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基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 摘要 地震信号在地层中传播中，由于吸收衰减等因素的影响，表现为时变非平稳 随机过程，须采用非平稳信号处理方法。而分析信号的传统方法傅氏变换，仅能 得到信号的整体频谱，不能刻画任意时间的局部性质，由于传统傅氏变换的这种 局限性，人们对其进行了改进，并选择了两种完全不同的方向，一个方向是寻求 时频局部化及其精细程度，即各种时频分析方法；另一个方向就是本文所要研究 的分数阶傅氏变换( f r a c t i o n a lf o 血e rt r a l l s f o n n a t i o n ，f r f t ) ，是基于坐标轴旋 转思想提出的，是广义化的傅氏变换。 本文介绍了分数阶傅氏变换的物理意义，定义及性质，并在其基本理论研究 的基础上，数值实现了离散分数阶傅氏变换及其反变换，并以模型数据和实际地 震数据为例，展示了其对信号的变换效果，验证了其和傅氏变换之间的关系，即 傅氏变换是分数阶傅氏变换的一种特殊情况，从而验证了算法的正确性，为下文 的研究打下基础。 由于分数阶傅里叶变换等价于对时频平面进行旋转的特性，可以对信号的时 频分布进行改善，因此本文研究了基于分数阶傅氏变换的时频分析方法，称之为 广义时频分析，是对现有传统变换时频分析方法的广义化拓展。主要研究两种广 义时频分析方法，分数阶域的时频分析和基于分数阶傅氏变换核函数的时频分析 ( 简称分数阶时频分析) 。该部分的研究着重公式推导和数值实现。在研究分数 阶域时频分析时，实现了寻找最佳分数阶域的算法，即使信号在该域中具有最小 宽度，推导了用短时傅氏变换表示加权伪维格纳分布的公式，从而在离散分数阶 域短时傅氏变换算法的基础上实现了分数阶域加权的伪维格纳分布。对分数阶时 频分析的研究，以分数阶维格纳和分数阶模糊函数为例，重点在于离散公式的推 导和其反演性的研究。两种方法都针对地震信号，对比分析广义时频分析效果。 研究结果表明：地震信号的广义时频分布有与传统时频分布不同的特征，其能量 更加集中，时频分析的聚焦度和信息特征更加清晰。且分数阶域加权的伪维格纳 分布既具有接近于维格纳分布自项集中的优良性能，又可消除或减少其交叉项干 扰。 由于分数阶傅氏变换是对傅氏变换的拓展，可将信号做任意角度旋转变换， 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 因此，诸多应用傅氏变换的算法均可用分数阶傅氏变换推广，将得到不同的表现 效果。本文将其引入地震数据空间预测滤波中，研究滤波效果与信号保真的最佳 折衷。利用分数阶傅氏变换把信号旋转变换到任意一个角度时“频 平面，运用 奇异值分解( s v d ) 方法求取空间预测滤波算子，实现预测滤波；通过数据相关系 数和相对误差能量曲线评价滤波效果。研究结果表明，可以找到一个合适的分数 阶域，使得分数阶域空间预测滤波能够在压制噪声和保留信号特征两方面达到最 佳折衷，较一般f - x 域预测滤波具有更大灵活性。 关键词：分数阶傅氏变换：广义时频分析；分数阶域空间预测滤波；地震信号 i i 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 t h er e s e a r c ho fs eis micsjg n aia n aiy s ；sm e t h o d b a s e d o nt h ef r a c tio n aif o u rie rt r a n s f o r m a b s t r a c t t h es e i s m i cs i 印a l sa r ei l o n s t a t i o n a 巧b y 廿1 ee 任e c to fs 仃a ：t u mm r o u g l lw b j c hm e s i g n a l sa r ea b s o r b e da n da t t e n u a t e d ， s ot h e ys h o u l d b ea n a l y z e dw i t ht h e t h en o n s t a t i o n a 巧s i 印a l sp r o c e s s i i 培m e m o d s w 1 l e nw ea 1 1 a l y z e l en o n s t a t i o n a 巧 s i g l l a l s ，w h a tw ew 觚tt og e ti sh o wt l l e 厅e q u e n c yo fs i g n a l sc h a j l g e s 谢t h 吐1 et i i l l e ，b u tt l l et r a d i t i o n a lf o 面e r 饥m s f o ma l l a l y s i sm e t l l o dc a no i l l yr 印r e s e n tt l l ew h 0 1 e 盘e q u e n c ye l e m e m ，n o tr e f l e c t t h ec h a n g e s op e o p l ei m p r o v e do nt h ef o u r i e r 衄l s f o n n 丘。o m 吐l e 似r od i 僚r e md i r e c t i o n s ，o n eo fw m c ha i mt ot h et i m e - f k q u e n c y l o c a l i z a t i o np r e c i s i o na i l da i l o t l l e ro fw m c hi st h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt i 彻s f o 咖 ( f r f t ) w h i c hi s r e s e a r c h e di i lt h i sp a p e r t h ef r f tp u tf b n ) 1 7 a db a s e do n 廿1 e r o t a t i o no fc o o r d i n a t ea x e si sg e n e r a l l i z e df o u r i e r 仃觚s f o r m 1 1 1m ep a p e r ，t h ep 1 1 y s i c sm e a u l i n g ，d e f i i l i t i o na 1 1 dc h a r a c t e ro ft l l ef i 江ta r e 妣d u c e d o n 也eb a s i so f 也e 也e o r yr c s e 础o ff r f t ，也ed i s c r e t ef r f ta n di t s i i e r s e 仃 m s f o ma l g o r i t h m sa r er e a l i z e db yc o m p u t e r ，a n d 吐1 er e l a t i o nb e 俩e e n 也e f r f ta 1 1 df o u r i e r 仃 m s f o r mi st e s t e d 谢也t h em o d e la n dr e a ls e i s m i cd a t a 7 n l er e s l l l t s 印p r o v et h a tt 1 1 ef o u r i e r 仃 m s f i o mc a i lb er e g a r d e d 嬲也es p e c i a lc o n d i t i o ni n l e f r f ta n dt h ea l g o r i t h m sr e f e r r e da b o v ei sc o r r e c ta n da v a i la _ b l e t h a ti sa f - o u n d a t i o no ft l l ec o n t i n u er e s e 踟h b e c a u s em ef i 强te q u a t e sm er o t a t i o no ft i i l l e 一舶q u e n c yp l a n ea 1 1 dc a l li l l l p r 0 v e 也et 砸e f r e q u e n c yd i s 伍b u t i o n ，s ot i r l l e 一舭q u e n c ya 1 1 a l y s i sb a s e do nf r f tc a l l e d g e n e r a l i z e dt i m e f r e q u e n c y ( g t f ) a i l a l y s i sm e t h o di ss t l l d i e di 1 1m i sp 印e r t h e g t f g e n e r a l i z e ss 响ec o 砌o nt i i i l e - 缸q u e n c ya 1 1 a l y s i s 1 1 1 e 似ol ( i n d so f g t fm e t l l o d s ， t i m e 一丘e q u e n c ya n a l y s i si i l 丘a c t i o n a ld o m a i n sa n dm et i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sb a s e d o n 也ek e m e l 觚c t i o no ff r f t ，a r ep 曲l a r yd i s c u s s e d 1 1 1 ee m p h a s i so ft h i sp a ni s o nt h ef o 瑚u l ad e r i v a t i o n 锄dn 啪e r i c a la l g o r i 廿i l s t h r o u 曲m er e s e a r c ho ft h e t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i si nf r a c t i o n a ld o m a i n s ，t h ea l g o r i t h mt o f i n dt h eb e s t 五阻c t i o n a 】d o m a i ni 1 1w h i c hs i g n a l sc e n n - a l i z e dt 1 1 eb e s ti sr e a l i z e d ，a 1 1 d 仕l ef o m m l a r i i i 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 廿l a tp s e u d ow i g n e r v i l l ed is i r i b u t i o n ( p w v d ) i se x p r e s s e db ys h o r tt i m ef 0 u r i e r t 眦s f o n n ( s t f t ) i s9 0 t t e n c o n s e q u e n t l y ，m ed i s c r e t ep w v di i lf - r 枷。蹦d o 戚1 1 s i sg o t t e no n 廿1 eb a s i so fd i s c r e t es t f t 1 1 1 ：r o u 曲t 1 1 er e s e a r c ho ft h et i m e - 行e q u e n c y a n a l y s i sb a s e do nt h ek e m e lf b i l c t i o no ff r f tc a l l e df i r a c t i o n a lt i m e - 行e q u e n c y a 1 1 a l y s i s f o rs h o r t ，t h ee m p h a s e sa r et h ed i s c r e t ef o 咖u l ad e r i v a t i o no ff r a c t i o n a l w i 髓e r v i l l ed is t r i b u t i o n 觚d 丘a c t i o n a l 锄b i g u 埘缸1 c t i o na 1 1 d 1 cs t u d yo fm e i r 甜旷e r s i o n t h et w og t fm e t h o d sa r ec o m p a r e dw i 也日1 ec o 姗【i l o nt i m e - 西旧q u e n c y 觚a l y s i so n e sb y 砒l a l y z i n gm es e i s m i cs i g n a l s t h er e s e a r c hr e s u l to ft h j sp a ns h o w t h a tt h ea l g o r i t h m sa r ev a l i da n de f f - e c t i v e ，t h eg t fs h o w ss o m ed i f f e r e n t c h a r a c t 嘶s t i c sa n dc a np r o v i d em o r ec e m e r e dt i m e 舶q u e n c yd i s t r i b u t i o i l s ，鲫dt 1 1 e p w v di 1 1 丘a c t i o n a ld o m 咖sn o to m yc a nc e n 仃a l i z e d 也ee v e r yc 唧n e n to ft 1 1 e s i g n a ld u r i n ga n a l y z i i l g ，b u ta l s oc a ne l i m i n a t ea n dr e s t r a i nt l ec r o s s - t e r m s s i n c e 也ef r f ti sg e n e r a l i z e df o 谢e r 行a 1 1 s f 0 册a i l dc a l lt r a l l s f o 姗t l l es i g n a l st 0 a n y 疳a c t i o n a ld o m a i n s ，i tc a nr e p l a c et 1 1 ef o u r i e r 仃 m s f o 肌i 1 1s o m ea l g o r i t l u l l w h e r et l l ef o 嘶e r 订a n s f o m li su s e da i l dm a k et h er e s m tv a r y 1 1 1t ：1 1 i s p a p e r ，t 1 1 e f i 心ti si 1 1 ：仃o d u c e dt 0t 1 1 e s p a t i a lp r e d i c t i v et e c h i l i q u e st os e i s m i cd a t at of m da b a l a n c eb e t 、e e ns i 印a lc h a r a c t e rp r e s e a t i o na 1 1 dn o i s er e m 0 v a l t h ef r f ta l l o w s 慨l s f o n n a t i o nt oa n yo fac o n t i l l u o u s 铂 1 1 i l y0 fs p a c e s 劬i e 衄e d i a t et ot l l et i i i l ea n d 舭q u e n c yd o m a i l l sb yi n t r o d u c i n ga 加c t i o n a 】p 骶吼e t e r ，a i l dt h es v dt e c l l i l i q u ei s u e s dt 0a t t a i nm ef i l t e r d u r i n gt h ec o u r s eo ff i l t e r i n g t h ec r o s sc o r r e l a t i o n c o e m c i e n tc u n ，ea n dr d a t i v e 踟e n 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授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者躲丢i f 瘟您 签字日期砷夕年箩月7 日 聊搏蜘乏 婵日叶r 1 前言 1 1 研究意义及背景 野外激发的地震信号在地层中传播时，由于散射和吸收衰减等因素的影响， 表现为时变非平稳随机过程，对信号进行单一时域或频域分析远远不能满足实际 处理的需要，须采用非平稳信号处理方法。傅氏变换是传统的分析和处理信号的 方法，被广泛应用于科学和工程技术应用研究中。在对它广泛应用和研究的过程 中，人们逐渐发现它在研究某些问题时存在局限性。如傅氏变换将信号在整体上 分解为具有不同频率的正弦复指数分量，得到的是信号的整体频谱，如果用来处 理平稳信号，傅氏变换没有什么缺陷，但对与频率成分随时间变化的非平稳信号 来说，傅氏变换就无能为力了。由于它不能表述不同时间与不同频率之间的对应 关系，而这种关系在非平稳信号分析中起着重要作用2 3 。 为了满足各种科学问题研究的需要，人们对傅里叶变换进行了改进，并且选 择了两个完全不同的方向： 一个改进方向是寻求时频局部化及其精细程度。为了弥补傅氏变换不能表达 时间变化的频率这个概念，人们提出了窗函数的概念。即，提出一个灵活可变的 时间一频率窗，使得这个窗的内部能够体现频率的信息，而窗和窗之间的变化则 反映的是频率随时间的变化，所以这种分析又称为“时间一频率分析 。短时傅 氏变换( s t f t ) 是一种固定窗的时间一频率分析方法，如果窗函数为高斯函数， 那么这个变换称为g a b o r 变换m 扣。 高斯窗函数的表述如下： 1一! g 。( t ) = _ 净e 4 8 ( 卜1 ) z 吖忍 以高斯函数为窗的g a b o r 变换定义为： s ( 国，f ) 2 工。e 1 纠f ( 涎a ( t f ) d t ( 1 2 ) 随着f 得变化，g 。( t f ) 确定的高斯函数在整个实数轴上移动，这样就可以对不 同的时段信号逐步分析。但这种方法其时间窗是固定的，不能按照需要使时间窗 变宽或变窄，这对于低频、高频信号的检测不利。为了更好地分析局部频率的特 征，出现了小波变换( w t ) 理论6 1 ，从1 9 8 6 年小波开始被广泛使用，小波变换综 合公式如下： ( 似6 ，口) = 旷坨厂( f ) 甲矿确 ( 1 3 ) 这使得瞬时信号和图像处理学科获得了有利的数学工具，由于小波变换使用 了位移参数6 和尺度参数a ，它可以分析出任意时间内的频率性质，使其比f t 、 s t f t 具有明显的优势：使时间、频率信息得到对应；时间窗具有伸缩性，参数 a 确定了局部信号的时窗可变。 jljol1 毒一 嚣 分 爱 墓 _ - 歹 昱 j c - 基 -l n ea m 触矗雎t 上m 图1 - 1a ：时间域b ：频率域( 傅氏分析)c ：s t f t ( g a b o r )d ：小波变换 此外，设计时间和频率的联合函数，用来描述信号在不同时间和频率的能量 密度或强度的方法也被广泛应用，典型例子是p a g e 分布、w i g n e r l v i l l e 分布 c h o i _ w i l l i a m s 分布等n q 。 以上所列举的时频分析方法是当今信号处理领域的一个主要研究热点，在地 震勘探数据分析中有重要的应用，如地震波能量衰减补偿、时变滤波、层序检测、 提高分辨率、地震频谱分解、地震旋回分析、瞬时属性提取等n 2 驯。但也都有自 身的缺点，最简单的时频变换，即上面所提到的短时傅里叶变换( s t f t ) ，是利 用滑动窗函数对傅里叶变换进行的简单扩展，是一种线性时频表示。多分量信号 的短时傅里叶变换虽然不受到交叉项的干扰，但自项不是十分集中。为了提高时 频平面的聚集性，避免线性时频表示中时间分辨率和频率分辨率互相牵制，出现 了很多种双线性时频分布。其中，维格纳分布( w i 盟e r ) 是应用最为广泛的一种 双线性时频分布，因其时间一带宽积达到了h e i s e n b e r g 不确定原理【1 4 ，蚓给出的下 界，因此时频分辨率很高。但由于w i 盟e r 是非线性的，因此当信号包含多分量成 分时，w i 驴e r 存在严重的交叉项干扰，严重地干扰着对信号时频特性的解释。在 w i 驴e r 分布的基础上，出现了一类基于核函数的双线性时频分布c o h e n 类双线 2 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 性时频分布3 5 3 们。c o h e n 类的目的就是要寻找一种最佳的核函数( 二维滤波器) ， 使时频分布在保持自项的基础上，最大限度的抑制交叉项。c o h e n 类采用平滑方 法抑制了交叉项，但却是以牺牲时频分辨率为代价的，且由于c o h e n 类是针对一 类信号而设计的，因此对某一种特定的信号而言，计算量较大。 傅氏变换的另一个改进方向是n 硼i a s h 伽在1 9 8 0 年提出的分数阶傅氏变换 ( f r a c t i o n a lf o 嘶e rt r a i l s f o n n a t i o n ，f r f t ) ，是基于坐标轴的旋转思想提出的， 是广义化的傅氏变换n - 4 1 4 羽。作为傅氏变换的一种广义形式，分数阶傅氏变换可 以解释为信号所在的时频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分 数阶傅氏域上的表示方法。从本质上讲，信号在分数阶傅氏域上的表示，同时融 合了信号在时域和频域的信息，因此被认为是一种时频分析方法，与其他时频分 析工具有着极其密切的联系。目前，分数阶傅氏变换作为一种崭新的时频分析工 具和旋转算子为信号处理领域的研究人员所广泛接受。这种新的数学工具不仅与 傅氏变换有着紧密联系，并且具有傅氏变换所不具备的优点，其应用更灵活，但 是，分数阶傅氏变换的理论与应用并不像傅氏变换那样成熟，尤其是其快速算法 仍然不十分完善【1 1 。 在地震信号的分析和处理中，分数阶傅氏变换具有广阔的应用前景，分数阶 傅氏变换与其w i 印e r - 1 1 e 分布( w v d ) 、小波变换、短时傅氏变换、模糊函数等 时频分析工具有着密切的联系，采用联系的观点分析和研究分数阶傅氏变换在地 震信号时频分析中的应用将会对传统的方法做出一定的改进，衡量时频分布性能 有两个主要因素：时频聚焦性和交叉顶问题【l 】。用任何种时频分布作为非平稳 信号的分析工具时，都希望它具有良好的时频聚集性，即要求它在时频平面上是 高度聚集的。适合用作时频聚焦性评价的典型非平稳信号是线性调频( l f m ) 信 号。而分数阶傅氏变换中的核函数正是l f m 函数，它与传统时频分析方法结合， 将会对地震信号提供良好的时频聚集性。对于单分量的非平稳信号而言，其时频 分布往往不存在交叉项问题。但对于多分量非平稳信号而言，交叉项则是二次型 或者双线性时频分布的必然结果，它们来自多分量信号的不同分量之间的交叉作 用。通常情况下，这些类型时频分布的交叉项是比较严重的。任何时频分布都期 望具有尽量小的交叉项，本文我们也将针对这一问题进行研究，使分数阶傅氏变 换与二次型时频分布的结合能达到抑制交叉项的目的。 3 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 如果信号的傅氏变换可看成将其在时间轴上逆时针旋转昙到频率轴上的表 z 示，则分数阶傅氏变换可以看成将信号在时间轴上逆时针旋转任意角度到u 轴上 的表示( u 轴被称为分数阶傅氏域) n 4 2 1 。由于分数阶傅氏变换具有这种特性，我们 可以将一些与傅氏有关的地震数据处理方法用分数阶傅氏变换来代替，将会对由 于单一的时间频率域转换造成的问题进行完善，本文会以地震数据处理中的 空间预测滤波方法为例，来验证分数阶傅氏变换的引入对地震数据处理效果的改 进。 1 2 分数阶傅氏变换在信号处理领域的研究概况 关于分数阶傅氏的理论很早就有学者开始研究，虽然他们没有明确的使用分 数阶傅氏变换这一术语。直到1 9 8 0 年n a m i a s 的理论推出后，分数阶傅氏变换开始 引起人们的注意。n a m i a s 并不知道前人所做的研究，他以纯数学的方式从特征值 与特征函数的角度，重新提出了f r f t 的概念并用于求解偏微分方程，他把分数阶 傅氏定义为传统傅氏变换的分数幂形式，并得出了分数阶傅氏变换的高阶微分形 式和它与某些微分方程式的关系。但是没有得出这种时频表示的变换关系。这之 后分数阶傅氏变换在物理光学方面得到了研究和应用，在信号处理领域，由于没 有对它的合理物理解释和快速有效算法，一直未得到应有的认识和运用。 1 9 9 2 年m e n d l o v i c 和o z a k t a s 开始研究分数阶傅氏变换。之后l o h 砌a n n 也加入 研究，他根据维格纳分布重新定义了分数阶傅氏变换并解释其物理意义为信号的 表示轴在时频平面的旋转。三人最终证明了彼此所下的定义与早期的定义尽管出 发点不同但都是等价的h 3 1 。另外他们还研究了分数阶傅氏变换的计算机仿真算 法。 1 9 9 3 年，a 1 m e i d a 也再次分析了这种变换，并于1 9 9 4 年发表了论文，题为t h e f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r ma n dt i m e f r e q u e n c yr e p r e s e n t a t i o n s ，指出 分数阶傅氏变换是一种“角 傅氏变换，即信号在时频平面内坐标轴绕原点逆 时针旋转任意角度构成的分数阶f o u r i e r 域上的表示方法，并研究了分数阶傅氏 变换与维格纳分布，模糊函数，短时傅氏变换等时频分析方法的关系，进一步证 明了分数阶傅氏变换可以解释为时频平面的旋转h 引，1 9 9 6 年o z a k t a s 等又提出 4 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 了分数阶傅氏变换的一种相对快速有效的离散算法h 5 | ，自此以后，分数阶傅氏 变换在信号处理领域得到了越来越广泛的研究，出现了大量的相关文章。 2 0 0 3 2 0 0 4 年期间，m o n t a n a 和m a r g r a v e 在弹性波勘探地震学领域提出把分数 阶傅氏变换运用到空间预测滤波中h 钔，他们指出在分数阶傅氏变换中引进一个参 数使信号变换到时间和频率域中间的任何一个空间位置，这个空间位置可以看作 在信号和其频率域表示之间的插值。可以把作为空间预测滤波纵轴表示的时间域 或频率域换为这个混合频率时间域信息的分数阶域。 2 0 0 5 年，吉林大学李靖，王树勋等人又研究了基于分数阶傅氏变换的c h i r p 信号时频分析，提出利用旋转的短时傅立叶变换，在分数阶傅氏变换域中实现 各分量c h i r p 信号间的分离，以抑制交叉项及噪声项的干扰。 1 3 分数阶傅氏变换在信号处理中的应用 作为一种新的数学工具，分数阶傅氏变换在信号处理领域得到很好的应用， 主要体现在以下几个方面【1 ，4 2 ，4 “5 2 】： 1 、分数阶傅氏变换用于信号的检测及参数估计。传统傅氏变换是信号在一 组正交完备的正弦基上的展开，所以一个正弦信号的傅氏变换是一个6 函数；而 分数阶傅氏变换是信号在一组正交的l f m 基上展开，一个l f m 信号的某一角度 的分数阶傅氏变换也是一个6 函数。因此，分数阶傅氏变换变换对l f m 信号具 有很好的聚焦性，这种聚焦性对l f m 信号的检测和参数估计十分有用。 2 、将分数阶傅氏变换视为一种时频平面的旋转算子。信号的维格纳分布与 该信号的旋转一定角度的分数阶傅氏变换相同。对信号进行分数阶傅氏变换相当 于将信号在时频平面进行旋转。在工程应用中，信号分离与噪声压制是信号处理 中的一个重要问题。从时频分析的角度，经典的滤波方法大都只限于频域加窗或 遮隔运算，但当信号分量之间和信号与噪声之间存在较强的时频耦合时，传统的 滤波方法难以实现有效的信噪分离。但如果将信号做分数阶傅氏变换，使其在时 频平面旋转一个特定的角度，在新域上不再存在时频耦合，从而可以实现有效的 滤波或信号分离。 3 、把分数阶傅氏变换与传统时频分析方法结合分析信号，这种方法称之为 广义时频分析。目前，对广义时频分析的研究成果主要体现在以下3 个方面。 5 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 ( 1 ) 将原来的时频分析由时间一频率( t ，( i ) ) 坐标平面转换到分数阶傅氏变 换的( u ，v ) 坐标平面来研究，一般将其作为分数阶傅氏变换与通常时频分析关 系来讨论。 ( 2 ) 分数阶域时频分析：用分数阶傅氏变换中u 域( 称分数阶傅氏域，简称分 数阶域) 或v 域代替原来的时域信号或频域信号，而后仍按原来时频分析进行研 究。 ( 3 ) 分数阶时频分析：将原来时频分析中的复指数核函数换成分数阶傅氏变 换的l f m 函数，称之为基于分数阶傅氏变换核函数的时频分析，也简称为分数阶 时频分析。 在地震信号的处理中，把广义时频分析用于地震数据时频分析，它能够揭示 传统方法不能分离和提取的特点【l ，4 2 1 ，它的理论和应用正在发展之中，有待深入 研究。而在此基础上可以进一步进行地震瞬时属性的提取，作为一种地震属性提 取的有效算法，也有待进一步的探索；分数阶傅氏变换对傅氏变换域的拓展，也 将使地震信号处理的一些算法更加灵活，分数阶域的空间预测滤波方法，在地震 信号的有效信号相干的前提下，把信号变换到任意分数阶域，能改善传统方法只 能顾及噪音压制和有效信号特征保持二者中的一个，会比传统的空间预测滤波方 法展现出更大的优势脚，5 3 5 5 】。 1 4研究内容及创新点 主要研究内容： 1 、 研究分数阶傅氏变换的理论及离散算法，并用模型和实际地震数据来分析其 对信号的变换特征以及与传统傅氏变换的关系及改进。 2 、 在分数阶傅氏变换基本理论研究的基础上，对上文提到的广义时频分析内容 进行研究。主要是把分数阶傅氏变换与短时傅氏变换，维格纳分布及模糊函数结 合，推导其离散公式，寻找有效算法，通过特殊情况和信号重构验证算法的正确 性，并且通过实例对比分析找出其比常规方法的改进。 3 、把常规空间预测滤波方法中的傅氏变换用分数阶傅氏变换取代，得到分数阶 域空间预测滤波方法，研究预测滤波模型和求解模型的有效算法，用合成地震数 据和实际地震数据分别试算。并找出一种评价滤波效果的方法，验证该方法的理 6 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 论可行性及在实际应用中效果较传统方法的改进。 内容安排： 第二章研究分数阶傅氏变换的物理意义、定义、性质及分数阶傅氏变换的离 散形式和数值计算。 第三章在第二章的基础之上，把分数阶傅氏变换与传统时频分析算法以一定 的方式结合，主要研究两种形式，分数阶域的时频分析和基于分数阶傅氏变换核 函数的时频分析。 第四章分数阶空间预测滤波的原理、模型及算法，实例分析及评价滤波效果 的方法。 第五章全文总结 本文的创新点表现为： ( 1 ) 首次全面系统的研究了分数阶傅氏变换在地震信号处理领域的应用状 况，对信号处理的某些方法做出了改进。 ( 2 ) 分数阶傅氏变换在空间预测滤波方法中的应用打破了传统方法只能在 时间空间域和频率空间域进行的局限，并且实现了对滤波效果的有效评价。 7 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 2 分数阶傅氏变换的基本理论 2 1 分数阶傅氏变换的物理意义 或 则 若记傅氏正变换作用x ( f ) 一x ) = x ( f ) g 一。删出为线性算子f ， 则f x ( f ) ( 国) = fx o ) p 一耐廓， ， f x ( ) ) o ) = lx ( 国) e 1 删矗 m ，m f x o ) = x ( 功) ， f z ( 缈) ) = ， ，缸9 ) ) ) = x ( 一f ) ， x ( 一r ) ) = ， f f 缸0 ) ) ) ) = 一x ( 一彩) ， 一x ( 一国) ) = f f f ， x o ) ) ) ) ) = x ( f ) 。 可见傅氏正变换算子是一个卜，国平面的直角( 考) 旋转算子，可以记成 p ，口= 1 ，2 ，3 ，4 。具有如下性质： ( 1 ) ，。= f ，口= 1 ； ( 2 f df b = f 6f d ：f o 曲 ( 3 ) f 。 + g ) = ，4 厂) + f 4 g ) 所以可以想到，如果f a 算子中的口r 为给定分数，不等于号的整数倍， 该算子对z ( f ) 映射会出现什么样的结果? 如何定义这个分数阶的积分算子? c c ， 1 。 7 图2 1( 厶彩) 平面旋转口角( “，v ) 平面 8 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 若旋转的角度口不等于号的整数倍，如图2 1 所示，将( f ，) 平面旋转口 角变成( “，1 ，) 平面。令这种情况的算子表示为r 口，它对函数x ( f ) 的线性变换可 表示为：r 。 x ( f ) ) = 屹 ) ，该式就是分数阶傅氏变换的通用表示，它应满足下列 性质【4 2 】： ( 1 ) 零旋转性五o = j ；( ，= ，4 ，称之为恒等变换算子) ( 2 ) 相应的傅氏变换为r 手= f ( 3 ) 旋转相加性尺。r = r 酣声= r r 口，阶数可以看作变换算子的指数。 ( 4 ) 恒等变换r h = ， 2 2 分数阶傅氏变换的定义 分数阶傅氏变换有若干种不同的定义方式，可以由其中任何一种定义导出其 它定义方式，彼此等价，不同的定义有不同的物理解释，下面介绍它的三种定义 方式。 2 2 1 定义1 ：基本定义1 御侧 定义在甜域的函数 i ) 的p 阶分数阶傅氏变换为一个线性积分运算： 厶( “) = 锋( “，”) 厂 - ) 幽 ( 2 1 ) 其中k 口( 甜，“) = 以p 弦( “2 o o t 口一2 删。雠口w 2c o t 口称为分数阶傅氏变换的核函数， 以= i = 面，口= p 要，p 2 刀，刀是整数。为计算方便，经变量替换甜。卜2 万甜， 写成 巧( 甜，甜i ) = 厚7 竿叫一口叫p 地) 万( 甜l 甜) ，历= 2 以万( p = 4 疗) ( 2 2 ) 万( ”+ “) ，口= ( 2 刀1 ) 万( p = 4 门+ 2 ) 9 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 厶 ) = k p ( “，“) 厂( 甜) 砌，o l p l 2 ，o ：乃p ) ：0 一j 争) p ) ：p 一和詈7 ) ，：o ，1 ，2 ， ( 2 8 ) 这个表述完全通过规定特征函数和特征值，定义分数阶傅氏变换。对于一般的函 数厂( 甜) ，先利用特征函数正交基展开： 厂( “) = q ( ”) ( 2 9 ) 其中展开系数为岛= n ) 厂 i ) 幽。，令定义的r p ) 同时作用在展开式( 2 9 ) 的两边，并套用( 2 8 ) 式的定义得： 太p 厂 ) ：艺q o 一7 三7 ) 尸 ) ：虚p 一归詈7 ) i ) 厂 - ) 咖t ( 2 1 0 ) 尺p 厂 ) = q 0 1 一) 尸 ) = 侄p 一护i 。 ) i ) 厂 - ) 咖 ( 2 - 1 0 ) f 苦o，= o 若定义核函数为 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 巧( 删) ：艺p 一归三7 ( 甜) ( ”i ) ，= 0 则( 2 1 0 ) 式写成 r p 厂( 甜) ) = j 巧( ”，”t ) 厂 f ) 砌 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 就是分数阶傅氏变换的基本定义，( 2 1 1 ) 式称为傅氏变换核的频谱展开( 或奇 异值分解，而h e m l i 把一g a u s s 函数奶0 ) 刚好具有如下性质： 和 佃 i f ， p 1 7 ) 1 ) = p 川舢 1 1 0 ( 2 1 3 ) 主p 一州 ) i ) ：j = 7 鬲面弦( “2 c o t 口一：蛐雠口“2 嘲口 ( 2 1 4 ) ，= 0 其中口= p 三a 可见定义2 和定义1 等价。 2 2 3 定义3 ：时频平面中的旋转 p 阶分数阶傅氏变换相当于信号( 或函数) 的w i g n e r 分布在时间频率平面 ( r ，缈) 上顺时针旋转角度口= p 要。 w i 弘e r 分布用于处理非平稳信号或解析信号时也被称为w i 弘e r 一l l e 分布 ( w v d ) ，在一定程度上解决了短时傅氏变换存在的问题。解析信号，( f ) 的姗 定义为 ) = 厂( f + 争厂( f 一尹加出 ( 2 - 1 5 ) 或用厂( f ) 的傅氏谱f ( 国) 表示为 巧m 咖即+ 考) f ( 国一扩印办 ( 2 - 1 6 ) 厂( f ) 的p 阶分数阶傅氏变换的州d ，是由厂( f ) 的w v d 旋转口= p 要角度后 得到， 陟名( 甜，v ) = 哆( 甜c o s 口一v s i p 口，甜s i n 口+ v c o s 口) ( 2 1 7 ) 1 2 基于分数阶傅氏变换的地震信号分析方法研究 其中口= p 要。 而i 砌o n w i 盟e r 变换则进一步对( 2 1 5 ) 沿v 进行线积分，所以函数厂( f ) 的l d o n w i 印e r 变换定义为： r 弓( “，口) = 髟( “c o s 口一v s 证口，“s i n 口+ 1 ，c o s 口x 如 ( 2 1 8 ) 可以证明信号厂( ，) 的p 阶分数阶傅氏变换的模的平方正号是口方向的遍o n w i 伊e r 分布。 也可以信号厂( f ) 的修正短时傅氏变换与旋转a = p 要角度的p 阶分数阶傅氏 变换的修正短时傅氏变换等价。 关于分数阶傅氏变换与短时傅氏变换、w i 印e r 分布等之间关系的更详细的 内容在下一章中给出。 2 3 分数阶傅氏变换的基