（固体力学专业论文）非光滑动力系统周期解的分岔研究.pdf

西南交通大学博士研究生学位论文第l 页 摘要 非光滑动力系统以其在实际工程领域中的普遍性和在诸多工业领域的重 要性，吸引了众多科学工作者和工程技术人员的关注。近年来，非光滑动力 系统已成为非线性动力学研究的热点之一。由于非光滑系统向量场的非光滑 性，使得光滑系统中研究周期解稳定性和分岔的传统方法不再适用，需要从 理论上探究一些分析非光滑系统周期解稳定性和分岔的新方法，因此在理论 研究上具有很大的挑战性。本文的主要研究工作有以下几方面。 1 研究了高维非线性映射由n e i m a r k s a c k e r 分岔产生的不变圈的计 算。分析了不变圈的分岔条件，通过f r e d h o l m 择一方法分析了在计算不变圈 过程中出现的一类方程解的存在性，再根据不变圈上映射到自身的不变性， 通过分析振幅占各阶项的系数，在一类高维映射中实现了不变圈的算法。 2 研究了碰撞系统中与碰撞面横截相交的周期解。通过零时间不连续映 射方法推导出线性化矩阵的计算式。通过时间p o i n c a r 6 映射对单自由度单边 碰撞系统周期运动的倍化分岔现象做了分析，验证了理论的正确性。 3 研究了碰撞系统中与碰撞面相切的周期解( 擦边轨道) 附近的动力学 行为。分析了碰撞系统存在擦边轨道的解析条件，详细地推导了零时间不连 续映射和p o i n c a r 6 截面不连续映射。引入参数空间，将未发生碰撞的周期轨 道对应的光滑映射与前面得到的不连续映射复合得到两类擦边分岔的分段映 射形式。然后，研究了单自由度单边碰撞系统的擦边分岔。利用擦边分岔条 件找到了此系统的擦边分岔点，利用推导的擦边分岔的分段映射和直接数值 仿真获得不连续分岔图，两者得到的分岔图在结构上是类似的。从分岔图发 现，参数从一个不变的周期轨道区域到下一个不变的周期轨道区域的过渡点 处都要发生一个跳跃而使得分岔不连续，通过相图做进一步分析，发现在跳 跃处都要发生轨道的擦边现象。这与光滑系统典型的连续倍化分岔现象是不 同的。 4 研究了碰撞振动系统通过取p o i n c a r 6 截面得到的高维光滑映射的 h o p f p i t c h f o r k 和h o p f - h o p f 的余维二分岔。通过中心流形理论，将高维映 射降阶为一个三维映射，再通过范式方法将降阶后的三维映射转化为范式映 射。分析了三维范式映射在h o p f p i t c h f o r k 分岔点附近的参数开折。将上述 第1 l 页西南交通大学博士研究生学位论文 结果应用于对一类三自由度双边碰撞振动系统周期运动的h o p f p i t c h f o r k 分岔分析并给出数值算例。通过映射的中心流形一范式方法，将高维映射降阶 简化为四维的范式映射。理论分析了四维范式映射在h o p f h o p f 余维二分岔 点附近的参数开折。通过对三自由度含间隙碰撞振动系统的h o p f - h o p f 分岔 行为进行数值仿真，验证了理论结果。 5 建立了，z 维分段光滑系统周期解横截穿越分界面这种情况下的时间 p o i n c a r 6 映射，使用零时间不连续映射方法推导了在分界面处的跳跃矩阵， 进而给出了此类映射线性化矩阵的表达式。然后研究一类有一个分界面的单 自由度分段线性系统周期运动始终横截穿越分界面的动力学行为。结合光滑 系统的f l o q u e t 理论给出此非光滑系统发生倍化分岔的的条件。使用数值仿 真进一步揭示了系统周期运动经倍化分岔通向混沌的现象。随后还研究了一 类有两个分界面的两自由度分段线性非光滑系统周期运动始终横截穿越分界 面的分岔现象和混沌行为。将得到的跳跃矩阵结合光滑系统的f l o q u e t 理论 通过数值方法计算了周期运动发生n e i m a r k s a c k e r 分岔和倍化分岔的分岔 点，数值仿真表明系统存在n e i m a r k s a c k e r 分岔，倍化分岔和亚谐分岔等连 续分岔现象。 6 研究了分段光滑系统中擦边轨道附近的动力学行为。分析了分段光滑 系统存在擦边轨道的条件，详细的推导了零时间不连续映射。结合不连续映 射最后给出擦边分岔的分段映射形式。然后，具体研究了一个分界面的单自 由度分段线性系统的擦边分岔。利用擦边分岔条件找到了此系统的擦边分岔 点，再利用时间p o i n c a r 6 分段映射给出了擦边分岔点附近的分岔图，通过数 值方法得到了结构类似的分岔图并通过相图进一步揭示了擦边分岔的特点。 数值结果表明随着参数的增大，该单自由度分段线性系统分岔过程为：一周 期运动_ 倍化分岔专二周期运动j 擦边分岔j 二周期运动一擦边分岔一 四周期运动一倍化分岔一混沌运动，随着参数减小，系统分岔过程为：一周 期运动一倍化分岔一二周期运动专擦边分岔一三周期运动一擦边分岔一 混沌运动。 7 研究了分段光滑系统周期运动的角点碰撞分岔。分析了角点附近轨线 内外穿越分界面的两种几何结构以及角点碰撞轨线存在的条件。推导了零时 间不连续映射并给出角点碰撞分岔的分段映射。然后研究了一类具有两个非 光滑分界面的单自由度分段线性系统。数值结果表明该非光滑系统中存在周 西南交通大学博士研究生学位论文第1 ii 页 期运动的鞍结分岔和角点碰撞分岔现象。 8 分析了滑动分岔的几何结构以及滑动轨线存在的条件。介绍了四种可 能的滑动分岔并分析了发生这四种滑动分岔的解析条件。然后研究了一类受 简谐激励的单自由度干摩擦系统。通过数值仿真揭示了该系统发生的四种滑 动分岔中的第1 类滑动分岔和切换滑动分岔现象。通过选择合适的参数，揭 示了此干摩擦系统周期运动特有的倍化分岔现象，此倍化分岔现象中伴随有 擦边分岔的现象，是一种不同于光滑系统中倍化分岔的非光滑分岔现象。 关键词：非光滑动力系统；不连续映射；f l o q u e t 理论；周期运动；擦边分岔； h o p f - p i t c h f o r k 分岔；h o p f - h o p f 分岔：混沌吸引子 第1 v 页西南交通大学博士研究生学位论文 a b s t r a c t a st h en o n s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m sa r eb e c o m i n gm o r ea n dm o r e i m p o r t a n ti ne n g i n e e r i n gf i e l d s ，t h e yd r a wa t t e n t i o no fm a n ys c i e n t i f i cw o r k e r s a n de n g i n e e r s t h en o n - s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m sh a v eb e e no n eo ft h eh o ts p o t o fn o n l i n e a rd y n a m i c ss t u d yi nr e c e n ty e a r s d u et on o n s m o o t hc h a r a c t e r i s t i co f v e c t o rf i e l do fn o n s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m st h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d si n a n a l y z i n gs t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no fp e r i o d i cs o l u t i o no fs m o o t hs y s t e m sd o n t a p p l y , a n dt h en e wm e t h o d sn e e db ed e v e l o p e dt oa n a l y z et h ed y n a m i cb e h a v i o r s o fp e r i o d i cs o l u t i o no fn o n - s m o o t hs y s t e m s ，w h i c hi sab i gc h a l l e n g ef o r t h e o r e t i c a lr e s e a r c h t h em a i nr e s p e c t so ft h er e s e a r c ha r ef o l l o w i n g s ： 1 t h ec o m p u t a t i o nm e t h o do fi n v a r i a n tc i r c l e sf o rh i g hd i m e n s i o n a lm a p si s a d d r e s s e d t h eb i f u r c a t i n gc o n d i t i o n so fi n v a r i a n tc i r c l e sa r ea n a l y z e d a n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fas o l u t i o no fak i n do fe q u a t i o n s ，w h i c h r i s e si nc o m p u t i n gi n v a r i a n tc i r c l e ，i sp r e s e n t e dt h r o u g hf r e d h o l mm e t h o d ，t h e n t h ev a r i a b l eo fp h a s ea n g l ei se x p a n d e da saf o u r i e rs e r i e sa n dt h ee x p r e s s i o n so f c o m p u t i n gi n v a r i a n tc i r c l e sa r eg i v e nb yi d e n t i f i c a t i o no f t h ef o u r i e rc o e f f i c i e n t s t h ec o m p u t a t i o nm e t h o do fi n v a r i a n tc i r c l e sf o rm a p p i n gi sr e a l i z e di na t h r e e d i m e n s i o n a lm a pf i n a l l y 2 t h et r a n s v e r s a lp e r i o d i cs o l u t i o n so fi m p a c t i n gs y s t e m sa r ea d d r e s s e d t h e l i n e a r i z e dm a t r i xi sd e r i v e db ym e a n so fz e r o t i m ed i s c o n t i n u i t ym a p p i n g t h e s t r o b o s c o p i c p o i n c a r 6 m a p i se s t a b l i s h e dt o a n a l y z e t h e p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o no fp e r i o d i cm o t i o n si nt h es i n g l e d e g r e e - o f - f r e e d o mi m p a c t i n gs y s t e m t h et h e o r e t i c a lr e s u l ti sv e r i f l e d 3 t h el o c a ld y n a m i c sb e h a v i o ro fg r a z i n go r b i to fi m p a c t i n gs y s t e m si s i n v e s t i g a t e d t h ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fg r a z i n go r b i ta r ea n a l y z e d t h e z e r o t i m ed i s c o n t i n u i t ym a p p i n ga n dt h ep o i n c a r 6 一s e c t i o nd i s c o n t i n u i t ym a p p i n g a r ed e d u c e di nd e t a i l t h ep a r a m e t e rs p a c ei si n c l u d e dt oc o n s t r u c tac o m p o u n d p i e c e w i s es m o o t hm a pb yc o m p o s i n gp r e v i o u sd i s c o n t i n u i t ym a p p i n g sw i t ha p o i n c a r 6m a pf o rs m o o t hp e r i o d i cs o l u t i o n t h eg r a z i n gb i f u r c a t i o no fp e r i o d i c m o t i o n si nt h es i n g l e d e g r e e - o f - f r e e d o mi m p a c t i n gs y s t e mi si n v e s t i g a t e d t h e 西南交通大学博士研究生学位论文第v 页 g r a z i n gb i f u r c a t i o np o i n ti sf o u n di nt e r m so ft h ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f g r a z i n go r b i t t h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m sa r eg a i n e dt h r o u g hp r e v i o u sp i e c e w i s e s m o o t hm a pa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h e ya r es i m i l a rs t r u c t u r a l l y as a l t a t i o n a r i s e st oc a u s et h ed i s c o n t i n u i t yb i f u r c a t i o nw h e nt h ep a r a m e t e ri sat r a n s i t i o n a l p o i n tf r o mo n ep e r i o d i co r b i ta r e at ot h eo t h e ro n ea n dt h eg r a z i n gp h e n o m e n o n h a p p e n sa tt h et r a n s i t i o n a lp o i n t t h i sb i f u r c a t i o np h e n o m e n o ni sd i f f e r e n tf r o m c o n t i n u i t yp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o no fs m o o t hs y s t e m s 4 h o p f - p i t c h f o r kb i f u r c a t i o na n dh o p f - h o p fb i f u r c a t i o no fh i g hd i m e n s i o n a l s m o o t hm a p so b t a i n e di n i m p a c t i n gs y s t e m s a r e i n v e s t i g a t e d t h eh i 曲 d i m e n s i o n a lm a pi sr e d u c e dt oat h r e e d i m e n s i o n a lm a pb yt h ec e n t e rm a n i f o l d t h e o r e m t h er e d u c e dm a pi sf u r t h e rt r a n s f o r m e di n t oi t sn o r m a lf o r mb yt h e o r y o fn o r m a lf o r m s t h et w op a r a m e t e ru n f o l d i n g so ft h em a pn e a rt h ep o i n to f h o p f - p i t c h f o r kb i f u r c a t i o ni si n v e s t i g a t e dt h e o r e t i c a l l y t h eo b t a i n e dr e s u l ti s a p p l i e dt oa n a l y z i n gt h eh o p f - p i t c h f o r kb i f u r c a t i o no fp e r i o d i cm o t i o ni n a t h r e e - d e g r e e o ff r e e d o mv i b r o - i m p a c ts y s t e ma n di sv e r i f i e db yn u m e r i c a lw o r k t h eh i g hd i m e n s i o n a lm a pi sr e d u c e dt oaf o u r - d i m e n s i o n a ln o r m a lf o r mm a pb y t h ec e n t e rm a n i f o l dt h e o r e ma n dt h e o r yo fn o r m a lf o r m s t h et w o p a r a m e t e r u n f o l d i n g so fl o c a ld y n a m i c a lb e h a v i o r , n e a rt h ep o i n to fh o p f - h o p fb i f u r c a t i o n ， i si n v e s t i g a t e dt h e o r e t i c a l l y h o p f - h o p fb i f u r c a t i o ni nat h r e e - d e g r e e - o ff r e e d o m v i b r o i m p a c ts y s t e mi sf u r t h e ri n v e s t i g a t e db ym e a n so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a tt h ev i b r o - i m p a c ts y s t e m p r e s e n t s i n t e r e s t i n ga n dc o m p l i c a t e dd y n a m i c a lb e h a v i o r 5 w i t hr e g a r dt ot r a n s v e r s a lp e r i o d i cs o l u t i o n so f p i e c e w i s es m o o t hs y s t e m s ， t h es t r o b o s c o p i cp o i n c a r 8m a pi se s t a b l i s h e d t h es a l t a t i o nm a t r i xi sd e d u c e db y z e r o t i m ed i s c o n t i n u i t ym a p p i n gm e t h o da n dt h e nt h el i n e a r i z e dm a t r i xo ft h em a p i s g i v e n t h ed y n a m i c s b e h a v i o r so ft r a n s v e r s a l p e r i o d i c m o t i o n so fa s i n g l e - d e g r e e - o f - f r e e d o mp i e c e w i s el i n e a rs y s t e mi ss t u d i e d t h ep e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o no fp e r i o d i cm o t i o n so ft h ep i e c e w i s el i n e a rs y s t e mi si n v e s t i g a t e db y t h es a l t a t i o nm a t r i xa n dt h ef l o q u e tt h e o r y t h ep e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n sa n d c h a o t i cb e h a v i o r si nt h en o n s m o o t hs y s t e ma r ef u r t h e ri n v e s t i g a t e db ym e a n so f n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h eb i f u r c a t i o na n dc h a o so ft r a n s v e r s a lp e r i o d i cm o t i o n s 第v i 页西南交通大学博士研究生学位论文 o fat w o d e g r e e o f - f r e e d o mn o n s m o o t hs y s t e m w i t h p i e c e w i s e l i n e a r i t y i s i n v e s t i g a t e d t h es a l t a t i o nm a t r i xi sg i v e no u ta tt h es w i t c h i n gb o u n d a r i e sa n d t h e n e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o np o i n ta n dp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o np o i n to f p e r i o d i cm o t i o n so ft h es y s t e ma r ei n v e s t i g a t e db yt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ee x i s t e n c eo fn e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o n ， p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o na n d s u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o ni nt h en o n - s m o o t h s y s t e m 6 t h el o c a ld y n a m i c sb e h a v i o r so fg r a z i n go r b i to fp i e c e w i s es m o o t h s y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d t h ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fg r a z i n go r b i ta r e a n a l y z e d z e r o t i m ed i s c o n t i n u i t ym a p p i n gi sd e d u c e di nd e t a i l ac o m p o u n d p i e c e w i s es m o o t hm a p i sg i v e nb yc o m p o s i n gt h ed i s c o n t i n u i t ym a p p i n gw i t ha p o i n c a r 6m a pf o rn oi n t e r s e c t i o np e r i o d i cs o l u t i o n t h eg r a z i n gb i f u r c a t i o no f p e r i o d i c m o t i o n si nt h es i n g l e - d e g r e e - - o f - f r e e d o mp i e c e w i s el i n e a rs y s t e mi s i n v e s t i g a t e d t h eg r a z i n gb i f u r c a t i o np o i n ti sf o u n di nt e r m so ft h ec o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo fg r a z i n go r b i t t h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m sa r eg a i n e dt h r o u g ht h e p r e v i o u sp i e c e w i s es m o o t hm a p a n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h e ya r es i m i l a r s t r u c t u r a l l y t h e nt h eg r a z i n gb e h a v i o ri sf u r t h e ra n a l y z e db yp h a s ep o r t r a i t s t h e n u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a tt h ep i e c e w i s el i n e a rn o n - s m o o t hs y s t e mp r e s e n t s p e r i o d 1 m o t i o n p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n p e r i o d2m o t i o n g r a z i n g b i f u r c a t i o n p e r i o d 2 m o t i o n - - g r a z i n g b i f u r c a t i o njp e r i o d 4 m o t i o n - - p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n - - - c h a o sw i t ht h ei n c r e a s eo fp a r a m e t e ra n d p e r i o d 1m o t i o nj p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n p e r i o d 2m o t i o n g r a z i n g b i f u r c a t i o n - - p e r i o d3m o t i o n g r a z i n gb i f u r c a t i o n c h a o sw i t h t h ed e c r e a s eo f p a r a m e t e r 7 t h ec o m e r - c o l l i s i o nb i f u r c a t i o no fp i e c e w i s es m o o t hs y s t e m si sa d d r e s s e d t h ee x t e r n a la n di n t e r n a lc o m e rc o l l i s i o n sg e o m e t r ya n dt h ec o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo fc o m e rc o l l i s i o no r b i ta r ei n v e s t i g a t e d t h ez e r o t i m ed i s c o n t i n u i t y m a p p i n gi s d e d u c e di nd e t a i la n dt h ec o m p o u n dp i e c e w i s es m o o t hm a po f c o m e r - c o l l i s i o nb i f u r c a t i o ni sg i v e n t h es i n g l e - d e g r e e o f - f r e e d o mp i e c e w i s e l i n e a r s y s t e mw i t h t w on o n - s m o o t hs w i t c h i n gb o u n d a r i e si ss t u d i e s t h e n u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a tt h ep i e c e w i s el i n e a rs y s t e mp r e s e n t ss a d d l e - n o d e b i f u r c a t i o na n dc o m e r - c o l l i s i o nb i f u r c a t i o n 8 t h es l i d i n go r b i tg e o m e t r ya n dt h ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fs l i d i n g o r b i ta l ei n v e s t i g a t e d f o u rt y p e so fs l i d i n gb i f u r c a t i o n sa n dt h e i r b i f u r c a t i o n c o n d i t i o n sa l ei n t r o d u c e d t h es i n g l e d e g r e e o f - f r e e d o md r yf r i c t i o ns y s t e mi s c o n s i d e r e d t h ec r o s s i n g s l i d i n gb i f u r c a t i o na n ds w i t c h i n g s l i d i n gb i f u r c a t i o na l e s h o w nb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h en u m e r i c a lr e s u l t sa l s oi n d i c a t et h a tt h ed r y f r i c t i o ns y s t e mp r e s e n t st h es p e c i a lp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o na c c o m p a n i e db y g r a z i n gb i f u r c a t i o n k e yw o r d s ：n o n - s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m ；d i s c o n t i n u i t ym a p p i n g ；f l o q u e t t h e o r y ；p e r i o d i cm o t i o n ；g r a z i n gb i f u r c a t i o n ；h o p f - p i t c h f o r k b i f u r c a t i o n ；h o p f 二h o p fb i m r c a t i o n ；c h a o sa t t r a c t o r 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在j _ 年解密后适用本授权书； 2 不保密d 使，：本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名： 撒 e ta ：加脚胡l 箩日 指导老师签名： 日期： 峋 妒 伊t - 书 哥譬1 令q 鼋 砰一 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 研究了高维非线性映射由n e i m a r k s a c k e r 分岔产生的不变圈的计 算。分析了不变圈的分岔条件，通过f r e d h o l m 择一方法分析了在计算不变圈 过程中出现的一类方程解的存在性，再根据不变圈上映射到自身的不变性， 通过分析振幅占各阶项的系数，在一类高维映射中实现了不变圈的算法。 2 研究了碰撞系统中与碰撞面横截相交的周期解。通过零时间不连续映 射方法推导出线性化矩阵的计算式。通过时间p o i n c a r 6 映射对单自由度单边 碰撞系统周期运动的倍化分岔现象做了分析，验证了理论的正确性。 3 研究了碰撞系统中与碰撞面相切的周期解( 擦边轨道) 附近的动力学 行为。分析了碰撞系统存在擦边轨道的解析条件，详细地推导了零时间不连 续映射和p o i n c a r 6 截面不连续映射。引入参数空间，将未发生碰撞的周期轨 道对应的光滑映射与前面得到的不连续映射复合得到两类擦边分岔的分段映 射形式。然后，研究了单自由度单边碰撞系统的擦边分岔。利用擦边分岔条 件找到了此系统的擦边分岔点，利用推导的擦边分岔的分段映射和直接数值 仿真获得不连续分岔图，两者得到的分岔图在结构上是类似的。从分岔图发 现，参数从一个不变的周期轨道区域到下一个不变的周期轨道区域的过渡点 处都要发生一个跳跃而使得分岔不连续，通过相图做进一步分析，发现在跳 跃处都要发生轨道的擦边现象。这与光滑系统典型的连续倍化分岔现象是不 同的。 4 研究了碰撞振动系统通过取p o i n c a r 6 截面得到的高维光滑映射的 h o p f p i t c h f o r k 和h o p f h o p f 的余维二分岔。通过中心流形理论，将高维映 射降阶为一个三维映射，再通过范式方法将降阶后的三维映射转化为范式映 射。分析了三维范式映射在h o p f - p i t c h f o r k 分岔点附近的参数开折。将上述 结果应用于对一类三自由度双边碰撞振动系统周期运动的h o p f - p i t c h f o r k 分岔分析并给出数值算例。通过映射的中心流形一范式方法，将高维映射降阶 简化为四维的范式映射。理论分析了四维范式映射在h o p f - h o p f 余维二分岔 点附近的参数开折。通过对三自由度含间隙碰撞振动系统的h o p f - h o p f 分岔 行为进行数值仿真，验证了理论结果。 5 建立了刀维分段光滑系统周期解横截穿越分界面这种情况下的时间 p o i n c a r 6 映射，使用零时间不连续映射方法推导了在分界面处的跳跃矩阵， 进而给出了此类映射线性化矩阵的表达式。然后研究一类有一个分界面的单 自由度分段线性系统周期运动始终横截穿越分界面的动力学行为。结合光滑 系统的f l o q u e t 理论给出此非光滑系统发生倍化分岔的的条件。使用数值仿 真进一步揭示了系统周期运动经倍化分岔通向混沌的现象。随后还研究了一 类有两个分界面的两自由度分段线性非光滑系统周期运动始终横截穿越分界 面的分岔现象和混沌行为。将得到的跳跃矩阵结合光滑系统的f l o q u e t 理论 通过数值方法计算了周期运动发生n e i m a r k - s a c k e r 分岔和倍化分岔的分岔 点，数值仿真表明系统存在n e i m a r k - s a c k e r 分岔，倍化分岔和亚谐分岔等连 续分岔现象。 6 研究了分段光滑系统中擦边轨道附近的动力学行为。分析了分段光滑 系统存在擦边轨道的条件，详细的推导了零时间不连续映射。结合不连续映 射最后给出擦边分岔的分段映射形式。然后，具体研究了一个分界面的单自 由度分段线性系统的擦边分岔。利用擦边分岔条件找到了此系统的擦边分岔 点，再利用时间p o i n c a r 6 分段映射给出了擦边分岔点附近的分岔图，通过数 值方法得到了结构类似的分岔图并通过相图进一步揭示了擦边分岔的特点。 数值结果表明随着参数的增大，该单自由度分段线性系统分岔过程为：一周 期运动j 倍化分岔一二周期运动一擦边分岔一二周期运动一擦边分岔专 四周期运动一倍化分岔j 混沌运动，随着参数减小，系统分岔过程为：一周 期运动一倍化分岔专二周期运动一擦边分岔一三周期运动专擦边分岔_ 混沌运动。 7 研究了分段光滑系统周期运动的角点碰撞分岔。分析了角点附近轨线 内外穿越分界面的两种几何结构以及角点碰撞轨线存在的条件。推导了零时 间不连续映射并给出角点碰撞分岔的分段映射。然后研究了一类具有两个非 光滑分界面的单自由度分段线性系统。数值结果表明该非光滑系统中存在周 期运动的鞍结分岔和角点碰撞分岔现象。 8 分析了滑动分岔的几何结构以及滑动轨线存在的条件。介绍了四种可 能的滑动分岔并分析了发生这四种滑动分岔的解析条件。然后研究了一类受 简谐激励的单自由度干摩擦系统。通过数值仿真揭示了该系统发生的四种滑 动分岔中的第1 类滑动分岔和切换滑动分岔现象。通过选择合适的参数，揭 示了此干摩擦系统周期运动特有的倍化分岔现象，此倍化分岔现象中伴随有 擦边分岔的现象，是一种不同于光滑系统中倍化分岔的非光滑分岔现象。 作光赫：待赫 日期：勘口8 年1 2 月i 岁日 西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 1 1 前言 第1 章绪论 自然科学和工程技术中反映动力系统特征和影响动力系统运动的许多因 素都是非线性的，这些非线性可能来自于系统物理的( 材料的非线性本构关 系) 、几何的( 弹性变形几何关系产生的非线性) 、结构的( 间隙、塔形弹性元 件等) 、耗散的( 结构阻尼、干摩擦以及高速流体阻尼、v a nd e rp o l 阻尼等) 、 运动的( 惯性的、冲击的、机构中变传动比运动引起的质量、刚度的周期性变 化) ，以及耦合( 机电、流固、声与结构) 的等各种因素。当影响系统运动规 律的非线性因素很小时，线性系统模型在一定的程度上描述了真实系统的动 力学行为。但是，对动力学系统的这种理想化的线性系统并非总是可靠的， 当系统的非线性因素的影响不可忽略时，线性模型就可能失效。另一方面， 由于非线性动力系统本身具有线性系统没有的丰富而复杂的动力学特性，人 们需要利用或控制这些性质。这就促使人们去研究和认识各种非线性因素对 系统性态和运动规律的影响，从而促进了非线性动力学的进一步发展。因而， 近年来，非线性科学得到了飞速的发展并取得了巨大的成功。 非光滑动力系统作为非线性动力系统的一部分，存在于许多应用科学和 工程领域中，如机械工程中的碰撞振动系统，带有干摩擦的粘滑振动系统， 含有可控开关的电路系统等。非光滑动力系统不仅可发生光滑动力系统中的 各种常规分岔，而且还具有一些光滑动力系统所不具备的特有分岔，如擦边 分岔、角