（地球探测与信息技术专业论文）基于波动方程的炮检点二次定位方法.pdf

基于波动方程的炮检点二次定位方法 摘要 在陆上地震勘探中，由于地表条件、人员疏忽等因素的影响会出现炮点定位 不准确的情况；海底电缆施工过程中，由于洋流等因素的影响会使检波点的实际 位置与预设位置不同，这些情况严重影响了后续的地震资料处理工作，因此需要 对炮点或检波点进行二次定位。 基于波动方程的炮点二次定位参考了常规地震偏移成像技术，将排列接收到 的波场反向外推，使波场逐步收敛，最终波场收敛到炮点位置，以此来实现炮点 二次定位。在具体实现中需要在地面划分网格，然后应用克希霍夫积分法反向外 推波场，获得网格点的能量值，能量最高的网格点便是炮点位置。为了提高运算 速度同时保证定位精度，在划分网格时需要先粗分网格，求得网格点能量值，然 后在能量高的网格点区域重新细分网格，通过细分网格点的能量值来确定出炮点 位置。在炮点二次定位中利用的主要是直达波的波场信息，因此在预处理时，需 要突出直达波压制干扰波。文章分析了在不同信噪比下的波场收敛情况，在模型 实验中信噪比为1 2 5 时仍能准确实现炮点二次定位。波场外推的速度是炮点二 次定位的一个重要参数，在选取速度时，以当地的地层速度为基准，在粗分的网 格中进行速度扫描分析，获得最佳的波场收敛速度，然后用其进行波场外推，求 得网格点的能量值，实现炮点二次定位。 检波点二次定位主要应用于海底电缆。在海底检波点二次定位中，炮点位置 已知而检波点位置未知，因此需要从多个炮点位置正向外推波场，使波场逐步延 拓到检波点，以此来获得检波点的位置。在具体实现中需要从原始地震资料中抽 取共检波点道集，然后在海底面划分网格，应用克希霍夫积分法正向外推波场获 得网格点的能量值，能量高的网格点为检波点的真实位置。网格的划分原则与炮 点二次定位一样，需要先粗分后细分。海底检波点二次定位中，同样选用直达波 作为主要的波场信息，而直达波是通过海水传播到海底的，因此，波场外推的速 度选用海水层的速度。 基于波动方程的炮检点二次定位在模拟和实际地震资料处理中都得到了良 好的效果，验证了这种方法的可行性。 关键词：炮点；检波点；二次定位；波场外推；波动方程；克希霍夫积分 lh es e c o n d ar yp o sitio nin g0 1 -s h o tp oin ta n dr e c eiv er 一 一 一 b a s e do nw a v ee q u a tio n a b s t r a c t t h e r ea r el o t so ff a c t o r ss u c ha st e r r a i nc o n f i g u r a t i o na n dp e o p l e sn e g l e c tw h i c h c a ni n f l u e n c et h ep o s i t i o n i n go fs h o t p o i n tf o ri n s h o r es e i s m i ce x p l o m t i o n i h er e a l p o s i t i o no fr e c e i v e ri sd i 矗e r e n tf r o mt h ed e s i g n e df o ro c e a nb o t t o mc a b l eb e c a u s eo f t h ei n n u e n c e ss u c ha so c e a nc i l h e n t t h e s ef a c t o r ss e t i o u s l ya f f e c tt h es e q u e n t p r o c e s s i n go f s e i s m i cd a t e ，s oi t sn e c e s s a r yt or e p o s i t i o nt h es h o t p o i n ta n dr e c e i v e l t h es e c o n d a r yp o s i t i o n i n go fs h o tp o i n tu t i l i z e st h et e c h n o l o g yo fs e i s m i c m i g r a t i o n t h ew a v ef i e l dd a t ai se x t r a p o l a t e di n v e r s e l yw h i c hi sa c c e p t e db yt h e r e c e i v e r ，a t l a s tt h ew a v ef i e l dw i l lb ec o n v e r g e dt h ep o s i t i o nw h e r ct h es h o tp o i n ti s a n e rd i v i d i n gg r i d so nl a n ds u r f a c e ，t h ew a v ef i e l dw i l lb ee x t r a p l o a t e dd e p e n d so n t h ek i r c h h o f ! fi n t e g r a t i o n ，t h e nt h ew a v ef i e l dw i l lb ec o n v e r g e dt ot h e 伊i d s t 1 l eg i r d w i t hh i 曲e n e 唱yi st h ep o s i t i o nw h e r ct h es h o tp o i n ti s t h e 舀r d si n t e r s p a c i n gi s l a 唱ew h e nd e v i d i n gt h e 铲i df o r t h ef i r s tt i m e ，t h e nd e c r e a s et h ed i s t a n c eb e t w e e nt h e g r i d s t h u s ，t h ea r i t h m e t i cc a ns p e e du p ，a n dt h ea c c u r a c yc a nb eg u a r a n t e e d t h e d i r e c tw a v ei sm o s ti m p o r t a n tf o rt h es e c o n d a r yp o s i t i o n i n g0 ft h es h o tp o i n t s ot h e d i r e c tw a v es h o u l db er e t a i n e da n dt h ed i s t u r b i n gw a v es h o u l db er e j e c t e d t h ep a p e f a n a l y s i s e st h ec o n s t r i c t i o no fw a v ef i e l di n d i f f e r e n ts i g n a lt on o i s er a t i o ，t h er e a l p o s i t i o no ft h es h o tp o i n tc a i lb ef o u n do u tf o rt h es i m u l a t i n gd a t aw h e nt h es i g l l a l t o n o i s er a t i oi s1 2 5 t 1 l ev e l o c i t y0 fw a v ef i e l de x t r a p o l a t i o ni si m p o n a n tt ot h e a c c u r a c yo ft h es e c o n d a r yp o s i t o n i n go fs h o tp o i n t t h ev e l o c i t yb a s e so nt h e f o m l a t i o n a lv e l o c i t ya n ds c a n si nt h e 伊i d sw h e nt h ei n t e r s p a c i n go fg r i d si sl a r g e w h e nt h ev e l o c i t yi sc o n f i 珊e d ，u s i n gt h ev e l o c i t yt oe x t f a p o l a t et h ew a v ef i e l dt 0 c o n f i 姗t h ep o s i t i o no ft h es h o tp o i n t t l l l es e c o n d a r yp o s i t i o n i n go fr e c e i v e rw h i c hi su s e df o ro c e a nb o t t o mc a b l ei s d i f ! 1 e r e n tf i ，o mt h es e c o n d a r yp o s i t i o n i n go fs h o tp o i n t b e c a u s et h ep o s i t i o no fs h o t p o i n ti sk n o w n ，m ew a v ef i e l d sc a l lb ee x t r a p 0 1 a t e df m ml o t so fs h o tp o i n t s ，a tl a s t t h e ya l lr e a c ht h ep o s i t i o no ff e c e i v e r t 1 l u s ，t h ep o s i t i o no ft h er e c e i v e rc a nb ef o u n d o u t t h ef i r s ts t e pi sd i v i d i n gg r i d so nt h es e af l o o r ，t h e nw i t ht h eh e l po fk i r c h h o f ! f i n t e 伊a t i o n ，t h ee n e r g yo ft h eg r i d sc o m e so u t ，t h e 掣i dw i t hh i g he n e r g yi st h ep o s i t i o n o ft h er e c e i v e lt h er u l eo ft h ed i v i d i n gg r i di ss a m et ot h es h o tp o i n t t h ed i r e c tw a v e i st h em o s ti n l p o n a n ti n f b 珊a t i o ni nt h es e c o n dp o s i t i o n i n go fr e c e i v e r ，a n dt h ed i r e c t w a v ep r o p a g a t e st h r o u g ht h es e aw a t e r s ot h ev e l o c i t ys h o u l db et h es a m et ot h e v e l o c i t yo ft h es e a b o t ht h es i m u l a t i n ga n dr e a ld a t ar e s u l t sc o n f i 姗t h a tt h es e c o n d a r yp o s i t i o n i n g o fs h o tp o i n ta n dr e c e i v e ri sf e a s i b l e 1 沁y w o r d s ： s h o t p o i n t ；r e c e i v e r ； t h es e c o n d a r yp o s i t i o n i n g ；w a v e矗e i d e x t 功p o l a t e ；w a v ee q u a t i o n ； r c h h o f f i n t e g r a t j o n 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究或果也不包含未获得 ( 逵! 麴遗直墓丝益蔓挂型直明数! 奎拦亘窒! 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 兰! 兰三竺兰整宝一竺竺竺一! 一三旦 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学1 壶论文作者签名：墨，么半 导师签字： 签字日期：砂呵年厂月3 日 甸p 膨 签字日期：7 _ 绎屋只 基于波动方程的炮检点二次定位方法 1前言 1 1课题来源 本课题来源于“十一五 国家高新技术研究发展计划( 8 6 3 计划) 资源与环 境技术领域重点项目“随钻地震应用技术研究( 2 0 0 6 a a 0 6 a 1 0 8 ) ”。 1 2 研究目的及意义 在随钻地震中，将钻头震动作为震源信号，钻头一直处在运动中，与此同时排 列持续接收地震波。要获得地下地质构造，需要准确的确定出某一时间剖面对应 的震源位置，因此需要一定的方法来确定震源位置。 在地震资料处理流程中，建立准确的空间属性是进行其他一切处理的前提。 但在野外施工中，由于受地表条件的限制，某些炮点的位置坐标无法精确测定， 或者炮点不能正常布设，致使这些物理点的实际位置与设计位置有所偏离。另外 从野外测量施工到最终输入计算机建立空间属性之间有多个环节，如测量定点、 钻井与放线施工、野外记录、室内整理及计算机输入等，某一个环节如果出现偏 差或失误，将会导致个别输入计算机的炮点的位置与实际位置不符。这不仅影响 动校正和叠加的精度，有时甚至会导致错误的结论。因此，在常规处理之前，必 须对输入到计算机的炮点位置进行检查和校正。陆上施工中，由于检波器小巧轻 便，比较容易布设到位，野外排列的布置也比较连续紧密，且当检波器铺设好后， 在同一个接收排列内，检波器基本保持不动。因此，对于陆上施工，主要对炮点 进行二次定位。在常规的地震勘探过程中，炮点的一次定位都是由g p s 来实现的， 但是野外施工中可能会出现一些特殊情况，无法对炮点进行准确的定位，此时就 需要通过其他的一些方法来实现炮点的二次定位【1 ，2 j 。 在进行地震勘探时，震源激发地震波，地震波场在波动方程的约束下传播到 排列，获得地震记录。排列接收到的就是一个地震波场信息，如果按照波动方程将 波场反向外推，使波场逐步收敛，最终波场会收敛到炮点，这样就可以确定出炮 点的位置，从而实现了炮点的二次定位。 基于波动方程的炮检点二次定位方法 基于波动方程的炮点二次定位研究的目的是通过深入学习波动方程及地震 波场理论，参考常规地震中偏移成像技术的原理，应用波动方程将波场反推到震 源点，确定出震源的位置，并能获得一套成功的方法及程序设计，将其应用于实际 资料能得到良好的效果。它的意义在于提出了一套新的炮点二次定位的方法，对 丰富炮点定位理论是一种补充。它的特点在于只需通过单炮的地震记录就可以确 定出炮点的位置，所有过程由软件程序实现，所需的额外投入较少，在实际生产 中能节约资金、减少成本。 海上地震勘探中，在进行浅海过渡带地震资料采集时，放缆船按照导航系统 的指令，根据设计的检波点的坐标和位置进行电缆的铺设和放置。在把电缆和检 波器沉放到海底的过程中，由于受潮汐、海浪、海流的冲击和影响，电缆和检波 器到达海底的位置都会与理论设计位置存在较大偏差。这种偏差的不确定性对最 终采集资料的影响很大，必须通过一定的方法获得检波点在海底的真实位置。如 何获得检波点的实际沉放位置，便成为浅海过渡带地震勘探的一个必不可少的环 节，由此产生了海上检波点的二次定位技术i 引。 基于波动方程的检波点二次定位研究目的是在深入学习、理解波动方程及波 场理论的基础上，获得一套通过对地震波场正向外推，得到一定时间后波场传播 的情况，从而推断出检波点的实际位置的方法，并在此基础上形成一套完整的基 于波动方程的检波点二次定位程序，将其应用于模拟和实际数据能准确的实现检 波点二次定位。研究的意义是基于波动方程的检波点二次定位方法是对目前已有 的检波点二次定位的一种补充，它基于波场理论，通过波场的外推即可实现，具 有可靠的理论依据。目前波场理论主要应用于常规地震的偏移成像，基于波动方 程的检波点二次定位是对波动方程和波场理论的一种新的应用。 1 3 国内外研究现状 当前炮点一次定位主要依靠g p s 实现，然而由于各种原因出现炮点一次定位 不准确时就需要进行炮点的二次定位。 地震数据预处理中，存在许多炮点位置的校正方法，其中有一种主要基于滑 动平均理论的方法。其具体做法是：首先，对近地表的介质速度进行求取并对其 进行平滑，进而，对于输入到计算机中的原始炮检点二维坐标文件应用最小二乘 2 基于波动方程的炮榆点二次定位方法 拟合原理找到炮检点间的数学关系，最后，应用求得的炮检点所对应的几何关系 来对原始的炮检点数据进行校正。而对于三维地震资料，则依然是基于滑动平均 法对近地表的介质速度进行求取并进一步对其进行平滑，最后归结为利用所求取 的速度及应用高斯迭代法对三维炮点坐标数据进行计算，进而求得准确的炮点坐 标，实现炮点的二次定位【。除此之外，。逛点。二；欠定位还可通过迭代计算法和经 验估算法来实现。迭代计算法是利用单炮记录的初至信息对炮点位置进行校正。 当野外炮点和检波点的位置同时偏离时只要大部分检波点的位置准确，就可使 炮点位置基本收敛到真值，对于存在地形高差起伏的情况，如果只是短波长的静 校正问题，则一般不会影响炮点位置的准确收敛；但当存在长波长静校正问题时， 则有可能使炮点位置收敛到一个错误的值。经验估算法是根据初至拉平后单炮记 录的初至时差，直接估算炮点偏移的距离，这是一种比较简单的方法【羽。 在海上地震勘探作业中，确定精确的接收点和炮点位置，对保障勘探精度十 分重要，它直接关系到地震资料质量的好坏。由于海底电缆作业本身的特殊性， 海底电缆采集作业的定分为一次定位和二次定位。一次定位是指在放缆船到达设 计检波点位置时，由g p s 得到的检波点入水位置，但此时的位置和检波器到达海 底的实际位置不能等同1 3 j 。在海底电缆地震采集作业中，当水深超过5 m ，潮水流 速超过l 节时，海底检波器的实际位置与下抛检波器时在水面实测的定位位置相 比会有较大的位移。随着水深和潮水速度的增加，位移也随着增加。在这种情况 下不进行二次定位将大大降低勘探精度，甚至使采集到的资料毫无使用价值，因 此采用二次定位系统对已沉入海底、相对稳定下来的海底电缆检波器进行定位是 非常有必要的。现有的海底电缆二次定位系统主要有声波定位系统和初至波定位 系统【4 5 1 。 声波定位系统是一种测距定位系统，或者说是一种圆圆定位系统1 6 】。在地震 采集作业时，每道检波器上安装有一个声波接收器，当从地震船上发射的声波信 号经海水传播被声波接收器接收到时，定位系统将记录下包括炮点坐标、开始发 射信号的时间和接收到声波信号的时间等数据。每个检波点通常都可接收来自一 系列炮点的声波数据。在每条炮线作业完成后，这些数据经声波定位系统软件进 行统一计算处理，得出该条测线上所有足够多有效数据的检波点( 也就是能得到 唯一解的检波点) ，再进一步算出其坐标值，即二次定位的坐标值。理论上，各 检波器接收的有效信号个数越多，二次定位精度越高。影响声波二次定位系统质 3 基_ f 波动方程的炮检点二次定位方法 量和精度的指标有两个：一是采收率；二是定位偏差。采收率是指在一条测线上 声波二次定位解算合格的检波点的个数与该测线上所有检波点数之比。采收率越 高，二次定位质量越好【7 1 。 初至波二次定位系统是近年来才引进的海底电缆二次定位系统【8 1 。由震源激 发不经过地层界面反对焉直接传播到检波器的波称为初至波或直达波。初至波二 次定位系统的主要原理是根据地震波在海水中的传播速度( v ) 及接收点( 检波器) 接收到初至波的时| 自j ( t ) ，计算出炮检距s ( s = v t ) 。根据多点( 一般大于3 ) 测距后 的圆圆定位原理进行定位，确定各检波点位置，这与声波二次定位的原理是一致 的，但初至波定位系统确定出检波点位置后，便可利用检波点坐标位置计算炮点 坐标。把炮点坐标与现场d g p s 定位的炮点坐标进行比较，如果精度达不到要求， 则重新拾取初至，人工校f 初至的拾取，这样也检验了检波点定位的精确性【9 1 。 初至波二次定位系统中最关键的就是初至的拾取，初至拾取直接影响到二次定位 的精度。现在各种初至拾取软件主要利用人工检测法、相关法、峰值检测差分法、 人工智能自动拾取和约束初至拾取等方法进行拾取【1 0 1 1 1 。声波二次定位系统和 初至波二次定位系统各有特点【1 2 l ，两者的特性与误差来源比较如表卜1 和卜2 所 示。 表卜l 声波二次定位系统与初至波二次定位系统特性比较 声波二次定位系统初至波二次定位系统 有采收率问题，有解算空白点无采收率问题，无解算空白点 3 d 作业距电缆线横向距离超过2 0 0 m 将3 d 作业距电缆线横向距离可达5 0 0 m ，但 无法正常工作也不能过大 计算精度基本等于初至波的拾取精度， 计算精度为1 m ，系统精度小于3 m 约小于5 m 最大接收距离取决于折射波对初至波 最大接收距离为8 0 0 到1 0 0 0 m 干扰情况，一般可达到1 2 0 0 m 以上 有硬件设备，需专用声波检波器，费用无专用硬件设备，与工作站结合使用， 向软件费用低 计算方式为全自动化，无手动计算方式为自动与手动相结合 4 基于波动方程的炮检点二次定位方法 表卜2 声波_ 二次定位系统与初至波二二次定位系统误差米源比较 声波二次定位系统初至波二次定位系统 从主导航系统带来的声波探头系统误从导航系统带来的震源中心系统误差 差5m 5m 声波系统计算精度为l m初至波拾取误差为5 m 由于风流作业，使炮缆羽角造成的炮点 声波探头位置推算误差为1 m 误差 实际震源组合中心与理论震源组合中 声波速度选取误差 心的误差 在实际应用中，声波和初至波二次定位都存在一定的局限性，声波二次定位 方法数据采集慢且回收率低，影响生产效率。声波二次定位是一种只能由记录的 炮点位置推算检波点位置的定位系统，无法利用此系统对推算出的检波点位置的 准确性进行验证。初至波二次定位虽然能够实现对检波点的检验，但需要人工拾 取初至波，增大了工作量，同时，在有些地区难以拾取出初至波，这就无法利用 其进行二次定位【1 2 1 6 1 。 目前海底电缆二次定位技术主要是依靠声波、直达波实现。当海水较深时， 初至波主要为通过海水传播过来的直达波；当海水较浅时，检波器接收的初至波 为通过海底传播的折射波，如图卜2 所示。并且在部分地区，折射波比较发育， 直达波难以准确拾取，引起漂移校正误差较大，甚至失败，因此可用折射波对检 波点漂移进行校正，实现检波点二次定位【1 7 1 。其原理同直达波定位相同，也是圆 圆定位的原理，所不同的是它拾取的是折射波而非直达波。 图卜2 直达波与折射波关系 5 基于波动方程的炮检点_ 二次定位方法 总体上，检波点的二次定位方法分为声波定位和初至波定位两种。声波定位 法定位准确，但设备昂贵，并且影响现场施工效率；初至波定位法设备投入很少， 现场施工效率高，但数据处理工作量大且定位精度较声纳系统低。倪成洲等提出 了一种高精度初至波二次定位新方法搜索法【1 8 】。圆圆定位方法要获得较高的定 位，就需要在算法中考虑由于圆的位置关系而产生的定位误差，并且必须要对参 加圆圆相交运算的圆进行精细的筛选，这样就降低了圆圆定位的运行效率。在地 震资料采集野外施工过程中，技术人员通过对炮记录做线性动校正，一方面，通 过观察初至位置可以判断检波点位置是否准确；另一方面，在检波点位茕正确的 情况下，通过分析初至拉平效果来判断炮点位置是否正确。由于在浅海过渡带地 区地震资料数据采集的炮点位置是准确的，若初至拾取的速度也是准确的，那么 线性动校正后初至应该拉平。因此可通过对道集数据做线性拉平，通过分析初至 拉平效果来判断检波点位置的正确性。搜索法的实现思路是：在检波点的一次定 位点附近区域的网格中找到初至拉平效果最好的网格节点，这个点就是要求取的 检波点的二次定位点。具体实现可分为三个步骤：首先，以检波点的一次定位位 置为中心，分别向四周划线，形成网格；然后，将每个网格节点坐标( x ，y ) 假 设为检波点的位置坐标，对道集数据做线性动校正：最后，通过分析各个网格节 点所做的线性动校正的初至拉平效果，找到初至拉平效果最好的网格节点，该网 格节点的位置就是检波点的二次定位点的位置。 1 4 研究内容及技术路线 本文围绕炮检点二次定位进行研究，通过模拟数据和实际资料进行了验证。 具体来说，本文可以分为以下几个部分： 1 分析研究波动方程及地震波场，深入理解波场传播机制和波场外推算 法，并将其与炮点、检波点二次定位相结合。 2 陆上炮点的二次定位主要通过波场的反向外推来实现，在进行波场的 反向外推时参考了常规地震偏移成像技术，因此对地震偏移成像技术 进行研究，并将克希霍夫积分法和有限差分法作为研究的重点。由于 克希霍夫积分算法的灵活性，在炮点二次定位波场外推中采用克希霍 夫积分法。在此基础上研究通过波场外推来实现炮点二次定位的具体 6 基于波动方程的炮检点二次定位方法 实现方法，编写炮点二次定位的程序。 3 在波场反向外推中，许多参数对波场的收敛有着明显的影响。在克希 霍夫积分法外推波场中，信噪比、速度等对波场收敛有着显著影响， 文章对这些影响因素进行了对比分析研究： 4 检波点的二次定位主要应用于海底电缆毒上硷；支点的二次定位与炮 点二次定位不同，它是通过正向外推波场来实现的。在研究了波动方 程和波场外推算法后，将波场正向外推应用于检波点二次定位，从多 个炮点位置进行外推来获得检波点的实际位置。在具体实现中仍旧采 用克希霍夫积分法进行波场外推，在此基础上形成一套完整的检波点 二次定位的方法和程序，并能准确的实现检波点二次定位。 根据本文的研究目的和研究内容，采用的技术路线如图卜3 所示。 图卜3 技术路线图 7 1 5 主要创新点 本文的创新点主要包括： 1 对地震波场及波动方程进亍了深入研究，在此基础上将波场外推应用于 炮检点二次定位。炮点和睦；支点二次定位利用波动方程通过波场外推来 实现，这是一种新的炮检点二次定位方法，是对已有炮检点二次定位方 法的一种补充。同时，它基于波动理论，是波场外推的一种新的应用。 2 本文在深入研究波场外推的基础上，形成了一套完整的基于波动方程的 炮检点二次定位的方法，将其应用于模拟和实际地震资料，得到了良好 的效果。 8 基于波动方程的炮榆点二次定位方法 2 地震波场特征 2 1 波动方程原理 “波动”实际上是弹性体内相邻质点i 剐的应力变化，从而引起质点l 剐应变的 传递，因此需要研究在应力不平衡时的状态方程。选取微小的六面体，如果让作 用在每个面上的力由作用在这个面中心的应力乘上它的面积来表示，那么在应力 不平衡的情况下，这个面到另一个面的应力分量就要发生变化。这些变化如图2 1 所示。如果小六面体上除了作用有应力以外，还作用有如重力那样的体力f ，且 这些体力在三个轴上的分量分别为x 、y 、z 。作用在x 轴方向( 先只考虑x 轴方向) 各面力和体力之和应等于小六面体的质量m 和位移u 对时间二次导数的乘积。于是 按图2 一l 便有： ( + 等蚴出一批+ ( + 鲁方) 砒一砒慨+ 等出) 蚴 一。d x d y + x p d x 由d z 一蝴d z 等 式中：脚如一朋，表示小六面体的质量；p 为介质的密度。化简上式，可得： p 軎。等+ 鲁+ 等+ 从 p 1 ， 同理可得到沿y 轴及z 轴的运动方程： p 鲁。孥+ 孥+ 孥+ ( 2 2 ) p 矿。言+ 言+ 苫+ 【玉矽 p 害。冬+ 孥+ 冬+ 胆 ( 2 - 3 ) p 矿2 言+ 苫+ 寻+ 胆 【玉3 ) 将六个应力分量值代人上面三个方程式便可得到均匀各向同性完全弹性介质中 波的运动方程： p 争川训警川2 “+ p 害= q + ) 芳+ 胛2 u + p 軎川训警+ 胛2 + 胆 9 ( 2 4 ) 基于波动方程的炮榆点二次定位方法 式中： 日为体变系数： v 2 一告+ 熹+ 吾觑a v 瑟 臼；罢+ 票+ 粤；+ p 矽+ e 。执“ 6 ；+ + = e 一+ p + e ，# 日z v “ a xa va z ” “ 式( 2 4 ) 是用分量形式表示的运动方程，最后可以合并成向量形式表示为： p 窘= q + ) g 阳d 口+ 胛2 “+ = ( 从肛) g r 口删伽+ 胛2 “+ 矿 ( 2 - 5 ) 由于d 如g 厂口d 日s v 2 口，因此，式( 2 5 ) 变为。 粤一业v 2 口勘订 ( 2 6 ) 以 p 、 令= ，d f z l ，将上式整理后可得： 害一丝v 2 ：r d ( 2 7 ) m j p 、j 式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 分别说明，在二种不同性质的外力作用下，弹性介质产生二 种不同性质的“扰动”。对于一个向量的散度和旋度在弹性介质中的具体物理意 义分析可知，d i v f 表示的是一种胀缩力，而r o t f 表示的是一种旋转力。式( 2 6 ) 描述的是在胀缩外力d i v f 的作用下，介质仅产生由体变系数口决定的胀缩扰动： 式( 2 7 ) 描述的是在旋转外力r o t f 作用下，介质产生由- r d 加决定的形变扰 动。 图2 一l 微小六面体应力分量 1 0 y 基于波动方程的炮榆点二次定位方法 嚣，麓z 翁淼， 亿8 ， f = 巴+ f ；g r 口d m + 厂o f vl 、 7 誓一业v 2 9 ：m ( 2 9 ) a t z p 。 、。 要一丝v 2 妒。v ( 2 1 0 ) a t 。p 。 、。 若令巧；生坐；咋，丝，则式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 可以写为 pp 嚣_ p 圳 警一蟛v 劲州l 害一巧v 2 驴一。 鲁一巧v 劫一。 ( 2 1 2 ) 由式( 2 1 1 ) 描述的波动方程是线性方程组，因此具有线性微分方程的性质。 如果激发力位为西。时，其解为；激发力位为：时，其解为仍，则巾。+ m ：的 解按线性叠加原理应为吼+ 仍。对于力位l 王，和位移位妒也有同样的结果。这说明 如果介质中存在有由各种原因所造成的扰动，则每一个扰动都和另一个无关，而 1 1 荩于波动方程的炮检点二次定位方法 介质中总的扰动可以作为每一个单独扰动之和而求得。 求解式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 还必须有初始条件和边界条件。初始条件就是在 时间t = o 时刻，在整个空间中，位垆及其对时间的编微警是已知的，即： 妒 、小z 、f ) i r - 0 = ，( 工、卜二) 1 旦兰堕查二剖：g ( z 、少、z ) q _ 1 3 ) 函 l f l 0 一 。 。i 式中：，o 、弘z ) 和g g 、nz ) 是己知函数。边界条件就是在所研究弹性介质的 边界上，位舻随时间的分布是已知的。有了具体的起始条件和边界条件就可以解 波动方程，从而进一步研究弹性波动的传播特点和性质【1 9 】。 在研究具体问题时，仅求解波动方程是不够的。波动方程所反映的是关于波 传播的普遍规律，因而可能存在多种形式的解。只有在附加上某些条件之后，才 能确定某个具体的解的形式。这些附加条件称为定解条件，定解条件包括初始条 件和边界条件。初始条件指的是介质在某个初始时刻所处的物理状态，一般以t = 0 时刻的位移和运动速度形式给出。边界条件指的是介质边界上所处的物理状态， 一般以边界上介质的位移或应力或它们的混合形式给出【2 0 1 。 球面波是地震勘探中接触最多的一种波，这种波以球面的形式在介质中传 播，即在垂直于波传播方向的任一球面，各点的振动是相同的，或者说波面为球 面。由于球面具有球对称性，因此使用球坐标系来讨论( 图2 2 ) 。直角坐标 ，y ，z ) 和球坐标( ，9 ，口) 具有如下关系式： x 一，s i n 口c o s 9 1 y 一，s i n 日s i n 妒 ( 2 1 4 ) z = ，c 。s p j 相应地，球坐标系中体积元的表达式为： y 一，2s i n 趾弘妒 ( 2 1 5 ) 在球坐标系中，v 2 厂变为： v 2 厂一軎+ 睾+ 軎一等弓誓+ 砉等+ 等等+ 赤等陆峋 。a x z a y z a z za ，z，a r，za 口2 ，z a 口 ，zs i n z 舻a 妒z 、7 由于波函数f 具有球对称性，所以f 只依赖于坐标r 而与目和驴无关，这样可写成： 厂一厂( ，f ) 幕于波动方程的炮榆点二次定位方法 对这样的函数，只保留式( 2 1 6 ) 右端的前两项就够了，即； v 2 ，= 軎专芸 代入波动方程： v 2 厂一专軎= o 得： 軎专善一古軎= oa r 2 ra ry 2 8 t 2 令g ( ，f ) = r 厂( r ，f ) ，得： 驾一三粤，o a ，2y 2a f 2 。 其通解为： g ( ) = p 一争+ 厂2 0 + 号) 由此可得球面波的波函数为： ，( r ，f ) 一吾g ( r ，沪吾肿一争+ 吾肿+ 号) ( 2 彻 rryry 式( 2 1 7 ) 第一项代表一个沿向外传播的球面波，称为发散波；而第二项代表 一个沿着一向里传播的球面波，称为会聚波，球面波的振幅随传播距离的增大 而赫。 z 图2 2 直角坐标和球坐标 1 3 慕于波动方程的炮榆点二次定位方泫 2 2 地震波传播规律 地震波是按照球面波的形式进行传播的，随着波前面的不断扩大，振幅随距 离的变化呈反比衰减，即： 4 ；鱼( 2 1 8 ) r 地震波在均匀介质中传播时，可以假设波前面是一个以震源为中心的球面， 随着传播距离的增大，波前球面不断扩张，震源发出的总弹性能逐渐分散在一个 表面积不断扩大的球面上，单位面积上的能量密度逐渐减小，振幅不断减弱。地 震波在传播过程中，如果遇到反射界面会按照佐普里兹方程发生折射和反射。 由佐普里兹( z o e p p r i t z ) 方程： f s i n 积即+ c o s 肚芦一s i n a + c o s 乙一一s i n 口 l c o s 础刀一s i p 屈r 矽+ c o s 口砀+ s i l l 乙一c o s 口 c o 蛇肚即一嚣s 血2 邱脚一告等c o 蛇一舄篡嫡舵一c o s 2 ( 2 _ 9 ) 睁舵”啊蛇即畿咖2 一警c o s 2 。净2 a 可得各个位移反射系数和透射系数的表达式。、砧、乙和墨分别以位移振 幅表示p 波反射系数、s v 波反射系数、p 波透射系数和s v 波透射系数。式中除包含 有介质的物性参数n 、见、屹，、匕z 、k ，、k ：外，还包含有入射角a ，反射角 p 及透射角口和卢。但所有的反射角和透射角都可根据斯奈尔定律写成入射角 口的函数。因此，反射系数和透射系数实际上是由入射角和介质的参数决定的。 反射系数和透射系数的函数形式很复杂，不便进行分析，一般才采用作图的方法 来研究它们与各个量之间的关系。在所有的情况下，反射p 波和反射s v 波的反射 系数都随着入射角口而显著地变化。在： 匕。的情况下，纵波具有临界角 口。一a r c s i n ( 巧。：) 。当入射角口 口。时，又减小， 这时的反射系数是复数。 地震波在传播过程中满足费马原理，即波在各种介质中的传播路线，满足所 用时间为最短的条件。如图2 3 所示，波从一点p 传播到另一点q ，途中经过的介 1 4 基于波动方程的炮柃点二次定位方法 质可能是均匀的，有分界面的，或者是完全不均匀的。图中的实线代表波在传播 中的实际路线，而虚线则代表任意画的另外几条曲线，也就是假想路线。波沿着 实际路线传播时所用的时间，比沿假想路线传播时所用的时间要“短”。 图2 3 费马原理示意图 物理地震学认为，地震波是一个波动，不能简单地将其看成为沿射线传播。 地震波从震源出发，以球面波的方式向下传播，到达反射界面s ，s 可以看成由 许多小面积元监组成，当s 的大小线度接近地震波的波长时( 地震波的波长一 般为7 0 1 0 0 m ) ，可以看成是一个绕射体。根据惠更斯二次震源原理，把每个小 面积元看作是一个新的点震源，从新震源发出的一系列球面波向四面八方传播， 对地面上某个接收点p 来说，它所接收到的反射波就是来自s 面上每个小面积元 产生的绕射波在p 点的叠加结果。具体说，就是将这些小面积元产生的绕射波按 传播路程差在时间上错开，并在考虑能量大小后叠加起来作为在p 点接收到的反 射波。常规地震偏移成像技术就是利用地震排列接收到的地震反射信息进行波场 外推，得到绕射面元的真实位置【删。 2 3 波场外推 2 3 1 波动方程波场外推 基于波动方程的炮点二次定位与常规地震偏移成像相似，都需要通过波场外 推来实现炮点或者绕射点的位置。地震偏移成像中为了使用波动方程公式进行波 场外推，一般是把波动方程分解为上行波方程和下行波方程。这是由于波动方程 般式既满足上行波也满足下行波。在偏移成像中使用的是上行波方程。 波动方程有两个解，一般表示为 e x p 【一f o 厂) 】，其中r 是从源到观测 点的距离，是正实数。在地震勘探中一般取深度方向向下为正z 的方向。向正z 基于波动方程的炮榆点二次定位方法 方向传播的地震波称为下行波，用 e x p 【一f p 一，矿) ，表示。向负z 方向传播的 波为上行波，用 e x p 卜i o + r ，) 】 ，表示。为了利用波动方程外推波场要求把 它分解为上行波场方程和下行波场方程，然后才能利用它们进行波场外推【2 1 】。 由于地震研究的主要是纵波，因此，可以用声波方程来j 弋骜弹性波方程。h 和缈为x 和z 方向上的质点位移速度的分量，p 为压力，p 为分质密变，k 为压缩 系数。根据牛顿第二定律和h o o k e r 定律可得： d “ 亡i p p i 一二 秕a x a m8 p p j 一二 8 ta z 粤。一k ( 罢+ 等) + s ，z ，f ) a t 、a x 8 z 。 、jj + ( 2 2 0 ) 式( 2 2 0 ) 中s 为外力源。假设k 和p 只是深度z 的函数，而在x 方向保持不变。 对式( 2 2 0 ) 进行二维傅罩叶变换后用分步积分式可分别求出各个积分的结果， 从而得到式( 2 2 0 ) 的频率一波数域的表达式： 式中： c 【p ( z ) 厉一一七：f f 印( z ) 历。一罢 d z f n 痧。一k ( z ) ( 旅，历+ 罢竺) + f 磊| 蠢啦x ，z ， 历。历 ，z ，) ， ( 2 - 2 1 ) 歹一歹( 尼，z ，) ， f f 0 l ，z ，缈) 历，历，f 和歹是“g ，z ，f ) ， ，z ，f ) ，p o ，z ，f ) 和s o ，z ，f ) 函数的频率一波数 域表达式。经过一系列的变化后得到上行波疗和下行波孑的关系式： 芝【薹 a 【警一三6 【薹 一丢詈丢( 鲁) 【二? 】 薹】c 2 - 2 2 ， 从式( 2 2 2 ) 可以看出，介质常数即使只有深度方向的变化时，也存在上行 波和下行波的耦合项。如果介质为常数，与z 无关，则可去掉第二项，得到均 1 6 基于波动方程的炮榆点二次定位方法 匀介质条件f 上行波和f 行波的分呙万程为： 垌2 瞄捌习 p 2 3 ， 式中： 口6 = ( 鼍季一七2 ) j 一尼： 而矿z ；竺( v 是波的传播速度) ，七，表示深度方向上的波数。因此上行波方程可 写为： 警咄汹恪历 ( 2 _ 2 4 ) 口m ，f 一，2 ，、 4 z 庀“一z 1 f j 一庀二“i z z q ) ， z 、， 讹 yv 。 下行波方程可写为： 譬一蛳；f 悟一孑 ( 2 - 2 5 ) 出 2 vv 2 4、7 式( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 与把波动方程在频率和波数尼，域直接推导出来的上行 波与下行波方程是一致的。 在分析了频率波数域的上行波和下行波方程的分解后，为了把上行波方程 和下行波方程表示在时间一空间域中，需要把式( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 中的根式展 开，然后返回到时间一空间域中去掉相应的上行波和下行波表达式。 无论上行波还是下行波都可以用数学手段进行外推，外推方向可以是正向 的，也可以是反向的。正向外推就是根据波在当f j i 位置上的震动情况向波的自然 传播方向用计算手段预测出波场。反向外推是向波的自然传播方向的反方向上重 建原来的波场。这样对每一种波来说，不论是上行波还是下行波，都可以进行正 向和反向外推。 把上行波方程式( 2 2 4 ) 改写为： 譬。f 譬出 ( 2 _ 2 6 ) 了引1 丁础二出 u 艺o ) 对上式两边取积分，其积分限为z 和z + &