（固体力学专业论文）驰振稳定性分析及其工程应用.pdf

摘要 摘要 本文基于驰振系统的准定常理论，就实际工程当中所较为常见的驰振稳定性问 题进行分析。由于忽略振动中所产生的频率漂移以及其他一些相关动态因素的变化， 可以大大简化振动分析的复杂程度，在满足安全、经济等要求的前提下，使本来较 繁复的计算工作在实际工程当中得以有效的进行。 首先，根据相关的气动弹性力学理论对驰振的诱发机理进行分析，同时也简要 介绍了失速颤振中的其它几种常见形式以及同驰振的联系。在此基础上，建立易发 驰振结构模型，然后列出结构响应的运动方程，最后考察静态平衡位置附近的小扰 动的稳定性。对于单自由度结构，分别对该结构的平移及扭转稳定性进行分析；对 于多自由度结构，则在分析其平移以及扭转之外着重讨论其耦合稳定性。其次，分 析实际工程当中常见的薄壁箱梁结构的振动，对于弯曲振动，取欧拉一伯努利模型， 得到固有频率和模态函数：对于扭转振动，则将其转化成翼形的纯扭转问题。在低 频振荡的情况下，可以忽略那些与频率的高次幂成正比的非线性项，使得甚为复杂 的解析式得到简化。最后，以工程当中较常见的实际问题薄壁箱梁以及悬索结 构的驰振稳定性问题为例，应用基于准定常理论得结构模型，进行分析计算。 关键词：驰振准定常理论失速颤振 a b s t r a c t a b s t r a c t b a s e do nt h et h e o r yo nt h eq u a s i - s t e a d ys t a t eo ft h eg a l l o p i n gs y s t e m ，t h i sp a p e rt r yt oa n a l y s et h e p r o b l e m so f g a l l o p i n g w h i c ho r eo f t e n f o u n d i ne n g i n e e r i n g p r o v i d e d t h a t t h es h i f t i n go f t h e f r e q u e n c y a n ds o m eo ft h ed y n a m i cs t a t e so f t h eb e d yc a l lb en e g l e c t e d ，t h ec o m p l e x i t yo fi t sa n a l y s i sw i l lb e g r e a t l yl i g h t e n e d , a n dw ec a nw o r ko nt h ep r o b l e mt h a tm a yb et o oh a r dt oc a l c u l a t e ，o fc o u r s e ，o n s a r i s f y i n gt h ew a n t so f s a f e t ya n de c o n o m i c s i n d i c a t i o n f i r s t i ti st h ea n a l y s i so fm e c h a n i s mt h a tw em u s td oa c c o r d i n gt ot h el i n k e da e r o e l a s t i c i t ya n d s o m eo f t h eo t h e rf o r m si nt h es t a l lf l u t t e ra n dr e l a t i o n sa m o n gt h e m ，t h e nw ec w o r ko n m o d e l i n g o fg a l l o p i n gs y s t e m s ，g e tt h e e q u a t i o n so fm o t i o na n do b s e r v et h es t a b i l i t y n e a rt h ee q u i l i b r i u m p o s i t i o nu n d e rp e r t u r b a t i o n s t ot h es t r u c t u r eo fs i n g l ef r e e d o mo fm o t i o n ，w ec a nd oi tb yi n d i v i d u a l l y o b s e r v i n g i t sr e s p o a n s eu n d e rt r a n s a c t i o n sa n dt o r s i o n s ；a st ot h em u l t i - f r e e d o mo f m o t i o n ，w em u s t p a y g n o r ea t t e n t i o nt ot h ec o u p l i n go ft h e s ea c t i o n s s e c o n d l y , i ti st h ec o m m o nb o xb e a mt h a tt e n d st o f l u t t e ri nw i n d s i nt h i sp a p e r , w eo n l ya n a l y s ei t st r a n s a c t i o n a la n dt o r s i o n a la c t i o n s a tl a s t , i ti st h e e x a m p l e s k e yw o r d s ：g a l l o p i n g t h et h e o r yo f q u a s i - s t e a d ys t a t es t a l lf l u t t e r 声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得墨洼盘堂或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：豫宁薪 签字日期：口口；年，月，口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解：墨壅叁璺有关保留、使用学位论文的规定。特 授权鑫鲞盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 谛宇耘导师签名：孝叠，乱 签字日期：砷，3 年岁月7 口日 签字日期：。年月，。日 绪论 绪论 在我们生活的世界里，每个人都无时无刻地不在感受着风的存在。春日的和风 能令人一扫心头的阴霾，若要扬帆远航，就不能选择风平浪静。然而，风又在不停 地给我4 1 i n 造烦恼，甚至灾难。罕见的台风自不必说，但是自从美国的t a c o m a 桥 在当时仅为1 8 米秒的风速下失稳破坏，人类对于风开始有了全新的认识。 在二十世纪桥梁工程取得了巨大成就的基础上，二十一世纪的世界桥梁工程将 进入跨海联岛工程的新时期。在跨海大桥工程中将出现许多超大跨度的斜拉桥和悬 索桥，以避开超深水基础的困难和满足超大型船舶的通航要求，这就给桥梁风工程 带来新的挑战。在台风多发的海域建造柔性的超大跨度桥梁，抗风安全将是最重要 的安全因素。此外，近几十年来，许多其他新式结构的设计和计算方法，已经使这 些结构变得更加柔软，也不象它们过去那样容易被阻尼。这就使这些结构对自然风 的敏感性问题，变成了令人极其关注的课题，并且导致了许多应用于工程的气动弹 性问题研究。 在所有的气动弹性问题中，颤振问题无疑是在科学与工程上最富有兴趣的问题。 这并不仅仅是因为气动弹性动稳定性问题具有巨大的实际意义，而且还由于“颤振” 这种问题具有数学和物理学上的强烈诱惑力。 颤振作为气动弹性动稳定性问题具有多种的现象形态。就空气动力方面的产生 原因而言，颤振问题基本上可以分为两类。第一类的特征是它发生于势流中，因此 流动分离和边界层效应对颤振过程没有重要影响。这类颤振经常发生于飞机结构的 流线型剖面升力系统中，并常称为“经典颤振”。这种颤振的典型事实是：在势流颤 振过程中，由于气流对机翼的纯沉浮弯曲振动( 以及更广泛的说，还有纯扭转振动) 是起着阻尼作用的。一般说来，参与颤振过程的自由度是较多的。相比之下，第二 绪论 类颤振问题与流动分离和漩涡形成有直接关系。这类现象会特别出现于具有典型非 流线型剖面的高层钢结构等土木工程结构中，并可统称为“失速颤振”，但我们应该 注意，它们的空气动力关系分别具有相当不同的本质。 一般说来，失速颤振是由于每个振荡周期( 至少是一部分) 内，气流与结构部分 或完全分离而引起的一种物理现象。与经典颤振( 流动始终是附体的) 不同，能量既 不依靠两个模态间的弹性和空气动力耦合效应，也不取决于位移与其气动反作用力之 间的相位滞后效应。在线性系统中，为使气流在振动结构上作正功，上述两种效应乃 是必需的。失速颤振的根本特性在于结构的运动所产生的非线性反作用力一一个法向 力与一个力矩。因此，虽然耦合和相位滞后对失速颤振多少会有些影响，但基本的不 稳定性及其主要特征可利用非线性的法向力和力矩特性来解释。 如果一个工程结构在稳定流动中振动，那么流动本身也相对于运动中的结构振 动。相对于结构的流动的振动分量，在结构上诱发出一个脉动的气动力。如果这脉动 气动力能够减弱结构的振动，从空气动力学的角度来看，这个结构是稳定的。 当振动的振幅很小时，在稳定分析里可以把气动力模化为流动和结构相对角度的 线性函数。事实证实，这种处理方法对于分析机翼颤振是很有效的。如果流动和结构 的横截面分离，气动力就是流动角度的一个非线性函数，此种结构一般被称为非线性 结构。而此种非线性结构的流体诱发振动，即为失速颤振。 在失速颤振中，有一种较为常见的振动形式通常被称为驰振，这是一种当细 长非流线型剖面物体受风作用时就会产生的比较低频的振动现象。受流动作用的许多 轻型的柔性结构都可能产生驰振，包括正方形、矩形、直角型在内的各种各样的横截 面。由此可见，上述结构都具有潜在的不稳定性。圆剖面物体通常不会发牛驰振，f l l 它们可能以其他方式发生驰振，例如，当它们被置于剪流当中时，情况便是这样。在 下面的讨论中，我们将讨论一种比较直观的驰振横风驰振。 当某一非流线型物体被置于横流当中时，它就会引起紊流，其中的一些将首先绕 过物体本身，从而引起随时间变化的压力。在某些情况下，紊流尾迹本身会形成交变 漩涡图谱。伴随交变漩涡而产生的结果是在物体上形成交变压力。通常，在讨论驰振 现象时，结构的固有频率比周围的那些漩涡脱落或紊流频率要低的多。正是基于这个 原因，驰振可以认为是一种低频现象。 在上述情况下，可以建立这样的横风驰振理论，该理论只利用整个物体上的平均 升力和平均阻力，而忽略这两个量中会随着绕物体的详细局部流动而必定出现的迅速 变化。根据以上论述，可以把那些描述驰振的常见理论称为“准定常”理论。 本文试图在综合气体动力学与振动力学的有关方面内容的基础之上，为实际工程 当中出现的问题提供简洁、实用的解决途径。 第一章驰振稳定性分析 第一章驰振稳定性分析 对于驰振稳定性问题中的基本空气动力关系，我们首先来观察来流垂直于矩形截 面物体时的流动过程。物体以垂直于来流u 方向的速度多= 掣运动，因此剖面的相 c t 对速度为u ，它与来流的夹角为o c = a r c t a n ( y ) 。流动在剖面的角点2 处分离，而在底 边附近则大致附体。这时，整个尾流区为紊流。区域2 3 4 内的 y ：二= ：= = = = 三三三j 二二 图1 1 平均负压低于底边4 1 处的负压。由此在= 方向上产生一个气动横向力，它使原先垂 直于来流的物体运动增强。如果剖面向上运动，则相对风速向下倾斜，由此得到垂直 向上的横向气动力，因此也是增强原先的物体运动。 第一章驰振稳定性分析 由此可知，在驰振稳定性中起决定作用的是这样一种剖面横向力：在正攻角下产 生负的气动横向力。此外，经验表明，驰振一般发生于折合频率 f，o，005(1-01) u 7 的范围内，式中，表示该剖面的振动频率。 另外，在周期性旋涡脱落的非定常气动力分析中，旋涡分离频率可以通过 s t r o u h a l 数以无量纲形式表示，即 s：挈(i-o-2) 虬 其中，表示每秒内从刚体分离出的旋涡数。 比较( 1 - o 1 ) 和( 1 _ o 2 ) 两式可见，罢要比，d “ 口z 数s 小的多。因此可以假定频率 对气动力的影响很小，也就是说非定常二阶气动力效应很小而可以忽略，所以气动力 过程可以假定是准定常的。 第一节单自由度系统的稳定性问题 1 1 1 平移稳定性 一维结构的稳定性的研究方法：首先拟订一个作用在结构上的气动力模型，然后 列出结构响应的运动方程，最后考察静态平衡位置附近位移的小扰动的稳定性。在图 l 一2 中，弹簧支承的结构模型受到速度为u 的稳定流动作用。其横截面任意，弹簧刚 度为k y ，结构阻尼因子为f 。( 包括随动流体质量) ，单位长度质量为m 。对于大多数 截面来说，随动流体质量和结构排出的流体质量大致相等。 如果模型以速度y 垂直平移，那么，流动相对于结构模型的角度是 弘珂1 ( 旁 第一章驰振稳定性分析 u 图1 - 2 y d 这里根据空气动力学的意义定义攻角白) 。在从左到右的流动中，缓缓地把模型顺时 针旋转就增大了攻角。相对于模型的流动速度是： u ；= 多2 + u 2 ( 1 1 2 ) 作用在单位长度模型上的净铅直力是： =i1户u2dcy(1-13) 其中，c 。为铅直力系数，且有 q = 等2 ( c s 口+ c d s i n 瑾) ( 1 - 1 4 ) 而c 。和c 。分别是升力气动系数和曳力气动系数。c 。是横截面、攻角和雷诺数的函 数。截面的运动方程是： m 步+ 2 m ( o ，5 , + k y = 彬2 d c y( 1 - 1 - 5 ) 其中，。是模型用弧度秒作单位表示的固有频率： 第一章驰振稳定性分析 。：(上k)2(1-16) c 。：c y ( 口：0 ) + o c y ( = _ a = 一o ) + o ( “2 ) 咆吖每删协u ，( 1 - 1 1 7 ) ：c 。( 口：刊掣+ c d 位：o ) l 。善+ o ( _ = ，：) 。 fd 口f 攻角小时，口：一軎，霎：要1 + c 。c l ( a ；o ) 项只造成一个静位移，对于不 ud 口d 口 2 白q = 2 白q + 1 p u 万2 d 8 cj ( c - 。= o ) ( 1 - 1 - 9 ) d = ，( 1 一舁) i( 1 1 1 】) 一u 丝： l 。( 鲁+ c d ) ( 1 - 1 - 1 2 ) 第一章驰振稳定性分析 其中， ：! 竺是模型的固有频率，单位是赫兹。如果要1 + c 。大于或等于零，那么 z ，rd 盯 塑! ! 竺型 删髅髋鼬双裆等+ c 剁撕僦度茄蹴一番 a 比 “ 模型才可能是不稳定的。 1 1 2 扭转稳定性 图卜3 表示一个受弹簧支撑的只能转动的横截面。是截面的极惯性矩 图1 3 k 。是弹簧的刚性系数。当模型转动时，来流的攻角会发生变化。选择一个口角和半 径r 可以定义出一个逼近平均流场的相对速度。攻角和相对速度是： 篡二竺黑? 篡2 黧夥为) m 书， 昕= ( r ps i n y ) 2 + ( u + r 口c o s y ) 2 7 、 。 其中r o c o s y 项与u 相比往往可以略去不计。 在每单位长度横截面上的扭矩是： 至：二蔓婪塑堡蕉壁坌堑 = 圭p u 2 d 2 c 。( 1 - 1 - 1 4 ) 其中， 扭矩系数c 。是 争等巳( 1 - 1 - 1 5 ) 其中c 。是风洞试验中测得的围绕旋转点的扭矩系数。 上图中的弹性固定的截面将会对施加在它上面的气动力扭矩动态的作出反应。截 面的扭转响应力方程是 厶抖2 厶厶百+ e = - - 寺p v 2d2c卅(i-116) 在旋转角度较小时，可以把方程( 1 1 - 4 ) 线性化，以确定扭转不稳定性的起始点。 小攻角时，口1 并栅u ( 1 - 1 - 1 7 ) 线性化的运动方程是： 厶舀+ 2 厶f 鳓百+ 0 ： p u z d z 坠冬地( 日一罂) ( 1 - 1 _ i s ) zd 口u 在结构阻尼低的情况下，当净阻尼是零时出现扭转不稳定性的起始点。扭转不稳 定性开始出现的最小临界速度是： 4 1 , ( 2 刀磊) 关：一餐( 1 - 1 1 9 ) 厶d8 c m = 0 ) a 留 其中 厶= 兰是模型的固有频率，单位是赫兹。l e 是截面和随动流体的极惯性矩。 厶是结构的阻尼因子。 当有不稳定性的时候，截面在从左到右的流动中作顺时针方向旋转，因而 a c u = _ ( a 一= o ) ( 1 2 - 5 ) ( 1 - 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 - 8 ) ( 1 - 2 - 9 ) 其中， c 是沿，轴的气动力和阻尼力之和， 凡是扭转时的气动力与阻尼力之 和。综上有： 一 摹摹 第一章驰振稳定性分析 当角度较小时，攻角是 a = 目一丝一羔 ( 1 2 1 1 ) uu 、 7 截面的稳定性由方程组( 1 2 1 0 ) 的线性项决定。小扰动位移，和0 可以化作如下形式： ”t ) ( 1 - 2 1 2 ) 0 ：伊8 m j 其中，蜘和五是常量。只有当五具有负实部时，扰动才会随着时间递减，系统 才是稳定的。将式( 1 2 - 1 2 ) 代入方程1 1 t ( 1 2 1 0 ) ，即可将其线性化，得到矩阵方程； c ad 丑j l s o j = 册( 1 - 2 - 1 3 ) 其中a ，b ，c ，d 都是系统参变量和五的函数。只有当方程( 1 。2 1 3 ) 的左侧矩阵有一个 零行列式时，系统才会有解。令其行列式为零，则可得到五的四次多项式： ! + 曼? - + c 2 斧二q 五+ q = o ( i - 2 - 1 4 ) c j = g ( 彳，b ，c ，d ) 如果稳定多项式( 1 2 - 1 4 ) 的所有根都有负实部，则可知围绕平衡位置r = 0 = 0 的小扰 动随着时间而减小时，系统才是稳定的。 对于方程( 1 - 2 1 4 ) ，直接求解比较困难。但如果此双自由度系统的两个固有频率相 差很大，并且气动力和惯性力相比较小，那么扭转和平移之间的气动力耦合就很弱。 此时，可以用主坐标表示的振荡器的惯性各项去耦，并个别地考察每个主振型的稳定 性而不必进行方程( 1 - 2 - 1 4 ) 的数值解来求其耦合的不稳定性。 但是，一般来说，我们可以将两个自由度结构的扭转和位移展开成主坐标p ， 和岛的线性函数。 就可以用主坐标系： 目= k i p 1 + ，p 2 ) ( 1 - 2 1 5 ) y = p l + 七2 p 2 j 二 求得和k ：的值，因而将公式( 1 - 2 - 1 5 ) 代入方程( 1 1 2 一l o ) 所形成的振荡器方程不是 惯性耦合的。得出的振荡器方程是： 墨= 童丝蒸翌星丝坌堑 p 奸a 2黧，0i(1-2 2 _ 1 6 ) p 2 + 印2 p 2 = 丘( p 1 ，声2 ) 7 。 其中，主固有频率珊，和：是 和 1 2 2每咄p 2 彬砌弼2 ( 1 _ 笠l o r e ) i ：。：窜s x c o ? 屯= 茄j 2 0 一善) 口卅 ( 1 2 - 1 7 ) ( 1 2 - 1 8 ) 如果主振形的频率0 9 ，和国2 相差很多，则不稳定性的起始点取决于方程( 1 2 1 6 ) 线性项。由此得到不稳定性起始点的最小临界速度： ( 1 - 2 一1 9 ) 当惯性耦合减小时，s ，k 和：接近于零，于是方程( 1 2 1 9 ) 简化为由方程( 1 1 。1 2 ) 和( 1 - 1 1 9 ) 给出的一维稳定判别式。 总之，如果一个结构只能扭转或者垂直于自由流而平移，那么不稳定性的起始点 分别由方程( 1 - l 1 2 ) 或( 1 - l 一1 9 ) 决定。如果结构及能够转动又能够垂直于自由流而 平移，而且相应的固有频率又相差很多，此时可以分为两种情况：如果无惯性耦合， 则不稳定性的起始点出现在方程( 1 1 1 2 ) 和( 1 1 1 9 ) 计算得出的临界速度的最小值处； 如果有惯性耦合，则不稳定性的起始点由方程( 1 2 1 9 ) 给出。如果固有频率相靠近， 那么耦合的不稳定性会出现，此时我们就必须求助于一般两个自由度系统稳定性多项 式0 - 2 1 4 ) 的数值解。 鹈 | 脚 笼如监鲁 嚣 第一章驰振稳定性分析 1 2 2 系统对驰振的响应 对于图1 5 所示的结构，为了强调气动力耦合效应，我们可以假定该阻尼系统是 图1 5 失耦的。即质量中心和弹性轴线相重合。运动方程可以化为： 岁+ 缈2 y = - 2 乞q 夕一p u 2 d ( 西a l a _ + a 3 a 3 ) 疹+ 珊；口= _ 2 乞脚，毋一兰! ：学 ( 1 - 2 - 2 0 ) 其中， q ，吼，b ，占3 是气动力系数曲线拟合参数，而功，和分别是平移和扭转的固 有频率。 这是一个非线性振荡器系统，根据扭转和平移振荡器的固有频率之比的大小，其 蔓二：童些堑塑塞丝坌盟 解可以分成两类： 当，和既不近似地相等也不成小整数比，即当f ，j 国。而其中i 和j 是小整数l p , i j 勺时候，第一类解有效。此类解的稳定性可以用两个参数来规定： u ：生旦孚( i - 2 2 1 ) 7 4 m 国。df 。 蜘譬茹五r 万b i ( 1 - 2 - 2 2 ) 其中， u ：是截面纯平移是扰动气动力线性分量对阻尼力之比，u ；是截面纯 扭转时扰动气动力的线性分量对阻尼力之比。 当防。和几乎相等或者近似地是小整数的倍数时出现第二类解。在这类解 里扭转和平移同时被激发。虽然扭转和平移振荡器之间的最强烈相互作用明显地出现 在，。的时候，但是当c o y _ 。；或3 时，扭转和平移之间也同样出现相互作用。 第二章薄壁箱粱结构振动分析 第二章薄壁箱梁结构振动分析 第一节薄壁箱梁的弯曲振动 2 1 1 动力学方程 对于薄壁箱梁的弯曲振动，取欧拉一伯努利梁模型。如图2 1 所示，将未变形时 的粱的轴线，即各截面形心连成的直线取作x 轴。设梁具有对称平面，将对称面内与 x 轴垂直的方向取作y 轴，梁在对称平面内作弯曲振动时，梁的轴线只有横向位移 y ( x ，) 在以下讨论中不考虑剪切变形和截面绕中性轴转动时对弯曲振动的影响。设梁 的长度为“材料密度为p ，弹性模量为e ，截面积为4 ，截面惯性矩为，作用 在梁上的分布荷载为f ( x ，t ) 。取厚度为出的微元体，其受力情况如图，其中q 和m 分 别表示剪力和弯矩，箭头指肉为正方向。利用达朗伯原理列出微元体沿y 方向的动力 学方程。 p a 舳鲁_ q - ( q + 罢讲f ( x , t ) ( 2 - 1 - 1 ) 不考虑剪切变形和截面的转动影响时，微元体满足力矩平衡条件，以右截面上任意点 为矩心列出： ( 材+ 掣蝴一m 一触一f ( x , t ) d x d x ：0 ( 2 - l - 7 ) o xz 略去高阶小量，从上式导出 q ：掣( 2 i l - 3 ) 又由弯矩与挠度的关系 m ( x ，f ) ：e l ( x j | 0 2 y = ( x 广t ) ( 2 - 1 4 ) 签：三里翌矍塑墨塑塑蔓塑坌堑 。一上 d x 图2 1 x 将式( 2 - 1 - 3 ) 与( 2 - 1 - 4 ) 代入( 2 1 1 ) ，即可得到梁的弯曲振动方程 凹学+ 研挈圳刈) ( 2 - m ) 2 1 2固有频率和模态函数 讨论梁的自由振动。令方程( 2 1 5 ) 中的f ( x ，f ) = 0 ，化作 日等+ 岛学：。 设方程的解为 y ( x ，f ) = 庐( 工) g ( r ) 代入方程( 2 1 - 6 ) ，得到 皇盟：一f 型! 型盟! g ( ，)岛庐( x ) 由于上式左边与z 无关，右边与f 无关。只能等于常数，记作一2 ，导出 ( 2 - 1 6 ) ( 2 一i - 7 ) ( 2 1 8 ) 第二章薄壁箱粱结构振动分析 掌( ，) + m 2 9 ( f ) = 0 【j e ，( x ) 庐”( x ) 】”+ 0 9 2 p ，庐( x ) = 0 方程( 2 - l l o ) 为单自由度系统线性振动方程，通解为 g ( f ) = a s i n ( c o t + 护) 方程( 2 - 1 - 1 0 ) 变为 4 ( x ) + 卢4 多( x ) = o 其中 卢4 = c 百0 2 p t 方程( 2 1 - 1 2 ) 确定粱弯曲振动的模态函数，设其一般形式为 妒( x ) = e “ 代入方程( 2 1 1 2 ) ，得到特征方程 砖一8 4 = 0 其特征值为届摩，对应于4 个线性无关解p 堆和p 2 社，由于 e + 4 = c h 陬s h 缸。e 堆= c o s & + s i n 缸 也可将c h l ! k ，曲p x ，c o s 肛，s i n 肛作为基本解系，将方程( 2 1 1 2 ) 的通解写作 簪t 曲= c ic o s 融+ c 2s i n 融+ c a c h 出+ c 4 s h 廖 积分常数c ，u = 1 , 2 ，3 ，4 ) 及参数卯应满足的频率方程由梁的边界条件确定。 穷多个固有频率( f = 1 , 2 ，3 ，) 由系统的初始条件确定。 下面以图2 - 2 示简支梁为例，求其固有频率和模态函数 2 1 ( 2 1 9 ) f 2 - 1 - 1 0 ) ( 2 1 - 11 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) r 2 1 - 1 4 ) ( 2 - 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 - l 1 7 ) 可解出无 第二章薄壁箱粱结构振动分析 其边界条件为 图2 2 b 三三三三三= 三刮mf i = 二二二二二二= 了爿卜1 三三三三三三三剖i = 2 i = 3 妒( o ) = 0 ，( 0 ) = 0 、 庐( ，) = 0 ，妒( ，) = 0 7 将式( 2 1 - x 7 ) 代入后，得到 图2 3 ( 2 1 - 1 8 ) 第二章薄壁箱粱结构振动分析 以及 c i = o c 3 = 0 c 2s i n 卢+ c 4 s 届= 0、 一c 2s i n 口+ c 4 s h = 0 因为j 肛0 ，由方程组 解出c 。= o ，频率方程简化为 s i n 目= 0 解出 屈，= i x( f = 1 , 2 ，) 对应的固有频率为 驴( 孚) 层 代回式( 2 1 1 7 ) ，取c 2 = 1 ，得到 俐：s i 呼x 图2 3 9 给出的是当i = 1 , 2 ，3 时的各模态形状。 第二节薄壁箱梁的扭转振动 ( 2 1 - 1 9 ) f 2 - 1 - 2 0 ) 佗- 1 - 2 1 ) f 2 1 2 2 ) r 2 1 2 3 ) ( 2 - 1 - 2 4 ) 一般来说，在实际工程中，许多可能发生驰振的结构都可以简化成梁。例如，大 跨度的桥梁以及许多高层、超高层建筑等等。其中，还是以t a c o m a 桥较为典型， 其在1 9 4 0 年由于气动弹性振动激励而倒塌。虽然当时的风速仅为1 8 米，秒，但是在倒 塌前已经观察到桥面相对于水平线有4 5 。的扭转角。在发生这种情况之后，人们才首 次谈论与机翼颤振现象相类似的桥梁颤振，从此以后，桥梁颤振问题，尤其是薄壁箱 梁的抗扭问题，引起了人们的重视。 应用于桥梁中的薄壁箱梁，有关其扭转振动的问题一般都将其转化为翼型的纯扭 蔓三垩壁壁煎墼堕塑堑塾坌堑 转问题。对于翼型的纯扭转运动，动态攻角系由两种效果即瞬时角位移和翼弦法线方 向的瞬时线速度构成，因此，解析表示式显得更加复杂。前一效应的量值是一个与弦 向位置和频率无关的常数，后一效应的量值与弹性轴的弦向距离及振动频率成线性关 系。当然，这两个分量均随频率m 简谐地变化。因此，如图2 4 所示，若假定某一位 移吼c o s ( w t ) ，则局部攻角为： 口：e oc o s ( 纠) + a r c t a n l t a n 口。一( x = - _ x o ) c a 8 0s i n 研l 一口。( 2 - 2 1 ) l u c o s 口 f 且相对动压变为： 旷尹1 ，2v 1 u l + 华+ ( 学 2 p ：q o o c o s u 0 ( x - x 。) 图2 - 4 由于扭转情况中的局部攻角是沿翼弦变化的，因此除非选取某个“典型”攻角为 代表，否则就很难以简单的和类似于弯曲情况的方法来建立扭转问题的数学表达式。 对于有抛物线弯度的非失速薄翼，在表示攻角变化与气动反作用力变化的关系 中，四分之三弦长点是“最典型的”。为简单起见，我们用常量e b 代替x z 。时， 按照弯曲情况，可以类似的推出： 2 4 第二章薄壁箱粱结构振动分析 口= 0 0c o s ( o ) t ) + c o s 口s s ( 一p 棚。) s i n ( d ) 一= ls i n ( 2 口。) ( - p k o o ) 2s i n2 ( c o t ) ( 2 - 2 3 ) 一l c o s ( 3 a 。) i p t o o os i n ( 删) 】3 + - 式中，a 是对于口。的攻角偏离量。对于位于翼弦中点之前的弹性轴位置。常数e 的数 值通常接近l 。 将口代入到气动力矩系数的解析近似式： c 。= 6 。 。) 口” ( 2 2 - 4 ) 式中，b 。与气动力矩系数的斜率和高阶导数在平均攻角点处的值建立如下关系： 6 。= i 1d比c。(2-2-5) 作用在扭转位移上的气动力矩所作的功由下式表示： 船m o d t 2 去p ( 卅 其中，矿表示转动一周所需作的功。因而功率为 肚去p ( 耐) ( 2 2 _ 7 ) 利用力矩表达式m = 吼( 2 6 ) 2 c ：，可得： m = u z ( 2 b ) ，+ 华例 6 口。 o oc o s 似) + c o s 口。( 一e 蛾) s i n ( 鲥) 一i 1s i n ( 2 ) ( 2 2 8 ) x ( _ 。蛾) 2 s i n 2 ( t o t ) 一；c 。s ( 3 a 。) 卜e 蛾s i n ( 删) r + ) 一 当研究对象为频率较低的振荡时，可以忽略那些与频率的高次幂成正比的项。于 第二章薄壁箱梁结构振动分析 ，= 一j 1p u 2 ( 2 b ) 2 鲁萎c o s ”( 叫一s i n ( 耐) d ( 埘) 2 ) 2 罢s i n p 。鬃科“僦 ( 2 2 9 ) = 一互1p 州3 删w 。娶1 蒜熹 由上式，我们可以得出这样一个结论：在低频扭转失速颤振中，功率仍将与振幅的偶 次幂各项之和成正比。 第三章驰振稳定性分析在工程中的应用 第三章驰振稳定性在工程中的应用 第一节薄壁箱梁的驰振 如图3 - 1 所示，箱形截面简支梁的各项指标如下： 梁的总长l 2 1 0 0 0 0 m m ，梁宽b _ 4 0 0 m m ，瓣6 h = 2 0 0 m m ，梁的壁厚t = 2 5 r a m ，弹性模 量e = 2 x 1 0 5 m p a ，梁的材料密度f = 8 1 0 “k g m m 3 ，预计风速为4 0 m s 。 图3 1 t 解：先求基波弯曲频率 梁的截面惯性矩 ，= 击( 纠_ 6 | 矿) = 1 ( 4 0 0 2 0 0 3 - 3 9 5 1 9 5 3 ) 2 2 6 1 0 7 删4 ( 3 - l - 1 ) 2 7 第三章驰振稳定性分析在工程中的应用 a = 4 0 0 x 2 0 0 3 9 5 x 1 9 5 = 2 9 7 5 m m 2 ( 3 1 2 ) 则由式( 1 1 - 1 2 ) 可得 f ，：要罄) ；：黑( 坠生坐型) ；：l _ 7 1 。一( 3 1 - 3 ) q 2 、倒2 ( 2 x 1 0 4 ) 2 。8 1 0 _ 6 2 9 7 5 v 空气密度p ：1 2 1 0 一，k g m 肌，取阻尼因子f 。：o 0 1 ，姜羔：一3 o 。则折合速度 茄一罢筹一塑篆篇淼等型州斛p ，川 兀d 加z ( 拿) 1 2 1 0 一2 0 0 2 3 0 “一p 一 , q - 得 u = 4 1 5 4 f y d = 4 1 5 4 x 1 7 1 x 2 0 0 = 1 4 2 x 1 0 4 m m s = 1 4 2 m s ( 3 1 5 ) 即当风速超过1 4 2 m s 时，梁即失稳。 合成振动的振幅可以由梁的运动方程求得。细长均匀粱的运动方程是： 脚学协删詈+ m 豢= 圭p u 2 d c y b m ， 其中，y ( x ，t ) 是梁的跨度方向的上每一点x 的横向位移。c 。是铅直力系数，因为截面 对于口2 0 的轴是对称的，所以c 。能够表示为只含攻角的奇次幂项的幂级数。 q = 筹妈( 吉争k ( 3 - 1 - 7 ) 在端部是绞结的情况下，基波振形是正弦波形。梁的位移是： y 。( x , t ! 叫。舻安 ( 3 - 1 _ 8 ) 缈( 功= s i n ( m 三) 一7 由单个振形展开法，可以把运动方程简化成常微分方程。把上述方程代入运动方程， 并且用s i n ( m l ) 乘方程各项，再沿跨距全长积分。这样得到： 彬+ 2 m 扣t 多+ 朋彩? y 2 吉p u 2d 【即t 吉+ ，口3 ( 争3 + 。】( 3 - 1 1 9 ) 除了使曲线拟合系数a ，按比例放大的形状系数k ，之外，这个方程和为一维驰振振荡器 而推导的方程( 1 1 2 1 ) 完全相同。 第三章驰振稳定性分析在工程中的应用 p ”1 0 ) d x k ，= 导一 p 2 0 ) d x 0 当为正弦波形时， k = 1 k j = 0 7 5 如果在分析时用的是三次曲线拟合 ( 3 1 10 ) ( 3 - l 一1 1 ) 运动方程的解就可以由方程( 1 1 3 3 ) 改写成： 拈 - 鼍掣 2 睁z ， 这个方程给出的振形振幅要比方程( 1 - 1 - 3 3 ) 为弹簧支撑的一维振荡器所预计的振幅要 高出1 5 。由方程( 1 1 3 4 ) 和( 1 - 1 3 5 ) 得到： 疗：旦塑： 8 7 r f m f y d 彳：磐( 3 - 1 1 3 ) d4 翻 在预计风速为4 0 m s 时，将u = 4 0 代入到( 3 1 - 1 3 ) 之中，可以得到： 疗：0 9 4 j ：0 2 1 4 由此可得： 一。= 3 1 d = 6 2 0 m m 即振幅为0 6 2 米。 一般来说，对于大部分的工程上的容易受到气动弹性激励的结构，其剖面都具有 强烈的非线性特性，这些特性的强烈非线性大大增加了解析求解运动方程的困难。 第三章驰振稳定性分析在工程中的应用 第二节悬索结构的驰振 悬索结构是应用十分广泛的大跨度空间结构，这类结构的一个显著特点是索不具 有弯曲刚度，结构对外荷载的抵抗是通过改变自身形状来实现的，所以结构的变形比 较明显，而且结构刚度与变形有关，表现出明显的几何非线性特点。此外，此类结构 的质量通常都比较轻。这些特点决定了悬索结构对风荷载的作用十分敏感。下面是一 个悬索结构中比较典型的例子，可以在许多实际工程当中得到应用。 如图3 - 3 所示：a b 为一非流线型截面细长杆。由拉杆a c 、b d 于弹性索e c d f 上。 其中，水平方向风速为u ，细长杆的单位长度质量为m ，g 是重力加速度，d 是截面的 直径。 a 图3 3 首先，由于风的曳力，使细长杆产生一个位移，则悬索与铅垂线之间形成一个角 度，分析如下： 悬索主要受重力g = 嘴，升力瓦= j 1 彬2 。巴，曳力f d = j l p u 2 d c 。，如图3 4 第三章驰振稳定性分析在工程中的应用 剐知： ， f | p u 。d c p u - i j l l 协风2 三m g 葛2 2 m g 孑硒d c d一 d p u 可得； 矗o = 8 r o t a n 丽i p u 2 瓦d c l三们g p u 上j l d 如果c 。远大于c 。，则可以将上式简化为 风：a r c t a n p u i 2 一d c l 则可得如图3 5 所示模犁。 f d 图3 - - 4 细长杆可以不同的方式振动：( 1 ) 半径r 维持恒定，绕悬挂点旋转卢= 风的简单摆 ( 2 ) 维持鼠恒定，在半径r 方向振荡；( 3 ) 扭转或( 4 ) 复合振形。 u ，7 。 攀攀学 r ib k r j ，- l 一 一疑。 ，一7 7o 堑z j 细长杆 图3 5 第三章驰振稳定性分析在工程中的应用 分析如图3 5 所示模型，可以将其风速u 分解，转交为如图3 6 中的形式。一般来说 根据攻角正负号的规定，此时的攻角为负。 u y 一多 图3 6 流动相对于图3 - 6 的模型的角度是： 一t a n 掣( 3 - 2 - 1 ) u 相对流速是： u ：h 一夕) ：+ 昵t ( 3 - 2 2 ) 作用于模型的铅直力是： = j 1p u：dcy(3-2-3) 其中，铅直力系数c 。是： f ，2 c y 2 7 u 7 ，t , 2 ( c l c o s c t - c osina)(3-2-4) 模型的不稳定性可以由模型运动时铅直力的变化面产生。为了计算小幅度运动时气动 力的影响，在多= 0 把c 。展开成为级数： 第三章驰擐稳定性分析在工程中的应用 c y ：c 。( 岁：o ) + 掣+ o ( y z ) ( 3 - 2 5 ) _ o c y ( u , a ) ：百a c yi a u + i c g c y 丝( 3 - 2 6 ) 西a u a 口g , 等胪o ) _ 丁2 s i n a o ( c l c o s d s i 一丁c o s 口o ( i o c lc o s 以( 3 _ 2 7 ) 蚂s i r l a o + c s ”孥s i n a o ) 吨。瑚咖萨( 3 - 2 - 8 ) 彬+ 陋，7 1 巾半k = 。( 3 - 2 - 1 0 ) 一u 蝉。 。dp o l s i n 2 嘞z c d 一( c 。+ 百o c o ) c o t 。t o + c c 。+ c o t 2 口。 蔓三童塾塑垒宣壁坌堑垄王垂生盟璧塑 一 推导的稳定性判别式，即方程( 1 1 1 2 ) 。只有当方程( 3 2 11 ) 不稳定性起始的速度u 由 正数解时，结构才可能是不稳定的。方程( 3 2 11 ) 提示：当u y = = 0 时，只有在 _ 0 c l + c 。 o ( 3 - 2 1 2 ) 的情况下，结构才可能是不稳定的。这个方程就是邓哈托格稳定性判别式。 2 细长杆的径向振型，即沿轴向的振动。比较图3 5 和3 6 ，可以得出，对于沿 着屁= c ，c 为常数所定义的直线的细长杆径向运动有： 玑=一【，8i“岛(3-2-13) u ，= u c o s f l 0 又因为在此时有： 一= 风 ( 3 - 2 - 1 4 ) 将( 3 - 2 1 4 ) 代k n ( 3 - 2 1 1 ) z 中，可以得知，当可能出现径向振型不稳定性时： 2 c 。一( c 。+ 鲁) c o t 历+ ( c o + a 凇c l ) c o t 2 屈 o ( 3 - 2 - 1 5 ) 3 细长杆的摆振型。比较图3 5 和图3 6 ，当细长杆以恒定半径绕悬挂点以p = 风 的角度摆动，可以看出： u 。= u c o s 儡 u ，= u s i n 风 又因为在此种情况下： ( 3 2 1 6 ) 8 1 “2 一。0 5 鼠 f 3 2 1 7 ) c o t g o = 一t a n 风 如果把方程( 3 2 1 7 ) 代入到方程( 3 2 11 ) ，则对于可能出现的摆型的不稳定性： 2 c 。+ ( c l + 孥) t a n 岛+ ( c 。+ 冬) t a n 2 岛 0 ( 3 - 2 m ) d 口口 以上的分析是在当所有可能出现的振型的固有频率不相接近的条件下得出的，一 旦这几种可能的振型的固有频率相近，则有可能出现复合振型。对于复合振型，分析 和1 1 2 节两个自由度系统的分析相似。 总结 总结 很久以来，有关失速颤振方面的理论一直都在围绕着关于失速颤振与漩涡脱落 的关系而产生了一些小的分歧。一方面，认为漩涡脱落是失速颤振的一个诱发因素： 另一方面，则认为漩涡脱落与失速颤振是两个不同的问题，而且，在许多容易发生气 动弹性失稳的结构中，失速颤振与漩涡脱落两者之中谁为主要因素，也是一个存在争 议的问题。 通过对相关文献的学习和比较，笔者最终采用了德国著名气动弹性力学家 h w 伏欣所著的气动弹性力学原理的理论体系。针对工程上常见的一些驰振 稳定性问题进行了简化分析，使得一些原本比较复杂的相关理论能够在实际工程中得 到应用。 参考文献 参考文献 【1 】a n u r a gj , n i c h o l a se j o n