（控制理论与控制工程专业论文）自旋12量子系统的分析与控制.pdf

删y , t 删9 0 9 t 9 7 d i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt oh a n g z h o ud i a n z iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fm a s t e r a n a l y s i sa n dd e s i g n f o rs p i n1 2s y s t e m s c a n d i d a t e ：s h i z h o uf u s u p e r v i s o r ：p r o f is h a o s h e n gz h o u d e c e m b e r ，2 0 1 0 杭州电子科技大学 学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 敝储样俐钟1 嗍咖f 钆归 学位论文使用授权说明 本人完全了解杭州电子科技大学关于保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属杭州电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为杭州电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密论文 在解密后遵守此规定) 论文作者签名：似杉叫 日期：铷f 年月铜 艚刻程氢劁 八 哆豸杉 嗡v l l | 年垆 杭州电子科技大学硕士学位论文 摘要 本文研究了多自旋1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵表示和这些矩阵的计算以及单自 旋1 2 系统的反馈控制问题。利用李群李代数的方法可将描述自旋1 2 系统的刘维尔方程 ( l i o u v i l l e v o i in e u m a n ne q u a t i o n ) 转换为在非线性系统控制框架内进行研究的张量空间基下 的坐标微分方程。本文的研究结果由以下三部分组成： 第一部分：研究了单自旋1 2 系统的反馈控制问题，即从任何初始点出发的轨线可以渐 近跟踪给定的理想轨线。通过引入一种与同质空间性质类似的实欧几里德结构导出的距离 定义的李亚普诺夫函数来设计控制跟踪给定的轨线。这种构造李亚普诺夫函数的方法和 j u r d j e v i c q u i n n 镇定方法很类似，但由此通过拉塞尔不变集原理计算最大不变集也会变得较 为复杂。这一部分将在此系统模型的基础上利用双线性控制系统的李亚普诺夫反馈控制设计 方法研究单自旋1 1 2 系统的反馈控制问题，并通过拉塞尔不变集原理计算出了某些难以进行 渐近跟踪的初始点。 第二部分：研究了多自旋1 1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵表示和这些矩阵的计算问题。 首先引入了一个多下标变换映射，可建立空间g l ( 2 ，c ) 肌的元到空间g l ( 2 n ，c ) 的元之间的联 系。基于这个映射定义了作用于g l ( 2 ，c ) 跏上的伴随与反伴随算子的矩阵表示。利用张量 积矩阵李括号的一个结果得到了计算多自旋1 1 2 系统伴随与反伴随算子矩阵表示的公式。 这些结果不仅揭示出了作用于g l ( 2 ，c ) 跏到g l ( 2 n ，c ) 伴随与反伴随算子矩阵表示与作用于 g l ( 2 ，c ) 到g l ( 2 ，c ) 伴随与反伴随算子矩阵表示之间的关系，而且也提供了计算多自旋1 2 系统 伴随与反伴随算子矩阵表示的算法。最后通过一些例子验证了这些算法。 第三部分：研究了利用矩阵a d 而，i 1 ，i 2 五来描述双自旋1 2 系统的动态行为问题。引 入了可分别被视为密度算子j 9 和哈密顿咒在基 ，如) j ，施蜀下的坐标p 和h 。利用坐标p 和 h ，密度算子方程( 即l i o u v i l l e v o nn e u m a n n 方程) 可被变换为坐标微分方程。由此可以得 到密度算子坐标的动态行为可完全由p ，h 和双自旋l 2 系统伴随算子。厶洲。( ) 的矩阵表示 a d x j l j 2 ) j ，历蜀进行刻画；并且矩阵( a d x j l j 2 ) j ，应z l 在描述密度算子坐标p 的动态时具有关键 作用。基于得出的坐标微分方程，有关双自旋1 2 系统的控制和滤波问题就可以在非线性系统 理论的框架内进行研究。 关键字：自旋系统，量子控制，李亚普诺夫设计方法，跟踪，非线性系统，李代数，泡 利矩阵 杭州电子科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o n so fa d j o i n ta n da n t i - a d j o i n to p e r a - t o r sf o rm u l t i s p i n1 2s y s t e m sa sw e l la sf e e d b a c kc o n t r o lp r o b l e m sf o rs i n g l e s p i n1 2s y s t e m s t h e t y p eo fq u a n t u ms y s t e mc o n s i d e r e dp l a y sa l li m p o r t a n tr o l en o to n l yi nt h ef i e l do fp h y s i c sb u ta l s oi n t h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mc o n t r o la n dq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g m o t i v a t e db ys o m er e c e n t a d v a n c e si nt h ea r e a sw h i c hh a v er e n d e r e dt h ei n t r o d u c t i o no fas e r i e so fc o n s t r u c t i v em a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e s ，t h ep r i m a r yr e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e ri n c l u d et h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t , t h ef e e d b a c ks t a b i l i z a t i o np r o b l e mf o rs i n g l e - s p i n1 2s y s t e m si sd i s c u s s e df r o m ac o n t r o lt h e o r e t i cp e r s p e c t i v e t h en o n i n v a s i v en a t u r eo ft h eb u 墩m e a s u r e m e n ta l l o w si np r i n c i p l e f o ra f u l l yu n i t a r ya n dd e t e r m i n i s t i cc l o s e dl o o p t h el y a p u n o v b a s e df e e d b a c kd e s i g np r e s e n t e dd o e s n o tr e q u i r es p i n st h a ta r es e l e c t i v e l ya d d r e s s a b l e w i t ht h i sm e t h o d ，i ti sp o s s i b l et oo b t a i na p p r o a c h e s t od e s i g nc o n t r o l l e r sf o rs i n g l e - s p i n1 2s y s t e m s i nt h es e c o n dp a r t ，am u l t i i n d e xt r a n s f o r m a t i o nm a p p i n gi si n t r o d u c e dw h i c he s t a b l i s h e st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p a c e sg l ( 2 ，c ) 肌a n dg l ( 2 n ，c ) m a t r i xr e p r e s e n t a t i o n so fa d j o i n ta sw e l la s a n t i a d j o i n to p e r a t o r so ng l ( 2 ，c ) 跏h a v eb e e nd e f i n e db a s e d o nt h ei n t r o d u c e dm a p p i n g f o r m u l a s t oc o m p u t et h em a t r i c e so fa d j o i n ta sw e l la sa n t i - - a d j o i n to p e r a t o r si nm u l t i - - s p i n1 2s y s t e m sa t e o b t a i n e db ym a k i n gu s eo far e s u l to nl i eb r a c k e t so ft e n s o rp r o d u c tm a t r i c e s t h e s er e s u l t sn o to n l y r e v e a lt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h em a t r i c e so fa d j o i n ta sw e l la sa n t i a d j o i n to p e r a t o r so na t ( 2 ，c ) 跏 t og l ( 2 n ，c ) a n dm a t r i c e so fa d j o i n ta sw e l la sa n t i a d j o i n to p e r a t o r so ng l ( 2 ，c ) t og l ( 2 ，c ) ，b u ta l s o p r o v i d ea l g o r i t h m sf o rc o m p u t i n gt h em a t r i c e so fa d j o i n t a sw e l la sa n t i a d j o i n to p e r a t o r si nm u l t i s p i n v 2s y s t e m s s o m ei l l u s t r a t i v ee x a m p l e sa r ea l s og i v e n t os h o wt h ep r o c e s s e so ft h e s ec o m p u t a t i o n s i nt h ef i n a lp a r t ，t h ed y n a m i c so ft w o s p i n1 2s y s t e m si sd e s c r i b e di nt e r m so ft h em a t r i c e so f a d j o i n ta n da n t i a d j o i n to p e r a t o r sf o rt w o - s p i n1 2s y s t e m s t h e s em a t r i c e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l e i nr e p r e s e n t i n gt h ed y n a m i c so ft w o s p i n1 2s y s t e m s t h ev e c t o r spa n dhi n t r o d u c e di nt h i sp a r t c a nb er e g a r d e da st h ec o o r d i n a t e so ft h ed e n s i t yo p e r a t o rpa n dt h eh a m i l t o n i a n 饨o nt h eb a s i so f 1 j 2 b l j 2 e t - 4 ，r e s p e c t i v e l y b ym a k i n gu s eo f t h ec o o r d i n a t e spa n dh ，t h ed e n s i t yo p e r a t o re q u a t i o n ( l i o u v i l l e y o nn e u m a n ne q u a t i o n ) c a nb et r a n s f o r m e di n t oaf o r mo fc o o r d i n a t ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n i tc a nb es e e nt h a tt h ed y n a m i cb e h a v i o r o ft h ec o o r d i n a t eo ft h ed e n s i t yo p e r a t o rc a l lb ec o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e db yp ，ha sw e l la st h em a t r i c e s a d x j m ) j 1 , j 2 c z 4o ft h ea d j o i n to p e r a t o r s 口氐l j 2 ( ) i n t w o s p i n1 1 2s y s t e m sa n dt h a tt h em a t r i c e s a d x j l j 2 ) j 1 2 z 4p l a yac e n t r a lr o l ei nc h a r a c t e r i z i n gt h e d y n a m i cb e h a v i o ro ft h ec o o r d i n a t epo ft h ed e n s i t yo p e r a t o rp b a s e do nt h ec o o r d i n a t ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o no b t a i n e d ，t h ec o n t r o la n df i l t e r i n gp r o b l e m so ft w o s p i n1 2s y s t e m sc a nb ei n v e s t i g a t e di n 杭州电子科技大学硕士学位论文 t h ef r a m e w o r ko ft h e o r yo fn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m s k e yw o r d s ：s p i ns y s t e m s ，q u a n t u mc o n t r o l ，l y a p u n o v - b a s c df e e d b a c kd e s i g n ，t r a c k i n g ，l i e a l g e b r a ，p a u l im a t r i c e s m 目录 摘要- i 第l 章绪论- 1 1 1 量子系统 1 1 2 自旋1 2 系统及其研究现状 3 1 3 本文拟解决的主要问题 6 第2 章单自旋1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵表示及其有关结果 7 2 1 引言 7 2 2 预备知识 7 2 2 1 矩阵李群 7 2 2 2矩阵李群的李代数 8 2 2 3 结构常数 9 2 2 4泡利矩阵 1 0 2 3 有关李代数g l ( 2 ，c j 的伴随与反伴随算子及其矩阵表示的结果 1 0 2 3 1 李代数g l ( 2 ，c ) 的伴随与反伴随算子 1 0 2 3 2 李代数g l ( 2 ，a 的伴随与反伴随算子的矩阵表示 1 l 2 4 小结1 2 第3 章单自旋1 2 系统的状态反馈设计 - 1 4 3 1 引言1 4 3 2 预备知识 1 5 3 2 1 线性算子和矩阵 1 5 3 2 2 内积 1 6 3 2 3 张量积1 7 3 2 4 密度算子 1 8 3 2 5 量子状态的系综 1 8 3 3 问题的提出 2 0 3 4 主要结果2 2 3 ，5小结 2 5 i v 杭州电子科技大学硕士学位论文 第4 章 4 1 4 2 4 - 3 4 4 4 5 多自旋1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵计算 引言 预备知识及问题的提出 4 2 1 作用于g l ( 2 ，c ) 肌到李代数g l ( 2 n , c ) 的伴随与反伴随算子 矩阵碱j 1 - j 。和a a d x j r “的计算 数值例子 小结 第5 章双自旋1 2 系统的动态行为描述 - 5 1 问题描述 5 2 主要结果 5 3 小结 第6 章总结和展望 6 1 总结 6 2 展望 致谢- 4 4 参考文献4 5 附录- 5 0 v 8 8 9 9 4 7 8 9 9 0 l 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 杭州电子科技大学硕士学位论文 第1 章绪论 在过去3 0 年中，量子控制理论获得了迅速发展【l ，2 ，3 ，4 ，5 】。量子力学的建立使得控制 量子行为成为量子物理和化学研究的重要目标 1 ，5 】。量子控制理论研究的主要目的之一是 为量子系统的控制和量子态的操纵建立坚实的理论基础和一系列系统方法【3 】。然而，由于 微观的量子系统具有许多经典力学系统不存在性质( 比如，纠缠和相干性) ，这个目标是不 容易达到的。量子控制理论已在物理化学【2 ，6 ，7 ，8 ，9 】，原子分子物理学【1 ，1 0 】以及量子光 学【1 1 ，1 2 等领域取得了重大成功；这也使得人们对量子力学的基础理论加深了理解。近几 年来，随着量子技术应用的发展，量子控制理论的研究已被视为影响量子技术发展的重要因 素【1 3 。量子控制理论已经引起物理、化学、控制理论、应用数学和量子信息处理等不同领 域的广泛关注，并已成为国际会议( 如i e e e 控制与决策会议) 的经常性议题。 1 1 量子系统 量子理论揭示了物质内部原子及其组成粒子的结构和性质，使得人们对物质的结构以及 相互作用的见解被革命性地改变了【1 4 。通过量子力学许多现象才得以真正地解释( 比如， 成功地解决了氢原子光谱等一系列重大问题【1 5 】) 。随着研究的深入人们逐步认识到，量子 理论不仅可以解释微观领域的一系列奇特现象，而且一些新的、无法直觉想象的现象也可被 预言；这些现象可以通过量子力学被精确地计算出来【l ，1 7 l 。量子力学的规律不仅支配着微 观世界，而且也支配着宏观世界。利用薛定谔方程可以证明诸如牛顿定律等许多经典物理中 的基本定律；因此可以说随着科学技术的进步，量子力学的应用已深入到科学技术的各个领 域【1 3 ，1 8 ，1 9 】。更为重要的是近几年来，随着信息技术的发展又相继提出了量子计算机、量 子信息网络等一系列新设想，希望利用量子一些特有的性质来突破宏观经典物理对物质属性 的限制【5 ，2 0 。但随着在不同领域对量子进行的深入研究，如何对量子及其状态进行控制成 了摆在人们面前的一个难题【2 1 ，2 2 。 量子控制理论的物理基础就是量子力学理论。基于薛定谔方程、海森伯格方程、刘维尔 方程以及在此基础上发展的描述各种环境下的量子力学系统的模型，可以展开有关量子系统 可控性、可逆性等的研究。量子控制的一个主要目的就是为量子系统的有效操纵和控制建立 起一套坚实的理论基础并形成一系列的系统方法【2 3 ，2 4 。量子系统与经典控制系统的主要 不同之处基于这样的事实，即，对量子系统物理量的量测将不可避免地会干扰到量子系统的 状态【2 5 。 最早提出量子系统控制的是h u a n g 和t a m 于1 9 8 3 年在j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ) ) 上发表的论文【4 ，2 1 。文章从系统控制概念出发，在理论上对线性量子系统的可控性进行了 讨论，分析并给出了有限维空间量子系统的可控条件，同时利用李代数知识对无限维空间下 杭州电子科技大学硕士学位论文 量子系统的可控性进行了分析，并对量子系统的控制进行了一些展望，提出了几个关键性的 问题。目前，有关量子系统控制的研究虽然还不充分，但已经引起了来自各个领域众多学者 的关注。 在量子控制中，量子系统的状态可用希尔伯特( h i l b e r t ) 空间的态矢i 妒( 艺) ) 进行描述。 令i 妒( 芒) ) 表示系统在时间的状态。i 矽( 亡) ) 则依据薛定谔方程进行演化【1 4 】： t 危l 妒( 芒) ) = 7 - t ( t ) l 妒( t ) ) ( 1 1 1 ) 其中，i 是虚数单位，危是普朗克常量( p l a n c kc o n s t a n t ) 。如果i 妒( o ) ) 是初始状态，那么 i 妒( 亡) ) = 疋( 亡) l 矽( o ) )( 1 1 2 ) 上式中，线性算子e c ( t ) 满足如下方程 i h x ( t ) = 7 - l ( t ) x ( t ) ( 1 1 3 ) 其中，初始条件等于单位算子。算子z ( 亡) 通常称为演化算子，系统的哈密顿算子是描述未 受扰动系统的项咒。和描述外部控制的哈密顿u t - t 1 ( 比如，由激光脉冲形成的电磁场) 。等式 ( 1 1 3 ) 称为薛定谔算子方程。方程( 1 1 3 ) 是一个时间一阶、空间二阶的微分方程。理论 上，它完全确定了量子系统状态的演化，所有通常将方程( 1 1 3 ) 看做是量子控制系统的微 分方程模型。事实上，代是哈密顿的，且在任意时间t ，疋( t ) 是一个幺正算子。因此，这也 意味着系统的演化并不会改变状态矢量的范数。在较多文献中一般将此范数置为1 。在有限 维的情况下，利用状态矢量表述系统方程，疋可表示为一个幺正的n 佗的矩阵( n 为希尔伯 特空间咒的维数) 。在此情况下，疋在幺正矩阵的李群中变化。由于量子控制的主要目的是 用外部控制场控制量子系统的状态，因而应使得外部控制场钆( ) 在( 1 1 3 ) 中体现。很容易 看出，乱( ) 只能通过( 1 1 3 ) 中的哈密顿算子7 - t ( t ) 影响被控系统的状态。除此以外，量子系 统的波函数妒( z ) 一般不可以直接观测得到，因此并不适合用作输出量，还需要采用另外的可 观测输出量。 假设系统的初始状态可由一个密度矩阵表示 p ( o ) ：= 叫凫m o ) ) ( 讥( o ) l 七 那么，依据( 1 1 2 ) ，p 依时间演化 p ( ) = 姚疋( ) i 仇( o ) ) ( 机( o ) 桫( ) = x ( t ) p ( o ) x ( ) 七 其中，疋( ) 是( 1 1 2 ) 的解。在式( 1 1 5 ) 两端微分，并结合式( 1 1 3 ) 的微分方程，通常称为刘维尔方程( l i o u v i l l e v o nn e u m a n ne q u a t i o n ) i h _ 班ap = 畔( t ) ，硝：= 税( ) p p n ( t ) z x 4 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 可以得到密度矩阵 两个算子的交换子似，矧：= a b b a 将会在下面两章的讨论中起很大的作用。 2 。 ( 1 1 6 ) 杭州电子科技大学硕士学位论文 1 2自旋1 2 系统及其研究现状 一些基本粒子，如电子，某些原子核和分子等具有一种不同于其他粒子的角动量；这 种角动量通常称为自旋角动量。在物理学上，自旋1 2 表示一粒子所具有的内部角动量为鲁， h 为狄拉克常数，其中包括了电子、质子、中子、中微子与夸克。自旋1 2 粒子在量子统计上 属于费米子，并遵守泡利不相容原理。 对自旋1 2 粒子进行自旋性质的量子量测会得到两个值。自旋1 2 粒子的自旋量子态可以 用一种两个维度的复数值向量来描述，称之为二元旋量。利用这种表示法，量子力学中的算 子可写成2 2 的复数哈密顿矩阵。 自旋投影算子表示了沿着z 轴方向对自旋做的量测： = 耋昵= 郎0 1l ( 1 2 1 ) 最算子有两个本征值一士g ，有各自对应的本征向量： s z = + 丢 = i t ) 轳一丢 邛) ( 1 2 2 ) 其构成描述自旋希尔伯特空间的一组基，即自旋的状态可用这两个态的线性组合来表示 【2 6 。这两个状态通常称为自旋向上( s p i nu p ) 与自旋向下( s p i nd o w n ) 。自旋算子s 的有 些特征与角动量算子l 相同，但其他的特征则不相同。自旋投影算子旋转的两个本征值与前 面相同( 对应于量测的可能结果) ，但本征向量则不同一为向量算子s 宛：其中n 是一个 沿投影方向的单位向量，而 弃 女 s = 芸仃= 百i , ( 圣+ 多+ 吒量) ( 1 2 3 ) 二二 这些仃为泡利矩阵。 我们可以用是舢：来分别表示一个三维坐标中三个坐标轴上的可观测自旋角动量。如 果& 舢z 是可量测的，那么则存在勿+ 1 种可能的结果，一幻，一危0 1 ) ，n ( j 1 ) ，劫，其中， j 是一个正整数或一个正的半整数，其值由所研究的系统决定；这种性质称为系统的自旋， 并且也是这些系统很本质的属性。当j = 1 2 时，量测时自旋角动量具有两个可能的值。 具有自旋的粒子( 忽略其他自由度的情况下) 在量子控制中具有非常重要的理论和应用 价值。它们是很典型的有限维量子系统。在实验室中，一些操纵自旋粒子的行为，如核磁共 振【2 7 和电子顺磁共振【2 8 1 在很多领域都存在相当大的应用价值。 在量子控制领域自旋1 2 系统已引起了人们较多的关注【1 8 ，2 9 ，3 0 】。与比较复杂的量子 系统相比，自旋1 2 系统的状态可由两个特征状态的线性组合表示：这两个特征状态通常称 为自旋向上( s p i nu p ) 和自旋向下( s p i nd o w n ) 状态。由此，量子自旋算子通常可由泡利矩 3 1il-ij 1ijn旧旧 杭州电子科技大学硕士学位论文 阵表示【3 1 】。基于对自旋1 2 系统性质的一些研究，目前，已有一些文献从控制的角度对此 类系统进行了研究。 k h a n e j an 等【3 2 1 研究了设计核磁共振光谱脉冲序列以达到对幺正传播子进行控制的问 题，给出了可在多自旋系统中应用的时间最优脉冲序列的分析特性。从控制理论的角度来 看，也就是解决了一个可控紧李群上右不变系统的最优控制问题。一对自旋粒子是最简单的 表现出纠缠的量子系统，y a m a m o t on 等【3 0 研究了连续量测下的一个对称双自旋系统的反 馈控制问题。为了取得一些可以在实际中应用的随机控制的结果，首先得出了系统的二维表 示，接着证明并给出了一个反馈控制器设计方法使其可在几乎概率1 意义下镇定双自旋系统 的纠缠态。a l t a f i n ic 【3 1 针对多量子位密度算子的斯托克斯张量( s t o k e st e n s o r ) 的参数化 问题提出了对相应幺正动态行为进行公式化描述的方法。这种描述的主要优势在于揭示了 量子位与无穷小关联模式之间的联系，可用来对量子位操纵进行研究；并且探讨了如何将 描述幺正动态行为的微分方程利用斯托克斯张量基进行描述。由刘维尔方程( l i o u v i l l e v o n n e u m a n ne q u a t i o n ) 给出的一个量子位密度矩阵( 纯态或混合吞) 的幺正演化可变为一个 线性矢量微分方程。【1 8 从控制的角度研究了耦合自旋1 ，2 系统系综的反馈稳定性问题。反 馈综合法的目的是使得从任意初始点出发的轨线渐近跟踪所给定的目标轨线。所利用的 主要工具包括基于李雅普诺夫的双线性系统的反馈设计方法以及j u r j e v i c q u i n n 条件。海森 伯格自旋模型是广泛存在于电子顺磁共振实验中的一种模型。在很多情况下，两个自旋粒 子间的耦合足够强烈以至于在设计控制磁场时不能忽视其影响。a l b e r t i n if 等【3 3 1 给出了 一种控制通过海森伯格作用相联系的两个自旋1 2 粒子组成的量子系统的幺正演化算子的算 法。这种算法采用了一种李群分解方法使得任意有界输入的控制可通过一系列的演化和量 测来获取初始状态的有关信息。基于半单李群s u ( 矿) 的c a f t a n 分解并且利用黎曼对称空间 s u ( 2 ) s u ( 2 肛1 ) ou ( 1 ) 的几何结构性质，k h a n e j an 和g l a s e rs j 【3 4 给出了由一个或两个 量子位操纵来对n 个量子位实现任意幺正变换的参数化方法。这个分解从几何角度分析了由 量子门构造任意一个幺正变换问题，并给出了在核磁共振中近似模拟死个自旋1 2 粒子网络的 脉冲序列结构；此构造过程可有效地减少去耦合的影响。 核磁共振光谱法可以用来操纵量子系综的自旋粒子【1 5 ，2 7 。这些系统表现出了量子系 统许多重要的特征，比如张量型的状态空间( 使得系统的自由度呈指数级增长) 和自旋之间 的耦合( 使得量子系统的状态演化呈现非经典的非局域性的特征) 。在过去的4 0 年间，为了 达到对量子系统状态的操纵，在核磁共振光谱学领域已产生了许多可以在实际中应用的工 具，通常是电磁脉冲序列的形式【2 0 ，2 7 。从经典控制理论的角度来看，这些方法都可归类 为开环控制方法。然而，在控制理论中，开环控制存在着比闭环控制鲁棒性差的弱点。闭 环控制可以在线量测一个或多个函数的状态变量，并且采用反馈算法将这些状态变量又作用 于系统来校正误差和抑制干扰。随着新的研究方向，如量子信息处理，正推动量子态应用向 更加精确和有效的方向发展，利用量子和经典控制相结合来对量子态进行反馈控制成为了量 4 杭州电子科技大学硕士学位论文 子控制的重要问题【1 8 ，1 9 ，2 5 。从控制的角度来说，核磁共振系统可在量子水平上进行反 馈控制的原因如下：有关系统模型的细节都是已知的；对系统进行控制的机制也是相当容易 的；对系统的量测属于经典控制的范畴，这也避免了由状态塌陷产生的较复杂的问题；弛 豫时间足够长，使得与控制设备的交互是实时的。 由于以上这些原因，虽然还有较多的技术问题需要解决，比如较低的信噪比，实时在线 地从线圈励磁中提取量测结果等；但是，设计一个对核磁共振系统是幺正和确定的反馈在理 论上是可行的。反馈控制的目标是让从任何初始点出发的轨线可以跟踪给定的理想轨线。 为了对系统进行反馈分析，可将系统描述为一个紧的齐次空间上的双线性控制系统。通过引 入种与齐次空间性质类似的实欧几里德结构导出的距离定义的控制李亚普诺夫函数来跟踪 给定的轨线。这种构造李亚普诺夫函数的方法和j u r d j e v i c q u i n n 镇定方法很类似【3 5 ，3 6 ，3 7 ， 但由此通过拉塞尔不变集原理计算最大不变集也会变得较为复杂。实质上，这是对状态空间 进行非平凡拓扑的结果，也说明没有完全光滑的反馈设计可以达到全局渐近稳定【1 8 。最多 只可以在这些孤立点组成的奇异集合外面的点才能趋于平衡点。由于从奇异集合出发的点在 收敛时会变得很慢，因此我们需要对这个集合进行详细的研究。对于多自旋量子系统来说， 其状态空间张量积的性质并没有使反馈设计变得太过复杂，相反，可以利用这个张量结构来 计算控制设计中涉及到的奇异集合。 在本论文中，我们考虑的自旋粒子并不是选择性地可激发的。由于一个川滋场会影响到 所有的自旋粒子和它们之间的相互耦合，因此，这也是一种最为复杂的情况。选择性控制的 反馈方法比这更为简单一点，并且也可以利用相似的方法进行解决。c l a u d i oa l t a f i n i 【3 l 】已 经提出了单自旋1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵表示。受【3 l 】工作的启发，我们在本文对 自旋1 2 系统分析和控制的研究中，将对自旋1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵表示及这些矩 阵的计算问题进行一些初步研究，并利用双线性系统基于李亚普诺夫函数的反馈控制方法， 从控制理论的角度初步探讨单自旋1 2 系统的反馈控制问题。 本文将使用如下标准记号： 实数域。 复数域。 所有复mxm 矩阵的集合。 实数域上的一般线性群。 复数域上的一般线性群。 g l ( n ；冗) 的李代数。 g l ( n ；c 1 的李代数。 矩阵，和已的交换子已已一已1 ，这两个矩阵属于c m m 。 矩阵6 和已的反交换子6 已+ 已6 ，这两个矩阵属于c m m 。 集合 o ，1 ，2 ，3 ) 。 集合 1 ，礼) 。 矩阵a 第j 行，第忌列的元素。 矩阵a 的转置。 5 n帆旧劭爿甜 。 冗c一嘶嘶郴_捌五帆 杭州电子科技大学硕士学位论文 1 3 本文拟解决的主要问题 本文主要研究以下三个问题： ( 1 ) 从控制的角度探讨单自旋1 2 系统系综的反馈控制问题。利用双线性系统理论基于李亚 普诺夫函数的反馈控制方法和拉塞尔不变集原理分析和研究如何控制从任何初始点出 发的轨线可以渐近跟踪给定的理想轨线。 ( 2 ) 研究多自旋1 2 系统伴随与反伴随算予的矩阵表示及这些矩阵的计算问题。通过引入多 下标变换映射，定义描述多自旋1 ，2 系统动态行为的伴随与反伴随算子以及其矩阵表示。 利用矩阵张量积的李括号公式，给出依据单自旋1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵表示 来计算多自旋1 2 系统伴随与反伴随算子矩阵表示的公式。 ( 3 ) 利用双自旋1 2 系统伴随算子的矩阵，将量子系统密度算子方程( 即l i o u v i l l e v o n n e u m a n 方程) 转化为张量空间的坐标微分方程，并进一步研究在张量空间基下的双自 旋1 2 张量量子系统。 6 杭州电子科技大学硕士学位论文 第2 章单自旋1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵表示及其有关结果 本章中我们利用李代数的知识给出了g l ( 2 ，c ) 的伴随与反伴随算子的明确定义，并在这 些定义与李代数g l ( 2 ，c j 结构常数的基础上给出了单自旋1 ，2 系统伴随与反伴随算子的具体矩 阵表示。这些矩阵表示在描述单自旋1 2 系统幺正演化的微分方程方面起了重要作用。在 这些矩阵的基础上，我们可以由单量子位密度矩阵的幺正演化刘维尔方程( l i o u v i l l e y o i l n e u m a n ne q u a t i o n ) 变为布洛赫( b l o c h ) 矢量的线性矢量微分方程，更加方便了我们对此类 系统进行控制器与滤波器的设计和研究。 2 1引言 在过去的几十年中，已经有越来越多的人们关注量子信息和控制技术的发展 1 3 ，2 0 ， 3 8 ，3 9 。近几年来，在量子控制领域已提出和发展了一些分析和计算这些问题的代数方法 【2 6 ，3 4 ，4 0 。由于自旋1 ，2 系统在物理，化学以及纳米技术等领域的广泛适用性，有关此类系 统的研究已引起人们更多的关注【l ，2 ，5 ，8 ，1 1 ，1 2 1 。 最简单并且最有前景的量子网络，即由一些单独或一起被操纵的量子系统，都是由量 子位构成的。在核磁共振领域，将单量子位的布洛赫( b l o c h ) 矢量参数法用来表征两个或 多个量子位的方法已被广泛应用【3 1 ，4 1 1 。一些文献( 如 4 3 】) 将此张量称为斯托克斯张量 ( s t o k e st e n s o r ) 。从李代数的角度来观测运动方程，本文中我们引入的斯托克斯张量可被视 为非对称实密度矩阵的展开。本章中，我们将利用李代数与线性代数的相关知识的相关讨论 单自旋1 2 系统伴随与反伴随算子的矩阵表示。这些矩阵表示在描述单自旋1 2 系统幺正演化 的矢量微分方程方面起了重要作用。在这些矩阵的基础上，可以将单量子位密度矩阵的幺正 演化刘维尔方程( l i o u v i l l e y o nn e u m a n ne q u a t i o n ) 变为布洛赫( b l o c h ) 矢量的矢量微分方 程；另一方面，我们将在第四章中利用本章所得结果探讨多自旋1 2 系统伴随与反伴随算子 及其矩阵矩阵表示。 李代数在描述许多量子系统发挥重要作用的同时也是帮助我们理解量子系统结构有效地 分析工具。在本章中，我们首先总结了有关李群与李代数的一些基本定义；在此过程中， 我们将介绍和本章结果相关的几个李群与李代数的概念，但是省略了另外的一些线性代数的 定义。 2 2 预备知识 2 2 1 矩阵李群 我们所研究的群都可以看做是一般线性群的子群，下面将利用线性代数的一些结果给出 7 杭州电子科技大学硕士学位论文 了群论的一些定义；这些定义将有助于本章主要结果的阐释。 定义1 ： 4 0 】实数域上的一般线性群( 通常用g l ( n ；冗) 表示) 是所有带有实元素竹佗可逆 矩阵的集合。复数域上的一般线性群( 通常用g l ( n ；c ) 表示) 是所有带有复元素扎n 可逆 矩阵的集合。 一般线性群也是矩阵乘法运算下的集合：两个可逆矩阵的乘积是可逆的；单位矩阵是集 合的单位元素；一个可逆矩阵有它的逆；矩阵乘法具有结合性。 令m n ( c ) 表示所有复