（机械电子工程专业论文）基于labview的球杆系统虚拟实验平台开发.pdf

摘要 球杆系统是一个典型的实验室控制对象，广泛应用于动力学建 模、控制原理等课程的实验教学，也是非线性控制系统研究的一个典 型实验平台，国内外不少研究者以球杆系统为对象研究非线性系统的 控制问题。 采用虚拟实验平台可以脱离实验室的硬件环境，这不仅便于学生 学习，对于研究者来说也可以提供各种实际硬件难于提供的极端实验 条件。本文针对这一要求，基于l a b v i e w 建立了球杆系统的虚拟实 验平台，并在这一虚拟平台上进行了球杆系统的模糊控制器设计与研 究，具体工作体现在以下几个方面： l 、详细分析了球杆系统的结构组成，根据牛顿经典力学，机械 原理等分步建立了球杆机械系统的数学模型。 2 、根据直流伺服电机物理模型，利用计算机软硬件进行电机相 关数据采集，结合系统辨识的基本原理，通过试验建模，获 得电动机模型的基本参数，建立直流伺服电机数学模型。 3 、根据球杆系统的状态方程，在l a b v i e w 软件平台下，运用 r u n g e - - k u t t a 法求解球杆系统微分方程的数值解，实现系统 仿真。 4 、采用l a b v i e w 软件丰富的p i c t u r e 工具包，可视化建模，创 立了球杆系统动态图形化仿真，建立球杆系统的虚拟实验 厶 1 ：3o 5 、采用l a g r a n g e 线性化方法对微分方程进行线性化，通过线性 化模型设计控制器，采用内环三闭环p i d 控制电机转角、转 速、电流，外环模糊控制与p i d 控制相结合的方法实现对小 球位置的控制。 关键词：球杆系统，系统建模，系统辨识，l a b v i e w ，模糊p i d a b s t r a c t t h eb a l la n db e a ms y s t e mi sat y p i c a lc o n t r o lo b je c ti nl a b i ti s w i d e l yu s e di ne x p e r i m e n tt e a c h i n ga b o u ts o m ec o u r s e s ，f o re x a m p l e ， d y n a m i c sm o d e l i n g ，c o n t r o lt h e o r ya n ds oo n m e a n w h i l e ，t h eb a l la n d b e a mi sat y p i c a lt e s t - b e da b o u tn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m ，m a n yd o m e s t i c a n df o r e i g nr e s e a r c h e r ss t u d yt h ec o n t r o lp r o b l e mo fn o n l i n e a rc o n t r o l s y s t e mr e g a r d i n gt h eb a l la n db e a m a so b j e c t v m u a lt e s t - b e dc a nd i s e n g a g eh a r d w a r ee n t i r o n m e n ti nl a b i ti sn o t o n l yc o n v e n i e n tf o rs t u d e n t si ns t u d yb u ta l s oo f f e r sv a r i o u se x t r e m e e x p e r i m e n tc o n d i t i o n sw h i c ha r et o od i f f i c u l tt oa f f o r df o rr e s e a r c h e r s i n o r d e rt oa c h i e v et h i sn e e d ，b a s e d0 1 1t h e l a b v i e w , t h ev i r t u a l e x p e r i m e n t a lp l a t f o r mo fb a l la n db e a ms y s t e mw a sb u i r ，i na d d i t i o n ， d e s i g n i n ga n dr e s e a r c h i n gf u z z yc o n t r o la b o u tt h ev i r t u a le x p e r i m e n t a l p l a t f o r mo fb a l la n db e a ms y s t e mw r i t sc a r r i e d0 1 1 d e t a i l e dt a s k sa lea s f o l l o w s ： 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 e s t a b l i s h i n gt h em a t h e m a t i c sm o d e lo f t h eb a l ls t e pb ys t e p t h r o u g ha n a l y z i n gt h ec o n f i g u r a t i o no ft h eb a l la n db e a mi n d e t a i la c c o r d i n gt on e w t o nc l a s s i c a lm e c h a n i c s m e c h a n i c a l p r i n c i p i u ma n d s oo n e s t a b l i s h i n gt h e m a t h e m a t i c sm o d e lo ft h ed cm o t o r a c c o r d i n gt ot h ed a m s ，w h i c hw e r ec o l l e c t e df r o mt h et e s t m o d e lu s i n gt h es o f t w a r ea n dh a r d w a r eo fc o m p u t e r c o m b i n i n gw i t ht h eb a s i cp r i n c i p i u mo fs y s t e mi d e n t i f i c a t i o n a n da c c o r d i n gt ot h ep h y s i c a lm o d e lo fd cm o t o r b a s e do nt h el a b v i e wp l a t f o r mt oc a r r yo nt h es i m u l a t i o no f s y s t e ma c c o r d i n gt ot h en u m e r i c a lv a l u er e s u l to ft h es y s t e m s t a t ee q u a t i o no ft h eb a l la n db e a m ，w h i c hw a so b t a i n e d t h o u g hu s i n gr u n g e - - k u t t aa r i t h m e t i c s e t t i n gu pt h eb a l la n db e a mv i r t u a lt e s t b e db a s e do nt h e v i s u a lm o d e la n dd y n a m i cg r a p h i c a ls i m u l a t i o nu s i n gt h e p i c t u r e ”a r i t h m e t i ct o o l k i to fl a b v i e w d e s i g n i n gt h ec o n t r o l l e ra c c o r d i n gt ot h el i n e a r i z a t i o nm o d e l ， w h i c hw a sg o tb ym a k i n gd i f f e r e n t i a le g u a t i o nl i n e a r i z a t i o n a d o p t i n gl a g r a n g el i n e a r i z a t i o nm e t h o d ，f i n a l l y , r e a l i z i n gt h e p o s i t i o nc o n t r o lo ft h eb a l lu s i n gt h ef u z z yc o n t r o la n dp i d c o n t r o lo fe x t e r n a ll o o p ，a n du s i n gt h r e ec l o s e dl o o pp i d c o n t r o lo fi n t e r n a ll o o pw h i c hc o n t r o la n g l e ，r o t a t es p e e da n d 1 2 1 t h eb a l la n db e a ms y s t e m , s y s t e mm o d e l i n g ，s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n ，l a b v i e w , f u z z y - p i d i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名： 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：导师签名日期：l 月一日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题的背景及研究的意义 1 1 1 问题的背景 l 、球杆系统简介 球杆系统是控制领域一个经典的实验对象，广泛用于动力学建模、自动控制 原理等基础课程的教学实验【l j 。球杆系统一个非常重要的性质即非线性不稳定， 这类系统是机械控制系统中公认的控制难点【2 j ，同时对其进行控制又可以形象直 观的反映控制器的控制效果。球杆系统可以用于实现各种己有的控制理论和方 法，也可以作为新的理论和控制方法的检验工具。为自动控制理论的教学、实验 和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案， 促进了控制系统新理论、新思想的发展。 球杆系统的装置多种多样而原理相近，本文研究的对象为深圳固高( g o o 9 0 1 ) 公司生产的球杆系统实验装置【lj ( g b b l 0 0 4 ) ，它包括以下几个部分：控制计算 机、i p m l 0 0 智能伺服驱动、直流伺服马达和直流电源的机械部分。 图1 1 球杆实体系统组成 图1 2 小球运动机械原理图 整个系统实体装置如图1 1 所示，执行部分有一根v 形槽轨道和一个不锈钢 球组成，v 形轨道一端铰链固定，另一端则由直流伺服电机经过两级齿轮减速， 在通过固定在大齿轮上的连杆带动v 形轨道进行上下往复运动。当从动轮转动 硕士学位论文第一章绪论 角度为，导轨的转动角度为口，导轨偏离水平的平衡位置后，在重力的作用下， 小球开始沿导轨滚动，其机械原理图如图1 - 2 所示。 轨道一侧为钢杆，另一测为直线位移传感器，当钢球在轨道上滚动时，通过 测量导轨上输出的电压信号可获得钢球的位置，直流伺服电机带有增量式编码 器，可检测电机的实际位置，两个实际位置信号都被传送给控制系统，构成一个 闭环反馈系统。 球杆系统的应用目的是通过设计一个能够识别电机，传感器和负载参数的反 馈控制系统来调节直流伺服电机的转动，从而控制小球在轨道上的预定位置，以 此研究非线性不稳定系统的控制，同时也作为自动控制原理等课程的教学。 2 、球杆系统的作为传统仪器应用的局限性 作为自动控制教学实验应用来讲，球杆系统和许多精密仪器一样存在一定的 局限性，这由于受教学实验条件限制，如实验设备缺乏或陈旧、实验准备过程繁 琐、支持维护困难、设备更新硬件维护费时费力、各种极端实验条件难以实现等 等。对于球杆系统具体教学而言，实验员要细致的准备，包括球杆系统设备维护、 连线检查、仪器预热、软件编译操作讲述以及实验过程防止仪器损坏的注意事项 等等。学生需要付出更多的时间放在对仪器使用的学习上，而并非实验本身。实 验仪器一旦发生损坏，维修需要专业人员。昂贵的仪器就要被搁置一旁，造成资 源无形的流失和浪费。另外，精密仪器的维护工作也较为困难，球杆系统由于受 环境、温度以及元器件自然老化等影响，许多厂家提供的原有电机参数出现漂移 难以整定，传感器灵敏度降低，皮带传动效果变差等等，导致原有控制参数不可 用，维护人员需要不断重新调试控制系统参数，方可保证实验教学演示顺利进行， 可见传统仪器的使用费时费力，存在很多无法克服的弊端【3 】【4 】。 1 1 2 本课题研究的意义 l 、虚拟仪器的引入与研究意义 随着科学技术的不断发展以及相应学科高等教育课程教学内容的更新，传统 仪器日益暴露出缺陷和不足，为了改善实验条件、提高仪器利用效率及使用寿命、 方便实验研究，把虚拟仪器引入实验教学已成为一种必然趋势。 虚拟仪器( v m u a li n s t r u m e n t , 简称v i ) 是虚拟技术在仪器仪表领域中的一个 重要应用。2 0 世纪8 0 年代，美国国家仪器公司率先提出了“虚拟仪器”的概念， 指出虚拟仪器是由计算机硬件资源、模块化仪器硬件和用于数据分析、过程通讯 及图形用户界面的软件组成的系统，是一种由计算机操纵的模块化仪器系统。它 可以代替传统仪器；可集成于自动控制、工业控制系统；可自由构建成专有仪器 系统。它是以计算机作为仪器统一的硬件平台，充分利用计算机独具的运算、存 2 项士学位论文第一章绪论 储、回放、调用、显示以及文件管理等基本智能化功能，同时把传统仪器的专业 化功能和面板控件软件化，使之与计算机结合起来融为一体，这样便于构成一台 从外观到功能都完全与传统硬件仪器一致，同时又充分享用计算机智能资源的全 新的仪器系统【5 1 。 与传统仪器相比虚拟仪器有诸多优点，如表1 1 所示： 1 - 1 虚拟仪器与传统仪器比较 虚拟仪器传统仪器 开放性、灵活性、可与计算机保持同步发展封闭性、仪器间相互配合较差 软件系统性升级方便，可通过网络下载升级程序硬件升级不便且成本高 价格低廉，仪器资源可重复利用率高价格昂贵，仪器间互用性差 用户自定义仪器功能只有厂家能定义的仪器功能 可以与网络及周边设备方便连接功能单一，只能连接有限设备 开发与维护费用低开发与维护费用高 技术更新周期短技术更新较长 利用l a b v i e w 软件开发的平台，通过研究数学建模借助计算机的图形显示 功能创立球杆系统的虚拟实验平台，在计算机屏幕上虚拟显示出仪器的控制和动 态运动图形化面板，可以通过鼠标或键盘操作面板上的旋钮、开关和按键，设置 各种工作参数，来控制和操作仪器，分析结果可以从虚拟仪器面板读出。用户在 屏幕上通过虚拟仪器面板对仪器的操作如同在真实仪器上的操作一样直观、方 便、灵活，同时虚拟仪器环境也能提供极端的实验环境条件，作为教学实验演示 生动形象，作为实验研究则更方便有效。 虚拟仪器应用领域很广，在教学实验，电子测量，分析测试，工业过程控制 等诸多领域逐步取代传统仪器。因为虚拟仪器可与计算机同步发展，与网络及其 他周边设备互联，用户只需改变软件程序就可以不断赋予它新的功能。图形化虚 拟仪器依靠其自身的优势使它在相关市场的竞争力不断增强，p c 计算机价格近 年广被人们所接受，在国内迅速普及，这为虚拟仪器的发展奠定了基础。虚拟仪 器作为传统仪器的替代品，市场潜在容量巨大，具有广阔的发展前景。 2 、球杆系统的控制研究的意义 球杆系统作为一种实验室的教学和仿真设备，它结构简单，非线性动态特性 明显，且可应用的算法极为广泛，上至各种现代控制策略，下至经典的控制理论 都能移植到球杆系统中来，并且，在实际工业环境中各种非线性系统都是危险的， 研究起来有一定困难，球杆系统则很好的解决了这个问题。 球杆系统的非线性不稳定特征主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 非线性 3 硕士学位论文第一章绪论 a 、电机驱动本身是非线性的； b 、通过对小球的动力学分析可知，小球在导轨上的运动也是非线性的； c 、球杆系统机械结构本身是一个四连杆机构，它的运动也是非线性的。 总之，严格的说，整个球杆系统无处不体现其非线性。 ( 2 ) 开环不稳定 球杆系统是不稳定系统，是因为即便导轨的仰角是固定的，小球的位置仍然是 未知的。小球可以停留在水平导轨的任何位置保持平衡，但是当导轨受到一个微 小的扰动后，小球就无法回到原来的位置。对于一个固定的导轨仰角，小球以一 个固定的加速度运动直到停在导轨的底端。 = ， 线性控制理论发展到今天已经十分成熟，获得了许多成功的应用，渗透到生 活的各个方面。但由于实际被控过程的复杂性，人们对控制要求也越来越高，使 得现有的线性控制理论方法远远不能满足要求，随着对航天控制、过程控制、远 程机器人控制以及生物医学工程等学科的不断探索，相应出现了一些强非线性的 控制问题。因此，研究非线性控制理论不仅具有理论意义，还有很大的社会应用 价值，由此可见研究球杆系统非线性控制研究的难点与意义。 在虚拟实验台的基础上研究球杆系统的控制，计算机除了在计算上显示出极 大的优越性外，还有许多其他的优点。如实验脱离了实验室仪器环境，更加方便 直接，提高了系统的利用效率，缩短控制器的设计周期，另外在计算机上很容易 修改系统参数，因而可对各种控制方案及不同的参数组合进行充分的比较，从中 选出较好的控制策略。同时虚拟实验台借助计算机的图形显示功能，可对控制系 统的动态特性有更加深入而直观的理解。 1 2 国内外研究现状 国内外目前对球杆系统的研究多数着眼于球杆系统实体的模型线性化和控 制器设计方面。以此来提高控制精度，缩短控制时间，或者满足其他的控制要求。 控制结构的选择是整个控制系统最关键的部分。控制方式的选择多种多样，不同 的控制方法有着各自的特点，如何选取最适合的控制方式，建立起相应的控制结 构以达到最理想的控制效果是我们着重要研究分析的问题。下面作者从模型建立 和控制器设计两方面着重阐述国内外关于球杆系统的研究现状。 广东蓄能发电有限公司的助理工程师胖永新等研究者认为 0 3 ，球杆系统精确 的数学模型难以建立且相当复杂，建立简化近似的数学模型对反馈系统已经足 够，她将球杆系统的系统模型分解为三部分：即球杆机械部分模型、角度模型和 电机模型。对机械部分模型，从重力分解产生加速度着手，忽略摩擦、小球转动 等诸多因素给出一个简单的数学模型；对角度模型把导轨仰角和电机转角的非线 4 硕士学位论文第一章绪论 性模型近似简化为简易线性模型；对电气模型作者抽出主要影响将直流伺服电机 近似为一个纯增益。同时通过设计最优鲁棒控制器、最优瞬态控制器和二自由度 控制器对其进行控制，证明了系统是可控的和稳定的。这种方式模型设计方法过 于简单，放真和实际控制效果存在较大差距。 西北农林科技大学信息工程学院的研究员张志勇等人m a t l a b 软件平台下， 依据简化的线性化模型，设计了p i d 控制器【7 1 ，运用了软件控制工具箱和与系统 标准信号响应函数等优点，设计了p i d 控制器。采用齐格勒尼柯尔斯调节法 进行参数设置，这种方法给出了参数值的种合理的估计值，并提供了一种精细 调节的起点，而不是在一次尝试中就确定k o ，毛和屯的最终设定值，快速准确 的求出最佳的参数组合。由于在系统设计中，作者忽略了系统的摩擦力及齿轮和 导轨之间非线性因素的影响，考虑到实际控制中存在一定的位置误差，他们增加 了适当的系数调整补偿上述因素带来的影响。+。 韩国科学技术研究院的m o o ng j o o 等人采用应用智能控制方法，采用一种 特殊的分层模糊控制结构实现了球杆系统的控制嗍 9 1 。众所周知，模糊控制系统 一个重要的问题就是如何减少相关模糊规则的数量以及相应的计算条件，根据这 种方法，在分级模糊系统中被展现的模糊准则的数量和输入变量的数量是成比例 的。在这个系统里，上一层的输出不被使用到i f p a n s ，而是仅仅被使用在t h e n p a r t s ，结果所有模糊规则的条件部分仅仅使用原始的输入变量，这克服了传统 分级模糊系统相关的模糊准则有很少的物理意义难以设计的问题，新的方法中伴 随明确物理意义随之产生的模糊准则是很容易设计的。这种方法的缺点是需要调 节大量参数。而y ij i a n q i n g t i o 】采用单输入规则模型( s i r m ) ，对每一个输入项均 有一单输入规则模型和动态权重( d y n a m i ci m p o r t a n c ed e g r e e ) ，这样设计出来的 系统避免了参数的大量调节，且结构简单，控制效果好。 美国西伊利诺斯州立大学( w e s t e r ni l l i n o i su n i v e r s i t y ) 数学系的e a n d r e e v 等 人将小球的转动惯量和离心力等考虑在内建立了更为精确的数学模型【l 。在此基 础上详细阐述了一种力一m c 廿1 0 d 【1 0 l ，运用这种算法对球杆系统进行了成功的控 制。力- - m e t h o d 清楚的产生了一个无限维控制规则的集合，同时为l y a p u n o v 函 数提供简单自然的候选控制准则。当这种方法被应用到线性时不变系统中，控制 集合包括了所有线性状态的反馈。作者对球杆系统实验证明了这种线性的控制准 则优于非线性控制准则的控制效果。 m a r r ama t l 2 】采用基于遗传算法的自适应控制方法，这种方法特点是通过使 用遗传概率算子使得在同一种群内的控制器都朝着某一最优控制器进化，从而达 到控制的最优。e l m e rd a d i o s 1 3 i 采用的方法也是一种智能控制方法，该方法在设 计控制器时不需要依赖于球杆系统的模型，即不需要建立模型的数学方程，究其 5 硕士学位论文第一章绪论 原因是因为采用了摄相机来捕捉小球在球杆上的影像，以此来获得小球的位移和 速度：然后再通过设计一个模糊逻辑控制器使小球稳定在球杆的中间，这种方法 的特点是精度高，甚至当小球与球杆无接触时，视觉系统仍能确知小球在空间的 位置，给系统控制器一个连续的信息。s u z a n a 1 4 1 从机械角度出发分析了球杆系统 的自由度，其中球杆转动表示第一个自由度，它受到电机控制；小球在杆上的滑 动表示第二个自由度，而该自由度不受到任何调节，在此情况下，运用级联的运 算扭矩控制方法( c a s c a d e dc o m p u t e dt o r q u em e t h o d ) 设计控制器，一个用于控制球 杆，另一个用于控制小球，从而实现对球杆系统的稳定性控制。此外，目前比较 热门的混合系统理论也在球杆系统中得到应用。马国梁【1 5 1 等人采用切换控制方 法把球杆系统划分为两个子空间，并分别为两个子空间设计一个镇定控制器和一 个引导控制器，当系统状态在可镇定区域空间时，通过镇定控制器使闭环系统指 数稳定，而系统状态位于可镇定空间之外时，则先采用引导控制器将系统状态引 导至可镇定空间，然后控制器再由引导控制器切换至镇定控制器。 香港理工大学电气工程系的e t c h a n 等人认为小球与导轨之间的滑动摩擦 应该考虑在t 6 j ，而滚动摩擦和其他因素影响可以忽略不计。以此建立小球运动 数学模型，采用了遗传算法设计的模糊逻辑控制器实现对系统的控制【1 6 1 ，这种 算法依赖于将一种特制的编码表、初始化的数值、特征交换、准则表的转变转化 为整数型字符串。利用遗传算法是为了利用现有的系统知识加速最优化的过程。 实验显示：遗传算法的模糊逻辑控制器实现较短设计周期同时改良了控制系统的 稳定性能。 广州大学信息与控制工程系的研究员王清副教授等人给出了一种采用遗传 算法同时进行神经网络控制器的权值和结构优化设计的方法【1 7 】，并将该方法应 用于球杆系统的控制，保证网络以较小的规模完成同样的任务。实验表明使用这 种方法得到的神经网络控制器具有结构简单、泛化能力强、控制效果良好的特点。 其他对球杆系统的研究，主要参见国内外文献【1 8 】。【3 5 1 。 1 3 本文研究的主要内容 本文重点围绕基于l a b v i e w 的球杆系统虚拟实验台的创立作了以下几方面 的研究： 1 、球杆系统机械模型得分步建立：首先由牛顿力学分析求出球杆系统的动 力学方程，其次结合机械四杆机构原理推导球杆系统的各角度关系，最 后分析出整个系统动态构件折算到电机轴上的转动惯量与电机倾角之间 的关系，完成机械部分模型与电机转动力的分析。 2 、直流伺服电机的试验建模：根据直流伺服电机的物理原理，建立直流伺 6 。硕士学位论文第一章绪论 服电机的数学模型，采用计算机软硬件，结合g o o g o l 公司的球杆系统实 体中小球运动轨迹的直线位移传感器和电机编码器进行电机的数据采集 分析和系统辨识，整定出电机的模型的基本参数，建立出电机完备的数 学模型。 3 、球杆系统虚拟实验平台建立：结合球杆系统数学模型建立，在l a b v l e w 软件平台的基础上，运用r u n g e - - k u t t a 数值迭代法和软件自身的p i c t u r e 控件建立系统的虚拟实验对象。 4 、控制器设计：采用l a n g r a n g e 线性化方法对对象进行线性化，通过线性 化模型设计控制器，采用内环三闭环p i d 控制电机0 、刀、i ，外环模 糊控制与p i d 控制相结合的方法控制小球的位置 5 、虚拟实验台仿真实验：将控制器运用到虚拟实验平台上，反复修改控制 设计，达到预期的控制效果。增加扰动，调整虚拟实验台相关参数检查 控制系统的鲁棒性，并对比外环p i d 与模糊p i d 的控制性能优劣及其相 关分析。 7 硕士学位论文第二章球杆机械系统教学模型建立 第二章球杆机械系统数学模型建立 球杆系统的机械模型是球杆系统仿真实验台创立的基础。通过分析球杆系统 的装置组成，根据运动学、力学等基本原理，分别建立球杆系统运动及力学模型， 籍此掌握小球运动的本质特征，掌握球杆系统的传动关系，掌握电机外加负载的 变化规律，进而为通过程序设计来实现系统仿真做准备。 2 1 球杆系统机械装置的建模 球杆系统虚拟实验台，是一种可脱离实验室仪器环境独立运行仿真平台。要 创建一个高仿真度的实验平台，首先要详细分析球杆系统的结构组成，建立出严 格意义上的数学模型。由于仿真平台基于计算机内部通讯，所以避开了球杆系统 的传感器、智能伺服驱动等硬件部分的分析，下面作者就球杆系统的建模部分作 详细的分析。 按照球杆系统的构成可将整个系统分为三部分来建模【l 】：小球运动动力学模 型、传动角度关系模型和直流伺服电动机模型，分别将小球位置( t 1 与导轨仰 角a ( t ) 连接起来、导轨仰角口( ，) 与减速轮转角卢( ，) 及电机转角o ( t ) 连接起来、 电机转角o ( t ) 与输入电压甜“) 连接起来。根据建模方式的不同，本章首先讨论球 杆机械系统模型即小球运动动力学模型和角度关系模型的建立。 图2 - 1 球杆系统示意图 8 硕士学位论文第二章球杆机械系统数学模型建立 2 1 1 小球运动动力学模型 由牛顿经典力学分析 3 6 1 ，小球的动力学模型与小球的重力、转动惯量及粘 着力等有着紧密的关系，其受力分析如图2 1 所示：其中m g 为小球受到的重力， c 为导轨对小球的反作用力，乃为小球受到的粘着力，y o 为小球沿导轨方向的 位移，y l 和y 2 分别的水平和垂直分量。 根据牛顿第二定律可得： 水平方向：m y , = es i i l 口一乃c o s g 竖直方向：m y 2 = m g 一只c o sg 一乃s i n 0 5 由上式化简得：m y lc o sg + 聊夕2s i n 口= m gs i n 口一乃 又根据运动位移分解得：y l = y oc os 口 ，j ，2 = y os i n 口 ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 _ 4 ) 其中y o 与口是关于时间t 的函数，现对乃与咒二阶微分并分别乘以c o s 口和s i n a 合并得：j ；lc o s 口+ 夕2s i n 口= j ；o y o 西2 ( 2 5 ) 将式( 2 - 5 ) 代入式( 2 3 ) 得：肌( j j o - y o d 2 ) f f i m g s i n a - f ( 2 - 6 ) 滚动关系：乃j 6 c = 取( ，为小球的转动惯量且：，= z _ 气m r 2 ) ( 2 - 7 ) 球面线速度与角速度关系：见= r 良e p 得y o = r 良 ( 2 8 ) 由以上两式可得：b = ，盛肛2 ( 2 9 ) 将( 2 9 ) 代入( 2 6 ) 得聊( j i d 一应2 ) = m g s i n a - j 箩o r 2 ( 2 一l o ) 即为球杆系统小球运动动力学模型。 2 1 2 机械传动角度关系模型 球杆系统的传动角度关系模型即p 与口的关系是非线性且静态的。它不但受 到球杆构架尺寸的影响，同时也受大小齿轮的减速比影响，这样0 与口的关系可 分解成0 与的关系以及与口的关系，前者实质上可以等效为是机械平面运动 中四杆机构传动，后者是大小齿轮的恒定的减速比传动。 平面四杆机构运动解析分析法有很多，这里采用矢量方程解析法【3 7 】。在讨 论机构运动分析的矢量方程解析法之前，先简要讨论有关矢量分析方面的基本知 识。 9 硕士学位论文第二章球杆机械系统数学模型建立 如图2 2 所示，设构件o a 的长度为，其方位角为口，为此构件的杆矢量 ( 即j = 历) 。并分别用p 、矿表示杆矢量的单位矢、切向单位矢及法向单 位矢。而x 轴及y 轴的单位矢分别为彳及夕，则构件的杆矢量，可表示为： ，= ，么9 = l e 2 1 ( i c o s e + j s i n 0 ) e = e l o = i c o s o + j s i n o e k e 1 = d e | d o = - i s i n o + j c o s oj e n - ( e ) = 矿= d 2 e d e 2 = 一i c o s o - j s i 柏= - e y o x 巳岛= c o s a ，2 = c o s a ( b 一岛) p i 2 q2 c o s o ，e 歹2 巳2 s i n g p p = p 2 = - 1 ，p e = 0 , e e ”= - ( 2 1 1 ) 岛巧= 一s i n ( a s - 0 1 ) 岛彬= 一c o s ( 岛一研) y o x 图2 - 2 矢量分析图 图2 - 3 球秆系统角度关系模型原理图 对机构进行位置分析，建立如图2 3 所示的坐标系并将各构件表示为杆矢， 为方便计，取x 轴与l 一致，各杆矢的方位角秒均由x 轴开始( 沿逆时针方向计 量为正) 。 。 四杆机构各杆矢所构成的矢量封闭方程为，+ 厶= 厶+ l ，即易= 3 + l 一， 两端各自点积，并利用矢量解析法关系式可得： 2 f l 厶s i n ( p + 7 ) s i i l ( 口+ y ) + 2 厶( 毛a o s ( 口+ y ) 一j ) c o s ( 卢+ ，) + j 2 2 一j 1 2 一酽一l 2 + 2 l j 4 c o s ( 口+ 7 ) = o ( 2 1 2 ) 令：么= 2 j l 毛s h l ( + 7 ) 1 0 硕士学位论文 第二章球杆机械系统数学模型建立 b = 2 ，3 c o s ( + y ) + 2 他 c = ，2 2 一2 一，3 2 一，4 2 - 2 1 3 i , c o s ( , 8 + r ) 则上式可以简化为彳s m ( 口+ 7 ) + b c o s ( 口+ 7 ) + c = o 解之可得州争= ( a + 、| 矿a 2 + b 2 - c 2 ) ( 2 1 3 ) 其中y 为定值，可由球杆尺寸求得，这样即得出口与的关系 又户主口 ( 2 1 4 ) ( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 联立，就可以求得口与秒的关系，即机械传动角度关系模型。 2 2 电机转矩与转动惯量折算 2 2 1 转动惯量折算 球杆系统工作时，连杆传动是一个动态的变形结构，这就和规则的齿轮传动 有一定差异，因此折算到电机轴的转动惯量j 也是动态量，它一个是随电机倾角 秒的变化的函数。在系统动能相等的条件下，以质点系动能和刚体绕瞬心转动动 能为基础，通过平面几何关系和刚体平面运动学规律，导出整个机构转化到原动 件( 电机轴) 上的等效转动惯量计算公式，其分析推导过程如下【3 s 】： 主靖轮 从对艳 图2 4 转动惯量折算 图2 4 为球杆系统机械传动部分等效四杆机构模型，其中o a 为曲柄、a b 为 连杆、o i b 为摇杆，m 为连杆a b 的质心，曲柄o a 的角速度为，其中吼皇夕： 摇杆o i b 的瞬时角速度为，其中= c j f ；c 点为连杆a b 的瞬一心t 3 7 1 ，连杆 硕士学位论文 g - 章球杆机械系统数学模型建立 a b 的瞬时角速度为。 设从动轮对o 点的转动惯量为以，a b 对其质心的转动惯量为以，a b 对其 瞬心的转动惯量为厶，o i b 对o l 点的转动惯量为以，根据动能定理，该支点系 的总动能为：弓= 互+ 互十互 其中： 五= 兰以2 疋= 去以2 + 丢厶2 = 丢( 以+ 如) 2 乃= 圭以2 又由刚体平面运动的性质可得： = 吼毛 织：旦：丝玉 l 彳c彳c v 古- - b c 中警 = 半= 管 令：弓= 圭以2 ( 山即为系统等效到从动轮转轴转动惯量) 由坷得：以却( 以圳丢吩器 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 根据转动惯量的平行移轴定理：如= 以+ m c 2 ( 2 - 2 0 ) 则等效转动惯量的表达式即变为： 以嘶( 2 以毗m c 2 ) 丢嘶描 ( 2 - 2 1 ) 上式中、以、以、五、己及都为不随变化的定值，所以接下来我们推导 m c 、a c 及b c 与的关系。 以0 点为坐标原点建立坐标系如上图所示，设各点坐标如下：o ( o ，0 ) 、 4 ( 勤，儿) 、b ( x s ，儿) 、q ( 飞，) ，其中d ( o ，o ) 、q ( 强，) 的坐标是不随变 化的定值，根据平面运动规律，c 点为连杆a b 的瞬心，它是o a 、0 1 b 延长线 1 2 硕士学位论文 第二章球杆机械系统数学模型建立 的交点，设c ( k ，y c ) 则有下面几何关系： i = 毛c o s p 【儿= 厶s i n p ix b = + c o s 【儿= + 五。s i n ( z ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) y c = x c t a n p 岫嘞： 一协 卜半 协2 5 ) 【= 半 联立( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 可以求得： i 4 c 2 = ( _ - x c ) 2 + ( y _ 一) 2 b c 2 = ( b - x c ) 2 + ( j ，矗一y c ) 2 ( 2 2 6 ) lm c 2 = ( h 一) 2 + ( 一) 2 它们都是以和口的函数，又和口与秒的关系前面已求，将、以、以、 、，3 、( 2 - 2 6 ) 代入等效转动惯量表达式： 以叩( 2 以m e 2 ) 嘉吩搿 像2 7 ) 即可求得等效到从动轮转轴o 的转动惯量，它是一个关于秒的函数。 设电机主动轮对电机轴的转动惯量为以，又四杆机构模型部分折算到从动 轮转轴的转动惯量山占和夕分别为主动轮和从动轮的角速度) 根据动能定 理，该系统的总动能为瓦= 五+ 瓦，其中瓦为主动轮动能，瓦为四杆机构折算 到从动轮转轴的总动能，则： 1 3 ( 2 2 8 ) _ d - 口 以 以 1 2 1 2 = ii， 瑶 瓦 ，i，fll【 硕士学位论文 第二章球杆机械系统数学模型建立 又主从动轮的传动比n - - 4 ，所以台= 4 多 令：品= 去以0 ( ，即为系统等效到主动轮转轴转动惯量) ( 2 2 9 ) 由上可得：厶= 以+ 去以( 2 - 3 0 ) 其中以是定值，以是关于的函数，又= 丢矽，故整个系统折算到主动轮 电机轴上的转动惯量山是一个关于小轮转角秒的函数 折算到电机轴i - 的转动懦量输m 曲缱如图所呆勿略小球的影晌苴县_25 一个周期为4 转即8 万的曲线 nr 酬 啊 瑚 目 蠢 隅8 ；争兰一吲 孀 鏖爆鹚瞪| 豳。舢硼l耀劓 _ j _ l - o l朋聃 - 嘎一i 墓 础 冒i朋i 嚣l 删 嘲 m l 厦-阻i 吲 l i 黝 隆 - i 啊豳 脯 l i 嘲畦嘲- 时 l 鼢重 i鼯誉 莉嗍硼脚 嘲l 8 l i融 啊5 爨i唧 ； 9麓隧 - 髂。 | i 国i 篷7 ，科一 ：墨特 蒜6 s e - 5 7 离： 蕊粕一 馘 鞲嘲- ；鹳 l 0 o 旗l _1 名2 量2 s 如一5 屯。，_ ：s 5 - 05 s6 名6 名7 名7 名8 o8 名孽幺0 sl i ol 芷s “_ l l ：s 矗口1 2 ：缀搋赫锄皴磁蝴施姚蠊锄t 蒯黝糍勿黝黝 g 籀；搋鬟 缴糍麓蹴貂貉黝燃2 赫电撬转磊玺鬟霞糍薹纵妣黝删锄蠡蠡轻锄锄黝。赢黝船。舭删搋貉撕勰崩巍勰舭讹蠡 2 2 2 负载转矩计算 图2 - 5 折算到电机轴上的等效转动惯量输出曲线 主动轮 从动轮 图2 - 6 电机轴受力矩分析 1 4 硕士学位论文第二章球杆机械系统数学模型建立 作用到电机轴上的转矩计算可根据2 1 2 的矢量分析法【3 7 】，各构件的杆矢量 及方位角如图2 6 所示，设需要加一平衡力矩m 施加在主动轮上，使整个系统 平衡，则系统对电机的转矩大小等于m ，并设各运动副中的反力为； 2f 睡l 毒f h l n l 2f 弛l j 弋f 艘, l y j ( 2 - 3 1 、 2 f 婚2 j f 瞧2 r ； 2 f 凇3 七f i 姆r i ( 1 ) 求( 即或) 取构件1 为分离体，并将该构件上的诸力对a 点取矩( 规定力矩的方向逆时针者为正，顺时针者为负) 则根据吮= o ，得： 巧一i 1 醇c 嘲一跳c o s z = 精( f + 矿丢萌c 嘲一喙跳c 嘲 ( 2 - 3 2 ) ：一l ，之h s i 凸口+ l ，k l r c o s 仪一j 1m 心晷l p 0 s 伍一m 蝽雷p f o s a = o 同理，取构件2 为分离体，并将该诸力对c 点取矩，则根据心= o ，得： e 一专g ，2 伽f = m ( “，) 一三9 7 2 c 舛 = l ，睦l l s i 蕊一l ，眩l r c o s f j im b c 酉f o 辨= q 由以上两等式可得： 卜竺蔓豪掣 k 丛竺丝筠焉等墼业 ( 2 - 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 ) 求( 即或) 根据构件2 上的诸力平衡条件，f = 0 ，得： + 一j f = 0 ，分别用f 及歹上点积上式，可求得： f r 3 2 】l = f 咯1 1 f 鼢r = f 旺l r 七m 略g 、f j l 3 2 。f j l 3 2 3 七f 啦2 y i 故系统对电机轴的转矩：r = 巧= 毛( “歹) = 0 ，慨s i n 9 七1 鼢p o s9 1 5 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 一 一 一 一 名 硕士学位论文 第二章球杆机械系统数学模型建立 又= 丢伊，所以丁= 一厶s 勘丢口+ 己c 。s 三秒 口与f 都可求得，即折算到电机轴上的负载转矩可求出。 折算到电机轴上的负载转矩输出曲线如图2 7 所示， 其是一个周期为8 万的曲线。 ( 2 3 7 ) 忽略小球质量的影响， 冒 。 厂、： 厂、t、； ，、 i 、摹 t、 轰- 一 ， 7 j f 、 i j! ，、 、 ，、f! ? + _ 。 、 i ， 冒 ”j | - 、一 、 、 一， n 硕士学位论文 第二章球杆机械系统数学模型建立 表2 - 1 球杆系统机械部分相关参数 名称符号参数名称符号参数 小球质量( k g ) 0 1 1 0 2 7小球半径( m )r 0 0 1 5 小球转动惯量 3 9 9 2 4 3 e 一6导轨长度( m ) ，1 0 4 3 ( k g m 2 ) 导轨质量( k g ) 扰导孰 0 4 4 7 1 4 1 连杆质量( k g )，雉扦 0 0 4 9 2 1 5 5 导轨转动惯量连杆转动惯量 ( k g m 2 ) 5 6 6 2 3 e 一4 以 1 6 0 9