p i cm e d i u mw h o s ec o n d u c t i v i t yi st h e u n k n o w n a ti n f i n i t ed i s t a n c ef r o mt h e p a r t i c l e a h o m o g e n e o u sb o u n d a r y c o n d i t i o ni sp r e s c r i b e d f o rs o m et y p i c a lc o n f i g u r a t i o n so ft h ei n c l u s i o n s ，f o r e x a m p l e ，f o rs p h e r i c a lo re l l i p s o i d a li n c l u s i o n s ，t h et h e r m a lc o n d u c t i o np r o b l e m o ft h ec o m p o s i t ec a nb es o l v e dw i t h o u tm u c hd i f f i c u l t y u s i n gs e l f - c o n s i s t e n t m e t h o d b u tf o ra r b i t r a r y g e o m e t r yo fp a r t i c u l a t e s ，s u c h a sp o l y g o no ro t h e r i r r e g u l a rc o n f i g u r a t i o n s t h ea n a l y t i c 甜s o l u t i o ni si m p o s s i b l eo r h a r dt oo b t a i n i n t h e w r s c s ，t h es e l f - c o n s i s t e n tm o d e li s u s e dt od e s c r i b et h e c o m p l e x c o n f i g u r a t i o n s o ft h e p a r t i c u l a t ec o m p o s i t e a n dt h et e m p e r a t u r ef i e l di ss o l v e d b y w e l g h t e d r e s i d u a lc o l l o c a t i o nm e t h o dw i t hs o m ep r o p e rs i m p l i f i c a t i o n s t h i s m e t h o dp r o v i d e sam o r ee f f i c i e n tw a yo fs e t t i n gu pt h e a l g e b r a i ce q u m i o n s c o r r e s p o n d i n g t ot h e g o v e r n i n g d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e p r e d i c t i o nf o r m u l a f o r t h ee f f e c t i v et h e r m a lc o n d u c t i v i t yo ft h ec o m p o s i t ei so b t m n e d n i ea v e r a g et h e r m a li n t e n s i t yi n s i d et h ep a r t i c l ei so b t a i n e db a s e do nt h e s o l u t i o no ft h e t e m p e r a t u r e f i e l di n s i d et h e p a r t i c l e n e e f f e c t i v et h e r m a l c o n d u c t i v i t i e sf o rc o m p o s i t e sw i t hd i f f e r e n tp a r t i c u l a t eg e o m e t r ya l ec a l c u l a t e d b yu s i n gt h ep r e d i c t i o nf o r m u l a f o rt h ec a s eo fc i r c u l a ra n de l l i p t i c a li n c l u s i o n ， t h er e s u l tf r o mt h ew r s c si sa l m o s tt h es a m ew i t ht h eo n ef r o ms t a n d a r d s e l f - c o n s i s t e n tm e t h o d e x a m i n i n gr e s u l t sc o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n tp a r t i c u l a t e g e o m e t r y , i ts h o w s t h a tt h ee f f e c t i v et h e r m a lc o n d u c t i v i t yn o to n l yd e p e n d s u p o n t h ev o l u m ef r a c t i o n sa n dt h ep r o p e r t i e so fc o m p o n e n t s ，b u ta l s od e p e n d s0 1 1t h e p a r t i c u l a t eg e o m e t r y k e y w o r d ：c o m p o s i t em a t e r i a l s ；m i c r o m e c h a n i c s ；t h e r m a lc o n d u c t i v i t y ； s e l f - c o n s i s t e n ts c h e m e ；w e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题的背景介绍及热传导问题的发展概况 复合材料包含多种结构形式1 1 l 如层合板、长或短纤维增强复合材料、颗 粒复合材料、多晶材料等等。由于它们具有高的强度重量比、性能的可设计 性，从而推动了它们在各领域的广泛应用。复合材料通常结合两种或以上不 同物质，制成性能优异并能满足需求的一种新材料。一般而言，复合材料的 构成有两大要素：一种是基体材料( m a t r i x ) ，另种为夹杂材料( i n c l u s i o n ) 。 夹杂材料包括不同的材料性质、夹杂尺寸及几何形状等多种形式。 复合材料的另一个突出特点是它们具有复杂的微观结构，因此在大多数 情况下，对其在受到外部作用时产生的响应进行细致的分析是非常困难的。 目前关于复合材料微观结构和宏观性能关系预测方面的很多问题有待解决。 同时也涉及到复合材料微观结构的设计、制造、维护及再利用等新的研究内 容。 不容置疑，随着复合材料在高科技工程应用的发展，高性能材料所承受 的工作环境也越来越严峻，尤其是经常承受高温高压等恶劣环境的考验，对 材料的微观结构的设计和制造工艺提出更高的要求【2 i 。为适应材料高科技的 发展，满足工程实际的需要，一些新型高性能材料应运而生。如在航空、航 天、原子能应用和能源工程等高科技领域中，材料将承受高温、高温度梯度 等苛刻的使用环境，一些新型的复合材料如梯度材料等发展起来并应用于这 些领域【”。梯度材料是一类新的可设计材料，兼有陶瓷和金属的优异性能， 在高技术领域有重大需求。 功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，英文简称f g m ) 是一类新 型令属一陶瓷复合材料，这种复合材料的成分沿厚度方向由一侧向另一侧连 续不连续变化，材料的微观结构也成连续不连续变化，这种组分和微观结 构的梯度变化，使材料的性质和功能也呈现出梯度交化的特征，在高温梯度、 瞬时高强度表面加热和循环热冲击作用下，金属一陶瓷梯度材料具有优异热 1 武汉理工大学硕士学位论文 应力缓和性能、耐热抗冲击性能和热疲劳性能，在航空、航天和核工程等高 科技领域中具有十分重要的应用前景。 梯度材料是以计算机辅助材料设计为基础，采用先进的材料复合技术进 行制备的。一些在高温环境下工作的金属制件( 例如发动机气缸) ，要求其内 表面有高的强韧性、耐磨性，在高温下工作有高的物理化学稳定性，且有良 好的隔热性，以达到气缸的高寿命、低散热并提高功率，以及尽可能的消除 村料制备过程及使用时的两类热应力为目的。功能梯度材料的设计思想是将 材料制备过程及使用时的两类热应力分布情况综合考虑，通过使它们互相抵 消柬做出最优设计。由于其具有全新的设计思想和优良的材料性能，并且在 高科技领域，特别是在军事上具有重要的应用前景和地位。为使功能梯度材 料有更加广泛的应用前景。需要从物性参数的研究，材料成分及结构设计， 制备工艺和性能评价及失效机理等方面要系统地对功能梯度材料体系进行 研究。 研究复合材料的微观结构与宏观性能间的关系是材料科学和力学等多 学科交叉研究领域中的一个重要问题。目前，对于颗粒复合材料主要应用的 基于e s h e l b y l 4 】等效夹杂原理的各种微观力学方法进行研究，己较好的解决 了非均质材料的热弹性性能和热弹塑性性能问题，在复合材料传热性、导电 性、磁性等其它性能方面，也取得了一些进展。 h a s h i n l 5 l 将微观力学的研究方法可分为三类，即直接解法、变分法和近 似方法。直接解法是通过对微观力学模型求解有定解条件的场方程，得到问 题的解析解。但由于问题的复杂性，可得到解析解的微观力学问题微乎其微， 因而此方法发展缓慢。变分法主要应用于弹性性能的研究，应用势能最小原 理和最小余能原理得到复合材料各种模量上、下界的估计式。 目前，微观力学方法中应用较多的近似方法主要有三种：1 、稀疏理论， 以e s h e l b y l 4 i 等效夹杂原理为依据，对具有颗粒弥散微观结构的非均质材料 的微观结构一宏观性能进行分析。其微观力学模型为：任意分布的夹杂处于 均匀的基体材料中，各夹杂颗粒问无相互影响。2 、自洽方法( t h e s e l f - c o n s i s t e n ts c h e m e 简称s c s ) ，此理论可以处理较稀疏理论更为复杂的 微观结构，不须区分夹杂相和基体相，对渗流结构也能取得较好的结果。其 2 武汉理工大学硕士学位论文 模型为：单个夹杂处于具有复合材料等效性能的基体中，夹杂间的相互影响 被考虑进去i 1 1 。3 、广义自治方法( t h eg e n e r a l i z e ds e l f - c o n s i s t e n ts c h e m e ， 简称g s c s ) ，广义白洽方法是自治理论的进一步发展。在这种方法中，材 料的微观结构被考虑得更为精细，不仅考虑了夹杂之间的相互作用，也一定 w 度 ：考虑了央杂与基体间的相互作用。其模型为：包有基体壳的颗粒嵌于 等效介质中。 颗粒复合材料的热传导问题是微观力学领域的一个重要问题。等效热导 率是复合材料的一个重要物性参数。对非均质材料热传导悯题的研究始于 m a x w e l l ，由于非均质材料在工程中的应用加速了这方面的研究。早期的工 作集中于宏观性能的研究，如等效热导率、电导率1 1 2 1 、磁性材料的磁导率， 扩散率和弹性模量，这些研究主要针对两相材料n ”。 最初m a x w e l l ( 1 8 8 1 ) 、l o r e n z ( 1 8 8 0 ) 1 1 4 等研究了夹杂为随机分布的 球形或单向排列的纤维的复合材料的热传导问题。最初的研究工作是建立在 假设夹杂在基体中的分布足够稀疏的基础上，在这种假设下，每个颗粒周围 的温度场都不会受到周围其它颗粒的温度场的影响，从而大大简化了问题。 后来发展为考虑夹杂为椭球形情形。这些早期工作在处理颗粒含量较高、需 要考虑颗粒问的相互影响的情况时遇到困难，目前，处理这一问题有两种不 同的方法：1 、研究规则介质，即考虑复合材料中颗粒的排列具有周期性；2 、 设法分析两个或更多任意分布的颗粒间的相互影响。 h i l l i ”l 和h a s h i n 1 5 】将自洽和广义自洽微观力学近似方法引入该类问题 的研究。通过自洽理论模型，对原复合材料进行均匀介质等效，将颗粒间的 相互影响考虑进去。广义自治方法是自洽方法求解非均质材料等效热性能的 进一步发展【1 6 , 1 7 l ，它的思想与自洽方法相似，考虑了夹杂与基体问的相互作 川。 复合材料本身有强烈的结构特征，是一种多相材料。其性能和损伤破坏 规律不仅取决于其组分材料性质，同时也取决于其微观结构特征，这些特征 包括夹杂相( 例如纤维或颗粒) 的体积分数、分布规律、夹杂相形状以及界 面相的性质等【1 8 】。如何利用微观力学的理论和方法去预测和分析复合材料 的等效性能、揭示其损伤和破坏的本质是十分重要的研究课题，对这一问题 武汉理工大学硕士学位论文 的研究，可以为材料设计、材料使用性能评价和材料安全性能分析与评估选 材提供理论依据和分析方法，进而实现对复合材料进行优化设计的目的。 目前，传统的微观力学理论的研究已经比较成熟，但这些理论的模型是 针对一些简单或理想问题，有一定的局限性。已有的研究表明夹杂的形状对 颗粒复合材料等效性能也有一定的影响，而以往的研究仅限于对规则颗粒形 状如球形或者椭球形颗粒复合材料的求解，对于不规则形状夹杂如多边形及 任意形状夹杂的颗粒复合材料等效性能的研究较少，而不规则夹杂复合材料 也是工程实际应用中绝大部分材料的真实情形。这一方面研究的困难主要有 以下两点：一是对于不规则夹杂的形状描述比较困难，在数学上很难用表达 式或者适当的参量对夹杂的几何形状进行表征，另一个原因是不规则形状夹 杂内场微分控制方程的求解困难。基于以上原因使得夹杂形状对颗粒复合材 料的等效性能的影响研究无论是试验还是理论方面都显得十分薄弱。 复合材料的热传导问题，工业上遇到较多。二维热传导问题如各种设备 上的散热片散热问题，如飞机发动机的气缸、大功率发电机、电子设备等散 热片设计问题等。三维热传导问题如大型高速电子计算机的散热要求即是。 因为电子设备的可靠性是随着温度升高而降低的，热传导的问题是设计这些 电子器件考虑的重要问题之一。由于热传导问题的解析解很难找到，解析法 只能局限于形状规则的导热体，对于几何形状不规则的热导体，尤其是对于 不规则夹杂形状的颗粒增强复合材料往往无能为力，因此需要设法找到具有 一定精度的近似解，于是在分析方法上大都趋向于用数值解法如有限差分法 及有限单元法等解决问题。但这两种方法的离散和计算的工作量很大。加权 饯值法( w e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d ，简称w r m ) 用于固体力学，具有方法 原理的统一性，应用的广泛性，简便又准确，计算工作量少等特点，是一种 较理想的计算方法。w r m 于二维热传导问题上，如用边界配点能将一个无 限域的问题转化为有限的边界配点问题，计算的工作大大减少，又提高了计 算精度。 4 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 本文的研究内容 本文以发展含任意形状夹杂的颗粒复合材料等效热导率的预测方法为 主要内容，所采用的技术路线是将加权残值法和微观力学方法中的自洽方法 相结合，提出一种新的微观力学计算方法权残自洽法( w e i g h t e dr e s i d u a l s e l f - c o n s i s t e n ts c h e m e ，简称w r s c s ) 。 根据目自0 已有的研究成果，含任意形状夹杂颗粒复合材料等效热导率的 预测的主要难点是控制微分方程的求解，即温度场的求解，理论方法可以得 到公式形式表示的问题的解，但只限于对简单的几何形状及线性问题的求 解。在这一方面，数值分析方法有其独到的优势，可以比较好地解决这一问 题。在求解温度场的各种近似方法中，w r m 同时具有理论方法和数值方法 的优势，能较好地模拟求解域的几何形状，同时其解答也是解析表达的形式。 本文建立的权残自洽方法( w r s c s ) 是对自治微观力学方法求解非匀 质材料等效性能的进一步发展，在这一方法中，采用加权残值法，利用边界 配点消残技术来实现对任意形状夹杂内的温度场分布的求解，而自洽微观力 学模型则为计算颗粒复合材料的等效性能提供了计算模型。两者相结合为求 解含任意夹杂形状的颗粒复合材料的等效热导率提供了可能。 1 3 文章的组织结构 本论文主要介绍加权残值自治方法研究含任意夹杂形状的颗粒复合材 料的等效热导率。其主要内容如下： 第二章介绍两相复合材料热传导的基本理论及颗粒复合材料的等效热 导率的预测公式及微观力学模型。 第三章介绍利用w r m 求解含任意形状颗粒夹杂复合材料中夹杂相内 部的温度场的基本方法，并通过将w r m 方法的计算结果与有限元分析数值 结果作比较，对w r m 方法的有效性进行了验证。 第四章介绍w r s c s 方法的微观力学模型及相关假设，建立w r s c s 方 法并对几种规则形状夹杂的情况进行了计算。 第五章是本论文的主要结论及展望。 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章两相复合材料等效热导率的预测公式 2 1 两相复合材料的热传导问题 热传导问题的基本方程是 v 辱一0( 2 1 ) 牙卑一七v 妒 ( 2 2 ) 其中庐表示温度场函数，k 是热导率。考虑无源场( 2 1 ) 式表示面散度为 零。定义温度梯度矢量h 为 h t v ( 2 3 ) 则热流矢量厅为 虿_ 一七日( 2 4 ) ( 2 4 ) 式表示热流与温度梯度的方向相反。热导率k 是材料的重要物性参 数，其数值上等于单位温度梯度时所传导的热流密度。 h a s h i n 基于两相复合材料热传导的基本理论，推导了等效热导率的预测 公式。考虑一颗粒复合材料，体积为矿外表面为s 。基体相和颗粒相为均匀 各向同性材料热导率分别为k 。，k ：，相体积分数分别为v ，和v ：，则有 v 1 + v 2 ；1 ( 2 5 ) 设复合材料受有均匀的边界条件 妒( s ) - 日? 工。 ( 2 6 ) 其中? 为任意常量，工。是表面笛卡儿坐标，下标i 一1 , 2 , 3 重复下标表示 求和。在这样的均匀边界条件下，任意形状的均质材料的内部温度场有 妒( 功一h ? x ；( 2 7 ) 若均质材料的热导率为k 。，其温度梯度和热流密度也是均匀的，分别表 达如下： 皿h ? ( 2 8 ) q 。- 一k o 日?( 2 9 ) 武汉理工大学硕士学位论文 对于非均质材料有 h i = h ?( 2 1 0 ) 其中h 。表示体积平均。若材料是统计各向同性，则体积平均热流密度 矢量由下式确定： q j - 一七h o( 2 1 1 ) k 。为等效热导率，是关于七。，k ：，c 。，c ：的函数。由于o ) 和吼o ) 在界面 上满足连续条件，因而q 。与相的几何形状有关。 将( 2 1 1 ) 式作变换有： i 。毋- - o ) c 1 + i ”c 2( 2 1 2 ) 其中耐”，玩悼分别为基体和夹杂相的平均热流密度。由于各相体材料是 均质各向同性的，分别有： 哥”；- k 。研”( 2 1 3 a ) 哥2 一k 2 犀2 ( 2 1 3 b ) 将( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 代入( 2 1 1 ) ，得到 k h ? = k lv 1 厨”+ 2 v 2 研2 ( 2 1 4 ) f 1 4 ( 2 1 0 ) ，有 h ? t v l 厨”+ v 2 厨“( 2 1 5 ) 从( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 中消去厅j ”，注意至l j ( 2 5 ) ，得到 儿”( k 2 - k , ) 箬叫对f 不捌 ( 2 - 1 6 ) l ：式表明为计算等效热导率只需知道夹杂相内的平均温度梯度即可。 引入均匀热流密度边界条件，可得到这一问题的另外一种表达，设边界 条件为均匀热流边界， 鼋( s ) - g ? n 。( 2 1 7 ) g ? 为任意常量，n i 为s 边界的外法向分量。而 玩一q o( 2 1 8 ) 武汉理工大学硕士学位论文 各向同性材料的等效热导率k 由下式确定 月j - 一l _ q ?( 2 1 9 ) 此关系式可得到与f 2 1 6 ) 类似的表达式 古c 丢一牵筹v ：( 2 2 0 ，f 。百“i i 。方”z ) 其中辱： 【2 式第二相中的平均热流密度。( 2 2 0 ) 与( 2 x 6 ) 形式类似，只是用 热流密度的倒数，即热阻抗代替了热流密度，无论哪种形式都可得到相同的 结果。上式表明，求复合材料的等效热导率必须先求解复合材料夹杂相内的 平均温度梯度或平均热流密度。 这罩需要强调的是f 2 1 6 ) 式中复合材料的等效热导率k 不仅仅与 k 。，k ，u 和v ：有关。由于颗粒复合材料夹杂内的温度或热流需要通过界面连 续条件求得而平均温度梯度或者热流与复合材料夹杂相的所有几何形状有 关所以等效热导率也与夹杂相的几何形状有关。 2 2 颗粒复合材料的微观力学模型 前面的讨论结果表明，求解复合材料的等效热导率需要先求得复合材料 央杂相内的平均温度梯度或者平均热流。由于热传导问题场方程求解问题的 复杂性，以往对颗粒复合材料等效热导率的研究局限于含规则形状夹杂的颗 粒复合材料，如球形或椭球形夹杂。所采用的微观力学方法主要是用自治近 似方法对其等效性能进行预测。使用不同的微观力学模型可以得到不同的温 度梯度和热流的解。为了更好的理解本文所用的w r s c s 微观力学模型，首 先介绍一下自治微观力学近似方法。 给定一球形颗粒复合材料( 图2 1 ) 体积为v ，基体和夹杂相的热导率 分别为k 和k ，。如果在复合材料中的夹杂是随机分布且各向统计均匀，那 么这个复合材料在结构分析中的作用可以用一具有与原复合材料热导率相 等的均匀介质代替，这个均匀介质的热导率即为等效热导率，用k 表示。 由于颗粒复合材料中含有许多的夹杂，取出单个夹杂并不影响复合材料 的等效热导率，仍可将剩余复合材料按均匀介质等效。再将取出的单一颗粒 r 武汉理工大学硕士学位论文 嵌入这个等效介质当中，夹杂内的温度场与原复合材料相比并无影响。由此 形成自洽方法的微观力学模型。 f i g 2 1s c h e m a t i cf o rc o m p o s i t e w i t hs p h e r i c a li n c l u s i o n s 荇将取出的规则颗粒首先包上一基体层( 见图2 2 ) 然后再按同样的方 ，嵌入与原来复合材料有相同热导率的均匀各向同性等效介质中。颗粒及其 基体壳可以看作基本单元，并假定颗粒的体积与基体壳外表面所包含的体积 之比与原复合材料中颗粒所占的体积分数相等( 理论上，将整个颗粒复合材 ： 按这种假定进行剖分是可以实现的) 。这种近似方法称为g s c s 方法，它 仵定程度上考虑了基体和颗粒之间的相互作用。若将颗粒直接嵌入基体材 料中，忽略颗粒之间的相互作用，这就是稀疏近似理论模型。它适用于复合 材料中颗粒体积分数相对较少的情况。 f i g 2 2e q u i v a l e n tm e d i u m w i t hs i n g l ep a r t i c l e ( w i i ho rw i t h o u tm a t r i xs h e l l ) 9 武汉理工大学硕士学位论文 以上三种微观力学近似方法在求解非均质材料的宏观等效性能的求解 思路相同，只是所采用的微观力学模型不同。图2 3 是对应于不同微观力学 方法的模型示意图。 g s c sm e t h o ds c sm e t h o d d i l u t ea p p r o x i m a t em e t h o d f i g 2 3s c h e m a t i c f o rm i c r o m e c h a n i c sm o d e l s 2 3 本章小结 本章首先介绍两相热传导问题的基本理论，通过对颗粒复合材料旌加不 同的远场均匀边界条件，考虑不同材料之间界面完好热接触的连续条件，得 到了两相复合材料的等效热导率的预测公式，表明计算等效热导率的关键在 于求解夹杂内的温度梯度或热流密度的相体积平均。本章还介绍了求解复合 材料等效性能的几种微观力学方法及其规则颗粒的微观力学模型。 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章夹杂内温度场求勰的加权残值法 3 1 热传导边值问题的描述 首先介绍一下热传导问题。给定复合材料的体积v 和边界s ，则热传导 问题可以用微分控制方程和边界条件描述，如图3 1 所示。一般情况下有两 类边界条件，一类是强制边界条件( d i r i c h l e t ) ，如在边界上给定温度分布； 另类边界条件是自然边界条件( n e u m a n n ) ，如在边界上给定热流或者热 交换条件。边界上的任意点都必须符合其中一种边界条件。 f i g 3 1g e n e r a lb o d y w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s 二维稳态热传导问题的数学描述为寻求关于坐标的函数丁，使其在y 内 满足微分方程： f + q - 0( 3 1 ) 其中丁表示温度场，q 表示内热源，为l a p l a c e 算子，对于二维问题， 在直角坐标下：导+ 导，在极坐标下：a 一嘉+ 詈言+ 专著。 温度场微分方程总是伴随一定的边界条件，边界条件可以表达为： ( i ) 给定边界温度条件： t l( 3 2 ) ( i i ) 给定边界热流条件： 武汉理工大学硕士学位论文 一k 罢q ( 3 3 ) 咖 ( i i i ) 给定边界热交换条件： 一k 罢。a ( t 0 一r ) ( 3 4 ) 枷 、7 这里三是边界外法向导数，k 是热传导系数，a 是放热系数。 由于复合材料是多相材料，材料的热性能尤其是热导率在界面上不连 续。考虑完好界面情形，即在界面上温度和热流连续，则界面连续条件可表 述为： i - l( 3 5 ) k v 正- k ，v 0 ( 3 6 ) 这里f 和j 表示不同的相体材料。 3 2w r m 求近似解的一般思路 复合材料热传导问题在理论是对在适当边界条件下，由能量平衡所控制 的二维温度场偏微分方程的求解。但是大多数情况，要找到问题的解析解是 很困难的。通常采用近似方法来处理。w r m 是场微分方程度近似求解方法， 适用于边界条件或相的几何形状较为复杂的情形。由于w r m 可以通过沿界 面灵活配点，对模拟不同夹杂的几何形状十分有效，可以用于复合材料温度 分布求近似解。 w r m 求解的一般思路是：首先需要假定一温度场试函数f ，它包含 若干待定常数同时满足区域v 内的微分控制方程以及远场边界条件。将试函 数代入界面连续性条件时，一般是不能精确满足的，会产生边界残值，记为： 五一l e r o )( 3 7 a ) 武汉理工大学硕士学位论文 x 。v 不一k ，v t e 。( d ( 3 7 b ) 下标i 和j 表示不同的相体材料 显然，残值e ) 是待定常数的函数，对某一个具体问题这些常数可以通 过界面连续条件来确定。这里我们采用沿界面配点使残差最小的方法来确定 这些待定常数，最终求得试函数f 作为温度场的近似解。 3 3 场微分方程的试函数和残值 为了能更全面理解w r m 近似求解方法，这里首先给出一任意形状夹杂 复合材料温度场的求解问题。假定无限大基体中包含单一颗粒，其颗粒热导 率为k ：，基体的热导率为k 。，如图3 2 所示。在距颗粒无限远处受有如下边 界条件： r o ) 一。th 1 - 一口 ( 3 8 ) 其中抒。表示热流梯度，a 为任一常数五为笛卡尔坐标 厂厂 参 f i g 3 2c o m p o s i t e s w i t ha s q u a r es h a p e d i n c l u s i o n 武汉理工大学硕士学位论文 这是个均匀边界条件，当它作用于任意形状的均匀介质时，其内部的 温度场均为 r ( x ) - h o 而( 3 9 ) ( 3 8 ) 式所描述的物理情形是一无限板的稳态热传导问题，热传导沿而 方向进行。 考虑简单的无内热源稳态导热问题，微分方程的形式简化为 a t - 0 r 3 1 0 ) 表明函数t 是调和函数，满足拉普拉斯方程。 采用如图3 2 所示的坐标系，问题是轴对称的， 在颗粒中 疋( r ，疗) 一0 在基体中 a t l ( r ，口) 一0 其中 a 2 1a1a 。萨+ ；万+ 7 而 当r 一时有： 五( r ，0 ) 一一a r c o s 0 当r 一0 时有： t 2 ( r ，0 ) 一f i n i t e 界面连续条件为： 瓦( ，0 ) 一疋( r ，8 ) 1 4 采用极坐标便于计算。 ( 3 t 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 a 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 0 1 6 ) 武汉理工大学硕士学位论文 毛皇掣七：_ o r 2 ( r 一, o ) ( 3 1 7 ) d hd n ( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 分别表示在基体和夹杂相的界面上温度和热流的法 向分量连续。 由数学知识可以证明当求解域是一个单连通域并且极点位于区域内部 时，拉普拉斯方程可以采用分离变量法求解。它的基本解集为： l ，“c o s ( 月疗) ，r ”s i n ( n p ) ) ( 玎i 1 ，2 ，3 ，) 解集中任意两个解的线性组合仍然是方程的解，因此我们可以假定夹杂 内温度场试函数具有如下简单形式： r 2 ( r , o ) 。荔r “s o 口) + e r s l n ( n 口) ) ( 3 1 8 ) 相应的基体内温度场试函数可取为形式： 瓦( r ，8 ) e - - 口1 c o s 秽+ n 荟( c n r - n c o s ( n b ) + d r s i n ( 毋) )( 3 1 9 ) 试函数满足拉普拉斯方程，且当r m 时，有互( r ，口) 一一a r c o s o ，边界条件 f 3 1 4 3 1 5 ) 是满足的。 与微分方程求解的通常步骤一样，未知参数爿。，风，e ，见( 必须为有限 个) 可以由界面连续性条件决定。注意我们取极点在颗粒的中心，通过几倪 条件和边界条件的对称分析我们可以得到： 五( r ，一日) i 墨( r ，p )( 3 2 0 ) 疋( ，一0 ) 一疋( r ，日)( 3 2 1 ) 因此可以确定风和或应等于零，基体和夹杂域内的温度场试函数可以的到 更简单的形式： 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 正( ，口) ar s 8 + 善c ，“c o s 。口)( 3 - 2 2 ) 砜一) 。善4 s o p ) ( 3 2 3 ) 显然对于极轴 一0 或口一玎) 方向上的任意点的环向热流分量( 以表 示) 必然等于零，因为在垂直极轴的方向没有热交换。这是自然满足的因为： q p t 女。( ；- ! j 曼j 笋) - k 1 ( a r s i n ( 8 ) + 行c n s i n ( 打口) )( 3 。2 4 ) q a ( 2 ) k ：( ；丝畿p 叱y , - n s i n ( ( 3 2 5 ) 极轴上的任意点正弦值等于零，因此环向分量值等于零。 剩余的未知参数a ，e 必须由界面连续条件决定。这里采用权残配点法 消残来求解待定常数的值，从而得到热传导问题的近似解。 在配点过程中，可以按照一定的方式选取界面上的点( 比如按一定的角 度取点) ，在配点处强迫残值e ( x ) 等于零，由此得到一线性方程组来求解各 待定常数的值。 以上选取的试函数中共有n n ，+ 1 1 ：个未知参数，为了确定这些参数的 值，我们需要个独立的边界条件( 或方程) ，注意界面上的每个点有两个 限制条件：界面的温度和法向热流分量连续，因此我们应该在界面上选取 n 2 个点，组成个线性方程。理论上，边界上所有点都是应该满足界面 连续条件，或者至少这些选取的点上误差应该等于零。 3 4 角点处理 不规则的夹杂形状和规则夹杂形状如圆形和椭圆形的情况不同，对于多 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 边形和不规则形状颗粒，主要区别在于角点。在角点处温度场或热流密度场 的解通常具有奇异性。由于它们通常处于两边界线的交叉处，在该点法向梯 度或热流密度分量很难指定，因此需要对角点附近的几何形状作了一些调 整，避免角点的奇异所引起的问题求解的复杂性，可以对这些特殊点附近的 几何形状作合理的简化。有两种方法可以用来达到这一目的。一种方法是作 圆弧化处理，将尖角的用一条光滑弧线代替，其法向温度梯度或热流分量可 以用光滑曲线的法向温度梯度或热流分量代替。另外一种方法是在角点附近 配点时尽可能避免角点。这两种方法都可以对角点附近的几何形状进行简化 处理，相对于原来的几何形状作了合理的近似，简化了计算。处理方法如图 不： f i g 3 3a n g l e p o i n tm o d i f i c a t i o n s 3 ，5 结果与验证 为了对温度场的求解结果进行验证，这里给出几个不同几何形状夹杂内 温度场近似解求解的例子，夹杂形状及坐标如图3 4 所示。夹杂的内切圆半 径为a 。以下各例中，边界条件均为( 3 8 ) 所示，热传导沿毛方向进行。 变量声明： ：基体热导率； 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 k 2 ：夹杂热导率： 口：温度梯度( 远场的边界条件) ； a ：内切圆半径( 椭圆短半轴) ； b ：椭圆主半轴； f i g 3 4s c h e m a t i co fp a r t i c l e sw i t hd i f f e r e n tg e o m e t r i c a ls h a p e s 参数赋值： k l 一5 0 h ，( 肌k ) ，k 2 4 州( ，”k ) ，a 一2 0 0 0 k m ，a 一0 0 0 1 m ，b 一1 2 口 计算结果： 圆形夹杂： f i g 3 5 ( a ) c o n t o u rf o rt e m p e r a t u r e ( i nk ) ( i j c f tf o rw r m r i g h tf o rf e m ) 武汉理工大学硕士学位论文 对椭圆形夹杂： f i g 3 5 ( b ) a b s o l u t ee r r o ro f t e m p e r a t u r e ( i nk ) f i g 3 6 ( a ) c o n t o u rf o rt e m p e r a t u r e ( i nk ) ( l e f tf o rw r m r i g h tf o rf e 加 f i g 3 6 嘞a b s o l u t ee i l o l o f t e m p e r a t u r e ( i n 聊 武汉理工大学硕士学位论文 对正方形夹杂： f i g 3 7 ( a ) c o n t o u rf o rt e m p e r a t u r e ( i nk ) ( l e f tf o rw r m r i g h tf o rf e m 、 f i g 3 7 ( b ) a b s o l u t ee r r o ro f t e m p e r a t u r e ( i nk 1 以上分别给出了w r m 和f e m 法计算得到的颗粒内温度场的求解结果。 对规则夹杂如圆形或椭圆形颗粒，结果对比可以看出两者吻合较好，w r m 可阻很好的模拟夹杂内部温度场的分布情况。温度对比误差在较小，主要是 边界上出现局部误差。而正方形温度场的w r m 计算结果与f e m 结果相比， 温度分布较为吻合，只是局部出现较大差异，误差主要集中在边界和角点的 邻近区域，其中以角点附近的误差最大，这主要是由不规则形状角点的奇异 性引起的。 2 0 武汉理工大学硕士学位论文 作为一个特例，圆形夹杂颗粒的w r m 的解，在选取相对少的项数 ：( 3 项) 时，可以退化为解析解的形式。图3 8 0 ) 一c o ) 分别给出了圆形夹杂时， w r m 得到的温度场的求解结果，并与f e m 结果作对比。 f i g 3 8 ( a ) c o n t o u rf o rt e m p e r a t u r e ( i nk ) f i g 3 8 ( b ) a b s o l u t ee r r o ro ft e m p e r a t u r e ( i n 趵 图3 8 ( a ) 一( b ) 说明w r m 对于圆形夹杂，可以退化至精确的解析解形式， 与f e m 对比的结果误差非常小。表明了用w r m 方法求解复合材料温度场 是可行的。 武汉理工大学硕士学位论文 3 6 本章小结 本章用w r m 研究了含任意夹杂形状的两相复合材料二维稳态热传导温 度场的求解问题。对于难以寻找解析解的复杂形状，可以用权残配点法求解 其温度场。对任意夹杂形状求解结果与f e m 的结果进行对比，吻合较好。 w r m 的求解结果可以有效的模拟夹杂内部温度场的分布情况，其与f e m 的结果对比误差主要集中在边界和角点区域。 一般来讲，沿着夹杂与基体之间的界面上取点越多，对于描述夹杂的几 何形状就越精确，不同的几何形状可以通过沿界面上的灵活的取点来描述。 同时界面上的取点的个数必须达到一定的数目时才能用于描述其复杂的几 何形状。比如说，正方形的四个角点也可以视为圆的轨迹上的点。为此，对 于复杂形状在界面上的取点必须达到一定的数目。但用权残配点法求解并强 迫配点的地方温度和热流的残差为零的方法有一个不利因素是是配点的个 数直接决定了试函数选取的项数。若想增加配点的个数就必须迫使增加试函 数选取的项数，增加了未知参数的个数。作者曾经尝试用加权残值最小二乘 法求解温度场，将边界残差的总和设成一个方差泛函，应用最小值原理对各 个未知数求导，得到一线性方程组，求解这个方程组得到未知数的值。这种 求解方法使得边界配点和试函数取项之间不存在必然的关系，可以在边界上 取任意多个点，取消了配点和取项之间的配比关系，是一种较为可行的方法。 除了在算法上可以改进之外，还可以对选取试函数形式进行改进。 需要说明的是，文中所用的对应于微分控制方程的试函数仅作为一个试 用形式，仅用这种形式并不能描述所有任意形状夹杂内部的温度场分布。例 如，夹杂形状为一个半圆形和三角形的组合，就不能用本文中所选用的试函 数形式进行模拟