（机械电子工程专业论文）压电驱动原子力显微镜的运动控制.pdf

摘要 j i i iiii1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 iii iii i i i l l l l l l l1 y 2 0 6 7 8 2 0 一 要 纳米技术对现代科技的影响越来越深远，而原子力显微镜在纳米技术领域起 着很重要的作用。在微观领域，压电驱动器被认为是最适合驱动原子力显微镜的 装置。 作者在对压电驱动原子力显微镜的可行性进行了分析和研究的基础上，建立 了系统的模型。首先，本文用一个集中质量模型来表示原子力显微镜的顶端和样 品，并分析了各自的受力情况。用d m t 模型来表示样品与顶端的相互作用力，用 l u g r e 模型来表示样品受到的纳米摩擦力。其次，本文研究了压电驱动器的迟滞效 应，建立了压电驱动器的模型，在参考了相关文献的基础上，建立了压电驱动原 子力显微镜的模型。然后，作者应用l y a p u n o v 稳定性定理设计了一系列的控制方 法，包括实现位置控制的p d 控制，饱和p d 控制和实现轨迹跟踪控制的基于反馈 线性化的p d + 控制和不依赖系统模型信息的自适应控制。最后，作者对这些控制 律进行了稳定性分析，并应用m a t l a b 对结果进行了仿真。 关键词：原子力显微镜压电驱动器位置控制轨迹跟踪控制 摘要 a b s t r a c t a b s t r a c t n a n o m e t e rt e c h n o l o g yh a se x e r t e dap r o f o u n di m p a c to nm o d e r nt e c h n o l o g y d e v e l o p m e n t ，a n da t o m i cf o r c em i c r o s c o p e ( a f m ) h a sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nt h e n a n o m e t e rt e c h n o l o g y i na d d i t i o n ，i nt h en a n ol e v e l ，p i e z o e l e c t r i ca c t u a t o ri sc o n s i d e r e d t ob et h eb e s td r i v e ro ft h ea f m i nt h i sa r t i c l e ，a f t e ra n a l y z i n ga n ds t u d y i n gt h ep i e z o d r i v e na f m sf e a s i b i l i t y , a u t h o rp r e s e n t st h ed y n a m i cm o d e lo ft h i ss y s t e m a tf i r s t ，t h en a n o t i pa n dt h es a m p l e a r ec o n s i d e r e da sl u m p e dm u s sp o i n t s a f t e rf o r c ea n a l y s i s ，t h ed m tm o d e li sp r o p o s e d t od e s c r i b et h ei n t e r a c t i o n a lf o r c eb e t w e e nt h en a n o t i pa n dt h es a m p l e ，a n dt h en a n o f r i c t i o ni sr e p r e s e n t e db yt h el u g r em o d e l t h e n ，t h ea u t h o rr e s e a r c h e st h eh y s t e r e s i so f t h ep i e z o e l e c t r i ca c t u a t o ra n dg i v e st h em o d e lo ft h ep i e z o e l e c t r i ca c t u a t o ra n dt h e m o d e lo ft h ep i e z o e l e c t r i ca c t u a t e da f m a f t e rt h a t ，t h el y a p u n o vt h e o r yi sa p p l i e dt o d e s i g nas e r i e so fc o n t r o l l e r s ，i n c l u d i n gt h ep o s i t i o nm o t i o np dc o n t r o l ，p o s i t i o nm o t i o n s a t u r a t e dp dc o n t r o l ，f e e d b a c kl i n e a r i z a t i o nb a s e dt r a j e c t o r yt r a c k i n gp d + c o n t r o la n d t h ea d a p t i v ec o n t r 0 1 f i n a l l y , t h es t a b i l i t ya n a l y s i so ft h ec o n t r o ll a w si sc a r r i e do u ta n d m a t l a bi su s e dt og e tt h es i m u l a t i o nr e s u l t s k e y w o r d s ： a t o m i cf o r c em i c r o s c o p e p i e z o e l e c t r i ca c t u a t o rp o s i t i o n c o n t r o lt r a j e c t o r yt r a c k i n gc o n t r o l i i a b s t r a c t 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 现今，科研人员已经将他们的研究领域扩展到了纳米范围，发展纳米技术的 一个主要的目的就是创造一个在纳米范围内可以实现精确运动控制的微装置。而 这个装置会给电子行业带来巨大的利益。虽然这个控制装置现今还没有得到广泛 的应用，然而由于高速，高存储能力计算机的发明，在不久的将来，这种微装置 一定会得到广泛的应用。具体表现为可以使用纳米探针来制造纳米级的元件，诸 如：碳纳米管( c a r b o nn a n o t u b e s ) ，纳米电线，纳米外壳( n a n o s h e l l s ) 和生物分子， 而这些纳米元件将对医疗，材料，制造，航空，航天和能源等领域带来革命性的 发展。一些科研团体已经用适当的化学过程或热过程操作纳米微粒使其形成二维 或三维的图案【啦别。这些纳米操作可以用原子力显微镜( a f m ) 实现。 在过去的二十年里，原子力显微镜的发明使得科学家和工程师能够将他们的 研究目标扩展到纳米范围。材料的结构和性质都可以通过原子力显微镜得到。因 为在微观领域，原子力显微镜是探测材料结构和性质很重要的器件。具体应用在 生物细胞的表面形态观测；生物大分子的结构及其他性质的观测研究；生物 分子之间力谱曲线的观测。我们可以这样说，原子力显微镜是一个成像设备。 原子力显微镜的机械模型可以应用经典的牛顿力学原理得到。显微镜的探针 连接在悬梁的自由端，如图2 1 所示。当原子力显微镜的顶端靠近或接触到样品 ( s a m p l e ) 时，它们之间就会产生范德华力和由于表面形变产生的反弹力，这样悬 梁会产生相应的形变。因此，可以通过测量这个形变并考虑原子力显微镜的特有 材料性质，从而得到样品的性质。这个形变可以用光栅扫描的方法精确的测量到， 同时该形变满足胡克( h o o k e ) 定律： f = k s ( 1 1 ) 其中f 是产生的力；k 是胡克常数；j 是悬梁的形变量。 在纳米操作领域，压电驱动器被认为是最适合的驱动装置，因为它可以完成 高精度的移动任务。但是压电驱动器的输入电压与输出位移之间存在高度的非线 性。因此大量的研究工作都用来解决压电驱动系统存在的非线性行为。一个方法 致力于建立模型并补偿这种非线性，尤其是迟滞效应；另一方法是通过对压电驱 压电驱动原子力显微镜的运动控制 动系统的闭环控制来加强其定位性能。本文就是通过建模的方法来补偿这种非线 性。 在成功建立了压电驱动原子力显微镜的模型之后，由于系统的柔性，我们只 能通过对一个自由度的控制，从宏观上显现了两个自由度均是可控的，而这使得 控制器的设计变成了一个具有挑战性的问题。这篇论文的目的就是设计控制律以 实现系统的位置控制和轨迹跟踪控制。 1 2 研究现状 1 2 1 对原子力显微镜纳米操作器的建模 现今主要有两种模型来描述原子力显微镜纳米操作器。 第一种是动态参数分散模型。这种模型将悬臂看成是一个连续质量系统，这 样就可以用偏微分方程来表示这种动态参数分散的模型。在【4 捌中，作用于悬臂上 的外力被看作是有界的，这样悬臂的每一个轴向连续分量可以通过解微分方程的 方法得到。r a h m a n 采用原子力显微镜的轻敲模式( t a p p i n gm o d e ) 给出了原子力 显微镜顶端表面的接触刚度【4 】。s a d e r 利用这种模型建立了一个理论上可行的装 置。当把原子力显微镜的悬梁浸到粘性液体中时，该装置就能够测量出该悬梁的 频率响应【5 】。s t a r k 创造性的将原子力显微镜的悬臂顶端对样品的作用力的响应看 作是一个线性时变系统，该系统处于状态空间且具有非线性输出反馈1 6 】。 第二种动态模型将悬臂看成是一个质点，该质点的性质由动态参数分散模型 导出。如果我们主要分析的是悬梁顶端的形变，那么解分散参数模型中提到的偏 微分方程是没意义的。因为如果我们只分析悬梁上发生形变的部分，那么外力被 认为是直接作用在一个质点上。不像连续质量的偏微分方程，正常的微分方程不 包括边界条件而且只用于处理不连续的物体。考虑到分析的简单性，许多研究人 员更喜欢将悬臂近似看成一个质剧7 】f 8 】【9 】【1 0 l 。a s h h a b 分析了由范德华引力引起的 悬臂响应的相位图【_ 7 1 。s e b a s t i a n 用集中质量模型建立了原子力显微镜操作器的轻 拍模型，该集中质量模型用附加的正负弹簧( n e g a t i v ea n dp o s i t i v es p r i n g s ) 来分别 表示吸引力和排斥力【8 】1 9 】。s a l a p a k a 用集中质量模型建立了原子力显微镜的摩擦 成像模型同时应用j o h n s o n k e n d a l l r o b e r t s ( j k r ) 原理概括了库仑力模型【l0 1 。 除了上面的两种主要的模型，还有将两种模型结合起来的复合模型。t a f a z z o l i 通过将原子力显微镜的顶端的刚体公式与连续震荡模型相结合的方法计算了悬臂 的有效刚度【1 1 】。但是由于刚体公式与模型的不一致，使得这种混合模型的实用性 第一章绪论 很成的问题。 1 2 2 建立压电驱动器的模型 由于压电驱动器本身具有迟滞特性、震动特性和蠕变特性，因此要建立一个 精确的压电驱动器的模型应当尽可能多的体现这些特性。 1 蠕变特性 压电驱动器的蠕变特性是指在外界载荷不变的情况下，变形程度随着时间的 增加而增加的现象。蠕变特性是压电驱动器不期望的性质，因为当我们的控制需 要很长的时间时，蠕变特性会带来很大的损耗。现在有很多的方法可以用来处理 这个问题。j u n g 在【1 2 】中提出了如下的非线性公式来描述蠕变特性。 r 1 y ( t ) = y o 1 + y l o g ( ) ( 1 2 ) loj 其中气表示蠕变效应变得明显所需要的时间，是在时间时驱动器的位移，7 是 蠕变率为一个固定的值，这个值可以通过观察驱动器的阶跃响应得到。但是这个 公式的时间参数f 0 很难选择。为了解决这个困难，c r o f t 提出了一个线性的模型【1 3 1 。 g ( 加i 1 + 善赤 n 3 ) 其中是低频驱动器的弹性行为，毛是弹性常量，q 是阻尼常数。 2 迟滞效应 迟滞效应是压电驱动器中最主要的非线性成分。由于迟滞效应的存在，驱动 器的输出不仅由输入电压决定，也由它过去的历史决定。迟滞效应导致的形变量 由输入的最大电压值或由输入信号的频率决定，或由两者共同决定。 早期建立迟滞效应模型的方法是使用多项式捕捉主回路的输a , 输出响应【14 1 。 后期很多学者在这一领域做了有益的探索，其中包括l o w 的非线性动念模型【1 8 】， g o l d f a r b 的电压输入的机电模型【1 9 1 ，a d r i a e n s 电荷操纵( c h a r g es t e e r i n g ) 模型【2 0 】， s o m o v 的物理迟滞的模型【2 l 】和d a n g 的神经网络迟滞模型【2 2 】。 由于迟滞效应是我们后面提出控制律需要主要考虑的因素之一，所以我们将 在第三章第一节中详细介绍迟滞效应的模型。 3 震动特性 震动特性是阻碍原子力显微镜实现高速纳米定位的主要障碍，它能造成定位 精度的损失。由于定位的带宽会随着压电驱动器的一次谐振频率的增大而增大， 4 一 压电驱动原子力显微镜的运动控制 震动现象随之产生。因此压电驱动器的这个特性限制了原子力显微镜的扫描速度， 通常其扫描速度低于一次谐振频率的而1 “而1 。所以要想提高扫描速度，可以通过 提高一次谐振频率的方法得到。而要提高谐振频率，可以在扫描器的y 电极加一个 缓慢增加的斜坡信号【3 6 1 。 4 建模 在后期对压电驱动器的建模中我们主要考虑迟滞效应，现在常用的经典的模 型包括：p r e i s a c h 迟滞模型【1 习和m a x w e l l 电阻电容( r e s i s t i v ec a p a c i t o r ) 模型【1 6 】， 以及将这两种模型的结合【1 7 】。 1 2 3 控制方法的设计 对于非线性控制系统来说，要实现轨迹跟踪控制，反馈线性化方法是一个非 常简单也是一个非常实用和基本的控制算法【2 引。这一算法的中心思想是用非线性 状态传递函数和一个适当的控制律将原有的非线性系统转化为等价的线性系统。 对于柔性关节的操作系统，通过对一个自由度的控制，从宏观上显现了两个 自由度均是可控的，这对我们控制器的设计提出了挑战。其中在位置控制方面， t o m e i 通过一个简单的包含恒定重力补偿项的p d 控制器实现了系统的全局渐近稳 定【2 7 1 。d el u c a 在t o m e i 的基础上提出了一个将恒定重力补偿项改进成实时重力补 偿项的p d 控制器【2 9 1 。对于轨迹跟踪控制，有许多高性能但很复杂的控制律，如用 线性化和解耦求解非线性反馈【2 3 】【2 4 】，基于动态的奇异扰动模型的多积分( i n t e g r a l m a l l i f o l d ) 方法【2 5 】和自适应神经网络控制方法【2 6 】。 1 3 论文结构 本文一共分为六章： 第一章绪论：首先介绍了原子力显微镜在微观领域中的重要作用，及其简 单的成像原理，其次介绍了对原子力显微镜的纳米操作器建模的研究现状，然后 介绍了压电驱动器的一些非线性特性，及对这些特性的建模方法，最后回顾了控 制柔性关节操作系统的常用方法。 第二章原子力显微镜的建模：首先建立了原子力显微镜顶端和样品的集中 质量模型，并对顶端和样品所受到的力进行了分析，建立了顶端与样品的运动学 方程；其次重点分析了样品与顶端间的相互作用力和样品与基底的摩擦力，并分 别用d m t 模型和l u g r e 模型来表示这两个力；最后对结果进行了仿真，成功模 第一章绪论 拟了纳米摩擦的粘滑现象。 第三章压电驱动原子力显微镜的模型。本章可分为三个部分：第一部分应用 m a x w e l l 电阻电容方法建立迟滞效应的模型，第二部分建立了压电驱动器的模型， 第三部分建立了压电驱动原子力显微镜的模型并给出了系统的动力学方程。 第四章基于第三章提出的系统动力学方程，应用l y a p u n o v 稳定性定理设计 了p d 控制，饱和p d 控制，基于反馈线性化的p d + 控制和自适应控制，证明了系 统的闭环稳定性。 第五章用m a t l a b 对第四章提出的控制律进行仿真验证，验证了控制器的 有效性。 第六章总结与展望。在这一章中总结了毕业论文的主要内容，分析撰写过程 中的收获，指明了作者还需要努力的方向，并给出了论文的不足。 6 一 压电驱动原子力显微镜的运动控制 第二章原子力显微镜的模型 第二章原子力显微镜的建模 7 一 通常机械系统是利用牛顿运动学定律进行建模的。这一章主要对原子力显微 镜的顶端和待检测的样品所受到的力进行分析，选择合适的模型来表示这些力， 并最终建立如图2 1 所示的原子力显微镜纳米操作器的动态模型。 图2 1 原予力显微镜扫描样品 2 1 顶端和样品的模型 在这一节中，用一个集中质量( 1 u m p e dm a s s ) 模型来表示顶端的形变位移。 悬梁顶端被看作是一个与样品相互作用的球体。集中质量模型的参数由上一章提 到的分散参数模型【4 】【5 1 得到。如果悬臂的操作频率小于它的第- i n 振频率，那我们 认为集中质量模型是有效的。样品被认为是放置在基底上的柔性球状物体。我们 将用牛顿定律导出顶端和样品的运动方程。 图2 2 说明了顶端与顶端基的距离y 和顶端与样品圆心的距离y 间的关系。夕 表示顶端的外部边界与样品的外部边界问的距离： 歹( f ) = e ( f ) 一( 如。，妇+ 尽印) ( 2 1 ) 其中r 。m p l e 和如分别是样品和顶端的半径。 压电驱动原子力显微镜的运动控制 假设顶端的刚度比样品的刚度要大，在横轴方向上对顶端进行受力分析可得， 顶端受到样品顶端间的相互作用力和悬梁形变产生的力，由牛顿运动学定律可得 顶端的运动学方程为： q ( ，屹一或( f ) ) + 砖( 只( f ) 一r e ) 一冗= ，以= ，吩苋 整理得： 7 珥剪( f ) + q 兜( f ) + 毛只( f ) = c f 屹+ 毛f 一五 ( 2 2 ) 3 & 0 4 l , 镌5 ( 1 8 7 5 ) 4 砖= 等 其中鸭是顶端的有效质量，t 是顶端悬梁的有效刚度，q 是顶端的阻尼系数，咒( f ) 是顶端在横轴方向上的位移，v 6 是顶端的基的速度，在这一章中我们将其设置为 常数，也就是顶端以一个恒定的速度靠近样品。巨是顶端的弹性模量，4 是顶端 的横截面积，是顶端的惯量，厶是顶端的长度，是顶端材料的密度。疋是顶 端与样品在横轴方向的相互作用力，这个力我们将在2 2 节进行详细的讨论。 图2 2 顶端与样品的模型 在垂直方向上，样品受到自身重力和来自样品与基底问的相互作用力，这_ i g i 个力和基底的材质共同决定了样品的最大静摩擦力和动态摩擦力。在水平方向上 除了受到摩擦力外，样品还受到顶端样品间的相互作用力。对样品进行受力分析， 应用牛顿运动学定理可得样品的运动学方程为： 第二章原子力显微镜的模型 n s = f 。+ m s g ( 2 3 ) 见( f ) = 疋一 ( 2 4 ) 9 其中以是样品受到的垂直方向的合力，气是样品与基底的相互作用力，g 是重力 加速度，是样品与基底间的摩擦力，这个力的特征和相关的模型将在2 3 节进 行详细讨论，他是样品的有效质量，瓦是顶端- 样品的相互作用力。 2 2 顶端样品间的相互作用力 在宏观领域，重力是不可以被忽略的。但随着物体体积的减小，分子间的相 互作用力相对于重力变的越来越重要。而在纳米范围内，物体的重力可以忽略不 计，两物体间主要包括三种相互作用的力，它们是附着力( a d h e s i o n ) ，静电力和 范德华力。附着力是由环境中的液体的表面张力造成的。库仑力和双层电板间 ( e l e c t r i c a ld o u b l el a y e r ) 的力导致了静电力。范德华力可分为：两偶极子间的相互 作用力，能够自由转动的偶极子与无极( n o n p 9 1 a r ) 的相互作用力和两无极间的相 互作用力。因此范德华力是一直存在的，而附着力和静电力分别可以用将物体放 到真空和接地的方法去除。总体上说，两相似的微观物体间的范德华力表现为相 互吸引力。而两个不相似的分子间由于媒介的性质的不同会表现为相互的吸引力 或排斥力。每一个范德华力都与相应的h a m a k e r 常数成比例。我们上面提到的三 种范德华力只适用于两个单独的原子间的相互作用力，但对于像原子力显微镜的 顶端和样品，它们的体积通常是原子的几倍大，它们之间的相互作用力是由很多 相邻的原子间的范德华力形成的。为了描述这样的物体问的相互作用力，我们引 入了d e r j a g u i n m u l l e r - t o p o r o v ( d m t ) 模型1 3 0 。 我们把装置放在干净真空的腔体中，并将装置接地，则范德华吸引力就变成 了顶端与样品间唯一的相互作用力。除了这个相互吸引力，当顶端与样品间的距 离足够小而使得顶端与样品因相互挤压产生形变时，两物体问产生相互排斥力。 既然顶端与样品是由许多的原子组成的，则d m t 模型既能够表示相互吸引力又能 够表示相互排斥力。d m t 模型如图2 3 ，其具体表达式见( 2 5 ) 。 l o 压电驱动原子力显微镜的运动控制 x1 一触 图2 3 顶端样品相互作用力 图2 3 的横坐标表示顶端与样品外部边界间的距离，纵坐标表示顶端与样品间 的相互作用力。从图中可以看出，当瓦大于零时表现为排斥力，小于零时表现为 吸引力。当两物体问的距离等于原子内部分离距离( i n t e r - a t o m i cs e p a r a t i o nd i s t a n c e ) 时，相互吸引力最大。 瓦( 歹( f ) ) = 一黑， 加删 6 ( 歹( f ) ) 2 八吖一。 一嚣+ 风。坝嘞；，加如) 口。 瓜 半+ 爿1 r r 印r s 。嘞t e ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中h 是h a m a k e r 常量，夕( f ) 是横轴方向上顶端外部边界与样品外部边界之问的 距离，a o 是原子内部分离距离，e 是样品- 顶端i 日j 的有效弹性模量，r 是简化的顶 端一样品曲率半径，v 和y j 分别是顶端与样品的横向形变系数，巨和e 分别是顶端 和样品的弹性模量。 第二章原子力显微镜的模型 2 3 样品与基底的摩擦力 一个系统只有在没有能量耗散的情况下才能保持它的震荡行为，但是在现实 生活中由于阻尼摩擦的存在，震荡行为会随着时间慢慢减弱并最终消失。在这一 小节中我们详细讨论纳米摩擦力。 纳米摩擦与宏观摩擦有很多不同的地方。不像宏观摩擦，由于相互作用的纳 米物体太轻，当它们相互摩擦时几乎没有损耗。但是当拖拽过程中负载过重时， 纳米结构可能会出现损伤。另一个很重要的不同是纳米摩擦与速度相关而且存在 粘滑( s t i c k s l i p ) 现象。而且纳米摩擦会受到温度和湿度的影响。因此我们的整个 实验要在一个干净，恒温和恒湿的环境中进行。 粘滑现象是纳米摩擦的主要特性。本小节将采用l u g r e 摩擦模型来说明样品 与基底的相互作用力，该模型可以很好的表现粘滑现象。如图2 4 所示，在这个模 型中我们把刚毛看作连接在顶端基上的悬臂，把这些凸起看作是一个个样品，刚 毛的形变力和粘性阻力的合力就是纳米摩擦力的大小【3 1 1 。当刚毛以恒定的速度滑 过这些凸起时，纳米摩擦力的粘滑现象就被很好的表现出来了。 图2 4 l u g r e 摩擦模型 应用l u g r e 模型，样品与基底间的纳米摩擦力可表示为： f r i c t = c r o b , ( t ) + f ，v b 反种蒜忽 g ( 屹) = 土r 只+ ( 只一y c ) p 砒) 2 l j ( 2 8 ) ( 2 9 ) 1 2 _ 一 压电驱动原子力显微镜的运动控制 其中包( f ) 是刚毛形变，是顶端基的速度，是个恒定的值，c 和c 分别是最大静 态摩擦力和动态摩擦力，o o 是刚毛的刚度，e 是粘性阻尼系数，k 和屹是速度常 量。 2 4 仿真 图2 2 给出了原子力显微镜的纳米操作模型，顶端样品间的相互作用力由 d m t 模型给出，l u c r e 摩擦模型表示样品基底的摩擦力，并成功描述了粘滑现象。 为了清楚起见，将原子力显微镜的模型总结如下： m t y t ( t ) + q 兜( f ) + k t y t ( t ) = q 屹+ k t v b t 一瓦 他兑( f ) = 冗一f n e t 冗( 歹( f ) ) = 一笔， f o ，歹( f ) 口0 6 0 3 ( 0 ) 2 。 ，、7 一”o 一嚣中风。坝嘞；，加弛) 口o = c r o b , ( t ) + e v b 首先我们将系统方程改成5 个一阶微分方程 y l = y t ，y 2 = 多t ，y 3 = y s ，y 4 = s ，y 5 = b s 或= 赐 允：1 ( q v b + t f 一只一c f 儿一k , y 1 ) 他 y 3 2y 九：土( e 一儿一e 屹) 炉一鼎乃 用m a t l a b 进行仿真计算，o d e2 3t b 用来求解相应的微分方程。描述系统 动态模型的m 文件共有五个变量，分别是) ，夕，) ，。，夕。和反，其初值分别取为 第二章原子力显微镜的模型 ( 002 1 1 2 枣1 0 ( 一9 ) 00 ) 参数由表格2 1 给出 表2 1 原子力显微镜的模型参数 参数值 单位参数值单位 1 2 e 一9n 5 e 一1 0n 只只 e + 4 n m e 5m s t r o e 一7n s m1 9 8 e 1 8 k g c 以 4 e 1 7 k g 7 0 e 一9n s m 他c f h1 4 5 2 e 一2 0j5 e 8m 1 6 e 一8m 3 7 5 e 一1 0m r m 哪k口0 0 3 3n o n e0 3 3n o n e v 杉 2 0 0g p a0 2 7 g p a e e s 仿真结果如图2 5 ，2 6 所示 从图2 5 中我们可以看出l u g r e 模型成功表现了纳米摩擦的粘滑现象，而且从 图中我们可以看出，随着顶端与样品之间距离的减小，它们之间的作用力由吸引 力转变为排斥力，在图中表现为摩擦力由负值变为正值。摩擦力在粘滑过程中的 峰值和谷值分别是最大静摩擦力和动态摩擦力，由于基底的性质对最大静摩擦力 和动态摩擦力有很大影响，所以基底能够影响曲线的形状。 图2 6 展示了顶端和样品的位置随时间的变化。顶端的位置随时间做线性变 化，并且周期性的跳跃到更高的位置。而样品除周期性跳跃到一个更高的位置外， 大部分时问都是静止的。注意到，当顶端与样品间的距离足够的小，使得两者之 间的排斥力大于最大静摩擦力时，顶端和样品就会产生一次跳跃。 原子力显微镜的悬梁被认为是刚性的，其刚度的大小直接影响样品与顶端的 移动，如图2 6 与2 7 所示悬梁刚度取不同的值时，样品与顶端的位移的不同： 压电驱动原子力显微镜的运动控制 8l 一j 一l 一一j 一l j 0o 511 522 53 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 x1 0 - 9 顶端的位移，m 图2 5 纳米摩擦的粘滑现象( 砖= 1 0 n m ) x 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 x1 0 。3 图2 6 顶端与样品的位移( 砖= 1 0 n m ) 坦 竹 8 6 4 2 0 乏 4 击 nr鞲避譬磐端奸咯鞋 第二章原子力显微镜的模璎堕 7 6 5 4 3 2 1 0 x1 0 - 8 00 0 0 20 0 0 40 0 0 6 0 0 0 80 0 10 0 1 20 0 1 40 0 1 60 0 1 80 0 2 图2 7 顶端与样品的位移( 红= o 1 n m ) 1 6 压电驱动原子力显微镜的运动控制 第三章压电驱动原子力显微镜的模型 第三章压电驱动原子力显微镜的模型 1 7 这一章中我们将建立一个集中参数压电驱动器的模型，并用m a x w e l l 电阻电 容方法来模拟迟滞效应。参考文献建立压电驱动原子力显微镜的模型，并给出 了模型的动态系统方程。机械结构设计和有限元分析的细节请参鼎3 3 1 。 3 1 迟滞效应 迟滞效应的特性如图3 1 所示，由图中我们可以看出，迟滞效应包含一个主回 路和多个次回路【3 t j 。 e ： ， 1050510 i n p u t ( v ) 图3 1 输入电压( v ) 与横向位移( z ) 的迟滞效戍 在大多数像压电驱动器这样的机械系统中，由于能量的存储方式与耗散方式 不同而导致了迟滞效应。在机械系统中，可以用理想的弹簧末模拟能量存储过程， 8 6 4 2 0 2 4 6 8 - - - - 压电驱动原子力显微镜的运动控制 用库伦摩擦力来表现能量的耗散。对单个元素来说，该模型如图3 2 所示，可以描 述为： f 后。一毛)i f i k ( x - x 。) i 厂 肚t 细峨一知功 其他 o j ) 其中x 是力f 的位移，是输出的力，七是弹簧的胡克常数，是盒子的最大静摩 擦力，为一个常值，毛是盒子的位置。 图3 2 单元素迟滞效应模型 广 x 取厂= 0 5 n ，k = 1 n m ，初始吒= 0 m ，该模型的力与位移的关系如图3 3 所 示。 将这个模型扩展到1 1 个元素，如图3 5 所示，最终的输出力等于n 个元素输出 力的和： 鼻= 忽( 工一) fk ，( x 一) i 0 抵上一引3 m c = 匕q 己卜= 匕忘卜定的 证明：首先c 和k 都是实对称矩阵。 a 。( c 1 ) = c l 0 ，a 。( 墨) = 白 0 姒c ! ) = d e t h y g c 乏h 北姒耻d e t 匕k t 也+ k 2 b 。 由西尔维斯特判据可知，c 和k 是正定的。 4 2 1 设计思路 4 2 位置运动p d 控制 系统的动态方程如( 3 1 8 ) 所示，对其进行分析可知，该系统有两个自由度五 和t ，而我们能够直接控制的是恐。由图3 7 可知，压电驱动器的机械部分可以通 过柔性元件来影响原子力显微镜的顶端，也就是说恐与五之问是有联系的。所以 该系统与柔性关节机器人操作器非常的相似。参考t o m e i 提出的关于柔性关节机 器人的简单的p d 控制器【2 7 1 ，作者设计了下面的控制律 压电驱动原子力显微镜的运动控制 4 2 2 位置运动p d 控制器设计 对于从起点到恒定的期望终点的位置控制问题，考虑下面的控制律： v i n = 一砖( 而一而d ) 一岛岛一e s g n ( i , ) + k , x , j ( 4 1 ) 其中吒，屯和d 是正常数。 结构框图如图4 1 所示 4 2 3 闭环系统分析 图4 1 位置运动p d 控制的结构框图 定理4 5 ：当d = 而d 时，_ = ，= x 2 d 是系统的一个平衡点 证明：因为_ = x t d ，x 2 = x 2 d 是常值，所以戈= 0 ，戈= 0 。将如上的结论代入 ( 3 1 4 ) 和( 3 1 6 ) 可得： 墨( 五d x 2 d ) = 0 k l ( j c l d x 2 d ) + k 2 x 2 d = 也恐d 由条件五。= x 2 。可得，方程( 4 2 ) 和( 4 3 ) 左右两边相等。 所以，_ = x i 。，x 2 = 屯d 是系统的一个平衡点。 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 定理4 6 ：对于式( 3 1 8 ) 所示的压电驱动原子力显微镜动态方程，应用p d 第四章控制器的设计 控制律( 4 1 ) ，如果选择的控制器满足d & h + k 2 x 2 d ，则闭环系统的位置误差是 全局渐近稳定的。 证明：用l y a p u n o v 稳定性定理和拉塞尔不变性原理来证明上述定理。为此， 选取如下的候选l y a p u n o v 函数 y ：昙戈r 衔+ 1 x r k x + ! ( 艺一屯d ) 吒( x 2 - x 2 a ) (44)22 2 、。 “7 ” 7 很明显定义的候选l y a p u n o v 函数( 4 4 ) 对于x 和j 正定正则。 对式( 4 4 ) 沿闭环系统( 3 1 8 ) 对时间求导，可得： 矿= j r 辑+ x 7 天冀+ ( 恐一x 2 d ) 尼，岛 = t 毫岛, l i o l 一 三 一c 戈一戤 + z r x + ( x 2 - x ：a ) 吒岛 = j r ( 一k x c x ) 一岛锄一毫砟( t - x 2 j ) 一南饬毫一d i 岛l + 之也屯d + ，戤 + ( 屯一屯o ) 忌。之 = 一，磺一毫幻毫一毫砌一d i 岛j + 毫也j c 2 。 一戈7 西一毫屯岛一l 毫l ( d 一万砌一也屯。) 由于d 8 v h + 哎而d 矿0 所以候选l y a p u n o v 函数沿闭环系统对时间的导数对于j 是负定的。 由拉塞尔不变性定理，不变集尺由矿= 一，西一岛匕岛一i 岛i ( d 一万诎一红屯d ) = 0 的点定义，也就是r 由支= 0 决定。所以式( 3 1 4 ) 和( 3 1 6 ) 可以重写为： m i 薯+ 向( 五一而) = 0 m 2 蔓一k i ( x ! 一x 2 ) + k 2 x 2 = 一k p ( x 2 一x 2 d ) + 屯屯d 假设最大不变集肘内还包含一个不为零的点，即五d ，恐而d ，由上面两式我 们可以得到该点的加速度：戈0 。这意味着从五五d ，而屯d 出发的系统状态轨 迹将立即逃离尺，当然也就远离最大不变集m 。这与拉塞尔不变性原理矛盾。所 以该闭环系统的位置误差是全局渐近稳定的。 压电驱动原子力显微镜的运动控制 4 3 位置运动饱和p d 控制 4 3 1 引入饱和项的原因 上一节介绍的控制方法没有充分考虑到驱动器饱和的影响，也就是假设了驱 动器能够提供控制算法所需要的任意大的控制力矩。在实际情况中，驱动器都有 一个最大输出力矩。但有时由于一个不期望的高幅扰动或者控制方法的限制，而 使得驱动器达到饱和。如果我们没有考虑到这种情况，系统的控制品质将受到严 重的影响。【3 4 】【3 8 】 总之，驱动器的饱和问题一直都是实际控制应用的热点问题，从最初的系统 饱和控制到非线性系统的饱和控制，体现了该问题不论是对于理论研究还是具体 实际应用都有着重要的现实意义。 4 3 2 设计思路 首先考虑如下的势能函数【3 3 】： s ( 石) = ，zc+可tz+1-2m*-i(a-1)1) n ( p 口j x l + 万 i m x l 万为设计参数。 式( 4 5 ) 对x 求导，可得如下所示的一类非线性饱和函数 s ( 曲= 行( 朋铲1 i x l 。s g n ( x ) ) 万 o 4 3 3 饱和p d 控制器设计 2 9 _ 一 ( 4 7 ) 考虑下面的控制律： v n = 一j ( 恐一x 2 d ) 一向s ( 毫) 一d s g n ( 戈2 ) + k 2 x 2 d ( 4 8 ) 其中砟，饬和d 是正常数。 控制器的结构框图如图4 3 所示 x1 0 。1 1 1r _ r 0 8 - 0 4 0 2 0 卜 0 2 0 。4 l 一 - o 6 - o 8 1l ，一 - 1 旬8 图4 2s ( x ) 的示意图 压电驱动原子力显微镜的运动控制 图4 3 位置运动饱和p d 控制的结构框图 4 3 4 饱和p d 控制闭环系统分析 定理4 7 ：当x i d = x 2 d 时，_ = 嘞，x 2 = 而d 是系统的一个平衡点 证明：因为一= 嘞，而= x 2 d 是常值，所以j = 0 ，5 = 0 。将如上的结论代入 ( 3 1 4 ) 和( 3 1 6 ) 可得： k , ( x l d x 2 d ) = 0 ( 4 9 ) k , ( x l d x 2 d ) + 红而d = k , x 2 d ( 4 1 0 ) 由条件= x 2 一可得，方程( 4 9 ) 和( 4 1 0 ) 左右两边相等。 所以，= 而d ，屯= x 2 d 是系统的一个平衡点。 定理4 8 ：对于式( 3 1 8 ) 所示的压电驱动原子力显微镜系统，应用饱和p d 控制律( 4 8 ) ，如果选择的控制器满足d 8 v h + k 2 x 2 。，则闭环系统的位置误差是 全局渐近稳定的。 i i n 用l y a p u n o v 稳定性定理和拉塞尔不变性原理来证明上述定理。为此， 选取如下的候选l y a p u n o v 函数 第四章控制器的设计 y ：! 爻r 辑+ ! x r 戤+ ! 屯s ( t 一屯d ) (411)222 ， 、“。 由前- d , 节给出的s ( x ) 的性质( 1 ) ，可以很容易得到候选l y a p u n o v 函数( 4 1 1 ) 对于x 和j 是正定正则的。 对式( 4 1 1 ) 沿闭环系统( 3 1 8 ) 对时间求导，可得： 矿= 5 c 7 a 磊+ x r x + 艺尼p s ( t x 2 d ) = r 毫毫，( 三 一 三 一c 髯一戤 + x r 孟冀+ 之巧j c 艺一t d ， = 戈r ( 一戤一馓) 一是诎一是k s ( 屯- x 2 d ) 一之吻s ( 之) 一d i 岛i + 毫红而d + x r 戤 + 毫乃j ( 屯一x 2 j ) = 一j 7 c 譬一毫岛s ( 岛) 一毫讹一jl 岛i + 毫岛恐d 由( 4 7 ) 并考虑到讷是有界的，可得： 矿- y c r 蔬一s ( 岛) 蚝吃s ( 毫) 一i 毫l ( d 一万，旃一屯屯。) 由于d g v h + k 2 x 2 d 矿0 所以候选l y a p u n o v 函数沿闭环系统对时间的导数对于主是负定的。 由拉塞尔不变性定理，不变集r 由 矿= - 5 c r 矗一s ( 岛) k 乞s ( 岛) 一l 毫i ( d 一6 v 一屯x ：。) = 0 的点定义，也就是r 由戈= 0 决定。所以式( 3 1 4 ) 和( 3 1 6 ) 可以重写为： m i 薯+ 毛( 五一x 2 ) = 0 m 2 蔓- k l ( x l - - x 2 ) + k 2 x 2 = - k 口( x 2 一x 2 d ) + 足2 x 2 d 假设最大不变集m 内还包含一个不为零的点，即x i d ，x 2 x 2 d ，由上面两式我 们可以得到该点的加速度：j 0 。这意味着从玉五j ，五恐