（光学工程专业论文）稳定性理论及其在车辆动力学中的应用.pdf

摘要 1 证i o p f 分叉是指当分叉参数变化且经过分叉值时从平衡状态产生孤立的周期 运动的现象。铁路车辆系统当运行速度到达某一临界速度时，所发生蛇行运动正 是h o p f 分叉的一个生动的实例。丁本文运用运动稳定理论中的h u r w i t z 判据，得到 了发生h o p f 分叉的代数判据，给出了h o p f 分叉点参数的解析表达式，以及周期 运动的周期的解析表达式。运用这一理论研究了车辆系统中轮对的蛇行运动，得 到了轮对发生蛇行失稳的临界速度的代数表达式，从而使我们可以从理论上分析 轮对各参数对临界速度的影响。 2 憾着人工神经网络技术的发展，其用途日益广泛，应用领域也在不断拓展， 已在工程结构分析，模式信息处理和模式识别，最优化问题计算，信息的智能化 处理。复杂系统控制等工程领域中得到广泛的应用。h g 虫f i e l d 型神经网络是研究 和应用最为广泛的神经网络之一，它的两个主要应用是联想记忆和最优化计算。 根据其不同的应用，需要作出不同类型的稳定性分析。对于联想记忆神经网络， 它应具有多个分别对应于要存储的记忆模式的平衡点，因此定性分析的目的是在 何种条件下，这些平衡点是局部渐近稳定的。对于最优化计算神经网络，理想情 形是网络有且只有一个全局渐近稳定的平衡点。此时，定性分析的目的是何种条 件下，网络具有全局渐近稳定的平衡点。对于最化计算神经网络的平衡点，一般 对应于某一具有物理意义的最优途径，而构造神经网络的目的是通过网络解的渐 近性，使解趋于平衡点从而找到最优途径。享奉文利用拓扑理论研究具有有界激活 函数和无界激活函数的h o p f i e l d 神经网络系统的平衡状态的存在性、唯一性与全 局指数稳定性，得到了相应的判别定理。进一步研究几类神经网络系统绝对稳定 性，得到了绝对稳定的充分必要条件。 3 旺神经网络的硬件实现中的一些问题，如开关延迟，各神经元之间的相互 制约等，极大地降低了硬件神经网络的动力学性能并可能导致网络不稳定，其中 网络的时间延迟是引起不稳定的关键问题之一口十本文研究一类具有固定时间滞后 的h o p f i e l d 神经网络系统的平衡点的存在性、唯一性与全局稳定性。这类系统放 弃了以前对神经网络中激活函数的有界性、单调性和可微性以及关联矩阵的对称 性要求，使构造网络更为容易，解决更为广泛的问题的。利用m 矩阵理论，通过 构造适当的l i a p u n o v 泛函，得到了网络全局渐近稳定的充分条件，极大地改进了 以前的相关结论。 第一章轮对的稳定性与蛇行运动 随着车辆运行速度的提高，车辆动力学的研究变得十分重要。如何提高车辆 性能的三大指数一运动稳定性、运行平稳性和曲线通过能力，这是研制高速车辆 的关键，而提高车辆运动稳定性又是最基本的1 1 , 2 1 。轮对做为车辆的基本单元，对 其稳定性及随速度的提高丽失稳机理的研究，无疑对车辆失稳机理的认识是重要 的。大量的工作证实，轮对失稳后将发生蛇行运动，这对应于数学中的常微分方 程的h o p f 分叉。对于铁路车辆这样的复杂的系统，要对其进行解析研究是很困难 的。d e p a t e r 在文【3 】中建立了轮对的非线性模型，并用谐波平衡法研究蛇行运动， 文 4 1 并i i 5 1 分别用试射法和数值积分法研究了车辆系统的极限环并确定确定出系统 的失稳点。t r u e 等对车辆系统的非线性行为进行了大量的研究，得到了系统的分 叉、对称破缺和混沌这些典型的非线性现象。文 6 用等效线性化方法研究了车辆 系统的蛇行运动，文【7 】考虑了轮沿与轨道间的碰撞，并在假设轮道为正弦弯曲时， 得到了系统由周期倍化分叉通向混沌状态，但其假设并不付合实际。 大量工作表明，要对车辆系统进行有较的分析就必须用先进的数值计算方法。 对于车辆系统分叉点的寻找，一般是计算j a c o b i 矩阵月的所有特征值，进而判 断随参数v 变化时a ( v ) 是否有特征根穿越虚轴。这种方法需要对每一参数v 计算所 有的特征根并判定特征根的实部是否为零。这种方法计算量很大，并且不利于理 论分析，因为一般不可能写出特征根的解析表达式。 运动稳定理论中的h u r w i t z 判据，利用了特征方程的系数构造h u r w i t z 行列 式，通过该行列式的符号来判断特征根是否具有负实部。但h u r w i t z 行列式同样可 以用于h o p f 分叉点的寻找。本章首先给出平衡点稳定性的一般理论，然后给出平 衡点失稳而发生h o p f 分叉的判定准则和计算方法。 1 1 运动稳定性的基本理论 1 1 1 基本定义 考虑常微分方程组 七= f ( t ，x ) ( 1 1 1 ) 其中x r ”，( ) 满足微分方程解的存在、唯一性条件。设x = 0 为方程( 1 1 1 ) 的解， 即满足，( f ，o ) ；o ，这时x = 0 为方程( 11 1 ) 的平衡解。我们把从点( t o ) 出发的方 程( 1 1 1 ) 的解表示为x ( t ；t 。，x 0 ) ，或简记为x t t ) 。下面给出平衡解的l i a p u n o v 稳定性 概念。 定义1 1 1 如果任取占 0 ( 6 无论如何小) ，对于任意给定的初始时刻7 0 0 ，存 在烈f o ，印( 占由t o 和占确定) ，任取初扰动，只要满足忙。0 o ( 无论如何 小) ，存在满足h 1 1 0 ，a 2 0 ， a 3 0 ， a 肛1 0 ，口n 0 ( 1 11 0 ) 定理11 4 是由r o u t h 和h u 九v i t z 在1 8 9 5 年得到的，所以这判据也称为 r o u t h h u r w i t z 判据。我们知道一般的高次方程( 1l8 ) 的解的解析表达式并不存在， 所以要精确知道方程的根实部的符号并不容易。从定理1 1 4 我们知道，判定方程 ( 1 1 8 ) 的符号并不需要解出方程( 1 18 ) ，而只需判定由方程的系数组成的行列式的 符号。r o u t h h u r w i t z 判据不管是对系统做理论分析还是数值计算都是十分重要 的。但是，r o u t h - h u r w i t z 判据的计算量仍然很大，为了简化计算，1 9 1 4 年l i e n a r d 和c h i p a r t 提出了以下判据 定理1 1 5 方程( 11 8 ) 的一切特征根具有负实部的充分必要条件是 ( 1 ) 多项式的系数全为正 a i o a 2 0 ，t ：n 0 ( 1 11 1 ) ( 2 ) 一半霍维茨行列式大于零 0 ，a 。一3 0 ，a 。一5 0 ，( 1 11 2 ) 这个判据比r o u t h h u r w i t z 判据在计量上少了一半。 为了研究系统( 1 1 1 ) 的h o p f 分叉问题，下面我们给出关于矩阵a 存在纯虚根 的条件。 定理1 1 6 实系数代数方程( 1 1 8 ) 有一对纯虚根、且其余m 2 个根均具有负实 部的充分必要条件是 ， 0 0 = ，一3 ，刀一5 ，a 。一1 = 0 a 。 o q = 1 , 2 ，n ) 其中，( f = 1 , 2 ) l - o ) n 一1 ) 为方程( 11 8 ) 的h u r w i t z 行列式。 证明必要性假设声程( 1 1 8 ) 的一对纯虚根为埘沏 o ) ，则方程( 1 1 8 ) 可 写成 4 ( 矛+ 2 ) ( 一2 + 6 l 一3 + + 6 。一3 五+ 6 。一2 ) = 0 ( 1 1 1 3 ) 由条件知方程 舻一2 + 6 l 刀一3 + + 6 。一3 a + 6 ，卜2 = 0 ( 1 11 4 ) 的根均具有负实部。将方程( 1 1 1 3 ) 展开得 + 6 l 刀一1 + ( 6 2 + 2 ) 刀一2 + ( 6 3 + c 0 2 b 1 ) 刀一3 + + p 扣2 + 2 氏一4 ) 卯 + 2 b 卜3 a + 2 b 。一2 = 0( 1 1 1 5 ) 比较方程( 1 1 8 ) 与( 1 1 1 5 ) 的系数得 f 口1 = 岛，a 2 = b 2 + 2 口f = b 。+ 2 b 2 ，f = 3 , 4 ， 一2( 111 6 ) 【口= 2 b ，= 2 b 记a 。( f - 1 , 2 ，月一2 ) 为方程( 11 1 4 ) 的h u r w i t z 行列式。将关系( 111 6 ) 代入方程 ( 1 1 8 ) 的h u r w i t z 行列式中，并依次将+ 的第一行乘以一9 0 2 加到第二行中，将第二 行的计算结果乘以一2 加到第三行中，将第缸l 行的计算结果乘以一2 加到第 k 行中，可以得到 ，= a ，( k 1 , 2 ，”一2 )( 1 11 7 ) 用同样的方法可得 = 川= 0( 11 1 8 ) 其中当i h 一2 时令岛= 0 。由方程( 111 4 ) 的所有根具有负实部，由定理11 4 知 ， 0 0 = l ，2 ，”一2 )( 1 11 9 ) b ， 0 0 = l ，2 ，n 一2 )( 11 2 0 ) 由关系( 1l1 7 ) 得 ， 0 0 = 1 , 2 ，行一2 )( 1l2 1 ) 从而有 a ， 0o = 1 , 2 ，”) 充分性设哆 o q = 1 , 2 ，功， o ( i = 一3 ，h 一5 j ，+ ，= 0 。假设定理1 ，1 6 的结论不成立，则有以下两种情况：( 1 ) 方程( 11 8 ) 存在一对纯虚根，而其他特征根 中的某些根有正实部；( 2 ) 方程( 1 1 8 ) 不存在纯虚根，而其他特征根中的某些根有正 实部。对于情况( 1 ) ，由必要性的证明知，此时与条件， 0 0 = 一一3 ，一一5 j 矛盾。 o o 一 卜o 2 6 8 o 一 卜o 6 o 以 扣o 6 6 。屯 排o 6 5 钆色 f o 下面我们将证明情况( 2 ) 也不可能成立。对于充分小的占 0 ，考患方程( 1 1 8 ) 的扰 动方程 + 口l 一1 + + ( 口。一l + s ) a + 口h = 0 记五，( f = l ，2 ，n ) 为方程( 1 12 2 ) 1 拘ih u r w i t z 多项式，故 h l i 口3口2 。一l = 卜- 一 00 00 a ，= a ，o = 1 ，2 ， o o dl0 ，刀一2 ) ：1 0 口 2 + s 口h 一3 0 d hd 月一l = a + 越 0( 1i2 4 ) 从式( 1 1 2 3 ) 和( 112 4 ) 我们知道，对任意占 0 ，方程( 1 12 2 ) 的根都具有负实部。由 方程( 112 2 ) 的根对于系数的连续性知，方程( 118 ) 的根不可能有正实部。又因为 口。 0 ，故方程( 118 ) 没有零根。这样方程( 11 8 ) 就只能有纯虚根和具有负实部的 复根。这样方程( 1 1 8 ) 可以写成( 11 1 3 ) 的形式。如果方程( 11 1 4 ) 具有纯虚根，再 将方程( 1 11 4 ) 写成( 2 11 3 ) 的形式，由必要性的证明过程可知，五= 0 ，即 = 0 ，这与题设矛盾。从而方程( 1 11 4 ) 不可能有纯虚根而只能有负实部根。 这也就说明方程( 1l8 ) 有一纯虚根，而其余的根具有负实部。证毕。 定理1 1 7 如果对于实系数代数方程( 1 l8 ) 的h u r w i t z 行列式有 ， 0 0 = 一3 ， 一5 ，) 。一l = 0 口j o ( i = 1 , 2 ，h ) 则方程( 1 18 ) 有一对纯虚根士c o 、其余n 2 个根均具有负实部，且 2 = 等 ( 112 5 ) n 卜2 证明由定理116 知，当题设条件成立时方程( 11 8 ) 有一对纯虚根，并可将方 程( 1 1 8 ) 写成( 11 1 3 ) 的形式。由关系( 1 11 6 ) 知 口。= 。k 一2( 1 12 6 ) 对于方程( 1 11 4 ) 有 。一2 = b n _ 2 ( 1 1 2 7 ) 考虑到关系( 1 1 1 7 ) ，式( 1 1 2 7 ) 可写成 6 柚= 与丝， ( 1 12 8 ) n 卜3 代入式( 1 1 2 6 ) 得 6 物 柳 0 0 2 = 竽 u n - 2 由定理l1 7 知，如果特征方程仅有一对纯虚根， 确地得到这一对纯虚根。 定理1 1 8 实系数代数方程( 1 1 8 ) 有一对纯虚根、 部的充分必要条件是 则由特征方程的系数可以精 且其余n - 2 个根均具有负实 ， 0 ( i = 1 , 2 ，”一2 ) ，。一l = 0 ，口。 0 其中，a ，o = 1 , 2 ，门一1 ) 为方程( 1 1 8 ) 的h u r w i t z 行列式。 定理1 1 9 对于以为参数的实系数方程 + 口i ( ) 刀- 1 + + t 卜1 ( ) 五+ 口。( ) = 0( 1 1 2 9 ) 如果口( ) 0 ，且存在= o ，使方程( 112 9 ) 的特征根均具有负实部。如果 ( 。) 0 其中：以为满足方程。 ) = o 且与。的距离陋一胁i 为最小的解，即 u 。= 1 1 1 i n k 一o i ：+ 】( ) = o ) 则方程( 1 12 9 ) 在= t ，处有一对纯虚根“而其他特征根均具有负实部。 证明：因为口。( ) 0 ，当参数连续变化时，方程( 112 9 ) 无零根。由定理31 4 知，当= 儿时，方程( 1 12 9 ) 具有非负实部的特征根。这样方程( 1 12 9 ) 在= 。时 的根可能有以下三种情况： ( i ) 有一对纯虚根士埘且其他特征根均具有负实部； ) 除有一对纯虚根士c o 还有其他纯虚根； ( i i i ) 有某些根具有正实部。 下面将证明情况( i i ) ，( i i i ) 不可能发生。 如果情况( i i ) 发生，则将方程( 112 9 ) 写成( 1 1 1 3 ) 的形式，且方程( 1l1 4 ) 具有纯 虚根。对于方程( 1 11 4 ) ，由定理( 1 1 6 ) 可得。( ) = 0 ，从而与题设矛盾。 如果情况( i i i ) 发生，则由方程的根对系数的连续性知，存在t ，似。，t 。) 使 ( 1 12 9 ) 在= 一处有一对纯虚根，由定理1 1 6 的必要性证明可知，。似，) = 0 ， 而h 一风l 0 ，口( 0 ) = 0 ，口( o ) 0 ； ( 4 ) a ( o ) 的其余h - 2 个特征根具有负实部； 那么，系统有一族周期解，即存在占h o 和解析函数 日( 0 = ，一( o 占 0 0 = 1 , 2 ， ) ，( o ) o ( 1 = n 一3 ，n 一5 ，) ，。一1 ( o ) = 0 ；贝0 方程( 122 ) 存在纯虚根f o ，设u 和v 分别为矩阵4 ( ) 对应特征值i d o 。的左特征向量和右特 征向量，且u p = 1 。 ， ( i i ) r e ( u b 。y ) o 其中= 兰掣b ； ( 12 6 ) 则系统( 12 1 ) 在= o 处发生h o p f 分叉，即在当参数在2 = o 附近存在周期运 动。 证明由定理l16 知，当系统( 121 ) 满足条件( i ) 时，特征方程( 122 ) 在= u 。 时有一对纯虚根 2 1 , 2 ( o ) = 口( o ) + i o j ( a o ) 其中；似o ) = o o ，口o ) = 0 ；而其余的特征根具有负实部。 设【，( 肋和y ( 曲分别为矩阵a ( 乒) 对应特征值a l ( ) = a ( u ) + f ( ) 的左特征向 量和右特征向量，且，) y l = 1 。又 u ( ) ( ) p ( ) = a ( a ) + i w ( p )( 12 7 ) 将式( 1 2 7 ) 两边对求导得 u ( 曲a l ( 肋y ( ) + u ( 肋丑( 肋y ( ) + u ( u ) b ( u ) v ( ) = 口( ) + i 国( ) ( 12 8 ) 又 u ( ) y ( ) + u ( ) v ( ) = 0 ， 故在= 2 0 处，式( 11 7 ) n - - j 进一步写成 【，( ，如) b ( o ) y ( 胁) = 口( o ) + f 珊( ，岛)( 129 ) 故 r e ( u ( p o ) b ( p o ) v ( p o ) ) = 口( 1 1 0 ) 由h o p f 分叉定理知定理3 2 的结论成立。 定理1 2 3 对于系统( 12 1 ) ，假设满足定理12 1 的条件( 1 ) 和( 2 ) ，且其j a c o b i a n 矩阵的特征方程( 122 ) 在2 = 2 0 时的所有特征根为负，且满足以下条件： ( i ) 似。) 0 ， ( 1 21 0 ) 其中： 雎= m i i l f 肛一, a o i ：a ( u ) = o ) ； ( 】21 1 ) 则方程( 1 ，22 ) 存在纯虚根吐，设u 和矿分别为矩阵a ( 鳓) 对应特征值吐的左特征 向量和右特征向量，且w = l 。 ( i ) r e ( t r b c y ) o 其中b 。一d a d ( 川u ) 愀； ( 121 2 ) 口“ 。 则系统( 1 2 1 ) 在= 以处发生h o p f 分叉，即在当参数在2 = u 。附近存在周期运动。 定理1 2 4 设f ( x ，肋c 陋( 一，t o ) 】，膏4 ，q 为r ”中包含原点0 在内的 某一邻域，a ) = 仇( o ，) 有一对复根丑和五，五( 力= 口( 力+ ，印( 力，其中： o j ( o ) = o 0 ，a ( o ) = 0 ，口( o ) 0 ，a ( o ) 的其余抑一2 个特征根具有负实部；则系统 ( 11 1 ) 在= o 处发生h o p f 分叉，即在当参数在= o 附近存在周期运动。设u 和矿分别为矩阵4 ( o ) 对应特征值f 。的左特征向量和右特征向量，且研，= 1 ，旷为 v 的共轭复数。令 ，= r e 一够一v v v + 2 呶蹦。1 ( o ) 九+ 叼2 y 似( o ) 一2 i a ) 0 1 ) 。九) ( 1213 ) 其中乞现矿表示 i ol 。i o o i ( i x , 一。) ，吲州r - l ( 0 o ) ( 121 4 ) 瞎饿馥 ”7 如果 0 ，则分叉周期解为轨道渐近稳定的；如果卢 0 ，则分叉周期解为轨道 不稳定的。 1 3 轮对的h o p f 分叉及蛇行运动 具有一定形状踏面的铁道车辆轮对，沿着平直钢轨滚动时，当运行速度达到某 1 0 一临值时，会产生一种特有的运动一轮对一面横向移动、一面又绕通过其质心 的铅垂轴转动，这两种运动的耦合称轮对蛇行运动。由于轮对的蛇行运动而引起 转向架和车体在横向平面内的振动，称为转向架蛇行( 又称二次蛇行) 和车体蛇 行( 又称一蛇行) 。 具有一定形状踏面的轮对产生蛇行运动时，假设钢轨是理想平直的，轮对上并 未受到来自钢轨的激振力，因此蛇行运动是一种自激振动。轮对蛇行运动的现象 早在一百多年前已被注意到。一开始多轮对与轨道之间的几何关系来研究蛇行运 动，并推导出一个自由轮对蛇行运动的频率与波长公式。随着对轮与轨道间的物 理关系一蠕滑现象研究的深入，了解到当轮对平直钢轨上滚动时受到蠕滑力的激 振影响，由此可用动力学的方法来研究其蛇行运动，这样就能比较清楚地揭示出 自由轮对蛇行运动的本质、特征及其规律。 在轮对系统中，非线性因素一般为非线性轮轨几何关系，非线性蠕滑力。 1 3 1 轮对的运动方程 设左右车轮滚动圆之间的距离为2 口，轮对以速度v 沿平直的轨道运动。y 表示 轮对质心c 相对于轨道中心线的横移量，y 表示轮对的摇头角。我们将平行于轮 轴和垂直于轮轴的水平向量分别用”，和。表示。 图13 1 轮对的力学模型 设横向位移y 为一小量，在左轮与轨道的接触点只处的滑动速度为 v l = ( v e o s , 一口矿一，工q + p s i n y 扣f + 0 ，c o s 矿一v s i n 矿扣。，( 1 3 1 ) 其中q 为轮关于轮轴的转动角速度。设左轮的有较半径 与横向位移的关系为： r z = r o + a l y + ) 1 , 2 y 。+ a 3 y + ，( 13 2 ) 其中r o 为无横向位移时接触点到轮心的距离，a ，为锥形踏面上的线性斜率， 为 轮轨几何关系非线性修正系数。右轮的滑动速度为 = ( v c o s 驴, + 口矿一珞q + p s i n 妒弦f + o p c o s 妒一v s i n y 弦。，( 1 3 _ 3 ) 右轮的有较半径与横向位移的关系为 r r = r o + 五l ( 一y ) + a 2 ( 一y ) 2 + a 3 ( 一y ) 3 + - ， ( 13 4 ) 设轮对向前速度与转动角速度的关系为 q = 兰，( 1 34 ) ，0 这样左轮在甜，方向的蠕滑率为 屯f = ( v c o s 一口沙一厂l q + p s i n 矿) v ，( 1 35 ) 在左轮与轨道的接触点处的横向蠕滑率( 在”。方向) 为 o 。l a = ( p c o s p , 一v s i n y ) v ，( 136 ) 同理，在右轮与轨道的接触点处的纵向、横向蠕滑率分别为 8 r r = ( v c o s v + 口妒一强q + ps i n v ) ，v ，( 1 37 ) 8 r a = ( 夕c o s vs i n y ) v ，( 138 ) 利用线性蠕滑理论可以得到作用在左、右轮上的横向和纵向蠕滑力 ，0 = ( 一z ，5 。) ，b ，= ( 一。靠，) ，( 139 ) 吃= ( 一以：e l = ) u 。，昧。= ( 一以：靠。如。，( 131 0 ) 其中： 。和五：分别为纵向和横向蠕滑系数，和分别为作用在右轮上的纵 向和横向蠕滑力。 。 应用牛顿定律可得轮对的运动方程 ，妒= ( b ，一瓦，净， ( 13 1 1 ) 咿们( f r oc 舞比c o s s l - 1 胁瓯+ n 2 诅n 如) c o s y ( 1 31 2)sin+ ( b f + 屹f v k y y 、1 7 其中，为轮对关于过点c 的铅垂轴的转动惯量，r n 为轮对质量。设 l = 2 = 华( 13 1 3 ) 将( 1 3 9 ) 和( 1 3 i o ) 代x ( 1 3 1 1 ) 和( 131 2 ) ，并考虑到式( 1 3 5 ) ( 1 3 8 ) 可得 缈= ，l l 口( 一丝+ 二l 二盈) ( 1 3 1 4 ) ” 厂0 缈= 【一 2 ( 詈c o s y s i n y ) ( c o s 艿l + c o s 占2 ) + 孚艿2 t a n 6 1 ) 】c o s 矿 一 2 c o s v - 生鱼+ 2 p s i n s i n 妒( 1 3 1 5 ) r o v 在此我们应用文【1 2 】的假设 t a n # 2 一t a n # l = e ，y 2 ”1 ( 1 3 1 6 ) c o s 8 l + c o s 8 2 = k( 0 o l 口l 1 0 i 3 = k 3 口2 口1 1 = 口1 口2 口，一口一口。2 一口； i 口4n 3 i = u 2 【 1 c 2 ( 1 + c ) 2 + 砰c p l d ( 1 + c ) 2 1 从式( 1 2 3 1 ) 可以得到，当充分大时，3 0 。即当充分大时， 特征根均具有负实部。令3 = 0 得 ( 132 8 ) n3 2 9 ) ( 1 3 3 0 ) ( 133 1 ) 方程( 11 2 7 ) 的 2 【 l c 2 ( 1 + c ) 2 + h ? c - p 1 d ( 1 + c ) 2 】= 0 ( 1 3 3 2 ) 显然，卢：o 不是系统( 1 32 3 ) 的分叉值，l ：g l 为u = 0 对应于速度为无穷大。方程 ( 1 32 3 ) 具有物理意义的解为， 。= ( 啊c 2 ( 1 + c ) 一1 卜h ；c + p l d ( 1 + c ) 2 】) 2 ( 133 3 ) 系统( 1 32 3 ) 的临晃速度为 v 。：d 2 阶2 ( 1 + c ) 一h ；c + p l d ( 1 + c ) 2 n 2 ( 1 33 4 ) 当= t 。时，方程有一对纯虚根积。由定理 知 2 = 粤口4 ( 1 33 5 ) 2 由式( 1 3 2 s ) - ( 1 33 0 ) 得 2 ：竺 ( 1 33 6 ) 设向量”和v 分别是矩阵a 对应于特征根埘的归一划左特征向量和右特征向 量，即 u a ：i a m 。a vf 例，“v = 1 ( 1 33 7 ) 经计算可得 1 f ( 1 1 1 一c 0 2 + i w z ) d p 街( 啊一2 ) 一2 u l d n 3 3 8 ) “= u , j ( i w + # ) ( i w m 一国2 ) d ，( i w p c 一2 ) i d ，i c o + l t c ，1 1 ， ( 13 3 9 ) 1 4 令 则 b = b = k 000 一l 0 0 000 00 一c 设当在雎的附近时，纯虚根，埘的特征根为 孝( ) = 口( ) + 泸( ) 善( ) = 口( ) + 妒。( ) = u b v 毒( ，) = 一“4 ( 2 v 2 + c p 4 ) 2 国2 肛+ i w wz ( 1 + c ) 一 c 】 “一3 0 ) 2 ( 1 + c ) + h i c + 2 i w ( 一2 0 9 2 + 2 c + c ) 故 n 3 4 0 ) f i34 1 ) f 13 4 2 ) n34 3 ) 善( 儿) = 万蟊酉百面再2 0 ) 瓦2 a c 瓦万虿再丽 州善= 一而爵而再秆4 0 ) 2 百t 2 c 再2 h l 萨习鬲万 0 ( i = 1 , 2 ，月) ：t 为实连接权矩阵，表示神经元 之间的关联强度；x 为网络节点状态，x = ( x ，x ：，k ) 7 ；非线性激活函数 g ( x ) = ( 晶( x 1 ) ，9 2 ( x 2 ) ，g 。( b ) ) 7 ，g ( o ) = 0 ；u 表示外部输入量，本章中设为刀维 常向量。 2 一类的非线性系统的稳定性 为了研究神经网络系统的稳定性，我们先研究一类较为广泛的非线性系统的 稳定性。考虑以下非线性系统 t = - d ) + ，( 力 ( 砷( 2l3 ) 式中：x = ( 一，x 2 ，x 。) 1 ，d ( x ) = ( d 1 ( x 1 ) ，一，d 。( x 。) ) 7 君h ( x ) = ( 红( x 1 ) ，h 。( x 。) ) 7 为连续函数，并有d ( o ) = 0 ，h ( o ) = 0 。r ( x ) = ( r , a o ) 为 阶连续函授矩阵。我们 对系统( 2 13 ) 作如下假设： 假设( d ) ：对于函数d ( x ) 满足以下条件 ( i ) 对任意x 。r ，有e ( x 。) 0 ，o = 1 , 2 ，疗) 在某些特殊情况下，我们用下面更强的条件 假设( d 1 ) ：对于函数d ( x ) 满足以下条件 ( i ) 对任意x f r ，有x ，d j ( x ，) o ，墨0 ( i = 1 , 2 ，门) 对于函数h ，假设有： 假设( ) ：对于函数h 满足以下条件： ( i )x ，吩( x ，) o ，x f 0o = 1 , 2 ，脾) ( i i ) ，脚l 。 ) a p = 佃，f = l ，2 ，门 1 1 i 通过构造如下李雅普诺夫函数 1 8 矿( 砷= 杰j o h , ( p ) d p ( 2 1 4 ) 我们可以得到如下定理 定理2 1 1 设函数h 和d 分别满足假设( h ) 和( d ) 。对于矩阵t ，如果存 在对角阵口= d i a g ( a l ，a ) ，口。 0 ，使得矩阵 【口r ( x ) r = ( 口丁( x ) + t 1 ( x ) 口) 对任意x 为半负定的，则对于系统( 2 13 ) 有矿( x ) 0 ，这时系统( 2 13 ) 的平 衡点为稳定的；如果包含矿( x ) = 0 中的不变集为 0 ) ，则系统( 2 1 3 ) 的平衡点足 全局渐近稳定的。 证明首先证明函数矿是无限大正定函数。令 h ，( t ) = i 红( p ) 和 故日。( o ) = 0 ，当x ，0 时，由积分的定义可知日( x 。) 0 ，所以式( 21 4 ) 正定函 数。又删”m a x i 而卜，i i ) ，由条件( h ) 知，当_ + o o 时，矿( x ) - - + o o ， 所以函数v ( x ) 是无限大正定的。又 w = 一，善j 瑚 s ， 所以有 v ( x ) = v 矿( x ) 童= 一h 1 ( x ) 6 e d ( x ) + h 1 ( x ) a t ( x ) h ( x )( 2l6 ) 又 h r ( x ) 口丁( 功 ( x ) = 1 ( z ) 口，( x ) | i ，( x ) + 去 7 ( x ) 7 1 ( z ) c 咖( x ) = 1 1 7 ( x ) 【妄( 口7 1 ( x ) + t r ( x ) 口) 】矗( x ) = h1 ( x ) 【口r ( x ) 】8i l ，( x ) 从而式( 2 1 6 ) 可进一步写成 矿( x ) = 一芝：口，d ( x ，) 囊( x ，) + 7 ( x ) 【口，( x ) 】。妇( x )( 2 1 7 ) 考虑到( d ) 条件和( m ) ，我们知道式( 2 1 7 ) 的第一项非正，又因为 晓7 1 ( x ) 】5 为常负的，故矿( x ) 0 。从而平衡点x = 0 是稳定的。由定理( 2 6 1 ) 知，当集合 忸i 矿( 功= 0 ) 除x = o 夕b 无整轨线时，系统( 2 13 ) 的平衡点是全局渐近稳定的。 注：在本章中，将形如去( + 4 1 ) 的矩阵记为【创。，即 【_ 】= 去( 彳+ 1 )( 2 18 ) 例2 1 1 考虑以f 微分万程 堂+ 4 ix i t + 4 x = 0 将其写成一阶常微分方程形式 阱匕靠列 眨， 为了得到常负的【口丁( 功r ，我们取口= d i a g ( a ：) = d i a g ( 1 ，三) ，这样 c 口，c x 。，x ：，= ：一i ：。i 为常负的。取李雅普诺夫函数为矿( x t l ，x 2 ) 2 吉o + i 1 屯2 ，经计算可得矿o ，r ：) = 一4 x ；h 峰o 。而集合 x i 矿( 功= 0 ) = 0 ) 。由定理2 1 1 知，系统( 2 1 9 ) 的平衡 点是全局渐近稳定的。 定理2 1 2 设h 满足条件( h ) ，如果系统( 2 1 3 ) 还满足以下条件之一 ( i ) 函数d 满足条件( d i ) ，且【口丁( x ) r 为常负的 ( i i ) 函数d 满足条件( d ) ，且 a ，( x ) r 为负定的 则系统( 21 3 ) 的平衡点为全局渐近稳定的。 证明取形如式( 214 ) 的李雅普诺夫函数，我们可以得到矿( x ) 为式( 217 ) 。 由定理( 2 8 1 ) 知，当题设条件成立时，系统( 2 1 1 3 ) 的平衡点为全局渐近稳 定的。证毕。 当在李雅普诺夫函数中取口= e 。( 其中，e 。为单位阵) ，我们可以得到以下 推论： 推论2 1 1 如果函数h 和d 分别满足条件( h ) 和( d 1 ) 。对于矩阵，( x ) 满足 以下条件之一： ( i ) r ( x ) + r 1 ( x ) 为常负的 ( i i ) r ( x ) 为对称的半负定矩阵 ( i i i ) t ( x ) 为反对称矩阵或对角元非正的对角矩阵 则系统( 2 11 3 ) 的平衡点是全局渐近稳定的。 定理2 1 3 设函数d 满足条件( d 1 ) 且 ( i ) ld f ( x ；) l c ；l x ，ix ，0 ，f - 1 , 2 ，”( 2 11 0 ) 其中c 。为正数。设函数h 满足条件( h ) 且 ( i i ) i 鱼( t ) | 0 ，使得矩阵 一叫等，警h 。口) 为负定的，则系统( 21 3 ) 的平衡点是全局渐近稳定的。 证明取形如式( 2 1 4 ) 的李雅普诺夫函数，我们可以得到矿o ) 为式( 21 7 ) ， 即 矿( x ) = 一口，d ，( x ，) ，( z ，) + h 1 ( x ) 【口，( x ) 】 ( x )( 2 11 2 ) 由条件( h ) 和( d 1 ) 知，对于x 0 有 口，d ，( ) ( 一) = 岱，d ，( x ，) _ h t ( x i ) 0 ( 211 3 ) 条件( h ) 和式( 2 1 1 1 ) 知z ，囊( x ，) 砰( x ，) 七，代入式( 2 1 1 3 ) 得 口o ，) 地) 趔攀 z ，厅。 进一步，由式( 2 1 1 0 ) 知，当x 0 时， 哆口( t ) 囊( t ) 罢彬( 而) 0 托7 由式( 2 11 2 ) 得： 矿( x ) 一喜等砰( x 。) + 厅7 ( x ) ( 三位“x ) + r 7 ( x 皿) 弦 ) 蚋t ( 州一叫等，等弦l 州小心删m ) 0 ，使得矩阵 陋丌= 三( 口r + 心) ( 21 1 4 ) 为半负定的，则系统( 2 12 ) 有唯一平衡点且该平衡点是全局渐近稳定的。 证明我们首先证明系统( 2 12 ) 至少有一个平衡点。矩阵d 非奇异，考虑连 续映射 s o ) = d 1 t g ( x ) + d 1 u ( 2 1 1 5 ) 由于g ( 功为有界函数，故存在正数茁使得对任意x ，有l l g ( x ) l i k 。所以 肛叫咖。舻i + 归。= r 0 ，f = 1 , 2 ，门) 使矩阵 一d 堙i a , 4 ，a n d nl + ( 口r + t 口) ( 211 9 ) l ，1，一 z 为负定的；则对任意输入u ，系统( 2 1 2 ) 存在唯一平衡点且是全局渐近稳定的。 证明由于函数g 满足条件( g ) ，由定理2 14 的知，系统( 2l2 ) 存在平衡 点。设设为系统( 2 1 2 ) 的平衡点。在变换z = x r 下，系统( 2 12 ) 可变为 t = 一d z + r e ( z ) 其中：g ( z ) = ( g ，( z 。) ，g 1 ( z 。) ，g 。( z ) ) = g ( z + r ) 一g ( x ) 。由函数g 与函数g 的关系知，0 sg l ( ) 以，故有i g ，( z ，) 喀7 hi 。由定理2 1 3 知，当式( 2 1 1 9 ) 为负定时，对于任意常输入u ，系统( 2 1 2 ) 存在唯一平衡点且为全局渐近稳定 的。 本节研究的是一类激活非线性函数为有界时的h o p f i e l d 型神经网络的平衡点 的存在性与全局稳定性。 2 2 具有无界激活函数的h o p f i e l d 神经网络系统的稳定性 当函数量为有界函数时，由b r o u w e r 不动点定理可以得到系统( 2 1 2 ) 至少 有一个平衡点。但当函数g 为无界时，系统( 2 12 ) 有可能不存在平衡点。例如 对于一阶方程童= 一x + g ( r ) + u ，当u 0 ，g ( x ) = x 时，就没有平衡点。所以对 于具有无界激活函数的h o p f i e l d 神经网络系统而言，平衡点的存在性研究就十分 重要，也十分困难。 定义2 2 1 如果函数g ( x ) = ( g ，( ) ，g ： ：) ，g 。 。) ) 7 满足以下条件毋( ) ： r r 为单调非减函数，且存在常数瓦，0 o ，f - 1 , 2 ，聍。这时d e t k 0 ，又一t k + d = ( - r + 脒。1 ) k ，所以只 要能证明d e t ( - t + d k 。1 ) 0 ，则式( 223 ) 成立。注意到 一7 1 + d k = 一t + d g 一1 + d ( k 一百一1 、 由于0 o ，i = 1 , 2 ，m ， k ，= o ，= m + 1 ，力( 1 m 0 ) ( 2 26 ) 这时，数列占( b ) 为无界，否则，若占( o ) 有界，由于卜眈