（固体力学专业论文）随机共振在数字信号处理中的应用.pdf

摘要 y o 3 年来在不同科学领域引起广泛关注的课题之一，利用随机 个新的方法和理论。从信号处理的角度来讲，随机共振是 在非线性系统信号处理中，输入为强噪声背景下的微弱信号，系统输出以适宜的 物理量来衡量，如信噪比，通过调节输入噪声强度或系统参数，都可使得系统输 出信噪比达到了个最大值，此时，称信号、噪声和非线性系统所产生的协同现象 、 为随机共振。1 本文主要研究随机共振在数字信号传输中的应用，并未采用增加噪声强度的 方法，而是采用了调节系统参数的方法来提高信噪比或信道容量。通过朗之万 ( l a n g e v i n ) 方程，本文详细研究了双稳态系统的随机共振特性，得出系统稳态 输出的概率密度分布函数及其数字特征。我们着重讨论了参数诱导的随机共振在 二进制基带脉冲幅值调制( p a m ) 信号传输中的应用，详细推导出了衡量系统传 输性能的误码枣和信道容量公式，并利用仿真模型进行了数值模拟，砰论分析干 仿真结果非常符合。 此外，本文还初步探讨了参数诱导的随机芪振在多进制数字调制信号传输中 的应用，从不同的观点解释随机共振形成的机理，充分认识到非线性系统单势井 的信弓处理能j ，并给出多进制信号误码率的理论公式，仿真实验表明这个研究 方向具有很 关键词 - t - o 随机共振信弓传输信道容量误码二笨薯 a b s t r a c t s t o c h a s t i cr c s o n a n c eh a sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o n si nm a n yf i e l d so fs c i e n c ei n r e c e n td e c a d e s ，b u ti ti san e wm e t h o da n dt h e o r yi ns i g n a lp r o c e s s i n g i nc o n t e x to f s i g n a lp r o c e s s i n g ，f o rs i g n a lt r a n s m i s s i o nb y n o n l i n e a rs y s t e m s ，s t o c h a s t i cr e s o n a n c e i sc o m m o n l yd e s c r i b e da sa ni n c r e a s ei nt h es i g n a l t o n o i s er a t i o ( s n r ) a tt h eo u t p u t ， w h i c hi so b m i n e d t h r o u g h a ni n c r e a s eo f n o i s el e v e lo rt u n i n gs y s t e m p a r a m e t e r s w em a i n l yr e s e a r c ht h ea p p l i c a t i o no ft h es t o c h a s t i cr c s o n a n c ei nt h ed i g i t a l s i g n a lt r a n s m i s s i o n ，w h e r et h ea d o p t e dm e t h o di s n o ti n c r e a s i n gn o i s ed e n s i t y ，b u t t u n i n gt h es y s t e mp a r a m e t e r s t oe n h a n c et h es n ro rc h a n n e lc a p a c i t y f r o ml a n g e v i n e q u a t i o n ，t h es t o c h a s t i cr e s o n a n c ec h a r a c t e r i s t i c so f b i s t a b l es y s t e mw e r ei n v e s t i g a t e d ， i n c l u d i n g t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o nm u do t h e rc h a r a c t e rn v 豇m b e r s w ed i s c u s s e d d e t a i l e d l y t h e a p p l i c a t i o n o f p a r a m e t e r - i n d u c e d s t o c h a s t i cr e s o n a n c ei n b i n a r y b a s e b a n d p u l s ea m p l i t u d em o d u l a t e d ( p a m ) s i g n a lt r a n s m i s s i o n t h es y s t e m s m e a s u r e m e n t s ：b i te r r o rr a t ea n dc h a n n e lc a p a c i t yw e r ed e d u c e d t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o nd e m o n s t r a t e do a rt h e o r e t i c a la n a l y s e s i n a d d i t i o n ，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ea p p l i c a t i o n o ft h e p a r a m e t e r - i n d u c e d s t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nt h e m a r y p a ms i g n a l t r a n s m i s s i o n ，a n de x p l a i n s t h e m e c h a n i s mt os t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nan e wv i e w w ef o u n dt h a tt h es i n g l ew e l li s a b l et od i s t i n g u i s hd i f f e r e n ts i g n a ll e v e l s ，b a s e do nw h i c ht h et h e o r yf o rm a r yp a m s i g n a l t r a n s m i s s i o n v i a p a r a m e t e r i n d u c e d s t o c h a s t i cr e s o n a n c ew a s b r i e f l y d e v e l o p e d t h ee r r o rc o d er a t eo fm - a r yp a ms i g n a lw a so b t a i n e d t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h i sr e s e a r c hd i r e c t i o nh a sag o o dp r o j e c ti nc o m m u n i c a t i o n k e y w o r d s ：p a r a m e t e r - i n d u c es t o c h a s t i c r e s o n a n c e ，s i g n a l t r a n s m i s s i o n ， c h a n n e lc a p a c i t y , e r r o rc o d er a t e 周体力学随机共振与数字信号处理孙彦龙 1 1 引言 第一章绪论 7 0 年代起，研究随机力对非线性系统的作用也成了非线性科学发展的一个重 要前沿 1 7 】。随机力并不仅仅对于原确定性方程产生微小的影响，有时在一定 的非线性条件下，能够对于系统的演化起到重要的决定作用。近二十年研究发现 【1 - 5 8 表明，系统的随机干扰并不总是对系统产生破坏作用，在某些条件下随机 干扰对于规范系统输出的秩序上能够起到建设性作用。这一非确定性( 非自治) 系统的研究涉及到了随机力学、统计物理和生物等非线性学科。 对于一个非线性系统，其输入为信号加随机干扰( 噪声) ，我们慢慢增加噪 声的强度，我们定义信号和噪声的功率比为信噪比，一般认为系统的输出也趋向 于恶化信噪比将更低，输入信号也将更加不易检测和估计，但是在某些噪声 强度区域里，当噪声增加时不仅没有减小信噪比，反而出现了信号、噪声和非线 性系统的协同现象，输出信噪比也出现了一个峰值，即存在一个最优的噪卢强度， 使得系统输出信噪比最大，然后随着噪声强度的继续增加，噪声逐渐控制系统输 出，信噪比也随之减小了。这种现象和力学中的共振现象非常相似，力学中的共 振现象为：系统存在一个固定频率，输入信号频率等于系统的固定频率时，系统 输出最强，高于或低于这一特征频率时系统响应较弱。两者不同之处在于系统输 入的随机性，因此由噪声引起的信号、非线性系统协同现象称为随机共振。有关 随机共振的理论以及它在众多科学领域中的应用不断得到完善与发展，它涉及到 大量的系统模型，如双或多稳态系统【2 1 8 ，4 5 ，5 1 】，阀值系统 3 2 ，4 3 ，4 7 】，单井或 可激系统 4 5 】，无阀值检测器，混沌系统 2 4 ，2 7 ，2 8 ，神经模型 1 8 - 1 9 ，2 5 ，3 7 4 2 ，5 1 5 5 】 等生物模型甚至乘性噪声的线性系统等；并涉及到几乎所有的自然科学的研究领 域，主要有信息科学，气象学1 1 】，化学，光学【4 ，量子物理学 3 6 】，粒子加速器， 固体物理，电子电器f 2 4 ，】，神经科学，生物学和心理学，医学图象处理，甚至社 会学等等 基于噪声在系统输出中的积极“有序”作用，随机共振将随机力学和信号处 理联系在一起，随机共振在信号处理中的应用成为国内外许多研究者的探索热点 第一章绪论 问题 6 1 7 ，3 4 3 8 ，5 6 5 8 。随机共振为弱信号处理提供了一种新的思路，其在信号 处理中的应用对于信息科学有重要的意义。众所周知，信号处理几乎涉及到所有 的工程技术领域，这些信号包括电的、磁的、机械的、热的、声的、光的及生物 体的等各个方面，如何从较强取真正的信号或信号特征并将其应用于工程实际中 是信号处理的主要任务。 我们主要研究随机共振在数字信号传输中应用。信息的整个传输过程表现为 含信息信号的产生、信号调制、信号传播、信号检测，信号在信道中传播时，会 受到各种干扰，使到达接收方的信号不再是单纯的有用信号，而是原始信号与干 扰信号( 噪声) 的叠加。高品质的信息传输要求具有准确性、安全性、高效性等 特点，准确性是信息传输中首要的且必须满足的特性，而干扰会降低信息传输的 准确性。因此，如佃提高信息传输系统的抗十扰性是信号传输与处理中的重要问 题。信号检测理论就是为了解决这一问题而建立发展起来的，广义的信号检测理 论包含两类问题 8 5 5 】：( 1 ) 检测信号，即根据接收到的混合波形( 信号加噪 声，或纯噪声) ，作出有无信号存在的判决。( 2 ) 参量估计，即在已检测出有信 号的基础上，对信号的某些参量作出估计。 为了能存噪声f ：扰条件下可靠地传输信息，并从噪声干扰背景中提取出有用 信号，长期以来，已经创立了许多抗干扰接收方法，它们都是依据信号与干扰在 时域或频域特性上的某些差别，设法抑制干扰而顺利地接收信号。在这些传统的 检测理论中，噪声被视为有害的消极成份，它只对有用信号起破坏作用。因此， 这些理论总是力图尽量抑制噪声强度，来达到提高信噪比的目的。 用随机共振理论进行信号处理则是一个新的方法和途径 5 7 ，5 8 1 ，在此噪声扮 演了。个与的述截然相反的角色。在一个有微弱输入信号的随机共振系统中，低 噪声并不能使输 h 信号达到最佳状态，将噪声强度调节到一定值反而能够提高信 噪比，从而更容易检测到并还原信号。 随机共振( s r ) 是近十年来在不同科学领域引起广泛关注的课题之一f 1 5 4 ， 5 6 5 8 1 。从信号处理的角度来讲，随机共振是在非线性系统信号传输中，输入为 蛆噪声背景下的微弱信号，系统输出以适宜的物理量来衡量，如信噪比、信号i 蝻 值比、驻留时问等，通过调节输入噪声强度或系统参数，都可以使得系统输出达 到个最大值，此时，我们称信息、噪声和非线性随机系统产生的协同现象为随 2 固体力学随机共振与数字信号处理 孙彦龙 机共振。随机共振系统必须具备三个基本要素 3 9 】：( i ) 能量势垒或是某种形式 的阙值；( i i ) 微弱的连续输入，例如一个周期正弦信号：( i i i ) 噪声源( 无论是 系统内部的还是输入信号携带的都可以) 。 1 2 随机共振问题的提出与研究理论 随机共振的思想最初是由b e n z i 和他的合作者们在一篇重要的论文中提出的 1 ，在这篇论文中他们对周期性出现的古气象冰川问题作了研究。他们发现， 在过去的7 0 万年中，地球的冰川期和暖气候期以大约l o 万年为一周期交替出现， 同时，地球绕太阳转动的偏心率的变化周期也大约为1 0 万年，这一时间尺度上 的近似性使他们联想到太阳对地球施加了周期变化的信号。在这个认识的基础 上，他们利用地球本身的非线性条件，以及在这时期内地球所受的随机力作用， 建立了一个随机共振模型，研究它们的协同特性，以此来解释上述的气候现象。 在b e n z i 的模型中，地球气候由一个双势阱势函数表示，其中一个极小值代 表地球被大面积冰川覆盖时的气温。地球对其轨道离心率的微小调节由一个微弱 的周期力表示，短期的气候波动，如每年太阳辐射量的波动，是由高斯噪声来模 拟的。按照b e n z i 的理论，当噪声强度被调节到满足某一条件时，则与其同步发 生的气候在寒冷与温暖两种情况之间的跳跃行为，将显著增强地球气候对于由于 调节离心率而造成的微弱刺激的反应 1 。 第一个证实随机共振现象的实验方法是由f a u v e 和h e m o t 在研究一个交流 驱动施密特触发器中噪声对于光谱线依赖性时得到的 2 。不久之后，著名的绝 热与完全非绝热状态动力学理论被提出 3 - 4 ，而且，线性响应的近似描述也经 常被引用来阐明随机共振 1 2 。厦m c n a m a r a , 尼r o y 与丘w i e s e n ，：e j d 于1 9 8 8 年 在光学系统( 双向环形氦氖激光器) 证实随机共振现象以来 3 ，有关随机共振的 理论以及它在众多科学领域中的应用不断得到完善和发展，如信息科学、气象学、 化学、光学、量子物理学、粒子加速器、固体物理、电子电器、神经科学、生物 学和医学图像处理，并建立了各种随机共振的系统模型，如双或多稳态系统 5 一1 0 、阙值系统 2 ，1 6 ，2 6 、单阱或可激系统 2 2 、无阚值检测器 4 0 、混沌 系统 1 5 、神经模型 1 1 等。 下面对出现的主要理论模型作一个概述。 第一章绪论 ( 1 ) 双阱随机共振( d o u b l e w e l ls r ) 【1 一l o 双阱模型是讨论最早，也是最常见的一种模型。它经常用以下的力学分析来 描述。即考虑一颗粒子，在一个具有双稳态势能的系统中运动过程。这颗粒子受 到一周期性策动力，随机噪声和粘性摩擦力的约束作用。如果不计惯性力，则其 运动满足以下l a n g e v i n 方程： x 。：一掣+ 占s m ( ：纠) + 善( f ) = 一一+ 占研 + c l f l a x 这里x 是粒子的位置，而势能u ( x ) 一般为四次多项式，噪声孝( f ) 则为高斯白噪声。 周期力f s i n ( m t ) 可以看作是以非对称的方式调节势能，交替地增加原来势能极小 位置处的势能值，经过变换，我们可以得到势函数的变化规律： u ( x ，t ) = u ( x ) + ( 酬w ) c o s ( 耐) 。在其它一些分析模型中，x 并不一定代表位置， 而u ( x ) 也不一定再是势能，但它通常是偶函数。 双阱随机共振对于从物理意义上解释为什么会产生随机共振是十分合适的。 如果没有噪卢，粒子将永远停留在一个阱内。噪声使它能够通过势垒跃迁到另一 个阱内。如果噪声很弱，则这个跃迁会很少发生。而如果噪声很强，则这种跃迁 将十分频繁。只有这个噪声取合适的强度时，跃迁才会与周期信号之间产生同步 效应。 ( 2 ) 两态随机共振( t w o s t a t es r ) 4 这是一个与双阱随机共振十分相似的模型，只是这里为一个离散化情形。系 统只可以存在于两种状态之下。斯密特触发器实验就是这种情形的一个很好的实 例。这种两态模型可以通过研究比例方程来分析： p 。= w 1 p 一一wl p + 这里p 是系统处于“高位”的概率，而p - = l 一只是系统处于“低位”的概率。 眠和缈。则是两种状态之间变迁的比例值。在没有信号情况下，这两个比例值为 常数，并由噪声强度来决定。而如果存在信号，则比例值就成为与时间相关的量。 只要变迁的比例值确定，则这个线性比例方程就可以直接解出。这个模型具 有相当的普遍性，即只要使这些比例值适应于任何被研究的系统。但这种普遍性 有一个代价，就是需要有一些方法来确定这些比例值，尤其是它们如何依赖噪声 固体力学随机共振与数字信号处理 孙彦龙 强度和信号，以便决定随机共振是否可以被预见。而相比之下，在双阱模型中一 旦l a n g e v i n 方程确定，就再也不必去指定什么了。两态模型很好解释了在斯密 特触发器中的绝对压制作用。这是对全部输出能量完全保留的结果，即当信号输 出增加时，噪声输出必定减小。这也是两态模型的一个特征，并常被视为第二种 影响。 ( 3 ) 单阱或可激动力模型( s i n g l e - w e l lo re x c i t a b l ed y n a m i c s ) 2 2 另一种可以产生随机共振现象的是具有一个“休息状态”的可激系统。当输 入的总和把系统推过一个门槛点，它就产生一个输出脉冲，并立即返回到它的休 息状态。从数学上讲，这种类型的动力系统可以写成其它连续的或离散的形式， 包括一个可激完备集。而原本研究可激动力系统中产生随机共振可能性的动机， 直接来自生物学方面应用的考虑。 从中得到的随机共振的特性与双阱或两态模型等是十分相似的。输出噪声函 数的信噪比也显示出了一个较快的升高及一个相对缓慢的下降过程，以及一个与 阱内运动相关的类似限制条件。其中一个不同之处是现在的最佳条件出现于系统 在每次驱动下切换一次的时候。 ( 4 ) 非动力阈值模型( n o n d y n a m i c a lt h r e s h o l dm o d e l ) 4 0 这个模型常被简称为“非动力模型”，尽管这样容易让人误解。在这里人们 认为任一瞬间系统的状态只是信号及噪声输入简单的总和。无论何时这个总和超 过一个固定的某个方向上的门槛值，它就在输出中触发一个窄带脉冲。 ( 5 ) 波动比模型( f l u c t u a t i o nr a t em o d e l ) 2 9 这种随机共振模型假定了一个连续依赖于一些参数的事件比，或者说是输出 的尖峰比。参数被假定为由于信号而随时间变化，但也由于噪声而随机波动。这 个模型由于事件比充分地依赖于状态参数而导致了随机共振。 当比值描述发生变化，就它所必须的随机共振比而言，也会出现一些异常情 况。例如在l a n g e v i n 描述中，快速的环境波动引发了一个时间独立的比值。这 个比值就可以根据相对较慢的变化信号而进行相应的变化。为了理解这一点，可 以想象为在方程中另增加了一个随机关系，而它的波动在某种意义上讲是缓慢 的。这种情形就可以很好地用波动比描述来解释。 ( 6 ) 线性响应理论( l i n e a rr e s p o n s et h e o r y ) 1 2 。3 9 第一章绪论 尽管存在多种不同类型的模型，但它们的随机共振特性却在相当程度上是相 类似的。一种说明这种统一性的理论表达式就是基于线性反应理论。在这种方法 里，我们把一个研究系统想象为一个黑盒子，其内部的动力系统可能是相当的复 杂。我们可以进一步通过引入一个“试验信号”s s i n i 耐) 以及监测可观察的输出 x 的变化蠡来探测这个系统。如果蠡在叮处有一个与占成线性比例关系的频率 成份，这样系统就可以通过一个在输出之间简单成固定比例的敏感度来表征。这 个敏感度可以预测经叠加而成的更复杂的试验信号的反应。这种方法对信号来说 是成线性关系的，但另一方面也通过敏感度函数包含了动力系统的非线性和噪声 的特性。这种方法的一个有意思的方面是，既然人们可以通过实验测量敏感度， 它就提供了预测某给定系统是否会在缺少支配动力系统方程的理论下显示出随 机共振的一种手段。 另外，随机共振进行信号处理还应用在很多地方，例如在生物或神经元方面 的研究，以及在可视化图像处理方面，都具有极强的应用背景，并且发挥了巨大 的作用，为这些方面的研究和应用提供了新的方法。 1 3 随机共振与信号处理 随机共振可以大大提高信噪比的特性，已经通过许多实验和理论的研究。但 一直还没有同实际的应用问题结合起来，事实上，在信号处理，特别是数字信号 处理上，它具有很好的应用前景。这是如下将主要讨论的问题。 随机共振的应用问题不同与一般的滤波问题。它强调的是利用噪声与信号之 问的相互作用关系；它存在参数的选择与控制的问题。这里我们讨论的信号处理 中，系统受到噪声的影响时，噪声应当是非替代性的。也就是晚噪声对信号干扰 是以叠加的方式出现的。而诸如在图象经过风沙，掉色之后出现的破坏中，噪声 完全抹去了原来的信号或图象信息。在这种区域加入噪声是没有什么根掘的，相 反采用滤波的思想才是可行的。另一方面在数字信号的传输过程中出现的噪声却 总是以与原信号的叠加后的形式出现的，此时的信号成分也是一直都是存在的， 但由于噪声的加入使它难以表现出来而已。在这种情况下，根据随机共振的理论 和方法，可以通过人为的加入噪声，以调节噪声的强度，如果在一定的噪声强度 6 固体力学随机共振与数字信号处理 孙彦龙 下，出现随机共振则可以增大此时的信噪比，或者是通过调节系统的参数，使得 系统，噪声和信号达到协同，进而增大信噪比。 根据已经进行的实验与理论的研究，基本上可以认为产生随机共振的条件是 信号、噪声和非线性系统。而且信号可以是周期性或非周期性的。根据数字信号 处理中的特点，信号一般处于高低电压两种状态。所以我们根据这个特点，把讨 论的非线性系统取为双稳态系统。噪声选择为高斯白噪声。这个系统可以由如下 方程表示： x = a x 一戤3 + h ( t ) + r ( t ) ( 1 2 ) 这里口和为系统参数， ( ，) 为输入信号，而r ( t ) 为白噪声，噪声相关函数为 = 2 d 6 ( t ) ，d 为噪声强度。 1 4 研究内容 显然我们这里主要研究输入信号以矩形波h ( f ) 代表的脉冲幅值调制数字信 号，包括二进制以及多进制。这也可以很快得使人想到，对其中跃迁发生时刻以 及以后这个过程的分析，将是这类问题分析的重点。因此，我们主要的研究内容 如下： 1 ：理论分析： 我们通过调节系统本身参数而不是增加信息本身的噪声，而是来达到输出最 大信噪比的目的。首先我们从理论上来讨论产生随机共振的机理。我们主要关心 的是与数字信号处理相关的部分，即在矩形波信号与噪声作用下的随机共振现 象。分析上述过程的时间量阶对决定相应的系统参数及采样频率等都具有重要的 意义。 我们将式( 1 2 ) 表示的非线性动态系统看成加行高斯白噪声广义信道的接 受器，以信息理论的观点，推导出这一非线性信道的各性能测度表达式，即误码 率和信道容量。同时，我们还证明了，在适当的系统响应速度下，这一非线性信 道是对称无记忆信道。 第一章绪论 由于这一非线性信道和以调节系统参数实现随机共振的方法的引入，我们提 出了参教谚争彩魇祝煮攘新理论，并从理论上解释了这个新的随机共振形式发生 机理和产生条件。 值得提出的是，由于信道接受器非线性性质，二进制和多进制信道性能的理 论表达式比传统的线性信道的描述复杂，理论分析和实验都证实我们设计的这种 基于参数诱导的随机共振理论的接受器比较适合二进制数字信号的传输。 为了解决高频随机共振的限制，即绝热近似的假设，在没有信息传输实时性 要求下，我们提出了时间尺度转换方法，具体方法实现步骤在第三章里阐述。通 过这一方法，我们可以在同一信道中传输更高码率的含信息信号，但是同时也使 信道设计更加复杂性并受到仪器的限制。 我们详细推导了集合平均误码概率公式，进一步减小传输错误码的发生概 率，并在仿真实验中得以证实。 2 ：实验分析： 在上述理论分析的基础上，我们用m a t l a b 中s i m u l i n k 仿真工具对方程 ( 1 1 ) 进行数字仿真。 d x ( i t = a x 一，“+ ( ，) + 2 d 善( ，) ( 1 - 3 ) 我们利用m a t l a b 编程来考察系统取不同a n 下稳态解概率分布，并绘制 其分布图，选取适宜的系统响应速度，计算这个信号传输系统的误码率，从而得 到合适的a 芹l l l a ，以达到输出的误码率要求。即找到使误码率最小的、信道容量 达到要求并尽可能大的a n 。仿真实验包括如何产生二进制数字信号，高斯白 噪声的产生，可调系统的建立，以及输出信号的显示，数据( 如传输比特数、误 比特率等) 的存储和分析等工作。同时仿真实验的结果和我们的理论进行比较。 1 5 论文内容结构 本文的内容是这样安排的：第一章绪论主要回顾了经典随机共振概念产生的 历史和发展，以及出现主要理论。提出了经典随机共振存在的问题，并简要介绍 固体力学随机共振与数字信号处理孙彦龙 了本文理论和实验研究内容。 第二章针对系统动态方程( 1 - 2 ) ，求出系统输出的均值、方差和信噪比的理 论公式，同时提出系统响应速度的算法，并指出它的物理意义。 第三章主要研究脉冲幅值调制二进制数字信号传输信道的特性，并对其性能 进行了详细的理论分析，依据理论分析，我们构建了仿真模型，实验结果和理论 是符合的。 第四章将第二、三章的理论进一步推广到多进制的数字信号传输问题。 第五章为本文主要结论。 第三章l a n g e v i n 方程随机共振特性的研究 第二章l a n g e v i n 方程随机共振特性的研究 以下我们将通过分析l a n g e v i n 方程来对随机共振特性作一些研究。 2 1 问题的描述 考虑系统 量= 以一，历3 + h + r ( t ) r ( t ) 是强度为d 的高斯噪声，h 为输入信号( 常数) 。我们的目的是给定输入 信号h ，求出响应“r ) ，并尽可能地提高信噤比。同时由于实际信号是随时问 焚化的，就萤求x ( f ) 跟上信号h 的变化，即希望系统的响应过渡时l 司内信号h 可 以作为一个常数看待。 由于噪声i _ ( ，) 的存在，其解石( r ) 也是随机过程，概率密度满足f p k 方程： 掣o t = 一昙k 腑) 】+ 。学 ( 2 ) o冀dx4 其中c ( x ) = a x 一, w e 3 + h ，此外p ( x ，) 满足自然边界条件： l i m 掣：0 _ o ，1 ，2 ( 3 ) j - + 。0 x ” 我们的任务为选择参数“和d ，在一定的响应速度下，使得系统( 1 ) 的( 稳 态) 输出有尽可能高的信噪比。 为方便起见，这罩先选取口= 1 ，对于a 1 的情况，我将在后面进行讨论。 这样，方程( 2 ) 只和参数、h 、d 有关。令y = 毒，则方程( 2 ) 变为： j qd 掣一号跏f ) 】+ 学 式中： o 固体力学随机共振与数字信号处理 孙彦龙 而) = 砉一卷 击= y 一劢3 + _ 这样系统( 4 ) 只依赖两个参数：互，万。特别注意的是再= 面h 刚好可以视 为输入的信噪比。 2 2 稳态解的概率分布和数字特征 如果随机过程只局限于一定的有限空间，则时间一长，f p k 方程将会趋于一 个唯一的解，这个解称为渐进解，当f p k 方程为自治时，即漂移与扩散项均与时 间t 无关，则这一渐近解就是稳态解。 设稳态解为： p ( y ) 2l i m p ( y ，) 则方程( 4 ) 变为： 熹k ( 咖】= 絮丝vc l v 。 解此方程并利用方程( 3 ) 可得： p ( y ) ：c o e 脒埘= c 。砂 这里，g ( y ) = 一鲁y 4 + 丢y 2 十砂，c o 可由p ( y ) 的归一化条件得到： f ：p ( y ) d x = c o 沥e 砂= c o 巩( i ，万) = 1 c 0 - 慨( 确r ( 5 ) 其中，厶( 互，石) = r ( y d y 1 、均值 由于最后进行信号重现时，将用平均化方法来处理，所以对稳态解均值的分 析是很重要的。 e ( x ) = f s x p ( y ) d x = 白e x e r ( ) d x = c o de 妒“d y = c 。项( i ，再) = 4 - d f , ( i ，石) 从( i ，i ) 第三章l a n g e v i n 方程随机共振特性的研究 = d z ( t ，h ) ( 6 ) 鼽莉，- ) = 糕 2 、方差 e ( x 2 ) = e x z p ( y ) d y = c 0i = x 2 e s ( y ) d x = c o d 西e y 2 e 鼬咖 2 c 0 。慨( 确舭a o s _ 厅h i ) 由此可求得方差： 一砸卜酬2 = 。 勰一勰) = d f 3 ( 一，万)( 7 ) 其中， 万( _ 两2 寿而抚( 一，- ) 厶( 互，_ ) 一_ 2 ( 硎 ( i ，再) =2 e ( y ) d y 3 、信噪比 如果我们用均值来作信号的重构处理，由于均方差雨表示了方程的稳态 解偏离均值e ( x ) 的程度，因此从这个角度出发，在这个问题中，我们可以将 厕视为干扰信号还原效果的破坏因素，即通常意义上的t r 噪声”，则型 - r j 以作为信噪比的定义，它也决定了相对误差。由( 6 、7 ) 可得： 梨：掣：f鲤坠兰领(一1，)4d 一= 2 一= ；= = = 一= ；= = = = = = = = = = = = = = = = = 一= ，i n lih) ( x ) 万( i ，万) ( i ，再) 厶( 石，万) 一z 2 ( i ，万) 。”。 、 于输入信噪比为阜4 1 ) = 网，所以系统的增益为： 月( i ，万) ：掣( 9 ) i h l 由于输入的调频信号不断在变化，而噪声强度相对来说较为稳定，这位得输 周体力学艟机共振与数字信号处理孙彦龙 入信噪比罔也在发生变化，所以系统的增益r ( i ，再) 并非一个定值。一般来说， 我们需要选择参数五，使得： k ( 一) 2 去r 函，一h ) d h = m a ) 【 ( 1o ) 这里口是事先给定的最大输入信噪比。当输入为微弱信号时，口 0 ，否 则稳态解将不成立。对于( 18 ) 式所求得的特征值我们可以证明旯0 ，以下 是证明过程： 对于任意“( y ) 都可表示为“( y ) ：p ( y 弦i m ，( 1 8 ) 式右端分子中被积函数 可化为： 娃g ”( y ) + g 2 ( y ) k 2 ( y ) + b ( _ y ) + p ( _ y ) g ( _ y ) 2 s ， = k7 ( y ) p 2 ( y ) i + g “( _ y ) p 2 ( y ) + p ”( y ) ) e “ 因为 e k ( y ) p 2 ( y ) k 咖= g ( y ) p 2 ( y ) ：一e g 2 ( y ) p 2 ( y ) e f l y l d y = 一e g 2 ( j ，) p 2 ( y ) e g l 7 ) d y 所以 e 缸g 。( y ) + g 2 ( y ) k 2 ( j ，) + b ( y ) + 号p ( y ) g7 ( y ) 2 咖) d y = f ”p 2 ( y ) p m 咖0 当且仅当p ( y ) = 0 ，即p ( y ) = c 时等号成立。证毕。 在所有正的特征值a 中，最小的五具有特殊意义，因为它的倒数正：决定 了趋向稳态所需的特征时间，称为时间常数。时间常数在此问题中的重要意义是： 于将稳态解作为输出，以达到提高信噪比的目的，如果达到稳态解的所需时间 太长，就难以跟踪变化的信号。所以如果试图跟踪频率为h h z 的信号，并且碳 第三章l a n g c v i n 方程随机共振特性的研究 考虑至0 e mo 0 5 ，贝u ： 即 8 一 ；：e 一 击o 0 5 一无1 3 8 h( 19 ) 这样，我们希望 越大越好( 即响应时间越快越好) ，而输出信噪比也越大 越好a 但是这两项要求是矛盾的：在给定的d t ，i 越大，则丑也越大，但k ( i ) 就越小。在这里，应当采用的方法是，选择合适的五使得满足式( 19 ) 的条件 下，k ( 互) 尽可能的大。 下面将讨论正则丑的计算： 由于“= p 铲 是( 1 8 ) 式的一个特征函数，同时要求l i r a “_ ) ：o ，所以 一( d 出u 可以假定： “：p ；5 ”( d o + d y + + d 。y 一) 这样泛函的变分问题( 18 ) 就变成下列矩阵特征值问题： ( 瞵卜州m 】) 们= 0( 20 ) 其中， d ) = d o ，d ，d 。】， 【k 】= 【k 。】 【m 】= 【m 。f ，j = 0 , 1 ，2 ，月 = y “d y ，= e 【 g ”( y ) + g 2 ( y ) + ，+ 【砂+ g ( y ) y 咖川+ g ，( y ) y p m 砂 = 0 i2 y ”一劢”，+ 4 一劢一+ 3 + 掣j ，w + z + 砂”+ ：+ 立笋j ，w + 孚砂”1 + i j y i + j - 2 ) p “a y 从肌。，k v 的表达式可以知道： m u = m i ，k q 。i j 所以【m 】， 明是对称的。由式( 1 8 ) 和以上对特征值五的证明可知，【肘 是正 定的， 捌是半正定的。由于主要求 ，所以此时门的值可以取6 1 0 ，将胛分 别取j 和i + 1 时所求得的 进行比较，若两者比较接近则该 可以作为近似值， 否则增加n 的值重新计算。 当d 很小时，互 1 ，以上求 的方法将失效。从方程( 2 ) 可以看出，d = 0 是方程的奇点。对于很小的d ，是一个奇异微分算子的特征值问题。求解用量子 力学中的w k b 方法。由量子力学有关结果，当d 1 时： 一垂 元础 所以回到方程( 4 ) 可以取： 一璺 a l e ( 21 ) 其中，口届是待定的参数。 将( 20 ) 和( 21 ) 所述的方法结合起来： 在五比较大时，用变分方法处理( 解( 20 ) 的特征值问题) ，而比较小 时，用( 2 1 ) 近似，使得二者连续且光滑。当然，连接点越靠近= o 越好，因为 ( 21 ) 为“ l 的情况。 2 4 系统参数a l 时对问题的讨论 从式( 4 ) 到( 21 ) 之间的讨论都是基于口= 1 的情况，在口l 时，取 z = a x f = a l 则方程( 1 ) 可化为： d _ z = z 一i z3 + + r 1 ( f ) ( 22 ) a z 式中，：告，( r ) 是强度为d = a d 的白噪声，这样可以进一步化为( 4 ) “ 式，佃： 第三章l a n g e v i n 方程随机共振特性的研究 砌- q = 等，一- 击2 击a d ， n 、t d 这样前面的结果将会有一些差别： 1 系统增益r ( 互，五) 由于输入信噪比不再是五，而是磊= 历h ，所以r ( i ，五) 的定义( 9 ) 应该 改为： 尉_ ，- ) 2 南孤_ ) ) 2 时间常数z 按前面公式算出的 ，是对于f 来说的，所以时间常数互： 互= 瓦1 ( 25 ) 从而可以通过选择d 来改变系统增益和时间常数：n 越大，时间常数z 越小， 系统增益r ( 互，i ) 也将会减小，但二者减小的比率不同，所以可以用来调整。 世( 确= 瓦1 z 确撕，铲考 ) 3 五和a 的选择 丑对于万是不敏感的，从而由式( 25 ) 、( 26 ) 可知： 。喜k 2 ( 确= 2 1 k2 ( i ) ( 27 ) 可以作为衡量系统的特征参数，这样选择五，使得： k ( i ，石) = 丑( i ，万) k2 ( 互) = m a x 这样兼顾了响应速度和系统增益。一旦确定五，则可以根据( 25 ) 决定口， 从而得到所需的k ( 五) 。由五，a 根据( 25 ) 决定： 固体力学随机共振与数字信号处理孙彦龙 “：a 2 j 。 d 这样系统( 1 ) 的各参数就全部确定了。 2 5 小节 本章主要用l a n g e v i n 方程来对随机共振特性作了一些研究，任务为选择参 数和a ，在一定的响应速度下，使得系统( 1 ) 的( 稳态) 输出有尽可能高的 信噪比。通过适当的参数变换，我们求出稳态解的概率分布和数字特征，即均值、 方差和信噪比等，并进行了误差分析。详细讨论了系统响应速度的算法及其物理 意义，给出选择参数和口的方法和步骤。在第三章中我们将进行具体的应用。 苎三兰墼! 薹塑三壁塑堡兰焦苎 第三章数字基带二进制信号传输 下面的主要工作是以前面的理论推导为基础，对二进制基带信号的传输进 行分析和模拟。这里我们用误码率来衡量信号传输，并进行了误码率理论的推导。 我们都知道，以前各种理论和方法来实现随机共振，或非周期的随机共振都 是增强输入噪声的强度，来提高信噪比的，但是信号虽然通过调谐得到增强但并 没有减少输入的噪声，而且实现比较困难。在这里我们提出了另外一种方法，就 是研究建立一个新的系统来处理信号和噪声，通过调节系统的参数来减小信号传 输过程中的误码个数。 在信号传输和处理过程中，我们所研究的这个系统可以看作是一种算法。信 号通过系统的处理后的信号作为输出信号。在这里我们主要用这个系统来进行二 进制基带信号的传输，这个系统包括一个非线性接受器，此接受器包括两个可调 参数，我们就是通过调节这两个参数来使整个系统达到随机共振的现象，并利用 这一现象得出误码率的理论公式。现在问题关键不是集中在优化减少噪声强度上 面，而是设计能够很好处理二进制基带信号的非线性接收器。我们研究发现，如 果用我们设计好的具有最优参数的系统来处理二进制基带信号，即使所加的噪声 的强度比输入信号的强度大很多，同样可以得到信道容量的最大值，我们把这种 新的随机共振在更广泛的意义上理解为参数激励随机共振( p s r ) ，p s r 的最大好 处表现在它既可以处理低阚值的输入信号，也可以处理超闽值的输入信号。 误码率和信道容量都是信号传输率的函数，我们也通过我们所设计的最优接 收器进行了，研究了e q f j 之间的关系，进而为了，更精确的恢复二进制输入信号，我 们将引入时间尺度法和误码率的样本平均概率的方法。 3 1 二进制基带信号系统性能：误码事和信道容量 如图l ，信号源生成二进制数字信号序列，数字调节器把输入的：二进制数字 信号0 转成波形一( ，) ，二二进制数字信号l 转成( f ) ，这里信号的波形可以如卜j 表示为【5 5 - s l ( ，) = 一a ，s i ( t ) = a ， 2 0 固体力学随机共振与数字信号处理 孙彦龙 ( m - 1 ) t , t s m t , ，r a = 1 , 2 一 ( 3 1 ) 这里a 表示信号波形的电平。这样的信号叫做二进制脉冲调制信号( p a m ) ，码 元时间间隔t ，码率，= 1 t , t i m e i i c o m p r e s s i o n l i l i j s a m p l e d e c i si o n r e c o v e r e d b i n a r ys i g n a l 图1 ，二进制基带信号传输系统的各个组成部分的示意图 这里我们假设输入的二进制数字信号0 和l 出现的概率相同，即 p ( 0 ) = p ( 1 ) = o 5 ，同时他们在概率统计上是相互独立的，所以接收到的二进制 信号相互之间没有影响。p ( 0 ) 和j d ( 1 ) 分别为0 和1 的概率。 对于这种二进制无记忆信道，如果输入信号为f 电平，但输出信号低于判决 门限，或者，输入为负电平，但输出信号高于判决门限，这种情况出现的概率称 为误码率，分别用公式p ( 0 i ) 和p ( i ，o ) 表示。所以总的误码率的概率如下式： = p ( 1 ) p ( o 1 ) + p ( o ) p ( o 1 ) ， ( 3 2 ) 这个公式作为确定系统传输性能的度量，另外一个度量系统传输性能的量是信道 容量，信道容量的定义是单位时间内信道上所能传输的最大信息量。从公式( 3 2 ) ， 噪声信道的信道容量可以写成误码率只的函数【5 5 c = r 1 + 只l 0 9 2