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最优性能指标下的有限拍内模控制系统 控制理论与控制工程专业 研究生喻晓红指导教师赵曜 6 5 4 7 0 5 本文提出了最小跟踪误差有限拍内模控制方法以及在控制能量与跟踪误差 的加权二次型性能最优指标下实现有限拍内模控制的方法。首先本文在最小控 制能量有限拍内模控制结构的基础上，保留原有的反馈滤波器结构，根据二自由 度内模控制结构的特点，系统的鲁棒性以及抗扰性能由反馈滤波器进行控制调 节，而对于内模前馈控制器的设计贝u 着重于在要求的最优指标下实现无纹波的 有限拍跟踪性能。然后本文根据有限拍无纹波控制的要求，分别推导出在最小 跟踪误差性能指标下以及在控制能量与跟踪误差加权二次型最优性能指标下实 现有限拍控制的约束条件，进而提出了在这两者性能指标下实现有限拍控制的 内模前馈控制器的设计方法。本文所设计的前馈控制器是在给定控制拍数的前 提下实现的有限拍控制，其最后的设计过程仅仅是计算一个简单的矩阵方程， 因此结构简单，设计容易，有实际的工程应用价值。随后，针对已有的最小控 制能量有限拍控制以及本文所提出来的最小跟踪误差有限拍控制和控制能量与 跟踪误差加权二次型性能最优的有限拍控制这三种控制方法进行了相关的比较 研究，对于在设计过程中最优指标关于权矩阵的意义以及权矩阵参数的选择分 别进行了分析和讨论。 最后对三种有限拍控制方案以及权矩阵参数的选择进行了m a u a b 仿真，验 证了本文所提出的最小跟踪误差有限拍前馈控制器设计以及控制能量与跟踪误 差加权二次型性能的有限拍前馈控制器设计方案的可行性，并通过仿真分析比 较各自的特点及适用范围。 关键词：内模控制最小控制能量最小跟踪误差有限拍控制 嚼；蟛 ad e a d - b e a ti n t e r n a lm o d e ls y s t e mw i t ho p t i m a l p e r f o r m a n c e i n d e x m a j o r ：c o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n g g r a d u a t e ：y u x i a o - h o n gs u p e r v i s o r ：z h a oy a o i nt h i sp a p e r , t w od e s i g nm e t h o d so fd e a d - b e a tc o n t r o l l e rw i mv a r i o u so p t i m a l p e r f o r m a n c ei n d e xa r ep r o p o s e db a s e d 0 nt h et w o - d e g r e e o f - f r e e d o mi n t e r n a lm o d e l c o n t r o l ( i m c ) s t r u c t u r e b a s e do nt h ep r o p o s e dm i n i m a l e n e r g yd e a d b e a t i m c s y s t e m ，w eu s et h es a m ef e e d b a c kp a r to ft h ec o n 灯o l l e rs t r u c t u r et o a c h i e v et h e r o b u s t n e s sw i t l l r e s p e c t t o p l a n tp e r t u r b a t i o n s o ro u t p u td i s t u r b a n c e sw h i l et h e f e e d f o r w a r dp a r to ft h ec o n t r o l l e ri s d e s i g n e dt om i n i m i z et h et r a c k i n ge r r o r s o r m i n i m i z et h e q u a d r a t i cp e r f o r m a n c e i n d e xr e s p e c t i v e l yf o rag i v e nd e a d b e a tn u m b e r af o r m u l ai sd e r i v e df o rt h eo p t i m a lc o n t r o lt h a tm i n i m i z e st h et r a c k i n gc t i o i $ a n d a l s oa n o t h e rf o r m u l ai sd e r i v e df o rt h eo p t i m a lc o n t r o lt h a tm i n i m i z e st h ew e i g h t e d q u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e xf o rt h es p e c i f i e ds e t t i n gt i m e a sar e s u l t , t h ef i n a l d e s i g no ft h ef e e d f o r w a r dc o n t r o l l e ri sr e p r e s e n t e di nt h ef o r mo fam a t r i xw h i c h m a k e st h ed e s i g n p r o c e d u r ee a s y i to f f e r sf u r t h e rp r o s p e c to fe n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n f u r t h e r m o r e ，t h i sp a p e rc o m p a r e s t h e m i n i m a l - e n e r g y d e a d - b e a t c o n t r o l ，t h e d e a d b e a tc o n t r o l 谢mm i n i m a lt r a c k i n ge r r o ra n dt h ed e a d b e a to p t i m a lc o n t r o lw i t h w e i g h t e dq u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e x i nt h ee n d ，w ed i s c u s st h em e a n i n g a n dt h e s e l e c t i o no ft h ew e i g h t i n gm a t r i xi nt h ep e r f o r m a n c ei n d e x s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o w t h a tt h es t r a t e g yi se f f e c t i v e k e y w o r d s ：i m c m i n i m a l - e n e r g yc o n t r o l m i n i m a l t r a c k i n g e r r o r d e a d _ b e a tc o n t r o i 四川大学硕士学位论文 1 引言 有限拍控制作为经典控制理论中关于控制系统的离散化设计方法之一已经 被广泛接受并且应用。但在实际应用中，它存在一些缺点，譬如说对输入形式 的适应性差，对参数的变化以及模型失配敏感，抗扰性能差，系统存在对工作 有害的纹波等。因此必须寻求将其它的先进控制理论或是控制方法与其结合， 既能使其保有原有的设计简单，响应快速等优点的情况下，又能克服其固有的 缺点。二十一世纪八十年代以后发展起来的内模控制( i m c ) 与有限拍的结合既 弥补了有限拍的以上缺点，又能使二者的设计优点相结合，具有很强的生命力， 应用前景广阔。 1 1 有限拍控制理论的发展概况 在离散控制理论发展的最初阶段，有限拍控制被认为是一种简单而有效的 控制策略。从2 0 世纪5 0 年代起，有限拍控制系统的设计就受到众多的关注。 b e r g e n 和r a g a z z i n i 最早提出的有限拍控制器的设计方法是基于模型匹配的前 向控制结构。但这种在频域内的有限拍设计方法导致对象零、极点的对消，因 此仅适用于稳定的最小相位系统”。随后，k u n e r a 、l e d e n 、a k a s h i 、k i m u r a 与 t a n a k a 等人进行了一系列针对广义多变量对象的有限拍控制器设计的研究，大 大推动了有限拍设计的发展脚一。 对于有限拍控制的研究，主要着重于最短时间有限拍控制，即最少拍控制 的研究。虽然最少拍控制具有众多优点，比如在理想情况下，对于给定信号具 有最快速响应等特点，但是，它存在一些缺点，比如控制幅度往往过大以及控 制鲁棒性差等，严重阻碍了它在实际生产中的应用。因此后来的学者针对它的 这些缺点提出了很多解决的途径。 最少拍控制的一个显著的缺点就是控制量的幅值往往过大，过大的控制量 幅值通常很难实现或是花费的代价过大，因此，众多学者提出了不同的方法来 解决控制量幅值过大的问题。在状态空间结构下，t o m i z u k a 提出引入一种柔化 滤波器来限制控制量的幅值的方法”3 。而j o d a n 和k o r n 提出通过延长调节时间 四j 1 i 大学硕士学位论文 的方法来减小控制能量。另外，k a m e y a m a 用线性规划的方法来解决控制输入 受限情况下的时间最优控制问题。1 。而i s e r m a n 使用传递函数的方法，提出通过 增加调节时间和指定控制输入每一拍或是前几拍的值的一个简单的分析方法来 解决这个问题n m 。这些方法均有效的限制了控制幅度过大，但由于他们均为传 统的一自由度结构，不能解决有限拍鲁棒性差的问题。 有限拍系统的抗扰性能同鲁捧性能都较差。在很多情况下，对象参数小的 扰动均可能导致有限拍控制系统振荡或是响应缓慢。c h e n 等人将v i d y a s a g a r 提出的所谓的”互质分解”的方法应用于多变量有限拍控制系统“。但是，他 们仍未能脱离对象的不稳定的零、极点所带来的限制条件。为此，z h a o 和k i m u r a 提出一个鲁棒性的指标，并给出在该指标下最优而非响应速度最优的有限拍控 制的设计方法，并将此鲁棒性指标最优的有限拍的设计方法推广到多变量的情 况“2 瑚3 。随后，又提出了关于二自由度有限拍鲁棒控制系统的设计方法，设计 出能同时达到鲁棒性指标最优与最少调节时间的有限拍二自由度系统，并将此 设计方法推广到多变量系统“4 ”3 。随后，他们在前面取得的成果的基础上，将有 限拍控制与二次型指标的最优控制相结合，提出了最小能量与最小控制误差的 有限拍鲁棒控制器的设计方法“6 1 ”1 。近几年z h o n g 等人又提出了在有限拍控制中 使用二自由度的干扰观测器的控制策略以及在控制器中使用多个可调的延迟环 节等控制方法来提高系统的鲁棒性以及抗扰性的问题o “”1 。 近年来随着内模控制理论的发展，由于内模结构具有结构简单、鲁棒性强 等特点，将有限拍控制与内模控制相结合可以充分利用其各自的特点，使得有 限拍设计方法更为简便。因此，将有限拍控制与内模控制相结合具有更为广阔 的应用前景。高鹏在文献 2 0 中采用线性代数的有关知识导出了延长的调节拍 数和控制幅值减小量之间的精确数值关系，从而提出了一种可以在有控制限幅 约束的情况下实现真正最少拍控制的控制器的设计方法。本文在前面众人研究 的基础上，继续将有限拍与内模控制同二次型指标的最优控制相结合，对最小 跟踪误差的有限拍内模控制器的设计方法以及控制能量与跟踪误差加权二次型 性能指标的有限拍内模控制器方法进行研究。 四川大学硕士学位论文 1 。2 内模控制理论的发展概况 内模控制是于1 9 8 2 年由g a r c i a 和m o r a r i 正式提出1 。它的产生背景主要 基于两个方面，一是对当时提出的两种预测控制算法：模型算法控制( m a c ) 和 动态矩阵控制( d m c ) 进行系统分析；其次是作为s m i t h 预估器的一种扩展，使 设计更为简便，鲁棒及抗扰性能大为改善。 内模控制作为一种实用性很强的控制算法，其主要特点是结构简单，设计 直观简便，跟踪调节性能好，在线调整参数少而且调整方针明确，特别是对于 鲁棒性及抗扰性能的改善和大时滞系统的控制效果尤为显著，同时也是设计与 分析预测控制系统的有力工具。在2 0 多年的发展历程中，内模控制不论是在控 制器本身的设计中，还是在与其它控制方法的结合上，或者是向非线性、多变 量系统的扩展上。2 2 “，都取得了长足的进步，使其广泛适用于纯滞后、多交量、 非线性的系统，特别是1 9 8 8 年e c o n o m o n 等人将其推广到非线性系统以后，为 非线性系统的研究提供了一条有效的途径，也进一步扩大了内模控制的应用， 使其具有强大的应用前景和生命力。同时，内模控制与其它控制方法的结合也 是很容易的，很多学者在这方面都做了研究，如自适应内模控制。2 司、采用模糊 决策、仿人控制、神经网络的智能型内模控制等”“，将智能控制与各先进控 制方法广泛引入到内模控制领域，大大推动了内模控制理论研究与实际应用的 发展。近几年，很多学者更是在将内模控制与各先进控制方法结合起来应用予 非线性系统作了大量研究与探讨。”1 ，这无疑在推动了内模控制的理论发展的同 时为内模控制的工程应用提供了更大的发展空间。 内模控制的设计研究工作主要集中于其控制器的设计。g a r c i a 和m o r a r i 在提出内模控制的最初就提出了关于内模控制器的设计步骤分两步来完成。1 ： 第一步先设计一个稳定的理想控制器，第二步采用在反馈和输入回路中插入反 馈滤波器和输入滤波器，通过调整反馈滤波器和输入滤波器的结构和参数来稳 定系统，并使系统获得期望的动态品质和鲁棒性。大量的学者对理想控制器即 内模前馈控制器的设计做了研究工作，经过二十多年的发展过程中产生了多种 设计方法，较典型的有零极点对消法。“、预测控制法。“、针对p i d 控制器设计 的内模控制方法“”、皿只。优化法m 。3 7 1 有限拍法。”等。而对于反馈滤波器的 设计，有很多学者也做了很多研究，在最初提出的使用简单的一阶滤波器作为 四川大学硕士学位论文 反馈滤波器的基础上。“，赵曜等提出的在反馈滤波器中增加一个变增益环节，增 加一个智能参数整定器来在线调节变增益参数和一阶滤波器参数，可分别改变 反馈波滤器响应的强度和快慢，使系统的抗扰性和鲁棒性得到进一步的提高。”。 本文继续着重于内模前馈控制器的设计，将其与有限拍控制及最优控制理 论相结合，设计出满足各项性能要求的前馈控制器，以求进一步完善内模控制 器设计理论。 1 3 本文所做的工作 本文设计的系统采用2 自由度的内模控制结构，在文献 1 6 、3 8 关于最小 控制能量有限拍内模控制器的设计的基础上提出了关于最小跟踪误差有限拍内 模控制器的设计方法。并做进一步研究，提出了控制能量与跟踪误差加权二次 型性能指标约束下的最优有限拍内模控制器的设计。并进行仿真研究作为验证。 具体工作如下： 首先，根据内模控制结构以及有限拍控制设计的基本要求，推导出实现有 限拍控制的约束条件，进而提出了在最小跟踪误差的性能指标情况下实现有限 拍控制的内模控制器的设计方法，并通过仿真进行了验证。 然后，对于控制能量与跟踪误差加权二次型最优指标，提出了在此性能指 标下研究有限拍控制的约束条件，并进一步完成了有限拍内模控制器的设计， 通过m a t l a b 编写相应的程序并进行仿真研究。 最后分析比较最小控制能量，最小跟踪误差以及控制能量与跟踪误差加权 二次型指标最优这三种性能指标下内模控制器的设计的各自特点和优越性，分 析了三种性能指标权矩阵的意义及其参数选择原则，并用m a t l a b ( s i m u l i n k ) 进 行参数选择仿真以及三种有限拍控制系统的比较仿真研究，验证了设计方法的 正确性，并总结了三种有限拍控制方法各自的特点及适用范围。 4 四川大学硕士学位论文 2 内模控制原理及有限拍控制原理 2 1 内模控制结构 内模控制基本结构框图如下图所示。 图2 1 内模控制基本结构图 其中，u ，y 分别为给定输入、控制量和输出，妒为干扰输入，p 为实际控制对象， e m 为对象模型，q 为内模前馈控制器。 内模控制结构的系统闭环输入输出方程为： 炻赢1q ( p ( 卜) “= ! 一 ，一驴) + 一只) 、 y = 1 彘q ( e ( r 一声) + 。 + 一p 卅) 、 2 2 内模控制的特性 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 内模控制具有如下特性“”： ( 1 ) 对偶稳定性 当模型与对象匹配，即p = 己时，由( 2 1 ) 、( 2 2 ) 式可知，系统相当于开 环，即闭环系统的输出y 只取决于i m c 系统前身通道的传递函数 四川大学硕士学位论文 g 。= o e( 2 - 3 ) 因此，只要系统的前向通道开环稳定，即q 和p 稳定，则闭环总是稳定的，这 就是对偶稳定性。通过对偶性，大大简化了系统稳定性的分析，特别是当系统 存在非线性、纯滞后等特性时，常规反馈控制系统的稳定性分析是很复杂的。 当存在模型失配时，闭环系统的稳定性与鲁棒性，可以通过适当设计控制 器和反馈滤波器的参数来保证。 ( 2 ) 理想控制特性 对于内模控制器的设计，一般情况下是在不考虑模型失配、扰动等因素的 前提下，先设计出一个理想的控制器，然后再用滤波等调节手段来改善和满足 各种性能要求。 当无模型失配时，若设计控制器 q = 只。 ( 2 - 4 ) 且模型p 卅。存在并可实现 则闭环系统输出 y = 而q ，e 一匕j ( r 一驴) + 妒 ：j r 。登妻竺篓翌三( 2 - 5 ) 1 0 外部干扰扰动下 上式表明，在所有时间内，系统输出都等于输入设定值，即y = ，。这意味 着系统对于任何干扰矿都能消除，实现对参考输入的无偏差跟踪。 但上述性质是在模型的逆巧1 存在且控制器可实现的前提下得出的。然而， 理想控制器是没办法实现的，即使对象无时延( d ：o ) ，由于经采样保持后对象 的脉冲传递函数p ( z 。) 中也有一拍时延，这样设计的q 中就出现超前因子z ，故 理想控制器无法实现。另外，若对象有纯时延d ，如取q = 巧1 ，则q 中含有超 前因子z ( “”，要求控制器具有( d - i - 1 ) 步超前预见性，这在物理上不可能实现； 若对象为一非最小相位系统，已中单位圆外零点，如仍取q = 巧1 ，则控制器本 身不稳定，从而闭环不稳定：用理想控制器构成的系统对误差特别敏感。 虽然理想控制器无法实现，但其设计思想却为实际控制器的设计指明了方 6 四川大学硕士学位论文 向。我们就是要设计一个尽可能接近理想控制器特性的控制器。 ( 3 ) 稳态无差特性 系统的跟踪误差 e 2 y r = 百l - q p 匕) ( 1q ( p 7 一)( 2 6 ) 。 + 匕) “ 显然，若g ( 1 ) = 只。( 1 ) ，则对于阶跃输入和阶跃扰动，稳态偏差为零。 内模控制器的这一无偏差特性表明：系统本身具有偏差积分作用，不需要 在控制器设计中再引入积分因子。 2 3 内模控制器的设计方法 内模控制器q 的设计是在考虑没有模型误差和扰动时进行的，因为此时的 闭环传递函数为q p m ，所以只要使q 尽可能成为模型只的逆就是最佳的控制。 目前比较典型的设计方法主要有以下几种： ( 1 ) 相消法“0 。“1 设对象稳定，首先利用9 消去乞中的最小相位部分，然后在9 中增加一 个一阶或是二阶前馈滤波环节来调节响应的快速性，控制强度和鲁棒及抗扰性， 即所谓的两步设计法。这种方法最简单直观，并同时适用于连续及离散系统， 最为常用。但对于非最小相位对象，由于匕中的不稳定零点无法消去，系统的 响应性能因而无法保证，有可能产生较大的反调和超调。 ( 2 ) 凰以优化法恤跏 该方法是以系统跟踪误差作为优化目标，对其分别实现h ：最优、日。最优 跟踪的控制器的设计方法。其中采用凰最优较之日。最优实现的内模控制系统 具有平稳性好、鲁棒性好、控制量幅度更适中等特点，更具有实用价值。此种 方法的缺点是快速性受限。 ( 3 ) 有限拍法啪1 该方法是离散系统中最少拍控制和有限拍最优控制在i m c 中的应用和扩展， 也是本文研究的基点。其基本思路是在有限个采样周期内使输出达到给定值， 最少的采样周期数对应最少拍控制，只有唯一解，但往往此时控制幅值有可能 过大。适当延长响应拍数并对控制量或是误差量迸行二次型优化就构成了有限 7 四j i i ：k 学硕士学位论文 拍最优控制，可大幅度地降低控制幅度或是控制能量。该设计方法能很好地适 用于非最小相位系统，并且控制器的设计较为简单，缺点是响应不够平滑。 ( 4 ) 预测控制法o “ 该方法是内模控制与预测控制很好的结合。它利用对象模型( 脉冲响应、 阶跃响应或传递函数) 对输出进行预测，通过优化包含输出预测差和控制量的 二次型加权指标来求取q 。这种方法实质是属于预测制算法，只是求取q 时无 需考虑对预测误差的修正。这样设计的q 具有预测控制的大部份特点，参数调 整也基本相同，能很好地控制非最小相位系统，缺点是计算比较复杂，尤其是 预测时域较大时。 2 4 反馈滤波器的设计方法 上述各种内模控制器的设计方法他们的响应快慢都可以直观地进行调整， 降低快速性就可减小控制幅值，增加平稳性或鲁棒性。在没有反馈滤波( 只= 1 ) 时，只能靠前馈控制器q 在三方面性能之间进行折衷；这个系统称为一自由度 内模控制系统。如果在反馈通道中引入一个滤波器，则成为二自由度的内模控 制，此时系统的设计任务包括了前馈控制器q 的设计以及反馈滤波器毋的设 计。前馈滤波器按开环进行设计，主要以跟踪性能作为设计目标，配合各种约 束以及性能指标条件进行设计，是本文主要要讨论的对象，在下一章会重点加 以讨论；而反馈滤波器的设计则需要考虑模型失配和扰动，并在二者之间进行 折衷。适当选取反馈滤波器的结构和参数，可以有效的抑制输出振荡，且可获 得所期望的动态性能、抗扰性能和鲁捧性能。二自度控制器其结构图如图2 2 所示。 在p 的设计时只考虑响应的快速性与控制强度，鲁棒及抗扰性能则专门e h 反馈滤波器凡来实现。 一般情况下，内模控制系统的反馈滤波器乃最常采用的结构为一阶低通滤 波器，其离散方程为： 吩= 高争 ( o s 删) ( 2 - 7 ) 8 四川大学硕士学位论文 图2 2 二自度内模控制结构 式( 2 7 ) 所示的反馈滤波器只有一个调节参数口，结构简单，同时性能改善 效果显著，并有很多成熟的结论，即滤波器参数a 的选择实际上是在鲁棒性与 快速性之间折衷。文献 2 2 给出了一个很有用的结论：无论模型失配有多大， 只要对象增益不变号，则增大滤波器参数调节口( 逼近1 ) ，总能使系统稳定。一 般说来，a 越大，则系统克服模型失配和参数波动的能力就越强，但输出响应 会变慢，即响应的快速性会变差。因此，滤波器参数的选择应综合考虑系统的 动态性能，稳态性能及鲁棒性能，使系统综合指标优良。 反馈滤波器与系统鲁棒性分析： ( 1 ) 鲁棒跟踪性 p1-fiqpm+(f!-1)qpr 41 二堡些：( 2 - 8 ) 1 + f q ( p 一己)1 + f q ( p 一只) 7 当r ，= 亡，即为阶跃信号时，稳态无差条件为： l 一 a 稳定( 保证闭环鲁棒稳定) ，其中= 1 + 毋q ( p p 卅) 。 9 四川大学硕士学位论文 b b ( 1 ) = 1 ，q ( 1 ) 己( 1 ) = 1 当，为任意信号时，稳态无差条件则为； a 二稳定( 保证闭环鲁棒稳定) b - 1 一f r 鳃和乃1 9 x r 的不稳定极点 c 1 一f i q p , 包含西的不稳定极点 ( 2 ) 动态鲁棒性能 系统在无模型失配和扰动下的响应 y = r 级 称为标称响应。系统实际响应为 y = ，q 已+ ( 1 一f j q ) p 。 其中 p m = y y m 反映出模型失配和扰动。我们定义敏感性函数 s = 1 一只织 ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 一1 2 ) 当s 趋向于0 ，y 趋向于标称响应。但是，由于p 卅是对象的离散采样模型， 至少存在一拍采样滞后，因此s 在风和风范数下的最小值是1 “”，且f ，取 ( 2 - 7 ) 的结构时，当参数口趋向于l 时，s 可以取得最小值i ，所以，这种形 式的一具有和h 。意义下的最优性。只对系统鲁棒性的调节规律是：a 越大， 系统平稳性越好，但快速性下降，故口需在二者之间折中。 ( 3 ) 鲁棒稳定性 对于式( 2 7 ) 形式的毋，前己提及，增大盯，总能使系统稳定。因此， 通过反馈滤波器的引入，内模控制的鲁棒稳定得到满足，而固定的滤波器参数口 所能达到的性能毕竟有限，后来的学者对反馈滤波器的结构作了很多改进，并 加入了一些智能控制环节，使得系统的抗扰性能和鲁棒性能得到进一步的提高。 由于本文重点是前馈控制器的设计，对于反馈控制器则直接选用最为常见 的一阶滤波器。之所以选择内模控制结构的有限拍控制，主要是结合两者的优 点。在设计前馈控制器的时候只考虑有限拍控制的设计，主要是实现系统的跟 踪性能，而对于干扰以及鲁棒控制，则通过选取一阶反馈滤波器的参数来实现。 】0 四川大学硕士学位论文 2 5 有限拍控制原理及特性 有限拍控制的设计是指系统在输入作用下，设计出数字控制器，使系统的 调节时间最短或者系统在有限个采样周期内结束过渡过程，有限拍控制的实质 就是时间最优控制。 一般来说，系统的调节时间也就是系统的误差e ( k t ) 达到零所需要的时间， 即有限拍系统就是要求系统在输入作用下，当k n 时，e ( k t ) 恒等于零。其中 为尽可能小的正整数。 即 e ( z ) = e ( o ) + e ( t ) z _ 1 + e ( 2 7 ) z _ 2 + + e ( n t ) z 一” ( 2 - 1 3 ) 由上分析可见有限拍设计的实质即为考虑在输入作用下( 一般考虑典型输 入作用下) ，设计出数字控制器，使系统误差在有限个采样周期内达到零。 传统有限拍系统如图2 3 所示。 图2 3 有限拍控制系统 z ) 传统的有限拍系统的设计跟输入型式月( 力，广义对象的z 传递函数h g ( z ) 有关，为了设计出可实现的有限拍控制器，必须根据这些方面合理选择误差的： 传递函数g 。( z ) ，系统闭环z 传递函数g 。( z ) ，由此可设计出有限拍数字控制器 d ( z ) 。 有限拍系统的调节时间与采样周期t 有关，通常r 越短，调节时间越 短，但是采样周期丁不能无限缩短，或者说采样频率正不能无限提高，因为对 四川大学硕士学位论文 象的饱和特性限制了采样上限频率。通常，选择采样周期t l 1 6 ，0 为对象 的惯性时间常数。有限拍系统对输入型式是敏感的，为了提高有限拍系统对输 入型式的适应能力可以采用换接程序的方法来改善过渡过程特性或者采用折衷 设计法或者采用最小均方误差设计等方法。 由上分析可知有限拍随动系统的设计方法简便，结构也简便，设计结果可 以得到解析解，便于计算机实现，但是也存在如下一些问题“： ( 1 ) 有限拍系统对输入形式的适应性差，当系统的输入形式改变，尤其存在随机 扰动时，系统的性能变坏。 ( 2 ) 有限拍系统对参数的变化很敏感，实际系统中，随着环境、温度、时间等条 件的变化，对象参数的变化是不可避免的，对象参数的变化必将引起系统的性 能变坏。 ( 3 ) 不能期望无限提高采样频率工来缩短调节时间，因为采样频率z 的上限受 到饱和特性的限制。 ( 4 ) 有限拍设计只能保证采样点上的误差为零，不能保证采样点之间的误差也为 零，也就是说，系统存在纹波，而纹波对系统的工作是有害的。 而消除无纹波设计是进行有限拍控制设计所必须要考虑的重要因素之一。 有限拍系统采用z 变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样 点之间误差值也为零，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不 仅造成误差，也消耗功率，浪费能量，而且造成机械磨损。 有限拍无纹波设计的要求就是系统在输入作用下，经过尽可能少的采样周 期以后，系统达到稳定。并且，在采样点之间没有纹波。 纹波的产生是由于控制信号“( 打) 在稳态过程中不为恒定值而处于一个变 化的状态，因而使输出y ( o 在采样点之间产生纹波。因此消除纹波控制其实质 就是要求系统在第k 拍以后，控制量u ( k r ) 达到一个恒定值。 需要指出的是，为了消除纹波，系统的调节时间加长或调节性能变坏。有 限拍无纹波设计，仍然只是针对某种类型的输入信号，当输入形式改变时，系 统的动态性能通常变坏。 四川大学硕士学位论文 3 二次型最优性能指标下的有限拍内模控制 本文所讨论的有限拍控制，均采用以下的二自由度内模结构 图3 1 二自由度内模结构 其中，z = z ，j p ( 五) 是实际对象，只( z ) 是其模型的传递函数，g ( 五) 为所要设 计的内模控制器，乃( a ) 为反馈滤波器；r ，y 分别为给定值输入与系统输出，妒 为干扰输入，“为控制器的输出，郎控制量，e 。为模型输出误差。 3 1 最小控制能量有限拍内模控制器的设计 3 1 1 有限拍内模控制的研究 考虑单位阶跃信号作为其输入信号，并设系统的跟踪误差为p = r y ，则 此跟踪误差应为兄的有限次多项式才能满足有限拍控制要求。 根据有限拍控制理论消除纹波的要求，应使控制量在有限拍内或者在菜一 个值以后，完全达到稳态，因此不妨设控制量“在第k 拍后达到一稳定值。 即为： “( a ) = “o + 坼a + + + 甜；( 十14 - 力+ 2 + ) ( 3 1 ) 四川大学硕士学位论文 记 “。( 兄) = 封。+ a 十+ 也 所以“) 可表示为 郴h ( 拼筹 其中 “。= 只1 ( 1 ) 由此跟踪误差e 可表示为 。：! 二【! ! 二坐! 堡签：! ! 因为当咒= 1 时，分子 1 一己【( 1 一a ) “。+ u y + 1 】= o ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) 显然p 的分子部分已经包含因子( 1 一 ) 因此，要满足跟踪误差e 为有限次多项式，只需( 1 2 ) u o + “。“项可以消去己的 分母部分。 设只( 旯) 的非零极点为( i = 1 , 2 ，p ) ，且互异， 则由上述条件 ( 1 一 ) “。( ) + “。丑“1 = 0 ( 3 7 ) 可得 记为 c 巩= d 其中 c = i蚓 ：盟= 见一1 以= 1 4 “0 “l _ ： d = “。 z 一1 k + l ”r 九 a ，一1 ( 3 8 ) ( 3 - 9 ) 地；嘶 r11【 i r i p 四川大学硕士学位论文 有解的条件是 k p l( 3 1 0 ) 其中k = p 一1 为最少拍控制，k p 一1 时，解的自由度可用来减小控制 幅度。 对于具有重极点的情况，还需对式( 3 7 ) 两边对此重极点求导方可求出式 ( 3 - 9 ) 中的矩阵c 和d 。 3 1 2 最小控制能量有限拍内模控制器的设计 定义性能指标为 4 j ：= 以。巩 其中暇为加权阵，可取单位阵，( 3 9 ) 为约束条件， 求j 2 。及其巩 引用文 1 6 定理3 1 ，可得到 定理3 1 ：设，：的最小值为j ：。，其对应的最优解为以，则有 j 2 m = d 7 ( c w 2 。1 c 7 ) 一1 d u k = 。c 7 ( c w 2 。c 7 ) 。1 d 证略 控制器 q ( ) = ( 1 一旯) ( a ) + “。岔“ 3 1 3 设计与仿真例 考虑对象 驰) 2 品e 。 采样周期t = 0 2 s ，加零阶保持器后离散化模型为 w ，= 半瓮铲 其中k = 1 为最少拍控制 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 1 6 ) 四川大学硕士学位论文 可以看出对象有两个相同的极点 = = 1 2 2 1 4 ，根据上述的分析，对式 ( 3 - 7 ) 两边对重极点求导可得 r 1 一i 1 2 l i 一1 3 4 2 2 4 12 4 1 3 4( k + 1 ) 2 一m “1 j l 一2 一 ( + 1 ) “一m 5 1 j 趟 d = l 一11 【( t + l m j 根据定理3 1 ( 或是上述结论) ，职取单位阵，可计算出最优指标，结果如 表一和图3 2 所示。 由图3 2 可见，k 较小时，控制能量较大，且随着k 的增大，控制能量递减。 且后较小时，控制量减小较快。随着k 的增大，控制器阶次增加，响应时间变长， 所以选择控制量递减较快的k = 1 5 比较理想。同时可见，对于k = 1 ，即最少 拍控制，控制量很大，适当延长控制调节时间，即有限拍拍数，控制量迅速减 小，因此当k = 2 5 ，更有实用价值。 例如取k = 2 ，由定理3 1 、式( 3 - 1 3 ) 和式( 3 1 4 ) 可计算出控制器为： q ( t 、= 1 5 2 1 3 1 - 9 6 8 9 9 1 1 4 7 2 6 2 2 + 1 0 2 0 3 2 ( 3 1 7 ) !12 。! 12 曲 11 3 0 2 6、9 2 7 2 9 7 2 3 4 6 6 3 9 1 1 5 2 7 2 3 8 8 6 9 8 9 4 5 8 3 0 6 7 4 3 7 1 3 6 3 5 4 8 3 2 3 0 4 9 0 6 2 5 1 7 3 0 2 3 7 1 8 2 2 0 ，2 7 4 3 2 0 1 0 7 5 2 0 0 7 4 4 2 0 0 6 7 1 2 0 0 6 6 8 m u 加2 号鲫蚰 四川大学硕士学位论文 图3 2 最小控制能量有限拍控制 对于k = 2 ，对于单位阶跃响应，控制量“与控制输出y 的仿真曲线图如图 3 3 所示 图3 3最小控制能量有限拍内模控制控制量与输出 1 7 帅 卸 蛐 帅 卸 四川大学硕士学位论文 3 2 最小跟踪误差有限拍内模控制器的设计 3 2 1 有限拍内模控制的研究 考虑单位阶跃信号作为其输入信号，并设系统的跟踪误差为e = r y ， 则在尸( 旯) = p 埘( 兄) 时有： e = r 一只q r ( 3 1 8 ) 对于有限拍控制其必然有e 为多项式，即e 在第i 拍后系统的误差e ( k t ) 等 于零。 因此e 可表示为有限多项式的形式，记为e ( 五) ： e ( 旯) = e o + e l j l , + e 2 , 丑2 + - - + 吒名 ( 3 1 9 ) 对于单位阶跃信号，r = 一a ) ，代入式( 3 1 8 ) 并移项得 鲫) = 警 ( 3 _ 2 0 ) 由有限拍无纹波设计的要求q ( a ) 为多项式。 所以由( 3 2 0 ) 式可知q ( z ) 要为多项式，( 3 2 0 ) 式右边的分子部份应该能 消去只( a ) 的所有零点。 假设 匕( a ) = 可a a m 万( a ) ( 3 2 1 ) a 因为p 埘( a ) 含有d 个值为零的零点( 即d 拍滞后) 由( 3 2 0 ) 式右边的分子部份能消去己( 丑) 的所有零点可知， 1 一( 1 一兄) e ( ) 应包含有项 1 一( 1 一兄) e ( ) = 1 一+ ( 一e 1 ) + ( 8 1 一e 2 ) 名+ 得到： ( p d 一2 一e d - i ) 一1 + ( 8 d l e d ) + 力“ ( 3 - 2 2 ) 1 8 四j i i 大学硕士学位论文 e o 2 p l 。p 2 = = e d 一12 1 b 设己( a ) 的非零零点为丑( i = 1 , 2 ，g ) ，且互异 由上述条件 1 一( 1 一 ) e ( ) = 0 得 , a i d - 1 - e d + | 矿k 吼= 击- ( 1 + ”一矿1 ) - 禹 即 即为 其中 s = i i 五矿 !； 厶 l 1 一丑 s e k = t 翔 乓= 有解的条件是 k q - p d 一1 其中最少拍响应对应于k = q + d 一1 e d + l - ： 3 2 2 最小跟踪误差有限拍内模控制器的设计 t = l 1 一见 1 1 一九 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 - 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 定义性能指标为 = 乓7 w , e i ( 3 2 9 ) 其中形为加权阵，可取单位阵，( 3 2 7 ) 为约束条件， 1 9 ；气 r，11l 四川大学硕士学位论文 求 。及其邑 这是典型的有约束条件的二次型最优问题，可用多种最优控制方法来求解 这里采用拉格朗日乘子法求解，可得以下结论。 定理3 2 ：设 的最小值为，。，其对应的最优解为e k ，则有： 证略 控制器 以。= t r ( s 嵋。s 7 ) 。1 t b = 啊“s 7 ( s 啊1 s 7 ) 一1 t 鲫) = 警 3 2 3 设计与仿真例 同样考虑对象 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ：丝! 型i ! 二鱼! ! 鱼二! 盟! 生：! 垒= ! 二垒! 竺：! 生壁：! ：! 】 驰) 2 品矿 v ( ( 3 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) 采样周期t = 0 2 s ，加零阶保持器后离散化模型为 删= 半罴篇严 伊。a ， 其中k = 6 为最少拍控制，即7 拍控制 可见对象有一个零点a = o 8 1 8 7 根据定理3 2 ( 或是上述结论) ，暇取单位阵，可计算出最优指标，结果如 表二及图3 3 所示。 一婴! l ! 查兰堡主兰些堡塞 表二 旦 ! ! m! ! 唑 6 3 0 4 2 3 21 4 1 0 3 1 3 0 7 1 8 2 1 4 51 5 1 0 2 1 8 5 8 1 4 3 5 3 71 61 0 1 5 6 0 91 2 5 6 8 12 01 0 0 5 6 3 1 0 1 1 6 0 0 9 2 5 1 0 0 3 4 8 l l 1 1 0 3 1 83 01 0 0 3 1 9 1 21 0 6 8 0 64 01 0 0 3 1 4 1 3 1 0 4 5 7 5 1 0 i ) 3 1 4 7 k 图3 4 最小跟踪误差有限拍内模控制拍数与误差指标关系 由图3 4 可见k 较小时，误差较大，且随着k 的增大，误差递减。并且k 较 小时，误差减小较快。随着k 的增大，控制器阶次增加，响应时间变长，所以 选择误差递减较快的k = 6 1 0 比较理想。同时，对于k = 6 ，即最少拍控制，跟 踪误差很大，适当延长调节时间，即增加有限拍拍数，误差迅速减小，因此实 际应用可取k = 7 1 0 2 1 四川大学硕士学位论文 例如取k = 8 ，由定理3 2 、式( 3 3 1 ) 、( 3 3 2 ) 计算出 q ( ) = l o 7 9 0 0 7 6 6 8 6 2 , + 0 4 7 0 9 2 9 0 4 2 1 2 , 3 + 6 4 4 5 9 2 ( 3 - 3 5 ) 其控制量“与控制输出y 的仿真曲线如图3 5 所示 图3 5 最小跟踪误差有限拍内模控制控制量与输出 3 。3 控制能量与跟踪误差加权二次型性能指标最优的有限拍内模控制 器的设计 3 3 1 有限拍内模控制的研究 设系统对象稳定，且考虑单位阶跃信号作为其输入信号，即输入 r ( 们= l ( 3 3 6 ) l 一丑 设系统的跟踪误差为e = ，一y ，由有限拍控制理论可知，系统的跟踪误差p 应为五的有限次多项式才能满足有限拍控制要求。 根据有限拍控制理论消除纹波的要求，应使控制量在有限拍内或者在某 个值以后，完全达到稳态，因此不妨设控制量“在第k 拍后达到一稳定值。 即为： 2 2 四川大学硕士学位论文 记 “( ) = 甜o + u 1 2 + - 十“t 钟+ u s ( 力“+ 钟+ 2 + ) ( 3 3 7 ) u a ( 五) = 甜o + u j a + 十比彤 所以“( 五) 可表示为 砸细私) + 普 其中 蚝= 只。( 1 ) 由此跟踪误差e 可表示为 。：! 二堡【! ! 二坐。生篓：j 1 一兄 ( 3 3 8 ) ( 3 - 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) 因为当a = 1 时，分子 1 一只【( 1 一a ) “。+ “。岔“】= 0 ( 3 4 2 ) 显然e 的分子部分已经包含因子( 1 一z ) 所以，要满足跟踪误差e 为有限次多项式，只需 ( 1 一兄) “。+ ，岔“项可以消去巴的分母部分 设只( 五) 有p 个极点，q 个非零零点 显然( 1 一五) “。+ “，岔“含有的最高次为岔“次项 由式( 3 4 1 ) 及以上的分析可以看出，不考虑对象纯滞后环节情况下，跟 踪误差