（信号与信息处理专业论文）基于全相位fft的高精度频率计系统研究.pdf

中文摘要 频率检测是电子测量领域的最基本的测量之一。频率信号抗干扰能力强、适 合远距离传输、可以获得较高的测量精度，而数字化频率测量方法因其精度高、 抗干扰能力强、算法灵活等优点，越来越受到重视。本论文旨在将导师研究多年 的全相位f f t 分析技术给予硬件实现，将其进一步扩展应用到高精度频率计的设 计中。除了选用全相位f f t 算法外，本系统还将a r m 7 开发平台、l p c 2 1 0 3 芯 片和a d 9 8 3 3 芯片组合起来，形成一个完整的系统，以得到更高精度的频率计。 论文首先详细介绍了全相位数据预处理即频谱分析方法的概念及性质，指出 全相位方法由于考虑了输入数据的所有分割情况，所以具有优良的频谱分析性 质，并且理论验证了全相位f f t 谱分析具有水平相位特性。另外又重点从精度、 消耗的数据成本、计算复杂度等方面对传统频率校正方法和全相位频率校正方法 做了分析对比，仿真比较了三种相位差法：传统相位差校正法、f f t a p f f t 综合 相位差校正法和全相位时移相位差校正法。并最终确定将最佳的f f t a p f f t 综 合相位差校正法应用到频率计测频上，以大大提高测频的准确度和精度。 论文详细给出了本次课题频率计的硬件系统和软件系统的设计方案及设计 步骤，然后又对实验结果进行了分析。结果证明，本次设计达到了预期的目标。 最后又针对一些问题提出了改进的建议。 关键词：全相位：频率计；频谱校正；a r m ；高精度 a b s t r a c t t h ed e t e c t i o no ff r e q u e n c yi so n eo ft h em o s tb a s i cm e a s u r e m e n t si nt h ef i e l do f e l e c t r o n i cm e a s u r e m e n t s t h ef r e q u e n c ys i g n a l ，h a v i n gas t r o n ga n t i 。i n t e r f e r e n c e a b i l i t ya n db e i n gs u i t a b l ef o rl o n g d i s t a n c et r a n s m i s s i o n ，c a l lb em e a s u r e di nah i g h p r e c i s i o n a n dt h e r e s e a r c ho fm e a s u r e m e n t , h a v i n gh i g hp r e c i s i o n ，s t r o n g a n t i i n t e r f b r e n c ea n df l e x i b l ea r i t h m e t i c ，i sg e t t i n gm o r ea t t e n t i o n i nt h i sp a p e r ，i a p p l yt h ea 1 1 p h a s ef f t ( a p f f t ) w h i c hw a sb r o u g h tf o r w a r db ym yt e a c h e r t o h i g h p r e c i s i o nc y m o m e t e rd e s i g n a p f f tt e c h n o l o g y , w i t ha r m 7 d e v e l o p m e n tb o a r d ， l p c 210 3c h i p ，a n da d 9 8 3 3c h i p ，m a k eu po fac o m p l e t es y s t e mi no r d e rt oo b t a i na m o r ea c c u r a t ef r e q u e n c ym e t e r t h i sp a p e rd e t a i l e d l ya n a l y z e st h ec o n c e p ta n dn a t u r eo fa l l - p h a s ef f t a tf i r s t i t p o i n t st h a ta p f f t , t a k i n gi n t oa c c o u n ta l lp a r t i t i o nt i r e so f i n p u td a t a , h a sa ne x c e l l e n t s p e c t r u m a n a l y s i sn a t u r e t h ev i e w p o i n tt h a ta p f f th a st h ep r o p e r t y o fp h a s e i n v a r i a n ti sp r o p o s e da n dp r o v e di nt h e o r ya n de x p e r i m e n t i na d d i t i o n ，a p f f t f r e q u e n c yc o r r e c t i o n i s a n a l y z e d t oc o m p a r ew i t ht r a d i t i o n a lf f tf r e q u e n c y c o r r e c t i o ne m p h a s i so np r e c i s i o n ，u s i n gd a t ac o s ta n dc o m p u t ec o m p l e x i t y a f t e r c o m p a r a t i v ee x p e r i m e n t sa m o n gt r a d i t i o n a lp h a s e d i f f e r e n c ec o r r e c t i n gs p e c t r u m m e t h o d ，c o m p o s i t i v ep h a s e d i f f e r e n c ec o r r e c t i n gs p e c t r u mm e t h o db a s e d o n f f t a p f f t , a n da p f f tt i m e s h i f td i f f e r e n c ec o r r e c t i n gs p e c t r u mm e t h o d ，i ta p p l i e s t h eo p t i m a lm e t h o d ，c o m p o s i t i v ep h a s ed i f f e r e n c ec o r r e c t i n gs p e c t r u mm e t h o db a s e d o nf f t a p f f t , t ot h ef r e q u e n c y - m e a s u r e m e n to fc y m o m e t e r t oe n h a n c ei t sp r e c i s i o n t h i sp a p e rg i v e st h ed e s i g n i n gs c h e m e sa n ds t e p so fh a r d w a r ea n ds o f t w a r e s v s t e ma n da n a l y z e se x p e r i m e n tr e s u l t s t h er e s u l t sp r o v et h a tt h i sd e s i g nr e a c h e s e x p e c t a n tt a r g e t a tl a s t ，s o m ep i e c e so f a d v i c ea r ep r o p o s e df o rb e t t e r m e n t k e y w o r d s ：a 1 1 p h a s e ；c y m o m e t e r ；s p e c t r u mc o r r e c t i n g ；a r m ；h i g hp r e c i s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁盗蠢堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作：钧绋飙训夕年多月_ ；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞苤堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：讪口岁年 导师签名：童峭冷 签字啦切护s 月多日 岛f 妒 斗叮 一叩 月 个 ； 第一章绪论 1 1 课题背景 第一章绪论 科学技术的进步同测量技术的发展是相辅相成，密切相关的。测量技术已渗 透到工业，农业，国防，科学研究以及人类生活的各个领域，其应用的广泛性和 重要性已越来越为人们所认识。与其他测量相比，电子测量具有频率范围宽，量 程范围广，测量准确度高，测量速度快，易于实现遥测和测量过程的自动化并易 于实现仪器小型化等特点。本课题研究的是电信号特性中频率特性的数字化测 量。 在电子系统广泛应用的今天，到处可以见到处理离散信息的数字电路。大到 先进的工业控制系统，空间通讯系统，交通控制雷达系统，医院急救系统等，小 到家庭生活中随处可见的微波炉，电视机，电冰箱等的设计过程中，无一不用到 数字技术。数字电路促进工业的进步，使得系统设计人员能在更小的空间内实现 更多的功能，从而提高了系统可靠性，也使速度得到了很大的提升。 在电子技术中，频率是最基本的参数之一，是描述周期现象的一个重要方面， 并且与许多电参量的测量方案、测量结果都有十分密切的关系，因此频率的测量 就显得尤为重要。随着现代科学技术的发展，对于频率测量的准确度要求越来越 高。由于数字电路的飞速发展使得对频率进行高精度的数字测量成为可能。 1 2 频率计发展现状 由于社会发展和科技发展的需要，信息传输和处理的要求的提高，对频率的 测量精度也提出了更高的要求，需要更高准确度的时频基准和更精密的测量技 术。而频率测量所能达到的精度，主要取决于作为标准频率源的精度以及所使用 的测量设备和测量方法。目前，国内外使用的测频的方法有很多，根据测量方法 的原理，大体上可作如下分类【1 】： 第一章绪论 直读法又称利用无源网络频率特性测频法，它包含有电桥法和谐振法。比较 法是将被测频率信号与已知频率信号相比较，通过观、听比较结果，获得被测信 号的频率。属于比较法的有：拍频法、差频法、示波法。 计数法有电容充放电式和电子计数式两种。前者是利用电子电路控制电容器 充放电次数，再用磁电式仪表测量充、放电电流的大小，从而指示出被测信号的 频率值。后者是根据频率的定义进行测量的一种方法，它是用电子技术器显示单 位时间内通过被测信号的周期个数来实现频率的测量。由于数字电路的飞速发展 和数字集成电路的普及，电子计数法的应用十分广泛，利用电子计数器测量频率 具有精确度高、显示醒目直观、测量迅速以及便于实现测量过程自动化等一系列 突出优点。 本设计是在研究总结上述方法的基础上，得出一种新的频率测量方法。其性 能的提高在于算法的改进。该方法利用了单片机的软件编程测量频率。它是利用 信号的频谱来实现周期信号的频率测量，然后经过f f t a p f f t ( 全相位f f t ) 综 合相位差校正法对测量值进行校正处理，最终得到更加精确的频率测量值。 全相位数字信号处理是天津大学王兆华教授和侯正信教授提出的一种数字 信号处理的新的方法。两位教授以及他们的历届博士生、硕士生做了大量的研究 工作，这些研究成果已经在很多文献中得以体现。本论文就是在其基础上继续研 究这种新的数字信号处理方法，并将其应用到频率计的设计中，以得到更高精度 2 第一章绪论 的频率计。 1 3 主要研究工作 数字频率计是数字信号处理中的一个典型应用，本设计采用a r m 7 开发板 来实现嵌入式的开发。a r m 7 系列微处理器为低功耗的3 2 位r i s c 处理器，最 适合用于对价位和功耗要求较高的消费类应用。为了调试的方便，设计中的模拟 信号由a d 9 8 3 3 芯片产生。a d 9 8 3 3 型可编程波形发生器是一款为各种需要得到 高精度正弦波、三角波、方波信号的应用而设计的器件，该器件采用第三代频率 合成技术直接数字频率合成技术。以“相位”的概念进行频率合成，不仅可 以产生不同频率的正弦波，而且可以控制波形的初始相位，根据芯片的控制寄存 器的功能更改相关控制程序还可以产生三角波和方波。正弦波的频率可通过人工 设置，便于实验结果的检验。模数转换部分由l p c 2 1 0 3 的a d 转换器实现。 l p c 2 1 0 3 的a d c 是l o 位逐次逼近式模数转换器，支持掉电模式，功耗小。通 过设定a d c 的控制寄存器，可以控制a d c 转换的输出位数和输出参数等。 设计中采用的是在频域方面实现周期信号的频率测量。广义的说，信号的频 谱是指组成信号的全部频率分量的总集。周期信号的频谱有几个特点：( 1 ) 频谱 是离散的，由无穷多个冲击函数组成；( 2 ) 谱线只在基波频率的整数倍上出现， 即谱线代表的是基波及其高次谐波分量的幅度或相位信息；( 3 ) 各次谐波的幅度 随着谐波次数的增大而逐渐减d , 1 2 1 。将采集的数字信号利用f f t 变换由时域转换 到频域。导师王兆华教授早在2 0 世纪8 0 年代提出了全相位数字信号处理方法， 其根本的思想是为解决由于信号数据截断产生的截断误差。本文是在其基础上继 续深入讨论了全相位f f t 频谱分析以及频谱校正的一些优良特性的本质所在，并 将其应用到本论文中频率计的设计与研究中，期望得到更高精度的频率计。最后， 在a p f f t 后的结果中观察并分析，得到本实验的结论。 本设计采用嵌入式开发，所用到的硬件有a r m 7 开发板、l p c 2 1 0 3 芯片和 a d 9 8 3 3 芯片，所用到的软件开发环境是k e i lu v i s i o n 3 ，用5 1 单片机c 语言编 程实现。首先，通过设定a d 9 8 3 3 的控制寄存器使其输出一个正弦波，并通过设 定l p c 2 1 0 3 的g p i o 口和管脚配置实现l p c 2 1 0 3 与a d 9 8 3 3 连接，其中，a d 9 8 3 3 写入数据所需的时序由l p c 的g p i o 口分别置0 置1 并产生一定的延时来实现； 其次，设定l p c 2 1 0 3 的a d c 部分的控制寄存器控制a d c 转换；最后将模数转 换后所得的序列预处理后分别进行全相位傅里叶变换和传统的傅里叶变换转换 到频域，并进行频率的校正，在频域观察结果。其中，每一步不仅要通过软件模 拟，也要通过示波器来分别观察产生的波形、时序和采样间隔等等。最终将整个 3 第一章绪论 程序下载到硬件上调试运行。 完成的设计功耗低，速度快，并能实现高精度的频率测量。在对低频信号进 行测量的时候，有较如人意的结果。另外经过改造，也可实现高频信号的频率测 量以及周期、电压与时间的测量等。 本文的结构包括如下几个部分：第二章对全相位分析方法做了概念上的介 绍，从时域的角度分析了全相位方法的主要实现方式以及能更好的抑制频谱泄漏 的基本原因。并通过详细的理论公式和实验仿真结果证明了全相位f f t 频谱分 析较传统f f t 频谱分析的优势之处：第三章详细列举了多种频谱校正方法，对 现今国内外的各种基于传统f f t 的频谱校正方法进行了系统的分析，利用全相 位f f t 谱分析良好的抑制谱泄漏效应和水平相位特性，列出了全相位的各种校 正方法，并阐述了这些频谱校正法的校正过程和机理，又对传统f f t 相位差法， f f t 印f f t 综合相位差法和全相位时移相位差法做了仿真实验比较分析；第四章 和第五章分别具体给出硬件系统设计和软件系统设计方案，并给出了部分c 程 序，另外第五章还对本次设计的实验结果进行了误差分析；最后一章是全文的总 结，并且对进一步的研究工作提出了想法。 1 4 本章小结 本章绪论首先分析了课题的背景，接着概述了频率计研究的发展现状，并引 出一系列的问题。接着提出解决这些问题的一系列方案，即本论文将要做的主要 工作，以及本论文的系统架构。 4 第二章全相位数据预处理及频谱分析 第二章全相位数据预处理及频谱分析 2 1 全相位分析方法 2 1 1 离散数字信号处理中的信号截断及其带来的问题 随着计算机和信息学科的飞速发展，数字信号处理( d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g ， d s p ) 技术应运而生并且迅速发展。确切的说，数字信号处理是利用计算机或专 用处理设备以数值计算的方法对信号进行采集、变换、综合、估值与识别等加工 处理，借以达到提取信息和便于应用的目的。由于计算机存储容量和处理速度的 限制，只能对有限多个样本进行运算。然而，实际中遇到的离散时间信号总是非 时限信号，这样必然要对非时限信号选取有限时长的数据样本加以处理，也就是 信号的截断。在数字信号处理当中信号的截断是通过将一有限带宽的窗函数与非 时限信号相乘而实现的。对信号的自然截断也就意味着使用了矩形窗，窗的宽度 即是数据的长度。随着数字信号处理的发展，除矩形窗之外，人们还提出了许多 其他类型的窗函数，如汉明窗、汉宁窗、凯赛窗等等，这些窗函数都是针对改善 信号截断所带来的误差而提出来的。 在数字信号处理中，为了便于计算处理，对于上述的截断信号是通过将它加 以无限周期延拓以构成虚拟无限时长信号。例如，早在1 8 2 2 年，法国工程师傅 里叶提出，一个“任意”的周期函数x ( t ) 都可以分解为无穷多个不同频率正弦信 号的和，即是傅里叶级数，求解傅里叶系数的过程就是傅立叶变换。而在计算机 的处理当中，要求信号在时域和频域都应是离散的，且都应是有限长的。通过将 信号离散化，截断后周期延拓，再进行离散傅里叶变换即得到离散的周期的频域 信号，从而便于计算机处理。然而这种截断信号与原始信号肯定是有一定的区别 的，截断处理将会引入截断误差。例如，在用傅里叶变换对截断信号进行计算处 理的时候，将会发生频谱“泄漏”( 信号的能量在频率轴分布扩展的现象) ，也即 频谱的幅值、频率和相位等信息将产生误差。另外，还会带来有限区间信号边界 效应问题，即截断信号边界的“吉布斯”现象。也正是由于这些问题的存在，从 而诞生了许多种针对这些现象而提出的改善措施：加窗函数法和重叠方法等。 5 第二章全相位数据预处理及频谱分析 2 1 2 全相位数字信号处理的发展历程 全相位数字信号处理方法正是从解决截断问题开始的。它最早是在1 9 8 3 年 天津大学电信学院的王兆华教授为了克服图像处理中的方块效应首次提出的【3 】。 王教授引入了将某个像素的所有n n 的分块情况全部进行考虑的“重叠数字滤 波”方法，即相邻段与段之间允许数据进行重叠，成功消除了图像滤波中存在的 “方块效应”现象。1 9 8 5 年，侯正信教授解决了重叠滤波器的数学问题并将重 叠滤波的应用扩展n d c t 域，首次提出反余弦重叠数字滤波器1 4 】；此后，王兆华 教授和侯正信教授又分别对重叠滤波器做了较深入的研究并发表了一些相关的 论文1 5 埘】；1 9 9 3 年，王兆华教授出版了专著，其中全面系统的介绍了重叠数字滤 波器及其在内插等图像处理中的应用【1 2 】；2 0 0 1 年，王兆华教授和他的博士生首 次公布无窗重叠数字频域滤波器框图【1 4 】：同年，侯正信教授提出了更确切的“全 相位”概纠1 5 j ；2 0 0 3 年，侯正信教授首次公布无窗全相位频域滤波器频率特性 图，及等效的新的f i r 滤波器设计方澍1 9 】；2 0 0 3 年8 月在第1 1 届全国信号处理 学术年会上王兆华教授首次介绍了全相位f i r 数字滤波器【2 0 】；同年，在通信理论 和信号处理学术年会上全相位f f t 频谱分析又由王教授提出【2 1 l ；在2 0 0 4 年，王 兆华和侯正信两位教授申请了实用新型发明专利，首次公布带窗全相位频域滤波 器框图和频率特性图i l7 】：2 0 0 3 年王兆华教授的博士生苏飞在前人的基础上，对 影响系统性能的窗函数进行了深入细致的分析，对全相位数字滤波器的多个应用 范围进行了尝试，提出t w - o 算法1 2 4 j ；2 0 0 5 年侯正信教授和博士生徐妮妮推导 出加窗全相位滤波器的新结卡勾【2 2 2 3 】，把基于i d c t 变换的无窗全相位内插模板应 用到静止图像的压缩编码中，并且提出全相位半带滤波器【2 2 】的谱分解设计方法及 全相位功率对称f i r 完全重建q m f 组，开拓了全相位滤波器在滤波器组方面的应 用。2 0 0 3 年至2 0 0 6 年王兆华教授的博士生黄翔东、黄晓红和硕士生吴国乔在前 人的基础上，对全相位数字信号处理作了较透彻的分析，在全相位频谱分析、全 相位傅氏重构法、全相位相位差校正法以及基于频率响应屏蔽( f r m ) 的全相位 滤波结构做出了突出的贡献。 经过2 0 余年的研究，现今该方法涉及范围包括数字图像和信号的滤波器设 计、信号重构、信号的频谱分析、自适应信号处理等众多的研究领域。在两次国 家自然科学基金的资助下，王教授、侯教授和他们的历届博士生、研究生作了大 量的研究工作，这些研究成果在6 0 余处的文献中得以体现。全相位数字信号处 理可望在频谱分析仪、陷波器设计、全相位计、全相位频率计、全相位频谱分析 仪、全相位激光相位测距仪、全相位g p s 载波相位定位仪、全相位介质损耗角 测量仪、全相位激光频率测量仪和全相位测速仪等设备中得到广泛应用。 6 第二章全相位数据预处理及频谱分析 2 1 3 全相位分析的思想 全相位根本的思想是为解决信号数据截断产生截断误差而提出的。例如图像 信号截断产生的方块效应、一维信号因截断在做频谱分析时产生的频谱泄漏以及 间断信号的重构误差等。全相位数字信号数据预处理可简单的通过以下几点来描 述：假设将一个一维信号截断之后离散化，其数据长度为2 n 1 ，将这段数据分 成n 个数据长度为n 的数据段，并以中心样本点也即是第n 点对齐，将每段数 据循环移位对齐，然后依次将相对应的位相叠加后归一化而得到一段样本长度为 n 的数据。由此可见，全相位方法主要是通过考虑了数据段中心样本点的所有可 能截断组合而减小信号的截断误差所引入的问题。 下面通过一个简单的例子来让我们对全相位数据处理有更深的理解。以n = 4 阶数据截断为例，设所要分析的数据段为a o a ，a 2 a 3 a 4 a ，a 6 下面是无窗全相位预处理的全过程： 用矩形窗分别截断4 段数据： l 段： 2 段： 3 段： 4 段： 码口4 口5 呸q 口4 口5 a ia 2a 3a 4 口。口1 口2 吗 将每段循环移位以中心样本点儡对齐后以列乘矩形窗： 1 段： 口3 口4 鸭魄 2 段： a 3a 4 a 5a 2 3 段： 心口4 口1a 2 4 段：码口。口1 口2 将每一数据段相叠加后得到： 4 a 33 a 4 + q 0 2 口l + 2 a 5a 6 + 3 吃 图2 14 阶无窗全相位数据预处理过程 处理过程简化成图2 2 所示的系统方框图。 图2 24 阶无窗全相位数据预处理的系统方框图 7 第二章全相位数据预处理及频谱分析 由于有 l2343 21 ) = 1 1 1 1 ) 11 11 ) ，从上图中可以看出无窗全相位预 处理实际上是将长为2 n 1 数据段与两个n 阶矩形窗的卷积进行加权后两两间隔 n 个延时的数据相叠加。 单窗和双窗全相位预处理与无窗全相位预处理是类似的，只是数据所加的权 值不同。其各个数据的权值与前面的窗函数的选取有关系。 2 2 全相位f f t 谱分析与传统f f t 谱分析的比较 2 2 1 引言 频谱分析顾名思义就是将信号从时域转换到频域，然后再对原信号进行分 析。它在工程实践当中应用非常广泛。例如，在视频信号中通过频谱分析可以看 到该信号频率范围，从而可以看到该信号主要集中在什么频率。当对余弦信号的 整周期采样时，其信号频率甚至可以通过谱分析直接较精确的测定其频率。另外， 频谱分析不仅能反映频率特性，而且还能反映出信号的相位和振幅特性。除了以 上特性之外，功率谱估计在谱分析当中特别是随机信号处理当中也占有比较重要 的地位。 我们知道，由于截断引起的频谱泄漏使得传统的f f t 频谱分析质量不是很高， 从而也相应的诞生了一些其他的频谱分析方法。本节主要是在前人的基础上继续 深入地讨论全相位f f t ( 以下简称a p f f t ) 频谱分析 2 1 , 2 8 】的一些优良特性的本质 所在，并辅以另外一种比较直观的方式加以分析。 2 2 2a p f f t 谱分析与传统f f t 谱分析的系统结构 传统的f f t 谱分析即是在将信号加窗函数截断后再做d f t 变换，而a p f f t 谱分析是经过全相位预处理后再进行d f t 变换，它们的系统结构图分别如图2 3 和图2 4 所示。由这两组结构图对比可知道，它们之问唯一的差别是对截断数据 预处理的方式不同。 2 2 3 传统f f t 谱分析与a p f f t 谱分析的关系 以单频复指数信号为例，先对传统f f t 做谱分析。这里假设传统谱分析时的 截断窗为一个n 阶矩形窗( 设为“( 行) ，n = 0 ，l ，n 一1 ) ，并设原信号的离散序 列为x ( n ) ，则经过截断以后的序列( 设为h ( 刀) ) 有 h ( 以) = x ( n ) u ( 刀)( 2 1 ) 对其做傅里叶变换则有 8 第二章全相位数据预处理及频谱分析 w = w l + w 2 ( w 为一卷积窗) ll b l t 7 丫 ! r ( o ) 广扪珂1 ) 广扪x ( 2 ) x ( n 一2 ) 卜nx ( 一1 ) 7 r t 严1 冀叮h l 。阿 窗函数截断jllj ili ij 二：( ) ? 一y ? 一j 一二孑_ _ 一 f f t 图2 - 4 彤ra p f f 。i 频谐分们盯乐玩结能 x ( o ) 彳( 1 )坝2 )拟n 一2 ) x ( n 一1 ) 图2 - 3n 阶传统f f t 频谱分析的系统结构图 1 工| ( p ) = ；一x ( e ) 木w ( e ) ( 2 - 2 ) 从而也可得到传统的d f t 有 x _ ( 七) = 亡x ( e ) 木w ( e ) i2 z ，= o ，l ，一l(l k 2 - 3 ) 二刀 一n 其中，x ( e ) 和w ( e ) 分别为原信号和矩形窗的傅里叶变换。若给定一单频复指 数信号x ( n ) 如式( 2 - 4 ) 所示： x ( 力) ：百钿+ ( 2 4 ) 则经过矩形窗函数截断后的频谱分析存在 ( 七) = 亡x ( e ) 幸w ( e p ) i2 ，。 二冗 n = 去 2 z a 6 ( w - w o ) e t 鹤。酱等e - j1 2 - ( n - i ) 川睁 ( 2 - 5 ) ：4 塑终生二鱼1 2 p 叫川卅枷p 炳 s i n ( z ( k k o 、) 、) 将变换后的谱线除以进行归一化后即可得到 “( 七) ：竺唑譬喜髌一m 胁枷p ， ( 2 6 ) “一n s i n ( z ( k k ) ) 、。 然后对a p f f t 做谱分析。若a p f f t 为无窗的情况，则根据图2 - 4 可以得到无窗 预处理的归一化数据y ( n ) ： 肭) = 等m ) + 号砌- 啦小) ( 2 - 7 ) 9 第二章全相位数据预处理及频谱分析 相应的傅里叶变换为： ( p 一) = 石1 石1 ，可n - n ) x ( ，) + 去，( 号) 幸研z ( 玎一) 】 矽。) ( 2 - 8 ) 这里为了突出全相位的基本原理，通过另外一种方式来计算a p f f t 频谱公式。 有前面介绍可以知道全相位数据实际上是通过以下步骤得来，这里为了推导的方 便将其步骤列出来。如图2 5 所示。 用矩形窗分别截懒数据： 1 段：x ( o ) 戏1 ) x ( n 一2 ) 顶一1 ) 2 段：x ( - 1 ) 瓤o ) x ( n - 3 ) x ( n 一2 ) 段： 段：颤一+ 1 ) 颤+ 2 ) x ( - d x ( o ) 将每段循环移位以中心点珂0 ) 对齐后列乘矩形窗： 1 段：x ( o ) x ( 1 ) x ( n 一2 ) 颤n 一1 ) 2 段： 颤0 ) x ( 1 ) x ( n 一2 ) 缸一1 ) 段： 6 1 16 1 j 、喟殳： x ( o ) x ( + 1 ) 工( 一2 ) x ( 一1 ) 图2 - 5n 阶无窗全相位数据预处理过程 设截取的每段数据为”( f = o ，1 ，n 一1 ) ，相应的循环移位后的数据段为 y i ( i = o ，1 ，n 一1 ) ，则两者相对应d f t 有如下关系： ，2 z u r 。( 七) = r ( 七) p 。 ( 2 9 ) 则由于傅里叶变换符合线性相加定理，可得到将这n 组处理后再相加的数据做 d f t 等价于分别将每段做d f t 再进行叠加，由此可得a p f f t 谱分析的振幅特性 公式为： 瓦( 七) 2 专委r ( 七) 2 专委z ( 七) p 。1 r ( 2 1 。) = 寺【x ( 所一i ) e - 下p 百 这里仍采用式( 2 4 ) 中的输入信号，则由式( 2 1 0 ) 可以推出 ：导芝【钞挈训p 一，等p 等 ：兰p 胤等p 一，等( 0 “) ，字p 7 百2 i ( | i ；。_ 枷 彳 = e n，艘_ 1 一p 一，铷。) 1 一口，竺n ( 知_ ) 一p ，一( “) 一 l p ，等( ：a e j 碉。! 璺堑亟= 塑 s i n2 ( x ( k o 一七) ) 1 0 ( 2 - 1 1 ) 第二章全相位数据预处理及频谱分析 将式( 2 11 ) 除以归一化后并将其简化即可得到： 一扣端 亿 ：一a i 墅终生二塑i z p 鲰 川s i n ( 万( 七0 - k ) ) 。 对比式( 2 6 ) 和式( 2 1 2 ) 可知道，从振幅特性上讲，a p f f t 的振幅是传统f f t 的振 幅的平方，也即从另外一种角度上讲，a p f f t 的振幅谱就反映出了原信号的功率 谱。最能代表a p f f t 特色的是，经过预处理及变换后不论任何情况下它都能真 实的反映出原信号的初相位，即水平相位特性。而传统的f f t 在非整周期采样 时则需要进行校正才能知道信号的初始相位，而且其精度还不是很高。 2 2 4 传统f f t 与a p f f t 的m a t l a b 仿真比较 上一节中的振幅特性是全相位f f t 谱分析的一个非常重要的性质，它所揭 示的平方关系，是对所有的条谱线而言，显然这种平方关系使得旁谱线相对 于主谱线幅度的比例也按平方关系而减小，从而使得主谱更为突出。需指出，该 结论在这里是针对单频复指数信号而言的。对于包含多种频率成分的信号，虽然 每种频率成分会对所有谱线都产生影响，但由于全相位频谱泄漏范围较小，这种 影响相比于传统f f t 谱分析要小得多。因此当足够大时，一般情况下各谱线 仍近似存在这种平方关系。 下面在m a t l a b 6 5 环境下举例做仿真比较。 例：有一含多个不同频率成分和初相位的复合正弦序列如下式所示： x ( ”) = c o s ( 5 0 3 x 2 n n 2 5 6 + x 6 ) + c o s ( 8 5 3 x 2 r n t 2 5 6 + n 3 ) + e o s ( 1 2 1 4 x 2 m r 2 5 6 + x 2 ) 力 - + l ，- l 】，n = 2 5 6 ，即：各频率成分的初相分别为3 0 0 、6 0 0 、9 0 0 。现对此序 列分别进行传统加汉宁窗f f t 谱分析和全相位双窗f f t 谱分析，得到相应的振幅 谱和相位谱如图2 - 6 所示。 从图2 - 6 实验谱图可发现：在k = - 5 0 、k = - 8 5 、k = - 1 2 1 的主谱线处，传统f f t 谱 的相位谱不等于信号初相值，且主谱线相位与周围旁谱线相位还存在突变现象； 而在k = 5 0 、k = - 8 5 、k = 1 2 1 处，全相位f f t 谱的相位值几乎等于信号初相3 0 0 、6 0 0 、 9 0 0 ，不但在主谱线位置，周围旁谱线位置的相位值也都等于初相值，其等值范 围由信号频率成份分布的疏散程度决定。 第二章全相位数据预烛理及频谱分析 呼i 屠 a ) 传统f f r 振幅谱和相位谱( b ) 全相位f 丌振幅谱和相 屯谱 图2 - 6 传统f f t 和垒相位f f t 的振幅谱和相位谱对照( n = 2 5 6 ) 表2 - 1 给出了在主谱线k - 5 0 附近的全相位f f t 谱线的相位值 袁2 - 1 仝相位谱的相位值f 真实和相为3 0 。1 o o r ( k ) 从表2 - 1 可看出，主谱线附近的全相位相位谱值与信号初相值非常相近( 如 果是单频复指数信号则两者完全相等) ，其精度达到1 0 - 5 度+ 主谱t = - 5 0 处的精度 甚至达到1 0 4 度。 表2 - 1 的相位精度意味着全相位f f t 谱分析具有如下的实际意义：无需通过 任何校正措施，从全相位f f t 主谱线上即可得到高精度初相估计。 2 3 本章小结 本章引出了全相位的概念，介绍了全相位分析方法详细的阐述了全相位预 处理的具体流程并且给出了电路结构圈。然后给出了传统f f t 和a p f f t 分析的 系统结构图以争频复指数信号为捌通过严格的数学公式推导，得出两种分析 情况下的幅频关系和相频关系。从公式当中得出两条重要的性质：全相位f f t 频谱分析正是因为其幅度是传统的f f t 的幅度的平方而使得其频谱泄漏非常小： 咱们o 瑚 佃 。 佃 l 暑 第二章全相位数据预处理及频谱分析 全相位f f t 频谱分析准确的反映出了信号的初始相位，具有水平相位特性。最 后，本章又在m a t l a b 环境下举例对f f t 和a p f f t 做仿真比较，进一步验证了 全相位f f t 的特性。 1 3 第三章全相位f f t 频谱校正法 3 1 引言 第三章全相位f f t 频谱校正法 上一章详细论述了全相位f f t 频谱分析原理，证明了全相位f f t 谱分析的 良好的抑制频谱泄漏性能和水平相位特性等优良性质。水平相位特性使得全相位 f f t 谱分析无需借助任何校正措施即可获得真实相位的精确估计。本论文需要研 究的是频率计的频率值，因而还需进一步讨论如何根据精确地相位估计来估计频 率这一参数的问题。 直接通过快速傅立叶变换后频域最大谱线峰值所对应的整频率点来估计频 率，会产生比较大的误差。因为当对信号进行非整周期采样时，实际的主峰值谱 线并不在整数频点，而在实际应用当中，很难做到对信号的整周期采样，尤其是 在多个频率成分出现时，几乎无法实现，因此需采取一定的校正措施进行校正。 类似于传统f f t ，全相位f f t 的分析结果仍然是离散谱线，于是就存在离散谱分 析所固有的“栅栏效应”。若选用的f f t 长度为，则其数字角频率的最小分辨率 为a t o = 2 n n ，于是信号频率的真实位置就应处在以a c o 为间隔的两条相邻的谱 线之间。因此，为获得更精确的频率位置，就必须减小a r o ，这就迫使我们增大 长度，显然这会增大计算成本。为解决离散频谱误差较大的问题，上世纪7 0 年 代中期，有关学者就致力于离散频谱校正理论的研究，并提出了一些校正频谱分 析误差的方法，以满足实际应用中对频谱分析精度的要求。因而，频谱校正的任 务就是利用离散谱分析所提供的信息对频率、幅值、相位这三个参量作精确估计。 为估计频率真实位置，一种最直接的方法就是利用主谱线及其附近的几根旁 谱线的幅值作插值。j a i nv k 首次提出基于矩形窗的插值方法【2 引，在此基础上， g r a n d k e 应用了汉宁窗插值【3 0 】，文献【3 1 】应用了b l a c k m a n h a r r i s 窗插值等。另外， 丁康教授提出基于离散频谱的三点卷积法【3 2 】1 3 3 1 和能量重心洲3 3 】【州，这也是插值 法的一个特例。 频谱校正方法的另外个分支就是基于相位差的比较法。谢明在文献 3 5 】提 出了利用分段f f t 的相位差提高正弦信号频率和初相估计精度的方法，并根据计 算机模拟得出频率估计误差小于0 0 2 个f f t 的频率分辨率，相位误差小于0 1o 。 丁康在文献【3 6 】提出了一种时移相位差校正法，这是现有的基于传统f f t 频谱校 正法中精度很高的一种方法。齐国清在文献 3 7 中提出基于d f t 相位的正弦波频 率和初相的高精度估计方法，这种方法与时移相位差校正法类似，但可消除时移 1 4 第三章全相位f f t 频谱校正法 相位差校正法的“相位模糊现象”，有很大的实用性。 事实上，影响频谱估计精度的一个重要因素就是由于频谱泄漏引发的谱间 干扰问题。以上所有的频率估计法都是在传统f f t 的架构下进行，因而传统f f t 所固有的频谱泄漏效应无疑会很大程度地影响这些校正法的精度。由于全相位 f f t 相比于传统f f t 具有更优良的抑制频谱泄漏性能，因而可以肯定基于全相位 f f t 谱分析的频谱校正方法比传统频谱校正法具有更高的校正精度。 本章提出基于全相位f f t 谱分析的多种频谱校正法，这些校正法相比于同类 的基于传统f f t 频谱校正法，其精度都得到了不同程度的提高。 3 2 常用的频谱校正法 目前，国内外有四种离散频谱的校正方法：能量重心法、比值法、相位差法 和f f t + d f t 谱连续细化法【3 引，这些频谱校正方法分别从不同的角度，根据f f t 分析得到的离散数据而获得信号频率、幅值和相位的估计值。这些频谱校正方法 的抗噪能力、对密集频率成分的分辨能力以及计算复杂度各有差别，但有一点是 相同的，即它们都是在基于传统f f t 谱分析的结果上进行频谱校正的。传统f f t 谱分析固有的频谱泄漏效应注定会对最后的频谱校正精度造成影响。 本节首先介绍这些常用的基于传统f f t 的频谱校正方法，以便于和基于全相 位f f t 频谱分析的频谱校正方法进行对照 3 9 】。 3 2 1 能量重心频谱校正法 能量重心频谱校正法的算法简单，因而此法应用很广泛。该法所依据的原理 是经典d f t 分析中的帕塞瓦尔定理，即信号的能量在时域和频域内是守恒的。 我们知道，在时域内离散数据的能量是通过对所有采样值进行平方求和得到的， 而在频域内，则可通过对所有谱线的幅值进行平方求和来表征。倘若离散谱泄漏 不严重，为减小频谱估计的计算量，这些振幅谱的平方和( 即功率谱的求和) 可 由主谱线及其附近的几根谱线求和来近似代替，这也是该法理论误差的来源。 因而，为提高估计精度，必须提高谱线的聚集度，这可通过加窗实现。直接 对不加窗f f t 的功率谱进行校正的误差是较大的。加窗不仅起到能量集中作用， 而且还会降低各个频率成分问的谱线干扰，因而是必须的。 般情况下，某一频率成分的离散功率谱线分布如图3 1 所示： 1 5 第三章全相位f f t 频谱校正法 泌( 坍) r 防+ 1 ) f 阻k 一2 ) | 2p 白一1 ) f l ttl l 眵劬+ 2 ) 1 2 it 糌2 胂1 脚朋+ 1 脚+ 2 k 图3 1离散功率谱线分布图 其振幅谱值在主谱线附近的分布是不均匀的，主谱线两侧的谱线幅度有高有 低。不难想象，类似于密度不均匀的物体存在重心一样，离散功率谱线也必然存 在一个能量重心，该重心位置就是信号真实频率的理论位置。例如，图3 1 的能 量重心必然处于k = - m 和k = - m + l 之间。 令所选用的采样频率为疋，f f t 的长度为，则数字角频率的分辨率 a c o = 2 兀，对应的模拟频率分辨率y 可f j n ，若选用主谱线前后m 根谱线进行校 正，则不难得出数字频率估计国和模拟频率估计厂值为： 艺i x ki x 。1 2 。1 2 缈= 生笔i n 譬m 一 z i x k l 2匆：哿 五 ( 3 1 ) n 式( 3 1 ) 中的m 值通常取为1 或2 ，m = 2 时的校正精度高于m = i 情况。事实 上，频率和相位是紧密相连的两个概念，数字角频率的偏差对时间积分的结果就 会引起相位的偏离。因而由式( 3 1 ) 得到彩后，就可计算出f f t 主谱线上的频率 偏差，由于主谱线处于k = - m 的位置上，因此，主谱线上的频率偏差为： 缈= 改卜聊功= 罄i x 一一a r o = a k 勘 七。1 2i 垃篆等广_ 一ml 缈 俐2i ( 3 -