（地球探测与信息技术专业论文）ti介质正演模拟及弹性参数反演方法研究.pdf

t i 介质正演模拟及弹性参数反演方法研究 孙银行( 地球探测与信息技术) 指导教师：乐友喜教授 摘要 地震各向异性研究已经成为地震学研究领域中的前沿课题之一，开展 地震各向异性研究对认知地球介质结构、勘探开发复杂油气藏和预报地质 灾害均具有理论意义和实用价值。基于波动各向异性研究的重要性和紧迫 性，在前人工作的基础上，本文重点研究了t i 介质弹性波场的有限差分 法和伪谱法正演模拟及t i 奔质弹性参数反演等正反演问题。 在波场正演方面，实现了二维t i 介质弹性波的有限差分和伪谱法数 值计算，给出了波场计算中震源的几种模拟方式，分析了波场数值计算的 收敛性与稳定性等问题，提出了一种对t i 介质波场具有较好的吸收效果 的完全匹配层吸收边界条件，并对其进行了试算，说明完全匹配层吸收边 界条件比其它类型的边界条件吸收得更干净、效果更好。通过对均匀t i 介质中波场的模拟和几个t i 介质模型地面及并间合成记录的分析，揭示 了各向异性弹性波场的复杂性。 在正演模拟的基础上，通过有限差分法实现了t i 介质弹性参数的广 义线性反演。采用有限差分法计算波场的正演结果和雅可比矩阵系数，通 过全弹性波波形反演，最终得到二维t i 介质中与q p 波和q s v 波相关的四 个弹性参数。在非线性最优化理论的最新进展基础上结合地球物理反演问 题，提出了广义非线性反演的方法技术，并结合层状模型的各向异性弹性 参数反演，推导出了反演所需的梯度向量，并构造了一个计算公式，从单 位阵开始迭代修改目标函数的海色矩阵的逆矩阵，使目标函数趋于极小， 避开了求海色矩阵及其逆矩阵，从而使求解过程变得更加稳定，同时极大 地减少了计算量。两个地质模型的反演结果证明该方法是可行的，并且反 演精度高，表明该方法具有较好的发展前景。 关键词：各向异性，正演模拟，弹性参数，反演，完全匹配层 r e s e a r c ho nf o r w a r d m o d e l i n g a n di n v e r s i o no fe l a s t i cp a r a m e t e r sm e t h o di nt im e d i a s u n y m h a n g ( g e o p h y s i c a lp r o s p e c t i n ga n di n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yf r o f e s s o ry u ey o u - x a b s t r a c t s e i s m i ca n i s o t r o p yh a sb e e no n eo f t h el a t e s ts c i e n t i f i cr e s e a r c ht o p i c si n s e i s m o l o g y , a n da l s oi ti sag r e a tc h a l l e n g ef o rs e i s m o l o g yt h e o r ys t u d ya n d a p p l i c a t i o n c a r r y i n go u ts e i s m i ca n i s o l r o p yr e s e a r c hh a sg r e a ta c a d e m i c s i g n i f i c a n c ea n da p p l i e dv a l u ef o rt h ec o g n i t i o no f e a r t hm e d i ac o n f i g u r a t o n ， t h ee x p l o r a t i o na n dd e v e l o p m e n to fc o m p l e xo i lg a sr e s e r v o l r , t h ef o r e c a s to f t h eg e o l o g i c a ld i s a s t e r d u et ot h e i m p o r t a n c ea n du r g e n c yo fw a v e a n i s o t r o p ys t u d y , t h et h e s i sp u t se m p h a s e so nt h er e s e a r c h e so ff o r w a r d m o d e l i n ga n dp a r a m e t e r sr e v e r s i o no fe l a s t i cw a v ef i e l di nt im e d i u mw i t h t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n d p s e u d o - s p e c t r a lm e t h o d o nt h ea s p e c to ff o r w a r dm o d e l i n g ，w ed e v e l o pa2 - df i n i t ed i f f e r e n c e a n dp s e u d o s p e c t r a lm e t h o dm o d e l i n go ft im e d i u me l a s t i cw a v e s ，w e p r e s e n ts e v e r a lm e t h o d st om o d e las o u r c e ，a n a l y z et h ec o n v e r g e n c ya n d s t a b i l i t y o ft h em o d e l i n g ，p u tf o r w a r da b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o nb y p e r f e c tm a t c h e dl a y e r s e v e r a le x a m p l e ss h o wt h a tp e r f e c tm a t c h e dl a y e r s a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o ni s c l e a n e ra n db e t t e rt h a no t h e ra b s o r b i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ew a v ef i e l dm o d e l i n go f h o m o g e n e o u st im e d i aa n d t h es u r f a c eo ri n t e r w e l ls e i s m i cs y n t h e t i cr e c o r d so ft im o d e l ss h o wt h e c o m p l e x i t yo f e l a s t i cw a v ef i e l di na n i s o t r o p i cm e d i u m o nt h eb a s i so ff o r w a r dm o d e l i n g ，af i n i t ed i f f e r e n c er e v e r s i o nm e t h o d o f t lp a r a m e t e ri sp r e s e n t e d ，i nw h i c hw ec a l c d m et h ew a v ef i e l da n dj a e o b i m a t r i xw i t l lt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d b yt h ew a v e f o r mi n v e r s i o no f f u l l - w a v ef i e l d ，r e v e r s et h ef o u rp a r a m e t e r sr e l e v a n tt oq i , - w a v ea n d q s v - w a v e w ep r o p o s e ag e n e r a l i z e dn o n l i n e a ri n v e r s i o nm e t h o db y c o m b i n i n gt h en o n l i n e a ro p t i m i z a t i o n t h e o r yw i t hg e o p h y s i c a li n v e r s i o n p r o b l e m b yi n t e g r a t i o n w i t ht h e a n i s o t r o p i cp a r a m e t e r sr e v e r s i o no f s t r a t i f i e dm o d e l ，t h e 伊a d i e mv e c t o ra r ed e r i v e d ，w h i c ha r en e e d e db y i n v e r s i o n w eb u i l daf o r m u l at om o d i f yt h ei n v e r s em a t r i xo ft h eh e s s i a n m a t r i xi nt h ef u n c t i o n 谢t hu n i tm a t r i x s ow ec a no b t a i nt h em i n i m u mv a l u e o ft h ef u n c t i o ni nt h ec a s eo fu n k n o w i n gt h eh e s s i a nm a t r i xa n di t si n v e r s e m a t r i x ，s ot h a tt h ep m c e s so fc o m p u t i n gb e c o m i n gm o r es t a b i l i t ya n dr e d u c e g r e a tc a l c u l a t e da m o u n t t h er e v e r s i o nr e s u l t so ft w og e o l o g i c a lm o d e l s p r o v et h a tt h em e t h o di sf e a s i b l ea n da c c u r a t e s oi t i sap r o m i s i n gr e v e r s i o n m e t h o d k e yw o r d s ：a n i s o t r o p y , f o r w a r dm o i l i n g ，e l a s t i cp a r a m e t e r s ，i n v e r s i o n , p e r f e c tm a t c h e dl a y e r v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名： 盟纸纽刃俨6只；b 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 为刃年 i 7 伽 年 l 其箩日 a 岁b 6口 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 非均匀、非完全弹性、各向异性、多相态是真实地球介质的写真。近 一个多世纪来地震学的发展正是由简单的均匀、完全弹性、各向同性、单 相态的波动理论向真实地球介质波动理论一步步逼近的过程。近二、三十 年来，地震各向异性研究的兴起是地震学家认知地球客体的必然。 地震各向异性的主要表现是地震波的速度随传播方向和偏振状态的 不同而不同，它还表现在体波间的相互藕合、横波分裂等方面。据 l e v i n ( 1 9 7 8 ) 的一篇文章，早在1 9 3 2 年，m c c o l l u m 和s n e l l 在一项未公开 发表的研究中发现加拿大l o r r a i n e 地区页岩的p 波水平速度比垂直速度快 4 0 。二十世纪五十年代以来，更多的学者观测到了地球介质的波动各向 异性。j o l l y ( 1 9 5 6 ) 在近地表沉积岩中观测到s h 波的水平速度是垂直速度 的两倍；f o r s y t h ( 1 9 7 5 ) 发现东太平洋地区r a y l e i g h 面波群速度有明显的方 位变化；a n d o 等( 1 9 8 2 ) 观测到了由上地幔各向异性引起的横波分裂；n u r 等( 1 9 6 9 ) 通过实验发现岩石在地下压力场作用下能够产生波动各向异性； j o n e s 等( 1 9 8 1 ) 观测到取自美国北达科他州w i l l i s t o n 盆地的岩芯具有很强 的横向各向同性。总之，一系列研究表明，地壳和上地幔介质的波动各向 异性是普遍存在的。传统地震学之所以能够普遍采用各向同性介质模型， 一方面是因为各向同性介质模型是地球介质模型的一个较好的近似，在一 定程度上可以解决一些实际问题；另一方面由于观测技术和观测精度不 高，难以通过观测的实际资料提炼出明显的波动各向异性，因而地震各向 异性得不到足够的重视，再者，当时的处理解释技术手段限制了地震学家 们对过于复杂的波动各向异性的研究。现代多波多分量大炮检距勘探的发 展，以及地震预报和大地动力学等方面的深入研究，使地震学家们不能不 考虑地下岩石的波动各向异性。另外，计算机技术的发展，也对地震波各 向异性的研究起到了巨大的推动作用。 地球介质波动各向异性的成因很复杂，有多种因素可导致地球介质的 波动各向异性、不同地区、不同性质、不同温压环境下的岩石的波动各向 异性的成因也会不同。现在，我们已基本上弄清了地球介质波动各向异性 的主要成因。c r a m p i n 等( 1 9 8 4 ) 对这些成因有较详细的论述。大致说来， 地下岩石的波动各向异性的成因可分为三大类，即固有成因、裂隙诱导成 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 因和长波长成因。 ( 1 ) 固有各向异性成因。固有各向异性是由岩石的固有结构和特性产 生的( 张美根，2 0 0 1 ) 。从2 0 世纪5 0 年代开始，地球物理工作者通过对地 球岩石进行一系列观测和实验室研究，发现了固有各向异性的证据，证实 了地震各向异性是客观存在的。天然地震学家( j o l l y ，1 9 5 6 ；h e s s ，1 9 6 4 ) 从海上和陆上的观测资料中发现深部地壳岩石和上地幔存在各向异性。 n u r ( 1 9 6 9 ) 在实验室研究中发现，对岩石施加压力会产生各向异性。 b a c h m a n ( 1 9 7 9 ) 从深海钻井岩芯中发现了横向各向同性。j o n e s 和w a n g ( 1 9 8 1 ) 也从岩芯中发现了强的横向各向同性。 ( 2 ) 裂隙诱导各向异性成因。由于受到应力场的作用，岩石中形成择 优取向排列的裂缝、裂隙和孔隙，这些裂缝、裂隙或孔隙可能充满气体或 流体等充填物，地震波在裂隙岩石中的传播相当于在均匀弹性各向异性固 体中的传播，可称此裂隙岩石具有等效各向异性。c r a m p i n ( 1 9 8 7 ) 把这种 具有气体或流体等充填物的择优取向裂隙称为广泛扩容各向异性 ( e x t e n s i v ed i l a t a n c ya n i s o t r o p y e d a ) 。通过理论与实验室研究证实，e d a 介质可引起横波分裂现象。 ( 3 ) 长波长各向异性成因。沉积地层中周期性的薄互层，只要单层的 厚度小于地震波长，当地震波通过时会表现出长波长各向异性。 p o s t m a ( 1 9 5 5 ) 等研究表明小于地震波长的旋回性薄互层( 耐o dt h i n l a y e r - p t l ) 等效于横向各向同性介质，解释了当时地震资料时深转换的误 差问题。因为形成油气藏的储集层通常是层状沉积岩，p o s t m a 理论对今 天勘探地球物理工作者开展地震各向异性研究、寻找隐蔽油气藏具有重要 的理论指导意义。 地震波各向异性的研究在地震勘探、地震预测和大地动力学等方面都 具有很重要的理论意义和应用前景。通过对地下油气储层裂隙诱导各向异 性的研究，有望弄清裂缝隙的分布和密度情况，甚至弄清裂缝隙中充填物 的性质，为油气勘探和开发提供重要的储层描述资料。在油田开发的注水 压裂过程中，通过对裂隙诱导各向异性的观测，可以监测压裂的成效。通 过对地下岩石层裂隙诱导各向异性的研究，可以推断地下应力场的分布和 变化情况，从而为地震预报和大地动力学研究提供证据资料。在矿山开采 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 过程中，围岩应力场会因开采作用而发生变化，围岩中的裂缝隙也会随之 变化，对这些裂隙诱导的各向异性的监测，可以指导矿山的安全施工。 另外，对地下岩层裂缝隙的研究，还可以知道地下冷热水的运移和储 存情况，从而服务于地下水资源的评价。裂隙诱导各向异性还可应用于核 废料垃圾场的热开裂监测。在传统勘探中，薄互层储层的勘探和开发是一 大难点。薄互层有关的各向异性的研究，有望更好地弄清薄互层的分布、 厚度及物性情况。 关于地震波各向异性的研究，最早可追溯到十九世纪中叶( 何樵登等， 1 9 9 6 ) 。1 8 5 6 年，k e l v i n 研究出了弹性张量的无坐标表示法，发表了现代 型式的关于弹性各向异性的第一篇论文。1 8 6 3 年，k r a u t 研究了应用于各 向异性介质中的格林函数并得出了一些定性的波场解。1 8 7 7 年，c h r i s t o f f e l 发表了有关各向异性弹性波传播特征的专著。1 9 1 1 年，r u d z k i 讨论了各 向异性介质中平面波的性质，做了各向异性弹性波的第一个定量计算。 1 9 2 7 年，l o v e 研究了横向各向同性介质中应力与应变的关系。1 9 3 5 年， b r u g g e m a n 计算了层状固体的平均弹性常数，指出平均固体具有轴对称 性，确定其性质需要5 个弹性常数，成为周期性薄互层模型的理论奠基人。 1 9 4 4 年，l o v e 又研究了横向各向同性介质与面波、体波的关系。1 9 4 9 年， r i g n i c h e n k o 研究了地震似各向异性。同年，s t o n e l e y 研究了陆棚结构中地 震各向异性的意义。 到了二十世纪五十年代，更多的地球物理学家投入到了地震各向异性 的研究中。p o s t m a ( 1 9 5 5 ) ，b a c k u s ( 1 9 6 2 ) 等的研究表明薄互层组合可以 引起视各向异性，解释了当时地震资料时深转换的误差问题。k r e y 等( 1 9 5 6 ) 研究了各向异性介质中反射波的传播规律。b a e k u s ( 1 9 6 5 ) 提出了弱各向异 性介质中速度与岩性的关系式。这段时间里，系列的观测和研究都表明 了地下岩石的波动各向异性是客观存在的( j o l l y ，1 9 5 6 ；h e s s ，1 9 6 4 ；n u r 等，1 9 6 9 ) 。从七十年代开始，地震各向异性引起了地震学家的极大兴趣。 特别是在c r a m p i n ( 1 9 7 8 ，1 9 8 1 ，1 9 8 4 ) 证实了裂隙诱导各向异性和横波分 裂的存在，并提出了泛张各向异性模型( e x t e n s i v ed i l a t a n c ya n i s o t r o p y ， 简称e d a ) 之后，地震各向异性的研究逐渐成为地震学的前沿和热点，每 年都有大量的研究论文发表，涉及到波动理论、波场模拟、旅行时正反演、 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 a v o 分析、横波分裂、速度分析、偏移、弹性参数反演、以及利用天然地 震资料进行上地幔和地壳的物性结构分析等诸多方面，这里归纳正反演方 面的一些主要进展。在各向异性波的正演方面：b y u n ( 1 9 8 4 ) 、 t a n i m o t o ( 1 9 8 7 ) 、s h e a r e r 等( 1 9 8 9 ) 、c h a p m a n 等( 1 9 8 9 ) 研究了各向异性波 的射线追踪技术；k o s l o f f ( 1 9 8 9 ) 、c a r c i o n e 等( 1 9 9 2 ) 研究了伪谱法波场正 演；m o r a ( 1 9 8 9 ) 、t s i n g a s 等( 1 9 9 0 ) 、i g e l 等( 1 9 9 5 ) 、d a i 等( 1 9 9 5 ) 、j u h l i n ( 1 9 9 5 ) 研究了波场的有限差分算法：f r y e r 等( 1 9 8 7 ) 研究了传播矩阵法波场正演。 在参数反演方面：c r a m p i n 等( 1 9 7 7 ) 改进了b a c k u s ( 1 9 6 5 ) 提出的弱各向异 性介质中的折射波速度公式，采用最小二乘反演求取了各向异性介质的结 构及弹性参数；c r a m p i n 等( 1 9 8 0 ) 用p 波资料来估算裂隙参数；w h i t e 等 ( 1 9 8 3 ) 幂j 用地震波的相速度来估计均匀层的五个弹性参数；m e a d o u s 等 ( 1 9 8 6 ) 用时间域的状态空间法反演了横向各向同性层的厚度、密度以及五 个弹性参数；e s m e r s o y ( 1 9 9 0 ) 等利用横波分裂现象，推断裂隙方向和密度： b y u n 等( 1 9 9 0 ) 采用迭代最优化方法来反演层状横向各向同性介质的全部 弹性参数：c h a p m a n 等( 1 9 9 2 ) 、p r a t t 等( 1 9 9 2 ) 、m i c h e l e n a 等( 1 9 9 5 ) 、m e n s c h 等( 1 9 9 8 ) 、b o z k u r t 等( 1 9 9 9 ) 研究了各向异性波的井间走时层析成像的理论 和应用；w i l l i a m s o n ( 1 9 9 8 ) 分析了井间走时层像解的分辨率和唯一性问题。 跟国外相比，国内关于波动各向异性的研究起步较晚，直到二十世纪 八十年代后期才逐渐开展起来。然而，在短短的二十多年里，已经涌现出 了一大批有影响的科研成果。长春地质学院的何樵型i 】教授及其学生自 1 9 8 5 年以来，采用有限差分法、有限元法、伪谱法 2 1 、传播矩阵法等数值 算法对一维、二维、三维各向异性波场的正问题进行了深入的研究，并在 遗传算法反演、非线性解析法波动方程反演等反演理论方面做了大量的工 作( 何樵登等，1 9 9 6 ，2 0 0 1 ；张中杰，1 9 9 9 ；周辉1 3 ，1 9 9 5 ) 。中国科学院 地质与地球物理研究所的滕吉文院士、张中杰研究员等人在各向异性波动 理论、有限差分正演、偏移、以及各向异性与深部构造作用等许多方面开 展了全面的研究工作( 滕吉文等，1 9 9 4 ，1 9 9 5 ，1 9 9 8 ；张中杰等，1 9 9 4 ， 1 9 9 5 ，1 9 9 8 ，1 9 9 9 ；张秉铭1 4 】，1 9 9 7 ) ，宋海斌1 5 1 副研究员( 1 9 9 7 ) 研究了层 状横向各向同性介质的参数反演问题嘲，刘劲松博士后( 1 9 9 9 ) 研究了三维 非均匀各向异性介质中的纵波走时反演。石油大学的牟永光口j 教授和董敏 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 煜教授及他们领导的科研组在各向异性波的入射规律、e d a 介质及双相各 向异性介质中的波场正演、a v o 分析、横波双折射、参数反演等方面做了 大量重要的研究工作( 汪和杰等，1 9 9 8 ；魏修成，1 9 9 5 ；张秉铭，1 9 9 9 ； 刘洋，1 9 9 8 ) 。中国地质大学( 北京) 的牛滨华教授( 1 9 9 4 ，1 9 9 5 ，1 9 9 8 ) 研 究了e d a 介质中的有限元波场正演、横波分裂和p 波各向异性的提取方法。 此外，姚陈等( 1 9 9 2 ) 利用天然地震资料研究了上地壳的裂隙各向异性。徐 果明等( 1 9 9 4 ) 研究了横向各向同性介质的传播矩阵及其应用，阴可等( 1 9 9 8 ) 研究了各向异性介质中的a v o ，高原等( 1 9 9 9 ) 在实验室对大理岩的剪切波 分裂现象进行了观测研究。杨顶辉等嗍( 1 9 9 7 ) 用有限差分法对全波场各向 异性弹性参数反演进行了研究，实现了用q s h 波资料反演一个两层t i 模 型的垂向和水平速度；张秉铭等t 9 ( 2 0 0 0 ) 对杨顶辉等的方法做了进一步发 展，利用两分量炮集记录反演了一个三层t i 模型的c l 。和c 3 ，两个弹性参 数。张美根等【1 0 1 ( 2 0 0 0 ，2 0 0 3 ) 用有限元法对全波场各向异性弹性参数反演 。进行了研究，反演了t i 介质中与q p 波和q s v 波相关的四个弹性参剡i l 】。 在前人有关地震各向异性研究成果的基础上，本文主要研究了介 质正演模拟及弹性参数反演方法。全文共分为四个部分，介绍如下； ： ( 1 ) 各向异性波动理论。主要讲述了各向异性弹性波的基本理论。首 先推导了般各向异性弹性波的波动方程，接着介绍了各向异性介质的分 类体系、几类常见的地球各向异性介质及其波动方程，最后从各向异性波 的c h r i s t o f f e l 方程出发，详细分析了二维各向异性波在相速度、群速度和 偏振状态等方面的特征。 ( 2 ) 有限差分和伪谱法波场数值计算。研究了有限差分和伪谱法波场 数值计算的程序设计问题。进一步研究了波场模拟中震源的模拟、人工边 界处理、数值计算的收敛性与稳定性等方面的问题。在有限差分数值计算 系统中使用的完全匹配层( p m l ) 吸收边界条件适用于地面地震模型、井间 地震模型。 ( 3 ) 各向异性弹性波场正演。利用本文的有限差分和伪谱法模拟系统， 研究了t i 介质和o a 介质在x o z 对称平面内的q p 波和q s v 波波场特征。 另外，我们还模拟实际的二维二分量勘探，并制作了几个地质模型的地面 和井问合成地震记录，分析了各向异性波场的地面和井间记录的特征。 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 ( 4 ) 各向异性弹性参数的广义线性反演方法。通过有限差分法实现了 各向异性弹性参数的广义线性反演。利用全弹性波波形信息，同时反演了 二维t i 介质中与q p 波和q s v 波有关的四个各向异性弹性参数。地质模型 在不同初始模型条件下的反演实算证明该方法是可行的。各向异性弹性参 数的广义非线性反演方法。在非线性最优化理论的最新进展基础上结合地 球物理反演问题，提出广义非线性反演的一系列方法技术。地质模型在不 同初始模型条件下的反演实算证明该方法是可行的，并且反演精度高、对 初始模型的要求也不苛刻，表明该方法具有较好的发展前景。 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 第2 章各向异性介质弹性波基本理论 2 1 各向异性弹性波的波动方程 2 ，1 。1 均匀各向异性弹性介质中位移、应变、应力问的关系 根据弹性动力学原理( 程祖依，1 9 8 9 ) ，我们有如下三个基本方程，它 们控制了弹性介质内部位移、应变和应力之间相互联系的普遍规律。 1 本构方程( 又称广义虎克( h o o k e ) 定律) 本构方程描述的是应力和应变的关系，它反映了介质所固有的物理特 性。其表达式为 云= c ( 2 1 - 1 ) 式中，亏和i 为3 x 3 的矩阵，分别称为应力张量和应变张量；e 为 3 3 3 3 的矩阵，称为刚度张量，又称弹性矩阵i 其元素称为弹性刚度 常数，简称弹性常数。 设o r 。( f ，= 1 , 2 ，3 ) 为5 的元素，e u ( k ，= 1 , 2 ，3 ) 为i 的元素 ( f ，k ，z = l ，2 ，3 ) 为亡元素。其中，1 ，2 ，3 分别代表x ，y ，z 三个坐标轴 方向。则有张量表达式 o q = c 。i u s u q 1 - 2 ) 由于6 和为对称矩阵，有 c 删= c 倒= c 衅 ( 2 1 - 3 ) 所以，矩阵e 最多只有3 6 个独立常数。另外，由能量约束条件可知，e 矩 阵必须是正定的，相应有 c , j n = c m ( 2 1 呦 这样，e 的独立常数就减少到2 1 个，这是极端各向异性介质弹性矩阵所 需的独立常数个数。当介质的对称性增强时，描述介质弹性性质所需的独 立常数的个数还会减少。 由于云，和e 均具有对称性，( 2 1 1 ) 式可简化为 o = c ( 2 1 - 5 ) 式中， a = ( 盯l l ，盯2 2 ，盯3 3 ，盯2 3 ，o r 3 l ，仃1 2 ) ， 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 e = ( s i l ， 2 2 ，占3 3 ，s 2 3 ，s 3 1 ，蜀2 ) 7 c = 其中，上标t 表示向量的转置。c 矩阵元素与e 矩阵元素下标的对应 关系为：1 哼1 1 ，2 2 2 ，3 寸3 3 ，4 - - + 3 2 或2 3 ，5 哼3 1 或1 3 ，6 斗1 2 或2 1 。显然，c 矩阵也是对称矩阵。( 2 1 5 ) 式即为常用的本构方程。 2 运动微分方程( 又称纳维尔( n a v i e r ) 方程) 运动微分方程描述的是位移、应力和体力之间的关系： a 2 户了u = l a + p f( 2 1 6 ) 讲 式中，p 为介质的密度；t 为时间变量；u = ，“，“：) 7 ，为位移向量； f = ( 六， ，正) 7 ，为介质单位质量元素上的体力向量；o 为应力向量；l 为3 6 的偏导数算子矩阵，它有如下形式： o 旦旦 色踟 旦 。旦 昆苏 0o 旦旦旦。 岔 砂缸 ( 2 1 - 刀 3 几何方程( 又称柯西( c a u c h y ) 方程) 几何方程描述的是位移与应变之间的关系，其表达式为 = l r u ( 2 1 8 ) 式中，为应变向量，u 为位移向量，r 为偏导数算子矩阵l 的转置。 8 艮办彩山西办如彩彩厶白白 。艮白艮。艮如白踟艮彩函。饧如艮如艮 0 0 0 a 一砂 a瓦o = l 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 2 1 2 一般各向异性弹性介质的波动方程 将( 2 1 8 ) 式代入( 2 1 5 ) 式，有 o = c ( u u ) ( 2 1 - 9 ) 再将( 2 1 9 ) 式代入( 2 1 6 ) 式，可得 舟2 户素u = l ( c u u ) + p f ( 2 1 - l o ) v 上式即为以位移表示的一般各向异性弹性介质的波动方程，它再配以 确定的初始条件和边界条件，便可构成特定的弹性动力学问题。 2 1 3 弹性矩阵的坐标变换 各向异性介质的弹性矩阵给出的坐标系一般是自然坐标系，它与介质 的弹性对称系统相一致，又称为本征坐标系( 牛滨华等，1 9 9 4 ) 。这种坐标 系是局部坐标系，它常常与观测坐标系不一致，所以在地震波正反演工作 中，需要对弹性矩阵进行坐标变换，将它由原来的自然坐标系旋转到观测 坐标系。 ， x 图2 1 1 观测坐标系与自然坐标系 如图2 1 1 所示，o x y z 为观测坐标系，0 7 z ，为自然坐标系。表 2 1 1 为两坐标系坐标轴的方向余弦的对应关系。设o ，c 为观测坐标系下 的应力向量、应变向量和弹性矩阵，o 。，0 ，c 为自然坐标系下的应力向量、 应变向量和弹性矩阵，则两坐标系间应力、应变有如下变换关系式： o = p 口 ( 2 i 一1 1 ) = p 7 8 ( 2 1 1 2 ) 9 、，参 jjj一，r 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 表2 i i 方向余弦表 x y 。z x ，lm l啊 y ，2 m 2 啦 z 厶 m 3 码 其中， l 彳衍彳2 m a n l2 珥2 枷 i 譬22 r n 2 n 22 如吃鸪m 2 p ；i 譬 砖碍2 m 3 r 82 t , n ,2 厶 if 2 r , h m 3n 2 n 3r t l 2 n 3 + m 3 n 2 伤? 3 + ，如f 2 打b + j 3 ，毛 l ，3 码鸭玛传怕体+ m 3 n a 臻j 3 + h a 鸭+ 如 l f l f 2m , m 2 玮啦r r h r 龟+ 掰2 辑, q 2 + ，硝 龟+ 1 2 根据本构方程，在o x yz 坐标系下，有 一= d d 对上式两边左乘p 得 p o ：p t 2 i g 由( 2 1 1 1 ) 式有 d = p e d 将( 2 1 1 2 ) 式代入上式，得 o = p ，c p 7 考虑到o = c - 8 显然有 c = p c p 7 佗。l 一1 3 ) 式( 2 1 1 3 ) 1 1 1 1 n 将弹性矩阵从自然坐标变换到观测坐标系的变换关系 式。 由于 1 2 7 = ( p c p r ) 7 = p 1 2 ，p 7 = c ( 2 1 - 1 4 ) 这表明，弹性矩阵经过坐标变换后仍为对称矩阵。 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 2 2 地震各向异性介质的分类 2 2 1 向异性介质的分类体系及其弹性矩阵 根据晶体矿物学中对晶体矿物的分类体系，地震学家按地球介质中波 动的物理可实现的对称性，对弹性各向异性介质做了相应分类( c r a r a p t n ， 1 9 8 9 ) ，现归纳如表2 2 1 。 表2 2 1 各向异性介质的分类 对应 对应晶系对称特点 独立常 对应矿物 晶族数个数 低三斜晶系无对称轴和对称面 2 1斜长石 级单斜晶系有一个对称面 1 3 角闪石 晶 族 斜方晶系有三个相互正交的对称面 9 橄橇石 三方晶系i有三个对称面和一个三次对称轴 6 电气石 中 三方晶系i i有一个三次对称轴 7钛铁石 级 四方晶系i有五个对称面和一个四次对称轴 6 锡石 晶 四方晶系i i有一个对称面和一个四次对称轴 7 白钨矿 族 六方晶系圆柱对称 5 一石英 高级 等轴晶系有九个对称面和四个三次对称轴 3石榴子石 晶族 各向同性介质可以看作是对称性最高的介质，即有无穷个对称面和无 穷次对称轴。下面给出包括各向同性介质在内的各类介质在自然坐标系下 的弹性常数矩阵。 ， 1 三斜各向异性介质2 单斜各向异性介质 c =c = 氏o o 吒 o 0 o g g o o o oo o o o o 瓯 q q o o 函彩艮厶国踟彩彩厶踟彩 国白白跏厶艮 。白白o o 艮白白o 生鱼至塑蠢学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 3 斜方( 正交) 各向异性介质7 四方各向异性介质i i c = c l lc 1 2c 1 3 000 c 1 2c 2 2c 2 3 000 c 1 3c 2 3 c 3 3 000 000 c “0 0 0000g 50 00 000 c “ c = c l 。c 1 ：c l ， c i ：c l 。c l ， c 1 3 c 1 3 c 3 3 ooo oo0 c l 。一c 1 6 0 4 三方各向异性介质i8 t i 介质 c =c = c l lc 1 2 c 1 3 c 1 2 c l l c 1 3 c 1 3 c 1 3c 3 3 ooo 0o0 00o 00 c 1 6 0 0 一c 1 6 o0o c 0 0 0 0 0 0 气 0o0 00 0 000 q0 0 0 c 埘0 0 0 5 三方各向异性介质i i 9 等轴( 立方) 各向异性介质 c = g ig 2 c l ：c l ， c l ，c l ， c i 。一c 1 4 c l ，一c l ， oo g ，g 。c l ， 0 c l ，一c 1 一c l ，0 c 3 3 000 0 c 0 一c 1 5 00 c 0c 1 4 0 一q ，巳c k c = c l lq 2 q 2 c 1 2c l lc 1 2 c 1 2c 1 2c l l 0oo 0o0 ooo 6 四方各向异性介质i 1 0 各向同性介质 c = c 1 1c 1 2 c 1 3 000 c 1 2c l lc 1 3 000 c 1 3c 1 3c 3 3 0 00 000 c “0 0 000 0 气0 00000c k c = c l lc 1 2 c 2 c l l c 1 2 c 1 2 o0 oo oo 00o ooo 0oo 气0 0 0 已0 00c c 1 2 000 c 1 2 000 c l l 000 0 瓯00 00c “0 00 0 气 上面弹性常数矩阵中：对于三方各向异性介质i 、三方各向异性介质 i i 和六方各向异性介质，有c 6 6 - - ( c , l - c , ：) 2 ；对于各向同性介质，有 c 4 4 = ( c l ，一c l ：) 2 。 1 2 o o o o 气 o o o o 气气 o q o o o o 3 3 3 0 o o o 吖o o o o o o 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 2 2 2 常见的地球各向异性介质及其波动方程 1 常见的地球各向异性介质 前言中已经说过，地壳中介质的各向异性主要是由定向裂隙和薄互层 引起的，上地幔的各向异性主要可能是由橄榄石和斜方辉石类矿物定向排 列引起的。裂隙诱导各向异性( 又称泛张各向异性，e x t e n s i v ed i l a t a n c y a n i s o t r o p y ，简称e d a ) 和周期性薄互层( p e r i o d i c1 1 l i nl a y e r ，简称p t l ) 各向异性属六方各向异性( 又称横向各向同性，t r a n s v e r s e l yi s o t r o p y ，简称 t i ) ，相应的介质常称为t i 介质。具有垂直对称轴的t i 介质( t r a n s v e r s e l y i s o t r o p yw i t hav e r t i c a la x i so fs y m m e t r y ) 称为v t i 介质，具有水平对称轴 的1 r i 介质( t r a n s v e r s e l yi s o t r o p yw i t hah o r i z o n t a la x i so fs y m m e t r y ) 称为 h t i 介质，h t i 介质可以看成是v t i 介质旋转9 0 0 而得到的。水平薄互层 岩层和具有垂直定向裂隙的岩层分别为常见的v t i 介质和h t i 介质。如 果薄互层中发育有定向裂隙组，并且裂隙面与薄层面正交，这时就会产生 正交各向异性，这种岩层属o a ( o r t h o r h o m b i c a n i s o t r o p y ) 介质，有人称之 为p t l + e d a 介质。以上三种各向异性岩层模型见图2 2 1 。 ( a ) p t l 介质( b ) e d a 介质( c ) p t l + e d a 介质 图2 2 1 三种常见各向异性岩层模型 另外，由于橄榄石和斜方辉石属斜方晶系，具有很强的正交各向异性， 所以上地幔多表现出正交各向异性。 2 几种常见地球各向异性介质的波动方程 只要将有关弹性矩阵代入( 2 1 1 0 ) 式，即可得到特定的各向异性介质 的波动方程。下面给出几种常见地球各向异性介质的三维波动方程展开 式。 1 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 ( a ) v t i 介质 c “争等峨等慨，鲁慨蝴，蕊8 2 z + 矶= p 争 等蚂。等+ c “等埚：，茜埚，+ c “，鲁+ 斫= 户等 c “警+ c “等吗，等慨+ c “，丽8 2 1 1 x 慨+ ，鲁+ 历= p 等 ( b ) h t i 介质( 以x 轴为对称主轴，且有= ( c 3 ，一c 2 ，) 2 ) c ”等妈，等玛，等蝎茜粥小篆+ 历= p 等 c ，鲁蝎，等嘞蝎心，丽c a 2 u z 峨岷，丽c a 2 i z + 所= p 鲁 c ”警+ c “等+ 等蝎，蚓鲁+ 翰+ c “，鲁+ 玑= 户等 ( 2 2 2 ) ( e ) o a 介质 c 。慨等嘞等慨+ 氏，每慨响，鲁+ 矶= p 争 c “等嘞等等慨，茜+ ( c 2 3 + c 4 4 ) ：2 u z + 力= p 等 氏等+ c “争+ 埚，慨，丽。2 u x 小：小。，丽0 2 u y + 历= p 争 ( 2 2 - 3 ) 3 表