（光学工程专业论文）激光谐振腔模式研究.pdf

摘要 摘要 光束质量决定了激光的聚焦特性和传输特性，它与激光谐振腔内的光场模式密 切相关，因而光腔模式的相关计算在机加工和光测量等激光应用领域有着非常重 要的意义。模式的计算对于谐振腔腔型的设计、外光路设计和光束整形具有指导 作用。 谐振腔模式的经典理论仅给出了部分简单腔型( 如平平腔、圆形镜共焦腔) 的模 式解析解；在激光器的不断发展中出现了各种新的腔型和光学元件，对此，解析 法通常难以实施，而必须采用各种数值计算方法，女h f o x - l i 数值迭代法、厄米一高 斯展丌法、快速傅立叶变换法( f f t ) 、有限差分法( f d m ) 和有限元法( f e m ) 。特别是 f o x - l i 数值迭代方法，它是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法，只要取样点 足够多，它可以用来计算任何形状开腔的自再现模，而且还可以计算诸如平行平面 腔中腔镜的倾斜、镜面的不平整性等对模的扰动，其缺点是在菲涅耳数f 很大时， 计算工作量很大。 本文结合谐振腔模式计算的特点，提出了一种改进的f o x - l i 算法，其主要特点 是：可求解多个模式，并很容易判断谐振腔鉴别模式的能力。首先，介绍了激光 谐振腔的基本概念以及各种光腔模式计算方法，并比较了各种方法的优缺点。然 后分别计算了在稳腔和非稳腔情况下，谐振腔内光场的强度分布、相位分布和单 次迭代损耗。通过比较达到稳定衍射损耗时稳定衍射损耗值的大小，得出两类腔 选模特性。对于非稳腔情况，还给出了腔长和基模的稳定衍射损耗值的影响。 关键词：激光谐振腔 f o x li 数值迭代解法 模式损耗 a b s t r a c t a b s t r a c t t h eo u t p u tb e a mq u a l i t yo ft h el a s e r , w h i c hd e t e r m i n e dm a i n l yb yt h el a s e rm o d e i n s i d et h er e s o n a t o r , d e c i d e st h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h et r a n s m i s s i o na n df o c u s i n g o p e r a t i o no ft h eb e a m t h ec a l c u l a t i o no ft h el a s e rm o d es h o w si t si m p o r t a n c ei nt h e a p p l i c a t i o n so fl a s e rm a c h i n i n ga n do p t i c a lm e a s u r e m e n t i tp r o v i d e st h eb a s i sf o rt h e d e s i g no ft h er e s o n a t o r s ，e x t e r n a lo p t i c a lp a t ha n db e a ms h a p i n gs y s t e m t h em o d es o l u t i o n so ft h et y p i c a lr e s o n a t o r s ，s u c ha np l a n ep a r a l l e lr e s o n a t o ra n d c o n f o c a ls h p e r i c a lr e s o n a t o r , a r eg i v e nb ya n a l y t i ct h e o r y b u tt h er e l e v a n tc a l c u l a t i o n s o fn o v e lr e s o n a t o r sa n dn e w l yd e v e l o p e do p t i c a lc o m p o n e n t ss h o wt h el i m i to ft h i s m e t h o d n u m e r i c a lm e t h o d s ，i n c l u d i n gf o x l ii t e r a t i v e n u m e r i c a lm e t h o d ，h e r m i t e g a u s s i a n e x p a n s i o n ， f a s tf o u r i e r t r a n s f o r m ( f f t )m e h t o d ， f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ( f d m ) a n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，a c h i e v ei ns o l v i n ga b o v ep r o b l e m s i np a r t i c u l a rt h en u m e r i c a lf o x - l ii t e r a t i v em e t h o d ，w h i c hi st h en u m e r i c a ls o l u t i o no fa m o d e lc o m m o n l ya p p l i e di naw a y , a sl o n ga se n o u g hs a m p l ep o i n t s ，w h i c hc a nb eu s e d t oc a l c u l a t ea n ys h a p ef o r m e da n db e g a nt h es e l f - r e p r o d u c t i o nm o d e ，b u ta l s oc a nb e c a l c u l a t e d ，s u c ha sp a r a l l e lp l a n a rc a v i t ye n d o s c o p i ct i l t ，m i r r o rt h en o n f o r m a t i o no ft h e m o l de t c b u ti t sd i s a d v a n t a g ei sw h e nt h ef r e s n e ln u m b e ri sl a r g e ，t h ec a l c u l a t i o no f t h eh e a v yw o r k l o a d i nt h i sp a p e r , t h ec h a r a c t e r i s t i c so fr e s o n a n tc a v i t yp a t t e r n s ，p r o p o s e dam o d i f i e d f o x - l ia l g o r i t h m ，w h o s em a i nf e a t u r e sa r e ；m u l t i p l em o d e l sc a nb es o l v e d ，a n dv e r y e a s yt oj u d g et h ec a p a c i t yo fc a v i t yi d e n t i f i c a t i o no fp a t t e m s f i r s to fa l l ，i n t r o d u c e st h e b a s i cc o n c e p t so fl a s e rr e s o n a t o ra n dav a r i e t yo fo p t i c a l c a v i t ym o d ec a l c u l a t i o n m e t h o d ，a n dc o m p a r et h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fe a c hm e t h o d t h e nw e r e c a l c u l a t e di nt h es t a b l ea n du n s t a b l er e s o n a t o rc a v i t yc a s e ，t h er e s o n a n tc a v i t yl i g h tf i e l d i n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n ，p h a s ed i s t r i b u t i o na n dt h el o s so fas i n g l ei t e r a t i o n t os t a b i l i z e t h ed i f f r a c t i o nl o s sb yc o m p a r i n gt h es t a b i l i t yo fd i f f r a c t i o nl o s sw h e nt h ev a l u eo ft h e s i z eo ft h eo b t a i n e dt w ot y p e so fc a v i t ym o d e l so ft h ee l e c t i o n f o rn o n s t a b i l i z e dc a v i t y , y e ti tg i v e st h ec a v i t yl e n g t ha n dt h es t a b i l i t yo ft h eb a s em o d e lt h ei m p a c to ft h ev a l u e o fd i f f r a c t i o nl o s s k e y w o r d ：l a s e rr e s o n a t o r f o x l in u m e r i c a li t e r a t i v em e t h o d m o d el o s s 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位 本人签名 不实之处，本人承担一切相关责任。 日期冱 q 二三! 乒 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论 文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。 本人签名：亏盘毫匿鬈丑日期砬也立：呈 导师签名： 蠡日期2 芝【! ：王争 第一章绪论 第一章绪论 自1 9 6 0 年梅曼( m a i m a n ) 发明了世界上第一台红宝石激光器以来，激光以其 良好的相干性，方向性和高亮度等特性收到了人们的重视，在军事、信息、医疗、 加工等各个领域得到了广泛的应用。高功率连续激光是激光应用中重点研究和发 展的项目之一，光束质量是制约其应用的一个重要因素，也将制约着它的发展。 对于如何提高高功率连续激光器的光束质量，人们做了很多理论和实验上的研究。 光学谐振腔在诸多领域中获得了应用，由谐振腔的作用可知，谐振腔是决定激光 模式分布的重要因素，而激光模式分布又与光束质量紧密联系，所以，对激光模 式的研究有助于提高光束质量，改进及寻找更好的谐振腔构形，为国防、制造业、 通讯等服务。本章1 1 节首先说明了谐振腔的解析解法中存在着一系列的缺点和不 足，1 2 节介绍了目前研究激光谐振腔模式的几种方法，包括快速傅里叶变换方法， 有限差分法，有限元光束传播法和f o x l i 数值迭代法，并对这些方法的优点和不足 进行了讨论。1 - 3 节简单介绍了本文的研究内容和工作重点。 1 1 本课题的意义 谐振腔理论给出了部分典型的谐振腔的模式的解析解，并且在光束传输和工业 加工中得到了普遍的应用，如平行平面腔和圆形共焦腔。但是，在激光器的不断 发展中出现了各种新型的腔型和光学元件，使得解析的方法往往难以实施，必须 转而采用数值方法求解。这在各类工程设计和模拟中，己经成为主流。解析法的 局限性，主要有以下几个方面： ( 1 ) 解析法求解谐振腔内模式时，往往采用一些经典的近似，在具体问题的分 析上不够全面。圆形镜共焦腔和方形镜共焦腔的解析解虽然已经由经典的解析法 给出，但是前提条件是，假设谐振腔内的菲涅尔数很大( 趋于无穷) 。解析解通常 对应于稳态的解，而在脉冲激光器( 尤其是超短脉冲激光器) 中，粒子反转时间很 短( 毫微秒级以下) ，光脉冲在谐振腔只有几个来回。基于衍射理论的解析法把腔 内的光场视为严格的单色光，认为光束具有完全相干性。但在实际应用中，如激 光材料表面热处理，有时要求光斑强度分布非常均匀，出现了在腔内采用随机相 位片、旋转透镜输出来改善光束中心的均匀性。这时，必须采用部分相干理论。 ( 2 ) 射频放电等新的激励方式，在功率提取、冷却控制和放电结构设计上与以 前的激光器有很大区别，其腔型也较为特殊，如采用非旋转对称结构和复曲率腔 镜对于这种空间形体不规则的腔镜，要得到解析解是非常困难的。对这些复杂的 谐振腔必须采用更加有效的模式计算方法。 ( 3 ) 解析法求解时，在几何结构上通常作理想情况考虑，如腔镜无倾斜：而在 2 谐振腔模式研究 非稳腔中，往往采用腔镜倾斜，以实现腔内光场的祸合输出，最佳倾角问题的计 算必须考虑腔镜倾斜。同时，非稳腔调整困难，对腔镜失谐敏感，各种失谐的情 况在非稳腔设计和分析时必须考虑。 1 2 国内外研究概况和进展 从6 0 年代末开始，出现了各种数值方法来分析谐振腔和光波导乜1 。近3 0 年来， 适应于不同的情形又出现了多种数值分析方法。这里主要列举了以下3 种与本文相 关的方法。 1 2 1 快速傅立叶变换方法( f f t 法) f f t 自上世纪7 0 年代被提出以来口吲，被广泛应用在光束传输和模式计算中，f f t 也被用来计算传输过程中存在增益的情况，并且取得了比较理想的效果口吨1 。 ( 1 ) 快速傅立叶变换方法的基本原理 设自由空间传输满足近轴波传输方程 鲁+ 鲁+ 2 弘罢：0 ( 1 - 1 ) 缸2 却2 。昆 ”一7 f f t 法针对上述方程提供快速解，求解过程分三步完成。 首先，对输入光场分布，进行傅立叶变换，改用空间频谱表示： 昂，y y ) = j j 甜。( x ，y ) e x p ( i d r v x x + i 2 n v j ，y ) d x d y ( 1 2 ) 然后，光束在空域的传输改为频域中的等效传输计算，也即对输入频谱进行操 作。得出输出光场的频谱。 e ( v ，y ，) = p o ( v ，v ，) f ( v 。，) ( 1 3 ) 其中，f ( v ，y ) 表示光场在频域中的传输。 最后，对输出光场的频谱进行傅立叶逆变换，求得对应的空域输出光场的分布。 材( x ，y ) = f 尸( y ，y y ) e x p ( - i 2 n v x x - i 2 n v y y ) d v ，d v y ( 1 4 ) 快速傅立叶变换法具有很高的计算效率，可以大大减小计算时间，对于n x n 的光 场采样点，用传统的法每做一次衍射，需进行4 次复数乘法和4 一2 次复数加 法，而采用f f t ，一次傅立叶变换和逆变换需作21 0 9 2 次复数乘法和2 n 2l o g ：n 次复数加法，一次频域传输需作2 次复数乘法，总体计算量相当于缩减了半个维 度，速度很快。一 ( 2 ) f f ，i 法与a b c d 定律的结合 第一章绪论 通常在研究光束通过共轴的a b c d 光学系统传输和变换问题时，用c o l l i n s 公式 可以很好地给出系统输入和输出面上的复振幅描述的相互关系，而对那些常见的 非共轴现象不是很严重的失调光学系统，其空域中的衍射积分一般式也已得到。 文献归叫们结合傅立叶变换，给出了在频域中的衍射积分公式，适用于共轴光学系统 和微失调光学系统。 空域中，假设用e ( x ，j ，) 和巨( 五，m ) 分别表示失调光学系统的输入和输出复振 幅，a 、b 、c 和d 为系统共轴时的变换矩阵元，则失调系统的衍射积分公式为 酏川= 篆肛( w ) e x p 象a ( x 2 + y 2 ) - 2 ( x x , + m ) + d ( x 2 + y 2 ) + 及+ ，) ，+ g + 厶i 姗 ( 1 5 ) 式中己略去p 因子，它是恒定的相位因子，略去后不影响振幅的讨论。式 中， e = 2 ( a t i + 9 t ：、) ，g = 2 ( b r t d 毡t 、) x + 2 ( b 6 f d 岱t 、) ： f = 2 ( a r 8 y + 卢7 s y ) ，h = 2 ( b 7 r d a7 ) s j ，+ 2 ( b 6 r - d 3 r ) s j ， a r 、屏、7 r 及辞分别为系统失调矩阵元，s ，、勺及巳、e y 分别为二维的失调参 数( 位移和倾角) ，当s ，= s y - - 8 x = s y = 0 时，上式可退化为c o l l i n s 公式。对上式 两边同时作傅立叶变换，整理可得 叫= 詈c + 扩h e x p 詈：+ y 加么以吖2 1 ) - 2 x v s l 4 - v y v y i ) + 万v x ( e d + g ) + 面v y ( f d 州) 一万v x l “) _ 石v y l ( 以 ) i 卜，咖， ( 1 6 ) 其中c = e x p 意 郴2 i + p ) + 2 ( g e + f h ) 州( g 2 埘2 ) 此为失调光学系统频域中的衍射积分公式。 当e = f = g = h = 0 时，此式退化为无失调的共轴系统的频域传输公式： 帆瑚= 芸肌m 唧 等 联+ 哼) + 娥+ 嵋) 一孤。+ 哳) k 叱 ( 1 7 ) 当c = 0 时，利用6 函数的性质，上式可改写为 慨，= 五1 节r d r , , , t b 卜i - 。音+ 吆古丑忸化。警如捌8 ， f f t i 去坌占合； 顼域的a b c d 帘律。对光夷存其轴光学系统和微失调光学粟缔中的待揄 4 谐振腔模式研究 提供了非常简洁的频域描述，容易实现快速求解： a ) 自由空间传输距离d 光束传输的a b c d 矩阵为： c a 批口 由式( 1 3 ) 可得，自由空间传输的频域积分公式为： k 卅y j ，1 ) = v ( v x i , v y i ) e x p 卜i v ：d x ( v ，1 2v y l 2 ) ( 1 9 ) 二维积分退化为简单的乘积形式。 b ) 光束聚焦过程，可化为卷积运算 如图1 2 所示，以单透镜失调系统为例： 图1 2f f t 用于失调光学系统计算 输出面在透镜焦平面上，透镜的主轴相对光轴沿x 方向的偏移量为s ，。易知：在式 ( 1 3 ) 中，各项矩阵元为： g y = q = s ，= 0 ，e = 2 e ，；f = g = h = 0 ，其a 、b 、c 和d 为： 罢三 = 三 一，厂o = 一1 0 厂 0 ；反之， 0 ； 反之0 0 ；反之尺 0 。 第二章光学谐振腔的理论简介 图2 1 简单的光学谐振腔 假设光线从m 出发，其实坐标为参数、q ，在共轴球面腔内往返一次后再次 到达必，参数变成r 2 、0 2 。两组参数的关系由式( 2 1 4 ) 给出： 盼丁 汜 根据式( 2 1 4 ) 、几何光学的直线传播、球面镜对傍轴光线的反射规律以及上 述的符号规则，可以得到傍轴光线在腔内往返一次的变换矩阵t ： r ：r ，彳b 、： l cd j 一i 2 l2 三( 一去)咫i马j 一陪+ 小矧一鼬一歌剖 “( 2 1 5 ) 在上述分杉r 的基础上，按照矩阵理论司以求得傍轴光线在腔内往返n 次的往返 变换矩阵t ”( 疗个往返矩阵t 的乘积) 的表达式： 丁”= 曙磬南r r 矽c 咖- s i 砷n ( n 。1 胍n b s i n 毗n 川，) 汜 式中 6 = a r c c 。s 丢( 彳+ d ) ( 2 1 7 ) 从式( 2 1 6 ) 可以看出：判断在什么情况下傍轴光线能在腔内往返任意多次而 不致横向逸出腔外，决定于往返变换矩阵r 各个元素对任意刀值是否都保持有限。 即咖是否为实数。这样就可以得到判断共轴球面腔是否稳定的条件： b 。) 2 l ( 2 1 8 ) 令蜀= ( 1 一去) 、9 2 = ( 1 一去) ，代入式( 2 1 8 ) 得出 1 6 谐振腔模式研究 0 g 1 9 2 1 ( 2 1 9 ) 则式( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 合称为共轴球面腔的稳定性条件。同事我们也就得到 了临界腔和非稳腔所满足的条件： 愍：计舻19g o r gg 。靠主譬 汜2 。， 【i2 o非稳腔 需要说明的是：傍轴光线从腔内不同初始位置出发，往返一次的变换矩阵丁的各元 素的具体表示式会各不相同，但是n - - i 以证明：去( 彳+ d ) 对于定几何结构的球面 腔是一个不变量，与光线的初始条件无关。 2 3 非稳光学谐振腔理论 高功率激光器件设计中的主要问题是，如何获得尽可能大的模体积和好的横模 鉴别能力，以实现高功率单模运转，从而既能从激活物质中高效率地提取能量又 能保持高的光束质量。而稳定腔内基横模的体积太小，且与反射镜镜面尺寸无关， 这意味着增大激活介质的横向尺寸无助于输出功率提高，反而容易导致激光器的 多模运转，降低输出光束的质量，故不能满足这些要求，而非稳腔却是最合适的。 2 3 1 非稳定谐振腔及特点 非稳定谐振腔的反射镜可以由两个球面镜构成也可由一个球面镜和一个平面 镜组合而成。若蜀和心为两反射镜曲率半径，为两镜间距离，对于非稳腔则蜀，g ： 满足g 。g z l 非稳腔中光在谐振腔内经有限次往返后就会逸出腔外，也就 是存在着固有的光能量可以横向逸出而损耗掉，所以腔的损耗很大。在高功率激 光器中，为了获得尽可能大的模体积和好的横模鉴别能力，以实现高功率单模运 转，稳定腔不能满足这些要求，而非稳腔是最合适的。与稳定腔相比，非稳腔有 如下几个突出优点口卜冽： 1 大的可控模体积 在非稳腔中，基模在反射镜上的振幅分布式均匀的，它不仅充满反射镜，而且 不可避免地要向外扩展。西格曼( 1 9 6 5 ) 已经证明：非稳腔的损耗与镜的大小无 关，这一点是重要的，其物理原因是，一个镜面的减小，正比减小了它多截取的 和反射的波的锥角，所以相对横向尺寸保持不变，因而功率损耗比例也保持不变。 波束的横向尺寸比反射镜要大一倍时，模的横向尺寸也增大一倍，因此，只要把 反射镜扩大到所需的尺寸，总能使模大致充满激光工作物质。这样即使在腔长很 短时也可得到足够大的模体积，故特别适用于高功率激光器的腔型。 第二章光学谐振腔的理论简介 1 7 2 可控的衍射耦合输出 般稳定球面腔是用部分透射镜作为输出耦合镜使用的，但对非稳腔来说，以 反射镜面边缘射出去的部分可作为用用损耗，即从腔中提取有用衍射输出，在球面 波近似下，输出耦合率为： 6 ：l 一土( 2 2 1 ) m 其中，膨为非稳腔的单程放大率。因为m 只与腔的几何参数譬有关，故可选择适 当的g 值来得到所需要的耦合输出，而反射镜的几何尺寸只需要根据所要求的模体 积来确定。6 则可根据激光介质的增益、泵浦水平、输出功率等方面的要求而在 5 - 9 5 设计范围内选择设计。 3 容易鉴别和控制横模 对于非稳腔系统，在几何光学近似下，腔内只存在一组球面波型或球面一平面 波型，故可在腔的一端获得单一球面波型或单一平面波型( 即基模) ，从而可提高 输出光束的定向性和亮度。进一步分析表明，非稳腔中( n 不大情况下) 仍可能有 结构复杂的高阶模存在。但是，即使对于大的模直径和大菲涅耳数n 的非稳腔， 低阶模和高阶模损耗的差异也是较大的，因此容易得到单横模振荡输出。 4 易于得到单端输出和准直的平行光束 通常非稳腔的两个反射镜都是做成全反射的，只要把其中一个反射镜做得比另 一个大得多，以满足单端输出条件，就可以实现单端输出。处于应用目的，可用 透镜或其它光学系统把非稳腔单端输出球面波准直成平行光束。 非稳腔的缺点是：输出光束截面成环状，即在近场中心处有暗斑：在远场暗斑 消失，光束强度分布不均匀，显示出某种衍射环。 2 3 2 非稳腔的参数一菲涅耳数及几何放大率 图2 2 双凸非稳腔 激光谐振腔理论中菲涅耳数定义为 1 8 谐振腔模式研究 n = 口2 a 三 ( 2 2 1 ) 其中，口为腔镜横向尺寸，为腔长，a 为波长；可理解为从一个镜面中心看到另 一个镜面上可以划分的菲涅耳半周期带的数目( 对平面波阵面而言) 。它是衍射现 象中的一个特征参数，表征着衍射损耗的大小，愈大，损耗愈小。 图2 2 为双凸面镜构成的非稳腔，它有两个共轭像点名和最，为像点日到镜面m 。 的距离；如为像点最到镜面m ：的距离：蜀为镜m 的曲率半径；r 为镜m 2 的曲率 半径；l 为腔长。假设从共轨像点e 发出的腔内球面波到达镜m 时，其波面恰能 完全覆盖镜m 。即波面线度为a 。，当此球面波经镜m 。，反射到达m ：后，其波面尺 寸将扩展为口1 7 。取嘲= 口l 口l ，显然玛为波在腔内行进时镜m 对几何自再现波型 波面尺寸的单程放大倍率，称为镜m 的单程放大率。同理，可定义鸠的几何 自再现波型的单程放大率为m ：= 口2 口2 。故 m = 嘲 ( 2 2 2 ) 表示非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率。 由共轭像点的性质可知，从最点发出的球面波被镜m 反射时与从像点鼻发出 的球面波一样。因此，对双凸腔不难求得 ：世 ( 2 2 3 ) 埘：丝 ( 2 2 4 ) 乞 从互点发出的腔内球面波经镜鸠反射后应成像于点，因而只和应满足在 球面镜鸩上成像的共扼关系 上一三：三( 2 2 5 ) 五+ 三如恐 同理从点发出的腔内球面波经镜m 反射后应成像于点e ，因而舅和只应满 足在球面镜m 上成像的共扼关系 上一! ：三( 2 2 6 )= 一 nj 乞+ 三墨 放大率是非稳腔的一个重要的参数。由上面的公式我们可以看出，非稳腔的几 何放大率、，m 只与腔长l 和镜的曲率半径曷、r ：有关，而与镜的横向尺寸 q 、口2 无关。 第二章光学谐振腔的理论简介 1 9 2 3 3 非稳腔的能量损耗 非稳腔的能量损耗与几何放大率有着密切的关系。从图2 2 我们司以看出，相 当于从口点发出并恰能全部覆盖住镜m 。的球面波到达镜鸩后，其波面尺寸已超 过了鸩的范围。其中只有一部分，即在镜鸩范围内的那一部分被镜m ：截住并反 射回来，超出镜m ：范围的那一部分波面将逸出腔外，造成能量的损耗。由于在几 何分析中认定自再现波型是均匀球面波，因此能量损耗份额即由超出镜m 2 的那部 分波面的面积与整个波面的面积之比决定，而这一i t , 值又直接与几何放大率相联 系。对相当于从像点昱发出的球面波，情形也是一样的。下面具体讨论一下损耗 的大小： 如图2 1 所示被镜鸠截住并反射回腔内的能量份额为 p 筹= 半 亿2 7 ， 越过心逸出腔外的份额为 一_ r 。_ 1 一半 ( 2 2 8 ) 毛单程单程的意义是：每当几何自再现波形在腔内从镜m 单程进行到鸠时，将 有q 单程这么大一个份额的能量从镜鸠端逸出腔外，也就是说，相当于从共轭像点 墨发出的球面波从镜m 单程行进到鸩时，能量的相对损耗为s 。单程。 同理，相当于从像点最发出并恰能全部覆盖住镜鸩的几何自再现波形到达镜 m 后，被m 截住并反射回腔内的能量份额为 p 毒= 警 汜2 9 ， 而越过m 逸出腔外的能量份额为 s ：单程= l r ：= l 一羔鱼吾善羔蔓 ( 2 3 0 ) 从任何一个共轭像点发出的球面波在腔内往返一次，经两个镜面反射中的能量 损耗份额为 2 0 谐振腔模式研究 _ l _ r l r z 小雨1 虿1 - l - 专 ( 2 3 1 ) 式中m = 聊。聊：为非稳腔的往返放大率。平均单程损耗为 程= l 一厄= l 一万1 ( 2 3 2 ) 2 3 4 非稳腔的近远场分布 ( 1 ) 近场分布 由不稳定的集合光学理论可知，在近场，不稳腔的输出为一被近似均匀球面波照 明的亮环，特殊情况下是一个被均匀平面波照明的亮环。在紧靠输出反射镜出， 环的外径于工作物质的半径q ，环的内径等于输出镜的半径呸。在单端输出情况 下，近场亮环的外径与内径之比等于腔的放大率坍= q 口。 ( 2 ) 远场分布 光场的远场分布是指它在无穷远屏上所形成的光强分布，即夫琅和费衍射图， 实际上可用一透镜将光束聚焦后观察在透镜焦平面上的光强分布。按照夫琅和费 衍射理论，可求得远场的角分布为晒3 ： 邶m 篙 鬻一搿 ) 2 汜3 3 ， 式中厶为0 = 0 时远场分布图中心处的光强值，d 为远场图中的角半径0 = r ，厂，f 为边境焦距，r 为焦平面上观察点到光斑中心距离，以为一阶贝塞尔函数。 当0 = 0 时，z ( e ) = 厶随着8 增大，i ( o ) 交替地取得一系列极大值和极小值。因 此，上式所描述的远场分布为在焦平面上一组明暗交替的同心光环，其中心永远 为一亮斑。 2 3 5 非稳腔光束质量评价 对非稳腔输出激光光束质量的评价，一直是困扰激光工作者的一个问题。对此 问题己有不少报道降列。常用的光束质量的定义主要有： ( 1 ) m 2 因子= ( d p ) 窭( d 宰d ) 理；0 是分别为实际情况和理想情况下测得的激 光束远场发散角； m 2 因子能较好地反映光束质量的实质，具有较强普适性，并且积分地反映了 光强的空间分布1 ，但用m 2 因子进行评价存在两个问题：第一，理论上用二阶矩 定义的m 2 因子对非稳腔计算时遇到积分发散的困难。第二，均匀反射率镜非稳腔 的本征基模为球面波( 平面波为其特例) ，采用腔内插入耦合板或从一端反射镜( 中 第二章光学谐振腔的理论简介 心遮拦) 输出时，近场为环状球面波或环状平面波。即使在理想情况下，从非稳腔 输出激光也不可能是基模高斯光束。这意味着在测量方法正确前提下，对实际非 稳腔输出光束测得的m 2 值( 二阶矩定义) 总是大于1 。 ( 2 ) 远场发散角或衍射极限倍数卢或焦斑大小；卢= 际想 共焦非稳腔激光器输出平行光束，用卢表示它的光束质量，有其合理一面。但 实际做起来，问题较多。主要是两类问题：其一是口定义中的问题，其二是非稳 腔环孔光束带来的问题。卢定义中涉及n - 处光束束宽的测量，即远场束宽测量 和近场束宽测量。远场发散角一般是测出透镜焦平面上的光斑直径，然后除以焦 距，透镜焦平面上的束宽，一般以8 4 能量含量来定义和测量。理想衍射极限远场 发散角钆翱要测出激光器输出束宽，并据此计算。这样，光束的近场和远场光束束 宽定义不统一，既不符合传输方程，又不符合能量守恒原则，这是p 作为光束质 量标准根本问题所在。 ( 3 ) b q = 乓想& 际桶中功率比，或环围能量比； 桶中功率( 或能量) 比适用于能量输送、耦合型的应用，但单一的桶对光强的 空间分布的描述有所不足，而且必须明确理想光束的选取。用桶中功率( p i b ) 曲线 来评价非稳腔的远场光束质量，如果只关心非稳腔远场光束分布的能量集中度， 可用p i b 曲线来评价非稳腔的光束质量。有两种方法：( 1 ) 用某一确定发散角内的 功率含量占总功率的百分比来评价非稳腔的远场光束质量。由 p 书训巾一= 焉船。警 2 删汜3 4 ， 其中a 为圆环外径，s 是遮拦l h k 为波数，以是一阶贝塞尔函数，p 是远场发散 角。可求出在不同遮拦比s 的非稳腔远场光强分布，不同远场发散角内的功率含量 占总功率的百分比p 。由计算知，相同的发散角内，大的s 对应的非稳腔远场光强 分布的功率含量就小些。因此，随着s 的逐渐增加，非稳腔的光束质量越来越差。 ( 2 ) 用某一确定的功率含量百分比对应的远场发散角来评价非稳腔的光束质量。用 该方法来评价非稳腔的光束质量时，越大的远场发散角对应的非稳腔的光束质量 就越差。由式( 2 3 4 ) 知，对一确定的功率含量百分比，大的光束遮拦比对应的非 稳腔远场光强分布的发散也大。所以，我们也得到相同的结论：随着s 的逐渐增加， 非稳腔的光束质量也越来越差。 ( 4 ) s t r e h l = 实际轴上峰光强理想轴上峰光强= e x p 一( 竿) 2 ( ) 2 】。式中， 是造成光束质量下降的像差。 - s t r e h l l 匕因子反映了远场轴上的峰光强，它取决于波前误差，能较好地反映光 谐振腔模式研究 束波前畸变对光束质量的影响。常应用于大气光学中，主要用来评价自适应光学 系统对光束质量的改善性能。但s t r e h l l e 只反映远场光轴上的峰光强，不能给出 能量应用所关心的光强分布啪1 。此外，它只能粗略地反映光束质量，在非稳腔光 束质量评价中不能提供非常有用的指导。 这些定义各有优点和局限性。而对高功率激光器来说，用p i b 曲线作为非稳腔 远场光束质量评价的一种方法是可行的，而且，一般对功率的测量比束宽的测量 精确度要高，也避免了因实际测量误差太大带来的一系列问题，但是对非稳腔输 出激光空间域光束质量的全面评价，应当根据实际应用目的，增选其它光束参数 ( 包括近场光束参数) ，与p i b 曲线一起评价光束质量。而对非稳腔与光束质量和光 束传输有关的一些理论问题尚值得继续深入研究。 2 3 6 虚共焦非稳腔的结构及特点 为了方便，本文所选用正支虚共焦非稳腔，如图2 3 所示，它是由两个曲率半 径不同的球面镜按虚共焦方式( 共轭像点在腔外) 组合而成的一种特殊类型的凹凸 非稳腔。墨为镜m 的曲率半径，足为镜鸠的曲率半径，凹面镜的曲率半径取为 正，凸面镜的曲率半径取为负，则它满足下面的关系式： dp 坐+ 竺= 三 ( 2 3 5 ) 22 2 9 1 9 2 = 岛+ 9 2 ( 2 3 6 ) 凹面镜的实焦点与凸面镜的虚焦点相重合，公共焦点处在腔外，构成一个虚共 焦望远镜系统，所以有时又称此腔为虚共焦望远镜腔。它的主要特点是：一个共 轭像点在腔外无穷远处，另一个共轭像点在公共焦点上，因此腔内对应的自再现 波型是一个平面波，另一个是以公共焦点为虚中心的球面波。 利用上面式子，我们就可以求得它的往返损耗。 第二章光学谐振腔的理论简介 图2 3 正支共焦非稳腔 这种腔的最大优点是：两个共轭像点在腔外，且不经过透镜转换自身就能获得 单端输出的均匀平面波。在高功率激光器中经常使用这种腔，为不失一般性，我 们在计算中也使用的是这种腔。 第三章模式理论和算法的建立 第三章模式理论和算法的建立 激光光束的横模结构确定功率密度的分布，激光谐振腔的模式分布的计算对激 光的应用有着重要的意义。通过数值计算，可以对现有的激光束设备进行分析和 改进并对激光谐振腔的参数设计具有指导意义。本章3 1 节从模式理论出发，介绍 了模式的基本概念，3 2 节介绍了横模理论。在上述基础上3 3 节从菲涅耳衍射积 分方程出发，推导出求解积分方程的f o x - l i 数值迭代法，利用贝塞尔函数将二维 的衍射积分方程简化为一维积分方程，建立一维光束传输矩阵，进行光场模式计 算，实现了f o x l i 数值迭代法快速计算。 3 1 模式的基本概念和模式理论b 7 q 阳 无论是闭腔还是开腔，都将对腔内的电磁场施以一定的约束。一切被约束在空 间有限范围内的电磁场都将只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个 本征态将具有一定的振荡频率和一定的空间分布。在激光技术的术语中，通常将 光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式。从光子的观点来看，激 光模式也就是腔内可能区分的光子的状态。 腔内电磁场的本征态应由麦克斯韦方程组及边界条件决定。由于不同类型和结 构的谐振腔的边界条件各不相同，因此谐振腔的模式分布也各不相同。对闭腔， 一般可以通过直接求解微分形式的麦克斯韦方程组来决定其模式；而寻求开腔模 式的问题通常归结为求解一定类型的积分方程。但不管是闭腔还是开腔，一旦给 定了腔的具体结构，则其中振荡模的特征也就随之确定下来，这就是腔与模的一 般联系。因此，光学谐振腔理论也就是激光模式理论。我们的目的是弄清楚激光 模式的基本特征及其与腔的结构之间的具体依赖关系。所谓模的基本特征，主要 指的是：每一个模的电磁场分布，特别是在腔内横截面内的场分布；模的谐振频 率；每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗；与每一个模式相对应的激光 束的发散角。原则上说，只要知道了腔的参数，就可以惟一地确定模的上述特征。 当光在两镜面间往返传播时，一方面将受到激活介质的放大作用，另一方面将 经受各种损耗。由反射镜的有限大小所引起的衍射损耗就是其中之一。尤其重要 的是，在决定开腔中激光振荡能量的控件分布方面，衍射将起主要作用。在腔镜 反射不完全以及介质中的吸收所造成的损耗，将使横截面内个点的场按同样的比 例衰减，因而，对场的空间分布不会发生什么影响。但衍射损耗却与此不同，由 于衍射主要是发生在镜的边缘上，因而恰恰将对场的空间分布发生重要影响，而 且，只要镜的横向尺寸是有限的，这一影响将永远存在。为了突出开腔的主要特 征，以简化分析，这里提出一个理想的开腔模型：两块反射镜面( 平面或者曲面) 2 6 谐振腔模式研究 沉浸在均匀的、无限的、各项同性的介质中。这样就没有侧壁的不连续性，而决 定衍射效应的孔径就由镜的边缘所构成。 实际上，气体激光器并非真正没有侧面边界，衍射孔径也不一定由镜的边缘决 定。但上述理想开腔模型确能抽象出光学丌腔的本质特征，因而，先不考虑这些 具体细节，仍按理想模型进行分析。 考虑在上述开腔中往返传播的- n 波。设初始时刻在镜l 上有某一个场分布 ，则当波在腔中经第一次渡越而到达镜2 时，将在镜2 上生成一个新的场分布u ， 场材，经第二次渡越后，又将在镜l 上生成一个新的场分布地。由于每经一次渡越 时，波都将因衍射而损失一部分能量，而且衍射还将引起能量分布的变化。因此， 经一次渡越时，波都将因衍射而损失一部分能量，因而衍射还将引起能量分布变 化。因此，经一次往返后所获得的场不仅振幅将小于，而且，分布可能与u ，不 同。以后又转化为，1 4 再转化为蚝这一过程反复进行下去。不管初始分 布u 的具体特性如何，经过足够多次渡越以后所生成的场都将明显地带上衍射痕 迹。由于衍射主要是发生在镜的边缘附近，因此，在往返传播过程中，镜边缘附 近的场将衰落得更快。经多次衍射以后所形成的场分布，其边缘振幅往往都很小 ( 与靠近镜面中部的场比较) ，这几乎是一切开腔模场分布的共同特征。反过来， 具有这种特征的场分布受衍射的影响也将比较小。可以预期，在经过足够多次渡 越以后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能 够“再现 出发时的场分布。这种稳态场经过一次往返后，位移可能的变化时， 镜面上的个点的场振幅按同样的比例衰减，个点的相位发生发生同样大小的滞后。 当两个镜面完全相同时( 对称开腔) ，这种稳态场分布应在腔内经单程渡越后即实 现“再现 。 我们把开腔镜面上的经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或 横模。自再现模一次往返所经受的能量损耗称为模的往返损耗。在理想开腔中， 等于前面所指出的衍射损耗。自再现模经一次往返所发生的相移称为往返相移。 改相移等于2 x 的整数倍，这就是模的谐振条件。 研究表明，开腔的自再现模确实存在。一方面，人们从理论上论证了自再现模 的存在性，并且用数值的和解析的方法求出了各种开腔的横模。另外，又从实验 室观测到了激光的各种稳定的强度花样，而且理论分析与实验观测的结果符合得 很好。 第三章模式理论和算法的建立 2 7 3 2 横模理论 在激光器工作的过程中，如果不采取特殊的限模措施，激光器在正常工作的 情况下腔内往往会有多种横模模式同时存在1 3 9 】。如果是单一的模式输出，那么输 出激光脉冲的波形是恒定不变的，这种相同的波形主要体现在探测到的激光脉冲 信号的功率和脉宽是相同的。如果是多种横模同时存在，那么在不同时刻激光脉 冲的波形就会发生变化，会引起输出脉冲的不稳定。 横模的产生主要是由于光在两个反射镜之间来回反射，其中振幅和相位分布 保持不变的电磁场才能够存在于光学谐振腔中，这些特殊的场分布形成无源谐振 腔的横模。 在直角坐标系中，用符号t e m m n 表示横模。整数m 和n 表示在水平和垂直方 向上与光轴垂直的强度零节点的数量。在圆柱坐标系中，用t e m p t 表示横模，p 表 示径向节点数，表示角向节点数。m 、n 、p 和，的数值越大，模的阶数就越高。 最低阶模是t e m o o 模。在它的光轴上有最大的高斯强度分布。对于下标为l 或比 l 大的横模，光强的极大值不一定存在于光束中心。高阶横模的峰值和节点的位置、 幅度，通常需要使用高阶厄米多项式或高阶拉盖尔多项式方程来确定。 本论文中只考虑基横模t e m o o 、一阶横模t e m l o 和二阶横模t e m 2 0 这三种模式， 图3 1 是它们的圆柱形横模花样： o 图3 1 圆柱形横模模式花样图 如图3 1 所示为了求出各阶横模的分布必须求其中各阶横模暗环的面