（应用数学专业论文）几类plaplacian方程组边值问题解的存在性.pdf

摘要 近年来，非线性常微分方程边值问题不断出现在各种应用学科中，如：弹性稳定性结论、 核物理、流体力学、非线性光学、气体动力学、桥梁工程、生物学、天文学等研究领域， 所以微分方程边值问题的研究有助于为以上各问题的研究提供理论依据。同样地，非线性 常微分方程组边值问题是对非线性常微分方程边值问题的进一步推广和深化，也因为有较 广泛的实际应用背景而得到了许多讨论。近几年来，p - l a p l a c i a n 微分方程边值问题正解 的存在性与多重性在数学与工程科学方面引起了人们极大的兴趣，国内外许多学者使用了 多种方法对二阶方程、方程组进行了研究，得出了大量有价值的结果。本文利用锥理论， 本文运用不动点指数定理和l e g g e t t w i 1 1j a m s 定理，研究了一维奇异p - l a p l a c i a n 方程及 方程组边值问题正解的存在性问题，得到了一些新成果本文共分四章： 第一章，简述了问题产生的历史背景和现阶段的主要结果。 第二章，主要用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理研究一类p - l a p l a c i a n 方程边值问题，给出 了在一定条件下具有三个解的条件。 第三章，主要利用锥拉压，不动点指数定理，研究了一类p - l a p l a c i a n 方程组边值问 题在一定条件下具有多个正解的存在性条件。 第四章，主要利用l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理，研究了一类p - l a p l a c i a n 方程组边 值问题在一定条件下具有三个正解的存在性，这些结果能用来研究椭圆性方程组边值问题 径向对称解的存在性问题。 关键词：p - l a p l i c i a n 方程( 组) ，边值问题，不动点，锥 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s t h en o n 1 i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si na w i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n se m e r g i n gd i s c i p l i n e s ，s u c ha s ：f l e x i b i l i t yi n t h es t a b i l i t yo ft h ec o n c l u s i o n s ，n u c l e a rp h y s i c s ，f l u i dm e c h a n i c s ，n o n l i n e a ro p t i c s ， g a sd y n a m i c s ，b r i d g ee n g i n e e r i n g ，b i o l o g y , a s t r o n o m ya n do t h e rf i e l d so fs t u d y , t h e s t u d yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ea b o v ec o n t r i b u t et ot h e s t u d yp r o v i d eat h e o r e t i c a lb a s i s s i m i l a r l y , t h ed o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s n o n 1 i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st of u r t h e rp r o m o t ea n dd e e p e n ，b u ta l s ob e c a u s eo fi t s m o r ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o no faw i d er a n g eo fb a c k g r o u n d sh a v e b e e nm a n y d i s c u s s i o n s i nr e c e n ty e a r s ，p l a p l a c i a nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n se x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a j u ep r o b l e m sa n dt h em u l t i p l i c i t yo fm a t h e m a t i c sa n d e n g i n e e r i n gs c i e n c e sh a sa r o u s e dg r e a ti n t e r e s to fm a n ys c h o l a r sa th o m ea n da b r o a d u s i n gav a r i e t yo fm e t h o d sf o rs e c o n d - o r d e re q u a t i o n s ，e q u a t i o n st h es t u d yt od r a wa l a r g en u m b e ro fv a l u a b l er e s u l t si nt h i sa r t i c l eu s i n gt h ec o n et h e o r y i nt h i sp a p e r , u s i n gt h ec o n et h e o r y , f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e ma n dt h el e g g e t t w i l l i a m st h e o r e m t os t u d yt h eo n e - d i m e n s i o n a le q u a t i o n sa n dt h ee q u a t i o n so fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mi st h eq u e s t i o no fe x i s t e n c eo fs o l u t i o n s w eh a v es o m en e wr e s u l t s n l i s a r t i c l ei sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e ro u t l i n e st h ep r o b l e mo ft h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h em a i n r e s u l t so ft h ep r e s e n ts t a g e c h a p t e ri i ，t h em a i nt h e o r e mo fl e g g e t t w i l l i a m se q u a t i o nf o rac l a s so fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ，g i v e nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n sw i t ht h et h r e ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c e o fs o l u t i o n s c h a p t e ri i i ，t h em a i nu s eo ft e n s i o na n dc o m p r e s s i o nc o n e ，f i x e dp o i n ti n d e x t h e o r e m , i nt h ee q u a t i o no nt h eb a s i so fac l a s so fe q u a t i o n su n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ， b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t l lt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fan u m b e ro f c o n d i t i o n s c h a p t e ri v , t h em a i nu s eo fl e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e mt os t u d yt h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so fe q u a t i o n su n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n sw i t ht h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h et h r e e ，a n dt h e s er e s u l t sc a nb eu s e dt os t u d y b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o re l l i p t i ce q u a t i o n so ft h er a d i a ls y m m e t r i cp r o b l e mo f t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s k e yw o r d s ：p l a p l i c i a ne q u a t i o n ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，f i x e dp o i n t ，c o n e 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或 撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：丝主缢 e l 期：扛厶l 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图 书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：互呜篁：邋 日期： 叠：厶：，5 第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题产生的历史背景及研究现状 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分方程学科 的重要组成部分之一。而现实中的微分方程的模型往往是非线性模型，这就使非线性常微 分方程的边值问题正解的存在性显得尤为重要。近年来，非线性常微分方程边值问题不断 出现在各种应用学科中，如：弹性稳定性结论、核物理、流体力学、非线性光学、气体动力 学、桥梁工程、生物学、天文学等研究领域，所以微分方程边值问题的研究有助于为以上 各问题的研究提供理论依据。同样地，非线性常微分方程组边值问题是对非线性常微分方 程边值问题的进一步推广和深化，也因为有较广泛的实际应用背景而得到了许多讨论。常 微分方程两点边值问题( 如d i r i c h l e t 边值问题、n e u m a n n 边值问题、r o b i n 边值问题、 s t u r m l i o u v i l l e 边值问题及周期边值问题等) 已被深入而广泛的研究，并取得广泛而深刻 的结果。事实上，自1 8 9 3 年，p i c a r d 运用迭代法讨论非线性二阶常微分方程两点边值问 题的解的存在性和唯一性之后，常微分方程两点边值问题的研究获得了蓬勃发展。 非线性常微分方程奇异边值问题来源于力学，边界层理论，反应扩散过程，生物学等 应用学科中，是微分方程理论中一个重要的研究课题上世纪以来，奇异常微分方程经常出 现在许多应用学科的数学模型中由于奇异边值问题在应用中的地位越来越重要，近四十年 来，数学工作者开始系统地研究这类问题。近几十年来，奇异方程形式由e m d e n - f o w l e ： 方程发展成各种各样，方程的奇性不仅仅产生于自变量也产生于相变量同时奇异方程的应 用越来越广泛，例如天体力学中的n 体问题、边界层理论、反应扩散理论、非n e v t o n i a n 流理论、非线性流体理论等等此外，奇异常微分方程与其它数学分支也有联系，例如求椭 圆方程( 组) 径向解以及偏微分方程( 组) 平衡解问题往往转化为奇异常微分方程，总之，奇 异方程已经成为常微分方程中的一个重要的分支，根据实际问题的不同要求，各种定解条 件的提法是多种多样的，因此在奇异常微分方程边值问题中，边值条件的提法是多种多样 的奇异二阶常微分方程包括奇异二阶周期边值问题和奇异二阶d i r i c h l e t ( 或 d i r i c h l e t n e u m a n n ) 边值问题虽然奇异常微分方程很早就从应用中产生，但由于奇异方程 本身带来的困难，早期大多数研究都局限于特殊形式的初值问题和边值问题，其系统研究 有四十年的历史 奇异方程的应用越来越广泛，例如天体力学中的n 体问题、边界层理论、反应扩散理 1 第一苹绪论 论、非n e w t o n i a n 流理论、非线性流体理论等等，参见 3 6 等此外，奇异常微分方程与 其它数学分支也有联系，例如求椭圆方程( 组) 径向解以及偏微分方程( 组) 平衡解问题往往 就转化为奇异常微分方程，参见 7 - 1 1 总之，奇异方程已经成为常微分方程中的一个重要 的分支首先介绍具有负指数元的广义e m d e n f o w l e r 方程研究状况( 参见 1 2 - 1 4 ) ，即 r u + g ( t , u ) = 0 ，o 0 是常数利用摄动方法，比较原理等技巧，当0 b 0 ，1 9 9 9 年和2 0 0 1 年， 2 1 3 和 2 2 用摄动方法， l e r a y s h a u d e r 非线择和锥不动点定理最早证明了( 1 2 4 ) 至少存在两个正解，在2 0 0 0 年，文 2 3 2 5 中，作者应用k r a s s e l s k i s 锥不动点定理证明了奇异边值问题两个正解的 存在性，可是g + 厅要满足一些很强的可积性条件其次介绍一维p l a p l a c i a n 方程研究状 况 2 6 2 9 3 一维p l a p l a c i a n 方程边值问题来源于非牛顿流体理论、多孔媒质中的气体湍 流、p - l a p l a c i a n 椭圆方程的径向解 3 0 等问题的研究中有着广泛的应用背景 1 9 9 6 年，文 3 1 给出了奇异一维p l a p l a c i a n 方程边值问题 ( ( ”) ) + g ( ) 厂( ”) = o ， o 1 ( 1 2 6 ) i “( o ) = “( 1 ) = 0 解的存在惟一性定理，其中q ( t ) 在f = 0 ，= 1 处具有奇性，厂 ) 在t = 0 处具有奇性，其 主要结果如下其研究过程中，利用解的凹性( 因( 驴( “。) ) s 0 ) ，并利用凹性给出了另一种 2 茎二兰丝丝 g r e e n 算子的表达式在证明中，主要用到比较原理和摄动技巧 1 9 9 8 年，文 3 2 考察了一维p - l a p l a c e 方程 l ( 妒p ( “。) ) + g ( t ，u ) = 0 ，0 f 1 一解的存在性问题，其中g ( t ，y ) 允许在，= o ，f = 1 及y = o 处奇 异，综合运用l e r a y s c h a u d e r 非线性抉择及上下解方法，通过构造上解及下解的迭代序列， 建立了方程一解的定理。2 0 0 1 年， 3 3 讨论了如下方程边值问题解的存在性 i ( 妒p ( 甜) ) 。+ a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 ， 1 i u ( o ) = 甜( 1 ) = 0 其中妒。o ) 为p - l a p l a c i a n 算子，主要是运用锥拉压定理给出了方程一解或两解的条件。 本文利用锥理论，不动点指数定理和l e g g e t t - w i l l i a m s 定理，研究了一维奇异p - l a p l a c i a n 方程及方程组边值问题正解的存在性问题，得到了一些新成果 1 2 本文的结构安排，研究方法和结果 近几年来，p - l a p l a c i a n 微分方程边值问题正解的存在性与多重性在数学与工程科学 方面引起了人们极大的兴趣，国内外许多学者使用了多种方法对二阶方程、方程组进行了 研究，得出了大量有价值的结果，参见文献 2 0 4 0 。受以上文献的启发，本文研究了二阶 常微分方程( 组) 边值问题解的存在性问题。 第二章，主要用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理研究一类p l a p l a c i a n 方程边值问题 i ( 9 i p ( “) ) + 办( f ) 厂( r ，u ) = 0 ，0 1 ， 3 茎二兰丝笙 p 2 1 。 第四章，主要利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理，研究了下列p - l a p l a c i a n 方程组边值 问题 f ( 9 p ( 掰) ) + h a ( t ) f ( u ，) = 0 i ( 9 如( ，) ) + h 2 ( f ) g ( ”，1 ，) = 0 l 甜( o ) 一a l ( 甜( o ) ) = o ，u ( 1 ) + b i ( 甜( 1 ) ) = 0 【v ( o ) 一彳2 ( v ( o ) ) = o ，1 ，( 1 ) + 召2 ( ，( 1 ) ) = 0 在一定条件下具有三个正解的存在性，其中妒崩( s ) = h ，一s ，9 j 口：( s ) = h p 2 j ，p l 1 ， p ， 1 本章主要结果的证明推广了常微分方程解的存在性定理。 1 3 基本概念及相关引理 首先介绍本文所用到的一些基本概念和引理。 设巨，易，易是b a n a c h 空间。 定义1 设p 是e 中某非空凸闭集，并且满足下面两个条件： ( i ) x p ，九0ja z 尸； ( i i ) x p ，一x pjx = 0 ，( 其中p 为e 中的零元素) ： 则称尸是e 中的一个锥。 定义2 t 4 0 1 设dc e ，a ：d e ，若v 0 ，了艿 0 ，使得弘，z 2 d ，若 l k - - x 20 o ，v x a ，v t , ，f 2 x ，当p ( t l ，t 2 ) 6 ，有卜( ，1 ) 一z 0 2 ) l s 在 这里，x = x ( t ) c ( x ) 作为x 上连续函数必是一致连续的，若对某一族连续函数，一致 连续定义中的6 = 6 0 ) 对族中每个函数都适合，这族函数就是等度连续的。 4 第一章绪论 引理1 【4 1 1 设4 ：瓦斗瓦全连续，且存在非负连续凹泛函c c ( x ) 满足 a o ) - 1 1 4 ，( v 只) ，又设存在o d a 2 ) 当x 万时，有l a x l i 6 时，有a ( 血) 口。 则彳在虿中至少有三个不动点，甜2 和“3 ， 且满足0 “。0 口，l b ，0 d ，g a ( u ，) - i u l l ，v u k n 孢，；1 1 , 4 u l l l u l l ，v u k n 规2 中之一成立 则a 在k n ( 五2 q 1 ) 中至少有一个不动点。 引理3 【4 0 1 设b a l l a c h 空间，k 为e 中的一个锥，对p o ，定义k p = 扛e ：悯l j d ) ， 又设f ：k 。寸k 是个紧算子，在a k p 上，f ( x ) 石，则 ( i ) 如果对x 粼p ，h l f x l ，口i u i ( f ，印，k ) = 1 5 第二章一类p - l a p l a c i a n 方程奇异边值问题三解的存在性 第二章一类p - l a p l a c i a n 方程奇异边值问题三解的存在性 2 1 引言 近年采，关于p l a p l a c i a n 算子的边值问题正解的存在性，得到了许多中外学者的厂泛关 注，得到了很多研究成果【3 4 拼l ，文献【3 8 】给出了一维奇异p - l a p l a c i a n 方程 f ( 9 ( 甜。) ) + 办( f ) 厂( 甜) = 0 ，0 ， 1 ，办( f ) 在r = o ，1 处奇异，厂( f ) 在【o ，1 】上连续。 文 3 9 考虑了 f ( 缈( ”) ) + 办( f ) ( 甜) = 0 ，0 f l ，么，占o 本章讨论了下列问题 j ( 9 ( 甜) ) + j i i ：( ) 厂( ，甜) = o ， o l ，么，b o 假设 ( 风) f c ( o ，1 】 0 ，) ， o ，o 。) ) ( 也) h ( t ) c ( ( 0 ，1 ) ，【0 ，) ) ， 其中g ( w ) = i 叫q - is 印w 是9 反函数，且吉+ 吉= 1 ；黝 0 f h ( s ) d s 佃 显然 一一 0 i g ( j 办( r ) 咖) 凼 6 第二章一类p l a p l a c i a n 方程奇异边值问题三解的存在性 2 2 预备知识 设e = c o ，1 】，在范数i ：s u p l u ( t ) i ：os f 1 - f 是- - d b a n a c h 空间。设p 是e 中 的一个锥，令 只= x 驯工0 0 ，0 0 ) 连续，并且满足 a ( t x + ( 1 一t ) y ) t c t ( x ) + ( 1 - t ) a ( y ) ，v x ，y p ，0 t 1 尸( a ，口，6 ) = 工k 尸，口a ( x ) ，x l l - 。 这里0 口 0 而 且存在0 d a b c 6 c ，a + b d 使得 ( i ) 厂( r ，“) d ，r a ( u ，) 0 是常数，且满足恻l m ，“d 。令 m d = s u p f ( t ，“) ：( f ，甜) 【0 , 1 x 0 ，m 】) 对v u d ， 0 4 “0 = 彳+ b + 上g ( f 办( ，) 厂( ，甜( ，) ) d r ) a s - a + b + g ( m 。) 上g ( f 办p ) a t ) a s 冲p l l - 半 口) 9 第二章一类p - l a p l a c i a n 方程奇异边值问题三解的存在性 所以 x x p ( a ，口，6 ) ，a ( x ) 口) 囝 当“p ( a ，口，6 ) ，则a ( “) 口，故l u l - 口，所以口“o ) 6 ，t 【6 ，1 1 。由条件( i i i ) 知 a ( a u ) = a u ( a ) = 么+ 5 b + r g ( f ( ，) ( 删( ，) ) 咖) 出 么+ 5 b + l g ( f 厅( ，) 缈( 半) 办) 凼 = 彳+ 韶+ t a - a - s b g ( f 办( ，) 咖) = 口 引理l 中条件1 ) 得证。 对v u 乞，由定理2 3 1 中的( i ) 忪0 = 彳+ 占+ f g ( t h ( ，) 厂( 删( ，) ) 咖) 凼 彳+ b + f g ( f 办( ，) 缈( 皇二二至兰) 西) 出 ：彳+ b + d - a - b 允 = d 故引理1 中的条件2 ) 成立。 f g ( f 办( ，) 咖) 西 设“p ( a ，口，c ) 且恻l 6 ，有口“( f ) c ，te 8 ，1 】，由定理2 3 1 中的条件( i i i ) 可知， a ( a u ) = a u ( 5 ) 口 故引理l 中的条件3 ) 成立。所以，边值问题( 2 1 1 ) 至少有三个解。 2 4 相关例子 且 例1 在边值问题( 2 1 1 ) 中，词a p = 3 , h ( f ) = 三f ，, 4 = 0 0 1 , b = 0 0 4 1 0 第二章一类p - l a p l a c i a n 方程奇异边值问题三解的存在性 几七氛。， 0 甜1 “l 显然，条件( q ) ，( 马) 满足。取6 = 三，d = 1 ，口= 5 ，c = 2 0 0 ，则有 衍= 衍水佃， f 1h ( t ) d t ：f 昙， 衍：$ o ，= f 吉，1 衍= 半 o ， a = 上g ( 咖肛f ( 1 - 厮i 西= 等 。， 脚( 咖) = 1 - 9 2 。 当0 u d = 1 时 几加p 叫华纵广1 = 篓 当l = d z f c = 2 0 0 时 f ( t ，“) = e - i ( 3 0 1 u 一3 0 0 ) 5 9 9 0 0 ( _ ；) 户1 = 7 0 3 1 2 5 当5 = 口甜c = 2 0 0 时 们，甜) = p 一( 3 0 1 u - 3 0 0 ) 1 2 2 0 _ _ _ 8 5 5 4 3 0 引尹寸毒p 。2 8 删们 矿 因此，本例满足定理中的所有条件。所以，本例至少存在三个解，“2 和“3 ，满足 “。i i 5 ，l 1 ，f 1 a ( u ，) 5 。 第三章一类p - l a p l a c i a n 方程组边值问题多解的存在性 第三章：一类p - l a p l a c i a n 方程组边值问题多解的存在性 3 1 引言 目前，对于单个方程的边值问题已有很多的研究成果，但对于方程组边值问题的研究成果 还很少，见文献 4 2 - 4 4 。文献 3 3 】及 3 8 】讨论了形如 ? “) ) + 口( ) ? 2 0 ，_ ! d 1 ，p ： l ； f ，g c ( 【o ，+ ) x 【o ，斗) ，【o ，+ ) ) 。 啊，h 2 c ( ( o ，1 ) ，【o ，佃) ) ， ll 啊和j l z 2 在f = o ，1 允许奇异，_ ro ，h i ( t ) d t 佃，o p 2 ( f ) 出 佃。 00 显然 lj o p ，( p 。( ，) 毋) 西 佃， 0 0 lj o g ：( 弘：o ) d r ) d s 恂， 0 0 】 这里的g i 。0 ) = h 雨s 印s 是仍的反函数， l g 2 ( s ) = h 雨s g n s 是9 2 的反函数。 1 2 第三章一类p - l a p l a c i a n 方程组边值问题多解的存在性 3 2 主要结论 记吲l i 岫m 。器 兀= 。器 = l i 岫r a 。器 一。器 定理3 2 1 如果条件( ) ，( 日2 ) 成立，并r f 0 = o ，兀= ， 且g o = 0 ，g 。= o o ：则方程( 3 i 2 ) 至少存在一个i e f 挥( u ，) 。 定理3 2 2 如果条件( ) ，( 马) 成立，并且厂f ，且无= ，g o = 0 0 ，g 。= 0 0 ；则方程 ( 3 1 - 2 ) 至少存在两个正解( “。，m ) ，( “：，1 ，：) 。o l ( u 。，m ) 0 p i l ：v ：) l 定理3 2 3 如果条件( 且) ，( 马) 成立，并且 器 c 帮一，器 c 耖， 其中罢- - u , v 丢 2 ) 掣 ( ”+ ，) 旷1 其中兰轧v 三 g ( u ，1 ，) ( “+ v ) ”1 3 ，器 第三章一类p - l a p l a c i a n 方程组边值问题多解的存在性 慨v ) = l u + v l l ，其e ou = s u p l u ( t ) i ，i l v l l = s u p ) l ， t e o i 】f e 【0 ，i 】 这样e 是b a n a c h 空间，下面令 k = ( 甜，1 ，) e ，u ( t ) ( 1 - t ) u ，v ( f ) ( 1 一，) ) ， 则k 是e 中的一锥。 定义算子彳：k k 如下，v ( “，) k a ( u ，1 ，) ( r ) = ( 4 ( “，1 ，) ，a 2 ( 甜，v ) ) ( f ) ， 其中 4 ( 州) ( r ) = j i g 。( r ( ，) ( 甜( ，) ，v ( ，) ) 咖) 出， 彳：( 叩) ( f ) = j ig 2 ( r 吃( ，) g ( 比( ，) ，v ( ，) ) d r ) a s ， 显然，v t o ，1 】，4 ( u ，1 ，) ( f ) 0 ，a l ( u ，v ) ( 1 ) = 0 ，且 ( 刚) l i = 4 ( 州) ( o ) = fg l ( r 啊( ，- ) 厂( “( ，) ，v ( ，) ) 咖) 凼。 令 u ( f ) = e t l ( u ，v ) ( t ) - ( 1 - t ) l l a 。( ，v ) l i ， 则 u ( 0 ) = u ( 1 ) = o ，u l 。( ，) o ，v t 【0 ，1 】 从而 u ( f ) o ，v t e 0 ，1 】，4 ( u ，y ) ( ，) ( 1 - t ) a 1 ( u ，v ) 同理可证明a 2 kc k ， 所以彳( k ) ck 。 所以，彳是k 上的全连续算子。 由定理3 2 1 中f 0 可知，对于满足 2 臼上g l ( r 1 2 l ( ，) 办) 凼1 的钞0 ， 存在h i 0 ，当0 “，1 ， 0 ，当“， h 2 时， f ( u ，1 ，) 【f l ( u + 1 ，) r 1 ， 令日：m a x 2 h 1 ，2 h 2 ) ，设q 2 = ，v ) e ， ，v ) 0 日) ，因为在f 【o ，二】1 ， 抓州) 忙甜( ，) + v ( f ) v ) 故当( “，v ) k n 讹2 ， 掷州) 0 = fg l ( r 栩( ，) 厂( 甜，v ) 毋) 凼 f g 。( f ( ，) m ，v ) 咖灿 墨三兰二茎：垫旦堕! ! ! 竺互堡型望堡塑璺垩笙堕要垄堡 fg l ( f 7 j l ( ，) 卢( “+ v ) 】，一1 a r ) d s 吾卢( 甜+ v ) f 1g l ( r 啊( ，) d r ) d s 抓) 0 由定理3 2 1 中g 。= ，同理可证。彳：( 甜，v ) l i 要l i ( 甜，v ) 0 i i a ( u ，v ) | i = i 瞰“，v ) + a 2 ( u ，v ) v ) 0 ， 由引理2 ，彳在k n ( 五2 q 1 ) 中至少存在一个不动点，即方程组( 3 1 2 ) 至少有一个正解。 定理3 2 2 的证明 由定理3 2 2 中厂尹0 0 ，存在0 d + v ) p 一， l 其中fg l ( r 矗( ，) ( 1 一，) 川办) 凼1 。令 q ：= ( 甜，) k ：，v ) i l 三o ( 甜，v ) o ，i i a 2 ( “，v ) o 圭o ( 甜，v ) i 从而f ( 彳，k ) = 0 。 令q 3 = ( “，) k ：粉，v ) 0 p ) ，则当( “，1 ，) 讹3 时， 帆( 州) = 上g l ( f h l ( ，) 厂( 州) 咖) 西 上g l ( r 啊( ，) + v ) 一d r ) d s = 扎) 0 同理( “，v ) 4 = 剖( ，v ) i 故a ( u ，v ) ( “，v ) l i 故，( 么，k p ，k ) = 1 综上所述，f ( 么，k r k p ，k ) = 一1 ，f ( 彳，k 凡k a ，k ) = 一1 ， 所以方程( 3 1 1 ) 存在两个i e 解( u l ，y 1 ) ， ( v 2 ) ，g o ( u 。，v 1 ) i i p 0 ，令 e = ( ”，v ) p ：，v ) i l ，) ， 乒= 眠v ) p - l ( u ，v ) i i ，- ) 。 由 l 0 n ( f ) 衍 q - o o ， 0 l 0 0 。令 0 0 ld 朋。= 2 ，g l ( ，h a ( t ) d t ) d s ， 50 lj m 。= 2 f g 。( n ( f ) 出) 凼， 00 l 占 朋：= 2 g 2 ( n ( f ) 功) 凼； 定义尸上的非负连续凹泛函为：对v ( u ，v ) 尸 口( “，1 ，) - m m i n 6 】i “( ) + y ( ) 】 显然，a ( u ，v ) 0 ( “，v ) 0 ，x 寸v ( u ，) p 。先定义映射彳1 ，a 2 ：尸一c o ，l 】c 【o ，1 】为 1j a i ( ) ( f ) = g l ( n ( ，) ( “( ，) ，1 ，( ，) ) 咖) 西 t0 lj 4 ( “，) ( f ) = g ：( n ( ，) g ( “( ，) ，v p ) ) d r ) a s l0 再定义映射a ：p jc o ，1 】c o ，1 为 a ( u ，v ) = ( a l ( 甜，1 ，) ，a 2 ( 甜，v ) ) 显然，上述映射的定义是有意义的，且a ：p - - p 是全连续映射。易验证边值i b - 题( 3 1 2 ) 的解等价于映射a ：p 专尸的不动点。 下面我们验证a ：p 斗p 是全连续映射。 凼 、， 出 、，o 吃 ，rjo ，- q lrjo 2 = 2 m 第三章一类p - l a p l a c i a n 方程组边值问题多解的存在性 设dc p 是f f = 一有界子集，令m o 是常数，且满足i | ，1 ，) 0 肘，( “，) d 。 m d = s u p f ( u ，v ) ：( 甜，v ) d ) 对v ( u ，v ) d ， 阻州) 0 = fg i ( f h l ( ，) 厂( “( ，) ，v ( ，) ) d r ) a s g l ( ) f g ( f 啊o ) d r ) a s 0 ，o 寸。o ) 一 一 4 ( ，) ( f ) 2jg ( j ：h l ( r ) f ( u 。( ，) ，v ( r ) ) d r ) a s 由假设( ) 知：f ( u 。0 ) ，0 ) ) _ f ( u o o ) ，v o ( s ) ) 4 ( ，) ( f ) = j ig l ( f 啊驴) 厂 ( ，) ，v o ) ) a r ) a s 尸连续的。