（光学专业论文）噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究.pdf

摘要 量子纠缠是量子力学中非常奇特的特征之一，也是量子信 息科学领域里重要的物理资源，并使其得到了广泛的应用。本 文主要研究了两体量子系统在噪声环境下的纠缠动力学行为， 基于两个二能级原子与环境的相互作用，通过c o n c u r r e n c e 度 量，研究了系统在噪声环境中的纠缠死亡和纠缠分布的情况。 本文主要内容和结构如下： 第一章主要对量子纠缠概念的起源和发展进行了简要的 阐述。 第二章介绍了量子纠缠的基本理论，首先介绍了量子纠缠 的定义和其性质，以及纠缠动力学的处理方法一超算符理论和 主方程的方法，并着重介绍了马尔可夫近似的主方程的推导。 第三章研究了两个二能级原子在集体噪声环境中的纠缠 动力学演化，给出了在马尔可夫近似下系统的主方程，并在一 个非常一般的初态条件下，求出了系统的精确解。发现当系统 初始处于纠缠态时，其纠缠既可以以单调递减的方式、也可以 以振荡衰减的方式发生纠缠死亡；而当系统初始处于直积态 时，可以出现有限时间内的纠缠产生与死亡的振荡。 第四章研究了在噪声量子通道上的纠缠分布，考虑一个任 意的两量子比特纯态通过三类量子噪声通道( 振幅阻尼、相位 阻尼和退极化) ，研究在这些情况下的纠缠分布的变化。分别 分析了一个和两个量子比特通过噪声量子通道传送的情况。同 时研究了最优纠缠分布输入态和在三类量子噪声通道中纠缠 突然死亡的情形。 第五章对本论文的工作进行了简要的总结和展望。 关键词：量子纠缠，纠缠突然死亡，马尔可夫近似，集体噪声， 纠缠分布，最优纠缠态。 n a b s t r a ct q u a n t u me n t a n g l e m e n t i sa v e r yp e c u l i a r o ft h e c h a r a c t e r i s t i c si nq u a n t u mm e c h a n i c s ，i ti sa l s oa ni m p o r t a n t p h y s i c a lr e s o u r c ei nt h ef i e l do fq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c ea n d h a sb e e nw i d e l yu s e d t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ee n t a n g l e m e n t d y n a m i c so fat w od o u b l e l e v e la t o ms y s t e mi n f l u e n c e db yan o i s y e n v i r o n m e n t am e a s u r eb yc o n c u r r e n c e ，w ei n v e s t i g a t et h e c h a n g eo fe n t a n g l e m e n tf o rd i s t r i b u t i n g ，a n de n t a n g l e m e n ts u d d e n d e a t hi nt h en o i s ye n v i r o n m e n t t h ed e t a i l e dc o n t e n ta n ds t r u c t u r e i sa sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sm a i n l ya r r a n g e dt or e v i e wt h ee m e r g e n c e a n dd e v e l o p m e n tf o rt h en o t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n t t h es e c o n dc h a p t e rd e s c r i b e st h eb a s i ct h e o r yo fq u a n t u m e n t a n g l e m e n t f i r s tw ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o na n di t sn a t u r eo f q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，t h e n t h e e n t a n g l e m e n td y n a m i c s a p p r o a c h ： “s u p e r - o p e r a t o rt h e o r ya n dm a s t e re q u a t i o nm e t h o d ， a n dt h ed e r i v a t i o no fm a s t e re q u a t i o ni nt h em a r k o va p p r o x i m a t i o n a r ed e s c r i b e d i i i i nt h et h i r d c h a p t e r , w ei n v e s t i g a t e t h e e n t a n g l e m e n t d y n a m i c so fat w od o u b l e l e v e la t o ms y s t e mi n t e r a c t i n gw i t ha c o l l e c t i v en o i s ye n v i r o n m e n t i nm a r k o va p p r o x i m a t i o n ，w ed e r i v e t h em a s t e re q u a t i o no ft h es y s t e ma n dp r o v i d et h ee x a c ts o l u t i o n s f o rav e r yg e n e r a li n i t i a ls t a t e i ti ss h o w nt h a tf o r i n i t i a l l y e n t a n g l e ds t a t e s ，t h ee n t a n g l e m e n t ( m e a s u r e db yc o n c u r r e n c e ) m a y d i ee i t h e rb ym o n o t o n i co ro s c i l l a t i n gw a y f o ri n i t i a l l yp r o d u c t s t a t e s ，t h ee n t a n g l e m e n te n h a n c e m e n ta n dd e a t h c a no c c u r a l t e r n a t i v e l yf o rf i n i t et i m e i nt h ef o r t h c h a p t e r , w ei n v e s t i g a t e t h e c h a n g e o f e n t a n g l e m e n ti nt h ep r o c e s so fd i s t r i b u t i n ga na r b i t r a r i l ye n t a n g l e d t w o q u b i tp u r es t a t ev i at h r e et y p i c a lk i n d so fn o i s yq u a n t u m c h a n n e l s - - a m p l i t u d ed a m p i n g ，p h a s ed a m p i n ga n dd e p o l a r i z i n g q u a n t u mc h a n n e l s ，w h e r et w ok i n d so ft r a n s m i s s i o nw a y s 叼n e a n dt w o q u b i tt r a n s m i s s i o na r ei n v o l v e d w ea l s o s t u d y t h e o p t i m a li n p u ts t a t e sf o re n t a n g l e m e n td i s t r i b u t i o na n dt h ee s d p h e n o m e n a v i at h et h r e et y p i c a lk i n d so f n o i s yq u a n t u mc h a n n e l s i nt h el a s tc h a p t e r , w em a k eb r i e fs u m m a r ya n dp r o s p e c t so f t h ew o r ki nt h i sp a p e r i v k e y w o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；e n t a n g l e m e n ts u d d e n d e a t h ( e s d ) ；m a r k o va p p r o x i m a t i o n ；c o m m o nn o i s e ；e n t a n g l e m e n t d i s t r i b u t i o n ；o p t i m a ls t a t e sf o re n t a n g l e m e n td i s t r i b u t i o n ( o e d ) v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：惰氢气夕 触。年g 月朋 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师 范大学。同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查n , n 借阅。本人授权湖南师范大学可 以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密留。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：0 锄h u 曰期：矽卜年6 月厂日 导师签名：斥j 易七 日期：别。年歹月7 日 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 第一章绪论 量子纠缠作为量子信息和量子计算的重要物理资源，是量子 力学最奇特、最不可思议的特征之一。量子纠缠是在1 9 3 5 年 e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n 的一篇文章中为证明量子力学中的波 函数描述的不完备性提出来的，即e p r 佯谬 1 】。然而它的正式概 念和术语在1 9 3 5 年由薛定谔首次引入到量子力学中，也就是薛定 谔在他的假想实验中给出的著名的纠缠态一猫态的概念 2 。在他 的实验中，薛定谔用下列波函数来描述这个系统的状态 i 甲) = 口i 活猫) 1 个) + 纠死猫) 卜) 其中，盯+ i p l 2 = 1 ，讲是表示原子处于激发态而猫是活的概率，例2 表示原子处于基态而猫是死的概率。这个波函数说明猫可以处于 一个不死不活的状态，而现实中猫非死即活。一旦我们打开笼子 查看猫的状态就相当于我们对猫进行了测量，当然也就只有一种 结果，非死即活。就相当于猫的两种不同的本征态。其本质是诠 释了微观的物质世界是满足量子态的叠加原理。这种现象就促使 了人们对宏观的物质世界是否具有波函数的特性展开了广泛的研 究，并在1 9 9 6 年一个美国的学者在实验给出了猫态的证明 3 】。则 进一步推广了宏观世界的量子效应的研究，如超导、玻色一爱因 斯坦凝聚等。 硕士学位论文 量子纠缠自从提出它的定义开始，就一直受到各国专家的广 泛兴趣，伴随着它的发展，量子纠缠的特性在后来的量子信息科 学方面发挥了很大的作用。目前量子纠缠理论有了它的一些主要 应用：量子密钥分配、量子编码及量子隐形传输等。所有这些结 果都是基于量子纠缠理论，并且在实验上也得到证明。上面这些 结果及量子计算都是以量子纠缠理论作为一个中心，量子纠缠理 论自身的发展也是非常快。作为量子力学中这种最诡异的特征， 有着三个方面人们所困惑但又感兴趣的特征： 1 ) 、从总体情况来看，它有着一个非常复杂的结构，对环境 方面是非常的脆弱，而且在一个分离的空间分布区域中，如果不 和环境直接作用，它的平均值也不会增加。 2 ) 、如何逆转在一个必然的过程中所退化的纠缠。 3 ) 、如何描述、控制、并且量化纠缠。 这些问题都给大家带来了兴趣和动力。就目前的研究来讲，大部 分都局限于两个量子比特在噪声环境中的情形。 在量子领域里，量子纠缠扮演着十分重要的角色，并被广泛 的使用。但是系统和环境相互作用时，受到环境的影响，一般得 到的量子纠缠态是非常不稳定，很容易发生退相干现象，即量子 系统的一部分信息就会因传向环境且不可逆导致系统信息的退化 ( 称为量子消相干) ，从而就使量子计算就失去了比经典计算的优 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 越性。量子纠缠对量子信息的理论和实验有看不司或缺的重要性。 近一个世纪来，人们都在不断地对量子纠缠进行定性和定量的研 究。虽然取得了一些重大的成果，但是依然是十分有限。对于两 体纯态而言，量子纠缠的研究已经是非常的清楚，得到了一致的 公认。对于两个量子比特构成的复合系统，存在四个b e l l 态【4 】 ：= 击( 、1 ) ：m m ：= 击( 上) ：m m ：= 去( 个) ：m m ：= 击( 个) ：m m 它们为h i l b e r t 空间的一组完备的正交归一化基矢，又称为b e l l 基。 其为两体系统里面最大的纠缠态。g r e e n b e r g e r 、h o m e 、和z e t l i n g e r 将b e l l 推广到多体系统的情形，我们称之为g h z 态 5 ，表示为： i 彻) = 击( z ，a f 。) 批一i z ，人一i ”) ) 这里，o ；。= l ( 以= 1 ，2 ，人) 。 还有一种我们称之为矿态的多体纠缠态 6 ，这种态在局域测 量甚至有部分损耗的情况下，仍有一定的概率维持最大纠缠，其 形式可表为 硕士学位论文 h = 击善i o , k , o , 1 i , o k ) 具体到三体系统情况就表示为： i 形) ，= 百1 ( i 0 0 1 ) + 0 1 0 ) + i l o o ) ) 、， 当然，对于多体纠缠态，还有很多的纠缠形式，以上只是几种特 殊的且被大家广泛的引用特例。 2 0 0 4 年，y u 和e b e r l y 研究了两个初始处于纠缠态的量子比特 通过自发辐射在有限的时间内的解纠缠，他们在纯真空噪声环境 的影响下，研究了一些特殊态的纠缠死亡时间 7 】。2 0 0 6 年，他们 又研究了在经典相位阻尼通道中两个量子比特的解纠缠动力学行 为 8 】，假设系统的初态为x 态，则在集体环境噪声下，解纠缠的 时间由r = 2 - l n 差给出，某些初态解纠缠的时间可能为无穷长， 即不会发生纠缠死亡。然而在局域噪声环境中，所有x 态都会发 生解纠缠。对于同样的系统，在2 0 0 7 年a n n 和j a e g e r 发现 9 】， 存在两类态： f r a g i l ec l a s s ：l ，) - - 1 1 ) a 口+ 6 1 2 ) b + d 1 4 ) 。矗 r o b u s tc l a s s ： ：) = 口1 1 ) 爿口+ c 1 3 ) 朋+ d 1 4 ) 爿口 一) = a 1 1 ) 一口+ b 1 2 ) 彳口+ c 1 3 ) 爿b 甲：) = 6 1 2 ) 一口+ c 1 3 ) 爿口+ d 1 4 ) 爿口 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 h 8 = i + + ) 1 2 ) 肚= i + - ) 一b 1 3 ) 船= | _ + ) 1 4 ) 仙= i - 一) 一占 在集体相位阻尼下，f r a g i l e 态的相干性会消失，而r o u s t 态的相干 性不会完全消失；另外他们发现，解纠缠时间总被退相干时间所 限制。 2 0 0 7 年，i k r a m 1 0 研究了两量子比特系统的x 态在热库、压 缩库和真空库的环境中的解纠缠行为。他们的研究发现在热库或 压缩库中纠缠e s d 总是会出现；但在真空库中则可能出现，也可 能不出现，依赖于原子的初始状态。他们给出了各种不同纠缠态 的e s d 的时间表达式。我们在2 0 0 9 年发表的一篇文章中着重研 究了任意两q u b i t 纯态在振幅、位相、退极化阻尼下的纠缠行为 11 ，在第四章中我们将详细介绍。 对于在噪声环境中的纠缠动力学行为还有很多的研究成果， 这里我们只是初略的描述了近几年相关的代表文章。其实对多体 系统在噪声环境中的行为还是比较复杂的，同时也是一个非常有 趣的问题。 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 第二章量子纠缠的基本理论 量子纠缠是量子力学中两个或两个以上的多粒子体系特有的 奇妙的特性之一，是量子力学中一个非常重要的概念。最早起源 于1 9 3 5 年薛定谔在他的一篇“薛定谔猫”的文章中 2 。它反映了 量子理论的本性相干性和非局域性。在同一年发表了一篇著 名的“e p r 佯缪”的文章 1 ，对量子力学提出了质疑，这也激发 了人们对量子力学及量子纠缠的极大的兴趣。量子纠缠是量子力 学中重要的物理资源，广泛应用于量子通讯、量子计算、隐形传 态、量子编码、量子纠错等领域中。此后，量子纠缠现象已成为 各国科学家研究的热门课题。 2 1量子纠缠的概念及其基本性质 2 1 1 、量子纠缠的定义 在量子力学中，我们通常用波函数i 甲) 表示物质系统的状态。 我们假设1 、2 两个子系统组成的复合系统，则其状态就可写为 i 甲) ：。如果i 甲) 。：不能分解成两个子系统的直积形式，、即不能写成 下面的形式 硕士学位论文 甲) 。：= l 甲) 。o i 甲) ： ( 2 1 1 ) 也就是说，这两个子系统是彼此关联的，每个子系统的状态不能 单独表示出来，量子态l 甲) ：是两个子系统共有的状态，我们把这 种性质就叫做量子纠缠现象。当然，这也可以扩展到多粒子体系 中：若整个系统的量子态都不能用各子系统的直积形式来表示， 我们就把这个系统的量子态定为纠缠态，即 i 甲) ，2 。= i 甲) 。o l 甲) ：q 人圆l 甲) 。 ( 2 1 2 ) 以上只是对系统的量子态为纯态的情况。当然，还有系统的量子 态为混合态的情况，其表示就相对复杂些，我们以两个子系统为 例：如果描述系统的密度矩阵不能写成如下形式 p 。：= p ，硝p ： ( 2 1 3 ) f 我们就把它叫作纠缠态。 2 1 2 、量子纠缠的度量 由纠缠的定义我们知道，如果两个不可分离的子系统，则其 量子态不能写成直积的形式，叫作纠缠态。量子纠缠态有一个特 征就是违背b e l l 不等式 4 ，但是后来发现并不是所有的纠缠态都 违背b e l l 不等式。因此一个称为纠缠度量的概念随之出现，即指 一个纠缠态在传输过程中拥有的纠缠量是多少。这引起了各国的 专家浓厚的兴趣，对于纠缠度量最近几年也有了很大的进展。然 而量子纠缠度的定义都必须满足下面几个性质 1 2 】： 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 1 ) 、非纠缠态的纠缠度为零。 2 ) 、在l o c c 和经典通信下，平均纠缠度是不可增的。 3 ) 、对任意子系统进行么正变换，其纠缠度不变。 4 ) 、如果量子纠缠度量满足e ( p 锄) = n e ( p ) 那么纠缠度是可加 的。 现在对两体纠缠纯态的纠缠度量已经有了很好的定义，且混 合纠缠态也只是对2 x 2 的系统有了比较清楚的了解。但是对多体 及多维系统的纠缠到目前为止还没有完全解决。量子纠缠度量有 很多种方法，我们只对其中主要的几种作个说明： a ) 、相对熵纠缠度量： 量子相对熵纠缠度量是在1 9 9 7 年由v e d r a l 和p l e n i o 提出来的 1 3 ，1 4 ，是用来对两体混态的纠缠度量。对两体量子态p ，它们的 相对熵纠缠度量廓( p ( 伊为非纠缠态) 可以表示两子系统的复 合系统与全部非纠缠态的相对熵的最小值。相对熵的定义为 s ( p 0 仃) = t r ( p l o g p ) - t r ( p l o g o r ) ( 2 1 4 ) 则相对熵纠缠度量的定义为 e f ( 咖) = 卿s ( p ( 2 1 5 ) d 为全部非纠缠态的集合。 b ) 、c o n c u r r e n c e 度量： 在1 9 9 7 年h i l l 和w o o t t e r s 针对一个两量子比特纠缠纯态的度 硕士学位论文 量介绍了c o n c u r r e n c e 度量 1 5 】。同时在1 9 9 8 年w o o t t e r s 给出了 一个任意两量子比特态的纠缠公式 1 6 。对于纯态公式为 c = 2 ( 1 一t r p 2 ) ( 2 1 6 ) 对于任意两量子比特态公式为 c = m a x ( 0 ，五一五一如一厶) ( 2 1 7 ) 这里 是非厄米矩阵茚本征值的平方根，每一个以都是非负实数， 且按大小减少的顺序排列，即厶 如 如 。万的表达式为 声= o yoo r y p 。盯， r y ( 2 1 8 ) 盯。是p a u l i 矩阵。在我们文章中后面第三、四章都是用这种度量来 作研究的。 c ) 、n e g a t i v i t y 负度是在1 9 9 8 年由z y c z k o w s k i 等提出的一种度量方法 1 7 ， 在2 0 0 2 年由v i d a l 和w e m e r 发表的文章正式定义了n e g a t i v i t y ， 展示了该量在局域操作下是不会增加的。n e g a t i v i t y 不仅适用于两 体系统，同样也适用于多体系统，负度定义为： ( p ) 言i i p 乃厂l l - 1 ( 2 1 9 ) 就是密度矩阵部分转置后的负本征值之和的绝对值。这里忪乃l 为 密度矩阵p 部分转置后的矩阵p 死的各个本征值绝对值的之和。p 乃 表示密度矩阵p 对第a 部分的转置。利用n e g a t i v i t y 可以很好的计 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 算和操作，且都适用于纯态或混态。 这里我们只介绍了几种主要的纠缠度量方法，其实我们现在对 纠缠度量的研究还有很多种。例如，形成纠缠度量、蒸馏纠缠度 量、s c h m i d t 纠缠度量等等。对于两体纠缠纯态的纠缠度量已经是 非常了解，但是对于两体或多体混态的纠缠度量情况还是不够清 楚，因此这也引起了全世界的专家对这方面产生了浓厚的兴趣。 在我们的文章中主要是应用了c o n c u r r e n c e 度量。 2 2 纠缠动力学的基本研究方法 对于纠缠动力学的研究，目前是一个世界的前沿问题，各国 的专家学者都对这一问题非常感兴趣。由于系统不可避免地要与 环境发生相互作用，精心设计的纠缠态在环境的影响下其纠缠将 发生演化。掌握纠缠演化的规律，有利于我们实现对开放系统纠 缠的保护和控制。因此，开放系统纠缠动力学的研究是非常重要 的。我们在这节中主要介绍下面的两种研究开放系统的方法： 1 ) 、算符和表示【1 8 ： 由于量子系统总不可避免的要和周围的环境发生相互作用，因 此它是一个开放系统，它的演化不是么正的。但如果我们将系统 和环境考虑在一起，则就成了一个封闭的系统。我们考虑一个系 硕士学位论文 统和环境的相互作用，其总的哈密顿量为 h 埘= h 。o + ，o h 钾，+ h n ( 2 2 1 ) 且它的演化遵循刘维方程 p 埘= 一如，成，】 ( 2 2 2 ) 其中表示系统的哈密顿量，日。，表示环境的哈密顿量，日缸表 示系。假设在初始阶段复合系统是可分离的，即有 p r o , = p s y sp ( 2 2 3 ) 那么系统的约化密度矩阵演化为 肛坩( f ) = 巩，缈( f ) n ( o ) 圆p 。，( o ) u + ( f ) ) ( 2 2 4 ) 如果我们再假设环境有一组正交的完备基矢i i ) ，并取 几，( o ) - - i o ) ， , 2 p o l s p o l ( o ) = ( i c o o t o ) p o l 一( i f 2 + f r ) p 0 2 + 2 r ，荔3 + 2 r o 磊3 2 l ( 3 2 8 ) 硕士学位论文 瓦j 一如( o ) = o 一r o ) 磊2 一( f q + r r ) 磊。+ 2 r 0 磊3 + 2 f r p 2 3 p 0 3 s 一风3 ( o ) = 2 ( i a ) o r o ) 瓦 历l s a l ( o ) = 2 r o 历l 一( 恐+ r ，) 五2 + ( i f 2 - f r ) p 2 l + 2 f o i l 3 3 筋2 s - a 2 ( o ) = - 2 f o 历2 一( f q + r ，) 历l + ( f q r ，) 兹2 + 2 f r p 3 3 磊3 j p 1 3 ( o ) = ( i c o o - 3 r o ) 五3 + ( f q r ，) 压3 磊2 s 一仍2 ( o ) = - 2 r o 历2 + ( f q r r ) 磊2 - ( i n + l r ) 万2 l + 2 r o 压3 p 2 3 j p 2 3 ( o ) = ( i c o o 一3 r o ) 磊3 + ( f q r r ) 万1 3 历3 s 一岛3 ( o ) = - 4 r o 磊3 在上述线性方程组中，p 0 3 与压，可以独立求解 ( 3 2 9 ) ，磊，与磊，可以 联立求解，将求得的四个密度矩阵分量代入其余各式，最后可求 得密度矩阵的所有分量。但对于一般的初态，在作逆拉普拉斯变 换时非常困难。我们发现，对于如下形式的两原子初态 q 么) = 口i o o ) + 6 1 0 1 ) + 6 | l o ) + d i l1 ) 可以求得精确的解析解 p o o = 1 p i i2 见3 ( 0 ) 一c ( r 0 一r r ) 2 e 一2 r 一+ p 3 3 ( 0 ) 2 ( 爵一e ) p 3 3 ( 0 ) 2 ( r c ) + p 3 3 ( o ) p 3 3 ( 0 ) 巧r ； ( 瑶+ 3 e ) p 。4 r ( r 0 + r ，) 2e 一2 r o + 一2 见2 ( 0 ) p 一2 h + ( r o - 1 - - r ) 2 e - 2 ( 1 o - f , ) t l p i 3 3 一( 1 0 ) _ ( 巧+ 啦4 即 2 ( 瑶一c ) ( t o + ) 2e 一2 r + ) f + 2 岛2 ( 0 ) p 一2 r + ( 3 2 1 0 ) p 2 25 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 p 3 3 ( 0 ) 2 ( 焉一p ) + 岛3 ( o ) ( r o _ f ，) 2e - 2 ( r o - r , ) t l p i 3 3 一( 0 1 ) 了瑶+ 3 p 矿 2 ( 巧一p ) = p 3 3 ( 0 ) e 。印 ( to + r ，) 2e 一2 r 0 + l ) f + 2 p 2 2 ( 0 ) p 一2 r 0 + l ” 风t 矾2 寺( 0 ) r o 帆，( 。) r r + 如( 。) r o ) 扩胁- r ，) ， 一p 2 3 ( o ) ( r o + r ，) e 一疵+ 一3 r 0 一 】 p 0 3 = 风3 ( o ) 蛳一” p 1 22 尸3 3 ( 0 ) 2 ( 瑶一e ) ( t o r ，) 2 e一2 ( t o r ，) f 一2 p 3 3 ( 0 ) r e r o r r e 一4 l 7 + 互器( r o + 1 - - r ) 2 e - 2 ( r o + r , ) ta t p 2 2 ( 。) p 一2 ( r 0 + r ，) l 局3 = , 0 2 3 = 岛3 ( o ) p 皿+ 一3 r o r r ( 3 2 1 1 ) 在这一节我们通过主方程的求解给出了两个二能级原子系统在方 程( 3 2 1 0 ) 的情况下的密度矩阵的精确解。有了这些密度矩阵， 我们就可以计算任意时刻两原子之间的纠缠度。 3 3集体环境噪声下两个二能级原子的纠缠 在第二章我们介绍了几种度量量子纠缠的方法，在这里我们 就是利用了衡量两量子比特系统纠缠度最有效的手段之一的 c o n c u r r e n c e 1 6 度量 硕七学位论文 c = m a x ( o ， 一上一a ，一 )( 3 31 ) 其中丑是非厄米矩阵茚的本征值的平方根，且按大小减少的顺序 排列，即 。c c 也c ，芦的表达式为 = 口，oo - p 。o - ，o o - ( 332 ) “是p a u l i 矩阵。当c = 0 时表示两原子没有纠缠，而c = l 表示两 原子处在最大纠缠。 图3 一i 翩始直积患( 33 3 ) 在集体环境下纠缠的时问演化，其中乩= 08 ，n = 0 5r f - ：o r ：o o l 环境咀减幅振荡的万式诱导纠柱的产生和观c ，直至最后的纠缠消失。 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 图3 - 2 不同的耗散系数下，初始直积态兀毛g o ) ，+ 1 1 ) ，) 在集体环境下的纠缠演化，其中 = 0 8 ，q ；0 5 。当耗散较小时，出现振动式的纠缠产生与死亡；耗散较大时，可只呈 现单次的纠缠产生现象 图3 - 3 在不同的耗散系数下初始态净) 咛2t ) + 荆2+ 肛) 的纠缠随时间的演化其 中国。：0 8 ，q ：0 5 。当耗散较小时，纠缠以振动的方式衰减；当耗散较大时，纠缠非振动 地衰减。 在图3 1 中，我们描述了初始直积态 ( s i n 0o ) 。+ c o s 01 ) 。) o ( s i n 秒l o ) 2 + c o s o l l ) ：)( 3 3 3 ) 的c o n c u r r e n c e 随时间及初始参数口的变化。可以看出在环境的诱 导下，系统先产生纠缠，然后该纠缠又以振荡的方式减少，直到 最后消失。在这里纠缠的产生是由于集体环境诱导的偶极作用h q 的结果，而纠缠的减少( 直至最后死亡) 是由于环境的耗散、即 方程( 3 2 5 ) 中l p 的作用。另外纠缠的振荡幅度与初始态有关，当 秒= k - ，_ z r ( k = o ，l ，2 人) 时， 纠缠的振荡幅度为零；当 硕士学位论文 0 = 要万+ 去万( 后= o ，1 ，2 人) 时，纠缠的振荡幅度有最大值；纠缠的振 二 t 荡幅度随目成周期性变化。纠缠随时间振荡递减的快慢由耗散系数 决定，耗散系数越大，纠缠衰减得越快，能观察到的振荡次数就 越少，特别地，当耗散系数增大到某一值时，只出现一次振荡( 如 图3 2 所示) 。相反，对于无耗散的理想环境，即r 0 ，r o = o 纠缠振 荡的振幅将不衰减，纠缠产生后将无限地振荡下去。 在图3 3 中，我们绘出了初始处于纠缠态，其纠缠随时间的演 化。从图中可以看出，随着耗散系数的增大，纠缠死亡越快。当 耗散系数较少时，不但纠缠死亡得慢，而且会呈现振荡的形式； 而当耗散系数较大时，纠缠单调地减少直至死亡。 3 4小结 总之，我们研究了两个二能级原子系统和一个集体噪声环境 的相互作用。在一个非常一般初始态下，求出了原子系统的解析 解，并以此研究原子系统的纠缠演化。发现当原子系统初始无纠 缠时，集体环境的诱导作用会使系统产生纠缠，然后在耗散作用 下纠缠以振荡的方式减少，直至最后死亡。对初始处于纠缠的原 子态，由于耗散的作用，总的来说纠缠随时间逐渐减少。耗散系 数越大，纠缠死亡得越快，而且由振荡递减的方式变为单调递减 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 的方式，直至纠缠的最后死亡。 在本章中我们仅研究了两个二能级原子系统在同一个集体噪 声环境中的纠缠动力学行为。实际上在很多的文章中研究了两个 量子比特和库的纠缠行为，只不过对库的定义不一样。也就是说 对两个量子比特系统的纠缠行为已经有了很多的研究，但是在本 文中我们没有考虑1 1 个二能级原子( 或者是多能级原子) 和库的 情况。相信这些事非常有趣且值得以后的进一步研究。 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 第四章通过量子噪声通道的纠缠分布 4 1引言 在量子信息科学领域里，量子纠缠是一个重要的概念。在量 子纠缠的应用中，不但要应用到近距离的纠缠，还要应用到远程 的量子纠缠。为了建立远程纠缠，首先要产生一个局域纠缠态， 然后让它通过量子通道发送到远程区域，这就是所谓的纠缠分布 过程。纠缠分布在量子信息科学领域得到了广泛的应用，例如： 隐形传态 3 7 】、量子密编码 3 8 】、量子密码 3 9 、远程态的制备 4 0 ， 4 1 、量子远程控带i j 4 2 、量子计算分布 4 3 ，4 4 和远距离纠缠等。 由于噪声的影响，获得的远程纠缠量不同于初始纠缠量。我们的 目的是想知道在纠缠分布过程中，噪声是怎样影响纠缠的? 为了回答这个问题，我们考虑如下任意两个q u b i t s 纠缠纯态 i ) = 口i o o ) + 6 1 0 1 ) + c 1 1 0 ) + d i l1 ) ( 4 1 1 ) 这里的系数都是复数，并且满足盯+ 1 6 1 2 + 盯+ l a l 2 = l 。态的纠缠度 可用c o n c u r r e n c e 来描述 16 】，对于该态，其c o n c u r r e n c e 为 c ( i 匕) ) = 2 a d - b c i ( 4 1 2 ) 现在，我们考虑如下的两种发送方案： 硕+ 学位论文 ( 1 ) 将一个q u b i t 通过噪声量子通道发送到一个远程区域。 ( 2 ) 将两个q u b i t s 都通过噪声量子通道发送到不同的区域。 我们的目的是要研究接收到的输出态，其纠缠是怎样改变的，即 研究纠缠分发过程量子噪声对纠缠的影响。在这里，我们将考虑 三种基本类型的量子噪声振幅阻尼、相位阻尼、退极化噪声。 研究发现：当用一个量子比特传送时，输出态的纠缠度( 通过 c o n c u r r e n c e 度量) 总是低于初始纠缠度，两者的比值为一与噪声 量子通道特性相关的常数。对于两量子比特的传送，纠缠变化的 规律非常复杂。但是，我们寻找到了理想的纠缠分布态( o e d 态) ， 当用这些纠缠态进行纠缠分布时，输出态具有最大纠缠。我们经 过分析计算和数字模拟，分别分析在在振幅阻尼、相位阻尼、退 极化三种类型的量子噪声通道中的o e d 态。然而在退极化噪声通 道中时，分为两种情况：一种是非对称双向发送，即两个q u b i t 向 相反方向通过阻尼大小不同的通道进行发送；另一种是对称的双 向发送，即两个q u b i t 向相反方向通过相同的通道进行发送。 我们还讨论了纠缠突然死亡( e s d ) 1 5 ，4 5 ，2 8 ，3 0 1 的问题。 对于一个量子比特传送，e s d 仅存在于退极化通道中。而对于两 个量子比特传送，我们发现e s d 存在于三种类型的量子噪声通道 中。当然，e s d 的发生不仅依赖于输入态的形式，而且依赖于通 道参数的值。 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 4 2振幅阻尼量子通道上的纠缠分布 振幅阻尼就是一个量子系统在环境中能量损耗的过程。在振 幅阻尼量子通道中，噪声的影响能被下面的k r a u s 算符来描述 4 3 ，4 6 ： 耻巴z 卜。= 澜 2 实参数p 表征振幅阻尼量子通道的特性。对于理想的无噪声量子 通道，p = 0 ，否则0 p 1 。 首先，我们考虑一个量子比特的传送情况。假设把初态( 4 1 1 ) 中的一个量子比特通过振幅阻尼量子通道传送到远程区域，根据 以= ( i 圆m o ) 几( ， m o ) + ( ，p 肘1 ) 风( ，固m ) 可得两量子比特系统的输出态为 衍+ p l 纠2 而易+ 而+ b荆 口c + p b d6 f c 面d西+ j n c 七p b d 5 n d 劫c 劢 l c l 2 + p 圻函 届矽荆2 ( 4 2 2 ) 其中的密度矩阵是在基矢 1 0 0 ) ，1 0 1 ) ，1 1 0 ) ，1 1 1 ) 下写的，一p = l - p 。 该状态一般是一个纠缠混合态，其纠缠度可用c o n c u r r e n c e 来衡 量。 ( 4 2 2 ) 的共厄翻转矩阵w p 。4 ，= ( 仃，圆仃，) ( p ( 盯，。仃，) ( 其中 ( 以。) 是以。的复共轭) 可以写成 硕士学位论文 一 p 口l | l2 一届d 一_ 6 + d 届d ic 1 2 + p 疡c 。c p b d 疡c 荆一届+ b - - a c + 一p b d 。一知l a l 2 + p i l l 2 ( 4 2 3 ) 于是可得矩阵以万三。的本证值为 = 4 ( 1 一p ) a d b c 2 ， a 2 = 旯，= 五。= 0 。这样就可以得到输出态力。的c o n c u r r e n c e 为 c ( p 盎) = 2 l p i 口j b c i ( 4 2 4 ) 这个表达式展示了一个非常有趣的结果：当输入态没有纠缠时 ( c ( i v 加) ) = 0 ) ，输出态也没有纠缠( c ( 1 w 训) ) = o ) ；如果输入态具 有纠缠，则输出态也有纠缠，输出与输入的纠缠之比为 c ( 以) c ( w ，, , ) ) = f i - s - p ，该比值仅由振幅阻尼通道的特性决定，与 输入态的具体形式无关。如果我们想获得一个最大纠缠的远程纠 缠态，一个局域最大纠缠的输入态是必要的。这就是人们经常通 过b e l l 态传送纠缠的原因。 其次，我们考虑在振幅阻尼量子通道中两量子比特的传送情 况。我们假设量子比特一与二分别通过噪声参数为q 和p 的振幅阻 尼通道。在这种情况下，输出远程纠缠态的密度矩阵 以1 2 + p l b l 2 + qc 1 2 p qd 2 后( 口b + q c d ) 再( 口c + p b d + ) 屙d 后( 口。b + q c * d ) p ( i b l 2 + 科)屙c ；知d 厉( 口c + p b + d )屙。c确2 + p l a l 2 ) 石动+ 面d万届d；届+ dp q m 2 ( 4 2 5 ) 科庙埘知 噪声环境下两个二能级系统的纠缠动力学研究 其中一p = l p 和q = 卜q 。在这种情况下，要得到输出态的 c o n c u r r e n c e 般形式解析表达式是很难。为简单起见，我们考虑 利用两个类b e l l 态 i 甲) = b 1 0 1 ) + cl o ) ( 4 2 6 ) 和 l ) = a 1 0 0 ) + d l l1 ) ( 4 2 7 ) 作为输入态，研究通过振幅阻尼通道传送后纠缠的变化。上述两 个类b e l l 态的c o n c u r r e n c e 分别为c ( 甲) = 2 b c l 和c ( ) = 2 1 a d i 。 根据( 4 2 5 ) 容易得出，当用i t ) 作为输入态时，输出态的 c o n c u r r e n c e s 为 c ( 碟) = 2 v - 葛l b d ( 4 2 8 ) 显然当6 = c = 去时，即用b e l l 态i 甲2 ) = 去( 1 0 1 ) i l o ) ) 作为输入态时， v 二v z 输出纠缠达到最大值翥。换句话说i 甲2 ) 是理想的纠缠分布态 ( o e d 态) 。 然而，当用i ) 作为输入态时是不同的，此时输出态的 c o n c u r r e n c e 为 c ( 船) = m a x 0 ，c 肿) ( 4 2 9 ) 其中c 舯= 2 历( i 耐i - 鬲l d 2 ) 。显然，当用b e l l 态i 2 ) = 击( i o o ) 1 1 1 ) ) 作为输入态时，输出态的c o n c u r r e n c e 并不具有最大值。这样l 2 ) 硕士学位论文 不是o e d 态。另外，我们容易证明对于所有的a 和d 都有 c 肿= 2 面( i 口d | _ 鬲竹) 历，其中口和d 满足归一化条件 l a l 2 + a 1 2 = 1 。于是有m a x c ( p o , 仲。) ) m a x c