（应用数学专业论文）非线性偏微分方程的backlund变换.pdf

中文摘要 随着科学的发展，非线性现象出现在自然科学与工程技术等许多领域，对 应的非线性模型也变得复杂多样，因此描述这些模型的非线性偏微分方程成 为重要的研究课题非线性偏微分方程有许多求解方法，b i c k l u n d 变换法为其 中一种，一方面它可以由方程的已知解导出另一个解，如果重复应用可求出此 方程的多孤子解，另一方面它还可以由已知方程的解推出另个方程的解因 此b 萏c k l u n d 变换是求解偏微分方程行之有效的方法 本文求b u r g e r s 方程和u x z z = a u u z + b u 的可积系统，并推导出此可积系 统下方程所有的( 自) b 茂c k l u n d 变换文章中得到的结论和用通常的方法得出的 结论有所不同，它给出了可积系统下方程所有的自b 托k l u n d 变换最后，由偏微 分方程的可积系统导出了方程之间的b 诎1 u n d 变换( m i u r a 变换) 这些变换为求 解非线性偏微分方程更多新的精确解奠定了基础 本文安排如下： 第一章简单概述b i c k l u n d 变换，并举例给出两个求方程自b i c k l u n d 变换常 用的方法：w tc 方法与扩展齐次平衡法 第二章求b u r g e r se q u a t i o n ，z z = o u + 地t 方程的可积系统，导出在此 可积系统下方程所有的b 酏k l u n d 变换 第三章运用可积系统推出一类简单非线性方程之间的m i u r a 变换 关键词 wtc 方法，扩展齐次平衡法，可积系统， b i c k l u n d 变换，m i u r a 变换 a b s t r a c t ( 英文摘要) w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c e ，n o n - l i n e a rp h e n o m e n aa p p e a ri nt h en a t u - r a ls c i e n c e s ，e n g i n e e r i n gt e c h n o l o g ya n dm a n yo t h e ra r e a s ，t h e nt h ec o r r e s p o n d - i n gn o n 1 i n e a rm o d e l sa r ec o m p l i c a t e d n o n - l i n e a re q u a t i o n s ，d e s c r i b i n gt h e a b o v em o d e l s ，b e c o m ea ni m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i c t h e r ea r em a n ym e t h o d s t os o l v en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o n eo fw h i c hi sb i c k l u n dt r a n s - f o r m a t i o n o no n eh a n d ，t h i sa p p r o a c hc o u l dc o n s t r u c tan e ws o l u t i o nf r o mt h e k n o w ns o l u t i o n ，a n do b t a i nm u l t i s o l i t o ns o l u t i o n so ft h eo r i g i n a le q u a t i o nb y r e p e a t e da p p l i c a t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，t h es o l u t i o no fa n o t h e re q u a t i o nc o u l d b ed e d u c e df r o mt h eo n eo fk n o w ne q u a t i o nv i at h ea p p r o a c h t h u sb i c k l u n d t r a n s f o r m a t i o ni sa ne f f e c t i v em e t h o dt os o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ef i n dt h ei n t e g r a b l es y s t e m so fb u r g e r se q u a t i o na n d u z z z = a u u z + b u t ，t h e nd e d u c ea l la u t o - b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no ft h o s e e q u a t i o n su n d e rt h ea b o v ei n t e g r a b l es y s t e m s t h ec o n c l u s i o n so b t a i n e da r ed i f - f e r e n tf r o mt h eo n e su n d e ro t h e rm e t h o d s ，a n dt h e yg i v ea l lt h ea u t o - b 孰k l u n d t r a n s f o r m a t i o nu n d e rt h ei n t e g r a b l es y s t e mo fe q u a t i o n s i nt h ee n d ，t h em i u r a t r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nt h ee q u a t i o n si so b t a i n e db yt h ei n t e g r a b l es y s t e mo f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e s et r a n s f o r m a t i o n sa r ef o u n d a t i o nf o rg e t t i n g m o r en e we x a c ts o l u t i o n so fn o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sa r t i c l ei sa r r a n g e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eb i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，a n dg i v e st w om e t h o d s t of i n dt h ea u t o - b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nb ys o m ee x a m p l e s ：w t cm e t h o da n d e x t e n d e dh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d c h a p t e r2f i n d st h ei n t e g r a b l es y s t e m so fb u r g e r se q u a t i o na n d 魄嚣= a u u z + b u t ，u n d e rw h i c hw ed e r i v ea l lo ft h ea u t o - b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no f t h ee q u a t i o n s c h a p t e r3d e d u c e sac l a s s o fm i u r at r a n s f o r m a t i o n sb e t w e e ns i m p l en o n - l i n e a re q u a t i o n sb yt h e i ri n t e g r a b l es y s t e m s k e y w o r d s w t cm e t h o d ，e x t e n d e dh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ，i n t e g r a b l es y s t e m s ， a u t o - b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，m i u r at r a n s f o r m a t i o n u l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 丞垂拯指导教师签名 伽f o 年厂月，z 日勿扣 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：取圣奴 小l o 年莎只1 1 日 西北大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论弟一早珀了匕 随着生产实践与科学技术的迅速发展，非线性科学在各个领域内得到了 广泛的运用，这样微分方程也越来越与各个学科紧密相连如物理中的原理与 定律，大气动力学中的天气预报，化学中的物质反应等等都需要借助于微分方 程来描述而微分方程中的非线性问题是普遍存在的，因而研究非线性微分 方程问题是数学界的一个重要课题分析计算非线性微分方程的解是研究者 特别关注的问题，人们发现通过方程的行波解可以了解更多的物理现象，进一 步理解物理问题。但是求非线性偏微分方程的解，却是一个相当复杂与艰难的 事情虽然有一些方程可以通过特殊的方法求解，但这只是少数的方程可以求 解，而对于一般非线性偏微分方程求解是十分困难的也就是说至今仍有大量的 非线性偏微分方程是无法求出其精确解而孤子理论中蕴藏着一系列构造方 程解的方法，如t h et a n h c o t h 方法【1 ，2 1 、首次积分法【3 ，4 1 、( 等) 一e x p a n s i o n 力i 法【5 ，6 】、b i c k l u n d 变换【7 ，8 】等随着求方程解方法的逐渐增多，过去一些难以 求解的方程有些也就得到了解决，这样也就不断发现非线性方程许多有意义 的新解在孤立子卜1 1 】理论中，b i i c k l u n d 变换有着非常重要的应用，运用方程 的b i c k l u n d 变换，可以由非线性偏微方程的已知解导出新的精确解，如重复应 用可求出此方程的多孤子解，有人也称此种变换为i 刍b i c k l u n d 变换而且还可 利用两个非线性偏微方程之间的b i i c k l u n d 变换，由一个非线性偏微方程的已知 解，求出另一个方程的解，有人称此种变换为m i u r a 变换这样可以将求解非线 性方程的问题转化成代数问题，同时也揭示了方程的许多本质联系但是，一般 来说，得到一个可积非线性偏微方程的自b i c k l u n d 变换是十分困难的，求出两 个非线性偏微方程之间的m i u r a 变换也不是一件容易的事，本论文分三章重点 讨论b 戋c k l u n d 变换 1 第章绪论 1 2b i c k l u n d 变换的概述 瑞典几何学家b i c k l u n d 12 i ，在1 8 8 5 年研究负常数曲率曲面时，观察 至l j s i n e - - g o r d o n 方程心叼= s i n u 的i n 个：不n n u n u 7 有如下的关系式 “；弛一2 8 s i n ( 半) ， 螗一嘶+ 知( 孚) 后来称此关系为b 洳k l u n d 变换，同时他还推出了下面的非线性叠加公式 u 1 2 = 4 口7 _ c 亡口钆( 、尻, t 9 1 一 - 瓦f 1 2t 。佗t 7 2 1 - - ? 2 2 ) + u 。， 其中乱。为s i n e - g o r d o n 方程的解，但当时他没有发现这个变换应用，因此这个变 换被人们忽略了许多年直到后来，随着其他学科的发展，许多领域的研究都 与s i n e - g o r d o n 方程有关，这时，人们才注意到这个b 讹k l u n d 变换，这个公式在 后来的非线性理论中起到非常重要的作用w a h l q u s t $ 1 e s t a b r o o k 1 3 毛e 1 9 7 3 z 发现t k d v 方程的b i i c k l u n d 变换，也推出了类似的叠加公式在1 9 7 6 年他 们提出求非线性方程的b 孰k l u n d 变换的延拓结构，将b i i c k l u n d 变换，守恒 律及反散射变换统一在同一个拟位势中来研究在1 9 8 3 年常微分方程 p a i n l e v ep - - 丁 的判定法被w e i s s ，t a b o r 和c a m e v a l e 1 4 ，1 5 1 推广了，他们提出 了偏微分方程的p a i n l e v e 可积的判定法，并用它来推得了方程的b i c k l u n d 变换 d a r b o u x 1 6 1 在1 8 8 2 年，研究了一维s c h r o d i n g e 方程的特征值问题( a t = 0 ) 一一仳( z ，t ) 矽= a ，( 1 1 ) 他注意到如果a 为任意给定的常数，u n 是满足( 1 1 ) 的两个函数令l ( x ) = 驴( z ，a o ) ，即当入= a o 时，是( 1 1 ) 的解，故由 u t = u 十2 ( 2 佗厂) z 。，( z ，a ) = 也( 。，入) 一( o f l n f ) 咖( x ，a ) ，0 ，( 1 2 ) 所定义的函数u 7 ，一定满足( 1 1 ) ，( 1 2 ) 就被称为原始的d a r b o u x 变换d a r b o u x 变换粗略地说就是，借助于非线性方程的个解及其l a x 对的解，通过代数及 西北大学硕士学位论文 微分运算来获得非线性方程的解和l a 耐相应的解，有人也将d a r b o u x 变换称 为b i c k l u n d 变换，关于早期的b 托l d u n d 变换可以参考文献f 1 7 ，1 8 ，1 9 w a d a t i 等 人在1 9 7 5 年将d a r b o u x 变换推广到m k d v 和s i n e - g o r d o n 2 0 方程谷超豪等人大 约在1 9 8 6 年将d a r b o u x 变换推广g l j k d v 族，a n k s 族及( 1 + 2 ) 一维，高维方程组， 同时也将d a r b o u x 变换运用到微分几何中另外，通过延拓法及局部高阶切丛 法等也能获得b 五c k l u n d 变换最近可积系统的b i c k l u n d 变换也引起了人们的重 视【2 1 - 2 3 】下面通过例子简单的介绍两种求b i c k l u n d 变换常用的方法 5 1 3 w t c 方法 名e 1 9 8 3 年，偏微分方$ 3 p a i n l e v e 性质被w e i s s ，t a b o r 乘i c a r n e v a l e 2 4 ，2 5 】推 广，在推导的过程中通过所用的方法( w t c 方法) ，推出b i c k l u n d 变换和l a x 表示 等 假设非线性方程 饥= k ( 乱，u 霉，)( 1 3 ) 的解u ( z ，) 在砂( z ，t ) = o 上是奇异的，在( z ，) = o 的邻域内构造( 1 3 ) 的解 巾= 击霎相炽 ( 1 4 ) 其中。为正整数，妒( z ，亡) ，呦( z ，t ) 是解析函数，把( 1 4 ) 代入( 1 3 ) ，通过歹= 0 ，l ，2 ，确定n 和的关系，由截尾可得b 洳k l u n d 变换。 假设( 1 3 ) 有如下形式的解 “= 杀砌) 帕， ( 1 5 ) 其中，u l 是( 1 3 ) 的解，n 是正整数，是待定的函数 第一步：令九出现在札的非线性项中的最高次幂和出现在让的最高阶导数相 等，这样就确定出n 第二步：把( 1 5 ) 代入( 1 。3 ) ，假设九最高次幂的系数为零，这样就可得到，( ) 第一草结论 第三步：分别假设厂的各阶导数的系数是零，这样就可得到满足的相容条 件 通过上述步骤就可以确定b 酏k l u n d ，这方法非常直观，下面举例来说明 对于k d v 方程 钕十牡心。+ a u x z 。= 0 ，( 1 6 ) 设解具有以下形式 u = ，”旌+ ，7 屯z + u 1 ( 1 7 ) 把( 1 7 ) 代入( 1 6 ) 整理，得 u t + 仳t 上正+ 盯t 上z 茁2 = ( 厂”+ a f ( 5 ) z 5 + ( 3 ，以旌矽正z + f f 谚：屯z + 1 0 f ( 4 ：九z ) + ( 厂”：矽t + f f ”咖：z z 正+ 3 f 7 ，咖z 咖：z + ，f i l l u l 1 3 + 1 5 a f 删九矽：z + 1 0 a f 胛旌痧船z ) + ( 2 f 矽z 缸十f d 2 t c x z + f u l z 缱 + 严札z 骝z + 3 f 锰1 九也互+ l o a f 九z 也2 z + 5 a f 九九骝霉) ( 1 8 ) + ( 以毗+ u l z 矽茁z + u i c x z z + 以脚z ) ，7 + ( u l t + u 1 “l 霉+ _ f 7 u l x x x ) = 0 设 f l i + 叮l = 0 l 1 9 、 解之，得 故 ，= 1 2 a l n 矽， ( 1 1 0 ) l 挖= 一2 a f ( 嫡、 p | = 一4 a f ( 兮、 | l 嚏= - 6 a f l l 、1 = 一1 2 a f l 心1 1 ) 把( 1 i i ) ，( 1 9 ) 代入( 1 8 ) ，得 毯+ 钍+ 仃蚍z = ( 起也+ 4 仃砂一一3 盯九程z + 让l 旌) ，w + ( 2 啦如t + 也 4 西北大学硕士学位论文 + u l z 旌一1 2 a = z 九z 茁+ 3 仳l 钆姑+ 1 0 a = z 九z z + 5 盯如九黝) ， + ( 驴z t + u l z 咖z z + u 1 审_ z z + 仃咖。z 。z z ) ，7 + ( u l t + 1 札l z + 盯u l z z z ) = o ( 1 1 2 ) 设厂肼，7 的系数与最后一项分别为零，得 九( 霉t + 4 a 矽z 九z z 一3 盯矽乞+ u l ) = 0 ， 九( 如t + 铭l + 口如z ) + 丕( 九如+ 4 口如九x x - - 3 a c x 2 z + 他1 镌) = o ， 丕( 九t + l 如z + 仃九z ) = o ， 乱1 十+ u 1u 1 t + f l u l ，= 0 故，使上述条件成立，只需 九也+ 4 仃如九z 茁一3 a 步2 z + u l 旌= 0 ， z t + u l z z + 仃z z z z = 0 ， ? 2 1 t + u l u l z + o u l z z 2 = 0 把( 1 1 0 ) 代入( 1 7 ) ，得b i c k l u n d 变换 u 划伊昙怕， 其中矽，1 1 1 满足( 1 1 3 ) - ( 1 t 5 ) 从( 1 1 3 ) 解出晚，再求关于z 微分，由( 1 1 4 ) 并令九= u 2 ，可得l a x 表示 6 盯t 知z + 让1 u = a u ， 2 v t + 让l t k + 入_ 乇k + 2 a v x 。霉= 0 1 4 扩展齐次平衡法 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 王明亮教授提出了齐次平衡法【2 6 7 1 ，它能有效地求解一大批有着重要应用 的非线性偏微分方程，后来齐次平衡法又被推广，使其包含一个任意函数，这样 5 第一章绪论 就得到了一种新的方法一扩展齐次平衡法下面给出一个例子，介绍运用扩展齐 次平衡法如何得到方程的b 氖c k i u n d 变换在描述扩展齐次平衡法之前，首先介 绍齐次平衡法 对于非线性偏微方程 设u 为下面函数 p ( u ，u x ，乜t ，z ，) = 0 ，( 1 1 6 ) 1 ，厂( 叫) ，( 叫) z ，f ( w ) t ，( 叫) z $ ，厂( 叫) 矾， 合适的线性组合，令u = f ( ，( 叫) ) ，称叫( z ，t ) 是( 1 1 6 ) 的准解 第一步：找一个合适的线性组合( 某些系数是待定的) ，令( 1 1 6 ) 中最高阶导 数与最高次非线性项相等，这样方程的最高次非线性项和最高阶导数项变成关 于叫( z ，t ) 偏导多项式形式 第二步：把上步中选取的线性组合，代入式( 1 1 6 ) 进行求导，把叫( z ，) 的导 数相同项与最高次幂项的系数设为零，这样可以得到关于w ( x ，t ) 的常微分方程 组，解此常微分方程组，得f = ，( 叫) ( 通常，( 叫) 是一个指数函数) 第三步：先把第二步中所得方程厂( 叫) 的各阶导数的非线性项换成，( 伽) 的 高阶导数线性项，再设，对叫的各阶导数项的系数是零，这样就得到一组齐次微 分方程，若此方程组有解，也就是说明第一步中选择的线性组合是合适的，它会 有一个确定的形式 第四步：把f = ，( 叫) ，伽( z ，) 与第二，三步中确定的量代入到第一步选择的 线性组合中，通过计算可得到方程( 1 1 6 ) 的解 扩展齐次平衡法 先把上述第一步中得到的线性组合再加一个任意函数v ( x ，t ) ；然后与上述 第二步相同；在第三步中得到是关于叫( z ，) 与u ( z ，t ) 的一组耦合方程，如果耦合 方程组中每个方程都可以用叫( z ，) 与v ( x ，t ) 线性组合来表达，也可以是它们的 微分组合，并且组合系数中也可能包含叫( z ，) 和v ( x ，t ) 的导数项，这样第一步选 6 西北大学硕士学位论文 择的组合就是方程( 1 1 6 ) 的b 觇m u n d 变换 耦合k d v - b u r g e r s 方程 t 上t + p t 正+ q u 2 u z + r z s “z = 0 ， 为了使方程( 1 1 7 ) e 尸的非线性项q u 2 和最高阶导数项s 札船z 平衡，设方 程f 1 1 7 ) 具有以下形式的解 钍( z ，t ) = a f 7 ( z ，t ) + a v ( x ，) ， 函数，( 伽) ，w ( x ，t ) 及常数。是待定的，v ( x ，t ) 为任意函数由( 1 1 8 ) 可得 u t = a ( f w z w t + ，7 w x t ) + a v t ， p u u z = p a 2 ( ，7 f 3 + ( 严蚍+ 口，迂) + ( v w z z + ) ，7 + v v z ) o 2 0 ) q u 2 = q a 3 ( ，彪f 以+ ( 1 , 3 2 w x x + 2 v f f ”3 ) + ( 2 ，蚝2 + 2 v ：彪毗蚍 - i - v x f 彪叫z 2 ) + ( 7 3 2 w x z + 2 v v x ) f 7 + v 2 ) ， ? 仳z z = r a ( f ( 3 ) 记+ 3 ，魄地z + ，7 蚍z z + v z z ) ， s u 站z = s a ( f ( 4 ) 遽+ 6 f ( 3 ) 递魄z + 4 f 魄叫z + 3 ，砭z + 厂7 t k z z z + t k 。z ) 设a = 1 ，m ( i ，1 9 ) 一( 1 2 3 ) 可得 伽) - 店l n ( 毗 0 = u t + p u u z + q u 2 u z + r l z u x z s z z 卅附士( 争侉千口厚卜3 s 训3 ， + ( ( + ( 3 r ：f p 6 v 擘m g 居 w x w x x ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) + ( p v + q v 2q = 2 q 层峥s ( 4 魄蚍x x + 3 w ：埘厂 + ( 蚍t + + q v 2w 霉霉+ 0 + 2 q v ) v z w 正z + r 叫z z z s z z 2 ) ，7 + v t + p v v x + q v 2 v x + r v x x s 霉。 7 第一章绪论 设，( 3 1 ，f 与，7 的系数为零，这样得到关于竹( z ，) 和 ( z ，t ) 的一组方程 础叫争侉千g 厚妒3 s 训- 0 ， w x w t + ( 3 rt p 6 店千2 9 v 擘v ) w z w z + ( + q v 2 = f2 q v 孚) 以一s ( 4 w x x + 3 w z 3 z ) = 。， ( 1 2 5 ) 蚍t + u + q v 2 ) 叫如+ 0 + 2 q v ) v x w z z + r w x z z s 伽z z z z = 0 ，( 1 2 6 ) 仇+ 即魄+ q v 2 魄+ 7 溜一s 船= 0 ， 其m ( 1 2 5 ) 乘1 ( 1 2 6 ) 又可以写成 因此，如果 魄( 毗+ ( p v + q v 2 ) w z + r 。一s z $ ) + 瓦0 ( 喇吲争居千g 厚妒3 s 训) - 0 ， 昙( 姚+ + 筘2 ) 魄+ r 一s 一= 。 ( rt c 争店千g 侉咖一s s 一。， w t = p v + q v 2 ) 地+ 7 饥z 一8 w x x x = 0 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 并把( 1 2 4 ) 中的，) 代n , ( 1 1 8 ) 得到耦合k d v - b u r g e r s 方程( 1 1 7 ) 的b 螽c k l u n d 变 换 巾= 士存l n ( 卅出， 其中 ( z ，) 为耦合k d v - b u r g e r s 方程t b - - 个已知解，j t w ( z ，t ) n f f = ( 1 2 7 ) 和( 1 2 8 ) 8 西北大学硕士学位论文 第二章 可积系统下偏微分方程的( 自) b 氖c k l u n d 变换 2 1预备知识 定义1 ：设佗 0 ，忌0 都是正整数，则称由n 个函数妒1 ，妒2 ，所组成 的向量系统 是偏微分方程 西z = q ( 妒l ，妒，l ，u ，仳z ，u t ，o k x u ，砖钍) ， 圣t = e ( 妒1 ，妒n ，仳，u x ，“t ，磷u ，磷u ) 骨( 钆，“幻一，碰，穰钆) = 0( 2 1 ) 的可积系统 2 8 1 ，若该系统在圣空间的一个非空开子集上是可积的充分必要条 件是un 2 = ( 2 1 ) ，这里把妒l ，称为伪势【2 9 ，3 0 i 定义2 ：设 圣z = q ( 妒l ，垆n ，u ，u x ，u t ，碰u ，劈u ) ， 圣t = e ( 妒1 ，妒n ，u ，u ，o x k u ，磷札) 是非线性偏微分方程 ( 2 2 ) f 6 ( u ，毗，碰u ，毹u ) = 0 ( 2 3 ) 的可积系统，如果存在映射 _ u 7 = f ( 妒1 ，妒2 ，妒n ，似， z ，t 正t ，劈u ) ， 9 第二章可积系统下偏微分方程的( 自) b 苔c k l u n d 变换 使得对非线性偏微分方程( 2 3 ) 的每一个解乱一直有u 7 也是非线性偏微分方 程( 2 3 ) 的解与之对应，其中垂= ( 妒l ，) 是系统( 2 2 ) 的解，则称此映射 u = f ( 妒1 ，妒2 ，妒n ，t 正，u z ，u t ，0 k l t ) 为方程( 2 3 ) 的( 自) b i i c k l u n d 变换 吴宏有教授通过可积系统推出一类方程的( 自) b 犯k l u n d 变换，他所采用方 法源于文献 3 1 ，3 2 1 ，要求偏微分方程的解在足够大的空间，以致于在非空集上的 每点u ，u 。，u t ，u x z ，i t 砒钍幽的取值是互相独立，这样在推导过程中，把它们 看成互相独立的变量 他的推导结论如下：考虑对非线性偏微分方程 i t x z z = f ( 乱，l t x x ) ，( 2 4 ) 在可积系统 妒z = q ( 妒，u ，u z ，u 茁z ) ， 下的b 洳k l u n d 变换变换 妒= e ( 妒，乱，乱。，z ) ( 2 5 ) 让_ = f ( 妒，钆，i t x z ) 引理：( 2 5 ) 是( 2 4 ) 的可积系统当且仅当q 不含有和u 霉王，且 ( 2 6 ) f ( u ，u z ，u z 。) = p ( u ) + g ( u ) + r ( u ) u 2 + s ( u ) ；+ q ( u ) u t ， e ( 刚，u 淌扣嘶m + ( 6 舅一q 面0 0 ) 一甄i c o o u z 2 + 6 ( 灿) 乱 其中p ，q ，r ，s ，q ，0 一，0 一为光滑的函数，并满足 筹= 轭 等劫谷， 西北大学硕士学位论文 3 雾要= 3 q 磊+ 2 署雾一2 c 舄+ r 厄 c 谷箦一q 雾，嚣= q c 西雾一q 雾，+ 瓮+ 藏 - 五o f f ：q 罢+ p 6 。d 汐 定理：( 2 6 ) 是( 2 4 ) 在可积系统( 2 5 ) 下的b 蕴c k l u n d 变换当且仅当( 2 6 ) 不含有u z 和乱z 。，且 f ( 妒，u ，“z ) = ，( 妒) + q u ， 声( u ，牡z ，地z ) = p ( 乱) + g ( u ) + r ( 乱) + 5 ( u ) u ：+ 饥， e ( 妒，u 池胁霉) ：( 妒川+ ( 舅箬一q 啬地一互1 丽0 2 f l 2 + 箬u 其中q 为常数，p ，q ，n s ，园为光滑的函数，并满足 d 。s d sz o u 3 2 2 s 瓦， 3 箦舅瑚翥砌筹， c 箦筹一q 啬，舅= q c 雾箬一q 啬，+ 箦+ g 箬， 6 舅= q 舅+ p 篑， a s ( u ) = q 3 s ( u ) ， 主，絮佃( u 阳2 巾) - l - 3 c r 2 ，s q ， 3 胛瓦0 f i 删7 q 恶( 让) 铷咖) 恤帅) f l + 3 a ( 胁q 2 ， f f 1 3 + 3 册2 箦w q ( 箦) 2 + 瑚2 雾+ 叩 利用此方法我推出了b u r g e r se q u a t i o n ，u z z z = a u u z + b u t 方程的b 我k l 咖d 变换， 并说明此方法对f i s h e re q u a t i o n 不适应 1 1 第二章可积系统下偏微分方程的( 自) b i c k l u n d 变换 2 2b u r g e r se q u a t i o n 在可积系统下的所有自b 氖c k l u n d 变换 2 2 1b u r g e r se q u a t i o n 的可积系统 对于b u r g e r se q u a t i o n 设具有以下形式可积系统 则有 乱船= 牡+ 毗 = q ( 妒，u ，) ， 仇= e ( 妒，札，u x ) ， 一箦e + 箬u t + 象 一雾q + 篑+ 差陋巾。 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 由于妒矗= 妒红，故对( 2 。9 ) ( 2 。1 0 ) 两式求关于t 的偏导，有罂= 0 ，知q ( 妒，仳) 不 含有毗对( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 两式求关于饥的偏导，有器= 瓦, 9 0 ，接着求关于乱z 的偏导 有器= 0 ，知e = 百( 妒，钍) + 谷( 妒，u ) u z ，将此结果代入( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 两式有 挈：6 ， ( 2 1 1 ) 箦谷= 舅q u 霉+ 下0 0 2 + 瓦o o o u + 6 钆让z ， ( 2 1 2 ) d 一 口u - 舯h - = e 一= 掣q ， ( 2 1 3 对( 2 1 2 ) 式求关于u z 的偏导，得 箦6 = 雾q + 2 善+ 瓮+ 6 ， ( 2 “) 西北大学硕士学位论文 对( 2 1 4 ) 再求关于的偏导，有譬= 0 ，知谷= 6 ( 妒) ，与乱无关代2 k ( 2 1 1 ) 式， 有q = o ( 妒) u + 7 _ ( 妒) ，由( 2 1 4 ) 式，有 = ( ou + t i ) 0 一o ( o u + t ) 一o u 一一一 ， = 一o u + ( 下0 7 e 故否= 一 6 u 2 + t ，谷一7 - 6 ) 让+ 伽，这里叫= 叫( ) 为光滑函数，代入( 2 1 3 ) 式有 整理，有 6 ( 7 7 6 7 6 ) 一去6 ，= 6 ( 丁一7 6 ) 一寺6l 厶 、 、l 、 一一| i ( 7 7 e 一7 e ) + o 坩= w 7 0 + t ( r o t o ) ，( 2 1 5 ) t ，叫= w ，丁 故方程= 仳u z + u t 的可积系统为 = q = e ( 妒) 缸4 - 7 ( 妒) ， 妒：e ：一6 u 2 + ( 7 - ，6 7 - 6 ) 札+ 6 + 叫， 其中，7 - ，叫为光滑函数，满足( 2 1 5 ) 式 2 2 2可积系统下的所有自b 戋c k l u n d 变换 设口= f ( 妒，u ，u x ) j o b u r g e r se q u a t i o n z = u u z + 札t 在上述可积系统下的 b 豇k l u n d 变换，则 z 叫刚川+ 砸0 2 f u ；+ ( 2 毫q + 2 采u 霉+ 2 蹇札”z + 箦) 饥+ 薏 丁 + ue 八， + 以 沁 + 一e u 丁 ，) 一 ，一引 ，积 一e 一 下 一e 一 ， ， ，一b 卜 r 2 口l 、， 一钒 一埝 l 擎p 一 0 卜 r 舻+ ，一e ，珏 1 2 一e 一 = 第二帝可积系统下偏微分方程的( 自) b 五c k l u n d 变换 钞+ 仇= 文( 妒，u ，) + ( f 差+ 瓦o f ) u t + 瓦o f t ， 其中危( 妒，札，仳工) 与文( 妒，) 为光滑函数u 也为方程乱昭= 让u z + 乱t 的解，故 a 2 f 丽2 o ， 2 卺啪采0 拶2 f f k o f ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 由( 2 1 6 ) 知乒。夫于为一次的，对( 2 1 7 ) 式求关于的导数，得磊薏= 0 ，故f = 6 ( 妒，“) + 口( 妒) 地，6 ( 妒，u ) ，o ( 妒) 为光滑函数，代入( 2 1 7 ) 式有2 n 7 ( 6 u + 丁) = ( 6 + a u z ) o ，故o = 0 所以f = 6 ( ，让) ，这时 铲蜘) + 象2 + ( 2 器( 叭丁o 妒b6 + 副o b 蚶铲o b 秽v z + v t = 蜘，卅( 6 瓦o b + 8 口o 够b ) 乱z + 舡 其中谬( ，让) 与矽( ，让) 为光滑函数u = f = 6 ( 砂，钍) 也为方程缸船= 锃+ “t 的 解故 丽0 2 b = 。， ( 2 1 8 ) 2 卺( 钍刊+ 瓦o b 乱= 嘧o b ( 2 1 9 ) 由( 2 1 8 ) 知6 关于牡为一次的，即f = b = 厂( 妒) + 9 ( 妒) 乱，代入f 2 1 9 ) 得 由u = f = ，( 妒) + 夕( 妒) u 得 2 9 7 6 + g 9 2 = 0 2 夕7 丁= f g ( 2 2 0 ) 一2 l2|t = ( 9 6 + 夕7 66 ) u 3 + ( ，6 + 9 2 6 丁+ ，66 + 9 ，( 7 i 谷+ 7 ，6 ) ) ”2 + ( ，2 6 r +7 2 + ，( 7 + 丁7 ) + 9 下7 ) 仳+ ( ，t 2 + ，7 7 ，) + ( 2 夕7 ( 6 u + 下) + ( 厂+ 夕7 乱) 6 + g u ) u 王+ g u t ， v x + v t = ( 9 夕价0 一) u 3 + ( ，夕7 + ， g o 一+ 叼7 9 + 一丁6 7 ) 一去鳓u 2 1 4 西北大学硕士学位论文 一一一， + ( 9 ，7 7 - + g f t + o f f 7 + ，7 ( 7 - 7 e 一7 e ) + g w ) u + ( ( ，+ g u ) g + ( f 7 + 夕7 u ) e ) + ( f f 7 7 + f w ) + g u t ， 故，由于移也是u z z = u 地+ u t 的解，上面两式相等，有 9 e + 夕7 ee = 9 9 7 e 妄e 夕7 ， 二 一2一， 一，一 2 9 q 百七qf 1 七q ( t o 七t i 跳七 1 99 一一一一，1 一 = f 9 7 e + ，7 夕e + 丁夕7 9 + g l ( 7 7 e 一7 i e ) 一去e ，7 ， 厶 ， 2 爸) t f + 9 ，7 2 + ，7 ( t 6 + 7 7 谷) + g i t t 一一一， = g f 7 7 + 夕7 f t + o f f 7 + ，7 ( 7 - 7 e 一丁e ) + g w ， 铲p 七l | t 亍= f f t 七 c u ) ，弋2 2 1 、 2 9 7 ( o u + 丁) + ( ，7 + g u ) o + g u = ( f + g u ) g + ( f 7 + g u ) o 因此b u r g e r se q u a t i o n z = 乱+ 饥在可积系统 = q = o ( v ) u + r ( 妒) ， 仇：e ：一互1 u 2 + ( 7 ，6 7 7 ) 牡+ 6 + 叫 下的自b 酝k l u n d 变换为 v = f = f ( v ) + 9 ( 妒) u ， 其中e ，7 ，w ，g 满足( 2 1 5 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 例如：取7 = 0 ，w = 0 ，= 0 ，g = 妒，6 = ( 妒2 一妒) ，满足上述条件，i 畋b u r g e r s e q u a t i o n 乱z 霉= 乱u z + 札t 在可积系统下 = 三( 妒2 一咖， 妒。= 一去( 妒2 一妒) u 2 + 互1 ( 妒2 一妒) 乱z 的自b 戋c k l u n d 变换为u = f = 舢 第二章可积系统下偏微分方程的( 圭1 ) b g c k l u n d 变换 2 3 讨论一类方程在可积系统下的所有! 刍b g c k l u n d 变换 讨论方程u z z z = a u 7 t z + 地在形如 九= q ( 咖，u ，u x ，u z z ) ， 矽t = e ( 矽，1 1 , ，缸z ，u x z ) 的可积系统下，所有f 刍b i i c k l u n d 变换uhu ，其中u = - 厂( ) + e f t 2 3 1 可积系统 如果 纯= q ( ，t z ，u x x ) ， 九= e ( 矽，u ，u z ，u x z ) 是方程u 骝z =