（固体力学专业论文）颗粒复合材料等效热导率的加权残值法和边界元法研究.pdf

武汉理工大学博七学位论文 摘要 利用细观力学的理论和方法预测和分析复合材料的等效性能，揭示其细观 结构与其等效性能的关系，为复合材料设计和性能评价提供理论依据和系统的 分析方法，是现代细观力学研究中十分重要的研究课题。在复合材料热传导问 题研究中，传统的细观力学模型主要是基于规则夹杂形状( 如球形或者椭球形) 并假定材料的组分界面为理想界面情形，而对于不规则形状夹杂( 如多边形或 任意形状夹杂) 和含非理想界面复合材料热传导问题相关研究较少，缺乏系统 的理论框架和计算方法。本论文主要采用加权残值法和边界元法等各种数值方 法结合细观力学模型，研究夹杂的形状、体积含量及界面条件等因素对复合材 料等效热导率的影响。 本论文主要完成了两方面的工作，一方面是采用加权残值法和边界元法对 不同复合材料模型的2 d 稳态热传导的温度场进行了求解分析。首先以l a p l a c e 方程的极坐标下基本解系的线性组合作为近似解，用边界残值配点法计算了单 夹杂模型的温度场问题。结果表明对于圆形和椭圆形夹杂较为理想，当夹杂为 多边形时，采用这种方法的计算精度较差，甚至得不到可接受的近似解。选用 双三次b 样条函数为近似解，采用样条子域配点法计算了矩形夹杂的温度场问 题，计算结果与有限元结果吻合较好。由于受计算复杂程度和计算精度的限制， 采用加权残值法只能分析单夹杂问题，且对于更复杂的夹杂形状很难得到良好 的近似解，因此接下来采用边界元方法分析了具有任意形状夹杂复合材料的温 度场问题。首先推导了多连域和含任意形状夹杂复合材料温度场问题的边界元 计算格式，随后采用边界元法计算了具有不同形状和界面性能的单夹杂和多夹 杂模型内的温度场。结果表明，采用边界元方法能够较好的计算含任意形状夹 杂和界面性能的复合材料的温度场，且具有较高的计算精度。 本论文另方面的工作是建立了求解含任意形状夹杂复合材料的等效热导 率的计算公式。首先推导了单夹杂复合材料模型的等效热导率预测的界面温度 积分公式，并采用自洽迭代方法计算了不同形状夹杂复合材料的等效热导率： 建立了复合材料等效热导率预测的多夹杂模型，并推导了多夹杂模型等效热导 率预测的计算公式。采用以上两种预测方法分析了夹杂形状、体积含量和界面 性能的影响，并与h a s s e l m 锄的计算结果进行了对比分析。研究结果表明，当夹 杂热导率较低时，多夹杂模型预测的等效热导率结果比自洽模型大，而与 h a s s e l m 锄的稀疏近似模型结果非常接近。含细长夹杂复合材料，沿夹杂长轴方 向的热导率高，而沿短轴方向低。对含相同大小夹杂的复合材料，夹杂的形状 对复合材料的等效热导率有一定的影响，圆形模型预测的结果比正方形模型预 测结果大，椭圆形模型预测结果比长方形模型大。 关键词：细观力学，复合材料，加权残值法，边界元法，等效热导率 武汉理工大学博士学位论文 a b s t r ac t i th a sb e e nv e 叮i m p o n a n tr e s e a r c hs u b j e c ti nm o d e mm e s 0 一m e c h a i l i c sr e s e a r c ht o i n v e s t i g a t ea i l da n a l y z et h ee f f e c t i v ep r o p e n i e so fc o m p o s i t em a t e r i a l s ，t or e v e a l t h e r e l a t i o nb e t w e e ni t sm e s o - s t m c t u r e 卸de f r e c t i v ep r o p e r t i e sb yu s i n gm e s o - m e c h a n i c s t h e o r ya r l dm e t l l o d ，a n dt h u st op r o v i d et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n 趾l ds y s t e m i c 锄a l y s i s m e t h o df o r0 p t i m u md e s i g n 锄dp r o p e r t ye v a l u a t i o no fc o m p o s i t e s h lt l l ef i l e do f t h e 册a lc o n i 【u c t i o n ，仃a d i t i o n a lm e s o m e c h a i l i c sm o d e la r em a i n l yb a s e do np a n i c l e o ft y p i c a lg e o m e t l 了s u c h 嚣s p h e r eo re l l i p s o i d ，a u l dag e l l e r a l l ya d o p t e dp r e m i s ei st h e 嬲s 唧叩t i o no fp e r f e c tc o n t a c tc o n d i t i o n sa tc o n s t i m e n ti n t e r f a c e s t h el i t e r a t u r eo n c o m p o s i t em a t e r i a l sl a c k st o d a yap r o p e rt h e o r e t i c a l 丘锄e w o r kp e m i t t i n g at h o r o u 曲 s t u d yo ft h ec o n d u c t i o np r o b l 锄f o rc o m p o s i t e sw i t hp a n i c l e so fi n e g u l a rg e o m e 时 s u c ha sp 0 1 y g o no ra r b i t r a r ys h 印ei nt h ep r e s e n c eo fat h e 咖a 1c o n t a c tr e s i s t a n c e t h e p r i m a 叫m o t i v a t i o no f “st h e s i s i st l l e r e f o r et od e v e l o pp r o p e rp r o c e d u r e sa n d n 啪e r i c a lc o m p u t a t i o n a lt e c h n i q u e ss u c h 弱t h ew e i 曲t e dr e s i d u a lm e m o d ( w r m ) a n dt l l eb o u n i l a r ye l 锄e n tm e t h o d ( b e m ) i nc o m b 证a t i o nw i t hm e s o - m e c h a n i c s m o d e lf o rt l l ei r e s t i g a t i o no ft h ei n n u e n c eo fp a r t i c l eg e o m e t r y ，v o l u m ef - r a c t i o n s a n di n t e r f a c i a lc o n d i t i o n so ne f f e c t i v em e m a lc o n d u c t i v i t yo fc o m p o s i t e s r m sr e s e a r c hw o r kh a sb e e nd o n ei i lt w oa s p e c t s o nt h eo n eh 锄d ，n u m 甜c a l 印p r o x i m a t i o n 1 1 2 峪b e e nc o n d u c t e df o rm es 0 1 u t i o no f2 ds t e a d y s t a t eh e a tc o n d u c t i o n o fd i f 五：r e n tc 0 i n p o s i t e sm o d e l sb yu s i n g 、) i 门 ma n db e mn 啪e c a lm e t h o d s f i r s t ， t h el i n e a rc o m b i n a t i o n so fb a s i cs e to fs o l u t i o n st ol 印l a c ee q u a t i o nu n d e rp o l a r c o o r d i n a t es y s t e ma r ec h o s e l l 硒t h e 印p r o x i m a t i o n sf o rt h es o l u t i o no ft e m p e r a t u r e f i e l d s ，b o u l l d a d rr e s i d u a lc o l l o c a t i o nm e t h o da r ea p p l i e dt oc a l c u l a t et h ed i s t r i b u t i o n o fm et e m p e r 绷l 】ef i e l d sf o rs i n g l e - p a n i c l em o d e l a c c u r a t er e s u l t sa r eo b t a i n e df o r t l l ec 硒eo fc i r c l ea l l de l l i p s e ，b u tf o rt l l ec a s eo fp o l y g o l l t h ec o m p u t a t i o n a lp r e c i s i o n o ft h em e t h o di s1 0 w ，s o m e t i m e se v e nn o ta c c e p t a b l e t l l e i l ，t h eb i c u b i cb s p l i n e f h n c t i o n sa r es e l e c t e d 嬲t h e 印p r o x i m a t i o nt os i m u l a t em ed i s t n b u t i o no ft e m p e r a t u r e 6 e l d so fc o m p o s i t e sw i t hr e c t a n g u l a rp a r t i c l eb yu s i n gs p l i n es u b d o m a i l lc o l l o c a t i o n m e t h o d c o m p u t a t i o n a lr e s u l t ss h o wg o o da 铲e e m e n tw i t ht 1 1 0 s ef r o mf e m d u e t 0 t h er e s t r i c t i o no fc o m p u t a t i o n a lc o m p l i c a t i o n锄dp r e c i s i o 玛w r mb o u n d a r y c o l l o c a t i o nm e t h o dc a no n l yb eu s e dt os i m u l a t et e m p e r a t l l r e6 e l d so fs i n 9 1 e - p a n i c l e m o d e l ，筋f o rm ec a s eo fs o m em o r ec o m p l i c a t e dp a r t i c l eg e o m e t 叫s h a p ei t i sv e r y i i 武汉理t 大学博十学位论文 h a r dt 0o b t a i ns u 伍c i e n ta p p r o x i m a t i o ns 0 1 u t i o n s t h u s ，b e mi sa d o p t e dt 0 锄a l y z e m et h e m l a lc o n d u c t i o np r o b l 锄o fc o m p o s i t e sw i t hp a r t i c l eo f 抽i t r a r ) rg e o m e t 哆 c o m p u t a t i o n a la l g o r i t h m so fb e m f o rb o t hm u l t ic o r m e c t e dd o m a i n 锄dc o i n p o s i t e s w i t hp a n i c l eo fa r b i t r a d ，g e o m e t 哕a r ed e r i v e d t l l e s eb e m a 1 9 0 r i t h m sa r eu s e dt o c a l c u l a t et h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n sf o rc o m p o s i t e sw i t hb o t l ls i n g l e - p a n i c l em o d e l a i l d m u l t i p a n i c l e sm o d e l s n u m e r i c a lr e s u l t s s h o w t h a t ，c o n s i d e r i n gd i f r e r e n t i n t e 舭i a lc o n d i t i o n s ，b e mc 锄w e l ls i m u l a t em et e m p e r a t u r cd i s t r i b u t i o n so f c o m p o s i t e sw i t hp a r t i c l eo f 抽i 仃a 巧g e o m e 仃yw i t hl l i g l lc o m p u t a t i o n a lp r e c i s i o n o nm eo t h e rh a l l d ，t h ec 0 t n p u t a t i o n a lf 0 肌u l af o rt h ep r e d i c t i o no ft h ee 伍：c t i v e m 锄a lc o n d u c t i v i t yo fp a n i c u l a t e c o m p o s i t e s i se s t a b l i s h e d t h ei n t e 孕a l f o 珊u l a t i o n so ft e m p e r a t u r ea l o n gi n t e r f k eb e t w e e nc o n s t i t u e i l t sa r ed e r i v e df o r s i n g l e - p a r t i c l em o d e l s s e l f c o n s i s t e n ti t e r a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt od e t 锄i n et h e e 丘t i v et h e 砷a lc o n d u c t i v i t yo fc o m p o s i t ew i t hp a r t i c l eo fd i f r e r e n t g e o m e t r y c o m p u t a t i o n a lf 0 肌u l af o rt h ep r e d i c t i o no fe f r e c t i v ec o n d u c t i v i t yf o rm u l t i - p a n i c l e m o d e li sa l s 0e s t a b l i s h e d b o t hp r e d i c t i o nf o m u l a r eu s e dt oi n v e s t i g a t et h e i n n u c eo fp a r t i c l eg e o m e n ys h 叩e s ，v o l u m e 丘a c t i o 璐a n di n t e r f a c i a lc o n d i t i o n so n t h ee f r e c t i v et h e m l a lc o n d u c t i v i t y ，c o m p u t a t i o n a ir e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t l lm o s eo f h a u s s e l m 锄r e s u l t ss h o wt h a tf o rp a r t i c l ew i t hl o w c o n d u c t i v i t y ， e 妇f e c t i v e c o n d u c t i v i t i e so b t a i n e d 丘d mm u l t i _ p a r t i c l em o d e la r ch i g i l c rt h 觚t h o s e 丘0 m s e l f - c o n s i s t e n tm e t h o db u tv e 巧c l o s et 0m er e s u l t so fh a s s e l m 锄sd i l u t e 印p r o x i m a t i o n f 0 rc o m p o s i t e sw i t hp a n i c l eo fd i f i 研e n t 蕊p e c tr a t i o s ，t h ev a l u eo f e f r e c t i v ec o n d u c t i v i t ya l o n gm em 勾o ra x i si sh i g l e rt h a nt h a ta l o n gm i n o ra x i s f o r d i f r e r e n tp 叭i c l eg e o m e t 巧w i t hi d e n t i c a ls i z e ，t h ep a n i c l eg e o m e t r yh 雒c e r t a i ne f r e c t o nm ee f r e c t i v ec o n d u c t i v i 劬t l l ep r e d i c t i o nv a l u ef o rt 1 1 ec a s eo fc i r c l ei sh i 曲e rt h 锄 m ec 嬲eo f s q u a r c ，趾de l l i p s ei sh i 曲e rt h a nr e c t a n g l e k e yw o r d s ：m e s o - m e c h a i l i c s ，c o m p o s i t em a t e r i a l s ，w 萌曲t e dr e s i d u a lm e t h o d ， b o u n d 哪e 1 e m e n tm e t h o d ，e 脏c t i v et l l e 肌a lc o n d u c t i v i t y i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权 保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：筮馥导师签名日期：秒手，2 卜 武汉理工大学博士学位论文 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 复合材料是以一种材料为基体，另一种或多种材料为增强相组合而成的材 料。由于复合材料可以发挥各种材料的优点，克服单一材料的缺陷，具有重量 轻、强度高、易成型、耐腐蚀等特点，因此在过去四十多年中，复合材料在研 究和应用方面都取得了突飞猛进的发展，现在已经大量的生产并在各种领域( 如 航空航天、汽车、电子等) 得到了广泛的应用，成为现代结构设计和生产不可 或缺的材料【l j 。 由于很多应用领域都涉及复合材料的热传导问题【2 1 ，如飞机发动机的气缸、 大功率发电机、电子设备等散热片设计问题，还有大型高速电子计算机的设计 中，关于c p u 电路板的散热问题是需要考虑的重要问题之一。而复合材料等效 热导率是热结构分析和设计所必需的一个重要物性参数【3 5 】，因此对复合材料等 效热导率的研究对工程应用具有实际的指导意义。 复合材料是一种多相材料，具有复杂的微结构特征，其性能不仅取决于其 组分材料性质，同时也取决于其微观结构特征，如夹杂相的体积分数、分布规 律、夹杂相形状以及界面相的性质等【6 】。由于复合材料的宏观性能与其微观结构 密切相关，因此复合材料的一个重要特点就是可设计性。依据科学的理论分析， 通过合理的加工生产工艺改变材料的组分和分布形态，可以获得具有各种性能 的复合材料以满足不同工程的需要。因此如何利用细观力学的理论及方法预测 和分析复合材料的等效性能、揭示其微观结构与其等效性能之间的关系是十分 重要的研究课题【7 8 】。对这一问题的研究，可以为材料设计、材料性能评价和材 料安全性能分析与评估选材提供理论依据和分析方法，进而实现对复合材料进 行优化设计的目的。 目前，传统的细观力学理论的研究已经比较成熟，但这些理论的模型是针 对一些简单或理想问题，有一定的局限性【7 9 1 。已有的研究表明夹杂相的几何形 状对颗粒复合材料等效性能也有一定的影响【l 仉1 2 】，而传统的细观力学模型仅限 于对典型夹杂形状如球形或椭球形颗粒复合材料的求解，对其它夹杂形状如多 边形及任意形状夹杂的颗粒复合材料等效性能的研究较少，而不规则形状夹杂 复合材料也是工程实际应用中绝大部分颗粒复合材料的真实情形。对于这一方 武汉理工大学博士学位论文 面研究的困难主要有以下两点：一是对于不规则夹杂的形状描述比较困难，在 数学上很难用表达式或者适当的参量对夹杂的几何形状进行统一的表征，另一 个原因是含不规则形状夹杂的颗粒复合材料的场微分控制方程的求解十分困 难。基于以上原因使得夹杂形状对颗粒复合材料的等效性能的影响研究无论是 试验还是理论方面都显得十分薄弱。 此外，复合材料中相界面的结合状态是影响导热系数的一个重要因素。传 统的细观力学模型对复合材料等效热导率的研究大多基于理想界面( p e m c t i n t f a c e ) 情形，普遍认为接触面两侧保持同一温度，即假定两层壁面之间保持 了良好的接触，组分界面上温度场和法向热流都连续。实际上，由于任何固体 表面之间的接触都不可能是紧密的，存在一定的空隙，因而存在传递阻力，称 为接触热阻，此时接触面两侧存在温差。在复合材料中非理想界面( i m p e 概t i n t e r f - a c e ) 是客观存在的，并对复合材料的宏观性能有很大影响。在复合材料热 传导问题中，非理想界面是指基体与夹杂间界面上存在界面热阻，越过组分材 料界面，温度出现阶跃，温差与法向热流成一定的比例关系。 关于颗粒复合材料等效热导率的研究虽然是一个比较传统的课题，但是关 于夹杂形状和界面性能等对复合材料等效热导率的影响的理论研究还不完善， 对这一问题的研究仍然是材料学及力学工作者较为关注的课题，并且在不断寻 找更科学、更合理的方法来研究颗粒复合材料微观结构对其等效热导率的影响， 以便更准确、更简单地预测其等效性能，为颗粒复合材料的生产和应用提供科 学依据。 1 2 复合材料等效性能预测的细观力学方法 研究复合材料的细观结构与宏观性能之间的关系是材料科学和力学等多学 科交叉研究领域中的一个重要课题。目前，基于e s h e l b y i 】等效夹杂原理的各种 细观力学方法已较好的解决了非均质材料的热弹性性能和热弹塑性性能问题， 在复合材料传热性、导电性、磁性等其它性能方面也得到了广泛的应用。 h a s h i n 【h 】将细观力学的研究方法可分为三类，即直接解法、变分法和近似方 法。直接解法是通过对细观力学模型求解有定解条件的场方程，得到问题的解 析解。但由于问题的复杂性，可得到解析解的细观力学问题微乎其微，因而此 方法发展缓慢。变分法主要应用于弹性性能的研究，应用势能最小原理和最小 余能原理得到复合材料各种模量上、下界的估计式。 目前，对颗粒复合材料等效性能进行定量预测应用较多的细观力学方法是 2 武汉理工人学博士学位论文 近似方法。预测复合材料的宏观物理性质需要细观尺度上相材料物理量的信息 ( 如应力、应变或温度) ，但对于具有复杂几何结构的微结构，这种细观尺度上 量的求解非常困难，往往需要通过模型简化来获得这些量的近似解，以预测复 合材料宏观物理性质的近似值。现有的近似方法有多种，其中具有一定理论基 础的有：稀疏近似模型( 图1 1 a ) 、自洽模型( 图1 2 b ) 、广义自洽模型( 图1 3 c ) 、 微分方法、m o r i 1 知a l 【a 方法等。 ( 口) 稀疏近似模型( b ) 自洽模型( c ) 广义自洽模型 图1 1 ：常用细观力学模型示意图 稀疏近似模型：以e s h e l b y l 3 】等效夹杂理论为依据，对具有颗粒弥散细观结 构的非均质材料的细观结构一宏观性能进行分析。其细观力学模型为稀疏的任意 分布的夹杂处于均质的基体材料中，各夹杂间无相互影响。 自洽模型：5 0 年代，h e r s h e ，”】和k r 6 n e r 【1 6 】先后提出自洽方法( s e l f c o n s i s t e n t m e t h o d ) 研究多晶体材料的弹性性能，由于多晶体材料是由数目庞大的不同取 向的单晶晶粒集合而成，他们认为可以把多晶体中的单晶颗粒作为嵌入具有多 晶体宏观力学性能的无限大均匀介质中的一个夹杂，然后利用e s h e l b y 等效方法 以及相应的取向平均过程求得单晶力学性能与多晶体宏观力学性能之间的隐式 关系。6 0 年代中期，h i l l 【1 7 】和b u d i a n s k v 【幅1 9 】将上述方法成功地推广到复合材料 的等效弹性模量的预测中来。需要指出的是，尽管自洽方法能成功的应用于多 晶体材料的宏观性能的研究，但在将其用于多相颗粒复合材料的等效模量的计 算时却存在缺陷。自洽方法的细观力学模型为：将单一夹杂嵌入均匀等效介质 中，夹杂周围等效介质的材料性质与复合材料的等效性质相同。 广义自洽模型：由于自洽模型仅考虑了单夹杂和周围等效介质之间的作用， 因而当夹杂体积分数或裂纹密度较大时，采用这个模型预测的等效弹性模量过 高( 含硬夹杂) 或过低( 含软夹杂) 。特别是当夹杂和基体的物理常数相差较大 时，这一偏差更为显著。为了克服这一弱点，k e m e r 【2 0 引】提出了广义自洽模型， 武汉理工大学博士学位论文 考虑了夹杂、基体壳和等效介质间的相互作用，相对自洽模型放宽了相之间的 界面约束，但它同时也带来了解题的难度。广义自洽方法的细观力学模型为： 被基体壳所包围的夹杂嵌入等效介质中。 微分方法：1 9 5 2 年l 沁s c o e 【2 2 】在研究悬浊液的性质时提出了微分等效介质的 概念。7 0 年代b o u c h 一2 3 】与m c l a u 曲l i n 【2 4 】等人发展了这一方法，并将其应用于 研究复合材料的等效弹性模量。与自洽理论不同，微分法很难用几何模型进行 定量描述，但可以给出一个定性的描述，即复合材料的等效弹性模量是随夹杂 的增减而变化的。这一方法是在稀疏理论和自洽方法的启发下，在基体中逐步 加入少量的夹杂，每次加入夹杂后统计均匀的复合材料的性质都可以根据稀疏 理论得到，最终可得到所要求的复合材料的性能，并由此得出的一系列的微分 方程，通过过求解这些微分方程，就可以得到复合材料的各种模量和集中因子 的估计式。这一方法适用于夹杂体积分数较低的情况。 m o r i 一1 h a l ( a 方法( 平均场方法，m t 方法) ：1 9 7 3 年m o r i 和1 h a l ( a 【2 5 】从平 均应力的概念出发对非均质材料的等效弹性模量提出了一个近似计算方法。由 于这个方法运算过程简单，同时在一定程度上计及了复合材料中夹杂相之间的 相互作用，近年来得到广泛的应用。m t 方法不同于自洽和广义自洽等细观力学 方法，该方法不从物理上进行简化，而是从数学上进行简化。由于m t 方法概 念明确、方法简便，因而在细观力学研究中应用很广。但这一方法中的e s h e l b y 张量s 是针对嵌入无限大基体的单个夹杂建立的，而对于具有有限夹杂体积含量 的复合材料来说，包围每一个夹杂的，实际上是基体与其它夹杂的混合体，因 此m o r i t a n a l ( a 方法计及夹杂相之间的相互作用较弱。 最初采用细观力学模型研究复合材料的等效热导率的是m a ) 【w e l l 和l 0 r e n z 【2 6 】 等人，他们研究了夹杂为随机分布的球形或单向排列的纤维复合材料的热传导 问题。最初的这些研究工作是建立在假设夹杂在基体中的分布足够稀疏的基础 上，在这种假设下，每个夹杂周围的温度场都不会受到周围其它夹杂的温度场 的影响，从而大大简化了问题。后来发展为考虑存在界面热阻和夹杂为椭球状 等情形2 7 2 8 1 。h i l l 【1 7 1 和h 嬲h i n 【2 9 ，3 0 1 将自洽和广义自洽细观力学近似方法引入该类 问题的研究。通过自洽理论模型，对原复合材料进行均匀介质等效，将央杂间 的相互热作用的影响考虑进去。广义自洽方法是自洽方法求解非均质材料等效 热性能的进一步发展，它的思想与自洽方法相似，将带有基体壳的夹杂嵌入等 效介质中，这在一定程度上考虑了夹杂与基体问的相互作用【2 ”。这些早期的 工作在处理夹杂含量较高、需要考虑夹杂间的相互影响或不规则夹杂形状时遇 到困难。目前，处理这一问题有两种不同的方法：l 、研究规则介质，即考虑复合 4 武汉理 二大学博士学位论文 材料中夹杂的排列具有周期性；2 、设法分析两个或更多任意分布的夹杂间的相 互影响。 1 3 复合材料等效性能预测的计算细观力学方法 由于复杂结构热传导问题的解析解很难找到，解析法局限于典型的规则形 状导热体，对于几何形状不规则的热导体，尤其是对于任意夹杂形状的颗粒增 强复合材料往往无能为力，因此在工程实际中，往往转向寻求具有一定精度的 近似计算方法，目前大都趋向于采用数值解法如有限差分法及有限单元法等解 决问题。 1 3 1 有限元方法 将有限元计算与细观力学相结合求解复合材料的细观力学行为也随7 0 年代 细观力学研究方法和计算机技术的进步而迅速发展起来的【7 3 2 1 。有限元计算细观 力学应用于复合材料力学行为数值模拟的本质是将有限元计算技术与细观力学 和材料学相结合，根据复合材料细观结构建立代表性细观计算体元 ( r 印r e s e n t a t i v ev o l u m ee 1 e m e n t ，简称r ：v e ) 的几何模型、界面条件和边界条件， 求解受载条件下含夹杂的代表体元的边值问题，从而建立起细观局部场量与宏 观平均场量间的关系，最终获得复合材料的宏观力学响应。有限元计算细观力学 的最大优点在于它能够获得纤维( 或颗粒) 直径尺度下完整的场量来反映复合材 料宏观响应特征，并且能够分析宏观等效性能对细观结构的依赖关系，例如：能 定量描述诸如纤维( 或颗粒) 的形状、尺寸、分布和体积含量及界面状况等这些细 观结构参量对宏观性能的影响p z l 。 最早h i l l 【3 3 】提出了代表体元法，通过假设复合材料代表性微观结构建立有限 元模型，并施加适当的边界条件求解材料的等效性能。近二十年来，随计算机 技术及有限元技术的迅速发展，代表体元法在许多领域得到了广泛应用。 在所采用的代表体元模型中，主要有二维平面模型、三维模型和轴对称模 型。由于二维模型建模方法相对简单，而且容易考虑较多的因素的影响，因此 应用相对较为广泛。本课题组翟鹏程教授等p 4 35 】根据金属陶瓷复合材料试样的扫 描电镜( s e m ) 微观结构图片建立了有限元模型，并且成功地预测了s i c 颗粒 增强a l 基复合材料的等效弹塑应力应变特征曲线；s o p p a 3 6 】依据a 1 2 0 3 增强 6 0 6 1 a l 基复合材料的s e m 图片构建有限元模型，分析残余热应力对颗粒复合材 武汉理工大学博士学位论文 料变形和损伤的影响；a 趼a w a l 【了7 】用真实二维s e m 图片建立模型，分析颗粒分 布对裂纹扩展路径的影响；b o r b 6 l y 等1 3 8 】通过分析s e m 图片中颗粒的分布和方 向性，使用一个二维多夹杂模型研究在单轴拉伸荷载作用下颗粒分布的影响； s c h m a u d e r l 3 9 1 ，l e e 【加1 ，m i s l l i l a e v s k ，4 1 1 ，c h e n 【4 2 j 等用虚拟微观结构模型分析了不同 因素对颗粒复合材料等效力学性能的影响。在他们的模型中假设夹杂的形状为 简单的圆形、椭圆形或四边形，通过随机数生成器将夹杂随机的安放于基体材 料中。z h 锄g 【4 3 8 3 】等用虚拟微观结构模型分析了夹杂体积含量、形状和界面热阻 等不同因素对颗粒复合材料等效热导率的影响。 在三维模型方面，通常将夹杂的形状假设为球体或六面体。s p o w a n 等【4 4 】 选用包含最多6 4 个球形夹杂的单胞模型模拟颗粒增强树脂的弹性力学行为。 w a t t 等【4 5 j 建立包含1 0 个夹杂的单胞模型研究颗粒复合材料中夹杂分布的影响。 a 留a w a l 等【4 6 j 构建典型的单胞模型模拟连续复合材料残余应力的分布情况。h a i l 等【4 7 】采用三维多夹杂单胞模型研究颗粒复合材料的力学性能和裂纹产生情况。 由于三维结构相对困难，模型的规模较大而且解的收敛性不易控制，计算成本 较高，所以研究进展较慢，应用不多。另外，z l l a i l g 【4 8 】，b a 0 【4 9 】，l i 【5 0 】等通过假设 夹杂均匀周期性分布于复合材料中，建立轴对称单胞模型，分析了不同因素对 颗粒复合材料等效性能的影响。 代表体元法可以考虑比较复杂的微结构形态和不同界面状况对宏观力学性 能的影响，是一种非常有效的数值计算方法。但是代表性体积单元的选择直接 决定了最终的计算精度和计算效率，对于非常复杂的微结构和非线性材料，选 取合适的代表体元是非常困难的，有时甚至是不可能的。由于复合材料中的夹 杂相具有不同的尺寸、形状、性质、体积比和空间分布，因此很难选择合理的 有限元网格以精确反映各种微结构。而且，复合材料宏观等效力学特性的数值 模拟所需要的计算量也是比较大的。而大量的研究工作【4 4 4 5 副巧3 】已经证明，微结 构空间分布的差别对复合材料的宏观等效力学特性有很大的影响。因此，基于 代表体元的各种有限元数值计算方法的适用范围不可避免地受到限制。 1 3 2 边界元方法 用边界积分方程法解微分方程的思想可以追溯到上世纪初【5 4 1 ，早在1 9 0 5 年 f r e d h o l m 就将边界积分方程应用于弹性力学问题的求解。但是，由于用边界积 分方程求边值问题的解析解极其困难，另外由于它的理论性较强，涉足的人不 多，人们未能认识到它的潜在价值，所以一直没有受到学者的重视。直到1 9 6 7 6 武汉理工大学博士学位论文 年砌z z o 【5 5 】发表了第一篇关于边界积分方法的文章，有关边界积分方程的研究才 开始逐渐引起学者的关注。尤其是到上世纪7 0 年代末随着有限单元法的日趋成 熟及其缺陷的日益明显，人们才开始注意到边界积分方程方法的优点，并将有 限单元法中发展起来的一些离散方法及运算技巧应用于边界积分方程，从而使 边界元方法成为工程分析的一种新的工具。1 9 7 8 年，b r e b b i a 【5 6 】编辑出版了刀l p b d “门妇w 眈聊p 刀f 朋台砌d d 加，e 馏f n p p 船这本著名的边界元法专著，从此，边界元 法这一术语得到了世界同行的公认。在固体力学领域，边界元法已经发展成为 有限元法的一种最重要的补充，在某些领域甚至比有限元法更加有效，因此， 边界元法受到国内外学术界和工程界研究人员的重视，并且随着边界元软件的 发展与推广，逐步在工程中得到大量应用。 与有限元法、有限差分法等其它数值方法相比，边界元法具备以下几个独 特的优点【5 7 - 5 9 】：1 ) 边界元法只需要在边界上离散单元，这大大减少了网格划分的 难度和工作量，求解自由度也大大降低；2 ) 由于离散仅在边界上进行，故误差只 产生在边界上，区域内的物理量仍由解析公式求出，因此边界元法拥有较高的 计算精度，而且边界元法得到的边界位移和面力是同等精度；3 ) 计算域内物理量 时，无需一次全部求得，可根据需要只计算给定点的值，从而避免了不必要的 计算，提高了计算效率；4 ) 边界元法特别适用于处理无限域问题、应力集中等 问题。 对于非均质材料或者是几何形状较为复杂的物体，有学者提出了边界元子 域法【”舯】，将求解区域划分为若干个子域，并对每个子域进行分元离散，组合得 到整体线性代数方程组的系数矩阵是一带状结构，具有一定的稀疏性，不仅能 够提高复杂几何形状物体的计算精度，还能够降低问题的求解规模。对于细长 结构，划分链状子域，利用传递矩阵法求解唧】，还可以极大地节省计算机内存。 由于边晃元方法的突出的优点，将边界元方法与细观力学模型结合起来求 解颗粒复合材料等效力学性能也引起了学者的关注，并取得了一系列的成果， 如清华大学孔凡忠、姚振汉等【5 7 6 1 6 2 j 利用分域法，根据每个夹杂的边界积分方程 的相似性，提出了边界元相似子域法求解颗粒复合材料的宏观力学特性参数； 王海涛【5 8 ，6 3 击5 1 又将边界元快速多级加速算法与相似子域法结合，大大提高了计算 速度；h u 等【6 8 】利用边界元子域法分析了含有随机正态分布圆孔板材的宏观等 效模量与圆孔体积比之间的关系；a c h e n b a c h 【6 9 7 ，g u l r a j a n i 及p a n 【7 3 】等建立了 含界面层的胞元模型，利用边界元法研究界面性能对纤维、夹杂和基体应力分 布的影响，并对正六边形排列的纤维复合材料进行了数值模拟；o s h i m a 等【7 4 】利 用边界元法对含有界面层的方板胞元模型进行了横观等效模量的计算。但是， 7 武汉理工大学博士学位论文 对于这种含有界面层的胞元模型，界面层的厚度发生变化或者界面层厚度不均 匀时，利用传统的边界元法难以处理。为此，l i u 【7 5 。7 9 】提出了一种新的边界元数 值计算方案，对含有“纤维一界面层基体 三相结构的方板胞元和柱状胞元模型 进行了计算，分析了界面层的性质和厚度对相应胞元横观等效模量的影响，并 对含有多个胞元模型的方板进行了数值模拟。此外，k 锄m s b 【8 0 】和0 k a d a 【8 1 】等还 基于边界元推导了纤维增强复合材料等效性能预测的胞元模型的均匀化算法。 m e n g 等p 2 】采用含弥散分布颗粒复合材料模型，用边界元方法分析了夹杂尺寸对 其断裂力学性能的影响。 边界元方法在热传导问题研究中也得到了广泛的应用【8 4 】。如p a r k 【8 5 】等采用 边界元方法研究了具有复杂三维结构的热传导问题；b i a l e c k i 【8 6 1 s u t r a d h a 一8 7 】和 m e r a 【韶】等研究了非均质材料温度场问题的边界元求解方法；m a 【8 9 】分析了纤维增 强复合材料的瞬态热传导问题。但是目前笔者还没有发现有关采用边界元方法 与细观力学模型相结合求解颗粒复合材料等效热导率的相关报道。 1 3 3 加权残值法 加权残值法是求解微分方程近似解的一种数值计算方法，该方法求解力学 问题具有原理的统一性和方法的一致收敛性等特点，且原理简单，应用方便， 准备工作量少，程序简短，亦可用于求解复杂的非线性问题【蚋2 1 。 用这种方法解微分方程时，首先要假设相应的试函数形式作为微分方程的 近似解，在近似解中试函数是给定的，但参数式是未知的。将试函数带入原控 制微分方程或边界条件时，往往不能满足方程或边界条件，便产生误差残 值( 包括内部残值或边界残值) 。于是组成一个残值在平均意义之下，更确切 地说，是选用合适的权函数去乘残值，然后在相应的域内进行积分的意义之下 使它等于零的一系列代数方程组，由此确定未知函数，获得原问题的近似解凹】。 在加权残值法计算中，试函数的选择对问题的求解至关重要，目前被广泛采用 的试函数形式有二十多种【矧，如双三角函数、多项式幂级数、双调和函数、正 交多项式等。 在经典的加权残值法中，试函数往往是定义在整个求解域上，当求解域比 较复杂时，求解结果的精度往往较差【9 1 1 。如作者本人【9 3 ，9 4 】曾采用l a p l a c e 方程的 极坐标系下的基本解系的线性组合作为试函数，求解含单夹杂区域的温度场问 题，当夹杂为多边形时，在角点处温度场求解的结果往往出现较