（光学工程专业论文）非严格周期光子晶体特性研究.pdf

南京邮电大学倾上研究生学位论文 摘要 摘要 介电常数不同的介质材料在空间中周期性排列的结构形成光子晶体。由于对光的折射 率呈周期性分布，在其中传播的光波的色散曲线会形成带状能带结构，称为光子能带。光 子能带之间可能出现带隙，即光子禁带。频率落在光子禁带中的光子，在某些方向上是被 严格禁止传播的，光子晶体能够控制光在其中的传播。如果在光子晶体中引入缺陷或局域 态就可能获取预期所需要的禁带结构，从而利用所需的禁带结构制作相应的高性能器件。 人为引入的缺陷和在制备过程中由于生长工艺等因素而产生的缺陷或局域态改变了光子 晶体的严格周期结构，这样的光子晶体称之为非严格周期光子晶体。研究非严格周期光子 晶体的结构参量与特性参量间的变化规律对光子晶体的应用，特别是光子晶体及其器件形 成一定的生产规模时，对光子晶体及其器件的制造、设计和性能控制都具有较高的指导意 义和实用价值。 论文首先结合平面波展开法和时域有限差分法( f d t d ) 计算和分析光子晶体的带隙结 构、模场分布和传输特性。然后，为了进行对比，论文对严格周期光子晶体的结构参量和 特性参量的关系进行仿真计算和分析。论文着重对多种非严格周期结构光子晶体分别进行 仿真计算和分析；通过计算分析了在周期结构中部分介质柱的结构参量的改变( 如介质柱 的半径，曲率，宽度等) 引起的特性的变化规律：研究了光子晶体结构中存在点缺陷、位 错、晶格常数失配、格点形变、中心结构形状以及折射率分布发生变化的多种非严格周期 情形；通过对大量抽样点的仿真计算绘制相应图形和表格，得出非严格周期光子晶体结构 参量的变化与光子晶体特性之间的关系，对相应结论作了分析，并对其可能的应用提供了 设想。论文晟后从新材料、新结构对光子晶体的应用作了展望。 关键字：光子晶体，非严格周期，光子带隙，缺陷，平面波展开法，时域有限差分法 南京邮电大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t a b s t r c t p h o t o n i cc r y s t a li sd e s i g n e db yt h em e d i u mm a t e r i a lw i t ht h ep e r i o d i c a l l ys t r u c t u r ei n s p a t i a l t h er e f r a c t i v ei n d e xo ft h em e d i u mi sp e r i o d i c a l l yd i s t r i b u t e ds ot h a tb a n ds t r u c t u r ei s f o r m e di nt h ed i s p e r s i o nc u r v eo ft h el i g h tw h i c hc a nb ec a l l e de n e r g yb a n d s p h o t o n i cb a n dg a p i se x i s t e db e t w e e nt h ee n e r g yb a n d s i ft h ef r e q u e n c yo ft h el i g h tb e l o n g st op h o t o n i cb a n dg a p ， t h el i g h tw i l lb es t r i c t l yf o r b i d d e nt ot r a n s m i t a sar e s u l t ，t h ep h o t o n i cc r y s t a lc a l lc o n t r o l t r a n s m i t so ft h el i g h tw h i c hi si ni t i fd e f e c t sa n dl o c a ls t a t e sa r ei n t r o d u c e di np h o t o n i ec r y s t a l ， b a n dg a ps t r u c t u r ew h a ti sn e e d e dw i l lb eo b t a i n e d s e q u e n t i a l l ys p e c i a ld e v i c e sc a nb em a d e c o r r e s p o n d i n gt h o s es t r u c t u r e sw i t hd e f e c t s t h ep e r i o d i c i t ys t r u c t u r ei sc h a n g e db ya r t i f i c i a l d e f e c t sa n dl o c a ls t a t e si n d u c e dd u r i n gf a b r i c a t i o n , w h i c hc o n s e q u e n t l yb ec a l l e dn o n r i g o r o u s p e r i o d i c i t yp h o t o n i cc r y s t a l i ti si m p o r t a n tt or e s e a r c ht h er e l a t i o nb e t w e e n s t r u c t u r ep a r a m e t e r s a n dc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r so fn o n r i g o r o u sp e r i o d i c i t yp h o t o n i ec r y s t a l t h o s er e l a t i o n s h i p s a r eu s e f u li nf a b r i c a t i o n ，d e s i g na n dp e r f o r m a n c ec o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r , b a n dg a ps t r u c t u r e ，m o d u l ef i e l dd i s t r i b u t i n ga n dt r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i co f p h o t o n i cc r y s t a la r ec a l c u l a t e db yp l a n ew a v ee x p a n d i n gm e t h o da n df d t d f o rc o n t r a s t ，t h e r e l a t i o n sa r ee m u l a t e db e t w e e ns t r u c t u r a lp a r a m e t e ra n dc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e ro fp e r i o d i c a l p h o t o n i cc r y s t a l t y p e so fn o n r i g o r o u sp e r i o d i c i t yp h o t o n i cc r y s t a la r ee m p h a s i z e d s t r u c t u r e p a r a m e t e r s ( s u c ha sr a d i u s ，c u r v a t u r e ，w i d t h ) i np a r to fm e d i u mc o l u m na r ec h a n g e da n d a n a l y z e d a sn o n - r i g o r o u sp e r i o d i c i t y , p o i n td e f e c t ，d i s l o c a t i o n ，l a t t i c em i s m a t c h e d ，d i s t o r t i o na t c r y s t a ll a t t i c ep o i n t ，c e n t r a ls t r u c t u r es h a p ea n dr e f r a c t i v ei n d e xd i s t r i b u t i n ga r es t u d i e d f i g u r e s a n dt a b l e sa r ea c h i e v e db ye m u l a t i o nw i t hl a r g en u m b e r so fs a m p l ep o i n t t h ec o n c l u s i o n s b e t w e e ns t r u c t u r ep a r a m e t e r sa n dc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r so fn o n r i g o r o u sp e r i o d i c i t yp h o t o n i e c r y s t a la r ed i s c u s s e d s o m ea p p l i c a t i o n sa r ep u tf o r w a r du p o nr e s u l t s i nt h ee n d ，n e wa p p l i c a t i o n i sf o r e c a s t e da b o u tt h ep h o t o n i ec r y s t a lu p o nn e wm a t e r i a la n dn e wc o n f i g u r a t i o n k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l ，n o n - r i g o r o u sp e r i o d i c i t y ，d e f e c t ，p h o t o n i cb a n dg a p ，p l a n ew a v e e x p a n d i n gm e t h o d s ，t h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n 南京邮电大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：丝丝绥日期：2 1 笪兰塑乡矿 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送 交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论 文。本文电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。 论文的公布( 包括刊登) 授权南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名：当丝尘鱼导师签名：鎏! 塑呈 日期：2 。绛乒月刀庐 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 第一章绪论 二十一世纪是光电子时代，研究人员开始尝试利用光子取代电子推动光电子器件向更 高速度和更强大的功能方向发展。研究表明，与电子带隙类似，某些物质结构中可以存 在一个禁止光子穿过的频率区间，称为光子带隙。我们知道，电子的带隙是由于原子在半 导体中周期性排列而产生的。与电子带隙产生的原因相类似，光子的带隙是由于电介质物 质的一种有规则的排列周期性结构而产生的。这种利用电介质物质制作的具有光子带隙的 结构，我们称为光子晶体。 光通信具有巨大的传输带宽，极低的传输损耗，可抗强电磁干扰，不向外辐射电磁场。 目前光信息处理技术尚不成熟，为解决通信系统中的“电子瓶颈 问题，光子晶体迅速成 为人们研究的热点。光子晶体的最大特点是存在光子带隙，频率落在光子带隙的电磁波不 能在光子晶体中传播，因而具有阻光性，能够很好的控制光在介质中传输。光子晶体及其 期间在光通信系统等很多领域有着广泛的应用。 实际应用和制备光子晶体中，常对应于结构不是完整周期分布的光子晶体，即本文所 研究的重点：非严格周期性光子晶体，分两种情况研究。第一种非严格周期，是与光子晶 体局部介质柱的结构参量有关，介质柱或空气柱的半径、曲率等结构参量的变化( 即光子 晶体晶格形变) 而引起的性能参量变化，通过数值计算方法得出这种非严格周期性能参量 和结构参量间的关联性，同时通过传输仿真得出非严格周期光子晶体性能参数的误差极限 和生长参数是本文研究这种非严格周期的主要思路。第二种非严格周期与光子晶体局部结 构出现点缺陷、位错、晶格常数失配、中心结构形状和折射率分布发生变化等情况，这些 情况可能单独也可能并存。还未见相关的研究的报道，但当光子晶体及其器件形成一定的 生产规模时，这些结构问题会影响对光子晶体及其器件的制造、设计和性能控制，从而相 应的深入研究具有重要意义。 1 1 光子晶体的发现 1 9 8 7 年， y a b l o n o v i t c h 和j o h n 【2 3 ，4 ，】分别在讨论周期性电介质结构对材料中光传播行 为的影响时，各自独立地提出了“光子晶体 这一新概念。我们知道，在半导体材料中由 于周期势场作用，电子会形成能带结构，带与带之间有能隙( 如价带与导带) 。光子晶体的 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一苹绪论 情况其实也非常相似，如果将具有不同介电常数的介质材料在空间按一定的周期排列( 如 图1 1 ) ，由于存在周期性，在其中传播的光波的色散曲线将成带状结构，带与带之间有可 能会出现类似于半导体禁带的“光子禁带”。频率落在禁带中的光是被严格禁止传播的。 如果只在一个方向具有周期结构，光子禁带只可能出现在这个方向上。如果存在三维的 周期结构，就有可能出现全方位的光子禁带。我们将具有光子禁带的周期性电介质结构 称为光子晶体。绝大多数光子晶体都是人工设计制造出来的，但是自然界也存在光子晶体 的例子，如蛋白石、蝴蝶翅膀等。 团围圈圆 一，1 | 圯品f ：二糟光- t ：l t l f三婚光r 胁侬 图1 1光子晶体空间结构示意图 1 2 光子晶体的特征 光子晶体的最根本特征是具有光子禁带，落在禁带中的光是被禁止传播的。自发辐射 的几率与光子所在频率的态的数目成正比，当原子被放在一个光子晶体里面，而它自发辐 射的光频率正好落在光子禁带中时，由于该频率光子的态的数目为零，因此自发辐射几率 为零，自发辐射也就被抑制。反过来，光子晶体也可以增强自发辐射，只要增加该频率 光子的态的数目便可实现。如在光子晶体中加入杂质，光子禁带中会出现品质因子非常 高的杂质态，具有很大的态密度，这样便可以实现自发辐射的增强。光子禁带的出现依赖 于光子晶体的结构和介电常数的配比，般来说，光子晶体中两种介质的介电常数比越大， 入射光将被散射得越强烈，就越有可能出现光子禁带。影响禁带的存在还有一个重要因 素：晶体的几何结构。天然的具有完整禁带的三维光子晶体在自然界非常少，为了获取符 合我们要求的光子晶体，通过人工适当地改变些晶体的对称结构应该是一种可行而且实 际有效的方法。 光子晶体的另一个主要特征是光子局域【l 】。j o h n 于1 9 8 7 年提出在一种经过精心设计 的无序介电材料组成的超晶格( 相当于现在所称的光子晶体) 中，光子呈现出很强的 a n d e r s o n 局域【5 1 。如果在光子晶体中引入某种程度的缺陷和缺陷态频率吻合的光子有可能 2 南京邮电大学硕_ 土：研究生学位论文 第一章绪论 被局域在缺陷位置，一旦其偏离缺陷处光就将迅速衰减。当光子晶体理想无缺陷时，根据 其边界条件的周期性要求，不存在光的衰减模式。但是，旦晶体原有的对称性被破坏， 在光子晶体的禁带中央就可能出现频宽极窄的缺陷态。光子晶体有点缺陷和线缺陷， 在 垂直于线缺陷的平面上，光被局域在线缺陷位置，只能沿线缺陷方向传播。 点缺陷仿佛 是被全反射墙完全包裹起来。利用点缺陷可以将光“俘获 在某一个特定的位置，光就无 法从任何一个方向向外传播，这相当于微腔。表1 1 给出了光子晶体和半导体特性的比较。 从表中不难看出：光子晶体与半导体在物理上有惊人的相似之处，我们可以将半导体的研 究方法移植到光子晶体中。当然必须注意的是光子是玻色子，而电子是费米子。 表1 1 光子晶体和半导体特性比较 光子晶体半导体 结构不同介电常数介质的周期分布周期性势场 研究对象电磁波在晶体中传播电子的输运行为 玻色子费米子 本征方程 h 去v 肛，= 知，匕v b 一， 本征矢量电场强度、磁场强度：矢量波函数：标量 特征 光子禁带电子禁带 在缺陷处的局域模式缺陷态 表面态表面态 尺度 电磁波长 原子尺寸 1 3 光子晶体的应用 光子晶体有很多应用，比如：三维光子晶体天线【6 】；利用光子禁带对原子自发辐射的 抑制作用，可以大大降低因自发跃迁而导致复合的几率，设计制作出无阈值激光器和光子 晶体激光二极管；通过在光子晶体中引入缺陷，使得光子禁带中产生频率极窄的缺陷态， 可以制造高性能的光子晶体光过滤器、单频率光全反射镜和光子晶体光波导【7 】；如果引入 的是点缺陷，则可以制作成高品质因子的光子晶体谐振腔【8 1 ：而二维光子晶体对入射电场 方向不同的t e ，t m 偏振模式的光具有不同的带隙结构，又可以据此设计二维光子晶体 偏振片1 9 】，只要这两种偏振模式的禁带完全错开就可以获得单一模式的出射光，这种偏振 光具有很高的偏振度和透射率。 1 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 综合利用光子晶体的各种性能，还可以有其他更广泛的应用，如：光开关、光放大器、 光聚焦器等等。另外，如果用金属、半导体与低介电常数材料组成光子晶体以及无序光 子晶体，则都会因为其特殊结构而产生一些特殊性质，从而能够制造出一些新型光学器 件【l o l 。总而言之，由于光子晶体的特点决定了其优越的性能，因此它极有可能取代大多 数传统的光学产品，其前景和即将对经济、对社会发展产生的影响是不可限量的。因此从 实验室研究到工厂规模生产指日可待。 1 4 用于研究光子晶体的常见计算方法 由于光子晶体结构与普通晶体结构相类似，普通晶体的许多概念被移植到光子晶体的 需文献研究里，如能带、带隙、能态密度等。电子能带的许多处理方法也被延伸用于处理 光子能带。继y a b l o n o v i t c h 和j o h n 的开创性工作不久，有些人就尝试按照电子能带计算的 各种方法，如利用薛定谔方程来计算光子能带，但结论与试验结果不符。这是因为电子自 旋为1 2 的费米子，是标量波，而光波是自旋为1 的玻色子，是矢量波。因此，必须从麦克 斯韦方程组出发，在矢量波理论的框架里计算光子晶体的能带结构。常用的数值计算方法 有转移矩阵法( t m m ) 、平面波展开法( p w m ) 、有限元法( f e m ) 、时域有限差分法 ( f d t d ) 【1 1 1 。以下简要介绍这些方法。 1 4 1 转移矩阵法 用转移矩阵表示一个层面格点的场强与相邻层面格点场强的关系隋1 。假设在计算空间 中，同一个网络点层( 面) 有相同的态和频率。这样可以利用麦克斯韦方程组把场进行外 推。通过电磁场在实空间展开，将麦克斯韦方程组进行傅立叶变换、变形得到转移矩阵形 式，将问题转化为解本征值问题。这种方法计算低维( 一维或二维) 结构特别简单有效， 精确度也相当高。对于结构复杂的物体( 如三维) ，转移矩阵庞大，计算量急剧增加，很 难得到精确结果。 1 4 2 平面波展开法 平面波展开法是能带结构计算中很普遍的一种方法。1 9 9 0 年，美国的何启明、陈子亭 和s o u k o u l i s 小组n 2 3 利用平面波展开法第一个成功地预言了在一种具有金刚石结构的三维 光子晶体中存在完整的光子禁带，禁带出现在第二条和第三条能带之间。该方法是将电磁 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 场在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开，通过傅立叶变换，麦克斯韦方程组被化成本征 方程，求解该方程即得到光子的本征频率。由于光子晶体具有周期结构，它的本征值应该 是布洛赫波。这种方法的优势在于直接在频域内求解本征频率，比较简便、快捷、精确。 但当光子晶体结构复杂会因计算能力的限制而不能计算或难以准确计算。因此，要折衷选 择平面波数。 1 4 3 有限元法 有限元法“3 1 是一种有效而精确的方法，特别适用于几何结构或介电特性分布比较复 杂的情况，因此在集成光学，特别是在新型光波导期间的分析和研究上，越来越受到人们 的重视。虽然这种方法的计算程序一般复杂、冗长，但其各环节易于标准化，可以得到通 用的计算程序，且有较高的计算精度。但是采用变分公式和有限元展开式求解电磁场的问 题时，往往会有虚模即非物理解，它们与真正的物理界混合在一起，干扰了对物理解的寻 求；而且虚模的数量随着网格密度( 即总体矩阵的阶数) 的增加而增加，任何提高精度的 做法都伴随这增加虚模的烦恼。因此鉴别和消除虚模始终是有限元应用于电磁场计算的一 个重要课题。 1 4 4f d t d 算法 f d t d 算法由k s y e e 于1 9 6 6 年提出n5 埔j ，应用于电磁波传播、微波理论和技术、光 学技术等领域。该方法可以用于计算任意结构介质的电磁波传输问题，是一种非常通用的 方法。f d t d 算法将一个单位原胞划分成许多网状小格，列出网上每个结点的有限差分方 程，利用布里渊区边界的周期条件，同样将麦克斯韦方程组化成矩阵形式的特征方程。该 矩阵是准对角化的，其中只有少数的一些非零矩阵元，明显减少了计算量，节省了计算机 内存。该方法把光子晶体光纤看作绝热近似条件下。电磁场从初态缓慢变换到终态的过程。 由于采用差分法，f d t d 算法可以处理任意不规则边界面以及场在空间变化较大的问题。只 要时间足够长，都能逼近实际场分布。f d t d 算法应用广泛，但是由于计算量较大，需要较 高的计算机硬件支持。 f d t d 算法的主要优点是在运行过程中，可以记录网格点处的每个时间步场值，对记录 的场值做傅立叶变换就可以得到频率响应。这样便于分析光子晶体光波导的传输特性。其 缺点是没有考虑晶格点的形状，遇到特殊形状格点的光子晶体时，难以求得精确解。 南自邮电人学研究4 学女 * 一$ 绪论 1 5 本课题的研究现状和研究意义 光子晶体已有2 【) 多年的历史，其理论研究不断完善，形成了- - i q 蓬勃发展的新学科。 实验研究和产品生产也迅速发展。光子晶体在其实片j 阶段的特性的研究和利用目前还处于 相对缺失的状态，但是光子晶体光嚣件的生产却早已形成规模。图12 中是光子晶体微腔 激光器和光子晶体发光二极管的微结构照片。利用光子晶体的特性可人为引入缺陷如图12 ( c ) ，在样品制各中由于受工艺的限制有时不可避免地产生边界处的点缺陷如图12 ( a ) 或晶格形变或晶格失配，产生内部单个或多个点缺陷如图i2 ( b ) ，特别是在中心引入点 缺陷时中心附近的格点有较明显的形变( 改变了圆柱半径、曲率等) 如图l2 ( c ) 。这些结 构失去光子晶体完整的周期性，都属于非严格周期性光子晶体，其仿真计算和分析研究不 仅对光子晶体及其器件的制造、设计和性能挣制有指导价值而且仿真数值与实验数据的 比较，也可验证光子晶体现有理论的正确性，进一步得以完善。本文深入研究非严格周期 性光子晶体，具体内容安排如下： 一 瞥多个边界点缺陷 榔臌瑟黼鋈 栅腓“嵫 m 隶电 碗r 学艳z 第e 绪论 点缺 ( c ) 图12 光子晶体样品微结构图m l q 本文第一章是初步介绍光子晶体，第二章是深入研究平面波展开法和有限时域差分法 ( f d t d ) ，第三章是研究严格周期结构光子晶体部分特性，第四章是研究以图l2 结构为 样本的多种非严格周期结构光子晶体得出相应结论和规律并初步探讨非严格周期光子 晶体的应用价值，第五章是介绍光子晶体未来的发展动向。 本文重点内容在第四章，该章从研究非严格周期的结构参量与特性参量的变化规律的 思路出发，以图l2 所示的三种结构为非严格周期研究初始模型并将这三种结构人为的 分两大类：格点形变和结构形变，分别对其加以研究得 i 相应的结论，并对可能的应用提 供设想。 南京邮电大学硕上研究生学位论文第二章平面波展开法和f d t d 算法的介绍和应用 第二章平面波展开法与f d t d 算法的介绍和应用 近年来对于光子晶体的研究一般是研究二维空间的光子晶体结构，本章的主要内容是 介绍研究严格周期二维光子晶体的两种重要方法，本章分为两节，分别介绍研究光子晶体 的常用的两种方法( 平面波展开法和f d t d 算法) 及其原理和应用。 与实验理论相比，光子晶体的理论研究日趋成熟。常用的方法有有限时域差分法，传 输矩阵法，平面波展开法等等，这些方法各有所长，本论文中二维光子晶体的带隙结构和 特性的研究采用平面波展开法，而二维光子晶体的模场分布和光的传输仿真采用f d t d 算 法。这些研究方法是后续章节中研究和仿真的基础。 2 1 用平面波展开法计算二维光子晶体带隙结构 2 1 1 平面波展开法的原理 相较其他方法而言，平面波展开法汹卫2 2 1 的优点是没有引入假设条件，为带隙结构的计 算提供了一个稳定可靠的算法：编程简单直观，可以借助现有算法库中的傅立叶变换、求 解特征矩阵本征值等算法，为带隙计算提供了很大方便。本文对平面波展开方法进行详细 推导，计算了二维三角晶格带隙结构，并且指出其应用。 如果光子晶体处在无源空间，并且组成光子晶体的介质为各向同性无耗非磁性介质， 在空间中电磁场为时间谐振场的情况下，根据m a x w e l l 方程推出表征光子晶体的本征方程 为： v x 1 e ( r ) v x 日( ，) 】= ( c 0 2 c 2 ) 日( ，) ( 2 1 ) 其中，占( ，) 为相对介电常数，日( ，) 为磁场强度矢量，在光子晶体中均是空间位移矢量 ，的周期性函数j 彩为震荡频率jc 为真空中光速。因为磁场强度周期性分布，满足b l o c k 定理： h ( ，) = e x p ( i k r ) h ( r ) e k h ( r + r ) = j l z ( ，) ( 2 2 ) 其中r = 所l q + 小2 口2 + 口3 为格矢，口l ，口2 ，口3 为基矢，m 2 ，m 3 为任意整数。气 为垂直于波矢k 且平行于日的单位矢量。根据固体物理能带理论啦3 2 屯2 副，晶体的周期性结构 r 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章平面波展开法和f d t d 算法的介绍和应用 可以在倒空间描述。定义倒格矢g - t , b , + 1 2 6 2 + 厶6 3 ，6 i ，b 2 ，6 3 为倒格基矢，0 如，f 3 为 任意整数。并且，倒格基矢与正格基矢满足以下关系： 臼，q = 2 礁= 言篙 将j l ，( ，) 和l e ( r ) 在倒空间展开成为傅里叶级数： ( ，) = h ( g ) e x p ( i g r ) 去= l ( g ) e x p ( i i g 把( 2 3 ) 式代入( 2 2 ) ，可以求出h ( r ) 的表达式为： h ( 厂) = h ( g ，2 ) e x p ( ( k + g ) ，) e 2 一g ( 彳= 1 2 ) g ，a ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 把( 2 4 ) ，( 2 5 ) 代入( 2 1 ) 式，方程左边为： l h s = 一占- 1 ( q - g ) h ( g ，2 ) e x p i ( k + g ) ，】( 七+ q ) 【( 七+ g ) 七+ g 】 ( 2 7 ) g ，ag 方程右边为： r h s ：筹办g i ，2 ) e x p m + 瓯) ，h ， g f ，工 ( 2 8 ) f l = l 于e x p i ( k + g , 。) ，】对应不同的g 相互独立，所以上式中q = g f ，的各项系数相等，并由此 得到： 一s 一1 ( g 一g ) 乃( g ，州后+ g f ) ( 后+ g ) 气小g 】- 万0 ) 7 厅嘛，兄) 一g i f ( 2 9 ) 将式( 9 ) 写成矩阵形式，则有 雠e i ：袭e j 篆k ：嚣茗：裳e l 擞纵l h 以( g 害； = 撒l h ( g q , 暑 旺 i ，( 七+ q ) ( + g i ) ，一( 七十g ：) ，( 七+ q ) j ，2 ) j c 2 ，2 ) 方程( 2 1 0 ) 是个典型的矩阵本征值问题，在实际的计算过程中，当g f 取n 个值时， 式( 2 1 0 ) 是个含有2 n 个未知量的2 n 维方程组，系数矩阵为2 n 阶复数厄米矩阵，本征值为等。 因此，方程( 2 i ) 的求解可以化解为矩阵本征根以及本征向量的求解。 对应二维光子晶体，式( 2 1 0 ) 可以退化为对应t e ，t m 极化的两个独立的本征方程 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章平面波展开法和f d t d 算法的介绍和应用 驴叩雌啡+ g f | ( 麓另h 陋芸 汜 一个很重要的原因就是求解士的傅立叶展开，我们假设二维光子晶体都是由二维圆柱形 占l ，) 介质柱构成，瓦l 万的傅里叶展开式可以写成解析表达式： 击= 嚣军加) 眨脚 其中，j 。是一阶贝赛尔函数，乞为介质柱的介电常数，毛是背景材料的介电常数， 2 1 2 用平面波展开法求解三角晶格光子晶体带隙 k m ( a )( b ) 图2 1 三角晶格结构示意图 正方晶格和三角晶格光子晶体都是常见的光子晶体结构，但很多模型是采用三角晶格 结构，这是因为三角晶格有着更好的传输性质瑚1 ，三角晶格光子晶体如图2 1 ( a ) 所示， 其第一布里渊区如图2 1 ( b ) 所示，正格子基矢可表示为： q 叫孚，扣叫一下4 5 ，j 1 】 ( 2 1 3 ) 表征非简约布里渊的点t ，x ，m 为： 丁：望【o 0 】，：塾 拿，o 】，m ：一2 x 【, _ q - j ，；1 】 ( 2 1 4 ) aq3a33 通过求解本征方程( 2 1 ) ，可以计算三角晶格光子晶体的带隙结构。本论文后续章节 仿真均采用类似于此节的三角晶格结构。 自目b ，他j 研究 位t 女第= 章十面赦r * f d t d 算* 舟w 用 选择1 1 7 格点的三角晶格结构，背景折射车为1 ，介质折射率为3 ，填充宰为04 ，晶 格常数为】删，对图21 的结构用平面波法仿真计算得出其带隙结构图，如图22 所示， t eb a m g l c i u r rkmr 罔2 21 1 7 介质柱三角晶格结构带隙圈 如罔2 2 所示，用平而波展开法可较准确地得出大部分二维光子晶体的带隙结构图。 21 3 用平面波展开法仿真求解带隙宽度与结构参量的变化关系图 影响光子晶体带隙特性的结构参量有很多”。本文研究的有介质柱半径，介电常数 等等。本文求解结构参量与特性参量的关系图的思路一般是：首先平均选择大量抽样点， 在每个抽样点用平面波展开法分别求的各个抽样点的带隙宽度，并将所有抽样点所的数据 连线画图，最后得到结构参量与带隙宽度的关系图，本论文的后续章节均采用此方法求得 结构参量与特性参量的关系图。 = ! ! 坚1 4 1 塑璺里兰! 墼兰兰世一 剐j j ；_ 。 iq 蛳 ， lo 。 剃，。 0 1 岛。如1 甜。龟：甄，署订i 茅i i 图2 3 三角品格光子晶体带隙宽度与空气柱半径变化关系图 。sb_日jolt 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章平面波展开法和f d t d 算法的介绍和应用 若选取l1 x 7 三角光子晶体结构如图2 1 ，并固定背景介质材料折射率为3 ，设定初始填 充率为0 3 ，最终求得该结构带隙宽度随空气柱半径的变化图如图2 3 。从图中可以看出：在 背景材料不变的情况下，空气柱半径在某个特定值时光子晶体可以产生最大的带隙宽度。 三角格光子晶体带隙宽度随背景材料介电常数变化豳 士“ 厂 夕 1 f r 口51 ul z1 41 0 b 蕾k ，口u di d a t 刊= d i e k t c t - j cc 蕾尊t a m 图2 4 三角晶格光子晶体带隙宽度与材料介电常数变化关系图 图2 4 是固定填充率为o 4 7 时该结构带隙宽度与背景介质介电常数的变化图。从图中 可以看出：在空气柱半径不变的情况下，背景材料介电常数在特定范围内光子晶体可以产 生最大的带隙宽度。 2 2 用f d t d 算法计算二维光子晶体模场和传输特性 2 2 1f d t d 算法的原理 f d t d 算法直接求解包含时间变量麦克斯韦旋度方程口。m a x w e l l 两个旋度方程如下： v x h ：望+ ，( 2 1 5 ) 西 v 小一警+ 厶 ( 2 1 6 ) 其中，e 为电场强度，日为磁场强度，为电流密度，d 为电通量密度，b 为磁通量密度， 厶为磁流密度。 在直角坐标系中，我们可以推导出以下六个分量方程 吾i星口，-o譬-lt inie至 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章平面波展开法和f d t d 算法的介绍和应用 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 堡一盟：s 堡+ 仃e ( 2 1 9 ) o g x o y ( 3 t 鲁一鲁= 叫警一皿 亿2 。， 鲁一誓= 叫警一q 2 ， 鲁一鲁= 叫警一皿 c 2 2 2 ， 考虑到式( 2 1 7 ) 到式( 2 2 2 ) 的f d t d 差分离散。并且令坟x ，y ，x ，t ) 代表再或吾在直角 坐标中的某一分量，在时间和空间域中的离散值取以下符号表示： f ( x ，y ，z ，t ) = f ( i a x ，缈，k a z ，n a t ) = f ”( f ，j ，k ) ( 2 2 3 ) 对f i x ，v x t 1 做关于时间和空间的一阶偏导数取中心近似，即 掣k f ( i + l , j 五, k ) - f 一 ( i - l , j , k ) o f ( x 砂, y , z , t ) 垆i 脚型2 生 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 煎些q 竺丝：至1 1 二竺n 竺二翌1 ( 2 2 6 ) o z 缸 1 ， 。 掣k 盟逊掣 ( 2 2 7 ) 在f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间排布是电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽 样时间间隔彼此相差半个时间步，使得旋度方程离散后构成显示差分方程，从而可以在时 间上迭代求解。因而，由给定相应电磁问题的初值，f d t d 方法就可以依次求得各个时刻 空间电磁场的分布。 e 口 仃 + + 堡研 嵋百 s j l f | 堡出 堡苏 啦一砂 啷一如 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章平面波展开法和f d t d 算法的介绍和应用 表2 1t e 和t m 波y e e 元胞中电磁场各分量节点位置 t e 和t m 波y e e 元胞中电磁场各分量节点位置 电磁场分量空间分量取样 时间t 取样 x 坐标y 坐标 t e 波 h z l j e l l 七1 2 疗+ 1 2 e p f + 1 2 1 玎+ 1 2 t m 波 e z l 1 门 h l l j + l 2 厅+ l 2 h y f + l 2 l ，+ 1 2 在三维坐标系中，通常采用y e e 元胞取为立方体，即等i 司隔离散值，取 缸= a y = z = 万，并且记e = 岛，= 盹一。 y e e 氏于1 9 6 6 年口妇首先导出的麦克斯韦旋度方程的有限差分表示，采用了二阶精度的 中心差商近似。在本文要讨论的光子晶体光纤区中，= 风，= 0 。为了便于计算，可 用归一化的电场来代替原来的电场，两者间的关系是置= e = 0 泐，在采用归一化 后，方程的媒质参量采用以下符号表示： i c r ( i , j , k ) a t c a ( i ，j ，k ) = 2 c ( i ，j ，七) l + t r ( i , j , k ) a t 2 占( f ，j ，七) c d ：a t 占 6 心s 讲。 叫 ”2 石簿1 在给出f d t d 的三维方程前，我们先做一个近似： 矿”，：坐蔓掣 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章平面波展开法和f d t d 算法的介绍和应用 然后根据式( 2 2 8 ) ，式( 2 2 9 ) ，式( 2 3 0 ) ，式( 2 3 1 ) ，我们可以将f d t d - - - 维差分 方程表示为： f + ( f + 互1 ，舭) = c a ( i + 砂1 七) f ( f + 砂1 卅c d 伽( f + 虿1 ，后) 【m ：( f + 丢，+ 2 1 _ ，k ) 一1 - 1 ；+ 1 坨( i + 1 2 ，一1 2 ，k ) - 彬+ 1 佗( f 。+ 1 2 ，k + 1 2 ) + 彬+ 1 门( i + 1 2 ，k 一1 2 ) 1 ( 2 3 2 ) 髟+ 1 ( f ，+ i 1 ，七) = c a ( “+ 互1 ，七) 髟( f ，+ 乏1 ，后) + c d c b ( i , ，+ 虿1 ，后) 【彤州2 ( f ，+ 丢，七+ 争 - 4 , + 1 陀( f ，j - l 2 ，k - l 2 ) - 研川2 ( i + 1 2 ，j + l 2 ，七) + 彤州2 ( f 一1 2 ，j + 1 2 ，七) 】 ( 2 3 3 ) 霹+ 1 ( f ，k + 尹1 = c a ( f ，_ ，k + 吉) e ( f ，七+ i 1 ) + c d c b ( i , j ，七+ 三) 【彬+ 1 门( f + 圭，七+ 圭) 一彬+ 1 尼( i - 1 2 ，j ，k + l 2 ) 一彤州2 ( f ，j + l 2 ，七+ l 2 ) + 彤州2 ( f ，一1 2 ，k + l 2 ) ( 2 3 4 ) 月：+ 1 7 2 ( f ，j + l 2 ，k + 1 2 ) = 4 ；一1 7 2 ( f ，j + l 2 ，七+ l 2 ) + c | d e ：( f ，j + l 2 ，七+ 1 ) 一髟( f ，j + l 2 ，七) 一霹( f ，j + l ，k + 1 2 ) + 霹( f ，k + 1 2 ) 】 ( 2 3 5 ) - i ；“坨( i + 1 2 ，_ ，k + l 2 ) = 彤。1 坨( i + 1 2 ，k + l 2 ) + c d e t ( i + i ，- ，k + l 2 ) 一e ( f ，k + l 2 ) 一p ( i + 1 2 ，歹，k + 1 ) + e ( f + 1 2 ，_ ，七) 】 ( 2 - 3 6 ) - i , + 1 佗( i + 1 2 ，j + l 2 ，七) = 川。1 他( i + 1 2 ，j + 1 2 ，k ) + c d 霹( i + 1 2 ，j + l ，后) 一( i + 1 2 ，j ，七) 一髟o + l ，j + 1 2 ，后) + 髟( f ，j + 1 2 ，七) 】 ( 2 3 7 ) _ l z i $ 式( 2 3 2 ) 到式( 2 3 7 ) 六个式子中，上标n 表示离散时间步；i ，j ，k 分别表示 网格点在x ，y ，z 方向上的位置；a t 表示时间步长；a x ，a y ，位分别表示两相邻网格在x ，y ， z 方向上的空间步长。可知当给定总的时间步数时，计算时间正比于计算区域内的离散网格 数n 。根据上述的f d t d 差分算法方程组可得出计算电磁场的时域推进计算方法阳，可如下 图所示 1 5 南京邮电大学硕二匕研究生学位论文第二章平面波展开法和f d t d 算法的介绍和应用 图2 5f d t d 算法的时域推进计算方法 时域有限差分法的另一个重要特点口2 瑚是，在需要计算电磁场的全部区域建立y e e 氏 网格计算空间。因此我们必须在合适的方式将网格截止，这种用于网格截止的算法称为边 界条件的设置。边界条件一般可以分为硬边界和软边界两种。硬边界又分为两种，其一， 在边界点上电场的切向分量和磁场的法向分量为零，这种边界称为电壁。电磁波遇到电壁， 波形相位相反，幅度不变，继续传播，类似于反射。一般微波器件中的金属波导和金属谐 振腔的外壁满足电壁的条件。其二，在边界点上的磁场的切向分量和电场的法向向量为零， 这种条件称为磁壁。电磁波遇到磁壁，波形相位不变，幅度增加一倍，继续传播。这种边 界条件主要用于控制电磁波的在媒质中的传播方向。软边界主要起到吸收入射波的作用。 像辐射、散射等这类开放性问题，所需要的网格空间成为无限大的。在实际计算中总是在 某